nhóm con pi - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Việt Hà

NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC
CỦA NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Việt Hà

NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC
CỦA NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang.
Người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo chuyên môn và tạo điều kiện thuận lợi nhất để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy tại trường ĐH Sư phạm Tp.
HCM đã tận tâm giảng dạy, cung cấp những kiến thức quí báu cho lớp Đại số K22 và
bản thân tôi.
Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc cùng lời chúc sức khỏe đến gia
đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên, quan tâm và giúp đỡ trong suốt quá
trình tôi làm luận văn.

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ........................................................ 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6
1.1. Các khái niệm mở đầu ................................................................................................6
1.2. Nhóm con Hall ...........................................................................................................11
1.3. Nhóm con Frattini ....................................................................................................13
1.4. Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh .............................................................................15
1.5. Nhóm siêu giải được..................................................................................................20

CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC ............................................... 26
2.1. Định lý ........................................................................................................................26
2.2. Định lý ........................................................................................................................29
2.3. Định lý ........................................................................................................................32
2.4. Định lý ........................................................................................................................33

2.5. Định lý ........................................................................................................................34
2.6. Định lý (Buckley [2]) .................................................................................................35
2.7. Định lý (Asaad [1]) ....................................................................................................35
2.8. Định lý(Van der wall [9]) ..........................................................................................35
2.9. Định lý ........................................................................................................................36
2.10. Định lý ......................................................................................................................37

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 39

2


BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Kí hiệu

Ý nghĩa

[G : H ]

Chỉ số của H trong G

Hx

Nhóm con liên hợp của H trong G

NG ( H )

Chuẩn hoán tử của H trong G

CG ( X )

Tâm của X trong G

Z (G )

Tâm của G

[ a, b] = aba

−1 −1

b

Hoán tử của a, b

[G , G ]

Nhóm con giao hoán tử của G

Aut ( G )

Nhóm các tự đẳng cấu của G

H char G

H là nhóm con đặc trưng của G

φ (G )

Nhóm con Frattini của G

H,K
Op ( G )

Nhóm con sinh bởi H và K
Nhóm con sinh ra bởi các tất cả p − nhóm
con chuẩn tắc của G

O p (G )

Nhóm con sinh ra bởi tất cả các phần tử có
cấp là p '− số

3


MỞ ĐẦU
Chúng ta đã biết 2 nhóm con H , K của nhóm G gọi là giao hoán nếu HK = KH .
Ta định nghĩa một nhóm con của G gọi là π - tựa chuẩn tắc trong G nếu nó giao hoán
với mọi nhóm con Sylow của G .
Nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn với nhiều tính chất thú vị có ảnh
hưởng quan trọng đối với cấu trúc của một nhóm hữu hạn.
Ngoài ra, trong quá trình nghiên cứu các nhà toán học Ito, Buckley, Van der
Waall và Asaad đã chứng minh những Định lý nối tiếng liên quan đến nhóm hữu hạn
như sau:
Định lý (Ito [13]): Cho G là nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của G ' có cấp
nguyên tố đều chuẩn tắc trong G . Khi đó G ' là nhóm lũy linh.
Định lý (Buckley [5]): Nếu G là nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của G có cấp
là số nguyên tố đều chuẩn tắc trong G thì G siêu giải được.

Định lý (Asaad [1]): Nếu mọi nhóm con có cấp nguyên tố đều tựa chuẩn tắc
trong G và mọi nhóm con cyclic cấp 4 của G đều tựa chuẩn tắc trong G thì G là
nhóm siêu giải được.
Định lý (Van der wall [14]): Đặt pn là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Nếu
mọi nhóm con của G có cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong G thì 2 điều sau là tương
đương:
(1) G là nhóm siêu giải được.
(2) G là nhóm pn -lũy linh.
Những tác giả trên đã dùng nhiều cách khác nhau để chứng minh chúng. Luận
văn sẽ sử dụng những tính chất nhóm con π - tựa chuẩn tắc để trình bày những cách
chứng minh khác và mở rộng của các Định lý trên để thấy rõ mối quan hệ giữa các
Định lý và sự ảnh hưởng quan trọng của nhóm con π - tựa chuẩn tắc.
4


Luận văn “Nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn” được chia làm 2
chương:
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và các tính chất quan trọng liên quan
đến nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn, nhóm siêu giải được, nhóm lũy
linh, nhóm p − lũy linh …. Chương 1 sẽ giúp người đọc nắm vững những khái niệm
và tính chất để theo dõi tiếp chương 2, cũng là phần chính của luận văn.
Chương 2: Trình bày những kết quả chính về sự ảnh hưởng của nhóm con π tựa chuẩn tắc trong cấu trúc nhóm hữu hạn.
Luận văn là sự trình bày chi tiết các Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3,
Định lý 3.4, Định lý 3.5, Bổ đề 3.6, Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, Bổ đề 3.9, Định lý 3.10
trong bài báo[4] của tác giả Ayesha Shaalan.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận
văn nhưng không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong sự đóng góp ý kiến của
quý thầy cô và các bạn.

5

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các khái niệm mở đầu
1.1.1. Định nghĩa
G là một nhóm, p là một số nguyên tố chia hết G . Khi đó

i)

G được gọi là một p - nhóm nếu G là lũy thừa của p .

ii)

H là nhóm con của G . H là được gọi là p -nhóm con của G nếu H là p -nhóm

iii) Nhóm con H của G gọi là p -nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại
trong tập các p -nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
1.1.2. Định lý Sylow([1],7.1,7.2, trang 37)
n
Cho p là một số nguyên tố chia =
hết G , G p=
m, (m, p ) 1 . Khi đó:

i)

k
∀i =1, 2,.., n luôn tồn tại nhóm con cấp p của G . Nói riêng luôn tồn tại p -nhóm

con Sylow của G .
ii)

Mọi p − nhóm con của G luôn nằm trong một p -nhóm con Sylow nào đó của G
.

iii) Mọi p − nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
iv) Số các p − nhóm con Sylow của G đồng dư 1 modulo p .
1.1.3. Hệ quả
Cho p à một số nguyên tố chia hết G và P là một p -nhóm con Sylow của G .
Khi đó
i)

Số các p -nhóm con Sylow của G là một ước của G và nguyên tố cùng nhau với
p.

ii)

P là p -nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P chuẩn tắc trong G .

1.1.4. Định nghĩa
Cho H là nhóm con của G , khi đó H đuợc gọi là nhóm con tựa chuẩn tắc của
G nếu H giao hoán với mọi nhóm con của G . Nghĩa là HK = KH với mọi nhóm con

K của G .

1.1.5. Định lý
6


= KH
=

Nếu H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G thì HK

H , K .Nghĩa là HK là

nhóm con của G.
Chứng minh: Lấy x, y ∈ HK , x =hk , y =h ' k ' khi đó xy −1 = h.k .k '−1 .h '−1
)h '−1 ] h.h ''.k '' ∈ HK . Vậy HK là nhóm con của G . Mà H ≤ HK , K ≤ HK nên
= h.[(k .k '−1=
= KH
=
H , K ⊂ HK . Dễ thấy HK ⊂ H , K . Vậy HK

H,K .

1.1.6. Định lý
Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G.
Chứng minh: Lấy K là một nhóm con bất kì của G . HK =

{hk , h ∈ H , k ∈ K } .

Lấy tùy ý hk ∈ HK . Do H chuẩn tắc ta có k −1hk ∈ H nên k −1hk = h ' suy ra hk = kh ' .Vậy
hk ∈ KH tức HK ⊂ KH . Tương tự ta có KH ⊂ HK . Do đó HK = KH . Vì vậy H là

nhóm con tựa chuẩn tắc của G .
1.1.7. Định nghĩa
H là nhóm con của G . Khi đó H được gọi là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G

nếu H giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G .
1.1.8. Định nghĩa
Cho dãy các nhóm con của G , 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G nếu

Gi  Gi +1=
, ∀i 1, 2.., n − 1 thì dãy trên gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là

1 G=
G . n được gọi là độ dài của dãy. Gi gọi là số hạng của dãy,
0  G1  ...  Gn
Gi +1

Gi

gọi là nhân tử của dãy.

1.1.9. Định nghĩa
Dãy chuẩn tắc của G gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu mọi số hạng
của dãy là nhóm con chuẩn tắc của G .
1.1.10. Định nghĩa
H là một nhóm con của G . H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal)
=
G sao cho
của G nếu tồn tại các
nhóm con H H=
0 , H 1 , H 2 ,..., H n
H

H=
G.
0  H 1  H 2  ...  H n

1.1.11. Định lý ([13], Salt 1, trang 209)
7

Nếu H là một nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G thì H là nhóm con á chuẩn tắc
của G .
1.1.12. Định lý
Nếu H ≤ K ≤ G và H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G thì H là nhóm con
π − tựa chuẩn tắc của K .

Chứng minh: Lấy Q là một p -nhóm con Sylow của K với p là một số nguyên
tố và chia hết K . Khi đó tồn tại một p -nhóm con Sylow P của G sao cho Q= P ∩ K
. Hơn nữa H ≤ K ≤ G nên HQ = H .( P ∩ K ) = HP ∩ K = PH ∩ K =
(P ∩ K )H =
QH .Vậy
H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của K .

1.1.13. Định lý ([12], Salt 5, trang 209]
Nếu N ≤ H ≤ G và N chuẩn tắc trong G thì H là π − tựa chuẩn tắc trong G khi và
chỉ khi H N π − tựa chuẩn tắc trong G N .
1.1.14. Định lý ( Định lý đẳng cấu 1)
Giả sử f : G → G ' là một đồng cấu. Khi đó G Ker f ≅ Im f .
1.1.15. Định lý (Định lý đẳng cấu 2)
Cho H  G, K ≤ G . Khi đó H ∩ K  K và K

(H ∩ K )

≅ HK

H

.

1.1.16. Định lý
Nếu H  G, K  G, K ≤ H thì

G

K

H

≅G
K

H

.

Chứng minh. Do K  G, K ≤ H nên K  H . H  G nên H K  G K . Xét toàn cấu
ϕ :G K → G H
aK  aH

, ker ϕ = H K . Theo Định lý đẳng cấu 1 ta được

1.1.17. Định lý
Cho H '  H , K '  K khi đó H × K H '× K ' ≅ H H ' × K K ' .
Chứng minh. Do H '  H , K '  K nên H '× K '  H × K .

8

G

K

H

≅G
K

H

.


Xét toàn cấu

ϕ : H × K → H H '× K K '

( a, b )

 ( aH ', bK ')

Theo Định lý đẳng cấu 1ta có

ta có K er ϕ= H '× K ' .

H ×K

H '× K '

≅H

H'

×K

K'

.

1.1.18. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Nếu ánh xạ ϕ : G → G là một đẳng cấu thì ϕ được gọi là
một tự đẳng cấu của G . Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G được kí hiệu là Aut (G ).
Aut (G ) là nhóm với phép nhân đồng cấu.

Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G , kí hiệu
H char G nếu ϕ ( H ) = H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) .

Nhận xét: ( [1], Mệnh đề 8.2, trang 43 )
i) Nếu ϕ ( H ) ⊂ H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) thì H char G .
ii) Nếu H char G thì H  G .
iii) Nếu H char K , K char G thì H char G .
iv) Nếu H char K , K  G thì H  G .
1.1.19. Định lý

(

)

Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho H , G H = 1 thì H char G .
,G

n thì (m, n) = 1 .Theo định lý Larrange
Chứng minh.Giả =
sử H m=
H
G = mn

Lấy bất kì ϕ ∈ Aut (G ) , đặt H ' = ϕ ( H ) thì H ' cũng có cấp m. Do H chuẩn tắc nên
d H ∩ H ' thì d là ước của m . Lại có
HH ' là nhóm con của G . Đặt =

=
HH '

H . H ' m2
m2
=
nên
là ước của mn .Mà (m, n) = 1 nên m = d .Từ đó ta được
H ∩H'
d
d

H ' = H nên H char G .

1.1.20. Định lý
Cho X , Y là các nhóm cylic cấp m, n sinh bởi các phần tử x, y tức là
=
X

=

x m ,Y

y n . Khi đó số các đồng cấu ϕ : X → Y là số các số nguyên k mà
9


=
k 0,1,..., n − 1 sao cho km n . Từ đó, ta có Aut ( P )= p − 1 với P là một nhóm cyclic cấp

p ( p là một số nguyên tố).

Chứng minh. Giả sử ϕ : X → Y là đồng cấu ϕ ( x=
) y k ,0 ≤ k < n . Khi đó theo tính
chất đồng cấu ϕ ( xl ) = ( y k ) . Vậy mọi đồng cấu ϕ : X → Y đều có dạng ϕ ( xl ) = ( y k ) .
l

l

Theo tính chất đồng cấu của ϕ ta được ϕ ( eX ) = eY nên
=
eY ϕ=
( xm )

y )
(=
k

m

y km do đó

km n =
với k 0,1,..., n − 1 .Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y là số các số nguyên k mà
=
k 0,1,..., n − 1 sao cho km n .

Khi ϕ là đồng cấu

{

Kerϕ =
xl ∈ x

}

: yk ) =
eY =
{ xl ∈ x
m (
l

m

 l
: kl  n} =
x ∈ x


m

n
: l , d =
( n, k ) .
d


n

n

Do đó Kerϕ = x d là nhóm cyclic sinh bởi phẩn tử x d với d = ( n, k ) .
Xét trường hợp P là một nhóm cyclic cấp p , số các đồng cấu ϕ : P → P là p .
Nếu ϕ là đẳng cấu thì Ker
=
ϕ

n

=
xd
eP với d = ( n, k ) . Do đó Aut ( P )= p − 1 .

1.1.21. Định lý.
Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cyclic là một nhóm giao hoán hữu hạn.
1.1.22. Định lý
Cho X là một nhóm con của G . Khi đó có một đồng cấu ϕ : N G ( X ) → Aut ( X )
với Kerϕ = CG ( X ) . Từ đó,

NG ( X )

CG ( X )

có thể nhúng vào Aut ( X ) .

Chứng minh. Xét tương ứng
ϕ : N G ( X ) → Aut ( X )
g

 f :X →X
x  x g = g −1 xg

Ker f =
xg =
g −1 xg =
1} =
g} =
{ x ∈ X : xg =
{1}
{x ∈ X : f ( x ) =

Lại có Im ( f ) = X nên f ∈ Aut ( X ) .
Lấy g1 , g 2 ∈ N G ( X ) . Khi đó
10


ϕ : N G ( X ) → Aut ( X )
g1 g 2

 f :X →X
x  xg g

=
1 2

( g=
1 g 2 ) x ( g1 g 2 )
−1

−1
−1
g=
f 2 f1 ( x )
2 ( g1 xg1 ) g 2

Do đó ϕ là đồng cấu.
Kerϕ = { g ∈ N G ( X ) : ϕ ( g ) = f = Id } = { g ∈ N G ( X ) : f ( x ) = g −1 xg = x ∀x ∈ X }
=

{ g ∈ N ( X ) : xg =
G

gx ∀x ∈ X }= CG ( X )

Theo Định lý Đẳng cấu 1 thì

NG ( X )

CG ( X )

≅ Im ϕ , do đó

NG ( X )

CG ( X )

có thể

nhúng vào Aut ( X ) .
1.2. Nhóm con Hall
1.2.1. Định nghĩa
π là một tập hợp các số nguyên tố. Đặt π ' là phần bù của π trong tập các số

nguyên tố. Khi đó nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố nằm trong π
thì n được gọi là π -số.
Nhận xét:
+ Nếu a là π -số, b là π ' -số thì a, b nguyên tố cùng nhau.
+ Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là π − số thì G được gọi là
một π − nhóm.
+Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta kí hiệu là p − số và p '− số thay
cho π − số và π '− số. Hay đơn giản hơn, số a ∈  được gọi là một p − số nếu a là
một lũy thừa của p . a được gọi là p '− số nếu ( a, p ) = 1 .
1.2.2. Định nghĩa.



n

Cho k , n ∈  . Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k | n và  k ,  = 1 .
k


1.2.3. Định nghĩa
Cho nhóm con H của nhóm G có cấp là một ước Hall của G . Khi đó H được gọi
là một nhóm con Hall của G .
1.2.4. Định lý
11


Nếu H là nhóm con π − Hall tựa chuẩn tắc của G thì H  G .
Chứng minh. Do H là nhóm con π − Hall tựa chuẩn tắc của G nên theo Định lý
1.1.11 thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G . Do đó tồn tại dãy chuẩn tắc

G 
H=
G . H là nhóm con Hall của G nên  H ,
 = 1 . Do đó
0  H 1  ...  H n

H



H

H


 H , 1 H  = 1 nên theo Định lý 1.1.19 thì H char H1 .Mà H1  H 2 nên theo Định lý



1.1.19 thì H  H 2 . Tương tự sau hữu hạn bước ta được H char G nên H  G .
Nhận xét: Nếu H , K là các p − nhóm con của G , K  G thì H ∩ K là một p −
nhóm nên H H ∩ K là một p − nhóm. Vì HK K ≅ H H ∩ K nên HK K là một p −
nhóm, vì vậy HK là một p − nhóm. Do đó ta có định nghĩa sau:
1.2.5. Định nghĩa
Nhóm con được sinh bởi tất cả các p − nhóm con chuẩn tắc của G là một p −
nhóm.
Nhận xét: Đây là p − nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G , kí hiệu là
Op (G ) .

1.2.6. Định lý
G là một nhóm, p là một số nguyên tố . Khi đó O p (G ) là giao của tất cả các p −

nhóm con Sylow của G .
Chứng minh: Đặt H = Op (G ) . K =  Pi , với Pi là các p − nhóm con Sylow của
G . Do H chuẩn tắc nên HPi = H , Pi là p − nhóm con của G chứa Pi ( Pi là p −

nhóm con Sylow bất kì của G ). Vậy HPi = Pi suy ra H ⊂ Pi ∀i nên H ⊆ K . Ngược lại,
ta chứng minh K ⊂ H bằng cách chỉ ra K cũng là một p − nhóm con chuẩn tắc của G
. Thật vậy
=
Kx

P
i

x

( P )
i

x

⊂  Pi x ( do

 P ⊂ P nên (  P )
i

i

i

x

⊂ Pi x ). Ta chứng minh

Pi x ∀y ∈ Pi , ( x −1 yx) p (=
⊂ K . Lấy x −1 yx ∈ =
x −1 yx)(x −1 yx)...(x −1 yx) x −1 y p x=1 . Do đó
n

12

n


Pi x là một p − nhóm vì vậy Pi x ⊂ Pj , Pj là nhóm con Sylow nào đó của G . Từ đó ta

được

P

x

i

⊂ K .Vậy K x ⊂ K ∀x.

Do x tùy ý nên ta cũng có K x ⊂ K ⇒ ( x −1 ) Kx −1 ⊂ K ⇒ K ⊂ x −1 Kx =
K x . Từ đó
−1

−1

ta được K= K x ∀x ∈ G . Do đó K  G .Vậy K = H .
1.2.7. Định lý ( Schur-Zassenhaus) ([8], 9.1.2, trang 253)
,G
m
sử N n=
Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G . Giả =
N

,trong đó (m, n) = 1 . Khi đó G có chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con có cấp m tùy
ý được chứa trong G đều liên hợp với nhau.
1.2.8. Định lý
Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại một nhóm con K của G
sao cho G H ≅ K .

(

)

Chứng minh: Do H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G nên H , G H = 1 .
G
=
K G
nên
Áp dụng Định lý 1.2.7 sẽ tồn tại nhóm con K của G sao cho=
H
H
K H = G . Mà ( H , K ) = 1 nên H ∩ K =
{1} . Từ đó ta có G = HK . Mà
HK

H

≅K

H ∩K

nên G H ≅ K .

1.3. Nhóm con Frattini
1.3.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G được gọi
là nhóm con Frattini của G . Kí hiệu φ (G ) .
Nhận xét. Do ta xét G là nhóm hữu hạn nên nhóm con Frattini luôn tồn tại trong
G.

1.3.2. Định nghĩa

Cho G là một nhóm. Khi đó phần tử x ∈ G được gọi là phần tử không sinh của G
nếu G = x, Y thì G = Y .
13


1.3.3. Định lý
Cho G là một nhóm. Khi đó φ (G ) chính là tập các phần tử không sinh của G
Chứng minh. Lấy x là một phần tử không sinh của G . Giả sử tồn tại nhóm con
đó G
tối đại M của G , mà x ∉ M . Khi =

=
x, M
M (mâu thuẫn).

Ngược lại lấy x ∈ φ (G ) , G = x, Y .Giả sử G ≠ Y , gọi M là nhóm con tối đại của
=
G
G chứa Y . Khi đó

=
x, Y M (mâu thuẫn).

1.3.4. Định lý
Cho G là một nhóm khi đó φ (G ) char G nên ta cũng có φ (G )  G .
Chứng minh. Lấy f ∈ Aut (G ), y ∈ f (φ (G ) ) . Khi đó tồn tại x ∈ φ (G ) : y =
f ( x) .
=
G f=
(G ) f ( x=

,Y )
Ta có G = f (G ) . Nếu G = x, Y thì
G Y
= f ( Y=
nên=
)

f ( x), f (Y ) . Do x ∈ φ ( G )

f (Y ) . Do đó
=
y f ( x) ∈ φ ( G ) . Vậy f (φ ( G ) ) ⊆ φ ( G ) . Theo

1.1.19 (i) φ (G ) char G và theo 1.1.19(ii) thì φ (G )  G.
1.3.5. Định lý
Nếu H  G thì φ ( H ) ≤ φ ( G ) .
Chứng minh. Giả sử φ ( H ) không là nhóm con của φ ( G ) . Khi đó tồn tại một
nhóm con tối đại M của G sao cho φ ( H ) ⊄ M . Do φ ( H ) char H , H  G theo 1.1.15 iv)
φ ( H )  G . Theo Định lý 1.1.6 M φ ( H ) ≤ G mà M tối đại, nên M φ ( H ) = G .
H ∩G =
H ∩ Mφ ( H ) =
Hφ ( H ) ∩ M φ ( H ) =
Do đó H =
( H ∩ M )φ ( H ) . Vậy

H ∩ M ≤ H . Nếu H ∩ M =
H thì φ ( H ) ≤ H ≤ M (mâu thuẫn). Do đó H ∩ M < H . Khi

đó tồn tại nhóm con tối đại H1 của H , H1 ⊃ H ∩ M . Do đó H = H1φ ( H ) mà φ ( H ) ⊂ H1
nên H = H 1 (mâu thuẫn).

1.3.6. Định lý
Nếu G = φ ( G ) H với H là một nhóm con của G thì G = H .

14


Chứng minh.Theo Định lý 1.3.4 φ ( G )  G do đó
=
G φ=
φ (G )
( G ) H H=

H , φ ( G ) . Theo Định lý 1.3.3 ta được G = H mà H ≤ G nên

G=H.

1.3.7. Định lý (Burside Basis Theorem)([9]).
Nếu G là một p − nhóm, với p là một số nguyên tố,
n G
G
p=
=
,
φ (G )
φ (G )

x1φ ( G ) , x2φ ( G ) ,..., xnφ ( G ) thì

G = x1 , x2 ,..., xn .

1.4. Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh
1.4.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm, tâm của G kí hiệu là Z (G ) =

{a ∈ G : ag =

ga, ∀g ∈ G} .

1.4.2. Định nghĩa
G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G

1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G thỏa Gi +1

Gi

i 0, n − 1 được gọi là dãy tâm
⊂ Z  G  ∀=
 Gi 

của G .
Nhận xét: Nếu 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G là dãy tâm thì
1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn ≤ Gn +1 ≤ ... ≤ Gn + p = G cũng là một dãy tâm.

1.4.3. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm.
Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G .
Nhận xét:
-Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm {1} .
-Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm aben.
-Nhóm lũy linh là nhóm giải được.

15


1.4.4. Định lý
Nếu G là một p − nhóm thì G là nhóm lũy linh.
Chứng minh: Do G là p − nhóm nên G = p n . Ta chứng minh qui nạp theo n .
G p, p ∈ P nên G là nhóm aben, do đó G là nhóm lũy linh.
Với n=1; =

Giả sử G là nhóm lũy linh ∀m < n .Ta chứng minh G là nhóm lũy linh khi
=
G Z (G ) + ∑ [G:C(x i )] nên Z (G )  p . Xét nhóm thương G
G = p n . Ta có

định lý Larrange G Z (G ) =

G
Z (G )

Z (G )

theo

p m , m < n . Theo giả thiết qui nạp
nên G Z=
(G )

thì G Z (G ) là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy tâm 1 = H 0 ≤ H1 ≤ ... ≤ H n = G Z (G ) .

Xét toàn cấu chiếu

p :G → G

Z (G ) . Đặt G = p −1 ( H ) . Do p là toàn cấu nên
i +1
i
g  g .Z (G )

Gi  G , ∀i . Xét dãy 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn ≤ Gn +1 = G . Ta chứng minh

Lấy a ∈ Gi +1 , b ∈ G ⇒ p(a) ∈ H i , p(b) ∈ G Z (G ) . Để ý

Hi

G
H i −1

=

Gi +1

Gi

Z (G )
H i −1

⊂ Z  G  .
 Gi 

.

−1
Khi=
đó p(a −1b −1ab) p(a) −1 p(b) −1 p(a) p(b) ∈ H i −1 ⇒ a −1b=
ab ∈ p −1 ( H i −1 ) Gi . Từ đó

ta được điều cần phải chứng minh.
1.4.5. Định lý
Cho G là nhóm lũy linh khi đó:
i) Nếu N ≤ G thì N là nhóm lũy linh.
ii)Nếu N  G thì G N là nhóm lũy linh.
iii)Nếu A,B là nhóm lũy linh thì A × B là nhóm lũy linh.
Chứng minh.
16


i)Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G
Gi  G

( Gi ∩ N )  G
Do Gi ≤ Gi +1 ⇒ 
( Gi ∩ N ) ≤ ( Gi +1 ∩ N )
N  G


Xét dãy 1 = G0 ∩ N ≤ G1 ∩ N ≤ ...Gn ∩ N = N . Ta chứng minh
Gi +1 ∩ N
Gi +1

Gi

Gi ∩ N

 . Lấy a ∈ G ∩ N , b ∈ N . Theo giả thiết
⊂ Z  N

i +1
G
N
∩
i



⊂ Z  G  nên a −1b −1ab ∈ Gi . Mà a −1b −1ab ∈ N nên ⇒ a −1b −1ab ∈ Gi ∩ N tức
 Gi 

Gi +1 ∩ N

Gi ∩ N

.
⊂ Z  N

∩
G
N
i



ii) Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G .Theo giả
thiết N  G, Gi  G, Gi ⊂ Gi +1 nên Gi N  G, Gi N ≤ Gi +1 N , N  Gi N . Do đó
Gi N

N

≤

Gi +1 N

N

,

Gi N

N

G

N

.

G0 N
GN
GN
Xét dãy
1

=
≤ 1
≤ ... ≤ n = G
N
N
N
N

Gi +1 N

Ta chứng minh

N

G


.
N
⊂Z
Gi N
Gi N 

N
N


Lấy an ∈ Gi +1 N ; b ∈ G , do

Gi +1

Gi

∈ Z  G  nên a −1b −1ab ∈ Gi . Do đó
 Gi 

−1 −1 −1
−1 −1
(an
) −1 b −1an.b n=
=
a b anb [n −1 (a −1b −1ab)n]( n
b 
nb) ∈ Gi N .
 
∈N

∈Gi

Như vậy

Gi +1

∈ Z  G  nên
Gi
 Gi 

Gi +1 N

N

G



N
⊂Z
Gi N
Gi N 

N
N


iii)Do A,B là 2 nhóm lũy linh, theo nhận xét(*)ta có thể giả sử có 2 dãy tâm có
cùng chiều dài
Do Ai ≤ Ai +1 , Bi ≤ Bi +1 , Ai  A, Bi  B nên Ai × Bi  A × B, Ai × Bi ≤ Ai +1 × Bi +1
Xét dãy1 = A0 × B0 ≤ A1 × B1 ≤ ... ≤ An × Bn ≤ A × B
17


Ta chứng minh

Ai +1 × Bi +1

Ai × Bi


⊂ Z  A × B


×
A
B
i
i


Lấy ( a ', b ') ∈ Ai +1 × Bi +1 , ( a, b ) ∈ A × B .
Theo giả thiết

Ai +1

B
⊂ Z  A  , i +1 ⊂ Z  B  nên a '−1 a −1a ' a ∈ Ai , b '−1 b −1b ' b ∈ Bi
Ai
Bi
 Ai 
 Bi 

Lại có (a ', b ') −1=
(a, b) −1 (a ', b ')(a, b) (a '−1 a −1a ' a, b '−1 b −1b ' b) ∈ Ai × Bi
Nên

Ai +1 × Bi +1

Ai × Bi


⊂ Z  A × B


A
×
B
i
i


1.4.6. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là p − lũy linh ( với p là một số nguyên tố) nếu nó có một
p '− nhóm con Hall chuẩn tắc.

1.4.7. Định lý ([8],5.4, trang 434)
Giả sử G là một nhóm không p − lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự của nó
là p − lũy linh. Khi đó G là một nhóm không lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự
của nó là lũy linh.
1.4.8. Định nghĩa
G là một nhóm, số mũ của nhóm G là bội chung nhỏ nhất của tất cả các cấp của

các phần tử trong G .
1.4.9. Định lý([13],5.2, trang 281)
Giả sử G là một nhóm không lũy linh, nhưng mọi nhóm con thực sự của G là lũy
linh thì:
(i)

G có một p − nhóm con Sylow chuẩn tắc P ( với p là một số nguyên tố) sao cho

G

P

≅ Q , với Q là q − nhóm con cyclic không chuẩn tắc của G , q là số nguyên tố,

q ≠ p.

(ii) P φ ( P) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G φ ( P) .
(iii) Nếu P không giao hoán và p ≠ 2 thì số mũ của P là p .
(iv) Nếu P không giao hoán và p = 2 thì số mũ của P là 4.
18


(v) Nếu P là nhóm giao hoán thì P có số mũ là p .
1.4.10. Định lý
Nếu G là một nhóm lũy linh, P là một p − nhóm con Sylow của G thì P là p −
nhóm con Sylow duy nhất của G . Do đó, P  G .
Chứng minh. Trước hết chứng minh được:
Nếu G là nhóm lũy linh thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa tử, nghĩa là G thỏa điều
kiện nếu H < G thì H < N G ( H ) .
Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một p–nhóm con Sylow của G, với p là một
số nguyên tố. Khi đó N G ( N G ( P)) = N G ( P) .
Thật vậy, đặt H = N G ( P) . Do P là p–nhóm con Sylow của G và P ≤ H nên P là
nhóm con Sylow của H . Hơn nữa nếu tồn tại p − nhóm con Sylow P ' của H thì
theo Định lý Sylow, P và P ' liên hợp trong H nên tồn tại x ∈ H sao cho P x = P ' tức
N G ( P ) nên xP = Px . Từ đó P ' x = Px suy ra P ' ≡ P . Do đó P là
xP = P ' x , mà x ∈ H =

p–nhóm con Sylow duy nhất của H. Vậy P  H . Với g ∈ N G ( H ) ta có P g ≤ H g =
H.
Lấy x ∈ P g khi đó tồn tại y ∈ P với y = p n sao cho x = g −1 yg . Xét
yg )
g yg )( g yg ) ... (=

g yg )
(g =
(

−1

pn

−1

−1

−1

−1 p
g=
y g 1 . Do đó P g cũng là p − nhóm con
n

pn ' s

của H . Mà P g = P Suy ra P g cũng là p–nhóm con Sylow của H, do đó P g = P , nên
g ∈ NG ( P) =
H .Suy ra N G ( H ) ≤ H và do đó N G ( H ) = H (điều phải chứng minh).

Chứng minh định lý: Đặt H = N G ( P) , theo trên ta có N G ( H ) = H . Do đó theo
chứng minh trên ta phải có H = G (vì nếu H < G thì H < N G ( H ) mâu thuẫn). Suy ra
N G ( P=
) H= G hay P  G .

1.4.11. Định lý ([8],5.2.4, trang 130)
G là nhóm hữu hạn thì các khẳng định sau là tương đương:

i) G là nhóm lũy linh.
19


ii)Mọi nhóm con tối đại của G đều chuẩn tắc.
iii) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó.
1.4.12. Định lý ([14], Định lý 1.11, trang 16)
Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn sinh thì G là nhóm siêu giải được.
1.5. Nhóm siêu giải được
1.5.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc 1 = G0 ≤ G1 ≤ G2 ≤ ... ≤ Gn = G
với tất cả nhân tử là nhóm xyclic được gọi là dãy siêu giải được của G .
G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được.

1.5.2. Định lý
Cho G là một nhóm siêu giải được. H là nhóm con của G . Khi đó H siêu giải
được.
Chứng minh. Do G siêu giải được nên trong G tồn tại một dãy siêu giải được
1 = G0 ≤ G1 ≤ G2 ≤ ... ≤ Gn = G . Do Gi  G , Gi  Gi +1 nên H ∩ Gi  H , H ∩ Gi  H ∩ Gi +1 .

Do đó trong H có dãy các nhóm con chuẩn tắc như sau
1 = H ∩ G0  H ∩ G1  H ∩ G2  ...  H ∩ Gn = H .
H ∩ Gi +1
Xét nhân tử H ∩ Gi +1 H=
∩G
i

( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi

≅

( H ∩ Gi +1 ) .Gi
Gi

≤

Gi +1

Gi

.

Do Gi +1 G là nhóm cyclic nên H ∩ Gi +1 H ∩ G nhóm cyclic.
i

i

1.5.3. Định lý
Cho H , K là 2 nhóm siêu giải được. Khi đó H × K là nhóm siêu giải được.
Chứng minh. Do H , K là 2 nhóm siêu giải được nên tồn tại 2 dãy siêu giải được
=
1 H 0  H1  H 2  ... =
H n H=
, 1 K 0  K1  K 2  ... =
K n K .Ta có
H i × 1= H i × K 0  H i +1 × K 0 , H i +1 × 1
H × K i +1

H × Ki

≅H

H

×

K i +1

Ki

≅

H i ×1

K i +1

K1

≅

H i +1

H1

×1 ≅
1

H i +1

H1

,

nên ta có dãy siêu giải được trong H × K như

sau:
20


1 = H 0 × 1  H1 × 1  H 2 × 1  ...  H n × 1 = H × K 0  H × K1  H × K 2  ...  H × K n = H × K
do đó H × K là nhóm siêu giải được.

1.5.4. Định lý
Nếu G H , G K là nhóm siêu giải được thì G H ∩ K là nhóm siêu giải được.
Chứng minh.Xét đồng cấu

ϕ :G → G H ×G K
a  (aH , aK )

Ker ϕ =
0 aK =
0} =
H ∩ K . Do đó G
{a ∈ G : aH =∧

,
H ∩K

≅ Im ϕ ⊂ G

H

×G

K

. Theo

Định lý 1.3.3 G H × G K siêu giải được, theo Định lý 1.3.2 Im ϕ siêu giải được nên
G

H ∩K

siêu giải được.

1.5.5. Nhận xét
Cho N  G , G N siêu giải được, N siêu giải được khi đó chưa chắc G là nhóm
siêu giải được.
1.5.6. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Nếu N  G , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả
các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic thì N được
gọi là nhóm G − siêu giải được.
1.5.7. Mệnh đề
Mọi nhóm con xyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G − siêu giải được.
Chứng minh. Nếu H là nhóm cyclic chuẩn tắc của G thì dãy 1  H là dãy cần
tìm. Do đó H là nhóm G − siêu giải được.
1.5.8. Định lý

Nếu N  G, N là nhóm G − siêu giải được và G N là nhóm siêu giải được thì G là
nhóm siêu giải được.
Chứng minh. Do G N là nhóm siêu giải được nên tồn tại dãy siêu giải được
1

G0
G
G
G . Do Gi  G nên G  G . Theo Định lý 1.1.13
=
 1  ...  n
i
N
N
N
N
N
N

21


Gi +1

N

Gi

≅

Gi +1

N

Gi

nên Gi +1 G là nhóm cyclic. Lại có N là nhóm G − siêu giải được
i

=
N với N i  G , N i +1 là nhóm cyclic. Do đó ta
nên
tồn tại dãy 1 N=
0  N1  ...  N m
N
i

1 N 0  N1  ...  N =
N= G0  G1  ...  G=
G.
xây dựng được dãy siêu giải được =
m
n

Vậy G là nhóm siêu giải được.
1.5.9. Mệnh đề ([8]) Nếu G là nhóm siêu giải được, M là nhóm con tối đại của G thì
G : M là một số nguyên tố.

1.5.10. Mệnh đề ([8]) Nếu G : M là số nguyên tố với mọi nhóm con tối đại M thì G
là nhóm siêu giải được.

1.5.11. Định lý
G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G

φ (G )

là nhóm siêu giải được.

Chứng minh.
⇒) Theo Định lý 1.3.4 φ ( G )  G . Nếu G là nhóm siêu giải được thì G

φ (G )

là

nhóm siêu giải được.
⇐) Với mọi nhóm con tối đại M của G thì φ ( G ) ⊂ M . Mà φ ( G )  G nên

φ ( G )  M . Do đó M
G

φ (G )

:M

φ (G )

φ (G )

là nhóm con tối đại của G

φ (G )

. Theo Mệnh đề 1.5.10,

là số nguyên tố, nên G : M là số nguyên tố ∀M . Theo Mệnh đề

1.5.11 thì G là nhóm siêu giải được.
1.5.12. Định nghĩa
Nhóm G gọi là có một tháp Sylow nếu nó có một dãy các nhóm con chuẩn tắc
1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G sao cho với mỗi i = 1, 2,.., n , Gi

con Sylow của G .
1.5.13. Mệnh Đề ([9],1.5, trang 13)

22

Gi −1

đẳng cấu với một pi − nhóm


Nếu G là nhóm siêu giải được thì G có một dãy siêu giải được
1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G với mỗi

G1

G0

G2

≥

G1

≥ ... ≥

Gn

Gi

Gi −1 là số nguyên tố và

Gn −1 .

1.5.14. Định lý
Nếu G là nhóm siêu giải được thì
G có một tháp Sylow.

i)

ii) G là nhóm pr − lũy linh, với pr là số nguyên tố bé nhất chia hết G .
iii) G có một p1 − nhóm con Sylow chuẩn tắc, với p1 là số nguyên tố lớn nhất chia
hết G .
Chứng minh.i) Trước hết ta chứng minh G có một dãy các nhóm con
G1 , G2 ,..., Gr sao cho Gi là pi − nhóm con Sylow của G ∀i =1,..., r và G1G2 ...Gk  G với
G là tháp Sylow
mỗi k = 1,=
2,..., r . Từ đó dễ thấy dãy 1 G=
0  G1  G1G2  ...  G1G2 ...Gr

cần tìm.
Ta chứng minh quy nạp trên số các ước nguyên tố của G .
. G = p n . Hiển nhiên G là p − nhóm con Sylow của G và tháp sylow cần tìm là
1 = G0  G .

. G có các ước nguyên tố p = p1 > p2 > ... > pm . Vì G là nhóm siêu giải được nên
có một dãy siêu giải được mà các thương có cấp nguyên tố phải gồm một vài thương
có cấp là p . Theo Mệnh đề 1.5.13 G có dãy siêu giải được, trong đó các thương có
=
G . Chọn r lớn nhất sao cho
đầu tiên, 1 G=
cấp p xuất hiện
0  G1  ...  Gn

Gr
G

Gr −1

= p . Khi đó Gr  G và Gr = p r . Lại có bất kỳ số nguyên tố nào là ước của

Gr đều nhỏ hơn p (do cách chọn r ). Do đó Gr là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc

23