tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong dạy học toán ở lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thanh Huyền

TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thanh Huyền

TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở LỚP 11
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu.
Bởi cô dù rất bận nhưng vẫn cố gắng hướng dẫn, giúp đỡ tôi ngay từ những
ngày đầu làm luận văn. Cô giúp tôi xác định hướng đi và cho tôi những góp ý
quý báu để luận văn được hoàn thiện.
Tôi xin cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS.Vũ
Như Thư Hương, TS.Nguyễn Thị Nga, TS.Trần Lương Công Khanh, TS.Lê
Thái Bảo Thiên Trung vì những giờ dạy về Didactic Toán, Lịch sử toán học,
Tin học thú vị và bổ ích.
Tôi cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm thành phố
Hồ Chí Minh đã hết sức tạo điều kiện thuận lợi cho học viên chúng tôi hoàn
thành 2 năm học.
Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Võ
Minh Đức, tỉnh Bình Dương cũng như các thầy cô trong tổ bộ môn Toán của
trường và tập thể học sinh lớp 11A2 năm học 2013 – 2014 đã nhiệt tình giúp đỡ
tôi hoàn thành thực nghiệm.
Tôi cũng xin cảm ơn tập thể lớp Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn
Toán khóa 23, đặc biệt là bạn Huỳnh Thị Kim Huệ đã động viên và giúp đỡ tôi
về mặt tinh thần trong quá trình làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi tới mẹ và chị tôi sự biết ơn sâu sắc vì đã luôn bên tôi
trong suốt quãng thời gian vừa qua. Xin cảm ơn mẹ và chị vì đã luôn ủng hộ tôi
vô điều kiện, giúp đỡ tôi hết sức có thể trong quá trình tôi làm luận văn.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô, bạn bè, người thân đã
bên cạnh tôi những lúc khó khăn trong suốt hai năm vừa qua.
Dương Thanh Huyền

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU......................................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT VÀI QUAN ĐIỂM VỀ TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ
VỚI ĐẠO HÀM ......................................................................................... 9
1.1. Những quan điểm khác nhau về tiếp tuyến..................................................... 9
1.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ...................................................... 13
1.3. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 15
Chương 2. TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11 ................................................... 17
2.1. Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách toán của Mỹ .................. 17
2.2. Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách giáo khoa toán 11 Việt Nam .... 30
2.3. Kết luận chương 2 ......................................................................................... 40
Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 42
3.1. Mục đích của đồ án didactic ......................................................................... 42
3.2. Đối tượng, nội dung của thực nghiệm .......................................................... 42
3.3. Kịch bản dạy học .......................................................................................... 43
3.4. Phân tích tiên nghiệm.................................................................................... 45
3.5. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................... 53
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 68
PHỤ LỤC


DANH MỤC VIẾT TẮT

E:

Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản.

THCS: Trung học cơ sở.
THPT: Trung học phổ thông.
Tr.:

Trang.

M:

Sách Precalculus with limits

M1:

Sách Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản.

M2:

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản.

Nxb:

Nhà xuất bản.

SGK CL : Sách giáo khoa chỉnh lí và hợp nhất năm 2000.


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ trong M .............................................................. 23
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với
đạo hàm trong M ............................................................................................... 30
Bảng 2.3. Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ trong M 1 và E .................................................... 36
Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với
đạo hàm trong M 1 và E...................................................................................... 40
Bảng 3.1. Thống kê câu trả lời của học sinh về bài toán 3 thực nghiệm 1.................... 53
Bảng 3.2. Thống kê chiến lược giải của các nhóm trong bài toán 1 thực nghiệm 2 ..... 54
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của học sinh của bài toán 4 thực nghiệm 1 .................. 55
Bảng 3.4. Thống kê các chiến lược giải của các nhóm trong bài toán 2 thực
nghiệm 2 ............................................................................................................ 57
Bảng 3.5. Các chiến lược giải của các nhóm ở bài toán 3 thực nghiệm 2 .................... 59
Bảng 3.6. Các chiến lược giải của học sinh ở bài toán 4 thực nghiệm 2 ...................... 61


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Trong luận văn tốt nghiệp đại học “Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa
học luận và sư phạm” tác giả Trần Vũ Đức đã chỉ ra rằng:
“Cách tổ chức các kiến thức liên quan tới khái niệm tiếp tuyến ở THPT không những khó
cho phép học sinh điều chỉnh quan niệm về tiếp tuyến đã có ở bậc THCS, mà còn góp phần
củng cố thêm những biểu tượng sai lệch về tiếp tuyến với đường cong tổng quát. Cụ thể hơn,
những kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn vẫn có một ảnh hưởng sâu sắc đến quan niệm
sau này của học sinh về tiếp tuyến của các đường cong tổng quát, ngay cả khi khái niệm tiếp
tuyến đã chính thức được giảng dạy”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.53)

Nghiên cứu của tác giả Trần Vũ Đức đã được đặt trong thể chế là Sách giáo khoa

chỉnh lí và hợp nhất năm 2000. Với sự thay đổi sách vào năm 2008, chúng tôi tò mò
liệu sự thay đổi sách giáo khoa này có giúp học sinh nhận thấy sự khác nhau giữa quan
niệm về tiếp tuyến ở bậc trung học cơ sở và quan niệm về tiếp tuyến mà học sinh được
học ở bậc trung học phổ thông hay không? Chính sự tò mò ấy đã thôi thúc chúng tôi
tiến hành một nghiên cứu ban đầu bằng cách đặt câu hỏi “Theo em, tiếp tuyến là gì?”
cho học sinh lớp 12. Nhưng câu trả lời mà chúng tôi nhận được vẫn không thay đổi so
với kết quả được tác giả TrầnVũ Đức ghi nhận năm 2004: Tiếp tuyến là một đường
thẳng “tiếp xúc” với đường cong, đường tròn hay đồ thị tại “một điểm duy nhất”.

Chúng tôi tự hỏi, với sự thay đổi sách vào năm 2008, tại sao học sinh vẫn chỉ biết
đến khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes. Liệu có hay không một sự
thay đổi trong cách giới thiệu về khái niệm tiếp tuyến cho học sinh trung học phổ
thông ở sách giáo khoa hiện nay so với sách giáo khoa năm 2000? Và liệu cách giới


2

thiệu mới này, nếu có, có giúp học sinh thay đổi quan niệm: “Tiếp tuyến là một đường
thẳng chỉ tiếp xúc đường tròn tại một điểm duy nhất” đã được tiếp thu ở bậc trung học
cơ sở không?
Trong luận văn này, chúng tôi dùng cách nói “tiếp tuyến theo quan điểm của
Descartes” để nhắc đến “tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại một
điểm duy nhất”, và “tiếp tuyến theo quan điểm của Fermat” để đề cập đến “tiếp tuyến
là vị trí giới hạn của cát tuyến”, cuối cùng “tiếp tuyến theo quan điểm của Barrow” để
chỉ “tiếp tuyến là đường thẳng “xấp xỉ” với đường cong trong lân cận của tiếp điểm”.
Bên cạnh đó, nhắc đến khái niệm tiếp tuyến, không thể không nhắc đến khái niệm
đạo hàm, như trong luận văn thạc sĩ “Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – một
nghiên cứu khoa học luận và sư phạm” năm 2007 tác giả Bùi Thị Thu Hiền đã từng
nói:
“Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm

đạo hàm”.
(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.1)

Từ đó, các câu hỏi khác được đặt ra:
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được sách giáo khoa hiện hành trình
bày như thế nào? Sách giáo khoa khai thác ra sao về mối quan hệ này?
Chính những lí do trên đã thôi thúc chúng tôi chọn nghiên cứu, tìm hiểu về đề
tài:“Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong dạy học toán ở lớp 11”.
2. Tổng quan các công trình nghiên cứu và hướng nghiên cứu mới
2.1 Các quan điểm về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm
Tác giả Trần Vũ Đức (2004) đã tổng hợp 4 quan điểm khác nhau về khái niệm tiếp
tuyến.
+ Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất.
+ Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường
cong tại mỗi vị trí của điểm đó.
+ Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.
+ Tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm.


3

Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn 4 quan điểm này trong chương 1. Về mối liên hệ
giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) nghiên cứu và kết
luận như sau:
“Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan
hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm”.
[…]
Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường
minh: “hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại 𝑎𝑎 thì có thể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bằng một hàm affine và đó chính
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 𝑎𝑎”.”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.18)

2.2 Các kết quả nghiên cứu về thể chế dạy học

Chúng tôi xin tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu thể chế dạy học về khái niệm tiếp
tuyến và mối liên hệ với đạo hàm của các tác giả:
1. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở
trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành
phố Hồ Chí Minh.
2. Trần Vũ Đức (2004), Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận và
sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
3. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến và đạo hàm – Một nghiên cứu
khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh.
 Giai đoạn sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
Theo tác giả Trần Vũ Đức (2004) thì SGK CL đã lựa chọn 2 quan điểm để trình bày
về khái niệm tiếp tuyến:
+ Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất.
+ Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.
Cụ thể, khái niệm tiếp tuyến được SGK CL trình bày thông qua tiếp tuyến với đường
tròn, sau đó là với đường parabol, cuối cùng là với đường cong tổng quát. Về các kiểu
nhiệm vụ, tác giả Trần Vũ Đức kết luận rằng:
“[…], các đặc trưng “tiếp xúc tại một điểm” và “có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số
tại hoành độ tiếp điểm” được nhấn mạnh hơn, đặc trưng “là vị trí giới hạn của cát tuyến”
không còn xuất hiện một cách tường minh.
[…]


4

Trong phần bài tập SGK không bao giờ yêu cầu học sinh vẽ tiếp tuyến. Người ta chỉ xoay
quanh các vấn đề bản chất đại số liên quan tới phương trình của nó (tìm hệ số góc, viết
phương trình,…”
(Trần Vũ Đức (2004), tr.37)

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) sau khi phân tích SGK CL và sách thí điểm bộ 2
ban khoa học tự nhiên đã rút ra các kết luận sau:
+ Sách giáo khoa đã đưa vào khái niệm tiếp tuyến theo hai quan điểm: Tiếp
tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất. Và tiếp tuyến là
vị trí giới hạn của cát tuyến. Về quan điểm xem tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ với
đường cong trong lân cận của tiếp điểm được tác giả kết luận:
“Tiếp tuyến lần đầu tiên được đưa vào theo quan điểm giải tích. […] Ngoài ra, khái niệm
này được đưa vào không có sự nối khớp với khái niệm tiếp tuyến ở THCS.
Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến […]. Đạo hàm cũng là công cụ để
xấp xỉ hàm số bằng hàm affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng
không được đề cập”.
(Bùi thị Thu Hiền (2007), tr.56)

+ Sách giáo khoa đã xây dựng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
“Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập: “hệ số góc
của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm”.”
(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.45)

 Giai đoạn sách giáo khoa hiện hành
Tác giả Ngô Minh Đức (2013) khi tiến hành nghiên cứu về đạo hàm trong dạy học
toán và vật lí đã chỉ ra rằng:
“Ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc của tiếp tuyến lại được trình bày tách
rời với đặc trưng xấp xỉ của nó. Công thức (*) 1 để tính gần đúng không được xây dựng qua
con đường xấp xỉ hình học mà lại đi từ định nghĩa đạo hàm theo giới hạn.”
(Ngô Minh Đức (2013), tr.55)

Tuy nhiên tác giả Trần Vũ Đức phân tích chỉ dựa trên bộ sách giáo khoa chỉnh lí
hợp nhất năm 2000. Tác giả Trần Vũ Đức tập trung chủ yếu vào các quan điểm về khái
niệm tiếp tuyến. Mối quan giữa tiếp tuyến và đạo hàm chưa được tác giả quan tâm sâu
sắc.

1

Công thức (*): 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥


5

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền cũng sử dụng bộ sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm
2000 và thêm sách thí điểm bộ 2 ban khoa học tự nhiên. Nhưng tác giả chưa làm rõ
được ở các kiểu nhiệm vụ quan điểm nào của khái niệm tiếp tuyến được quan tâm. Tác
giả chỉ tập trung vào mối quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Tác giả Ngô Minh Đức khi tiến hành phân tích đã sử dụng bộ sách hiện hành
nhưng đối tượng nghiên cứu của tác giả Ngô Minh Đức là đạo hàm. Do đó, cách trình
bày của tác giả chưa giúp chúng ta thấy rõ được: Những quan điểm nào về tiếp tuyến
được lựa chọn để đưa vào sách giáo khoa? Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm
được sách giáo khoa khai thác ra sao? Các kiểu nhiệm vụ được sách giáo khoa quan
tâm đến là những kiểu nhiệm vụ nào?
Vì vậy, khi tiến hành nghiên cứu thể chế, trong khuôn khổ luận văn của mình,
chúng tôi sẽ cố gắng tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho những câu hỏi trên. Khi phân
tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ tiến hành so sánh thêm với một quyển sách Toán của
Mỹ. Việc so sánh này giúp thấy rõ hơn sự lựa chọn của thể chế trong việc đưa vào các
quan điểm về tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm.
2.3 Các đồ án dạy học về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm
 Thực nghiệm trong luận văn của tác giả Trần Vũ Đức (2004) và Bùi Thị Thu

Hiền (2007)
Tác giả Trần Vũ Đức và Bùi Thị Thu Hiền khi tiến hành thực nghiệm đều xây
dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã đưa ra. Hai tác giả không xây
dựng đồ án giúp học sinh tiếp cận các quan điểm về khái niệm tiếp tuyến mà học sinh
chưa nắm được. Cũng như các tác giả chưa giúp học sinh điều chỉnh lại sự sai lệch của
mình về khái niệm tiếp tuyến.
Tác giả Trần Vũ Đức (2004) đã xây dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng giả thuyết:
“Cách tổ chức các kiến thức liên quan tới khái niệm tiếp tuyến ở THPT không những khó
cho phép học sinh điều chỉnh quan niệm về tiếp tuyến đã có ở bậc THCS, mà còn góp phần
củng cố thêm những biểu tượng sai lệch về tiếp tuyến với đường cong tổng quát. Cụ thể hơn,
những kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn vẫn có một ảnh hưởng sâu sắc đến quan niệm
sau này của học sinh về tiếp tuyến của các đường cong tổng quát, ngay cả khi khái niệm tiếp
tuyến đã chính thức được giảng dạy”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.53)


6

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền xây dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng giả thuyết:
“Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp
xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan
hệ cá nhân của họ”
(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.56)

Tác giả Trần Vũ Đức và Bùi Thị Thu Hiền đều khẳng định đúng đắn của giả thuyết
nghiên cứu sau khi tiến hành thực nghiệm.
 Đồ án trong luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)
Như đã nói ở trên, tác giả Ngô Minh Đức nghiên cứu đối tượng chính là đạo hàm
trong dạy học toán và vật lí. Do đó, việc xây dựng đồ án mục đích chính của tác giả là
bổ sung đặc trưng tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ của khái niệm đạo hàm cho

học sinh. Hai bài toán 5 và 6 trong đồ án của tác giả là để hình thành nghĩa “xấp xỉ”:
“Bài toán 5. Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 có đồ thị (𝐶𝐶).

a. Hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (𝐶𝐶) tại điểm có hoành độ 𝑥𝑥0 = 1.

b. Vẽ đồ thị (𝐶𝐶) và tiếp tuyến ∆ trên cùng một hệ trục tọa độ.

c. Nếu chỉ xét một lân cận rất nhỏ xung quanh điểm M, hãy nhận xét về đồ thị (𝐶𝐶) và tiếp

tuyến ∆ của nó. Nếu gọi phương trình tiếp tuyến là 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) và xét một điểm 𝑥𝑥1 nằm rất gần
𝑥𝑥0 = 1. Hãy nhận xét về hai giá trị: 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) và 𝑔𝑔(𝑥𝑥1 )?

d. Cho giá trị 𝑥𝑥1 = 1,0001 (là một điểm nằm rất gần 𝑥𝑥0 = 1). Không sử dụng máy tính

bỏ túi (đặc biệt là không dùng công cụ tính căn bậc hai), hãy tìm cách tính gần đúng giá trị
𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ).

Bài tập 6: Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại một điểm 𝑥𝑥0 . ∆𝑥𝑥 là một lượng rất bé

(nghĩa là có thể coi 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 nằm rất gần 𝑥𝑥0 ).

a. Hãy thiết lập một công thức để tính gần đúng giá trị 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥)?

b. Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) phải có điều kiện gì thì mới có thể thiết lập được biểu thức tính gần đúng

này?”

(Ngô Minh Đức (2013), tr.71-72)

Như vậy, chưa có một nghiên cứu đồ án dạy học quan tâm việc xây dựng các quan

điểm của tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm còn thiếu cho học sinh. Hay giúp học
sinh nhận ra rằng tiếp tuyến có thể có nhiều điểm chung với đường cong tổng quát. Vì
vậy chúng tôi lựa chọn hướng nghiên cứu cho mình là xây dựng một đồ án dạy học
liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm. Cụ thể, mục đích của đồ án sẽ
được nêu rõ ở chương 3.


7

3. Khung lý thuyết tham chiếu
Hiện tượng học sinh xem tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại
một điểm duy nhất chỉ là kết quả quan sát ban đầu. Để có kết luận chính xác hơn về
cách hiểu khái niệm tiếp tuyến ở học sinh trung học phổ thông đòi hỏi một nghiên cứu
kĩ càng và sâu sắc hơn.
Để làm được điều đó cũng như tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi ban đầu đã đặt
ra, trước tiên chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa hiện hành nhằm làm rõ
tri thức O – khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm – xuất hiện ra sao trong
thể chế Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản: Khái niệm tiếp tuyến được đưa
vào sách giáo khoa Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản như thế nào? Dưới góc
nhìn của bao nhiêu quan điểm? Và được đặt trong mối quan hệ với đạo hàm như thế
nào?
Liệu cách trình bày của sách giáo khoa hiện nay có giúp học sinh nhận thấy sự
khác nhau khi chuyển từ quan điểm về tiếp tuyến của Descartes sang quan điểm của
Fermat và Barrow hay không? Học sinh khai thác được những gì từ cách giới thiệu của
sách giáo khoa về mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm: Cụ thể, các em có
vận dụng được đạo hàm để khẳng định sự tồn tại của tiếp tuyến không?
Để trả lời các câu hỏi vừa đặt ra, chúng tôi sẽ đặt nghiên cứu của mình trong phạm
vi của lý thuyết Didactic Toán. Cụ thể, chúng tôi sử dụng lý thuyết nhân học (Quan hệ
thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O)) và đồ án Didactic, nếu cần thiết.
4. Mục đích nghiên cứu – câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, các câu hỏi ban đầu
được cụ thể hóa như sau:
Q 1 : Trong lịch sử phát triển của Toán học, có những quan điểm nào về tiếp tuyến?
Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được thể hiện ra sao trong các quan điểm ấy?
Q 2 : Đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ
với đạo hàm trong thể chế sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản hiện
hành là gì?
Q 3 : Mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên
hệ với đạo hàm có những đặc trưng nào?


8

Tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên là trọng tâm nghiên cứu của luận văn
này.
5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Để trả lời cho câu hỏi Q 1 chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả nghiên cứu đã có về một
vài quan điểm về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm. Đây
chính là nội dung chương 1.
Sang chương 2, trên cơ sở các kết quả thu được ở chương 1, chúng tôi tiến hành
phân tích sách giáo khoa Toán lớp 11 ban cơ bản nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q 2 .
Để thấy rõ hơn đặc trưng và những ràng buộc của thể chế Việt Nam, chúng tôi sẽ đặt
sự phân tích này trong sự so sánh với một quyển sách của Mỹ. Như vậy, trước khi tiến
hành phân tích sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản, chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích một quyển sách Toán của Mỹ.
Từ đây, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết về mối quan hệ cá nhân của học sinh với
khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm.
Chương 3, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng hay bác bỏ giả
thuyết đã đặt ra ở chương 2. Đồng thời, nếu cần thiết, chúng tôi sẽ xây dựng một đồ án
Didactic nhằm điều chỉnh lại mối quan hệ của cá nhân học sinh với khái niệm tiếp

tuyến và mối liên với đạo hàm.
Phần kết luận dành cho việc trình bày tóm tắt lại những kết quả nghiên cứu đã đạt
được của luận văn và những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra.


9

Chương 1. MỘT VÀI QUAN ĐIỂM VỀ TIẾP TUYẾN
VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM
Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, trong chương 1 chúng
tôi sẽ tiến hành tổng hợp các kết quả nghiên cứu trước đây về:
– Những quan điểm khác nhau về tiếp tuyến trong lịch sử toán học.
– Một vài đặc điểm về mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm.
Tài liệu chúng tôi dùng để tham khảo chính trong chương này là:
1. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở
trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành
phố Hồ Chí Minh.
2. Trần Vũ Đức (2004), Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận và
sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
3. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến và đạo hàm – Một nghiên cứu
khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh.
4. Irl C. Bivens (1987), “What a tangent line is when it isn’t a limit”, The College
Mathematics Journal,17(2), pp.133–143.
5. J.L.Coolidge (1951), “The story of tangents”, The American Mathematical
Monthly, 58(7), pp.449–462.
1.1. Những quan điểm khác nhau về tiếp tuyến
1.1.1.Quan điểm của Euclide, Archimede, Apollonius và Decartes về tiếp tuyến
Luận văn tốt nghiệp của tác giả Trần Vũ Đức và bài báo The story of tangents của
J.L.Coolidge đã cho thấy xuất hiện sớm nhất là quan điểm của Euclidevề khái niệm

tiếp tuyến. Quan điểm này xuất hiện khoảng 300 năm trước công nguyên:
“Một đường thẳng “chạm” vào một đường tròn và khi được kéo dài ra mà không cắt
đường tròn đó thì được gọi là tiếp xúc với đường tròn đó”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.9)


10

Định nghĩa được tác giả Trần Vũ Đức trích dẫn từ quyển Prenons la tangente avant
de dériver của Perrin Patrick (1992). Patrick đã tìm thấy quan điểm này từ quyển thứ 3
trong bộ “Cơ bản” gồm 13 quyển của Euclide.
Tương tự, Archimedes và Apollonius cùng chia sẻ quan điểm tiếp tuyến là đường
thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất với Euclide. Nhưng khác với
Euclide, trong phát biểu về tiếp tuyến Archimedes sử dụng đường xoắn ốc; Apollonius
sử dụng đường conic:
“Một đường thẳng tiếp xúc với đường xoắn ốc khi nó chỉ giao với đường xoắn ốc tại một
điểm mà không “đi qua phía bên kia” của đường xoắn ốc”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.9)

Quan điểm của Archimedes được tác giả Trần Vũ Đức trích dẫn
từ />Quan

điểm

của

Apollonius

được

tác

giả

Trần

Vũ

Đức

tìm

thấy

ở />“Đường thẳng tiếp tuyến của một conic là đường thẳng sao cho không một đường thẳng
nào khác có thể “rơi” vào giữa nó và đường conic”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.9)

Như vậy, ba nhà toán học đều xem tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường
cong (đường tròn, đường xoắn ốc và đường conic) tại một điểm duy nhất.
Sau đó, cũng theo tác giả Trần Vũ Đức, vào nửa đầu thế kỉ XVII, Descartes nêu
quan điểm của mình về tiếp tuyến. Quan điểm của Descartes lấy quan điểm của
Euclide làm nền tảng, nên vẫn mang đặc trưng tiếp xúc tại một điểm duy nhất:
“Descaster quan niệm tiếp tuyến tại một điểm của đường cong là tiếp tuyến của đường
tròn tiếp xúc với đường cong tại điểm đó.
[…]
Từ quan niệm và phương pháp xác định tiếp tuyến của Descaster, đặc trưng “có duy nhất
một điểm chung” của tiếp tuyến một lần nữa được nhấn mạnh.”
(Trần Vũ Đức (2004), tr.13-14)

Euclide, Archimede, Apollonius và Decartes đều xem tiếp tuyến là đường thẳng
tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất. Do đó trong khuôn khổ luận văn của
mình, chúng tôi gọi tắt quan điểm xem tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường
cong tại một điểm duy nhất là “quan điểm của Descartes”.


11

1.1.2. Quan điểm của Roberval về tiếp tuyến
Xuất hiện sau quan điểm tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một
điểm duy nhất là quan điểm của Roberval. Quan điểm của Roberval “dựa trên nguyên
tắc về sự phối hợp của các chuyển động” (Trần Vũ Đức (2004), tr.14).
“Tiên đề hay nguyên lí phát minh (Axiome ou principe d’invention):
Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại
mỗi vị trí của điểm đó”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.14)

Quan điểm trên được tác giả Trần Vũ Đức trích từ nghiên cứu của Francois De
Gandt (1980), De la vitesse de Galilée aux Fluxions de Newton – Mathématiques et
réalités physique au XVIIe siècle. Trích dẫn của Gandt bắt nguồn từ quyển
“Observations sur la composition des mouvements et le moyen de trouver les
touchantes aux lignes courbes” của Roberval.
Nếu quan điểm của Descartes chỉ thuần túy thuộc phạm vi của hình học sơ cấp, thì
sang đến Roberval đã có một sự phát triển trong quan điểm về khái niệm tiếp tuyến.
Quan điểm của Roberval đã thể hiện ý tưởng về giới hạn:
“Trong định nghĩa về tiếp tuyến, Roberval đã đề cập đến khái niệm phương chuyển động
của điểm vạch nên đường cong, nói cách khác là phương tức thời của chuyển động. Đây là ý
tưởng mới có liên quan đến vấn đề giới hạn 2– vấn đề mấu chốt đánh dấu sự phát triển của
phạm vi giải tích”.
(Trần Vũ Đức, tr.15)

1.1.3. Quan điểm của Fermat về tiếp tuyến
Theo tác giả Trần Vũ Đức, trong tác phẩm “Cơ sở giải tích toán học tập 1”,
G.M.Fichtengôn đã đưa ra một quy tắc để dựng tiếp tuyến tại một điểm của Fermat.
Qua quy tắc này chúng ta thấy thêm một quan điểm hoàn toàn mới so với các quan
điểm trước đây về khái niệm tiếp tuyến. Cần lưu ý rằng, quy tắc của Fermat không có
một cơ sở lí thuyết vững chắc nào làm nền tảng.
“Fermat xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của cát tuyến”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.18)

Trong khi phương pháp dựng tiếp tuyến của Roberval chỉ dừng lại ở ý tưởng về
giới hạn, thì nay trong quy tắc dựng tiếp tuyến của Fermat ta có thể thấy:

2

Chúng tôi tự in đậm để thể hiện bước phát triển trong cách tiếp cận khái niệm tiếp tuyến.


12

“Phương pháp của Fermat gắn liền với tư tưởng giới hạn, phần vô cùng nhỏ, hầu như
dừng lại trong quá trình biến thiên,…
[…]
Phương pháp của ông thực chất là phương pháp vi phân”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.18)

Như vậy cùng với sự ra đời của những quan điểm mới về tiếp tuyến là sự phát triển
về giải tích. Nhiều khái niệm mới lần lượt được hình thành về mặt ý tưởng: giới hạn,
đại lượng vô cùng bé… dẫn đường cho sự ra đời của khái niệm đạo hàm trong nửa
cuối thế kỉ XVII.

Sau quan điểm mới về tiếp tuyến của Fermat, Barrow cũng cho ra đời một góc nhìn
khác về khái niệm này. Tương tự Fermat, phương pháp tìm tiếp tuyến của Barrow
chưa có một cơ sở lí thuyết để giải thích rõ ràng.
1.1.4. Quan điểm của Barrow về tiếp tuyến
“Như vậy phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow (còn gọi là phương pháp tam
giác vi phân) dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường
thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó”.
(Trần Vũ Đức (2004), tr.20)

Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được tác giả Trần Vũ Đức rút ra từ
Perrin Patrick (1992), Prenons la tangente avant de dériver, Histoire d’infini,
commission inter-IREM.
Barrow xem tiếp tuyến và đường cong gần trùng nhau trong lân cận của tiếp điểm.
Quan điểm về tiếp tuyến của Barrow cũng thể hiện ý tưởng mới về các khái niệm của
giải tích.
1.1.5. Quan điểm của Newton, Leibniz về tiếp tuyến
Theo tác giả Trần Vũ Đức, tương tự Fermat và Barrow, Newton và Leibniz cũng
xem tiếp tuyến là “vị trí giới hạn của cát tuyến” và là “đường thẳng xấp xỉ với đường
cong trong lân cận của tiếp điểm”. Nhưng khác với quan điểm của Fermat và Barrow,
quan điểm về tiếp tuyến cũng như phương pháp dựng tiếp tuyến của Newton và
Leibniz dựa trên lập luận chặt chẽ, cơ sở lí thuyết rõ ràng hơn.
“Tóm lại, về bản chất thì các phương pháp của Newton và Lebniz là tổng hợp lại các
phương pháp của Fermat và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn, bằng cách đưa
vào các khái niệm vi phân, đạo hàm.”
(Trần Vũ Đức (2004), tr.22)


13

Như vậy, đến quan điểm về tiếp tuyến của Newton, Leibniz thì khái niệm đạo hàm,

vi phân đã có định nghĩa đầu tiên. Các định nghĩa này là cơ sở cho lập luận về phương
pháp dựng tiếp tuyến của Newton, Leibniz, giúp cho quan điểm của hai ông về tiếp
tuyến có được cơ sở vững chắc hơn của Fermat và Barrow.
Tuy nhiên, về bản chất, Newton cũng như Fermat, xem tiếp tuyến là vị trí giới hạn
của cát tuyến. Leibniz và Barrow đều có quan điểm giống nhau đối với khái niệm tiếp
tuyến. Vì thế khi muốn đề cập đến quan điểm tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến,
chúng tôi sẽ gọi tắt là “quan điểm của Fermat”. Và khi muốn đề cập đến tiếp tuyến là
đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân cận của tiếp điểm, chúng tôi sẽ gọi tắt
là “quan điểm của Barrow”.
1.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm
Tác giả Bùi Thị Thu Hiền đã có tìm hiểu và trình bày về mối liên hệ giữa khái niệm
tiếp tuyến và đạo hàm, chúng tôi xin phép tóm tắt lại bằng sơ đồ sau:

• Mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm chưa được hình
thành vì khái niệm tiếp tuyến vẫn trong phạm vi hình học sơ
Trong quan điểm

cấp và khái niệm đạo hàm chưa ra đời.

của Descartes

• Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong quan điểm
của Roberval có thể hiểu như sau: hệ số góc của tiếp tuyến
Trong quan điểm
của Robelval

bằng 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑.


14

• Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại
hoành độ tiếp điểm.
Trong quan điểm
của Fermat

Trong quan điểm
của Barrow

• Khái niệm đạo hàm xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ
giải quyết bài toán, chưa phải đối tượng nghiên cứu.

• Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑.

• Khái niệm vi phân xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ
giải quyết bài toán, chưa phải đối tượng nghiên cứu.

• Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại
hoành độ tiếp điểm.
• Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại 𝑎𝑎 thì có thể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bằng
một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ là 𝑎𝑎.
Trong quan điểm của • Đạo hàm, vi phân được định nghĩa lần đầu tiên, nhưng các
vấn đề liên quan đến giới hạn vẫn chưa được làm rõ.
Newton, Leibniz

Sau Newton, Leibniz, từ đầu thế kỉ XIX đến nay, phân ngành giải tích nói chung và
phép tính vi tích phân nói riêng ngày càng phát triển và được hoàn thiện. Cơ sở lí
thuyết của phép tính vi phân ngày càng được xây dựng chặt chẽ. Mối liên hệ tường
minh giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được xác định rõ:

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm.
[…]
Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại 𝑎𝑎 thì có thể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bằng một hàm affine và đó chính là

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 𝑎𝑎”.
(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.18)


15

Với sự phát triển mạnh mẽ của giải tích, mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm
càng được mở rộng và nghiên cứu sâu hơn:
“Định lí 2. Nếu 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) tồn tại, thì 𝑓𝑓 có ít nhất một đường biên địa phương 3 (local

bounding line) đi qua điểm 𝑃𝑃 = (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) và đường thẳng ấy chính là tiếp tuyến với đồ thị
của 𝑓𝑓 tại 𝑃𝑃.”

(Irl C. Bivens (1987), tr.140)

Tóm lại, mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đến nay đã có thể phát biểu cả hai
chiều:
+ Nếu tiếp tuyến tại điểm 𝐴𝐴(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) tồn tại thì hệ số góc của tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 sẽ

bằng 𝑓𝑓′(𝑎𝑎).

+ Ngược lại, nếu 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) tồn tại thì sẽ tồn tại tiếp tuyến tại điểm 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 𝑓𝑓 (𝑎𝑎)).

1.3. Kết luận chương 1

Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu trước đây, chúng tôi tìm thấy 4 quan điểm

sau về khái niệm tiếp tuyến:
+ Quan điểm của Descartes: Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong
tại một điểm duy nhất.
+ Quan điểm của Roberval: Xem đường cong là “vết” của một điểm chuyển
động thì tiếp tuyến là phương chuyển động tức thời của điểm đó tại mỗi vị trí điểm của
nó.
+ Quan điểm của Fermat: Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.
+ Quan điểm của Barrow: Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận của
tiếp điểm.
Vì đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm
nên ba quan điểm mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là quan điểm của Descartes, Fermat
và Barrow.
Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngày càng được nghiên cứu sâu, rộng hơn.
Cho đến ngày nay mối liên hệ trên đã được thể hiện rất rõ:
+ Nếu đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 tồn tại thì sẽ tồn tại tiếp tuyến tại 𝐴𝐴.

Định nghĩa. Một đường thẳng 𝐿𝐿 đi qua điểm 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) trên đồ thị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) được gọi là
đường biên tại 𝑃𝑃 nếu toàn bộ đồ thị của 𝑓𝑓 nằm về một phía đối với đường thẳng 𝐿𝐿. Đường thẳng 𝐿𝐿 được gọi là
biên địa phương tại 𝑃𝑃 nếu tồn tại một khoảng mở 𝐼𝐼 xung quang điểm 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 sao cho 𝐿𝐿 là một đường biên của 𝑓𝑓
khi hạn chế trên 𝐼𝐼. (Irl C. Bivens (1987), tr.140)
3


16

+ Nếu tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 tồn tại thì đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 sẽ bằng hệ

số góc của tiếp tuyến tại 𝐴𝐴.

Từ các kết luận trên chúng tôi xin cụ thể hóa câu hỏi nghiên cứu Q 2 . Chúng tôi

sẽ tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi sau trong khi phân tích sách giáo khoa ở
chương 2:
+ Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ban cơ bản chọn cách tiếp cận nào để
đưa vào khái niệm tiếp tuyến?
+ Những quan điểm nào về tiếp tuyến được sách giáo khoa lựa chọn giới thiệu
đến học sinh? Sự khác biệt giữa các quan điểm ấy có được nhắc đến hay không?
+ Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được sách giáo khoa khai thác ra sao?
Có thể hiện đủ hai chiều tác động của khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm?


17

Chương 2. TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM
TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11
Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm câu trả lời cho Q 2 : Đặc trưng mối quan hệ thể chế
với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong thể chế sách giáo
khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản hiện hành là gì?
Xin nhắc lại, cách nói “tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes” được dùng để
nhắc đến “tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy
nhất”, cách nói“tiếp tuyến theo quan điểm của Fermat” để đề cập đến “tiếp tuyến là
vị trí giới hạn của cát tuyến”, và cuối cùng, cách nói“tiếp tuyến theo quan điểm của
Barrow” để chỉ “tiếp tuyến là đường thẳng “xấp xỉ” với đường cong trong lân cận
của tiếp điểm”.
Như đã nói ở Phần Mở đầu, trước khi tiến hành phân tích sách giáo khoa Việt
Nam, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu một quyển sách Toán của Mỹ có trình bày về
khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm, lấy đó làm cơ sở so sánh để nổi rõ
những đặc trưng của thể chế Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản. Ở đây, chúng tôi chọn
quyển Precalculus with limits của Ron Larson và David C. Falvo để phân tích.
2.1. Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách toán của Mỹ

Quyển Precalculus with limits (kí hiệu M) gồm 12 chương:
Chương 1. Hàm số. Đồ thị của hàm số.
Chương 2. Hàm đa thức và phân thức hữu tỉ.
Chương 3. Hàm mũ. Hàm logarit.
Chương 4. Lượng giác (Trigonometry).
Chương 5. Lượng giác giải tích (Analytic Trigonometry).
Chương 6. Đọc thêm về lượng giác (Additional Topics in Trigonometry).
Chương 7. Hệ phương trình. Hệ bất phương trình.
Chương 8. Ma trận. Định thức.
Chương 9. Dãy. Chuỗi. Xác suất.
Chương 10. Hình học giải tích.


18

Chương 11. Hình học giải tích trong không gian 3 chiều.
Chương 12. Giới hạn.
Khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm và mối liên hệ giữa chúng được trình bày trong bài
3, chương 12. Do đó, chúng tôi sẽ tập trung phân tích, nghiên cứu Bài 3 chương 12 –
Bài toán tiếp tuyến (the tangent line problem).
2.1.1. Sự khác nhau giữa quan điểm của Descartes và Fermat, Barrow về tiếp
tuyến
Trong quyển sách mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu, trước khi giới thiệu về quan
điểm tiếp tuyến của Fermat và Barrow, khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm của
Descartes mà học sinh đã học ở lớp dưới được nhắc lại:
“Trong hình học, ta đã biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu chỉ cắt
đường tròn tại một điểm duy nhất”.
(M, tr.871)

Đồng thời, cũng ngay phần đầu của Bài 3 –Bài toán tiếp tuyến, trước khi làm quen

với quan niệm tiếp tuyến của Fermat và Barrow, M đã đề cập đến điểm khác biệt giữa
quan điểm của Descartes với quan điểm của Fermat và Barrow sau khi giúp học sinh
nhớ lại quan niệm tiếp tuyến của Descartes:
“Trong hình học, ta đã biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu chỉ cắt
đường tròn tại một điểm duy nhất. Tuy nhiên, những tiếp tuyến với các đường cong không
phải đường tròn, có thể cắt đường cong hơn một điểm.” 4
(M, tr.871)

Tiếp theo, M đưa vào các hình ảnh minh họa cho tiếp tuyến với đường cong không
phải đường tròn trong các trường hợp tiếp tuyến cắt đường cong tại một hay nhiều
điểm.

Chúng tôi tự in đậm để làm nổi bật sự khác nhau giữa quan điểm của Descartes và quan điểm của Fermat,
Barrow về tiếp tuyến.
4


19

M cũng đưa ra những bài tập liên quan đến sự khác biệt giữa các quan điểm về tiếp
tuyến:
“Bài 75–76. Hãy cho biết khẳng định sau là đúng hay sai. Giải thích tại sao?
76. Tiếp tuyến với đường cong chỉ có thể cắt đường cong tại một điểm duy nhất.”
(M, tr.880)

Như vậy, M đã trình bày một cách tường minh điểm khác nhau khi chuẩn bị
chuyển từ quan điểm của Descartes về tiếp tuyến sang quan điểm của Fermat, Barrow.
Đồng thời M cũng có bài tập để nhắc lại điểm khác biệt này cho học sinh.
2.1.2. Cách tiếp cận khái niệm tiếp tuyến của Precalculus with limits
M giới thiệu đến học sinh cả hai quan điểm về tiếp tuyến: Quan điểm của Fermat

và quan điểm của Barrow. Quan điểm của Fermat được đưa vào một cách tường minh.
Quan điểm của Barrow được thể hiện ngầm ẩn trong cách trình bày của M.
Quan điểm của Barrow xem tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong
trong lân cận của tiếp điểm. Quan điểm này được M ngầm giới thiệu đến học sinh
ngay phần đầu của bài học:
“Ví dụ, trong hình 12.20, parabol tại điểm (𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ) đi lên nhanh hơn so với đồ thị tại

điểm (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ). Tại đỉnh parabol đồ thị không thay đổi, và tại điểm (𝑥𝑥4 , 𝑦𝑦4 ) đồ thị đi xuống.

Để xác định độ dốc của đồ thị tại 1 điểm, bạn có thể tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
đó. Nói đơn giản, tiếp tuyến tại một điểm là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất độ dốc của đồ thị tại
điểm đó.
(M, tr.871)

Quan điểm “tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận của tiếp điểm”
được thể hiện qua việc xem hệ số góc của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho độ dốc của
đường cong tại tiếp điểm. Với việc xem hệ số góc của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho
độ dốc của đường cong, M đã ngầm xem tiếp tuyến với đường cong là một trong phạm
vi xung quanh tiếp điểm: