nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________

NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG
CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________

NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG
CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN.
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến
Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình giảng dạy,
hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Lê
Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận
tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh, các anh chị chuyên viên phòng sau đại học đã tạo
thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Cảm ơn tất cả các bạn trong khóa Didactic 21 đã giúp đỡ,
chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, con vô cùng biết ơn bố mẹ và những người thân
trong gia đình đã luôn bên cạnh động viên và chia sẽ trong suốt
quá trình con học tập và làm luận văn.


1

Mục lục
Mục lục ........................................................................................................................... 1
Mở đầu ........................................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 3
2. Phương pháp luận nghiên cứu ................................................................................ 4

3. Cấu trúc luận văn .................................................................................................... 5
Chương 1. Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa ................................. 7
1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa ..................... 8
2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos............................................................. 9
3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis ......................................................... 13
4. Kết luận. ................................................................................................................ 26
Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy ................. 28
1. Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy ......................... 28
1.1. Liên quan đến công nghệ - lý thuyết .............................................................. 28
1.2. Liên quan tới kỹ thuật ..................................................................................... 30
1.3. Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ. .............................. 34
1.4. Kết luận. .......................................................................................................... 35
2. Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ. ............................... 36
2.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................... 36
2.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 36
2.1.1.1. Thực nghiệm dành cho giáo viên ...................................................... 36
2.1.1.2. Thực nghiệm dành cho học sinh ....................................................... 36
2.1.2. Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................. 36
2.1.2.1. Phiếu xin ý kiến giáo viên ................................................................. 36
2.1.2.2. Phiếu điều tra học sinh ...................................................................... 36
2.2. Phiếu xin ý kiến giáo viên ở trường phổ thông .............................................. 37
2.2.1. Phân tích tiên nghiệm............................................................................... 37
2.2.2. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 39
2.2.2.1. Chấm điểm lời giải của học sinh ....................................................... 39
2.2.2.2. Nhận xét của giáo viên về lời giải ..................................................... 40
 Lý do giáo viên chọn lời giải 2 .............................................................. 41
2.2.3. Kết luận .................................................................................................... 42
2.3. Phiếu điều tra học sinh .................................................................................... 43
2.3.1. Phân tích tiên nghiệm............................................................................... 43
2.3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm ......................................................................... 43

2.3.1.2. Kiến thức liên quan ........................................................................... 43
2.3.1.3. Phân tích tiên nghiệm câu 1 .............................................................. 43
Biến dạy học ............................................................................................... 43
Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 1 .................................. 43
2.3.1.4. Phân tích tiên nghiệm câu 2 .............................................................. 44
Biến dạy học ............................................................................................... 44
Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 2 .................................. 44
2.3.2. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 46
2.3.2.1. Phân tích hậu nghiệm câu 1 ............................................................... 46
Kết quả của học sinh. .................................................................................. 46


2

Phân tích kết quả thu được ......................................................................... 46
2.3.2.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 2 ....................................................... 47
Kết quả của học sinh ................................................................................... 47
Phân tích kết quả thu được ......................................................................... 48
2.3.3. Kết luận .................................................................................................... 48
3. Kết luận .............................................................................................................. 49
Kết luận ........................................................................................................................ 50
Tài liệu tham khảo ...................................................................................................... 52
Phụ lục .......................................................................................................................... 54
1. Lời giải bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 ..................................... 54
2. Các bài tập có thể dùng phương pháp vectơ nhưng tác giả không sử dụng ......... 54
3. Các kiểu nhiệm vụ trong nhóm 2 ........................................................................... 55
4. Phiếu xin ý kiến giáo viên ...................................................................................... 61
5. Phiếu thực nghiệm học sinh .................................................................................. 64
6. Kết quả của phiếu thực nghiệm học sinh. ............................................................. 65
7. Kết quả của câu 4 trong phiếu xin ý kiến giáo viên. ............................................. 66

3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Sách Hình học 11 nâng cao có bài tập sau:
Bài tập 5, trang 91
Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao









cho OM = x. OA + y. OB + z. OC với mọi điểm O.









b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM = x. OA + y. OB + z. OC , trong đó

x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Bài tập trên là một điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng
ngôn ngữ vectơ. Nó cho thấy ngoài quan hệ vuông góc trong không gian, vectơ còn có
thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác. Trong chương trình hiện hành, vectơ
được giảng dạy ở lớp 10 (vectơ trong mặt phẳng) và lớp 11 (vectơ trong không gian).
Đặc biệt ở lớp 11, vai trò công cụ của vectơ được nhấn mạnh:
“Thông qua một số ví dụ và bài toán, giáo viên cần giúp học sinh thấy được vectơ và các
phép toán vectơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian”.
(Sách giáo viên hình học 11, trang 83).

Đó là ý định của tác giả sách giáo khoa. Ý định này được thể hiện như thế nào trong
phần bài học và phần bài tập của sách giáo khoa? Trong thực tế dạy học, giáo viên và
học sinh thực hiện ý định đó như thế nào?
Ở Việt Nam những năm gần đây, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập đến việc
dạy và học khái niệm vectơ dưới những góc độ khác nhau: nghiên cứu didactic và
khoa học luận việc dạy học vectơ ở Việt Nam và Pháp của Lê Thị Hoài Châu 1 (1997),
nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong dạy học một số khái niệm hình học của
nhiều học viên cao học 2 từ 2002 đến 2011. Điều này vừa chứng tỏ tầm quan trọng của
khái niệm vectơ trong chương trình toán trung học phổ thông, vừa mở ra hướng nghiên
cứu tác động của vectơ (với tư cách là đối tượng hoặc công cụ) đến việc xây dựng một
số khái niệm toán học khác.
1

Lê Thị Hoài Châu (1997), Étude didactique et épistémologique sur l’enseignement des vecteurs dans deux
institution: la classe de dixième au Vietnam et la classe de seconde en Françe, luận án tiến sĩ, đại học Joseph
Fourier, Grenoble I, Cộng hòa Pháp.
2
Sớm nhất là các luận văn của Võ Hoàng và Hoàng Hữu Vinh (khóa 11) và gần đây nhất là luận văn của Đỗ Thị
Hoàng Linh (khóa 19).

4

Những vấn đề trên dẫn chúng tôi đến đề tài: “Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ
trong hình học không gian lớp 11”.
2. Phương pháp luận nghiên cứu
Ý định nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong sách giáo viên, sách giáo khoa và
thực tế dạy học buộc chúng tôi phải quay lại các khái niệm tổ chức toán học và chuyển
hóa sư phạm trong lý thuyết nhân học sư phạm của Chevallard (1985, 1989, 1992,
1998).
Theo lý thuyết nhân học sư phạm, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm
hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ
T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những gì cho
phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật τ. Đến lượt mình, công nghệ θ được
giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ. Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi là một
praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý
lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie, khối [T/ τ] thuộc về thực hành và khối
[θ/ Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên
quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
Khi nghiên cứu về chuyển hóa sư phạm, Ravel (2003) đặc biệt quan tâm đến tri
thức soạn giảng: “Chúng tôi quan niệm tri thức soạn giảng của một giáo viên là tri
thức do giáo viên này soạn ra từ những lựa chọn toán học và sư phạm của mình nhằm
mục đích giảng dạy. Tri thức soạn giảng này nằm ở giao diện của hai “thế giới”: nó
vừa đặc trưng cho hoạt động của giáo viên trước khi thực hiện tiết dạy, vừa là động lực
của hoạt động dạy học trong tiết dạy” (Tài liệu đã dẫn, trang 107). Như thế, chúng ta
có sơ đồ chi tiết dưới đây:
Tri thức bác học

Chuyển hóa sư phạm nội tại

Tri thức cần dạy
Tri thức soạn
giảng
Tri thức thực dạy
Đứng trên quan điểm tổ chức toán học và chuyển hóa sư phạm, chúng tôi phát biểu
lại câu hỏi ban đầu thành câu hỏi nghiên cứu như sau:


5

Q1. Khi soạn sách giáo khoa lớp 11, các tác giả dự định hình thành những vai trò
công cụ nào của vectơ trong hình học không gian?
Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa lớp 11 thể hiện dự định đó như thế nào? Với các
yếu tố công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu
nhiệm vụ nào của hình học không gian?
Q3. Trong thực tế dạy học hình học không gian lớp 11, những vai trò công cụ nào
của vectơ thường được giáo viên và học sinh huy động; những vai trò công cụ nào có
thể huy động nhưng lại không được huy động?
Khác với các luận văn trước chỉ khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong việc giải
quyết một số kiểu nhiệm vụ xác định, chúng tôi cho rằng vai trò công cụ của vectơ cần
được xét trong một phạm vi rộng hơn: vectơ có thể được huy động để giải bài tập hoặc
để chứng minh một số tính chất 3 toán học. Nói theo ngôn ngữ tổ chức toán học, vai trò
công cụ của vectơ được thể hiện không chỉ trong khối praxis [T, τ] mà còn trong khối
logos [θ, Θ].
Xuất phát từ nhận xét của hội đồng chấm luận văn các khóa trước về việc phát biểu
không chặt chẽ giả thuyết nghiên cứu (dẫn đến việc tầm thường hóa giả thuyết nghiên
cứu), chúng tôi mạnh dạn không phát biểu giả thuyết nghiên cứu trong luận văn này.
Bù lại, chúng tôi cố gắng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu, đi tìm những yếu tố trả lời
các câu hỏi đó và đặt ra nhiều câu hỏi khác trong quá trình phân tích.

Luận văn không đưa vào chỉ một thực nghiệm duy nhất. Trong suốt quá trình
nghiên cứu, nhiều câu hỏi được đưa ra và chúng tôi sẽ tiến hành các thực nghiệm
tương ứng hoặc các phân tích cần thiết để có thể trả lời các câu hỏi đã đặt. Để đi theo
hướng nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào Castella và Jullien (1991): “Một biến quan
trọng của mọi thực nghiệm là độ tốn kém [hay giá thành] của nó. Không hề vô ích khi
nhắc lại rằng giá thành cao tự nó không bảo đảm cho chất lượng [của thực nghiệm],
nghĩa là một thực nghiệm giá thành rất thấp có thể hoàn toàn đầy tính thuyết phục”
(Tài liệu đã dẫn, trang 176).
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương, đặt giữa phần mở đầu và phần kết luận:
Chúng tôi dùng từ tính chất để chỉ chung các mệnh đề toán học đúng. Trong sách giáo khoa, các mệnh đề này
có thể được trình bày dưới dạng chú ý, tính chất, định lý…, thậm chí đôi khi không có tên loại cụ thể.

3


6

Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc
luận văn
Chương 1. Công cụ vectơ trong tri thức cần dạy
Nội dung chính của chương này là:
- Phân tích sách giáo viên để xác định vai trò công cụ của vectơ trong dự định của
tác giả sách giáo khoa.
- Phân tích sách giáo khoa và sách bài tập để xác định vai trò công cụ có thể có và
vai trò công cụ được ưu tiên của vectơ trong khối logos lẫn khối praxis.
- Rút ra độ lệch giữa ý định của tác giả trong sách giáo viên với tri thức cần dạy
trong sách giáo khoa, đặc biệt là giữa vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được
ưu tiên trong sách giáo khoa.
Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy

Kết quả của chương 1 giúp dự đoán những điều kiện và ràng buộc để giáo viên và
học sinh lớp 11 huy động công cụ vectơ trong giải toán hình học không gian. Chương
này khảo sát ý kiến giáo viên và học sinh để làm rõ vai trò công cụ của vectơ trong tri
thức soạn giảng và tri thức thực dạy.
Phần kết luận tóm tắt kết quả chính của luận văn và nêu hướng nghiên cứu mới.


7

Chương 1.
Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa
Trong chương trình toán trung học phổ thông, vectơ 4 được đưa vào với tư cách là
đối tượng lẫn công cụ. Là một đối tượng, khái niệm vectơ được định nghĩa và hình
thành những tính chất mà chương trình quy định. Là một công cụ, vectơ được sử dụng
để chứng minh một số tính chất khác hoặc để giải bài tập. Khi tham gia vào việc xây
dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất toán học, vectơ có mặt trong khối
logos [θ, Θ] và trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu tố công nghệ - lý thuyết). Khi
được huy động để giải bài tập, vectơ có mặt trong khối praxis [T, τ] và trở thành kỹ
thuật (hoặc một phần của kỹ thuật).
Chúng tôi sẽ chú ý đặc biệt đến những bài tập mà kết quả được sách giáo khoa
khuyến khích sử dụng để giải một số bài tập khác. Khi đó, dù được trình bày trong
khối praxis, những bài tập này có vai trò kép: chúng vừa là một thành phần tường
minh của khối praxis do cách trình bày của sách giáo khoa, vừa là một thành phần của
khối logos do vai trò công nghệ - lý thuyết của nó trong ứng dụng giải bài tập.
Do đó, chúng tôi sẽ không phân tích vai trò công cụ của vectơ theo thứ tự “truyền
thống” (phần bài học, phần bài tập) như một số luận văn trước đây đã làm vì cách phân
loại này gặp trở ngại ít nhiều với những bài tập mang vai trò kép. Đổi lại, chúng tôi sẽ
tiếp cận vai trò công cụ của vectơ theo hai hướng: vai trò công nghệ - lý thuyết, vai trò
kỹ thuật.
Chương này nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ theo cách tiếp cận trên để trả lời

các câu hỏi dưới đây:
Q1. Khi soạn sách giáo khoa, các tác giả dự định hình thành những vai trò công cụ
nào của vectơ?
Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa thể hiện dự định đó như thế nào? Với các yếu tố
công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ
nào?

Thuật ngữ vectơ ở đây được hiểu là vectơ hình học chứ không phải vectơ tổng quát trong không gian vectơ trên
trường K. Nói theo ngôn ngữ không gian vectơ, vectơ được đề cập trong chương này là các phần tử của không
gian các vectơ thông thường trên trường R với phép cộng các vectơ thông thường và phép nhân một số thực với
một vectơ.
4


8

Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi chọn sách giáo viên và sách Hình học 11 nâng
cao do Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do: vectơ
trong không gian xuất hiện ở chương trình hình học lớp 11; hệ thống bài tập trong sách
Hình học 11 nâng cao phong phú hơn trong sách Hình học 11 cơ bản.
Trong trường hợp cần thiết, chúng tôi sẽ đối chiếu với sách Hình học 11 cơ bản,
tham khảo thêm sách Bài tập Hình học 11 nâng cao, đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi
tuyển vào đại học, cao đẳng để làm rõ những điều kiện và ràng buộc của công cụ vectơ
trong chương trình hình học lớp 11.

1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa
Trong phân môn hình học 11, vectơ không được trình bày thành một chủ đề riêng
mà được gắn vào chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
2. Ta chỉ dùng vectơ để giới thiệu quan hệ vuông góc mà không xét vectơ thành một chủ đề riêng.
3. Sau khi xây dựng quan hệ vuông góc nhờ vectơ, ta tiếp tục trình bày một số vấn đề Hình học

theo phương pháp truyền thống. (Sách giáo viên, trang 79)

Như vậy, vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác
định rõ ràng: vectơ được đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc
trong không gian. Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các
công cụ khác:
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số
nội dung hình học được gọn gàng hơn. Mặt khác, các kiến thức về vectơ trong không gian còn
dùng để xây dựng khái niệm tọa độ trong chương trình Hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để
giải nhiều bài toán Hình học. (Tài liệu đã dẫn, trang 79)

Vectơ sẽ tham gia xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian ở mức độ nào, chỉ
hiện diện trong khối logos hay tiếp tục can thiệp vào khối praxis? Sách giáo viên ghi
rõ:
Học xong chương này, học sinh phải đạt được các yêu cầu:
1. Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc và giải một số bài toán hình
học không gian. [...] (Tài liệu đã dẫn, trang 79)

Như vậy, các tác giả sách Hình học 11 nâng cao đưa vectơ vào chương III nhằm
phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc và cung cấp cho học sinh một công cụ
giải toán hình học không gian. Ưu thế của công cụ vectơ là giúp diễn đạt một số nội
dung hình học lớp 11 gọn gàng hơn và còn được kế thừa để xây dựng khái niệm tọa độ
ở hình học lớp 12.


9

Công cụ vectơ tham gia chứng minh những tính chất hình học nào, can thiệp vào
những kiểu nhiệm vụ nào? Nó có ưu thế gì so với những công cụ khác? Để trả lời các
câu hỏi này, chúng tôi sẽ phân tích sách Hình học 11 nâng cao để làm rõ vai trò công

cụ của vectơ về mặt công nghệ - lý thuyết lẫn kỹ thuật.

2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos
Sách Hình học 11 nâng cao được chia thành ba chương:
- Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
- Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
- Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Cấu trúc này thể hiện đúng ý định mà các tác giả đã đề cập trong sách giáo viên:
- Vectơ trong không gian không được trình bày thành một chương riêng như đã làm
đối với vectơ trong mặt phẳng ở sách Hình học 10 nâng cao 5.
- Ngược lại, vectơ trong không gian được đưa vào cùng một chương với quan hệ
vuông góc trong không gian nhưng được trình bày ở đầu chương nhằm phục vụ cho
việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.
Vì vậy, chúng tôi sẽ tập trung phân tích chương III của sách Hình học 11 nâng cao.
Như đã trình bày ở đầu chương, chúng tôi phân biệt hai hình thức thể hiện của công
cụ vectơ với tư cách là yếu tố công nghệ - lý thuyết:
- vectơ tham gia vào việc xây dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất
được trình bày trong phần bài học;
- vectơ biện minh cho một kỹ thuật được huy động để giải một bài tập 6.
Đối với hình thức thể hiện thứ nhất, trong toàn chương III, vectơ chỉ tham gia duy
nhất vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Đây là một định lý cơ bản của quan hệ vuông góc nói chung và là định lý
thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối
với hình thức thể hiện thứ hai, chúng tôi tìm thấy bài tập 5, trang 91, sách Hình học 11
nâng cao. Dưới đây, chúng tôi sẽ lần lượt phân tích cả hai hình thức thể hiện này.

Chủ đề vectơ chiếm hai trong tổng số ba chương của sách Hình học 10 nâng cao: Vectơ; Tích vô hướng của hai
vectơ và ứng dụng; Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
6
Về mặt bàn chất, một bài tập cũng là một tính chất toán học nhưng mức độ sử dụng không thường xuyên như

các tính chất được trình bày trong phần bài học.
5


10

Định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông
góc với mặt phẳng (P). (Sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)
Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96)
a
P

  

 

Giả sử a, b, d lần lượt có các vectơ chỉ phương m , n , u . Do đó m , n

d

không cùng phương. Gọi c là đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng

b

  



 

(P) và có vectơ chỉ phương p . Vì m , n , p đồng phẳng và n , m







không cùng phương nên ta có hai hệ số x, y sao cho p = x. m + y. n . Do a và b cùng vuông góc

 

 

 







 

 

với d nên m . u = 0 và n . u = 0. Khi đó: u . p = u .(x. m + y. n ) = x. u . m + y. u . n = 0.
Vậy, đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kì nằm trong mặt phẳng (P), nghĩa là đường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu một cách chứng minh khác không dùng vectơ:
Chứng minh (theo sách Hình học 11 chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, trang 59-60).
Giả sử đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P) và gọi O

d’
c
a
b
P

c’. M

=

O

=
N.

d

B

là giao điểm của a và b.
*Nếu c // a hoặc c // b thì do d⊥a và d⊥b nên d⊥c.
*Nếu c không song song với a và b thì từ O kẻ d’ //

A
C

d và c’ // c. Ta cần chứng minh d’ ⊥ c’.
Trên c’ lấy điểm C khác O và kẻ qua C một đường
thẳng cắt a và b lần lượt tại A và B khác O. Trên d’,

về hai phía của O ta lấy hai đoạn OM = ON. Khi đó a và b là đường trung trực của đoạn thẳng MN

 =
nên AM = AN và BM = BN. Suy ra ∆MAB = ∆NAB (ba cạnh tương ứng bằng nhau) do đó MBC
 . Ta có ∆MBC = ∆NBC (có một góc và hai cạnh kề tương ứng bằng nhau). Suy ra CM = CN.
NBC
Khi đó ∆CMN cân tại C có trung tuyến CO cũng là đường cao.
Vậy d’ ⊥ c’ suy ra đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kỳ thuộc mặt phẳng (P), nghĩa
là d vuông góc với mặt phẳng (P).

Trong hai cách chứng minh trên, cách chứng minh thứ nhất ngắn gọn hơn, không
đòi hỏi phải vẽ thêm nhiều đường phụ và gần như không phụ thuộc vào hình vẽ. Điều
này cho thấy một ưu điểm của công cụ vectơ trong khối logos.
Như đã nói ở trên, định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
là mệnh đề duy nhất trong chương III được chứng minh bằng công cụ vectơ. Chứng
minh này không những ngắn gọn hơn chứng minh không huy động vectơ mà còn phù
hợp với tinh thần chương trình đã được xác định trong sách giáo viên: kiến thức về
vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.


11

Trong chương III, tồn tại hay không những tính chất toán học khác mà việc huy
động công cụ vectơ sẽ cung cấp một chứng minh tốt hơn hoặc ít nhất cũng có giá trị
như chứng minh không dùng vectơ? Việc phân tích sách giáo khoa cho chúng tôi câu

trả lời khẳng định. Thật vậy, hai tính chất dưới đây có thể chứng minh bằng vectơ
nhưng sách Hình học 11 nâng cao chỉ phát biểu (trang 97) mà không chứng minh:
Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
đường thẳng a cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)
Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
mặt phẳng (P) cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)

Dưới đây, chúng tôi nêu ra hai cách chứng minh cho mỗi tính chất trên: cách thứ
nhất dựa vào chứng minh của sách Hình học 11 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm
2000 và không dùng vectơ, cách thứ hai do chúng tôi đề nghị và có huy động vectơ.
Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích khẳng định sự tồn tại của lời giải dùng
vectơ và cung cấp một phân tích đối chiếu giữa “sự sống” của công cụ vectơ trong
khối logos với ý định của tác giả sách giáo khoa.
Chứng minh tính chất 1. Cách 1 (không dùng vectơ)
Dựng a’ đi qua O và a’ // a. Dựng hai mặt phẳng (R) và (Q)
a’

R

Q

a

phân biệt cùng đi qua O. Gọi b, c là hai đường thẳng lần lượt
nằm trên hai mặt phẳng (R) và (Q) cùng vuông góc với a’. Khi
đó, a cùng vuông góc với b, c nên a’ ⊥ mp(b, c). Vậy mp(b, c)

c
P

b
O

chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a.
Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với

a thì nó phải cắt mp(R) theo một giao tuyến đi qua O và vuông góc với a’, tức là giao tuyến b;
tương tự (P) cũng cắt (Q) theo giao tuyến c. Vậy mp(P) ≡ mp(b, c). Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 1. Cách 2 (dùng vectơ)

 

Qua O, dựng hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là OH , HB không cùng phương (H ∈ a).
Khi đó a ⊥ (OHB). Vậy mp(OHB) chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a.





Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với a tại K. Khi đó OH ⊥ HK và

 

 

 

 

 



OK ⊥ HK . Do đó OH . HK = 0 và OK . HK = 0. Suy ra HK 2 = HK . HK = HK ( OK - OH ) = 0













⇒ H ≡ K. Lấy C, D ∈ (P) và A ∈ (OHB). Giả sử DA = α DB + β DO + γ DH = α DB + δ DC (do

  

D, C, H, O đồng phẳng). Suy ra: DA , DB , DC đồng phẳng nên D, A, B, C cùng thuộc một mặt
phẳng. Vậy mp(P) ≡ mp(OAB). Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 2. Cách 1 (không dùng vectơ)


12

Lấy đường thẳng a nằm trong mp(P), theo tính chất 1 có mp(Q) đi

.O

qua O và (Q) ⊥ a. Trong mặt phẳng (Q), ta kẻ đường thẳng ∆ đi qua

Q

điểm O và vuông góc với giao tuyến b của (P) và (Q). Vì a ⊥ (Q) và

∆
a

P

∆ ⊂ (Q), nên a ⊥ ∆. Như vậy, ∆ ⊥ (P). Vậy có đường thẳng đi qua

b

một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

Nếu qua O còn có đường thẳng ∆’ khác với ∆ và vuông góc với (P) thì mp(∆, ∆’) cắt mp(P) theo
giao tuyến c cùng vuông góc với ∆ và ∆’, do đó là điều vô lí. Suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 2. Cách 2 (dùng vectơ)
O

Gọi H là hình chiếu của O lên mp(P) và lấy hai điểm A, B khác H
nằm trong mp(P). Khi đó OH ⊥ HB và OH ⊥ HA, suy ra OH ⊥

P

A

B

H

(P). Vậy có đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

 

Giả sử qua O còn có đường thẳng ∆’ khác ∆ và vuông góc với mp(P) tại K. Khi đó OH ⊥ HK và

 

 

 

 

OK ⊥ HK . Do đó OH . HK = 0 và OK . HK = 0. Suy ra – HK . HK = 0 ⇒ HK 2 = 0 ⇒ H ≡ K.

Suy ra điều phải chứng minh.

Tại sao sách giáo khoa không chứng minh hoặc gợi ý chứng minh hai tính chất trên?
Chúng tôi tìm thấy câu trả lời sau đây trong sách giáo viên:
Vì lý do giảm tải nên sách giáo khoa lần này cho học sinh công nhận các tính chất 1 và 2 trong § 3,
(các vấn đề này được trình bày khá kĩ trong các sách giáo khoa trước đây). (Tài liệu đã dẫn, trang
95)

Như vậy, các tính chất 1 và 2 không được chứng minh vì lý do giảm tải. Đổi lại, tác

giả gợi ý giáo viên xem lại chứng minh trong sách giáo khoa các thời kỳ trước, chẳng
hạn chứng minh không dùng vectơ mà chúng tôi đã giới thiệu ở trên. Chúng tôi ghi
nhận rằng chứng minh dùng vectơ không được sách giáo viên đề cập đến. Điều này có
nghĩa là giáo viên có quyền quyết định không chứng minh hoặc chứng minh hai tính
chất 1 và 2. Trong trường hợp muốn chứng minh, phương pháp không dùng vectơ là
phương pháp duy nhất được sách giáo viên gợi ý. Dù với lý do gì, việc sách giáo khoa
không chứng minh hai tính chất 1 và 2 đã bỏ qua một cơ hội chứng tỏ tính hữu ích của
công cụ vectơ.
Chúng tôi ghi nhận rằng việc sử dụng vectơ trong khối logos dường như được chính
các tác giả tự hạn chế ở mức độ tối thiểu mặc dù sách giáo viên đã xác định ưu thế của
công cụ vectơ so với các công cụ khác trong việc xây dựng quan hệ vuông góc trong
không gian. Đó là thực tế của tri thức cần dạy. Ở tri thức thực dạy, liệu vai trò công cụ
của vectơ có tiếp tục bị hạn chế như vậy không? Giáo viên có chứng minh hai tính chất


13

1 và 2 không? Nếu có, họ có dùng công cụ vectơ không? Chúng tôi sẽ quay lại các câu
hỏi này trong chương 2 khi phân tích ý kiến giáo viên về việc dạy hai tính chất trên.
Liên quan đến hình thức thể hiện thứ hai (vectơ biện minh cho một kỹ thuật được
huy động để giải một bài tập), sách Hình học 11 nâng cao đưa vào bài tập 5 dưới đây
mà kết quả sẽ là một yếu tố công nghệ - lý thuyết để giải một số bài tập khác:
Bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91
Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao









cho OM = x. OA + y. OB + z. OC với mọi điểm O.









b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM = x. OA + y. OB + z. OC , trong đó
x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Bài tập này chính là điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng
ngôn ngữ vectơ 7. Kết quả của bài tập có thể được sử dụng như yếu tố công nghệ - lý
thuyết giúp giải quyết ba kiểu nhiệm vụ dưới đây mà chúng tôi liệt kê theo thứ tự xuất
hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc tài liệu khác:
- T 1 . Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm
thuộc một mặt phẳng.
- T 2 . Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng.
- T 3 . Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và đường thẳng.
Do bản chất toán học đã nêu của bài tập 5, vai trò công nghệ - lý thuyết của nó đối
với kiểu nhiệm vụ T 1 là hiển nhiên nhưng đối với các kiểu nhiệm vụ T 2 , T 3 lại ít hiển
nhiên hơn. Thật vậy, điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng sẽ biện
minh cho kỹ thuật chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng
(hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) như thế nào? Để trả lời câu hỏi

này, chúng tôi sẽ giới thiệu lần lượt các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 và
các kỹ thuật giải tương ứng, đồng thời khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong khối
praxis.

3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis
Trong phần này, chúng tôi khảo sát sự can thiệp của vectơ với tư cách kỹ thuật (và
do đó có yếu tố công nghệ - lý thuyết đi kèm) trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ
7

Lời giải của bài tập được trình bày trong phụ lục.


14

trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc sách tham khảo, trong đó có ba kiểu nhiệm vụ
T1, T2, T3 đã đề cập ở trên.
T 1 . Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm
thuộc một mặt phẳng.
Bài tập 6, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA =
a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
(A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải mong đợi (của sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90)
Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ nên SA



+ SB + SC = a SA' + b SB' + c SC ' . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì SG =

1

( SA +
3

 a
c
b
SB + SC ). Vậy SG = SA' + SB' + SC ' . Mp(A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm
3
3
3
a b c
G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo bài tập 5 nêu trên, điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu
+
+
=
3 3 3
1 tức là a + b + c = 3.

Trong lời giải trên, vai trò công nghệ của bài tập 5 được sách giáo viên xác định
tường minh qua nhóm từ “theo bài tập 5 nêu trên”. Liên quan đến vai trò công nghệ
này, chúng tôi có hai nhận xét:
- Không chỉ huy động bài tập 5 như một yếu tố công nghệ trong sách giáo viên, các
tác giả còn tạo thuận lợi cho học sinh sử dụng bài tập 5 để giải bài tập 6 thông qua việc
bố trí bài tập 6 nằm ngay sau bài tập 5 trong sách giáo khoa.
- Bài tập 5 không được đưa vào phần bài học như một tính chất. Bài tập 6 là bài tập
duy nhất trong sách giáo khoa sử dụng bài tập 5 như một yếu tố công nghệ. Các bài
tập khác có huy động bài tập 5 đều nằm trong sách bài tập. Điều này cho thấy các tác
giả đưa bài tập 5 vào phần bài tập sách giáo khoa nhằm giới thiệu một yếu tố công
nghệ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1 mà vẫn không làm tăng dung lượng phần bài học.
Do đó, chúng tôi tự hỏi rằng kỹ thuật liên kết với yếu tố công nghệ của bài tập 5 có

được giáo viên và học sinh ưu tiên sử dụng hay không trong hai kiểu nhiệm vụ T 2 và
T 3 dưới đây:
T 2 . Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng.
Bài tập 4, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 114


15

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mp(P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh
SA SC SB SD
bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Chứng minh rằng:
+
=
+
.
SA1 SC1 SB1 SD1

Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ
nhất là lời giải mong đợi, trích từ sách bài tập, huy động bài tập 5 như một yếu tố công
nghệ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề nghị, không huy động công cụ vectơ, dài hơn lời
giải thứ nhất. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích làm rõ tính ưu việt của lời
giải thứ nhất.
Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 139)











 



S

Vì ABCD là hình bình hành nên SA + SC = SB + SD hay SD

















SA

SD = d. SD1 (a, b, c, d là các số lớn hơn 1). Khi đó:
SB

= a + c,

+

SB1



SD

= b + d. Ta có SD1 =

SD1

+

SA1

d

d

C1

A

D

B

SC1

1 

. SD =

B1

SC

1 

D1

A1

= SA + SC – SB . Đặt SA = a. SA1 , SB = b. SB1 , SC = c. SC1 ,

C





1

( SA + SC – SB ) =

d





(a. SA1 + c. SC1 +

a  c  b 
. SA1 + . SC1 – . SB1 . Mặt khác, các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 thuộc mặt phẳng, nên từ
d
d
d



b. SB1 ) =

a

đẳng thức đó suy ra
SA

Như vậy:

SA1

+

d

+

SC
SC1

c
d

=

b

–

= 1 tức là a + c = b + d.

d

SB
SB1

+

SD
SD1

.

Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị)
S
D1
A1
B1

A1

∆1
∆2

C1

O1

O1

C1

M
\\

A

D

A

S

d

C

\\

O

N

O

B

E
C
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và O 1 là giao điểm của đường thẳng SO với mp(P). Dựng
∆ 1 đi qua O, song song với d và cắt SA tại M, cắt SC tại N. Dựng ∆ 2 đi qua A, song song với d và
cắt SC tại E. ∆CAE có O là trung điểm AC và ON // AE nên N là trung điểm CE. ∆SAE có MN // AE
nên

MA
SM

=

NE
SN

SA1

và ∆SMN có A 1 C 1 // MN nên

SM

=

SC1
SN

. Suy ra

MA

=

SA1

NE
SC1

. Do đó:

MA
SA1

=

NC
SC1

(do N là trung điểm CE) (*).
∆SMN có A 1 C 1 // MN nên
SA – MA
SA1

=

SC
SC1

+

NC
SC1

+

SO
SO1

SA
SA1

–

=

SN
SC1

MA
SA1

=

=

SM
SA1

SC
SC1

+

. Suy ra 2
SA
SA1

SO
SO1

(do *). Vậy

=

SN
SC1

SA
SA1

+

+

SM

SC
SC1

SA1

=2

=

SC + CN

SO
SO1

SC1

(1).

+

16

Tương tự ta cũng có:

SB
SB1

Từ (1) và (2) ta suy ra

+

SD

=2

SD1

SA
SA1

+

SC
SC1

=

SO
SO1
SB

SB1

(2).
+

SD
SD1

.

Trong lời giải mong đợi, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho phương
trình ràng buộc n, giúp đi đến hệ thức cần tìm. Sự can thiệp này thể hiện ở lập luận A 1 ,
B 1 , C 1 , D 1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra

a
c
b
+
– = 1 tức là a + c
d
d d

= b + d. Lập luận này dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng đã
được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ T 2 , bản
chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng.
Điều kiện cần này cho phép suy ra một hệ thức ràng buộc các hệ số trong biểu diễn
tuyến tính các vectơ và khi đặc biệt hóa, ta được một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài
các đoạn thẳng.
Trong lời giải thứ hai, ta phải dựng thêm đường phụ, sử dụng các tính chất của hình
chóp, đường trung bình của tam giác và một số tính chất khác để thu được đẳng thức

về tỷ số độ dài các đoạn thẳng.
T 3 . Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, của hai đường thẳng
Bài tập. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) đi qua A và tâm của các hình
vuông A’B’C’D’ và B’C’CB. Xác định vị trí giao điểm E của đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P).

Bài tập trên được chúng tôi trích ra từ sách tham khảo. Giống như đã thực hiện đối
với T 2 , chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ nhất là
lời giải mong đợi, không huy động công cụ vectơ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề
nghị dựa trên yếu tố công nghệ của bài tập 5. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục
đích làm rõ tính ưu việt của lời giải sử dụng công cụ vectơ.
Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi)

K
E

B'
A'

C'

O1
M F

Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm của các hình vuông A’B’C’D’,
B’C’CB . Đầu tiên, ta tìm giao điểm K của O 1 O 2 với mặt phẳng
(A’ADD’). Gọi F là trung điểm của A’D’ và O 3 là tâm của hình

D'
O2

vuông AA’D’D. Khi đó O 1 , O 2 , O 3 , F cùng thuộc một mặt phẳng
trung trực của AD. Do đó O 1 O 2 và O 3 F cắt nhau tại K.

B
A

O3

C
N

Gọi M là giao điểm của AK và A’D’. Khi đó, giao điểm E của
đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P) chính là giao điểm của hai

D

đường thẳng MO 1 và B’C’. Gọi N là giao điểm của EO 2 và BC.


17

Vậy AMEN là thiết diện cần dựng.
Do (A’B’C’D’) ∩ (AMEN) = ME, (ABCD) ∩ (AMEN) = AN, (A’B’C’D’) // (ABCD) ⇒ AN // ME
và (A’D’DA) ∩ (AMEN) = MA, (B’C’CB) ∩ (AMEN) = EN, (A’D’DA) // (B’C’CB) ⇒ AM // EN.
Suy ra AMEN là hình bình hành.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương và O 2 , O 3 lần lượt là tâm của hình vuông B’C’CB,
AA’D’D nên O 2 O 3 = A’B’ và O 2 O 3 // A’B’. Mặt khác ∆D’B’A’ có FO 1 là đường trung bình nên
MO 1 // A’B’ và A’B’ = 2FO 1 . Suy ra FO 1 // O 2 O 3 và O 2 O 3 = 2FO 1 . Khi đó KF = FO 3 =
Do ∆AA’D’ có FO 3 là đường trung bình nên FO 3 =

1
2

AA’ nên KF = FO 3 =

Do hai tam giác vuông AA’M, KFM đồng dạng với nhau nên ta có
1
2

MA’ ⇒

A'M
MD'

=

1
2

MF
MA'

=

1
2

1
2

KO 3 .

AA’.

FK
AA'

=

1
2

⇒ MF =

.

Trong hình vuông A’B’C’D’ có O 1 là tâm nên EC’ = A’M và B’E = MD’.
Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa
Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị)
.E

B’



C’

O1
A’



= B'O1 + B'O2 –

D

1 
2

A'M
MD'

=

1
2



Đặt B'E = n B'C' . Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm của các hình vuông
A’B’C’D’, B’C’CB. Khi đó O 1 , O 2 lần lượt là trung điểm của A’C’



C



=











và BC’. Suy ra B'C' + B'A' = 2 B'O1 và B'C' + B'B = 2 B'O2 .

O2

A

B'E



D’
B

EC'











Khi đó 2 B'O1 + 2 B'O2 = 2 B'C' + B'A' + B'B ⇔ 2 B'O1 +













2 B'O2 = 2 B'C' + B'A (do B’BAA’ là hình vuông). Suy ra B'C'





B'A . Khi đó B'E = n B'C' = n B'O1 + n B'O2 –

cùng thuộc một mặt phẳng nên n + n –

1

2

n = 1. Suy ra n =



Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa B'E =

2
3

1 
n B'A . Do E, A, O 1 , O 2
2

.

2 
B'C' .
3

Trong bài tập trên, lời giải sử dụng vectơ ngắn hơn nhiều so với lời giải còn lại. Đối
với lời giải huy động công cụ vectơ, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho
phương trình ràng buộc n, giúp xác định được giao điểm cần tìm: E ∈ (AO 1 O 2 ) ⇒ n + n
–

1
n = 1. Lập luận này cũng dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt
2

phẳng đã được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ
T 3 , bản chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một


18

mặt phẳng. Điều kiện cần này cho phép suy ra hệ số tỷ lệ giữa hai vectơ cùng phương
và cùng điểm gốc giúp ta xác định được vị trí giao điểm giữa đường thẳng và mặt
phẳng mà không cần chuyển sang đại lượng vô hướng.
Mặt khác, công cụ vectơ huy động trong hai kiểu nhiệm vụ T 2 và T 3 đã “kéo gần”
hai kiểu nhiệm vụ thoạt nhìn có vẻ “cách xa” nhau. Thật vậy, một kỹ thuật chung được
huy động trong hai kiểu nhiệm vụ này là đặt MN = k MP rồi tìm k từ điều kiện cần để
suy ra tỷ số MN/ MP hoặc xác định vị trí của N trên đoạn MP nhờ tỷ số này. Kỹ thuật
liên kết với yếu tố công nghệ - lý thuyết chung (bài tập 5) cho phép xếp T 1 , T 2 và T 3
vào chung một tổ chức toán học địa phương (organisation locale) thay vì vào ba tổ
chức toán học điểm (organisation ponctuelle) khi không huy động vectơ.
Chúng tôi biểu diễn tổ chức toán học địa phương gồm T 1 , T 2 , T 3 thành sơ đồ dưới
đây, trong đó mũi tên giữa hai kiểu nhiệm vụ mang ý nghĩa: các kiểu nhiệm vụ này có
thể xếp cạnh nhau vì có chung một yếu tố công nghệ - lý thuyết.
T1. Chứng minh
một điều kiện (cần
và đủ/ cần/ đủ) để
một điểm thuộc
một mặt phẳng

T2. Chứng minh
một đẳng thức về
tỷ số giữa độ dài
các đoạn thẳng

T3. Tìm giao
điểm của đường
thẳng và mặt
phẳng

Tổ chức toán học địa phương xây dựng trên
yếu tố công nghệ - lý thuyết của bài tập 5

Bài tập 5 là một yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho kỹ thuật giải các kiểu
nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 . Tuy nhiên, như chúng tôi đã trình bày, bài tập 5 chiếm một vị trí
khiêm tốn trong phần bài tập (áp dụng giải bài tập 6, trang 91 sách giáo khoa và một số
ít bài tập trong sách bài tập) thay vì có thể trình bày như một ví dụ hoặc một tính chất
của phần bài học. Điều này cho thấy vai trò công nghệ - lý thuyết của bài tập 5 trong
chương III được sách giáo khoa tự giới hạn ở mức độ tối thiểu.
Kể cả ba kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 đã đề cập, chúng tôi tìm thấy 13 kiểu nhiệm vụ
có liên quan đến công cụ vectơ. Chúng tôi liệt kê các kiểu nhiệm vụ này theo trình tự


19

xuất hiện của chúng trong sách giáo khoa và sách bài tập.
Các kiểu nhiệm vụ

SGK SBT Tổng

T 1 : Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/
cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng

2

4

6

T 2 : Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn
thẳng

0

1

1

T 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, của hai
đường thẳng

0

4

4

T 4 : Chứng minh một điểm là trọng tâm tứ diện

1

1

2

T 5 : Chứng minh ba vectơ trong không gian đồng phẳng

1

0

1

T 6 : Định điều kiện để hai đường thẳng song song

0

1

1

T 7 : Chứng minh hai đường thẳng song song

1

0

1

T 8 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

1

1

2

T 9 : Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian

3

7

10

T 10 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không
gian

9

4

13

T 11 : Tính độ dài đoạn thẳng

1

2

3

T 12 : Điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành

2

1

3

T 13 : Chứng minh ba điểm trong không gian thẳng hàng

0

3

3

21

29

50

Tổng cộng

Có những kiểu nhiệm vụ chỉ có một bài tập, thậm chí bài tập này không có trong
sách giáo khoa mà chỉ được xếp vào sách bài tập (T 2 , T 6 ). Ngược lại, có những kiểu
nhiệm vụ sở hữu một lượng lớn bài tập, xuất hiện cả trong sách giáo khoa lẫn sách bài
tập (T 1 , T 9 , T 10 ). Chúng tôi cho rằng số lượng bài tập gắn với mỗi kiểu nhiệm vụ là
một chỉ số thể hiện mức độ ưu tiên của từng kiểu nhiệm vụ trong tri thức cần dạy.
Nhằm mục đích trả lời các câu hỏi nghiên cứu (đặc biệt là câu hỏi Q2), chúng tôi sẽ
phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể huy động vectơ nhưng thực tế không được huy
động hoặc có huy động nhưng không được ưu tiên (T 1 , T 2 , T 3 , T 9 , T 10 , T 11 ). Các kiểu
nhiệm vụ còn lại (T 4 , T 5 , T 6 , T 7 , T 8 , T 12 , T 13 ) sẽ được trình bày trong phần phụ lục.

Ở trên, chúng tôi đã phân tích một phần kiểu nhiệm vụ T 1 với kỹ thuật giải dựa trên
yếu tố công nghệ - lý thuyết của bài tập 5. Dưới đây, chúng tôi giới thiệu thêm một bài


20

tập thuộc kiểu nhiệm vụ T 1 và xem xét lời giải mong đợi của nó trong mối liên hệ với
bài tập 5.
*Kiểu nhiệm vụ T 1 : ‘‘Chứng minh một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một
điểm thuộc một mặt phẳng’’.
Bài tập 6, (sách Hình học 11 nâng cao, trang 91)
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA =
a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
(A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Chứng minh: (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90)



Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ nên SA













+ SB + SC = a SA' + b SB' + c SC' . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì SG =







SB + SC ). Vậy SG =

a
3



SA' +

b
3



SB' +

c
3

1 

( SA +
3



SC' .

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm G, A’ , B’, C’ đồng phẳng, nên theo bài tập 5
nêu trên, điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu

a

b

+

3

3

+

c
3

= 1 tức là a + b + c = 3

Rõ ràng bài tập 5 can thiệp rộng rãi (như một yếu tố công nghệ - lý thuyết) trong kỹ
thuật giải của kiểu nhiệm vụ T1. Tuy nhiên, những bài tập còn lại của T1 chỉ được giới
thiệu trong sách bài tập. Điều này là hạn chế một cách đáng kể môi trường sinh thái

của bài tập 5 trong việc giải quyết T1.
*Kiểu nhiệm vụ T 2 : ‘‘Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn
thẳng’’
Bài tập 4, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 114
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mp(P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh
bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Chứng minh rằng:

SA
SA1

+

SC
SC1

=

SB
SB1

+

SD
SD1

.

Giải. (theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 139)
S
B1







Vì ABCD là hình bình hành nên SA + SC = SB + SD hay



C1







SD = SA + SC – SB .

A
B



D1

A1

D
C

(a, b, c, d là các số lớn hơn 1). Khi đó:

















Đặt SA = a. SA1 , SB = b. SB1 , SC = c. SC1 , SD = d. SD1
SA
SA1

+

SC
SC1

= a + c,

SB
SB1

+

SD
SD1

=b+d


21



Ta có SD1 =




1 
1   
1
a  c 
. SD = ( SA + SC – SB ) = (a. SA1 + c. SC1 + b. SB1 ) = . SA1 + . SC1 –
d
d
d

d
d

b 
a
c
. SB1 . Mặt khác, các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra
+
d
d
d

–

b
d

= 1 tức là a + c = b + d.

Như vậy:

SA
SA1

+

SC
SC1

=

SB
SB1

+

SD
SD1

.

Trong bài tập trên, tỷ số giữa độ dài hai đoạn thẳng được chuyển thành tỷ số giữa
hai vectơ cùng phương 8 và việc vận dụng bài tập 5 cho phép suy ra hệ thức cần chứng
minh.
Kỹ thuật τ 2 : (Cho hình chóp S.A 1 A 2 …A 2n và một mặt phẳng (P) bất kì không đi
qua S, cắt các cạnh bên SA 1 , SA 2 , …, SA 2n lần lượt tại các điểm B 1 , B 2 , …, B 2n .
Chứng minh: a 1 .
a 2n .

SA3
SA 2 n−1
SA1
SA 2
SA 4
+ a3.
+ … + a 2n-1 .
= a2.
+ a4.
+ …. +
SB3

SB2 n−1
SB1
SB2
SA 4

SA 2 n
).
SB2 n




- Đặt SAi = b i . SBi (b i ≥ 1, i = 1, 2n ). Suy ra


SA i
= bi
SBi







- Qua các phép biến đổi ta sẽ có SB2 n = k 1 . SB1 + k 2 . SB2 + …+ k 2n-1 . SB2 n −1
- Do các điểm B 1 , B 2 , …, B 2n đồng phẳng nên k 1 + k 2 + … + k 2n-1 = 1.
- Suy ra điều phải chứng minh.

Công nghệ θ 2 : Hai vectơ cùng phương, cùng hướng;phân tích một vectơ theo các

vectơ không cùng phương; sự đồng phẳng của các vectơ; điều kiện để một điểm thuộc
một mặt phẳng.
Dạng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T 2 không có trong sách giáo khoa mà chỉ có duy
nhất một bài tập trong sách bài tập. Khi gặp kiểu nhiệm vụ T 2 thì phương pháp vectơ
ưu việt hơn phương pháp tổng hợp và bài tập 5 trở thành yếu tố công nghệ - lý thuyết.
Kiểu nhiệm vụ T 2 không được ưu tiên và không xuất hiện trong những phần bài tập
sau đó. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được trình bày tường minh
8









Trong tri thức bác học, nếu SA = a. SA1 thì a được gọi là tỷ số giữa hai vectơ cùng phương SA và SA1 .


22

*Kiểu nhiệm vụ T 3 : ‘‘Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, đường
thẳng và đường thẳng’’
Bài tập 71a, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 128
Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A 1 D 1 của hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Xác
định giao điểm P của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng B 1 C 1 .

A

*Lời giải (do chúng tôi đề nghị)

M




Đặt B1 P = m. B1C1 = m. AD .
   1 
Ta có AD = AM – DM =









DC – DM và DB1 = DC + DD1

2


\

C
A1

\\

N

\\

D1

 
C1
B1
1  
AD – AD ⇔ DP = DC
2

 





1
1
1
+ DN + (m – ) AD . Suy ra DP = (2m + 3) DC + DN + ( – m) DM . Do P ∈ (MNC) nên
2
4
2
1
1
5

(2m + 3) + 1 + ( – m) = 1. Suy ra m =
.
4
2
2
 5 
Vậy giao điểm P của B 1 C 1 với mặt phẳng (MNC) thỏa B1 P =
B1C1 .
2








B

D

\

+ DA ⇔ DP + PB1 = DC + DN +

*Lời giải (theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 196)













Đặt AA1 = a , AB = b , AC = c

P là giao điểm của mp(MNC) với đường thẳng B 1 C 1 khi và chỉ khi C, M, N, P thuộc một mặt
phẳng và P thuộc đường thẳng B 1 C 1 .
Ta có các điểm C, M, N, P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số x, y, z sao cho x + y + z = 1 (*)

 1 
 



x 
x
y
b + y( a + c ) + z( b + c ) = y a + ( + z) b + ( + z) c . (1)
2
2
2
2




  
Vì P thuộc đường thẳng B 1 C 1 nên B1 P = t. B1C1 từ đó AP = a + b + t c (2)
  
x
y
Từ (1), (2) và do a , b , c không đồng phẳng nên y = 1,
+ z = 1 và
+ z = 1. (**)
2
2








và AP = x AM + y AN + z AC =

 y =1
 x
 +z=
1
 2
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình 
⇔
y
 +z=

t
 2
 x + y + z =
1

 y =1
 x = −2

5 .

t
=

2

=
2
z




Vậy giao điểm P của B 1 C 1 với mặt phẳng (MNC) thỏa B1 P =

5 
B1C1 .
2

Kỹ thuật τ 3-1 :
- Giả sử k là tỉ lệ của hai vectơ lập thành từ ba điểm (một là giao điểm và hai điểm

còn lại nằm trên đường thẳng cần tìm giao điểm).