sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành An

SỰ HỘI TỤ TRONG
LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành An

SỰ HỘI TỤ TRONG
LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ

Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số : 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CÁM ƠN
Luận văn thạc sĩ toán này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.
Nguyễn Trọng Hòa và TS. Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình viết luận văn, tôi đã được hai
thầy hướng dẫn, góp ý kiến và bổ sung những kiến thức liên quan tới đề tài của luận văn.
Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đến hai thầy, cám ơn hai thầy
vì tất cả đã làm cho tôi, để tôi trưởng thành và biết nghiên cứu về toán, một môn khoa học
cơ bản, khó khăn nhưng đầy thú vị và hấp dẫn.
Tôi cũng xin gởi lời cám ơn tới
• Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tỉnh Bà Rịa -- Vũng Tàu và Trường THPT Hòa Bình đã hỗ
trợ kinh phí cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
viết luận văn.
• Quí thầy cô giảng viên đã giảng dạy tôi 2 năm học thạc sĩ toán tại Trường Đại Học
Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.
• Gia đình nội và ngoại, đặc biệt là vợ tôi Trần Thị Minh Trang và con trai Nguyễn
Văn Minh Khang đã sát cánh bên tôi và động viên tôi trong quá trình học.
• Bạn bè trong lớp K22 -- Hình học & Tôpô đã hiểu và chia sẻ những kiến thức của
mình trong suốt quá trình tôi làm đề tài.
NGUYỄN THÀNH AN

1


MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN......................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài. ............................................................................................................4
2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu ..........................................................................5

3. Ý nghĩa khoa học của luận văn ......................................................................................5
4. Cấu trúc luận văn ...........................................................................................................5
5. Ký hiệu trong luận văn ...................................................................................................6

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7
1.1. Sự hội tụ trong không gian tôpô. ................................................................................7
1.1.1. Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) .......................................................................7
1.1.2. Sự hội tụ theo lọc (Cartan) ......................................................................................8
1.2. Không gian Riesz khối địa phương. ..........................................................................9
1.2.1. Cấu trúc dàn của không gian Riesz. ........................................................................9
1.2.2. Tôpô khối địa phương. ..........................................................................................16
1.2.3. Giới hạn quy nạp. ..................................................................................................19
1.3. Không gian hội tụ.......................................................................................................19

CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ ....................... 24
2.1. Dàn véctơ hội tụ khối địa phương. ...........................................................................24
2.2. Một số tính chất bất biến...........................................................................................29
2.3. Đối ngẫu của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. ....................................................32
2.4. Tính đầy đủ và sự làm đầy. .......................................................................................37

CHƯƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG .................................................................... 41
3.1. Định lý đồ thị đóng. ...................................................................................................41
3.2. Đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương....................................................42

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 46

2

DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

x

Lân cận của điểm x trong không gian tôpô X .

x

Cơ sở lân cận của x trong không gian tôpô X .

s ( A)

Bao khối của tập A .

τ ( x )

τ - lân cận lọc tại x .

co (  )

Bao lồi của lọc  .

(X )

Không gian các hàm thực liên tục trên không gian tôpô X .

o (  )

Không gian các hàm giá trị thực liên tục trên  .

L+

Nón dương của dàn véctơ L .

 ( X ,Y )

Không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y .

L'

Đối ngẫu tôpô của L gồm tất cả các hàm tuyến tính liên tục trên L .

L

Đối ngẫu thứ tự của L gồm tất cả các hàm tuyến tính bị chặn thứ tự trên L .

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học – Tôpô là một trong các chuyên ngành quan trọng của lý thuyết Toán học hiện
đại. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với các chuyên ngành khác như Giải tích, Đại số,… và có
nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đời sống. Trong Tôpô, bài toán về sự
hội có rất nhiều ứng dụng trong các lý thuyết cơ bản và hiện đại của Toán học, nên đây
được xem là một vấn đề thời sự được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu. Chẳng
hạn, trong tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) ta xét hai sự hội tụ sau
• Cho X là không gian tôpô compact. Dãy ( f n ) trong C ( X ) hội tụ về f ∈ C ( X )
trong tôpô đều nếu ∀ > 0, ∃N ∈  : ∀x ∈ X , n ∈ , n ≥ N , f ( x) − f n ( x) < 
Điều kiện trên tương đương với điều kiện của sự hội tụ đều tương đối trên dàn véctơ

∃u ∈ C ( X ), u ≥ 0 : ∀ > 0, ∃N ∈ , n ≥ N , −u ≤ f − f n ≤ u

Điều này cho phép ta tổng quát hóa khái niệm của sự hội tụ đều trong C ( X ) đến bất kỳ dàn
véctơ L nào đó. Hơn nữa, sự hội tụ đều tương đối trên một dàn véctơ tùy ý nói chung không
được cảm sinh bởi một tôpô. Điều này dễ thấy, bởi trong không gian Co () sự hội tụ đều
tương đối không thỏa mãn tính chất Diagonal.
• Cho (Ω, M , m) là không gian độ đo σ -hữu hạn và 1 ≤ p ≤ ∞ . Dãy ( f n ) trong Lp (Ω)
hội tụ chặn hầu khắp nơi đến f ∈ Lp (Ω) nếu
∃u ∈ Lp (Ω), E ⊂ Ω, m( E ) = 0 : ∀x ∈ Ω  E , f n ( x) ≤ u ( x), n ∈ , f n ( x) → f ( x) ∈ 

Điều kiện trên tương đương với điều kiện của sự hội tụ thứ tự trên dàn véctơ Lp (Ω)
0
∃(un ) ⊂ Lp (Ω) : − un ≤ f − f n ≤ un , n ∈  , un +1 ≤ un , n ∈  , inf {un : n ∈ } =

Điều này cho phép ta tổng quát hóa khái niệm của sự hội tụ chặn hầu khắp nơi đến bất kỳ
dàn véctơ L nào đó. Đồng thời, trên L không tồn tại tôpô được cảm sinh bởi dãy. Cụ thể,
trên L1 (Ω) không tồn tại tôpô cảm sinh hội tụ thứ tự trong khi hội tụ thứ tự trong không gian
này lại thỏa mãn tính chất Diagonal nhưng không thỏa mãn tính chất Urysohn.
Hai sự hội tụ trên cho thấy được mô hình của sự hội tụ không tôpô trên dàn véctơ, điều này
dẫn đến một số nguyên tắc cơ bản của tôpô trên dàn véctơ không được mô tả trong các
thành phần của tôpô HKB nhưng các khái niệm tổng quát của tôpô có thể mô tả được sự

4


hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, đó chính là cấu trúc hội tụ và không gian
hội tụ.
Hơn nữa, sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự được xem là tổng quát hóa một cách tự
nhiên của sự hội tụ và đóng vai trò cơ bản trong lý thuyết dàn véctơ. Tuy nhiên, không phải
sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự có thể mô tả một cách đầy đủ trong tôpô HKB. Vì

vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô
HKB và mô hình của sự hội tụ không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ. Đó chính là
một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây được xem như là tổng quát hóa
của không gian Riesz khối địa phương. Các khái niệm này được biết đến để phù hợp với sự
hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự. Đặc biệt, ứng dụng của các khái niệm này trong việc
trình bày định lí đồ thị đóng đối với các toán tử tuyến tính trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa
phương và các kết quả đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương.
Đó chính là lý do tôi chọn đề tài Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ”.

2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu hai vấn đề chính đó là Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ và một vài
ứng dụng của nó.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận văn là sử dụng các công cụ mạnh của tôpô, tổng
hợp và hoàn thiện kết quả từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề
cần nghiên cứu. Đưa ra một số ví dụ và ứng dụng cụ thể của đề tài.

3. Ý nghĩa khoa học của luận văn
Ta biết rằng, một số nguyên tắc cơ bản của tôpô trên dàn véctơ không được mô tả trong các
thành phần của tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) nhưng các khái niệm tổng
quát của tôpô có thể mô tả được sự hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith. Vì
vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô
HKB và sự hội tụ của các mô hình không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ. Đó
chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Đồng thời, chúng ta hiểu rõ
và nắm bắt được nhiều cách tiếp cận khác nhau của sự hội tụ trong nhiều chuyên ngành của
Toán học và những ứng dụng của nó.

4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày như sau
5

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài, nội dung luận văn, phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên
cứu.
Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận văn.
Chương 2 Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ.
Chương 3 Một vài ứng dụng của sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ.
KẾT LUẬN Tóm tắt kết quả đạt được và nêu vấn đề mở của đề tài.
Tài liệu tham khảo Một số tài liệu liên quan tới luận văn.

5. Ký hiệu trong luận văn
Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải
thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi
cũng dùng những ký hiệu quen thuộc. Chẳng hạn, nếu ghi 1.6.3 có nghĩa là xem mục 1.6.3 ở
chương 1; nếu ghi 2.2.5 có nghĩa là xem mục 2.2.5 ở chương 2; còn nếu ghi [10, Định lí 2.1
] có nghĩa là xem định lí 2.1 tài liệu tham khảo số 10.

6


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho đề tài
luận văn một cách cơ bản, ngắn ngọn về Sự hội tụ trong không gian tôpô; Không gian Riesz
khối địa phương; Không gian hội tụ còn những chứng minh chi tiết tham khảo tại
[1], [2], [3], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [17], [18], [23].

1.1. Sự hội tụ trong không gian tôpô.
1.1.1. Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith)
Định nghĩa 1.1.1. Tập I được gọi là tập có hướng nếu trong I có quan hệ ≤ thỏa mãn các
điều kiện sau
i) ∀i ∈ I thì i ≤ i .

ii) ∀i, j , k ∈ I sao cho i ≤ j và j ≤ k thì i ≤ k .
iii) ∀i, j ∈ I thì ∃k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k .
xi được gọi là lưới trong
Cho tập có hướng I và tập X . Khi đó, ánh xạ x : I → X , i  x ( i ) :=

X , ký hiệu { xi } i∈I . Nếu J là tập có hướng và ánh xạ a : J → I thỏa mãn
∀io ∈ I , ∃jo ∈ J : ∀j ∈ J , j ≥ jo ⇒ a ( j ) ≥ io

thì lưới { xa ( j ) }i∈J được gọi là lưới con của lưới { xi }i∈I .
Định nghĩa 1.1.2. Lưới { xi }i∈I trong không gian tôpô X hội tụ đến x ∈ X , ký hiệu xi → x
nếu ∀V ∈ U x , ∃i ∈ I , ∀j ≥ i : x j ∈ V .
Ví dụ 1.1.1. Cho X = { x1 , x2 , x3 } với tôpô {∅, X , { x1 , x3 } , { x2 , x3 } , { x3 }} . Khi đó, lưới { x3 }
hội tụ đến x1 , x2 và x3 , còn lưới { x1 , x2 } hội tụ về x2 .
Mệnh đề 1.1.1. Lưới có không quá một điểm giới hạn nếu và chỉ nếu X là không gian
Hausdorff.
Mệnh đề 1.1.2. Cho lưới { xi } hội tụ về x và { xa ( j ) }i∈J là lưới con của { xi } . Khi đó lưới con

{x }

a ( j ) i∈J

cũng hội tụ về x .

Mệnh đề 1.1.3. Cho ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian tôpô. Khi đó, các
mệnh đề sau tương đương.

7


i)

f liên tục tại xo .

ii) Nếu mọi lưới { xi } trong X hội tụ về xo thì f ( xi ) → f ( xo ) .
Lưới hội tụ trong không gian tôpô được đặc trưng bởi Tiên đề Moore - Smith như sau
Cho X là tập tùy ý và gọi S là tập các dãy trong X và P( X ) là tập tất cả các tập con của
X . Xét ánh xạ σ : S → P ( X ) , s  σ ( s ) trong đó σ ( s ) là tập tất cả các giới hạn của s . Đặc

biệt, nếu σ ( s ) = ∅ thì s không hội tụ đến bất kỳ phần tử nào của X . Còn nếu tồn tại tôpô τ
trên X sao cho σ ( s ) là tập tất cả τ -giới hạn của s ∈ S thì các điều kiện sau luôn thỏa mãn.
• Nếu s là dãy mà tất cả các số hạng đều bằng x thì x ∈ σ ( x) .
•

Nếu x ∈ σ ( s ) thì x ∈ σ ( s′) với s' là dãy con tùy ý của s .

• Nếu dãy con s' lại chứa dãy con s'' mà x ∈ σ ( s′′) thì x ∈ σ ( s ) .
• Giả sử s n = ( xmn ) với xn ∈ σ ( s n ), ∀n ∈  và x ∈ σ ( s ) với s = ( xn ) thì tồn tại ánh xạ tăng
nghiêm ngặt δ :  →  sao cho x ∈ s′ với s′ = ( xδn( n ) ) .
Các điều kiện từ MS1) đến MS4) được gọi là tiên đề Moore - Smith, điều kiện MS3) còn
được gọi là tính chất Urysohn và MS4) được gọi là tính chất Diagonal.
1.1.2. Sự hội tụ theo lọc (Cartan)
Định nghĩa 1.1.3. Một lọc trên tập X là một tập con F của P( X ) sao cho
i)

Với mọi A ∈ F thì A ≠ ∅ .

ii) Với A, B ∈ F thì A ∩ B ∈ F .
iii) Với A ∈ F mà A ⊂ B ⊂ X thì B ∈ F .
\end{dn}
Từ iii) của định nghĩa 1.1.3 dễ thấy rằng X ∈ F bằng cách chọn X = B .

Định nghĩa 1.1.4. Họ E ≠ ∅ với E ⊂ P( X ) là cơ sở lọc trong X nếu E thỏa mãn các điều
kiện sau
i)

Với A ∈ E thì A ≠ ∅ .

ii) Với A1 , A2 ∈ E tồn tại A ∈ E sao cho A ⊂ A1 ∩ A2 . Khi đó lọc
F=

{ A ∈ P( X ) : ∃B ∈ E , B ⊂ A}

gọi là lọc sinh bởi cở sở lọc E , ký hiệu là F = [ E ] hoặc F = [ E ] X .
Cho F và G là hai lọc trên X . Ta nói lọc F mịn hơn lọc G nếu G ⊆ F . Một lọc F trong
X được gọi là siêu lọ nếu ∀G ⊂ X : F ⊂ G ⇒ F =
G

8


Do vậy, với mỗi lọc F trong =
X thì F

 {G : G ⊇ F là siêu loc} . Khi đó, mỗi lọc đều tồn

tại siêu lọc mạnh hơn nó.
=
f (F ) :
Nếu ánh xạ f : X → Y và F là lọc trên X thì

{ f ( F ) : F ∈ F } là cơ sở lọc và được gọi

là ảnh lọc F trên Y . Đặc biệt, nếu F là siêu lọc trên X thì f ( F ) là siêu lọc trên Y .
Định nghĩa 1.1.5. Lọc F hội tụ về xo , ký hiệu F → xo nếu ∀V ∈ U x , ∃A ∈ F : A ⊂ V
o

Từ định nghĩa 1.1.5 ta thấy
F → xo ⇔ F mạnh hơn U o

Mệnh đề 1.1.4. Mỗi lọc trong X có không quá một điểm giới hạn khi và chỉ khi X là không
gian Hausdorff.
Định lí 1.1.5. Cho ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian tôpô. Khi đó, các mệnh
đề sau tương đương.
i)

f liên tục tại xo .

ii) Nếu mọi lọc F trong X hội về xo thì f ( F ) → f ( xo ) .
Cho lưới { xi }i∈I , đặt=
Mi :

{x

j

: j ≥ i} . Khi đó, họ {M i }i∈I là cơ sở lọc, lọc tương ứng gọi là

lọc liên kết với lưới. Mối liên hệ về sự hội tụ của lưới và lọc được thể hiện bởi định lí sau
Định lí 1.1.1. Lưới { xi } hội tụ về x nếu và chỉ nếu lọc tương ứng hội tụ về x .

1.2. Không gian Riesz khối địa phương.

Dàn véctơ được biết đến như là không gian Riesz. Vì thế, tôi sẽ trình bày một cách cơ bản,
ngắn ngọn về không gian Riesz khối địa phương, xem [1], [6], [13].
1.2.1. Cấu trúc dàn của không gian Riesz.
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian véctơ thứ tự L là không gian véctơ thực được trang bị
một quan hệ thứ tự ≥ tương thích với cấu trúc đại số L
thỏa mãn các tính chất sau
i) Nếu u, v ∈ L sao cho u ≥ v thì u + w ≥ v + w, ∀w ∈ L .
ii) Nếu u, v ∈ L sao cho u ≥ v thì λu ≥ λ v, ∀λ ∈ , λ ≥ 0 .
Phần tử không của L được ký hiệu là 0 . Nếu u ≥ 0 thì u gọi là phần tử dương, còn nếu
u > 0 thì u gọi là phần tử dương nghiêm ngặt. Khi đó, tập hợp L+ =
{u ∈ L : u ≥ 0} $được gọi

là nón dương của L .
Tính chất 1.2.1. Nón dương L+ có các tính chất sau
9


i)

L+ + L+ ⊆ L+ , trong đó L+ + L+ = {u + v : u , v ∈ L+ }

{λu : u ∈ L }

ii) λ L+ ⊆ L+ với 0 ≤ λ ∈  , trong đó=
λ L+

+

iii) L+ ∩ ( − L+ ) =
{0} , trong đó − L+ =−

{ u : u ∈ L+ }
Bất kỳ tập con C của không gian véctơ thực L thỏa mãn ba tính chất a), b) và c) được gọi là
nón của L . Nếu C là nón của L và với quan hệ u ≥ v dẫn đến u − v ∈ C thì L có một nón
dương chính là C .
Định nghĩa 1.2.1. Tập con A khác rỗng của không gian thứ tự L được nói là có supremun,
ký hiệu sup A nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i)

∃u ∈ L : u ≥ a, ∀a ∈ A .

ii) Nếu ∃v ∈ L : v ≥ a, ∀a ∈ A thì v ≥ u .
Định nghĩa tương tự cho infimun của A , ký hiệu là inf A . Ta sẽ ký hiệu sup {u, v}=: u ∨ v và
inf {u , v}= u ∧ v .

Định nghĩa 1.2.3. Không gian véctơ thứ tự L là không gian Riesz (hoặc dàn véctơ) nếu bất
kỳ hai phần tử u, v ∈ L luôn tồn tại sup {u, v} trong L .
Ví dụ 1.2.1. Xét L =  n là không gian véctơ sao cho=
u ∈  n thì u (u1 ,..., un ) voi ui ∈ 
Với mọi u, v ∈ L ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau u ≥ v ⇔ ui ≥ vi voi 1 ≤ i ≤ n
Khi đó, dễ dàng kiểm tra được L là không gian Riesz.
Định lí 1.2.1. Mỗi không gian Riesz L có tính chất sau
i)

(Tính chất phân hoạch trội). Nếu 0 ≤ u ≤ z1 +  + z p với zn ∈ L+ thì tồn tại
u1 ,..., u p ∈ L+ sao cho u = u1 +  + u p và un ≤ zn voi n = 1,..., p

ii) (Tính chất nội suy Riesz) Nếu u, v, z1 , z2 ∈ L+ và u + v = z1 + z2 thì tồn tại u1 , u2 , v1 , v2 sao
cho
u1 + u2 =
u

u1 + v1 =
z1

v2 + v1 =
v
v2 + u2 =
z2

Phần tử u của L có phần dương là u + =: u ∨ 0 , phần âm là u − :=(−u ) ∧ 0 và giá trị tuyệt đối
là {u} := u ∨ (−u ) .

10


Định lí 1.2.2. Nếu u, v và w là các phần tử thuộc không gian Riesz L thì
i)

u +v = u ∨v+u ∧v.

ii) =
0.
u u + − u − và u + ∧ u − =
iii) u ∨ v = (u − v) + + v = (v − u ) + + u .
iv) u ∧ v = u − (u − v) + = v − (v − u ) + .
v) u= u + + u − (dẫn đến [u ] = 0 nếu và chỉ nếu u = 0 ).
vi) u − v ≤ u + v ≤ u + v .
vii) u + (v ∨ w) = (u + v) ∨ (u + w) và u + (v ∧ w) = (u + v) ∧ (u + w) .
viii) λ (u ∨ v)= (λu ) ∨ (λ v) và λ (u ∧ v)= (λu ) ∧ (λ v) nếu λ ≥ 0 .
ix) λu = λ u với λ ∈  .
x) u − (v ∨ w) = (u − v) ∨ (u − w) và u − (v ∧ w) = (u − v) ∧ (u − w) .

xi) u − v = u ∨ v − u ∧ v .
xii) u ∨ w − v ∨ w + u ∧ w − v ∧ w = u − v .
xiii) Nếu u, v, w ∈ L+ thì (u + v) ∧ w ≤ u ∧ w + v ∧ w .
Từ tính chất c) suy ra rằng không gian véctơ thứ tự L là không gian Riesz nếu và chỉ nếu
phần tử u + tồn tại với u ∈ L , tức là sup {u, 0} tồn tại với u ∈ L .
Định nghĩa 1.2.4. Tập con S của không gian Riesz L được gọi là khối nếu
∀u ∈ S , v ∈ L : v ≤ u ⇒ v ∈ S

Mỗi tập con A của L được chứa trong tập khối nhỏ nhất gọi là bao khối của A ký hiệu là
s ( A) . Khi đó, ta có thể môtả s ( A) như sau
s ( A) =

{v ∈ L : ∃u ∈ A, u ≤ v }

Tính chất 1.2.2. Nếu L là không gian Riesz và hai tập F , G ⊆ L thì
i) s ( F + G ) ⊆ s ( F ) + s (G ) .
ii) s ( F ∪ G )= s ( F ) ∪ s (G ) .
iii) s (α F ) = α s ( F ) với α ∈  .




 i∈I



Từ ii) của tính chất 1.2.2 nếu {Fi : i ∈ I } là họ tập con của L thì s   Fi  =  s( Fi )
Mỗi tập con khối S đều là tập cân đối, tức là
u ∈ S thì λu ∈ S

11

i∈I


Định lí 1.2.3. Bao lồi của tập khối trong không gian Riesz là tập khối.
Định nghĩa 1.2.5. Cho K là không gian véctơ con của không gian Riesz L . Khi đó, ta nói
rằng
i) K là không gian Riesz con của L nếu mỗi cặp u, v ∈ K thì u ∨ v thuộc K .
ii) K là ideal của L nếu K là khối con của L .
iii) ideal K là bó nếu tồn tại tập con của A có supremun trong L thì supremun thuộc A
.
Từ c) của định lí 1.2.2 ta thấy rằng một không gian véctơ con K của không gian Riesz L là
không gian Riesz con nếu và chỉ nếu với mỗi u ∈ K thì u + ∈ K . Vì 0 ≤ u + ≤ u nên mỗi
ideal là không gian Riesz con, chiều ngược lại không đúng nhưng ta có thể chứng minh
được bằng mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.1. Không gian Riesz con K là ideal của L nếu 0 ≤ u ≤ v và v ∈ K thì u ∈ K .
Mỗi tập con D của không gian Riesz L đều nằm trong ideal nhỏ nhất A gọi là ideal sinh
bởi D . Khi đó, A là giao của tất cả các ideal chứa D , nghĩa là
n


=
A u ∈ L : ∃u1 ,..., un ∈ D và λ1 ,..., λn ∈  + voi u ≤ ∑ λi ui 
i =1



Ideal chính tắc là ideal sinh bởi một phần tử u, ký hiệu Au . Nếu A, B là ideal của L thì tổng
đại số A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} cũng là ideal của L .

Lưới {uα } trong không gian Riesz L gọi là tăng, ký hiệu uα ↑ nếu thỏa mãn
∀α , β : β ≥ α thì uβ ≥ uα

Tương tự, thì uα ↓ là ký hiệu lưới giảm trong không gian Riesz L . Ta cũng sẽ ký hiệu
uα ↑ u được hiểu là lưới {uα } tăng và tồn tại supremun của {uα } bằng u . Ý nghĩa tương tự

cho ký hiệu uα ↓ u .
Định nghĩa 1.2.6. Lưới {uα } của không gian Riesz L hội tụ thứ tự đến u ∈ L , ký hiệu uα (
o)u
nếu tồn tại lưới {vα } sao cho vα ↓ 0 thì uα − u ≤ vα , ∀α .
Từ e) và f) của định lí 1.2.6 dễ dàng thấy rằng giới hạn của lưới là duy nhất. Đồng thời, hội
tụ thứ tự có các tính chất sau

12


Tập con S của không gian Riesz L gọi là đóng thứ tự nếu với mỗi {uα } ⊆ S sao cho uα → u
thì u ∈ S . Khi đó, ideal đóng thứ tự được gọi là bó. Đồng thời, ideal A
là bó nếu và chỉ nếu 0 ≤ uα ↑ u với {uα } ⊆ A thì u ∈ A .
Định nghĩa 1.2.7. Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz L . Khi đó, K
được gọi là trù mật thứ tự trong L nếu với mỗi 0 < u ∈ L tồn tại v ∈ K sao cho 0 < v ≤ u .
Hai phần tử u và v của một không gian Riesz gọi là trực giao, ký hiệu u ⊥ v nếu
u∧v =
0

Tính trực giao có các tính chất sau

Phần bù trực giao của tập D ≠ ∅ trong không gian Riesz L được định nghĩa bởi
D d :=

{u ∈ L : u ⊥ v, ∀v ∈ D}

Dễ thấy rằng D d là ideal của L . Phần bù trực giao của D d được ký hiệu D dd . Do đó
D ∩ Dd =
{0} và D ⊆ D dd . Hơn nữa, nếu A ⊆ B thì B d ⊆ Ad .

Định lí 1.2.5. Nếu A là ideal của không gian Riesz L thì A trù mật thứ tự trong Add .
Hệ quả 1.2.1. A trù mật thứ tự trong L nếu và chỉ nếu Ad = {0} .
Hệ quả 1.2.2. Với mỗi ideal A trong không gian Riesz L thì ideal A ⊕ Ad trù mật thứ tự
trong L .
Một điều thú vị của không gian Riesz là lớp các không gian Riesz Archimedes.
13


Định nghĩa 1.2.8. Một không gian Riesz L được gọi là Archimedes nếu với u, v ∈ L+ và
nu ≤ v, ∀n ∈ * thì u = 0 .

Dễ dàng kiểm tra được rằng không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes cũng
là không gian Archimedes.
Định lí 1.2.6. Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes L . Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương.
i) K trù mật thứ tự trong L .
u sup {v ∈ K : 0 ≤ v ≤ u} trong L .
ii) Với mỗi u ∈ L+ thì=

Mệnh đề ii) của định lí 1.2.6 tương đương với mỗi u ∈ L+ tồn tại lưới {uα } ⊆ K sao cho
0 ≤ uα ↑ u trong L .

Định lí 1.2.7. Cho L là không gian Riesz. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.
L là Archimedes.

i) Nếu mỗi lưới bị chặn {λα } trong  hội tụ về 0 thì

với mỗi u ∈ L .

ii) A = Add với mọi bó A trong L .
0 với
iii) Với mọi tập con khác rỗng S của L+ thì inf {u − v : u ∈ S , v ∈ T } =
T=

{v ∈ L : 0 ≤ v ≤ u, ∀u ∈ S } .

Định nghĩa 1.2.9. Ánh xạ tuyến tính π : L → M với L và M là hai không gian Riesz được
gọi là
• đồng cấu Riesz nếu u ∧ v trong L thì π (u ) ∧ π (v) trong M .
• đẳng cấu Riesz nếu π đồng cấu Riesz và song ánh.
Hai không gian Riesz L và M được gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu Riesz giữa chúng.
Đồng cấu Riesz bảo toàn cấu trúc dàn được mô tả bởi định lí sau
Định lí 1.2.8. Cho ánh xạ tuyến tính π : L → M giữa hai không gian Riesz L và M . Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương.

14


Định lí 1.2.9. Nếu π là đồng cấu Riesz thì
i) u ≥ v trong L thì π u ≥ π v trong M .
ii) Hạt nhân của π là ideal của L .
Từ định lí 1.2.9 nếu cho v = 0 thì π u ≥ 0 thì ta gọi π là ánh xạ tuyến tính dương. Do đó,
mọi đồng cấu Riesz đều là ánh xạ tuyến tính dương dẫn đến mọi đẳng cấu Riesz đều là ánh
xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không đúng. Định lí sau sẽ cho chúng ta

điều kiện để chiều ngược lại đúng.
Định lí 1.2.10. Song ánh tuyến tính dương π là đẳng cấu Riesz nếu và chỉ nếu π −1 dương.
Ví dụ 1.2.2.
Cho L là mặt phẳng hai chiều với thứ tự tọa độ theo điểm tức là

và M là mặt phẳng hai chiều với thứ tự như sau

Ánh xạ đồng nhất từ L vào M là ánh xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không
dương.
Đồng thời, L và M không đẳng cấu Riesz bởi vì ánh xạ tuyến tính 1-1 từ M vào L biến
nửa mặt phẳng {( y1 , y2 ) : y1 > 0} thành nửa mặt phẳng nhưng nửa mặt phẳng này không
dương trong L . Hơn nữa, L là Archimedes còn M thì không.
Định lí 1.2.11. Cho π : L → M là đồng cấu Riesz và S là khối con của L . Khi đó, π ( S )
cũng là tập khối con của M .
Định nghĩa 1.2.10. Cho L là không gian Riesz và A ⊂ L .
Với hai phần tử u, v ∈ L đoạn thứ tự [u, v ] được định nghĩa như sau

[u, v ] := {w ∈ L : u ≤ w ≤ v}
15


Tập con A của L bị chặn thứ tự nếu A chứa trong một đoạn thứ tự.
Ánh xạ tuyến tính T : L → M với L và M là hai không gian Riesz được gọi là bị chặn thứ
tự nếu A bị chặn thứ tự trong L thì T ( A) bị chặn thứ tự trong M .
Tập con A của không gian X là tập con đóng bất khả quy của X nếu A = cl X (intA)
Ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian bất kỳ được gọi là ánh xạ đóng bất khả
quy nếu A là tập con đóng bất khả quy trong X thì f ( A) là tập đóng trong Y .
1.2.2. Tôpô khối địa phương.
Định nghĩa 1.2.11. Một tôpô τ trên không gian véctơ E được gọi là tôpô tuyến tính nếu
hai hàm

Một không gian véctơ tôpô ( E ,τ ) là không gian véctơ E được trang bị một tôpô tuyến tính
τ . Mỗi tôpô tuyến tính τ trên E đều có một cơ sở V là lân cận tại 0 đồng thời thỏa mãn ba

tính chất sau

Ngược lại, nếu một họ V các tập con của không gian véctơ E tạo thành một cơ sở lọc, tức là

thỏa mãn ba tính chất trên thì tồn tại duy nhất một tôpô tuyến tính τ trên E có cơ sở là họ
V tại 0 .

Định lí 1.2.12. Cho V là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô E . Khi đó, E là
Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x ≠ 0 đều có một V ∈ V không chứa x , tức là

 V = {0}

V ∈V

Định nghĩa 1.2.12. Một không gian véctơ tôpô ( E ,τ ) được gọi là khả mêtríc nếu tồn tại một
hàm mêtríc

16


sao cho tôpô sinh bởi d là τ .
Định lí 1.2.13. Không gian véctơ tôpô Hausdorff ( E ,τ ) là khả mêtríc nếu và chỉ nếu τ có
một cơ sở lân cận đếm được tại 0 .
Tập con A của không gian véctơ tôpô được gọi là chặn tôpô nếu với mỗi τ -lân cận V của
0 tồn tại λ > 0 sao cho λ A ⊆ V . Tôpô lồi địa phương τ trên E là tôpô tuyến tính có cơ sở

tại 0 gồm các tập hợp lồi.
Định nghĩa 1.2.13. Một không gian véctơ ( E ,τ ) là không gian lồi địa phương nếu τ là tôpô
lồi địa phương Hausdorff.
Nếu {ρα } là họ nửa chuẩn trên không gian véctơ E thì ta luôn định nghĩa tôpô lồi địa
phương trên E sinh bởi họ nửa chuẩn đó.
Định lí 1.2.14. Cho τ là tôpô tuyến tính trên E . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.
i) τ là tôpô lồi địa phương.
ii) Tồn tại họ nửa chuẩn {ρα } trên E sinh ra tôpô τ .
Tập con A của không gian lồi địa phương ( E ,τ ) với τ là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {ρα }
là τ -bị chặn nếu và chỉ nếu ρα ( A) bị chặn trong  với mọi α .
Định nghĩa 1.2.14. Không gian Fréchet là không gian véctơ lồi địa phương đầy đủ, khả
mêtríc.
Như vậy mọi không gian Banach đều là không gian Fréchet.
Bổ đề 1.2.1. Trong một không gian Fréchet E mỗi tập V lồi, cân đối, đóng và hấp thụ là
một lân cận của 0.
Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thụ trong một không gian lồi địa phương cũng được gọi là
một thùng. Khi đó, một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của 0
gọi là một không gian thùng. Điều này dẫn đến mọi không gian Fréchet đều là không gian
thùng.
Định nghĩa 1.2.15. Một tôpô tuyến tính τ (không cần thiết là Hausdorff) trên không gian
Riesz L được gọi là khối địa phương nếu τ có một cơ sở lân cận của 0 gồm tập hợp các
khối.
Một không gian Riesz L được trang bị một tôpô khối địa phương τ được gọi là không gian
Riesz khối địa phương ( L,τ ) . Kết quả sau đây thể hiện đặc trưng của tôpô tuyến tính đó là
khối địa phương.

17


Định lí 1.2.15. Cho τ là tôpô tuyến tính trên không gian Riesz L . Khi đó, các mệnh đề sau

là tương đương.

Tính liên tục của u  u + tại 0 từ định lí 1.2.15 có đủ đảm bảo tôpô tuyến tính τ là khối địa
phương không? Câu trả lời là không, xem ví dụ ở [1].
Gọi {( Lα ,τ α )} là họ không gian Riesz khối địa phương. Ta đặt

Định lí 1.2.16. Giả sử {( Lα ,τ α )} là họ không gian Riesz khối địa phương. Khi đó ( L,τ ) là
không gian Riesz khối địa phương.
Tiếp theo là một tính chất của không gian Riesz khối địa phương Hausdorff.
Định lí 1.2.17. Cho ( L,τ ) là không gian Riesz khối địa phương Hausdorff. Khi đó, ta có các
mệnh đề sau

18


1.2.3. Giới hạn quy nạp.
Cho X là không gian véctơ tôpô, họ không gian lồi địa phương X λ với λ ∈ I và với mỗi
λ ∈ I một họ ánh xạ tuyến tính vλ : X λ → X . Gọi ψ là tập tất cả các tôpô lồi địa phương trên
X sao cho trong mỗi tôpô ấy thì họ ánh xạ tuyến tính vλ liên tục. Nếu G ∈ψ và G′ là tôpô

lồi địa phương yếu hơn G thì G′ ∈ψ . Do đó, ta sẽ quan tâm tới tôpô mạnh nhất trong họ ψ ,
tôpô đó gọi là tôpô lồi địa phương tận cùng của họ các tôpô trên X λ đối với họ ánh xạ tuyến
tính vλ .
Định nghĩa 1.2.16. Không gian véctơ tôpô X với tôpô lồi địa phương tận cùng được gọi là
giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương X λ đối với
các ánh xạ tuyến tính liên tục vλ .
Vấn đề đặt ra liệu có tồn tại tôpô lồi địa phương tận cùng hay không?
Định lí 1.2.18. Cho B là họ các tập V ⊂ X lồi, cân đối và hấp thụ sao cho mỗi vλ−1 (V ) là
lân cận trong X λ . Khi đó, tôpô lồi địa phương tận cùng chính là tôpô nhận B làm cơ sở lân
cận.

Nếu không gian véctơ tôpô sinh bởi

 vλ ( X λ ) trùng với

λ∈I

X và với mỗi λ cho Vλ là

một cơ sở lân cận lồi, cân đối của X λ . Khi đó, từ định lí 1.2.18 suy ra rằng
Nếu với mỗi λ ta lấy một tập Vλ ∈ Vλ rồi lấy tập lồi, cân đối nhỏ nhất V bao hàm
vλ ( X λ )

λ

thì họ V tất cả các tập V xây dựng theo cách đó sẽ cho một cơ sở lân cận của

∈I

giới hạn quy nạp.
Hệ quả 1.2.3. Giới hạn quy nạp của các không gian thùng cũng là không gian thùng.

1.3. Không gian hội tụ.
Như đã biết, các khái niệm của tôpô đều mô tả được sự hội tụ nhưng không thỏa mãn tiên đề
Moore - Smith, đó là cấu trúc hội tụ và không gian hội tụ.
Định nghĩa 1.3.1. Một cấu trúc hội tụ λ trên tập X là ánh xạ đi từ X vào tập powerset
của tập tất cả các lọc trên X thỏa mãn các điều kiện sau

19

Nếu λ là cấu trúc hội tụ trên tập X thì cặp ( X , λ ) được gọi là không gian hội tụ. Đôi khi, ta
cũng ký hiệu X thay cho cặp ( X , λ ) . Nếu F ∈ λ ( x) điều này có nghĩa là F hội tụ về x . Khi
đó, mỗi tôpô τ trên X đều được đồng nhất với cấu trúc hội tụ tự nhiên λτ trên X được xác
định như sau

Lưu ý rằng, trong trường hợp này Uτ ( x) là τ -lân cận lọc tại x .
Ví dụ 1.3.1. Cho ( X , λ ) là không gian hội tụ hoặc không gian tôpô. Ta định nghĩa cấu trúc
hội tụ µ trên X như sau

Khi đó, ( X , µ ) là không gian hội tụ hoặc biến đổi siêu lọc.
Định nghĩa 1.3.2. Cho hai không gian hội tụ X và Y . Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x ∈ X
nếu F → x trong X thì f ( F ) → f ( x) trong Y .
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ X thì ánh xạ f được gọi là liên tục trên X . Từ định nghĩa cấu
trúc hội tụ và sự liên tục của hai không gian hội tụ cho ta nhận xét sau
\begin{itemize}
• Cho λ và µ là hai cấu trúc hội tụ trên tập X . Ta nói λ mịn hơn µ nếu với mọi
x ∈ X thì λ ( x) ⊆ µ ( x) điều này cũng tương đương với ánh xạ đồng nhất
( X , λ ) → ( X , µ ) liên tục.

• Nếu ( X ,τ 1 ) và (Y ,τ 2 ) là hai không gian tôpô thì ánh xạ f : ( X ,τ 1 ) → (Y ,τ 2 ) liên tục
tại x ∈ X nếu ánh xạ f : ( X , λτ ) → (Y , λτ ) liên tục tại x ∈ X .
1

2

• Cho X, Y và Z là ba không gian hội tụ. Nếu ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z liên tục
thì ánh xạ g ° f : X → Z liên tục. Trong trường hợp đặc biệt, g ° f liên tục nếu f và
g liên tục.

20

Từ các không gian hội tụ đã biết, chúng ta sẽ xây dựng một cấu trúc hội tụ mới đó là cấu
trúc hội tụ đầu và cuối. Cấu trúc này sẽ cho phép chúng ta xây dựng không gian con, tích,...
Định nghĩa 1.3.3. Cho họ { X i }i∈I của các không gian hội tụ X i và ánh xạ fi : X → X i với
X là tập bất kỳ. Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ đầu trên X đối với ( fi )i∈I nếu và

chỉ nếu fi ( F ) → fi ( x) trong X i với i ∈ I .
Dễ thấy rằng cấu trúc hội tụ đầu là cấu trúc hội tụ thô nhất trên X tác động đến các fi liên
tục. Đặc biệt, cấu trúc hội tụ đầu cũng chính là cấu trúc hội tụ.

Định nghĩa 1.3.4. Cho họ { X i }i∈I của các không gian hội tụ X i và ánh xạ fi : X → X i với
X là tập bất kỳ. Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ cuối trên X đối với ( fi )i∈I nếu

và chỉ nếu F = [ x ] hoặc nếu tồn tại hữu hạn i1 ,..., in điểm xk ∈ X i và lọc Fk
k

hội tụ đến xk trong X i sao cho fi ( xk )= x, ∀k và F ⊇ fi ( F1 ) ∩  ∩ f n ( Fn ) .
k

k

1

1

Dễ thấy rằng cấu trúc hội tụ cuối là cấu trúc hội tụ mịn nhất trên X tác động đến các fi liên
tục.
Ví dụ 1.3.3. Cho X là không gian hội tụ và ánh xạ q : X → Y toàn ánh với Y là tập tùy ý.
Cấu trúc hội tụ thương là cấu trúc hội tụ cuối trên Y đối với q . Một lọc F hội tụ đến y nếu

và chỉ nếu tồn tại x1 ,..., xk ∈ X và với mỗi k lọc Fk hội tụ đến xk sao cho q( xk ) = y và
q ( F1 ) ∩  ∩ q ( Fn ) ⊆ F . Khi đó, không gian hội tụ Y được gọi là không gian hội tụ thương.

Cho ( X , λ ) là không gian hội tụ.

21


Định nghĩa 1.3.5. Một không gian hội tụ X được gọi là

Từ định nghĩa 1.3.5 cho ta quy tắc sau

Bổ đề 1.3.1. Nếu ánh xạ f : X → Y liên tục với X và Y là hai không gian hội tụ thì
f ( a ( A) ) ⊆ a ( f ( A) ) với mọi A ⊆ X .

Định nghĩa 1.3.6. Một cấu trúc hội tụ λ trên không gian thực X được gọi là cấu trúc
không gian véctơ hội tụ nếu hai ánh xạ

Cặp ( X , λ ) được gọi là không gian véctơ hội tụ. Hơn nữa, các tích X × X và  × X được
trang bị cấu trúc hội tụ tích theo ví dụ 1.3.2.
Trong không gian véctơ hội tụ X , tập con B của X bị chặn nếu lọc NB hội tụ về 0 . Lọc
F trên X bị chặn nếu lọc

hội tụ về 0. Không gian X được gọi là bị chặn địa phương nếu mọi lọc hội tụ trong X đều
chứa một tập bị chặn.

22


Định nghĩa 1.3.7. Không gian véctơ hội tụ X được gọi là lồi địa phương nếu mỗi lọc F

hội tụ về 0 trong X thì bao lồi

cũng hội tụ về 0.
Trong không gian véctơ hội tụ X . Ta nói rằng

23