nghiên cứu didactic về các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC
PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC
PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 64 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


3

Lời cảm ơn
Tôi xin dành những dòng đầu tiên để gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Trần
Lương Công Khanh. Thầy là người luôn tận tình hướng dẫn, cho tôi nhiều lời góp ý
quý báu, giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình làm
luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể giảng viên Didactique toán
của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS.
Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và
xin chân thành cảm ơn PGS. TS Annie Bessot, TS. Alain Birebent. Quý thầy cô là
những người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu và niềm say mê đối
với chuyên ngành Didactic toán.
Tôi xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập,
nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và các em học sinh
trường THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu –
Phan Thiết đã tạo điều kiện cho tôi trong nghiên cứu thực nghiệm.
Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 21 chuyên
ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn
trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn.
Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình
tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn.
Tác giả

4

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SGV: Sách giáo viên
SBT: Sách bài tập
THPT: Trung học phổ thông
HS: Học sinh
GV: Giáo viên


5

Mục lục
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................3
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ..........................................................................4
MỤC LỤC ..................................................................................................................5
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................7
CHƯƠNG 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN
MỆNH ĐỀ ................................................................................................................12
1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa .....12
1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao.........................14
1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương ..................................15
1.2.2 Về phép hội, phép tuyển ..............................................................................28
1.3 Sự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao ...................34
1.4 Vài kết luận ........................................................................................................36
CHƯƠNG 2. SỰ VẬN HÀNH CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ................................................................................39
2.1 Bài toán chứng minh bằng phản chứng ..........................................................40
2.2 Tính chẵn lẻ của hàm số ...................................................................................41

2.2.1 Một số ghi nhận ............................................................................................41
2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số trong
SGK .......................................................................................................................42
2.2.3 Đánh giá về sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK và những ảnh hưởng có
thể có đến đối tượng học sinh ................................................................................47
2.3 Phương trình ......................................................................................................50
2.4 Kết luận ..............................................................................................................51
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................53
3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên ..................................................................................53


6

3.1.1 Phân tích a priori ...........................................................................................53
3.1.2 Phân tích a posteriori ....................................................................................57
3.2 Thực nghiệm đối với học sinh ..........................................................................61
3.2.1 Thực nghiệm thứ nhất ...................................................................................61
3.2.1.1 Phân tích a priori ........................................................................................61
3.2.1.2 Phân tích a posteriori .................................................................................63
3.2.2 Thực nghiệm thứ hai ......................................................................................65
3.2.2.1 Phân tích a priori ........................................................................................65
3.2.2.2 Phân tích a posteriori .................................................................................69
3.3 Kết luận thực nghiệm........................................................................................74
KẾT LUẬN ..............................................................................................................76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................78
PHỤ LỤC .................................................................................................................80


7

Phần mở đầu
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Logic toán là ngành toán học được hình thành vào nửa sau thế kỉ XIX. Logic
toán cùng với lý thuyết tập hợp đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng toán học
hiện đại. Các phép toán logic: phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo,
phép tương đương giữ một vai trò quan trọng trong sự cấu thành của logic toán. Tác
giả Hoàng Chúng đã nhận định: “Việc nắm vững các phép toán logic là rất cần thiết
để sử dụng chính xác ngôn ngữ trong toán học, để hiểu và trình bày chính xác các
định nghĩa, định lý và chứng minh toán học.” (Những yếu tố logic trong môn toán ở
trường phổ thông cấp II, trang 12).
Với tầm quan trọng ấy, “một số kí hiệu và ngôn ngữ của logic toán đã được đưa
vào chương trình toán ở trường phổ thông của nhiều nước, ngay từ các lớp dưới”
(Tài liệu đã dẫn, trang 3). Ở Việt Nam, một số phép toán logic được đưa vào giảng
dạy chính thức từ giai đoạn chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đến nay.
Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa (SGK) toán phổ thông hiện hành,
chúng tôi chỉ thấy giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương các
mệnh đề, còn phép tuyển và phép hội không được đề cập đến (không đưa ra định
nghĩa và không đưa ra ký hiệu). Tuy nhiên, cấu trúc hội, tuyển các mệnh đề lại xuất
hiện trong nhiều định lý, nhiều định nghĩa các khái niệm như: định nghĩa ba phép
toán cơ bản của lý thuyết tập hợp, định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ, định nghĩa
điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình, định nghĩa hệ phương trình,
hệ bất phương trình, định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân, phép thử ngẫu nhiên,
biến cố hợp, biến cố giao….
Trong thực tế dạy học, thỉnh thoảng chúng tôi cũng thường bắt gặp một số lỗi
sai liên quan đến việc vận dụng các phép toán logic khi giải toán. Chẳng hạn như:
- Khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1.
- Khi tìm điều kiện
x ≠ 1

x2 – 3x +2 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) ≠ 0 ⇔ 

x ≠ 2

.


8

Khi thử hỏi học sinh về việc phủ định mệnh đề “ A = 0 hoặc B = 0” thì học sinh tỏ
ra lúng túng, cho đáp án không chính xác.
- Nhiều học sinh cho rằng mệnh đề “1≤7” là sai vì 1 nhỏ hơn hẳn 7 chứ không bằng
7, điều này dẫn tới việc lúng túng khi giải một số bài toán (chẳng hạn như trong
việc kết luận tập nghiệm của phương trình, bất phương trình,…).
Những ghi nhận trên lôi cuốn chúng tôi chú ý đặc biệt đến việc dạy và học các
phép toán trên mệnh đề ở THPT và làm nảy sinh những câu hỏi ban đầu sau:
1/ Các tác giả viết sách giáo khoa xác định vai trò của các phép toán trên mệnh đề
trong dạy học toán phổ thông là gì?
2/ Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, tiến triển ra sao ở THPT?
Có thể giải thích nguyên nhân của những sai lầm nêu trên từ sự lựa chọn sư phạm
của các tác giả viết SGK trong dạy học các phép toán trên mệnh đề hay không?
3/ Kiến thức về các phép toán trên mệnh đề trình bày trong SGK có đáp ứng được
yêu cầu của việc dạy học các nội dung tiếp theo trong chương trình của giáo viên và
học sinh hay không? Việc bỏ đi phép hội, phép tuyển có gây nên khập khiễng gì
trong chương trình hay không?
4/ Sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung
có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa chọn sư phạm này ảnh hưởng như
thế nào đến đối tượng học sinh?
Tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên sẽ rất có ý nghĩa đối với với việc dạy
học các yếu tố logic cơ bản trong môn toán ở trường phổ thông, nhất là trong bối
cảnh đổi mới chương trình và SGK như hiện nay. Hy vọng rằng việc giải đáp những

câu hỏi trên sẽ giúp người giáo viên có được một cái nhìn rõ nét hơn về các yếu tố
logic trong môn toán, đặc biệt là các phép toán trên mệnh đề ở trường trung học phổ
thông. Để từ đó có sự lựa chọn sư phạm hợp lý, nhằm đạt được hiệu quả giảng dạy
tốt nhất, cung cấp đầy đủ cho học sinh những công cụ quan trọng phục vụ cho việc
học tập, nghiên cứu toán trong tương lai.
2. Giới hạn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu
Mục đích tổng quát của luận văn này là đi tìm một số yếu tố để trả lời cho các
câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình


9

trong phạm vi lý thuyết didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái
niệm công cụ của lí thuyết nhân học sư phạm (tổ chức toán học, sự chuyển đổi
didactic, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức)
và lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic). Đối tượng tri thức O mà
chúng tôi đã chọn là các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép
tuyển, phép kéo theo và phép tương đương). Thể chế I là thể chế dạy học toán ở
THPT theo chương trình Việt Nam hiện hành.
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, từ các câu hỏi đặt
ra ban đầu, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên cứu cụ thể như sau:
CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được
đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?
CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán
trên mệnh đề?
CH3. Các phép toán trên mệnh đề vận hành như thế nào trong một số nội dung
thuộc SGK Đại số lớp 10 nâng cao? Lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo
viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa
chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh?
3. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau:
- Để trả lời cho các câu hỏi CH1, CH2 chúng tôi tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài
tập, sách giáo viên đại số 10 nâng cao và một số tài liệu hướng dẫn giảng dạy liên
quan. Chúng tôi phân tích chương “Mệnh đề - Tập hợp” SGK Đại số lớp 10 nâng
cao, bởi vì đây là nơi mà các phép toán trên mệnh đề lần đầu tiên được giới thiệu
tường minh. Trong quá trình phân tích, chúng tôi sẽ dự đoán những giả thuyết,
những quy tắc hợp đồng liên quan đến đối tượng O, sau đó sẽ tiến hành thực
nghiệm để kiểm chứng hoặc bác bỏ chúng.
- Để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi CH3, chúng tôi chọn phân tích một số nội
dung thuộc SGK Đại số 10 nâng cao, đồng thời tiến hành thực nghiệm thăm dò ý
kiến giáo viên bằng cách thiết kế bộ câu hỏi điều tra để biết lựa chọn sư phạm của
giáo viên trong dạy học các nội dung này. Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng dự đoán


10

những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm của SGK và giáo viên trong dạy học các
nội dung đã phân tích đến đối tượng học sinh.
- Đối tượng học sinh được lựa chọn để thực nghiệm là học sinh lớp 10 học chương
trình nâng cao.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.
+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý
thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận
văn.
+ Chương 1: Mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề
Nội dung của chương tập trung trả lời cho câu hỏi CH1, CH2. Chúng tôi sẽ làm rõ
mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề. Dựa vào những phân tích trên
dự đoán các quy tắc hợp đồng Didactic và các giả thuyết khác liên quan đến đối
tượng O.

+ Chương 2: Sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán
Nội dung của chương tập trung trả lời cho nhóm câu hỏi CH3. Chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán
(tập trung vào phép phủ định, phép tuyển, phép hội) để thấy được vai trò công cụ
của các phép toán trên mệnh đề. Sau đó chúng tôi sẽ tập trung phân tích chi tiết về
sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học các nội dung có sự tham
gia của phép hội, phép tuyển. Cuối cùng, dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn
sư phạm của các tác giả SGK đến đối tượng học sinh.
+ Chương 3: Thực nghiệm
Tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã dự đoán và tìm các yếu tố
trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 và chương 2. Thực nghiệm sẽ được
tiến hành trên cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh. Thực nghiệm giáo viên được
tiến hành trước bằng bộ câu hỏi điều tra, thăm dò ý kiến với mục đích thấy được sự
lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề và dạy
học một số nội dung liên quan đến các phép toán trên mệnh đề. Tiếp đến là thực
nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao.


11

+ Trong phần kết luận chúng tôi sẽ tóm tắt lại những kết quả đã đạt được ở chương
1, chương 2, chương 3, nêu lên những hạn chế của luận văn và một số hướng
nghiên cứu mở ra cho luận văn.


12

Chương 1. Mối quan hệ thể chế đối với các phép toán
trên mệnh đề
Chương này nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề ở

trung học phổ thông để trả lời hai câu hỏi sau:
CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được
đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?
CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán
trên mệnh đề?
Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao
hiện hành làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do:
- Các phép toán trên mệnh đề được giới thiệu tường minh lần đầu tiên ở phân môn
đại số lớp 10.
- Sách Đại số 10 nâng cao trình bày các phép toán trên mệnh đề chi tiết hơn sách
Đại số 10. Do đó, quyển thứ nhất sẽ thể hiện rõ yêu cầu thể chế hơn quyển thứ hai.
Ngoài ra, khi cần thiết, chúng tôi sẽ tham khảo sách giáo viên, các tài liệu bồi
dưỡng giáo viên hoặc đối chiếu với sách giáo khoa các chương trình khác (chương
trình chuẩn, chương trình chỉnh lý chỉnh lý hợp nhất 2000) để làm rõ đặc thù của tri
thức cần dạy trong chương trình đang xét.

1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo
khoa
Phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương trong
các giáo trình đại học có thể được gọi chung là phép toán logic, phép liên kết logic,
phép logic hay chỉ ngắn gọn là phép toán. Chúng có thể được thực hiện trên các
mệnh đề và trên các hàm mệnh đề. Vì sách Đại số 10 nâng cao xây dựng phép phủ
định, phép kéo theo, phép tương đương chỉ trên các mệnh đề nên chúng tôi quy ước
gọi chung các phép toán này là các phép toán trên mệnh đề 1.
Sách Đại số 10 nâng cao không sử dụng thuật ngữ các phép toán trên mệnh đề nhưng có dùng thuật ngữ
logic toán trong phần mở đầu chương I.

1

13

Mở đầu chương 1-Mệnh đề và tập hợp, sách Đại số 10 nâng cao có viết:
Chương này sẽ cung cấp những kiến thức mở đầu về logic toán và tập hợp. Các khái niệm
và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng,
chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học.
Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn Toán.

Cũng như đa số các giáo trình đại học, cao đẳng, khi trình bày về logic toán,
SGK xác định chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán mà thôi.
Trong phần mở đầu chương 1- Cơ sở logic toán, giáo trình Đại số và số học, tập 2, tác giả Ngô
Thúc Lanh có viết: “Cách trình bày ở đây là sơ lược và phổ cập. Nó nhằm giới thiệu những
khái niệm cơ bản của logic toán làm nền cho sự suy luận và những kí hiệu logic thông dụng
trong các giáo trình toán học hiện đại.”

Đại số mệnh đề là bộ phận cơ bản và sơ cấp nhất của logic toán. Trong đại số mệnh
đề, nhờ các phép toán trên mệnh đề mà từ các mệnh đề đơn giản, ta có thể xây dựng
được những mệnh đề mới ngày càng phức tạp hơn, tạo thành các công thức của đại
số mệnh đề. Do đó có thể nói các mệnh đề đơn giản và các phép toán trên mệnh đề
là những nhân tố cơ bản, thiết yếu nhất cấu thành nên đại số mệnh đề. Đó là lý do
mà các phép toán trên mệnh đề xuất hiện trong các chương nói về cơ sở logic toán
thuộc các giáo trình đại học, và được lựa chọn đưa vào ngay bài 1, chương 1, sách
Đại số 10 nâng cao, chương trình toán phổ thông hiện hành.
Phần mở đầu trên còn cho thấy các tác giả SGK đánh giá cao vai trò của các
phép toán trên mệnh đề trong chương trình.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10
trung học phổ thông (Toán học nâng cao) ở trang 45 nhấn mạnh thêm rằng “chương
này nhằm cung cấp cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận và trình bày các
suy luận toán học”.
Sách giáo viên Đại số 10 ở trang 31 cũng nêu rõ mục tiêu: “Cung cấp các kiến

thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo cơ sở để học sinh
học tập tốt các chương sau. Hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận,
biểu đạt các vấn đề một cách chính xác”.
Như vậy, với yêu cầu chỉ trình bày những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic
toán, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào sách giáo khoa cùng với các khái


14

niệm và các phép toán trên tập hợp nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái
niệm toán học, góp phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình
bày suy luận, giúp học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính
xác. Tất cả nhằm tạo cơ sở cho việc dạy - học các nội dung tiếp theo trong chương
trình.
Để thực hiện mục đích đã xác định, sách Đại số 10 nâng cao xây dựng các
phép toán trên mệnh đề như thế nào? Những điều kiện và ràng buộc nào tác động
lên việc dạy học các phép toán này?

1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao
Tri thức cơ bản về logic toán và về tập hợp được SGK xác định cùng giữ chung
một vai trò, chức năng quan trọng trong chương trình. Do đó chúng được đưa vào
cùng một chương, và tri thức về logic được trình bày trước tập hợp. Điều này là hợp
lý vì nhìn từ góc độ tri thức bác học, logic và tập hợp có mối liên hệ với nhau.
Logic cùng với tập hợp làm cơ sở nền tảng cho toán học hiện đại, có sự tương ứng
một - một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập
X. Do đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể
chuyển đổi cho nhau. Chẳng hạn, liên quan đến năm phép toán trên mệnh đề: mệnh
đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp, mệnh đề tương đương
tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề hội tương ứng với kết
quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với kết quả của phép hợp

hai tập hợp.
SGK có thể hiện mối liên hệ này khi trình bày các phép toán trên mệnh đề và
tập hợp hay không? Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn về sự thể hiện mối liên hệ
này trong SGK ở tiểu mục 3.
Tuy cùng một yêu cầu chung khi trình bày về logic toán, nhưng khác với đa số
các giáo trình đại học, sách Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu phép phủ định, phép
kéo theo và phép tương đương mà không đề cập đến phép hội và phép tuyển. Lý do
được tác giả SGK giải thích: “do hạn chế của chương trình” và “hơn nữa mục đích
cũng chỉ để học sinh làm quen với các dạng mệnh đề toán học thường gặp” (SGV


15

Đại số 10, trang 32). Ngoài ra, tác giả viết SGK chương trình chỉnh lý hợp nhất năm
2000 thì cho rằng mệnh đề phủ định, kéo theo, đương đương rất hay gặp trong các
suy luận toán học nên nhất thiết phải trình bày, còn các mệnh đề thuộc dạng hội và
tuyển do hơi phức tạp (đặc biệt là phép tuyển không loại trừ) nên không đưa vào
SGK (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm
2000). Việc bỏ đi hai trong năm phép toán thiết yếu cấu thành nên đại số mệnh đề
có gây nên khập khiễng gì trong chương trình toán phổ thông hay không?
1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương
Về phép kéo theo và phép tương đương trong sách Đại số 10 nâng cao, tác giả
Đỗ Tất Thắng đã có nghiên cứu chi tiết trong luận văn Nghiên cứu Didactic về phép
kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở THPT . Do đó, chúng tôi tập
trung phân tích chi tiết về sự xuất hiện của phép phủ định, những kết quả liên quan
đến phép kéo theo và phép tương đương sẽ được sử dụng khi cần.
Ba phép toán trên được đưa vào ngay bài đầu tiên §1. Mệnh đề và mệnh đề
chứa biến, của chương I – Mệnh đề và tập hợp. Sau khi giới thiệu khái niệm mệnh
đề logic (gọi tắt là mệnh đề), SGK đưa vào khái niệm mệnh đề phủ định, tiếp đến là
mệnh đề kéo theo, và sau đó là mệnh đề tương đương ở các trang 5, 6 như sau:

∗ Định nghĩa mệnh đề phủ định: (SGK trang 5)
Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí
hiệu là 𝑃� . Mệnh đề P và mệnh đề phủ định 𝑃� là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu
P đúng thì 𝑃� sai, nếu P sai thì 𝑃� đúng.

CHÚ Ý:

Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề
P: “ √2 là số hữu tỉ”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là 𝑃� : “ √2 không phải
là số hữu tỉ” hoặc 𝑃� : “√2 là một số vô tỉ”

∗ Định nghĩa mệnh đề kéo theo: (SGK trang 5)
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí
hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn
lại.
Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P ⇒ Q là “P kéo theo Q”
hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. . .


16
Ta thường gặp các tình huống sau:
- Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề đúng.
- Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề sai.

∗ Định nghĩa mệnh đề tương đương: (SGK trang 6)
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề
tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng và sai
trong các trường hợp còn lại.
Đôi khi, người ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q là “P khi và chỉ khi Q”.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó ta nói
rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau.

Về định nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương, tác giả Đỗ Tất Thắng
đã nhận định như sau:
“Các tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không được đưa vào sách giáo khoa. Các khái
niệm phép kéo theo, phép tương đương không được định nghĩa như là các phép toán (hai ngôi) trên
tập hợp các mệnh đề, biến hai mệnh đề cho trước thành một mệnh đề thứ ba có chân trị thỏa mãn
những điều kiện nào đó. Thay vào đó, sách giáo khoa định nghĩa các khái niệm mệnh đề kéo theo,
mệnh đề tương đương mà bản chất toán học của chúng tương ứng là kết quả của phép kéo theo,
phép tương đương.
Bảng chân trị của hai loại mệnh đề này không được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa. Chẳng
hạn, trường hợp mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, sách giáo khoa chỉ ghi “Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng,
Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại”. Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị
của P ⇒ Q trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai.” (trang 27, 28)

Đối với phép phủ định, SGK cũng không nêu trực tiếp định nghĩa phép phủ
định mà giới thiệu thông qua định nghĩa mệnh đề phủ định. Tên gọi phép phủ định,
bảng chân trị cũng không hề xuất hiện trong SGK. Ngoài ra, trước khi đưa ra các
định nghĩa trên, SGK luôn cho HS tiếp cận các ví dụ về mệnh đề phủ định, mệnh đề
kéo theo, mệnh đề tương đương. Điều này là phù hợp với quan điểm biên soạn của
các tác giả “Quán triệt phương pháp trực quan, nhờ đó có thể giảm tính hàn lâm và
đơn giản hóa cách trình bày một số vấn đề phức tạp” ([13], trang 42).
Như vậy, SGK không định nghĩa khái niệm phép phủ định như là phép toán
một ngôi trên tập hợp các mệnh đề. Bù lại, SGK định nghĩa khái niệm mệnh đề phủ


17

định bằng cách đưa trực tiếp giá trị chân lý của mệnh đề phủ định vào ngay trong

định nghĩa và tránh đề cập đến thuật ngữ bảng chân trị. Sự lựa chọn này có tác
dụng đơn giản hóa trong chừng mực có thể được các nội dung cần dạy. Mặt khác,
sự vắng mặt (trong khối logos) của bảng chân trị sẽ dẫn đến sự vắng mặt (trong khối
praxis) của kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tương đương lôgic của hai mệnh đề bằng
cách lập bảng chân trị.
Sau khi định nghĩa, SGK giới thiệu khái niệm mệnh đề chứa biến của lôgic vị
từ (trong logic toán còn gọi là hàm mệnh đề hay vị từ) thông qua ví dụ về hai kiểu
câu:
(1) “n chia hết cho 3”, với n là số tự nhiên.
(2) “y > x + 3, với x, y là hai số thực”.
Sách còn nêu cách biến một mệnh đề chứa biến thành mệnh đề là “cho các biến
những giá trị cụ thể trong tập X”, giúp học sinh hiểu rõ sự khác nhau cơ bản của
mệnh đề chứa biến và mệnh đề. Sau đó, SGK tiếp tục giới thiệu hai lượng từ quan
trọng ∀ và ∃ (đọc là “với mọi” và “tồn tại”) để biến mệnh đề chứa biến thành mệnh
đề. Nhưng trường hợp tổng quát: nhiều lượng từ tác động lên mệnh đề nhiều biến
không được trình bày, chỉ có trường hợp đơn giản nhất: một lượng từ tác động lên
mệnh đề một biến mà thôi. Cụ thể, sách chỉ trình bày mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P (x)”
và “∃x ∈ X, P (x)” với tính đúng sai được nêu rõ ràng ở trang 7, 8:
“Với mọi x thuộc X, P (x) đúng” (hay “P (x) đúng với mọi x ∈ X ”)

(1)

là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x 0 bất kì thuộc X, P (x 0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề
này sai nếu có x 0 ∈ X sao cho P (x 0 ) là mệnh đề sai.
“Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng”

(2)

là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x 0 ∈ X để P (x 0 ) là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai
nếu với x 0 bất kì thuộc X , P (x 0 ) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x 0 nào thuộc X để P

(x 0 ) là mệnh đề đúng).

Từ đó làm cở sở để giới thiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu
∀, ∃ như sau:
Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)”
������”.
là “∃ x ∈ X, 𝑃(𝑥)


18
Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là
“∀x ∈ X, ������
𝑃(𝑥)”.

Từ trên ta thấy rằng khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” và
“∃x ∈ X, P (x)” đã có sự xuất hiện ngầm ẩn phép phủ định trên mệnh đề chứa biến
mặc dù các phép toán trên các mệnh đề chứa biến không được giới thiệu trong
SGK. Chúng tôi tự hỏi trong phần bài tập, kỹ thuật nào được đưa ra để lập ������
𝑃 (𝑥 ) ?

P (x) trong trường hợp này có đặc trưng gì? Chúng tôi sẽ tìm hiểu rõ trong phần
phân tích các tổ chức toán học.
Như vậy, trong phần bài học, thay vì đưa vào phép phủ định, phép kéo theo,
phép tương đương, sách Đại số 10 nâng cao nêu định nghĩa mệnh đề phủ định,
mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương thông qua việc xác định tính đúng sai của
chúng; còn khái niệm phép hội, phép tuyển cũng như mệnh đề hội, mệnh đề tuyển
hoàn toàn không xuất hiện. Bên cạnh đó, các khái niệm mệnh đề và mệnh đề chứa
biến, kí hiệu hai lượng từ ∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và
∃ cũng được đưa vào. Các nội dung được trình bày giản lược thông qua những ví dụ
cụ thể, với yêu cầu về mặt kiến thức được các tác giả xác định là:

-

Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết một câu có phải là mệnh đề hay không.

-

Nắm được khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương.

-

Biết khái niệm mệnh đề chứa biến.
( SGV Đại số 10 nâng cao, trang 36)

∗ Các tổ chức toán học liên quan đến phép phủ định
Trong phần này, chúng tôi chỉ xem xét các TCTH liên quan đến phép phủ định,
vì các TCTH liên quan đến phép kéo theo và tương đương đã được tác giả Đỗ Tất
Thắng khảo sát. Mục đích của phần này là hiểu rõ những ràng buộc của thể chế đối
với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề, tìm ra những quy tắc hợp đồng liên
quan đến các phép toán trên mệnh đề (nếu có).
Ở trang 37, SGV Đại số 10 nâng cao có nêu yêu cầu về kỹ năng đối với học
sinh khi học mệnh đề và mệnh đề chứa biến như sau:
-

Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tương đương từ
hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng-sai của các mệnh đề này.


19

-

Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc gán cho biến
một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu ∀ và ∃
vào phía trước nó.

-

Biết sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ trong các suy luận toán học.

-

Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃.
Chúng tôi sẽ xem xét những yêu cầu này được thể hiện qua những kiểu nhiệm

vụ nào liên quan đến mệnh đề phủ định, và sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn
liền với các kiểu nhiệm vụ ấy ngay sau đây.
Các ví dụ, hoạt động, bài tập luyện tập và ôn tập cuối chương liên quan đến
mệnh đề phủ định trong SGK và SBT được phân loại thành 2 kiểu nhiệm vụ lớn:
 T 1 : Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề
 T 2 : Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định
Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ chọn ra một số ví dụ, hoạt động, hoặc
bài tập để minh họa, đồng thời trích dẫn cả phần lời giải sẵn có của chúng từ SGK,
SBT, hoặc SGV để có thể xác định được các thành phần tương ứng của mỗi một tổ
chức toán học, để biết được những gì thể chế mong đợi ở học sinh.
 T 1 : Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề
Có 3 kỹ thuật được sử dụng, tùy thuộc vào mệnh đề đã cho ban đầu:
 Kỹ thuật τ 1a : (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường,
không chứa “với mọi” lẫn “tồn tại”)
Thêm từ “không phải” (hoặc từ “không”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P.
 Kỹ thuật τ 1b : (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, có

chứa “với mọi” hoặc “tồn tại”)
Thay các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả” bằng một trong các từ: “tồn tại”, “có
một”, “có”, “có ít nhất một” hoặc ngược lại, thay các từ “tồn tại”, “có một”, “có”,
“có ít nhất một” bằng một trong các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả”. Sau đó, thêm từ
“không” (hoặc từ “không phải”) trước vị ngữ của câu giống như kĩ thuật τ 1a .
 Kỹ thuật τ 1c : (Mệnh đề cho trước có chứa ký hiệu ∀, ∃ và chứa biến)


20

Thay kí hiệu ∀ bằng kí hiệu ∃ (hoặc ngược lại, thay kí hiệu ∃ bằng kí hiệu ∀),
rồi phủ định mệnh đề chứa biến P(x) theo kỹ thuật τ 1a để được mệnh đề phủ định
������”, mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là
của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, 𝑃(𝑥)
������.
“∀x ∈ X, 𝑃(𝑥)

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, ta có thể thay thế một số từ bằng những từ

mang nghĩa tương đương với chúng, để được cách phát biểu khác, nhưng ý nghĩa
vẫn không thay đổi.
 Ví dụ minh họa cho T 1 :
Bài tập 13, SGK, trang 13:
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
a) Tứ giác ABCD đã cho là hình chữ nhật.
b) 9801 là số chính phương.
Lời giải: (trích từ SGV, trang 49)
a) Tứ giác ABCD đã cho không phải là hình chữ nhật.
b) 9801 không phải là số chính phương.
Bài tập 2, SGK, trang 9:

Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau […]
a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm.
b) 2 10 – 1 chia hết cho 11.
c) Có vô số số nguyên tố.
Lời giải: (trích từ SGV, trang 40)
a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 vô nghiệm.
b) 2 10 – 1 không chia hết cho 11.
c) Có hữu hạn số nguyên tố.
Ví dụ 10, SGK, trang 8:
𝑛

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, 22 + 1 là số
𝑛

nguyên tố” là “Tồn tại số tự nhiên n để 22 + 1 không là số nguyên tố”

H7, SGK, trang 8:


21

Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tất cả các bạn trong lớp em đều có
máy tính”.
Lời giải: (SGV trang 39)
Mệnh đề phủ định là: “Có một bạn trong lớp em không có máy tính”.
Bài tập 5, SGK, trang 9
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
a) “∀n ∈ N*, n 2 – 1 là bội của 3”;
b) “∀ x ∈ R, x 2 – x + 1 > 0”;
c) “∃x ∈ Q, x2 = 3”;

d) “∃ n ∈ N, 2n +1 là số nguyên tố”;
e) “∀ n ∈ N, n2 ≥ n + 2”.
Lời giải: (trích từ SGV, trang 40)
f) Mệnh đề phủ định là “∃n ∈ N*, n 2 – 1 không là bội của 3”;
g) Mệnh đề phủ định là “∃ x ∈ R, x 2 – x + 1 ≤ 0”;
h) Mệnh đề phủ định là “∀x ∈ Q, x2 ≠ 3”;
i) Mệnh đề phủ định là “∀ n ∈ N, 2n +1 không là số nguyên tố”;
j) Mệnh đề phủ định là “∃ n ∈ N, n2 < n + 2”.
 Công nghệ θ 1 : Định nghĩa mệnh đề phủ định của SGK, mệnh đề phủ định của
mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK.
 Lý thuyết: Logic học hình thức.
 Nhận xét:
- Có tất cả 41 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T 1 , nhằm giúp học sinh thành thạo kỹ năng
lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước.
- Trong những câu trên, mệnh đề cho trước có những đặc trưng sau:
 Các mệnh đề hầu hết là những mệnh đề dạng hình học, hoặc số học, hoặc
những vấn đề thực tế trong cuộc sống, để giúp học sinh dễ hiểu, dễ nắm được
khái niệm mệnh đề phủ định. Ngoài ra, còn giúp học sinh thấy rằng phép phủ
định trong toán học phù hợp với phép phủ định thông thường trong cuộc sống.


22

 Tất cả các mệnh đề đều là mệnh đề đơn, nghĩa là chỉ yêu cầu lập mệnh đề phủ
định của những mệnh đề đơn giản, không yêu cầu lập mệnh đề phủ định của
mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, cũng như những mệnh đề có cấu
trúc tuyển, hội. Có thể giải thích lý do là vì tri thức về phép hội và phép tuyển
không được giới thiệu trong phần bài học, nên mệnh đề phủ định của mệnh đề
hội, tuyển cũng không được tính đến trong phần bài tập. Ngoài ra, mệnh đề
phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương cũng là những mệnh đề

có cấu trúc tuyển, hội nên cũng không xuất hiện.
 Trong những trường hợp xuất hiện mệnh đề chứa biến P(x), P(x) cũng chỉ là
những mệnh đề chứa biến dạng đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo
theo, hay tương đương.
 Các mệnh đề cho trước có thể là mệnh đề đúng, hoặc là mệnh đề sai.
- Thống kê thấy kỹ thuật τ 1c được sử dụng 20 lần trong trường hợp mệnh đề ban đầu
được cho bằng kí hiệu logic, kỹ thuật τ 1b được sử dụng 7 lần trong trường hợp mệnh
đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường. Chúng tôi còn tìm thấy
trong sách bài tập có xuất hiện bài tập như sau:
1.16. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x thích môn Ngữ văn”, trong đó x lấy giá trị trên tập hợp
X các học sinh của trường em.
a) Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề: “Mọi học sinh của trường em đều thích môn
Ngữ văn”
b) Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề trên bằng kí hiệu logic rồi diễn đạt mệnh đề phủ
định đó bằng câu thông thường.

Như vậy là nếu đề bài không yêu cầu cụ thể, kỹ thuật τ 1b được sử dụng khi
mệnh đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, và kỹ thuật τ 1c được
sử dụng khi mệnh đề ban đầu cho bằng kí hiệu logic. Những ghi nhận trên cho phép
chúng tôi rút ra sự ràng buộc của thể chế đối với việc lựa chọn hình thức biểu đạt
mệnh đề phủ định trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1 , được thể hiện qua hợp
đồng thể chế như sau:
R1: Nếu mệnh đề cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì
mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề


23

cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu
logic.

Những phân tích trên còn cho thấy rằng: mặc dù phép phủ định trên mệnh đề
chứa biến P(x) không được giới thiệu tường minh trong phần bài học, nhưng nó đã
tham gia vào kỹ thuật τ1b , τ 1c để giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1 . Với những đặc
������ , SGK mong muốn
trưng của P(x) như vừa nêu trên, để lập mệnh đề chứa biến 𝑃(𝑥)

học sinh sử dụng kỹ thuật τ 1a (thêm “không phải” hoặc “không” vào trước vị ngữ)
như khi lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề. Câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở
phần phân tích bài học liên quan đến mệnh đề chứa biến được giải quyết.
Không những trong phần bài học, mà cả trong phần bài tập, sách Đại số 10
nâng cao chỉ cung cấp lớp bài toán lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đơn, và của
mệnh đề chứa lượng từ ∀, ∃ có dạng “∀x ∈ X, P (x)” và “∃ x ∈ X, P (x)”, không
có bài nào yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề
kéo theo, hay mệnh đề tương đương. Mệnh đề chứa biến P(x) xuất hiện trong những
câu trên cũng chỉ là những câu đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo hay
tương đương. Với kỹ thuật là thêm “không phải” (hoặc “không”) vào trước vị ngữ
để được mệnh đề chứa biến ������
𝑃(𝑥) mang ý nghĩa trái ngược với mệnh đề chứa biến

ban đầu. Quy tắc lập mệnh đề phủ định của mênh đề dạng tuyển, hội theo luật De
Morgan không được đề cập đến cả trong phần bài học và phần bài tập.
Sự ràng buộc này của thể chế hướng chúng tôi nghĩ đến giả thuyết về sự tồn tại
ở học sinh quy tắc hành động R2 như sau: luôn và chỉ thêm “không” hoặc
“không phải” vào trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định. Phạm vi hợp thức của
quy tắc hành động này là những mệnh đề đơn. Trong tình huống cần phải lập mệnh
đề phủ định của những mệnh đề có dạng mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo
theo, mệnh đề tương đương, việc học sinh ứng xử theo quy tắc hành động này sẽ
dẫn đến những câu trả lời sai. Ngoài ra, việc ứng xử theo quy tắc hành động này còn
có thể dẫn đến quan niệm sai lầm của học sinh về tính đúng sai của mệnh đề “P và
Q” rất thường gặp trong toán học. Học sinh sẽ cho rằng mệnh đề “P và Q” sai khi

và chỉ khi P sai và Q sai.


24

Chúng tôi tự hỏi rằng trong thực tế dạy học, khi ra đề toán thuộc kiểu nhiệm vụ
lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, giáo viên có tuân theo những ràng
buộc của thể chế hay không? Nghĩa là họ có cho những mệnh đề phức hợp dạng
tuyển, hội, kéo theo, tương đương hay chỉ cho những mệnh đề đơn?
Để trả lời cho câu hỏi này chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm ở chương 3.
 T 2 : Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định
 Ví dụ minh họa:
Hoạt động H1 a,b, SGK, trang 5:
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ
định đó đúng hay sai.
a) Pa-ri là thủ đô của nước Anh.
b) 2002 chia hết cho 4.
Lời giải: (trích từ SGV, trang 38)
a) “Pa-ri không là thủ đô của nước Anh”. Mệnh đề phủ định đó đúng.
b) “2002 không chia hết cho 4”. Mệnh đề phủ định đó đúng.
Bài 1.43, SBT trang 13
Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2+ n + 1 là số nguyên tố”
Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?
Lời giải: (trích từ SBT trang 23)
Mệnh đề phủ định là: “∃ n ∈ N, n2+ n+ 1 không là số nguyên tố”.
Mệnh đề phủ định đó đúng. Ví dụ với n=4 thì n2 + n + 1 =21 chia hết cho 3
nên là hợp số.
 Kỹ thuật τ 2a : “gián tiếp”
-

Xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu:
Trường hợp mệnh đề là câu thông thường, không chứa lượng từ “với mọi” lẫn
“tồn tại”: nếu mệnh đề là câu khẳng định đúng (sai) thì kết luận mệnh đề đúng
(sai).
Trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi” hoặc “tồn tại”: Nếu với x 0 bất
kì thuộc X, P(x 0 ) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” đúng. Nếu có x 0 ∈
X sao cho P(x 0 ) là mệnh đề sai thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” sai. Nếu có x 0 ∈ X


25

sao cho P(x 0 ) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” đúng. Nếu với x 0 bất
kì thuộc X , P(x 0 ) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x 0 nào thuộc X để
P(x 0 ) là mệnh đề đúng) thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” sai.
-

Dựa vào tính đúng sai của mệnh đề P để kết luận tính đúng sai của mệnh đề 𝑃� :

nếu P đúng thì 𝑃� sai, nếu P sai thì 𝑃� đúng.

 Kỹ thuật τ 2b : “trực tiếp”
-

Lập mệnh đề phủ định 𝑃� theo kỹ thuật τ 1a , hoặc τ 1b hoặc τ 1c .

Xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định với hai trường hợp như đã nêu
trong kỹ thuật τ 2a .

 Công nghệ: định nghĩa mệnh đề logic, mệnh đề phủ định, mệnh đề chứa kí hiệu
∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK.

 Lý thuyết: Logic học hình thức.
 Nhận xét:
- Kiểu nhiệm vụ này luôn đi kèm với kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của
mệnh đề cho trước.
- Mệnh đề P và mệnh đề chứa biến P(x) trong những câu thuộc kiểu nhiệm vụ này
cũng có những đặc trưng như ở kiểu nhiệm vụ T 1 : mệnh đề đại số, hình học, những
vấn đề thực tế, mệnh đề đơn, không có mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo
theo, hay tương đương.
- Các mệnh đề cho trước có thể có chân trị đúng hoặc sai.
- Trong tất cả 9 câu thuộc kiểu nhiệm vụ này, chỉ có 1 câu duy nhất xuất hiện trong
sách bài tập thuộc trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, và kỹ
thuật được sử dụng là τ 2b (xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định). Có thể
lý giải nguyên nhân như sau: vì mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃
cũng là những mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ nên việc xét tính đúng sai của những
mệnh đề phủ định này cũng dựa theo kỹ thuật xét tính đúng sai của mệnh đề có
chứa kí hiệu ∀, ∃. Kỹ năng này đã được SGK tính đến trong kiểu nhiệm vụ xét tính
đúng sai của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃. Có đến 16 câu yêu cầu xét tính đúng sai
của mệnh đề có chứa ∀, ∃. Ngay sau đây là trích dẫn bài tập minh họa cụ thể:
1.15. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó: