nhập môn k – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Phong

NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN
QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Phong

NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN
QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

1

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. 4
T
3

3T

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU........................................................................................ 5
T
3

T
3

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 6
T
3

3T

Chương 1 - NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT ......................................................... 9
3T

T
3

1.1. Sơ lược về không gian phân thớ ...................................................................... 9
T

3

3T

3T

T
3

1.1.1. Ví dụ mở đầu .............................................................................................. 9
T
3

3T

3T

3T

1.1.2. Không gian phân thớ ............................................................................... 10
T
3

3T

3T

T
3

1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ .................... 11
T
3

3T

3T

T
3

1.2. Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman ............................................ 12
T
3

3T

3T

T
3

1.3. Phạm trù
T
3

3T

3T

3T

Bund .......................................................................................... 13

1.4. Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ ............................................. 16
T
3

3T

3T

T
3

1.5. Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund (B) .............................. 18
T
3

3T

3T

T
3

1.6. Nửa vành Vect (B) ....................................................................................... 23
T
3

3T

3T

3T

1.7. Nhóm thứ nhất của
T
3

3T

3T

3T

K - lý thuyết tôpô, K ( X ) ........................................ 26
T
3

T
3

1.7.1. Định lý phân loại ...................................................................................... 26
T
3

3T

3T

T
3

1.7.2. Hàm tử K ( X ) ........................................................................................ 27
T
3

3T

3T

3T

 X ........................................................................................ 27
1.7.3. Hàm tử K
( )
T
3

3T

3T

3T

1.7.4. Mô tả K ( X ) ............................................................................................ 31
T
3

3T

3T

3T


2

Chương 2 - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC
T
3

KHÔNG GIAN TÔPÔ ................................................................................................. 35
2.1. Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K - nhóm ................................. 35
T
3

3T

3T

T
3

T
3

T
3

2.1.1. Tích ngoài cho K ( X ) ................................................................................ 35
T
3

3T

3T

3T

 S2 ; K
2.1.2. Ứng dụng tính K (S 2 ) ; K (P 1 ) ; K
( )  (P 1 ) ...................................... 38
T
3

3T

3T

3T

2.2. Sử dụng dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott ........................... 40
T
3

3T

3T

T
3

2.2.1. Một số khái niệm ...................................................................................... 40
T
3

3T

3T

T
3

2.2.2. Các dãy khớp của K - nhóm .................................................................... 43
T
3

3T

3T

T
3

T
3

T

3

2.2.3. Tích ngoài rút gọn .................................................................................... 46
T
3

3T

3T

T
3

2.2.4. Tuần hoàn Bott......................................................................................... 47
T
3

3T

3T

3T

2.3. Sử dụng đối đồng điều .................................................................................... 51
T
3

3T

3T

T
3

2.3.1. Đối đồng điều ............................................................................................ 51
T
3

3T

3T

3T

2.3.2. Tính K - nhóm thông qua đối đồng điều................................................ 53
T
3

3T

3T

3T

3T

T
3

Chương 3 - LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU .................................... 55

T
3

3.1.
T
3

3T

K  lý thuyết như lý thuyết đồng điều của C*-đại số ................................. 55
3T

T
3

3.1.1. Đại số Banach và C*-đại số ..................................................................... 55
T
3

3T

3T

T
3

3.1.2. Hàm tử K 0 ............................................................................................... 58
T
3

3T

3T

3T

3.1.3. Hàm tử K 1 ............................................................................................... 60
T
3

3T

3T

3T

3.1.4. Lý thuyết đồng điều ................................................................................. 61
T
3

3T

3T

T
3

3.1.5. Lý thuyết đối đồng điều ........................................................................... 62
T
3

3T

3T

T
3

3.1.6. Liên hệ giữa K − lý thuyết tôpô với K − lý thuyết C*-đại số ................ 66
T
3

3T

3T

3T

T
3

T
3

T
3

T
3

3

3.2. Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott và K  lý thuyết ....................................... 72
T
3

3T

3T

T
3

T
3

T
3

3.2.1. Tuần hoàn Bott......................................................................................... 72
T
3

3T

3T

3T

3.2.2. Nhóm đồng luân p n ................................................................................ 72
T
3

3T

3T

T
3

3.2.3. Liên hệ nhóm đồng luân và K  lý thuyết ............................................. 74
T
3

3T

3T

T
3

T
3

T
3

KẾT LUẬN ................................................................................................................... 76
T

3

3T

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 77
T
3

3T


4

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn
Thái Sơn. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học
Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương
pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học.
Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và
Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập cũng như khi làm luận văn.
Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn sự động viên của bạn bè, gia đình đã luôn
bên tôi, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như khi tôi hoàn thành
luận văn tốt nghiệp này.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 12 năm 2013
Học viên: Trần Phong

5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Set

Phạm trù tập hợp

Top

Phạm trù các không gian tôpô

CW

Phạm trù các phức CW

Grp

Phạm trù các nhóm

Ab

Phạm trù các nhóm Aben

SemiRng

Phạm trù nửa vành

Bundn

Phạm trù các phân thớ vec-tơ

n chiều

Bundn  B

Phạm trù các phân thớ vec-tơ

n chiều có đáy là B

Vect  B

Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ trên B

Vectk  B

Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vec-tơ k
chiều trên trên B

f
 

Lớp đồng luân của ánh xạ f

n n

Phạm trù các không gian vec-tơ

n chiều trên trường 

6

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
K  lý thuyết tôpô (còn gọi là K  lý thuyết hình học) là một lý thuyết đối đồng

điều suy rộng và là một công cụ mạnh của Tôpô đại số. Công cụ này cho phép giải
quyết nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô cũng như nhiều lĩnh vực khác của
toán học. Năm 1958, Grothendieck khi nghiên cứu về định lý Riemann – Roch trong
Hình học đại số đã khởi xướng ý tưởng về K  lý thuyết tôpô. Đến năm 1961, K  lý
thuyết tôpô đã chính thức được hình thành bởi các công trình nghiên cứu độc lập của
Atiyah và Hirzebruch.

K  lý thuyết tôpô được xây dựng nhờ không gian phân thớ, nó cho phép chuyển
một loạt các bài toán của giải tích và tôpô thành các bài toán đại số. K  lý thuyết tôpô
đã nảy sinh một cách tự nhiên ra K  lý thuyết đại số.

K  lý thuyết tôpô xuất hiện trước và liên quan tới các phân thớ vec-tơ phức trên
các đáy là các không gian tôpô. Đối tượng cơ bản của K  lý thuyết tôpô là các lớp
tương đương ổn định của các phân thớ vec-tơ (phức). Bằng phép toán tổng Whitney
các phân thớ vec-tơ, ta xây dựng được một vị nhóm Abel, rồi thông qua nhóm
Grothendieck, ta xây dựng được các nhóm K 0 và K 1 của một không gian tôpô.

K  lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng hơn. Năm 1962, Swan để ý
thấy rằng có sự tương ứng giữa phạm trù các không gian tôpô nào đó (như không gian
compắc, Hausdorff) với phạm trù các đại số Banach hoặc C   đại số. Ý tưởng là ở chỗ
tập các nhát cắt liên tục của mỗi một phân thớ vec-tơ trên không gian tôpô X là một
C X   môđun.

Điều này dẫn tới việc nghiên cứu các môđun xạ ảnh, các K  nhóm đại

số và đó là xuất phát điểm của K  lý thuyết đại số.
Điều đặc biệt là giữa K  lý thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số có một mối liên
hệ mật thiết với nhau thông qua một định lý kinh điển. Từ mối liên hệ này ta có thể


7

chuyển từ việc tính toán các K  nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi
việc tính toán ở bên này khó hơn bên kia, và ngược lại. Thông qua việc tìm hiểu sơ bộ
những vấn đề trên, chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về K  lý thuyết mà
cụ thể là K  lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu về mối liên hệ mật thiết giữa K  lý
thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số. Tuy nhiên, việc nghiên cứu K  lý thuyết ở tầm tổng
quát là rất khó khăn vì phải dùng đến nhiều kiến thức của cả Đại số và Giải tích. Vì
vậy, chúng tôi đã giới hạn việc tìm hiểu của mình trong phạm vi nhỏ hơn và đề tài của
chúng tôi mang tên là : “Nhập môn K  lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều”.

Nội dung và phương pháp nghiên cứu

2.

Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K  lý
thuyết và K  lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên Đại số Banach.
Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng những công cụ mạnh là Đại số
đồng điều và Giải tích hàm, trong một chừng mực có thể, là cách trình bày theo tinh
thần của Toán học hiện đại – ngôn ngữ Phạm trù và Hàm tử.

Cấu trúc luận văn

3.

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về K  lý thuyết như: mô tả không gian
phân thớ - đây là nền tảng xây dựng K  lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, các phép
toán trên phân thớ vec-tơ như tổng Whitney và tích ten-xơ, sau đó là xây dựng K  lý
thuyết.
Chương 2: Trình bày một số phương pháp tính K  nhóm của một số các không gian
tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn
và tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K  nhóm.
Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể hơn là mối
liên hệ giữa K  lý thuyết tôpô và K  lý thuyết đại số, nội dung trong chương này trình
bày hai vấn đề sau: K  lý thuyết như là lý thuyết đồng điều trên đại số Banach và mối
liên hệ giữa tuần hoàn Bott với K  lý thuyết. Nhờ định lý kinh điển nói về mối liên hệ


8

mật thiết giữa K  lý thuyết tô pô và K  lý thuyết đại số, ta có thể chuyển từ việc tính
toán các K  nhóm từ bên này (tôpô) sang bên kia (đại số) mỗi khi việc tính toán ở bên
này khó hơn bên kia, và ngược lại.

4.

Ký hiệu trong luận văn
Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc

sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu).
Để trích dẫn một kết quả, tác giả dùng những ký hiệu quan thuộc. Chẳng hạn,
nếu ghi “1.2.1” có nghĩa là xin xem mục 1.2.1 ở Chương 1; nếu ghi “2.1.2” có nghĩa là

xin xem mục 2.1.2 ở Chương 2; còn nếu ghi “[10, tr.110]” có nghĩa là xin xem trang
110 của Tài liệu tham khảo số 10.


9

Chương 1
NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT
Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về K 
lý thuyết tô pô phức. Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là
nền tảng xây dựng K  lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng
cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và
tích ten-xơ. Các định nghĩa về các nhóm đầu tiên không rút gọn được

K X 

và nhóm

 X  của K  lý thuyết tô pô. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung
đầu tiên rút gọn được K

cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai
nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành.
Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13].

1.1. Sơ lược về không gian phân thớ
Trước khi vào định nghĩa không gian phân thớ, ta xét các ví dụ sau để hình dung
được về các khái niệm mới này.
1.1.1. Ví dụ mở đầu
• Mặt trụ hai chiều: T  S1   

 x  .

xS1
2

• Lá mobius: M  0 , 1 0 ,t  1, 1  t .
• Mặt xuyến: p 2  S1 S1 

 xS

1

.

xS1

• Lấy M n là đa tạp vi phân
của M n tại

x

là:

Tx M n .

n chiều,

với mỗi x  M n ta có không gian tiếp xúc

10

TM

Đặt TM n : 

xM

n

x

n

, được gọi là phân thớ tiếp xúc của M n . Trong trường hợp

này ta khó hình dung ra tích trực tiếp như các ví dụ ở trên, nhưng về bản chất đó
là phân thớ.
Nhận xét về đặc điểm chung của các không gian nêu trên
• Mỗi không gian đều được phân ra thành hợp của một họ các “thớ”.
• Mỗi “thớ” đều đồng phôi với nhau (nếu xét về mặt topo thì chúng là một).
• Trên không gian toàn thể có thể là tích trực tiếp hoặc có thể không, nhưng khi
xét ở địa phương thì chúng luôn luôn là tích trực tiếp.
Từ đây ta có các khái niệm về không gian phân thớ sau

1.1.2. Không gian phân thớ
Định nghĩa 1.1.1. Cho ba không gian topo B, F , E và ánh xạ liên tục p : E  B . Khi
đó, bộ ba x   E, p, B được gọi là một không gian phân thớ tầm thường địa phương
hay phân thớ (với thớ mẫu F ) nếu tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn:

x  B tồn tại tập mở U  B chứa

x


 p1 U  đồng phôi sao cho tam
và j : U  F 

giác sau đây giao hoán
j
U  F 
 p1 U   E
prU





p

p1U 

U

tức là prU  p p

1

U 

 j , trong đó prU : U  F  U , u, f   prU u, f  : u là phép chiếu tự

nhiên.
Tên gọi và nhận xét


11

•

E

: được gọi là không gian toàn thể của phân thớ (ta thường đồng nhất x với E và

gọi

E

là không gian phân thớ).

: được gọi là đáy hay cơ sở của phân thớ.

•

B

•

p : được gọi là phép chiếu (không gian toàn thể lên đáy) và dễ thấy p toàn ánh.

•

F

•

x  B, p1  x F  : được gọi là thớ tại

: được gọi là thớ mẫu.
x

và ta có

E   p 1  x  .
x B

1
p
U    p 1  y , j  y, f   p1  y
yU

•


 p1 U  được gọi là đồng phôi theo thớ và cặp U,j  được gọi là
j : U  F 

bản đồ địa phương xung quanh
• Đặc biệt khi ta chọn
(đồng phôi j  Id ), và

E  B F

E

x

của phân thớ.

thì

E

chắn chắn thỏa mãn các định nghĩa ở trên

khi đó được gọi là phân thớ tầm thường.

1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai phân thớ x1   E1 , p1 , B , x2   E2 , p2 , B trên cùng đáy
Ánh xạ liên tục

h : E1  E2

được gọi là một đồng cấu phân thớ từ

x1

đến

x2

B

.

nếu tam giác

sau giao hoán
h
E1 
 E2
p1

  p2 tức là
B

p1  p2  h .

Định nghĩa 1.1.3. Một đẳng cấu phân thớ là một đồng cấu phân thớ đồng thời cũng là
một đồng phôi.
Chú ý:

h : E1  E2

Ta thường viết

là đẳng cấu phân thớ thì


h : E1 

 E2 .

h1 : E2  E1

cũng là đẳng cấu phân thớ.


12

Định nghĩa 1.1.4. (Phạm trù các phân thớ) Đặt Bund  B là phạm trù các phân thớ
trên

B

, trong đó vật Ob : là họ các không gian phân thớ trên

B

và cấu xạ

MorBundB  E1 , E2  : là tập các đồng cấu phân thớ từ E1 đến E2 .

Phân thớ x   E, p, B (thớ mẫu F ) được gọi là phân thớ tầm thường nếu E  B F

1.2. Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman
Giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu ở phần này thừa hưởng tôpô
thông thường của  .
Định nghĩa 1.2.1. Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau:
Wn  k    A  M kn |A * .A  I n ,n  k

trong đó A* là ma trận chuyển vị liên hợp của A .
Nói theo một cách khác, Wn  k  là tập của tất cả

n

hệ tọa độ ( n phức của các

vec-tơ trực chuẩn) trong  k với n  k . Xét về khía cạnh tôpô nó là một không gian
compắc, như một không gian con đóng của tích trực tiếp của

n

bản sao của mặt cầu

S k1 .

Định nghĩa 1.2.2. Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau:
Gn  k   { các không gian vec-tơ con

tức là tập tất cả các mặt phẳng

n

n chiều

của  k , n  k }

chiều trong  k cùng đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ 1.2.3. Ma trận G1  k  là tập tất cả các đường thẳng trong  k đi qua gốc tọa độ.

Để hiểu rõ hơn về đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:



p
Wn  k  
 Gn  k 




v1 , ,vn  v1 , ,vn

 




13

cho phép ta xem Gn  k  như một không gian compắc với tôpô thương. Một CW  cấu
trúc cũng được xác định sao cho mỗi Wn  k  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể
chỉ ra rằng Gn  k  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k  k  n .
Ta có  k   k1   Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel
Wn  k   Wn  k 1  

và

dãy

các

đa

tạp

phức

Grassman

phức

sau

Gn  k   Gn  k 1   Ta đặt:
Wn  :  lim Wn  k  và Gn  :  limGn  k 
k

k

ta thu được hai không gian tôpô giới hạn trực tiếp.

1.3. Phạm trù Bund
Định nghĩa 1.3.1. Một phân thớ vec-tơ phức là một bộ ba x   E, p, B trong đó E và B
là các không gian tôpô thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)

Ánh xạ

(ii)

Với mọi b  B , không gian p1 b có cấu trúc của một không gian vec-tơ

p : E 
B

liên tục và toàn ánh;

phức V ;
(iii)

Điều kiện tầm thường địa phương: vơi mọi b  B , tồn tại một lân cận mở

Ub

của b và một đồng phôi:
jUb : U b  V 
 p1 U b 

thỏa mãn p  jUb b,v  b , với mọi b,v  U b  V .
Hơn nữa, j phù hợp với cấu trúc không gian vec-tơ trên các thớ, tức là
jU b

.

bV

: b V 
 p1 b

là một đẳng cấu của các không gian vec-tơ với mọi b  B


14

Một số thuật ngữ:
 Với bất kỳ phân thớ vec-tơ x   E, p, B , ta gọi E là không gian tổng thể, B là
không gian đáy, và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;
 Với mọi b , không gian p1 b là thớ của phân thớ vec-tơ tại b  B , ta sẽ ký hiệu
lại là

Eb .

Chú ý về số chiều: Cho x   E, p, B là một phân thớ vec-tơ phức. Nếu với mỗi

b  B , số chiều của thớ
phân thớ vec-tơ phức

Eb

là giống nhau và bằng hằng số n  0 , ta nói rằng x là một

n chiều

và ta có thể thay không gian vec-tơ phức V bằng n

trong định nghĩa trên.
Chú ý 1.3.2. Ta có thể định nghĩa phân thớ vec-tơ thực

n chiều

theo cách tương tự

(thay n bằng  n ). Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào các phân thớ vec-tơ
phức, do đó “phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì.
Một số ví dụ về phân thớ vec-tơ
Ví dụ 1.3.3. Phân thớ tầm thường

n chiều

n chiều

trên B

e   Bn , p, B

trong đó
p : B  n  B

b,v

b

là phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ nhất.
Ví dụ 1.3.4. Cho Gn  k  là một đa tạp phức Grassman. Ta định nghĩa
En  k  

V , v  G  
n

k

k

và phép chiếu

p : En  k   Gn  k 

V ,v  V

|v  V




15

Bộ ba g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức chính tắc

n chiều.

Ví dụ 1.3.5. Ta định nghĩa
E'n  k  

V ,u  G  
n

k

k

|u  V 



và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên

p : E'n  k   Gn  k 

V ,u  V

n chiều. Khi phép toán tổng
Bộ ba hn ,k   E'n  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức  k 

trực tiếp trên các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ
với nhau, cụ thể là

hn ,k  g n ,k

là phân thớ tầm thường k chiều trên Gn  k  .

Chú ý 1.3.6. Hai ví dụ trên vẫn đúng nếu ta xét k   .
Một đồng cấu phân thớ vec-tơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến
tính trên mỗi thớ. Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau:
Định nghĩa 1.3.7. Cho x   E, p, B và x'   E', p', B' là hai phân thớ vec-tơ. Một
đồng cấu của các phân thớ
f : E 
 E'

và

g : B 
 B'

 x'
 f , g : x 

được xác định bởi hai ánh xạ

sao cho biểu đồ sau giao hoán:
f
E 
 E'
p



p'

g
 B'
B 

tức là p' f  g  p và thu hẹp
1
f : p
 p 1  f b
b 

là ánh xạ tuyến tính với mọi b  B .

Chú ý 1.3.8. Trong định nghĩa trước ta có thể xét B  B' . Khi đó các phân thớ x và
x' có cùng đáy

B và đồng cấu  f ,idB  : x 
 x' thỏa tam giác giao hoán sau:


16

f
E 
 E'
p

 p'


B

Định nghĩa 1.3.9. Hai phân thớ x và x' trên cùng một không gian đáy B được gọi là
đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đồng cấu phân thớ
f : E  E'

 f ,idB  : x  x' sao

cho

1
là một đồng phôi và thu hẹp f : p
b  p 1  f b là một đẳng cấu tuyến

tính trên mỗi thớ, với mọi b  B .
Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vec-tơ phức, mà ta
ký hiệu là

Bund .

Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong Định nghĩa

1.3.1. và Định nghĩa 1.3.7. Luật kết hợp và phần tử đơn vị của các xạ giống với phạm
trù Top và

n .

Chú ý rằng với mỗi B  Top ,

Bund

cho phạm trù con Bund  B là phạm trù

của các phân thớ vec-tơ trên B .
Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n  0 , các phân thớ vec-tơ
phức

n chiều

cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là

Bund .

1.4. Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ
Định nghĩa 1.4.1. Cho x   E, p, B là một phân thớ vec-tơ phức và f : Y  B là một
ánh xạ liên tục. Phân thớ cảm sinh từ f từ x - ký hiệu là f * x , được xác định như sau:
Đặt

pY : Y B E 
Y

và

pE : Y B E 
E,

khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán

pE
Y B E 
E
pY



p

f
Y 
B


17

Chú ý rằng Y B E :  f *  E là không gian tổng thể của f * x , chính xác hơn là
cái kéo lùi của

pY

và

pE .

Mệnh đề 1.4.2. Các thu hẹp của một phân thớ vec-tơ p : E  B I trên
B1

B0

và

là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian compắc Hausdorff.

Định lý 1.4.3. Cho một phân thớ vec-tơ p : E  B và các ánh xạ đồng luân
f 0 , f1 : A  B .

Khi đó các phân thớ cảm sinh f0 *  E và f1 *  E là đẳng cấu với nhau

nếu A là không gian Hausdorff compắc.
Định nghĩa 1.4.4. Cho x   E, p, B và x'   E', p', B'  Bund . Ta định nghĩa phân thớ
như sau:
x  x' :   E1  E2 , p1  p2 , B

trong đó

E1  E2 :  e1 ,e2   E1  E2 |p1 e1   p2 e2 

và ánh xạ chiếu
p1  p2 : E1  E2 
B

được xác định bởi

e1 ,e2   p1 e1   p2 e2 
Phép toán x  x' được gọi là tổng Whitney của x và x' và là tích trong phạm
trù Bundn  B .
Như đã đề cập ở phần trước, tiếp theo ta có thể định nghĩa đẳng cấu:

f : hn,k  g n,k 
ek

V ,x ,V , y  V ,x  y


18

trong đó V  Gn  k  ,V , x  En  k  ,V , y  E'n  k  . Vì với mọi z   k , có một sự
phân tích duy nhất z  x  y trong đó x  V và y  x . Do sự phân tích này là liên tục
trên V (tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ), ánh xạ f là một đẳng cấu trên
Gn  k  .

Để kết thúc Định nghĩa 1.4.4, với x và x' như trên, ta có:
E1  E2  E1 B E2

do tính chất của các kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và Định nghĩa 1.4.4, ta có biểu đồ:

1.5. Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund (B)
Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vec-tơ trên không
gian đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec-tơ, và là phép toán
tích trong phạm trù Bund  B . Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán
khác: mọi phép toán liên tục trên các không gian vec-tơ cho phép ta xác định một phép
toán tương ứng trên các phân thớ vec-tơ một cách tự nhiên. Phần tiếp theo của mục này
sẽ giải thích rõ về khẳng định trên đây.
Trong định nghĩa dưới đây, ta xét  là  hoặc  . Nhắc lại rằng các vật của
n

là các không gian vec-tơ hữu hạn chiều trên  .


19

Định nghĩa 1.5.1. Một hàm tử

F : n  
 n

được gọi là liên tục nếu với mọi cặp

 M , N   Obn , ánh xạ
 n   F  M  , F  N 
FM ,N : n   M , N  

là liên tục với tôpô thông thường của  .
Tiếp theo ta tập trung xét    , và mục tiêu của ta là kết hợp một hàm tử F
bất kỳ với hàm tử

F' :  F'  B : Bund  B 
 Bund  B

sao cho nếu

B   x0 

là một không gian một điểm thì ta có
F' x0   F 1

Cho x   E, p, B  Bund  B . Ta định nghĩa
 ObBund  B
F' : ObBund  B 

x  F' x   E', p', B'

trong đó
E'  F'  E :  F  Eb   Set
bB

và

 p' : E'  B:  x  F Eb   b
Tiếp theo ta cần cung cấp cho E' một tôpô sao cho F' x trở thành một phân
thớ vec-tơ. Với mục đích như trên, ta cần sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.5.2. Cho U và V là các tập con mở của B và cho

 V N
j : EV 


U  M
j : EU 

và

lần lượt là các tầm thường địa phương của E trên U và V , trong


 U  F  M  và
đó M, N là các không gian vec-tơ hữu hạn chiều. Cho j ' : E'U 

j ' : E'V 
 V  F  N  là các song ánh được cảm sinh bởi F trên mỗi thớ. Nếu ta cung


20

cấp cho
trên

E'U và E'V

các tôpô được cảm sinh bởi các song ánh này thì hai tôpô phù hợp

E'U  E'V  E'U V

và

E'U V

là mở trong

E'U và E'V .

Tiếp theo ta có thể định nghĩa tôpô trên E' . Cho Ui  là một phủ mở của B , và

 U i  Mi là một tầm thường của E trên
cho j : EUi 

của F , các đẳng cấu

ji

cảm sinh các song ánh

i

j

E'Ui

với mọi i  I . Do tính hàm tử

E'Ui  E' liên

theo bổ đề trước, với mỗi cặp i, j , các tôpô trên
nên E'U U là một tập con mở của

Ui

E'Ui

tục. Điều này là có thể vì

và E'U là phù hợp trên E'U U
j

i

j

và E'U . Ta có thể thấy rằng tôpô này phụ
j

thuộc vào việc chọn phủ và việc chọn các tầm thường.
Ta cần định nghĩa hàm tử F' trên các đồng cấu phân thớ. Cho hai phân thớ
x   E, p, B và h  G,q, B và một đồng cấu j : x  h . F' j  được định nghĩa như

sau:
F' : MorBund  B 
 MorBund  B

j : x  h

 F' j  : F'  E  F' G

Áp dụng
Như đã đề cập trước đó, ta quan tâm đến việc chứng minh tính tự nhiên của
phép toán trực tiếp và tích ten-xơ được cảm sinh từ các không gian vec-tơ trên các

phân thớ vec-tơ. Đặc biệt, điều này suy ra tính hàm tử của hai phép toán trên
Bund  B .

Ta xét hai hàm tử liên tục:
S,T : nn  Bnn  B 
 nn  B

S  M , N   M  N ;T  M , N   M  N

Theo các nhận xét trên, S' được xác định bởi:


21

S' : ObBund  BObBund  B 
 ObBund  B

x , h

 S' x , h   H , p , B

với
H  S'  E, B B :   F  Eb ,Gb    Eb  Gb
bB

B  b

Chú ý rằng nếu

và p : H  B là ánh xạ chiếu trên B .

bB

thì S'  E,Gb  F  Eb ,Gb   Eb  Gb . Nói theo cách khác, thớ

của x  h trên b là tổng trực tiếp của các thớ của x và h trên b , sao cho điều kiện 1
thỏa mãn.
Mặt khác
S' : MorBund  B MorBund  B 
 MorBund  B

j , y

 S' j , y : S'  E,G  S'  P,Q

được xác định trên mỗi thớ bởi
S' j b , yb  :  j b  yb  S j b , yb 

Ta thấy rằng việc xây dựng trên được “định nghĩa tốt”: nếu f : x  h  V là một
ánh xạ phân thớ song tuyến tính trên mỗi thớ b  B , khi đó f xác định một đồng cấu
phân thớ vec-tơ g : x  h  V được thành lập từ phép nhân tử hóa thông thường của các
ánh xạ song tuyến tính qua tích ten-xơ (của các không gian vec-tơ) trên mỗi thớ.
Hơn nữa, tất cả các tính chất thông thường của phép giao hoán và phân phối của

 và  trong

n

mở rộng cho Bund  B .

Mệnh đề 1.5.3. Cho

F ,G : n  
 n

là hai hàm tử liên tục, và cho t : F  G là phép

biến đổi tự nhiên, tức là
t : Obn  
 Morn 

M  t M : F M  G M

t

cảm sinh một phép biến đổi tự nhiên t ' : F'  G'


22

 MorBund  B
t ' : ObBund  B 

x  t ' x : F' x  G' x

 G  M  là một đẳng cấu với mọi
Đặt biệt, nếu t  M  : F  M  

M  n

thì t ' x

cũng là một đẳng cấu với mọi x  Bund  B .
Tiếp theo ta chứng minh tích ten-xơ có tính kết hợp trong Bund  B . Xét
F,G : n  n  n  
 n

F  M, N ,K    M  N   K

G  M, N ,K   M   N  K 

cả hai ánh xạ trên đều liên tục. Xét phép biến đổi tự nhiên giữa F và G được cho bởi
t  M , N ,K  :  M  N   K  M   N  K 

m  n  k  m  n  k

Ta thấy rằng

t

được “định nghĩa tốt”, tuyến tính và có ánh xạ ngược. Vì vậy nó là một

đẳng cấu tuyến tính của các không gian vec-tơ.
Các hàm tử cảm sinh
F',G' : Bund  B Bund  B Bund  B  Bund  B

được cho bởi
F' x , h , z   x  h  z

G' x , h , z   x  h  z 

và phép biến đổi tự nhiên được cảm sinh bởi
t ' x , h , z  : x  h  z  x  h  z 

rõ ràng hơn, nếu x   E, p, B , h  G,q, B , z   H ,r, B , ta có:

x  h  z :   A, p , B , x  h  z :  C, p', B
và


23

t'
 C, p', B
 A, p , B 

trong đó
A    Eb  Gb   H b
b

và

C   Eb  Gb  H b 
b

với bất kỳ điểm b  B cố định, ánh xạ

Eb  Gb   Hb  Eb  Gb  Hb 
là một đẳng cấu tuyến tính của các không gian vec-tơ. Vì vậy t ' là một đẳng cấu tuyến
tính tự nhiên và ta có sự kết hợp của tích ten-xơ cho các phân thớ vec-tơ.

1.6. Nửa vành Vect (B)
Hai phân thớ x   E, p, B , h  G,q, B được gọi là tương đương với nhau nếu
chúng đẳng cấu với nhau (xem Định nghĩa 1.3.9). Ta có thể kiểm tra rằng quan hệ này
là quan hệ tương đương trên tập tất cả các phân thớ vec-tơ phức trên B . Ta viết x  x'
nếu x , x' tương đương và dùng x  để ký hiệu lớp tương đương của x . Ta ký hiệu
Vect  B là tập các lớp tương đương của tất cả các phân thớ vec-tơ trên B . Khi xét x ,

một phân thớ vec-tơ

n chiều,

ta sẽ đồng nhất tất cả các thớ của x , ta sẽ thu được thông

tin của lớp x  .
Bổ đề tiếp theo phát biểu rằng các phép toán  và  có thể được chuyển từ
Bund  B sang Vect  B có nghĩa là chúng ta được bảo toàn trong mối quan hệ tương

đương

.

Bổ đề 1.6.1. Ta xét cặp ánh xạ
Vectn : Top  Set; X  Vectn X 

và