SKKN sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số

Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Phần 1: Đặt vấn đề
Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới.Để kịp với xu hướng
này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra.Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải toán hay,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác.Phương pháp sử dụng giá
trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy.
Có những bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thi lời giải sẽ khó
hiểu,rắc rối.Nhưng nếu áp dụng phương pháp này,bài toán sẽ trở thành đơn giản,gọn hơn
rất nhiều.Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này, ngoài ra phương
pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất còn phát huy sự ưu việt trong nhiều
trường hợp khác.
Nói tóm lại, phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị
ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi cao đẳng và đại học.Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất và chính
xác nhất.
Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông,chúng ta gặp rất
nhiều bài toán giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình
,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có tham số.Để giải các bài toán dạng trên có bài
ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau,cũng có bài chỉ có thể giải được bằng
phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số . Sử dụng giá trị lớn
nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường để
giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác.
Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hóa lại bài tập,để học sinh và giáo viên
bớt lúng túng hơn.
Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải
toán,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán giải phương trình,bất phương
trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình ,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có
Ninh Thế Phụng

1

Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
tham số.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của
một hàm số với dấu đạo hàm của nó.
Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số
thích hợp,rồi nghiên cứu tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thích
hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận ra ngay từ đầu, còn trong các
trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện chúng.
Phần 2 : phương pháp, cách thức thực hiện .
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Nhắc lại tính đơn điệu của hàm số
a) Hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2
thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
b) Hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi
x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
2) Điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý 1(điều kiện cần): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) thì f '(x) ≥ 0, ∀x∈(a;b) .
b. Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ) thì f '(x) ≤ 0,∀x∈(a;b).
Đ ịnh lý 2(điều kiện đủ) : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x) > 0, ∀x∈(a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ).
b. Nếu f '(x) < 0, ∀x∈(a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
Định lý 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x) ≥ 0, ∀x∈(a;b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của
(a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) .
b. Nếu f '(x) ≤ 0, ∀x∈(a;b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của
(a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
3) Hàm số hằng:
Định lý 4 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và f '(x) = 0
∀x∈(a;b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a;b).

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN
I.

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỂ Phụng
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ.
Ninh Thế

2


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.

1.Phương pháp :
Sử dụng các giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình f(x,m) = 0
là dạng toán khá quen thuộc. Ta có hướng áp dụng sau:
Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng : f(x) = g(m) (1)
Bước 2 : Xét hàm số y = f(x)
• Tìm tập xác định D.
• Tính đạo hàm y',giải phương trình y' = 0
• Tính giới hạn và lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đổ thị hàm số
(C):y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m).
Bước 4 : kết luận
• Phương trình có nghiệm khi

.

•2. Áp
Phương

có k nghiệm phân biệt khi d cắt (C) tại k điểm phân biệt.
dụngtrình
:
• Phương trình vô nghiệm khi d và (C) không có điểm chung.
2. Áp dụng :

V í d ụ 1. Tìm m để phương trình : x + 3 = m

có nghiệm thực

(1)

Nhận xét : Bài toán này nếu khử căn bằng cách bình phương hai vế dẫn đến một
phương trình hệ quả ,phát sinh thêm nghiệm ngoại lai phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan
sát thấy pt(1) biến đổi vể được phương pháp f(x) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất
– nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn.

(1) ⇔
Ninh Thế Phụng

=m
3


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.

Xét hàm số y =

.TXĐ : D = R

Ta có : y' =
y' = 0 ⇒ 1 – 3x = 0 ⇔ x =

x
y’

−∞

y

-1

⇒y=

1/3
+

+∞

0
1

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

với đường

thẳng d : y = m.
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (1) có nghiệm thực khi :

1

V í d ụ 2. Tìm m để phương trình :
nghiệm thực

.

= m có

(2)

Nhận xét : Bài toán này dễ dàng nhận thấy cách giải bằng phương pháp đặt ẩn
số phụ,nhưng sau đó dẫn đến phương trình bậc hai có tham số với điều kiện của ẩn số
phụ và giải quyết nó sẽ phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt theo ẩn số phụ đó
biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để
giải sẽ hay hơn.
Điều kiện :

3 ≤ x ≤ 6.

Đặt t =
(2)⇔ t
Ninh Thế Phụng

, đk: 3 ≤ t ≤ 3
=m⇔

.Suy ra :

=

t2 + 2t + 9 = 2m.
4


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
t2 + 2t + 9 với 3 ≤ t ≤ 3

Xét hàm số f(t) =

có đạo hàm f '(t) =

2t + 2

f '(t) = 0 ⇔ t = 1(loại)
t

3

3

f '(t)
6

f(t)

6 -9
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

t2 + 2t + 9 với

đường thẳng d : y = 2m.
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (2) có nghiệm thực khi :
6

9 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ 3

≤ m ≤ 3.

V í d ụ 3. Tìm m để phương trình :

có nghiệm thực

(3)

Nhận xét : Bài toán này dễ dàng nhận thấy cách giải bằng phương pháp đặt ẩn
số phụ,nhưng sau đó dẫn đến phương trình bậc hai có tham số với điều kiện của ẩn số
phụ và giải quyết nó sẽ phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt theo ẩn số phụ đó
biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để
giải sẽ hay hơn.
ĐK : x ≠

,k∈Z

(3) ⇔ 1 – 3sin2x cos2x = m sin 2x ⇔ 3sin22x + 4m.sin 2x – 4 = 0 (a).
Đặt t = sin 2x , x ≠

,k∈Z. Suy ra

1

Phương trình (a) ⇔ 3t2 + 4m t – 4 = 0 (b)
Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (b) .Suy ra t ≠ 0 , (b) ⇒ 4m =
Ninh Thế Phụng

5


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Đặt y =

với

1 < t < 1 và t ≠ 0 có đạo hàm y ' =

< 0 ,∀

1 < t < 1 và t

≠ 0.
,
t
y'

1

y

1

0

1

1
Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y =

với

đường y = 4m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi : m <

vm>

.

V í d ụ 4. Tìm m để phương trình:
có nghiệm thực trên [ o; ]
Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn chưa thấy có dạng để biến đổi theo ẩn số
phụ. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt(4) biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta
áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn.
(4) ⇔

(a)

Với cosx = 0 ⇒ x =

,k∈Z không thỏa phương trình (a)

Suy ra cosx ≠ 0, chia hai vế (a) cho cos2x ta được :1 – tan2x = m
Đặt t =

, x ∈[ o; ]. Suy ra t ∈ [1;

(b)⇒1 – (t2 – 1)2 = mt ⇔ – t3 +2t = m (*) ( vì t ∈ [1;
Ninh Thế Phụng

(b)

]
]⇒ t ≠ 0 )
6


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Xét hàm số y = - t3 +2t với t ∈ [1;
y'=0⇔
t

] có đạo hàm y ' =

3t2 + 2

(loại)

1

y'
y

1

(1-

)

Để phương trình (4) có nghiệm thực trên [ o; ] khi (*) có nghiệm thực trên [1;
Suy ra (1-

)

]

≤ m ≤ 1.

= m2 + m +1

V í d ụ 5. Tìm m để phương trình :
có bốn nghiệm thực phân biệt

Vì m2 + m + 1 > 0 với mọi m , do đó phương trình tương đương với
=

( 5)

Xét hàm số y =

=

có đạo hàm

y' =

x
y'
y

-∞
+∞

Ninh Thế Phụng

0

1

2
1

+∞
+∞
7


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
0

0

Số nghiệm của phương trình (5) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):y =
đường y = a ( với a =

với

)

Dựa vào bảng biến thiên ,để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi đường y = a
( với a

)cắt đồ thị (C):y =

Khi đó : 0 <

< 1⇔

V í d ụ 6. Tìm m để phương trình :

<

tại bốn điểm phân biệt.
< 1⇔ -1 < m < 0.

= m - 2 (6)

có nghiệm thực
Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn thấy chưa có dạng để biến đổi theo ẩn số
phụ. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt(6) có chung biểu thức “ x2 – 2x” và cơ số lớn hớn 1
thì dấu của chúng phụ thuộc vào “ x2 – 2x” ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải
sẽ hay hơn.
(6)⇔

=m-2

Xét hàm số y =
TXĐ : D = R
Vì cơ số 3 > 1, 4 > 1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm
số t = x2 – 2x

x

-∞

t
Ninh Thế Phụng

1

+∞

-1
8


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
y +∞
6
+∞
Số nghiệm của phương trình (6) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y =
với đường y = m – 2
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (6) có nghiệm khi : m – 2 ≥ 6 ⇔ m ≥ 8.

V í d ụ 7 : Tìm m để phương trình :

= m ( m∈R) có

đúng hai nghiệm thực phân biệt (khối A 2008) (7)
Nhận xét : Bài toán này thấy ngay được có hai căn chứa hai biểu thức khác
nhau nên ta đưa về cách đặt theo biến u và v. Sau đó áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
để giải sẽ hay hơn.
ĐK: 0 ≤ x ≤ 6
Đặt y =

với 0 ≤ x ≤ 6

y'

= (

)+(

,0
) , v(x) = (

Đặt u(x) = (

.

Ta thấy u(2) = v(2) = 0 ⇒ f '(2) = 0. Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên khoảng (0;2) và
cùng âm trên khoảng (2;6).

x

0

Ninh Thế Phụng

2

6
9


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
y'
+6

y

Số nghiệm của phương trình (7) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi :
≤m<

+6 .

V í d ụ 8 : Tìm m để phương trình :
thực (khối A 2007)

=

( m∈R) có nghiệm

( 8)

Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn chưa thấy có dạng nào nhưng ta để ý thấy
biểu thức “x2 – 1 = (x – 1)( x +1)”thì ta chia hai vế cho

để biến đổi vể được

phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn.
ĐK : x ≥ 1

Phương trình (8)⇔

Đặt t =

(a)

, x ≥ 1. Suy ra 0 ≤ t < 1.

Khi đó (a) trở thành :
Xét hàm số y =
t

3

0

3t2 + 2t = m (b).

3t2 + 2t với 0 ≤ t < 1 có đạo hàm y ' =

6t + 2.

1

y'
Ninh Thế Phụng

10


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm sớ để giải phương trình có tham sớ.

y
0
Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m .
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi :


Phần thứ 3: ĐÚC KẾT KINH NGHIỆM – KẾT LUẬN.
- Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã mạnh dạn hơn,linh
hoạt hơn trong việc dung đạo hàm để giải tốn.
- Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm
số để giải phương trình có tham số.
- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài tốn.
- Tránh việc lập luận theo biệt thức denta
- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót,thừa nghiệm và tránh được giải
phương trình bậc cao.

Nội dung phương pháp này chỉ nêu một số ví dụ không đáng kể trong môn
toán, bên cạnh đó có những gợi ý nho nhỏ để HS nhận dạng bài toán. Đây cũng
là một phương pháp giải toán nhằm nâng cao chất lượng cho HS.
Nội dung phương pháp này không phải là vấn đề mới mẻ mà các đồng nghiệp
khác đã thực hiện từ lâu. Tuy nhiên , tôi muốn đưa ra đây để các đồng nghiệp
đóng góp ý kiến xây dựng thêm giúp tôi hoàn thiện hơn trong phương pháp
giảng dạy sau này nhằm đạt kết quả cao nhất.
Biên Hoà , ngày 25 tháng 05 năm 2012
Người viết
Ninh Thế Phụng

11


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.

Ninh Thế Phụng

Ninh Thế Phụng

12