tích bện chuẩn và các nhóm con sylow của nhóm đối xứng

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Quảng Đại Mưa

TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON
SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Quảng Đại Mưa

TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON
SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Bùi Xuân Hải

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


1

LỜI CÁM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, trường THPT An phước, Sở giáo dục tỉnh Ninh
thuận, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi được học tập và hoàn thành luận
văn này .
Xin chân thành cám ơn quý thầy đã tham gia giảng dạy lớp Cao học
chuyên nghành Đại số và Lý thuyết số khóa 21, đã trang bị cho tôi những
kiến thức cơ bản làm nền tảng quý báu cho quá trình nghiên cứu của tôi. Đặc
biệt tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS - TS. Bùi Xuân
Hải đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Cám ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.
Cám ơn các bạn trong lớp cao học chuyên nghành Đại số và Lý thuyết số
khóa 21 đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để tôi hoàn thành tốt luận
văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 24 tháng 09 năm 2012.
Học viên
Quảng Đại Mưa


2

LỜI NÓI ĐẦU
Các nhóm hoán vị đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm vì theo

Định lý Calley thì bất kì nhóm nào cũng nhúng được vào một nhóm đối xứng .
Với sự hiểu biết về cấu trúc nhóm hoán vị sẽ mang lại nhiều tiện lợi cho việc
hiểu biết về nhóm nói chung.
Vì vậy, trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, luận văn sẽ nghiên cứu xây
dựng tích bện chuẩn của hai nhóm bất kì, và sử dụng tích bện chuẩn này để
mô tả các nhóm con Sylow của nhóm đối xứng Sn . Để thực hiện mục đích đó,
luận được chia thành hai chương gồm:
Chương 1: Kiến thức cơ sở .
Trong chương này trình bày các định nghĩa và các tính chất cơ bản về
nhóm đối xứng, tác động của nhóm lên tập hợp, p – nhóm hữu hạn, tích trực
tiếp, tích nửa trực tiếp cần thiết cho chương 2.
Chương 2: Xây dựng tích bện chuẩn của hai nhóm bất kì và mô tả nhóm con
Sylow của nhóm đối xứng Sn .
Trong chương này chúng tôi xây dựng tích bện của hai nhóm hoán vị, sau
đó vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn của hai nhóm bất kì,
và vận dụng tích bện chuẩn để mô tả các nhóm con Sylow của nhóm đối xứng
S n . Cuối cùng chúng tôi cho một vài ví dụ để minh họa cụ thể .


3

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................................ 1

1.1. Nhóm đối xứng .............................................................................................................. 1
1.2. Tác động nhóm lên tập hợp ....................................................................................... 10
1.3. p - nhóm hữu hạn ..................................................................................................... 20
1.4. Tích trực tiếp và tích nửa trực tiếp ........................................................................... 26

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON
SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S n

........................................................................ 29

1.1 . Tích bện ...................................................................................................................... 29
2.2. Mô tả p- nhóm con Sylow của nhóm đối xứng S n .................................................. 36
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 47


1

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Nhóm đối xứng
Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅ , khi đó tập hợp tất cả các song ánh từ
X → X là một nhóm với các phép nhân là phép hợp nối các ánh xạ, gọi là

nhóm đối xứng trên tập X, kí hiệu S X , có phần tử trung hòa là ánh xạ đồng
nhất id X , và phần tử nghịch đảo σ ∈ S X là ánh xạ ngược σ −1 . Mỗi nhóm con
của nhóm S X được gọi là nhóm hoán vị trên tập X. Nếu X = {1,2,... ,n} thì ta
dùng ký hiệu Sn để thay cho ký hiệu S X và gọi Sn là nhóm đối xứng bậc n
trên tập X. Mỗi phần tử σ của nhóm Sn được gọi là hoán vị bậc n, và được
viết dưới dạng ma trận
1 2 ... n 

σ =

,
 i1 i2 ... in 
trong đó=
ik σ ( k ) , ∀k ∈ {1,2,..., n} . Vì σ là song ánh nên các ik đều khác
nhau , do đó chúng cũng là một hoán vị của n phần tử 1,2,…,n. Như vậy, số
hoán vị của tập có n phần tử bằng n!. Ví dụ, với n =4, ta có nhóm đối xứng
bậc 4, kí hiệu S4 , là nhóm hữu hạn có cấp 4! = 24.
Định nghĩa 1.1.2. Phần tử σ ∈ Sn được gọi là một k – chu trình hay chu trình
độ dài k nếu tồn tại một tập con {i1 , i2 ,..., ik } ⊆ {1,2,..., n} sao cho σ ( i1 ) = i2 ;
=
σ ( i2 ) i3 ;...;σ
=
;σ ( ik ) i1 , và σ ( j ) = j , ∀j ∈ {1,2,..., n} \ {i1, i2
( ik −1 ) ik=
,..., ik } . Khi đó, phần tử σ được viết đơn giản là ( i1 i2 ... ik ) . Một chu trình độ

dài 2 là một chuyển vị.
Định nghĩa 1.1.3. Hai chu trình σ = ( i1 i2 ... ik ) và τ = ( j1 j2 ... jk ) được gọi là
độc lập nếu {i1 , i2 ,..., ik } ∩ { j1 , j2 ,..., jk } =
∅.


2

Như vậy, hai chu trình độc lập sẽ giao hoán với nhau. Do đó, các chu trình
đôi một độc lập với nhau cũng giao hoán với nhau.
Định lý 1.1.4. Cho id ≠ σ ∈ Sn . Khi đó, σ được phân tích thành tích các chu
trình đôi một độc lập với nhau. Sự phân tích này là duy nhất sai khác một thứ
tự các chu trình độc lập.
Chứng minh.

Lấy

id ≠ σ ∈ Sn và X = {1,2,..., n} . Ta nói hai phần tử

x, y ∈ X là tương đương với nhau , kí hiệu: x  y , nếu tồn tại số nguyên n

sao cho x = σ n y . Khi đó, quan hệ  là một quan hệ tương đương trên tập X.
Mỗi lớp tương đương của nó gọi là một quỹ đạo của σ . Nếu x ∈ X , thì quỹ
đạo của σ chứa x , kí hiệu:
=
x

{σ

n

}

x | n∈ .

Do X là tập hữu hạn nên tồn tại c ∈  + sao cho x = σ c x . Gọi m là số nguyên
dương nhỏ nhất thỏa x = σ m x . Khi đó

{

}

x = x,σ x,...,σ m−1 x .

(

)

Xét chu trình độ dài m , τ = x σ x... σ m−1 x . Khi đó
σ y, y ∈ x
τy=
 y,

y∉x

.

Giả sử σ có tất cả k quỹ đạo là C1 , C2 ,..., Ck . Ứng với mỗi quỹ đạo, ta
có các chu trình τ 1 ,τ 2 ,...,τ k (xây dựng theo cách làm ở trên). Do đó
σ y,
τi y = 
 y,

y ∈ Ci
y ∉ Ci

.

Rõ ràng, nếu i ≠ j thì Ci ∩ C j =
∅ , do đó τ i và τ j là các chu trình độc
lập với nhau . Ta sẽ chứng minh σ = τ 1τ 2 ...τ k .


3

Thậy vậy, với mọi y ∈ X , đặt z = σ y . Khi đó, y và z cùng nằm trong
một quỹ đạo Ci nào đó của σ với τ i y = z , ∀i ∈1, k . Rõ ràng , ∀i ≠ j , ta có

τ j y = y và τ j z = z . Do đó τ 1τ 2 ...τ k ( y )= z= σ y , nên σ = τ 1τ 2 ...τ k .
Giả sử, σ = β1β 2 ...βl là một sự phân tích khác của σ thành tích các chu
trình đôi một độc lập với nhau. Vì những phần tử tham gia vào chu trình β j
tạo thành một quỹ đạo Ci của σ . Do đó β j trùng với τ i (ứng với quỹ đạo Ci ).
Vì vậy hai sự phân tích như vậy chỉ khác nhau ở thứ tự các chu trình đôi một
độc lập với nhau.



Hệ quả 1.1.5. Cấp của một hoán vị bằng bội số chung nhỏ nhất của các chiều
dài của các chu trình trong sự phân tích hoán vị thành tích của các chu trình
đôi một độc lập với nhau.
Chứng minh. Để chứng minh Hệ quả 1.5, ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.6. Cho a, b là hai phần tử giao hoán với nhau trong nhóm G. Giả
sử a có cấp là n, b có cấp là m và a ∩ b =
eG . Khi đó, cấp của phần tử ab
bằng bội chung nhỏ nhất của m và n.
Chứng minh. Đặt d = [ m, n ] nên tồn tại t1 , t2 ∈  + : d =
mt1 =
mt2 , mà
d
2
a nt1b mt=
e=
.e e . Giả sử tồn tại
a n = e, b m = e . Khi đó, ta có ( ab )= a d b=

d

số nguyên dương k thỏa ( ab ) = e . Ta chứng minh d | k .
k

Thật vậy, vì ( ab ) = e , suy ra a k = b − k ∈ a ∩ b = e . Do đó,
k

−k
=
a k b=
e , nên m | k và n | k . Suy ra d = [ m, n ] | k .

Vậy ab =
 a , b  .



Ta chứng minh Hệ quả 1.1.5 . Giả sử id ≠ σ ∈ Sn có sự phân tích thành
các chu trình đôi một độc lập là σ = σ 1σ 2 ...σ k .


4

Ta chứng minh σ =  σ 1 , σ 2 ,..., σ k  . Thật vậy, đặt d =  σ 1 , σ 2 ,..., σ k  .
Khi đó, ta có
=
σd

d

(σ=
(σ 1 )d .(σ=
1.σ 2 ...σ k )
2 ) ... (σ k )
d

d

id .

Giả sử tồn tại số nguyên dương m thỏa σ m = id . Ta chứng minh d | m .
Thật vậy, với k = 2, ta có σ 1 ,σ 2 là hai chu trình độc lập nên σ 1 ∩ σ 2 =
id . Áp dụng Bổ đề 1.1.6, trên ta được d =
 σ 1 , σ 2  | m .

Giả sử điều khẳng định đúng với những trường hợp nhỏ hơn k . Vì các

σ i là những chu trình đôi một độc lập nên ta có
m
=
id σ=

(σ 1.σ 2 ...σ k =
) (σ 1.σ 2 ...σ k −1 ) .(σ k )
m

m

m

,

suy ra

(σ 1.σ 2 ...σ k −1 )

m

= (σ k )

−m

.

Hơn nữa σ 1.σ 2 ...σ k −1 và σ k cũng là hai chu trình độc lập nên

σ 1.σ 2 ...σ k −1 ∩ σ k =
id .
Áp dụng Bổ đề 1.1.6, trên ta được
 σ 1.σ 2 ...σ k −1 , σ k  | m .

Theo giả thiết quy nạp thì

σ 1.σ 2 ...σ k −1 =  σ 1 , σ 2 ,..., σ k −1  .
Do đó
d =  σ 1 , σ 2 ,..., σ k  | m .

Như vậy

σ =  σ 1 , σ 2 ,..., σ k  .




5

Định nghĩa 1.1.7. Các hoán vị σ và τ được gọi là có cùng cấu trúc chu trình
nếu σ = σ 1.σ 2 ...σ k và τ = τ 1.τ 2 ...τ k là những sự phân tích σ và τ thành tích
các chu trình độc lập sao cho bằng sự đánh số lại thứ tự các chu trình độc lập
nếu cần, và ta luôn luôn có σ i và τ i là những chu trình có cùng độ dài ( ∀i ∈
1,k ).

Mệnh đề 1.1.8. Nếu σ ∈ Sn là chu trình độ dài k thì ∀τ ∈ Sn , τστ −1 cũng là
một chu trình độ dài k .
Chứng minh. Giả sử σ = ( x1 x2 ... xk ) . Khi đó
τ ( x ) , i ∈1, k − 1
,
τστ −1=
(τ xi ) τσ=
( xi )  i+1
,
x
i
k
τ
=
(
)
 1

mà ∀k ∈ {1,2,.., n} \ { xi }i∈1,k thì τστ −1 (τ k ) = k . Do đó τστ −1 = (τ x1 τ x2
...τ xk ) . Vậy τστ −1 cũng là một chu trình độ dài k .



Hệ quả 1.1.9. σ ,τ ∈ Sn , τστ −1 và σ là những hoán vị có cùng một cấu trúc
chu trình.
Chứng minh. Giả sử σ được phân tích thành tích các chu trình đôi một độc
lập σ = σ 1.σ 2 ...σ k . Khi đó, ta có
=
τστ −1 τ=
(σ 1.σ 2 ...σ k )τ −1

(τσ τ ).(τσ τ )...(τσ τ ) .
−1

1

−1

2

−1

k

Vì những σ i là các chu trình đôi một độc lập nên τσ iτ −1 , i = 1, k cũng là các
chu trình đôi một độc lập với nhau. Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.8 , thì τσ iτ −1
và σ i là hai chu trình có cùng độ dài , i = 1, k .
Do đó τστ −1 và σ là những hoán vị có cùng một cấu trúc chu trình.



Mệnh đề 1.10. Mỗi hoán vị khác id đều phân tích thành tích các chuyển vị.


6

Chứng minh. Nhận xét rằng, với mỗi chu trình ( i1 i2 ... ik ) đều có thể phân
tích các chuyển vị bằng cách sau:

( i1 i2 ... ik ) = ( i1 ik ).(i1 ik −1 ) ... (i1 i2 ) .
Giả sử id ≠ σ ∈ Sn , áp dụng Định lý 1.1.4, ta có σ = σ 1.σ 2 ...σ k , với σ i là
các chu trình đôi một độc lập, i = 1, k . Áp dụng nhận xét trên để phân tích mỗi

σ i thành tích các chuyển vị.



Định nghĩa 1.1.11. Cho σ ∈ Sn . Cặp số ( i, j ) gọi là một nghịch thế của σ
nếu

( i − j ). σ ( i ) − σ ( j ) < 0 .
Nếu số các nghịch thế của σ là k , thì dấu của σ , kí hiệu sgn (σ ) , là
hàm được định nghĩa bởi
sgn (σ ) =

( −1)k .

Nếu sgn (σ ) = 1 thì σ gọi là một hoán vị chẵn, nếu sgn (σ ) = −1 thì σ

gọi là một hoán vị lẻ.
Nhận xét
i) Ta có sgn ( id ) = 1;

( )

ii) Với mọi σ ∈ Sn , ta có sgn (σ ) = sgn σ −1 ;
iii) Nếu σ là một chuyển vị thì sgn (σ ) = −1 .
Định lý 1.1.12. Với mọi σ ∈ Sn và một chuyển vị (i j) thì với τ = σ ( i j ) ta có
sgn (τ ) = − sgn (σ ) .

Chứng minh. Trường hợp j=i+1: Khi đó ta có những điều sau đây:
a) Nếu ( i, j ) là nghịch thế của σ thì ( i, j ) không là nghịch thế của τ và
ngược lại.


7

b) Nếu h, k ≠ i, j thì ( h, k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, k ) là
nghịch thế của τ .
c) Nếu h < i thì ( h, i ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, j ) là nghịch
thế của τ .
d) Nếu j < k thì ( j , k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( i, k ) là nghịch
thế của τ .
Những điều trên chứng tỏ số các nghịch thế của σ và τ hơn kém nhau
một đơn vị. Do đó sgn (τ ) = − sgn (σ ) .
Trường hợp j – i = s +1, s > 1: Ta có thể phân tích chuyển vị ( i, j ) như sau:

( i j )= ( i i + 1)( i + 1 i + 2 )...( i + s − 1 i + s )( i + s i + s + 1=
( i + s i + s − 1)( i + s − 1 i + s − 2 )...( i + 2 i + 1)( i + 1 i ).

j)

Nghĩa là ( i j ) phân tích thành tích của 2 s + 1 chuyển vị có dạng hai phần tử
kế tiếp nhau. Khi đó, theo Trường hợp j=i+1 ta thấy tính chẵn, lẻ của τ sẽ
nhận được từ tính chẵn, lẻ của σ khi ta thay đổi nó 2 s + 1 lần . Vậy
sgn (τ ) = − sgn (σ ) .



Định lý 1.1.13. Với mọi α , β ∈ Sn , ta có
sgn (αβ ) = sgn (α ) .sgn ( β ) .

Chứng minh. Ta có α ∈ Sn và α = τ 1.τ 2 ...τ m , τ i là một chuyển vị , với
i ∈1, m , m là số nhỏ nhất.

Nếu m = 1 thì sgn (αβ ) =
sgn (τ 1β ) =
− sgn ( β ) =
sgn (α ) sgn ( β ) . Nếu
m > 1 thì thừa số τ 2 ...τ m là nhỏ nhất , nếu τ 2 ...τ m = σ 1.σ 2 ...σ q ,với σ j∈1,q là

một chuyển vị và q < m − 1 thì α = τ 1.σ 1.σ 2 ...σ q . Khi đó
sgn (αβ ) = sgn (τ 1.τ 2 ...τ m β )
= − sgn (τ 2 ...τ m .β ) ( Định lý 1.1.12)


8

= − sgn (τ 2 ...τ m ) .sgn ( β ) (quy nạp)

= sgn
=
(τ1.τ 2 ...τ m ).sgn ( β ) sgn (α ).sgn ( β ) (Địnhlý1.1.12). 

Hệ quả 1.1.14. Nếu σ ∈ Sn được phân tích thành k chuyển vị thì
sgn (σ ) =

( −1)k .

Hệ quả 1.1.15. Nếu σ ∈ Sn là một k - chu trình thì
i) sgn (σ ) =

( −1)k −1 ;

ii) Hoán vị σ là chẵn khi và chỉ khi k là số lẻ; hoán vị σ là lẻ khi và chỉ khi
k là số chẵn.

Nhận xét. Xét ánh xạ
sgn : Sn →

{−1;1}

σ  sgn (σ ) .
Khi đó, ánh xạ sgn là một đồng cấu nhóm. Đặt A=
)
n : ker ( sgn=

{σ ∈ Sn |

sgn (σ ) = 1} thì An được gọi là nhóm thay phiên hay nhóm đổi dấu. Khi đó,

An  Sn và [ Sn : An ] = 2 . Vì vậy An =

n!
.
2

Mệnh đề 1.1.16. Với n ≥ 3 , nhóm thay phiên An được sinh bởi các chu trình
độ dài 3.
Chứng minh. Với mọi σ ∈ An , σ được phân tích thành tích một số chẵn các
phép chuyển vị .
Nếu hai phép chuyển vị độc lập với nhau, giả sử ( i j) và ( k l) thì
( i j).(k l) = ( j k l). ( i l j).
Nếu hai phép chuyển vị phụ thuộc với nhau, giả sử ( i j) và ( i k) thì
( i j).(i k ) = ( i j k).
Do đó, σ là tích hữu hạn các chu trình độ dài 3.



Mệnh đề 1.1.17. Với n ≥ 3 , Sn có duy nhất một nhóm con chỉ số 2 là An .


9

Chứng minh. Giả sử H ≤ Sn sao cho [ Sn : H ] = 2. Vì n ≥ 3 , nên lấy
=
σ
σ ∈ Sn sao cho

( i j k ) ≠ id

thì hoặc σ ∈ H hoặc σ ∉ H . Giả sử σ ∉ H ,

khi đó H ≠ H σ . Mà [ Sn : H ] = 2 nên S=
H ∪ H σ . Suy ra σ 2 ∈ H hoặc
n

σ 2 ∈ Hσ .
=
σ
Nếu σ 2 ∈ H thì

(σ )

2 2

∈ H , nếu σ 2 ∈ H σ thì σ ∈ H . Do đó, mọi

chu trình độ dài 3 đều nằm trong H. Theo Mệnh đề 1.16, suy ra H = An .
Vậy An là nhóm con chỉ số 2 duy nhất của Sn .
Bổ đề 1.1.18. Nhóm đối xứng Sn được sinh bởi các chu trình (1 2... n ) và

(1 2 ) .
Chứng minh. Đặt σ = (1 2... n ) và τ = (1 2 ) . Gọi G là nhóm con của Sn
sinh bởi σ và τ . Khi đó G chứa στσ −1 = ( 2 3) , do đó G chứa σ ( 2 3)σ −1
= (3 4) …

Vậy, một cách tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng

( j j + 1) .Từ

đó ta thấy G chứa các chuyển vị
=
(1 3)

2 )( 2 3)(1 2 ) , (1 4 ) (1 3)( 3 4 )(1 3) …
(1=

Tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng (1 j ) , j ∈ 2, n . Nhưng ∀i, j ≠ 1, ta
có (i j ) = (1 i )(1 j )(1 i ) .
Nên G chứa mọi chuyển vị. Vậy G = Sn .




10

1.2. Tác động nhóm lên tập hợp
Định nghĩa 1.2.1. Cho G là một nhóm với đơn vị e và X là một tập hợp nào
đó. Ta nói nhóm G là tác động phải lên tập X nếu có một ánh xạ
X×G → X
( x, g )  xg

sao cho với mọi g , h ∈ G và với x ∈ X ta có
x ( gh ) =

( xg ) h

x.e = x

Khi đó X gọi là một G – tập.

Mệnh đề 1.2.2. Cho X là một tập hợp và K là nhóm đối xứng của X. Giả sử
h : G → K là một đồng cấu nhóm từ G đến K. Khi đó có một tác động của

G lên X cho bởi xg = ( x)(( g )h) với mọi x ∈ X , g ∈ G .
Chứng minh. Với mọi g ∈ G , ta đặt=
hg ( g )h ∈ K . Cho g1 , g 2 ∈ G và
x ∈ X , vì h là đồng cấu nên
=
hg1g2 (=
g1 g 2 )h ( g1 )h=
.( g 2 )h hg1 hg2 .

Vì vậy
(=
xg1 ) g 2 (( x)h=
( x=
)hg1 hg2 (=
x)hg1g2 ( x)( g1 g 2 ) .
g1 ) hg 2

Vì h là đồng cấu nên=
he

e) h
(=

1X . Do đó

=
( x)e

x ) he ( x=
(=
)1X

x.



Ví dụ 1.2.3. Nhóm G tác động tầm thường lên tập X như sau : với mọi
g ∈ G, x ∈ X , ta đặt xg = x .

Ví dụ 1.2.4. Cho G là một nhóm . Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép
liên hợp như sau : Với g , a ∈ G , ta dùng kí hiệu a • g . Cho tác động của g
lên a , và đặt a • g =
g −1ag , ta gọi g −1ag là liên hợp của a bởi g .


11

Ví dụ 1.2.5. Cho G là một nhóm . Kí hiệu X là tập các tập con của G. Khi đó
nhóm G tác động lên tập X bằng phép nhân sau : với g ∈ G và H ∈ X , ta
dùng kí hiệu H • g cho tác động của g lên H, và đặt H • g =
Hg .
Trước khi trình bày một số ví dụ khác về tác động của nhóm lên tập hợp
, ta có những kết quả sau đây.
Bổ đề 1.2.6. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G . Với mỗi g ∈ G , đặt

{g

=
g −1 Ag

−1

}

ag : a ∈ A .

Khi đó g −1 Ag là nhóm con của G.
Chứng minh. Ta có e = g −1eg . Vì thế g −1 Ag ≠ ∅ . Do đó cho
g −1ag , g −1bg ∈ g −1 Ag với mọi a, b ∈ A .

Ta có
−1
( g −1bg=
) −1 g −1ag g −1b=
gg −1ag g −1 (b −1a ) g ∈ g −1 Ag .

Vì vậy g −1 Ag là nhóm con của G.
Cho A là nhóm con của một nhóm G. Nhóm con B của G được gọi là
liên hợp với A nếu tồn tại g ∈ G sao cho B = g −1 Ag .
Bổ đề 1.2.7. Cho A là nhóm con của một nhóm G . Nếu B liên hợp với A và C
liên hợp với B thì C liên hợp với A.
−1
để B g=
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại g , l ∈ G=
Ag , C l −1Bl . Suy

−1

ra C l =
( g −1 Ag )l
=

( gl )−1 A ( gl )

.

Do đó C liên hợp với A.



Ví dụ 1.2.8. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G. Kí hiệu X là tập các
nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp
như sau: với mỗi g ∈ G, B ∈ X , đặt B • g =
g −1Bg .
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.6 và 1.2.7 ta có g −1Bg ∈ X , ∀g ∈ G, B ∈ X .


12

Với g , l ∈ G, B ∈ X ta có B=
• e e −1=
Be B và
B • ( gl ) =

( gl )−1 B ( gl )

(

) (g

= l −1 g −1Bg l =

−1

)

Bg • l = ( B • g ) • l .

Vì vậy qui tắc trên là một tác động của G lên X.



Bổ đề 1.2.9. Cho G là nhóm và X là G- tập . Với x ∈ X , đặt
Gx =∈
x}. Khi đó Gx là nhóm con của G.
{ g G / xg =

Chứng minh. Cho x ∈ X . Vì xe = x nên e ∈ Gx . Cho g , l ∈ Gx , khi đó
xg = x và xl = x . Vì thế x ( gl=
)

( xg )=l

xl= x . Suy ra gl ∈ Gx .

Mặt khác, cho g ∈ Gx . Khi đó xg = x , nên

(

)

=
x xe
= x g g −1=

( xg ) g −=1

xg −1.

Suy ra g −1 ∈ Gx . Vậy Gx là nhóm con của G.



Nhóm con Gx được định nghĩa trong Bổ đề 1.2.9 được gọi là nhóm con
đẳng hướng của phần tử x .
Định nghĩa 1.2.10. Cho G là nhóm, X là G – tập và x ∈ X . Đặt
=
G ( x)

{ xg / g ∈ G} .

Khi đó G ( x ) là bộ phận của x . Ta gọi G ( x ) là quỹ đạo của x trong X.
Ví dụ 1.2.11. Xét các tác động chính quy của G lên chính nó :
a • g= ag , ∀g , a ∈ G , kí hiệu G ( a ) = G là quỹ đạo của a . Với l ∈ G, ta có

( )

=

l a a −1l ∈ G ( a ) . Do đó G ( a ) = G . Vì thế tác động này chỉ có một quỹ đạo,

đó là G. Nhóm con đẳng hướng ứng với a là
Ga =∈
a }=
{ g G : ag =
{e} .

Ví dụ 1.2.12. Xét các tác động tầm thường của nhóm G lên một tập X :
x•g =
x , với mọi g ∈ G, x ∈ X . Với x ∈ X , quỹ đạo của x là

G ( x ) ={ x • g / g ∈ G} ={ x} .


13

Vì thế, mỗi quỹ đạo gồm đúng một phần tử . Nhóm con đẳng hướng ứng với
x là
Gx = { g ∈ G / x • g = x} = G.

Ví dụ 1.2.13. Xét tác động của nhóm G lên chính nó bằng phép liên hợp:
a•g =
g −1ag với mọi a, g ∈ G . Với a ∈ G , quỹ đạo của a là

{

}

G ( a ) ={a • g / g ∈ G} = g −1ag / g ∈ G .

Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

{

}

Ga =∈
g G / g −1ag ==∈
a { g G / ag =
ga} =
C ( a ).

Với C(a) là tâm hóa tử của a . Do đó C ( a ) = G khi và chỉ khi a ∈ Z ( G ) , với
Z ( G ) là tâm của G.

Ví dụ 1.2.14. Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động
G lên tập X bằng phép liên hợp : với mọi g ∈ G và với mọi H ∈ X ta có
H •g=
g −1Hg .

{

}

Với H ∈ X , quỹ đạo của H là g −1Hg / g ∈ G - tập các nhóm con liên hợp
với H.
Nhóm con đẳng hướng của H là
GH =
Hg} =

NG ( H ) ,
{ g ∈ G / gH =

với N G ( H ) là chuẩn hóa tử của H trong G.
Mệnh đề 1.2.15. Cho G là nhóm và X là G – tập, các phát biểu sau đây là
đúng
(i)

G( x ) ≠ ∅ với mọi x ∈ X .

(ii)

X=

 G ( x) .

x∈X

(iii)

∅ với mọi x, y ∈ X .
G ( x ) = G ( y ) hoặc G ( x ) ∩ G ( y ) =


14

Chứng minh. (i),(ii).Vì =
x xe ∈ G ( x ) nên G ( x ) ≠ ∅ , với mọi x ∈ X . Vì
vậy, X =

 G ( x) .

x∈X

(iii). Giả sử G ( x ) ∩ G ( y ) ≠ ∅ . Khi đó tồn tại g , l ∈ G sao cho xg = yl . Suy
ra
1
=
x xe
= xgg −=
ylg −1 .

có xa y (lg −1a ) ∈ G ( y ) .
Cho xa ∈ G ( x ) với mọi a ∈ G , ta=
Do đó G ( x ) ≤ G ( y ) . Chứng minh tương tự G ( x ) ≥ G ( y ) . Vì vậy
G ( x) = G ( y) .



Mệnh đề 1. 2.15 chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong X là một phép phân
hoạch trong X.
Định lý 1.2.16. Cho G là nhóm , X là G – tập và x ∈ X . Kí hiệu G

Gx

là tập

các lớp ghép phải của nhóm con đẳng hướng Gx . Khi đó tương ứng f : G

Gx

→ G ( x ) cho bởi f ( Gx g ) = xg là một song ánh . X là tập hữu hạn , khi đó

chỉ số của Gx chính là số phần tử của quỹ đạo G ( x) . Hơn nữa , G ( x1 ) ,
G ( x2 ) ,..., G ( xt ) là các quỹ đạo đôi một rời nhau trong X thì

=
X

t

t

G ( xi ) ∑ G : Gx  ( ∗) ,
∑=

=i 1 =i 1

trong đó

i

X là cấp của X và G : Gxi  , i = 1,2,.., t là chỉ số nhóm con đẳng

hướng Gxi .
Chứng minh. Gx=
g Gx l ∈ G

Gx

. Khi đó lg −1 ∈ Gx . Suy ra xlg −1 = x , do đó

xl = xg . Vì thế f là ánh xạ. Rõ ràng f là toàn xạ.


15

Mặt khác, ker =
f

{Gx g / xg= x=
}

Gx .e nên f là đơn ánh. Suy ra f là

song ánh.
Giả sử X là tập hữu hạn . Khi đó quỹ đạo G ( x) là tập hữu hạn với mọi
x ∈ X . Do f là song ánh nên

[ G : Gx ] = G ( x )

với mọi x ∈ X .



Công thức ( ∗) trong Định lý1. 2.16 ta có
=
G

( a )

∑ G : C=

a∈∆

Z (G ) +

∑

a∈∆ \ Z ( G )

G : C ( a )  .

(1)

Do đó (1) gọi là công thức các lớp. Với ∆ là tập con của G sao cho
(G ( a )) a∈∆ là họ các quỹ đạo đôi một dời nhau.

Chú ý 1.2.17. Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là G- tập . Với x ∈ X theo
Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo G ( x ) bằng chỉ số nhóm con đẳng
hướng Gx , vì thế nó là ước của cấp G. Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức
sau đây.
Mệnh đề 1.2.18. Nếu H, K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta
có
HK . H ∩ K =
H .K .

Chứng minh. Kí hiệu X là tập các lớp ghép phải của H trong G. Xét tác động
K lên nhóm X bằng phép nhân : Ha • g =
Hag , với mọi Ha ∈ X , g ∈ K .
Nhóm con đẳng hướng ứng với He ∈ X là

K He ={ g ∈ K / Heg =H } ={ g ∈ K / g ∈ H } =H ∩ K .

Vì thế chỉ số nhóm con đẳng hướng ứng với He là
K
.
H ∩K


16

Kí hiệu He • K là quỹ đạo của He. Khi đó He=
•g

{Hg / g ∈ K } . Mặt khác

H g có H phần tử và Hg ≠ Hg , thì Hg ∩ Hg , =
∅ , với mọi g , g , ∈ K . Hơn
nữa ,  Hg
=

{Hg /, g ∈ K=
}

HK .Vì thế số phần tử của quỹ đạo

g∈K

He • K là
HK
.

H

Theo Định lý 1.2.16 ta có
HK
K
=
.
H
H ∩K

Suy ra
HK . H ∩ K =
H .K .



Mệnh đề 1.2.19. Cho G là nhóm hữu hạn và H ≤ G . Khi đó số các nhóm con
của G liên hợp với H bằng chỉ số của N G ( H ) trong G. Do đó số các nhóm
con của G liên hợp với H là ước của cấp G.
Mệnh đề 1.2.20. Cho G là một nhóm hữu hạn .
(i) Nếu H , K ≤ G sao cho H  K thì K ≤ N G ( H ) .
(ii) Nếu H , K ≤ G thỏa H là nhóm con duy nhất cấp m của K thì H  K .
Hơn nữa, N G ( K ) ≤ N G ( H ) .
(iii) Nếu H, K liên hợp với nhau trong G thì N G ( K ) , N G ( H ) cũng liên hợp
với nhau trong G.
Chứng minh. (i) Lấy x ∈ K thì do H  K nên x −1Hx = H , do đó x ∈
N K ( H ) , suy ra K ≤ N G ( K ) . Hơn nữa, K ≤ G nên x −1Hx = H , ∀x ∈ G , suy

ra x ∈ N G ( H ) . Vì vậy K ≤ N G ( H ) .
(ii) Vì H ≤ K nên với mọi x ∈ K , ta có x −1Hx ≤ K , mà

17

x −1Hx= H
= m,

nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K, suy ra x −1Hx = H . Do đó
HK.

Nếu y ∈ N G ( K ) thì y −1Ky = K . Do H ≤ K nên y −1Hy ≤ K .
Mà y −1Hy= H
= m nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K thì
y −1Hy = H . Do đó y ∈ N G ( H ) , vì vậy N G ( K ) ≤ N G ( H ) .

(iii) Giả sử tồn tại x ∈ G : x −1Hx =
K . Khi đó ta có y ∈ x −1 N G ( H ) x , suy ra
xyx −1 ∈ N G ( H ) . Do đó, xyx −1H = Hxyx −1 hay yx −1Hx = x −1Hxy nên

(

)

y ∈ N G x −1Hx hay y ∈ N G ( K ) .Vậy x −1 N G ( H ) x ≤ N G ( K ) .

Tương tự ta có x −1 N G ( H ) x ≥ N G ( K ) . Do đó x −1 N G ( H ) x =
N G ( K ) . Vì vậy N G ( K ) , N G ( H ) liên hợp với nhau trong G.



Định nghĩa 1.2.21. Một tác động G lên tập X gọi là bắc cầu nếu X ≠ ∅ và
thỏa một trong các điều kiện tương sau:
(i)

Với mọi x, y ∈ X , ∃g ∈ G sao cho xg = y .

(ii)

Với x ∈ X : G(x) =X ,

trong đó G ( x ) là quỹ đạo của phần tử x đối với nhóm G.
Như vậy, một tác động G lên tập X có tính bắc cầu nếu nó chỉ có duy
nhất một quỹ đạo là X.
Định lý 1.2.22. (Định lý Calley) Mọi nhóm đều nhúng được vào nhóm đối
xứng .
Chứng minh . Cho G là nhóm bất kì và g ∈ G .
Định nghĩa ánh xạ
Rg : G → G , ∀ x ∈ G , đặt ( x) Rg = xg .


18

Kiểm tra Rg là một song ánh .
Thật vậy, với mọi x, y ∈ G sao cho (x)R g =
(y )R g , nên ta có xg = yg , suy ra
x = y . Do vậy, Rg là đơn ánh.

Mặt khác, mọi y ∈ G, đặt x = y.g −1 . Khi đó , (x)R g = (yg −1 ) g = y nên
R g là toàn ánh. Suy ra R g là song ánh. Vậy R g ∈ SG .

Định nghĩa ánh xạ

ψ : G → SG như sau : với mọi g ∈ G, đặt ( g )ψ = Rg .
Ta sẽ chứng minh ψ là đơn cấu nhóm .
Thật vậy, với mọi g1 , g 2 ∈ G, (g1 g 2 )ψ ==
Rg1g2 R g1 Rg2 =
(g1 )ψ ( g 2 )ψ .
Suy ra ψ là đồng cấu nhóm .

{

}

Mặt khác, idG ∈ SG , kerψ =
g ∈ G : (g )ψ =
Rg =
idG . Do đó
( x)R=
xg
= x , suy ra g = e .
g

Vì vậy ψ là đơn cấu nhóm. Do đó, theo Định lý về sự đẳng cấu nên ta có
G ≅ Imψ ⊂ SG .



Bổ đề 1.2.23. Với mỗi tập hợp X , nhóm đối xứng S X trên tập X tác động tự
nhiên lên tập Y như sau: y • g = ( y ) g với mọi y ∈ Y , g ∈ S X .
Chứng minh. Cho g , h ∈ S X , y ∈ Y . Ta có y=

•1X (=
y )1X y và
(y=
• h ) • g (=
y )h • g ((=
y ) h) g

y ) (hg )
(=

y • ( gh).



Định lý 1.2.24. (Bổ đề Burnside) Giả sử một nhóm hữu hạn G tác động lên
một tập hữu X. Với mỗi phần tử g ∈ G , kí hiệu Fix( g ) là số phần tử của X cố
định qua tác động của g , tức là số phần tử của tập hợp
Fix(=
g)

xg x} .
{( x, g ) ∈ X × G / =

Gọi m số G- quỹ đạo trên X , khi đó


19

m=

∑ Fix( g )

g∈G

.

G

Chứng minh . Gọi T là tập sắp thứ tự ( x, g ) ∈ X × G sao cho
g ∈ G, x ∈ X và xg =
x . ∀x ∈ X , số các phần tử g ∈ G sao cho (x,g ) ∈ T chính

là Gx . Do đó, T =

∑ Gx

(1).

x∈X

Với mọi g ∈ G , số phần tử x ∈ X sao cho (x,g ) ∈ T chính là Fix( g ) . Do đó
T =

∑ Fix( g ) . (2).

g∈G

1
G

Từ (1), (2) ta có

∑ Gx

x∈X

=

1
G

∑ Fix( g ) .

g∈G

Gọi G ( x1 ) , G ( x2 ) ,...,G ( xm ) là các quỹ đạo .Vì G ( xi ) ∩ G ( x j ) =∅, ∀ i ≠ j
m

và X= G ( xi ) , nên ta có
i =1

G

x
=
∑
∑
G

x∈X

x∈G ( x1 )

Gx
Gx
Gx
,
+ ∑
+ ... + ∑
G x∈G ( x2 ) G
G
x∈G ( xm )

với mỗi i = 1,2,..., m theo Định lý 2.16 ta có

∑

x∈G ( xi )

hạng , mỗi số hạng bằng

1
, suy ra
G ( xi )

∑

x∈G ( xi )

Gx

bao gồm G ( xi ) số
G

Gx
= 1 .Vì vậy, ∀i ∈ {1,2,...
G

,m} , suy ra
Gx
=
∑
x∈X G

Fix( g )
=
∑ G m.
g∈G




20

1.3. p - nhóm hữu hạn
Định nghĩa1.3.1. Cho p là số nguyên tố và H ≤ G
Nhóm G được gọi là p - nhóm hữu hạn nếu cấp của G là một lũy

(i)

thừa của p , tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho G = p n .

(ii)

Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H là một p - nhóm.

(iii)

Giả sử G = n và P là p - nhóm con của G sao cho P = p m với p
không là ước của

n
. Khi đó P được gọi là p - nhóm con Sylow
pm

của G.
Định lý 1.3.2. (Định lý Cauchy) Cho G = n , p là số nguyên tố thỏa p |n.
Khi đó G chứa phần tử cấp p và do đó G chứa nhóm con cấp p .
Chứng minh . Chúng ta sẽ chứng minh kết quả này bằng phương pháp quy
nạp theo cấp của G. Do p | n nên tồn tại số nguyên dương k sao cho n = pk .
Với k = 1 thì G là nhóm cylic cấp p , như vậy Định lý đúng.
Với k > 1 thì ta chọn e ≠ g ∈ G, g =
r khi đó xảy ra các trường hợp
sau :
Trường hợp 1: Nếu p là ước của r , r = pm , với m là số nguyên dương, thì
p
r
phần tử g m ≠ e có cấp là p , p là số nguyên tố và ( g m )=
g=
e.

Trường hợp 2: Xét các trường hợp còn lại , p không là ước của r . Gọi H là

nhóm con xylic sinh bởi phần tử g . Do G là nhóm aben nên H là nhóm con
chuẩn tắc , nên ta có nhóm thương G/H có cấp

G
G
. Do đó p |
, nên theo
r
r

giả thiết quy nạp nhóm thương G/H có phần tử cấp p , chẳng hạn phần tử
q
a H. Nếu a ∈ G, a =
q thì (aH
=
) q a=
H H . Từ đó suy ra p là ước của q ,