vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Nguyễn Đăng Khoa

VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ
HỮU HẠN SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Nguyễn Đăng Khoa

VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ
HỮU HẠN SINH

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của TS. Nguyễn Viết Đông. Nhân dịp này, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy và gia đình.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán – Tin và phòng Sau đại học – trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã
tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 09 năm 2012
Học viên

Hồ Nguyễn Đăng Khoa


3

Mục lục
Lời cảm ơn ......................................................................................................................................... 2
Bảng kí hiệu ..................................................................................................................................... 4
Mở đầu ............................................................................................................................................... 6
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................................. 7
§1. Môđun ....................................................................................................................................... 7
§2. Vành ........................................................................................................................................ 21
Chương 2. VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH ............................................... 26
§1. Định nghĩa và tính chất cơ bản................................................................................................ 26
§2. Ứng dụng................................................................................................................................. 34
Kết luận ............................................................................................................................................ 42

Tài liệu tham khảo .......................................................................................................................... 44


4

Bảng kí hiệu
Kí hiệu

Ý nghĩa



Tập hợp các số tự nhiên



Tập hợp các số nguyên



Tập hợp các số hữu tỉ

Ker f

Hạt nhân của đồng cấu f

Im f

Ảnh của đồng cấu f

J ( R)

Căn Jacobson của vành R

l ( X ), r ( X )

Linh hóa tử trái của tập hợp X ,
linh hóa tử phải của tập hợp X

l (a ), r (a )

Linh hóa tử trái của phần tử a ,
linh hóa tử phải của phần tử a

R

Mod , Mod R

Phạm trù các R -môđun trái,
phạm trù các R -môđun phải

HomR ( X , Y )

Tập hợp tất cả đồng cấu từ R -môđun X
vào R -môđun Y

Ext1R ( A, B)
R

M, MR

Tích mở rộng của R -môđun A và R -môđun B

R -môđun trái M , R -môđun phải M

1M

Ánh xạ đồng nhất của tập hợp M

i, ɩ

Ánh xạ nhúng

Card X

Lực lượng của tập hợp X

M RI , R M I

Môđun tích trực tiếp của họ I các môđun M R ,
môđun tích trực tiếp của họ I các môđun R M


5

M*

Môđun đối ngẫu của môđun M

A× B

Tích Đề-các của hai tập hợp A và B

dim L K

Số chiều của không gian vectơ K trên trường L

∏M

Môđun tích trực tiếp của họ môđun {M i }i∈I

i∈I

i

K [ x1 , x2 , , xn ,]

Vành đa thức của vô số ẩn x1 , x2 ,..., xn ,... trên
trường K

( x1 , x2 , x3 ,)

Trường phân thức của vô số ẩn x1 , x2 , x3 ,... trên
trường số hữu tỉ 


6

Mở đầu
Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, có thể nói lớp vành

Noether là một trong những lớp vành cơ bản nhất. Chính vì thế, việc nghiên cứu các
dạng mở rộng của lớp vành này là một đề tài rộng lớn, thu hút nhiều sự quan tâm
của các nhà toán học và cho đến nay chúng ta đã thu được nhiều kết quả đáng kể.
Đặc biệt, gần đây Lixin Mao [17] đã chỉ ra một dạng mở rộng mới, khá thú vị của
lớp vành Noether, đó chính là vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh hay gọi tắt là
vành AFG .
Với mong muốn hiểu rõ hơn về những tính chất cơ bản, cũng như một số ứng
dụng lí thú của dạng mở rộng mới này, do đó, luận văn sẽ đi trình bày lại một cách
chi tiết các kết quả về vành AFG có trong bài báo: “A generalization of
Noetherian rings, Taiwanese Journal of Mathematics, 12(2), pp.501-512” của
Lixin Mao.
Nội dung luận văn sẽ được trình bày trong 2 chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương này sẽ đi trình bày các kiến thức cơ bản về Môđun và Vành, làm cơ
sở để chứng minh các kết quả trong chương 2.
Chương 2: VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH.
Chương này sẽ trình bày nội dung chính của luận văn: định nghĩa, một số
tính chất cơ bản và ứng dụng của vành AFG .
Luận văn này chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được ý
kiến đóng góp từ thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành
cảm ơn !


7

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành
kết hợp, có đơn vị 1 ≠ 0 và mọi R -môđun được xét là môđun unita trái hoặc phải.

§1. Môđun
Tiết này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về môđun, đây là cơ sở để chúng tôi
làm rõ những tính chất của vành AFG . Để tránh nặng nề về mặt thuật ngữ, trong
tiết này chúng tôi sẽ gọi các R -môđun trái là các môđun và tất cả các kết quả mà
chúng tôi trình bày về các R -môđun trái đều chuyển sang một cách tương tự cho
các R -môđun phải.
Trước hết, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về hệ sinh và cơ sở của một môđun.
Cho R -môđun X . Tập hợp S ⊂ X , S ≠ ∅ là hệ sinh của X nếu với bất kì phần
tử x ∈ X thì :
x = r1s1 + r2 s2 +  + rn sn

với r1 , r2 ,..., rn ∈ R và s1 , s2 ,..., sn ∈ S .
Tập hợp S là độc lập tuyến tính nếu:
0
r1s1 + r2 s2 +  + rn sn =


8

thì r=
r2= = rn= 0.
1
Một hệ sinh S của môđun đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở
của môđun X .
1.1.1 Định nghĩa. Môđun X được gọi là môđun hữu hạn sinh nếu X có một hệ
sinh hữu hạn.
Chú ý: Với mỗi R -môđun trái M và một họ {Li }i∈I các R -môđun phải, ta luôn
có đồng cấu:

ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M )

i∈I

i∈I

được xác định bởi ϕ (( zi ) ⊗ x) = ( zi ⊗ x). Đặc biệt, ta có đồng cấu:

ϕ : R I ⊗R M → M I
R

được xác định bởi ϕ ((ai ) ⊗ x) =
(ai x) . Dựa vào các đồng cấu này, mệnh đề sau sẽ
cho chúng ta thêm một công cụ để chứng minh một môđun là môđun hữu hạn sinh.
1.1.2 Mệnh đề ([21], Lemma 13.1). Cho M là R -môđun, các khẳng định sau là
tương đương :
(a) M là môđun hữu hạn sinh.
(b) ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) là toàn cấu với mọi họ {Li }i∈I các R i∈I

i∈I

môđun phải.
(c) ϕ : RRI ⊗ R M → M I là toàn cấu với mọi tập chỉ số I .
Chứng minh. (a) ⇒ (b) Giả sử M sinh bởi các phần tử x1 , x2 , , xn . Lấy
ui
(ui ) I ∈ ∏ ( Li ⊗ R M ) , khi đó=
i∈I

∑ (z

n

∑z
j =1

ji

⊗ x j với z ji ∈ Li . Vì thế (ui ) I là ảnh của

) ⊗ x j .Vậy ϕ là toàn cấu.

ji I

j

(b) ⇒ (c) rõ ràng.
(c) ⇒ (a) Ta chọn tập chỉ số I là M . Xét phần tử u ∈ M M mà thành phần thứ x
chính là x . Vì ϕ : RRM ⊗ R M → M M là toàn cấu nên=
ta có u ϕ (∑ (rjx ) ⊗ x j ) với
j


9

(r1x ), (r2 x ), , (rnx ) ∈ R M và x1 , x2 , , xn ∈ M . Rõ ràng x = ∑ rjx x j với mọi
j

x ∈ M . Vậy x1 , x2 , , xn là hệ sinh của M .



1.1.3 Định nghĩa. Môđun X có cơ sở được gọi là môđun tự do.

1.1.4 Nhận xét.
• Cho S là một tập hợp khác rỗng, ta hoàn toàn có thể xây dựng một R -môđun
tự do có cơ sở là S , kí hiệu là F ( S ) (xem [1,tr.50]).
• R -môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào
đó các bản sao của vành hệ tử R (xem [1, Định lý 4, tr.51]).
• Tập S ≠ ∅ trong môđun X là cơ sở của X khi và chỉ khi với bất kì môđun Y
, mỗi ánh xạ f : S → Y đều có thể mở rộng tới một đồng cấu duy nhất f : X → Y
(xem [1, Định lý 5, tr.51]).
1.1.5 Định nghĩa. Môđun F được gọi là môđun tự do hữu hạn sinh nếu F có cơ sở
hữu hạn.
1.1.6 Nhận xét. R -môđun F là tự do hữu hạn sinh khi và chỉ khi F ≅ R n với

n∈ .
Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử R -môđun F là tự do hữu hạn sinh, khi đó F có cơ sở
hữu hạn là {a1 , a2 , , an } . Ta định nghĩa đồng cấu π : R n → F theo cách sau:

π ((r1 , r2 , , rn )) = r1a1 + r2 a2 +  + rn an .
Vì {a1 , a2 , , an } là hệ sinh của F nên π là toàn ánh. Mặc khác {a1 , a2 , , an } độc
lập tuyến tính nên π là đơn ánh. Vậy π là đẳng cấu hay F ≅ R n .
( ⇐ ) hiển nhiên.



1.1.7 Định nghĩa. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho
f = σϕ .


10

Chú ý: Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh (xem [1, Định lý 1, tr. 73]).
1.1.8 Định lý ([1, Định lý 5]). Đối với mỗi môđun P , ba phát biểu sau là tương
đương:
a) P là môđun xạ ảnh.
χ

δ

b) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra.
c) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.
1.1.9 Định nghĩa. Đồng cấu f : M → P được gọi là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh
(projective preenvelope) của R -môđun M nếu P là môđun xạ ảnh và với mọi đồng
cấu g đi từ M vào bất kì môđun xạ ảnh P ' , luôn tồn tại một đồng cấu h : P → P '
sao cho g = hf .
Chú ý: Nếu đồng cấu f là đơn ánh (tư, toàn ánh) thì ta gọi f là đơn cấu (t.ư,
toàn cấu) tiền phủ xạ ảnh.
1.1.10 Định nghĩa. R -môđun M được gọi là môđun biểu diễn hữu hạn (finitely
presented) nếu tồn tại một dãy khớp 0 → K → F → M → 0 trong đó F là R môđun tự do và cả F và K đều là R -môđun hữu hạn sinh.
Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.10, chúng ta dễ dàng thấy rằng mỗi môđun biểu
diễn hữu hạn đều là môđun hữu hạn sinh.
1.1.11 Bổ đề (Bổ đề Schanuel, [20, Proposition 3.12]). Cho các dãy khớp các R môđun
α

π

α'

π'

0 → K →P→M → 0
và

0 → K '→ P '→ M → 0

trong đó P và P ' là các môđun xạ ảnh, khi đó ta có đẳng cấu:

K ⊕ P ' ≅ K '⊕ P.


11

1.1.12 Mệnh đề ([20. Corollary 3.13]). Nếu M là môđun biểu diễn hữu hạn và
ϕ

φ

0 → K →F →M → 0
là một dãy khớp các R -môđun, trong đó F là môđun tự do hữu hạn sinh thì K là
môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. Vì M là môđun biểu diễn hữu hạn nên tồn tại dãy khớp
ϕ'

φ'

0 → K '→ F '→ M → 0
với F ' là môđun tự do và cả F ' và K đều là hữu hạn sinh. Theo Bổ đề Schanuel,
ta suy ra K ⊕ F ' ≅ K '⊕ F . Do K ' và F là hữu hạn sinh nên K '⊕ F là hữu hạn sinh
và vì thế kéo theo K ⊕ F ' là hữu hạn sinh. Mặt khác K là ảnh của K ⊕ F ' thông
qua đồng cấu chiếu nên K cũng là hữu hạn sinh.



1.1.13 Định nghĩa. Cho M là R -môđun trái (t.ư, phải) và X là một tập con khác
rỗng của M . Tập hợp tất cả các phần tử r ∈ R sao cho rx = 0 (t.ư, xr = 0 ) với mọi
x ∈ X được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X , ta kí hiệu là l ( X ) (t.ư, r ( X ) )

Chú ý: Nếu X = {a} chỉ có một phần tử, khi đó linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X
còn được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của a và được kí hiệu đơn giản là l (a )
(t.ư, r (a ) ).
1.1.14 Định lý ([6, Theorem 2.2]). Cho R là một vành, hai khẳng định sau là tương
đương :
(i) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn.
(ii) l (a ) là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a ∈ R và giao của hai iđêan trái hữu
hạn sinh bất kì của R lại là iđêan trái hữu hạn sinh.
Chứng minh. Lấy a ∈ R , khi đó ta có dãy khớp 0 → l (a ) → R → Ra → 0 , điều
này chứng tỏ l (a ) là hữu hạn sinh khi và chỉ khi Ra là biểu diễn hữu hạn. Bây giờ
giả sử I1 , I 2 là hai iđêan trái hữu hạn sinh của R và giả sử ta có
αi

βi

các dãy khớp 0 → K i → Fi → I i → 0 , i = 1, 2 , trong đó các Fi là các môđun tự do


12

hữu

hạn

sinh.

Đặt

K

là

hạt

nhân

của

toàn

cấu

ϕ : F1 ⊕ F2 → I1 + I 2 ,(a, b)  ϕ (a, b=
) β1 (a ) + β 2 (b) . Khi đó ta có biểu đồ giao
hoán sau :

0
↓
I1 ∩ I 2
↓
0 → K1 ⊕ K 2 → F1 ⊕ F2 → I1 ⊕ I 2 → 0
↓

↓

↓

→ K 
→ F1 ⊕ F2 → I1 + I 2 → 0
0 
↓
0
trong đó các hàng và cột là khớp và ánh xạ F1 ⊕ F2 → F1 ⊕ F2 là ánh xạ đồng nhất.
Bằng các bước săn biểu đồ đơn giản, ta dễ dàng chứng minh được tồn tại một đồng
cấu từ K vào I1 ∩ I 2 sao cho dãy 0 → K1 ⊕ K 2 → K → I1 ∩ I 2 → 0 là khớp. Vì
thế, nếu K1 và K 2 là hữu hạn sinh thì K là hữu hạn sinh khi và chỉ khi I1 ∩ I 2 là
hữu hạn sinh. Nghĩa là, nếu I1 và I 2 là biểu diễn hữu hạn thì I1 + I 2 là biểu diễn
hữu hạn khi và chỉ khi I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh.
Bây giờ giả sử ta có (i). Theo giả thiết I1 , I 2 và I1 + I 2 là các môđun biểu diễn
hữu hạn, do đó theo chứng minh trên ta có I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh.
Ngược lại, giả sử ta có (ii). Lấy I = Ra1 + Ra2 +  + Ran là một iđêan trái hữu
hạn sinh của R . Ta đi chứng minh I là biểu diễn hữu hạn bằng quy nạp. Giả sử

n > 1 và (i) đúng với k < n . Đặt I1 = Ra1 + Ra2 +  + Ran −1 và I 2 = Ran , rõ ràng
I= I1 + I 2 . Theo giả thiết quy nạp ta có I1 và I 2 là biểu diễn hữu hạn, kết hợp giả

thiết I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh nên theo chứng minh trên ta suy ra I= I1 + I 2 là biểu
diễn hữu hạn.



1.1.15 Định nghĩa. R -môđun trái (t.ư, phải) A được gọi là môđun dẹt trái (t.ư,
phải) nếu hàm tử (− ⊗ R A) (t.ư, ( A ⊗ R −) ) là hàm tử khớp.

13

Chú ý: Mỗi môđun xạ ảnh là môđun dẹt (xem [20, Proposition 3.46]). Tuy nhiên
trong trường hợp tổng quát môđun dẹt không nhất thiết là xạ ảnh. Tuy nhiên chúng
ta có kết quả sau:
1.1.16 Định lý ([20, Theorem 3.56]). Môđun biểu diễn hữu hạn-dẹt là môđun xạ
ảnh.
1.1.17 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun xạ ảnh đơn (singly projective)
nếu với mọi toàn cấu f : N → M , mỗi đồng cấu g : C → M trong đó C là môđun
xylic, tồn tại một đồng cấu h : C → N sao cho g = fh.
1.1.18 Định lý. Cho R -môđun M , các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là môđun xạ ảnh đơn.
(2) Với mỗi môđun con xylic N của M , ánh xạ nhúng ɩ : N → M luôn phân tích
qua được một R -môđun xạ ảnh P , nghĩa là tồn tại các đồng cấu g : N → P ,

h : P → M sao cho ɩ = hg .
(3) Với mỗi môđun con xylic N của M , ánh xạ nhúng ɩ : N → M luôn phân tích
qua được một R -môđun tự do hữu hạn sinh F .
(4) Với mỗi R -môđun xylic N , mọi đồng cấu f : N → M luôn phân tích qua được
một R -môđun tự do hữu hạn sinh F .
Chứng minh. (1) ⇒ (4) Giả sử ta có R -môđun xylic N = Ra và f là một đồng cấu
đi từ N vào M . Xét F ( M ) là R -môđun tự do sinh bởi M và π là đồng cấu mở
rộng lên toàn F ( M ) của ánh xạ đồng nhất 1M : M → M . Do M là môđun xạ ảnh
đơn nên tồn tại đồng cấu g : N → F ( M ) sao cho f = π g . Vì g (a ) ∈ F ( M ) nên
g (a ) có sự biểu thị tuyến tính qua cơ sở M của F ( M ) như sau :
g (a )= k1m1 + k2 m2 +  + kn mn ,

ki ∈ R, mi ∈ M , i= 1, , n.

Đặt F là môđun con của F ( M ) sinh bởi các phẩn tử m1 , m2 , , mn , rõ ràng F là
môđun tự do hữu hạn sinh. Ta đặt h là hạn chế của đồng cấu π trên F , dễ thấy
f = hg và F chính là môđun tự do hữu hạn sinh cần tìm.

(4) ⇒ (3) và (3) ⇒ (2) rõ ràng.


14

(2) ⇒ (1) Giả sử ta có toàn cấu ϕ : K → M và đồng cấu σ : C → M với C là R môđun xylic. Vì ảnh của đồng cấu σ là môđun xylic và do (2) nên tồn tại R môđun xạ ảnh P và các đồng cấu g : C → P , h : P → M sao cho σ = hg . Mặt
khác, do P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu λ : P → K sao cho h = ϕλ . Dễ thấy

σ = ϕ (λ g ) . Vậy M là môđun xạ ảnh đơn.



Theo Định lý 1.1.18, chúng ta có thể thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều là môđun
xạ ảnh đơn.
Tương tự định nghĩa đồng cấu tiền phủ xạ ảnh, ta có định nghĩa đồng cấu tiền
phủ xạ ảnh đơn như sau :
1.1.19 Định nghĩa. Đồng cấu f : M → P được gọi là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn
(singly projective preenvelope) của R -môđun M nếu P là môđun xạ ảnh đơn và
với mọi đồng cấu g đi từ M vào bất kì môđun xạ ảnh đơn P ' , tồn tại một đồng cấu

h : P → P ' sao cho g = hf .
Chú ý: Nếu đồng cấu f là đơn ánh (t.ư, toàn ánh) thì ta gọi f là đơn cấu (t.ư,
toàn cấu) tiền phủ xạ ảnh đơn.
1.1.20 Định nghĩa. Môđun con A của R -môđun B được gọi là môđun con thuần
khiết (pure submodule) nếu đồng cấu 1C ⊗ i : C ⊗ A → C ⊗ B là đơn ánh với mọi R

-môđun phải C , trong đó 1C là ánh xạ đồng nhất của môđun C và i là ánh xạ
nhúng từ môđun A vào môđun B .
Ngoài định nghĩa trên, theo [16, Theorem 4.89], chúng ta có thể định nghĩa
môđun con thuần khiết như sau: Môđun con A của R -môđun B là môđun con
thuần khiết nếu a j ∈ A (1 ≤ j ≤ n), bi ∈ B (1 ≤ i ≤ m) và sij ∈ R (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n)
sao cho a j = ∑ i sij bi với mọi j , tồn tại ai' ∈ A (1 ≤ i ≤ m) sao cho a j = ∑ i sij ai' với
mọi j . Định nghĩa này sẽ giúp chúng ta kết quả sau :
1.1.21 Định lý. Môđun con thuần khiết của môđun xạ ảnh đơn là xạ ảnh đơn.
Chứng minh. Giả sử A là môđun con thuần khiết của R -môđun xạ ảnh đơn B và

N = Ra là môđun con xylic của A . Do B là xạ ảnh đơn nên tồn tại R -môđun tự do


15

hữu hạn sinh F và các đồng cấu g : N → F , h : F → B sao cho i = hg , với i là
ánh xạ nhúng từ N vào B (theo Định lý 1.1.17). Gọi {e j } j =1,n là cơ sở của F và đặt
x j = h(e j ) với j = 1, , n . Do g (a ) ∈ F nên g (a ) = ∑ j =1 rj e j với rj ∈ R . Mặt khác
n

( g (a ))
ta=
có a h=

r h (e ) ∑
∑=
j j

j

r x j . Khi đó do A là môđun con thuần khiết

j j

của môđun B nên tồn tại y1 , y2 , , yn trong A sao cho a = ∑ j rj y j . Bây giờ ta xét
đồng cấu η : F → A được xác định bởi η (e j ) = y j với j = 1, 2, , n , khi đó

=
a=
∑ j rj y j

r η (e )
∑=
j j

j

η=
(∑ j rj e j ) η g (a ) với j = 1, 2, , n . Do a là phần tử

sinh của N nên điều này kéo theo η g = ɩ , với ɩ là ánh xạ nhúng từ N vào A .
Vậy A là môđun xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.17).



1.1.22 Định lý ([8, Lemma 5.3.12]). Cho M và N là các R -môđun. Khi đó tồn tại
một bản số vô hạn ℵα phụ thuộc vào Card N và Card R sao cho với bất kì đồng
cấu f : N → M , tồn tại một môđun con thuần khiết S của M sao cho f ( N ) ⊂ S
và Card S ≤ ℵα .
1.1.23 Định nghĩa. Cho C là một lớp con của phạm trù các R -môđun trái R Mod .

Một

C -tiền phủ (C -preenvelope) của R -môđun trái M là một đồng cấu

φ : M → F với F ∈ C sao cho với mọi đồng cấu f : M → F ' trong đó F ' ∈ C, tồn
tại một đồng cấu g : F → F ' sao cho gφ = f .
1.1.24 Định lý ([7, Lemma 3.1]). Giả sử C là một lớp các R -môđun trái đóng với
hạng tử trực tiếp. Nếu mỗi R -môđun trái đều có một C - tiền phủ thì C sẽ đóng với
tích trực tiếp.
Chứng minh. Với bất kì họ môđun {Fi }i∈I ⊂ C,

∏F
i∈I

i

có một

C -tiền phủ

φ : ∏ Fi → F (theo giả thiết). Đặt pi : ∏ Fi → Fi là phép chiếu thứ i . Khi đó tồn
i∈I

i∈I

tại đồng cấu ψ i : F → Fi sao cho ψ i=
φi pi , ∀i ∈ I . Ta định nghĩa đồng cấu


16

ψ : F → ∏ Fi

theo quy tắc ψ ( x) = (ψ i ( x))i∈I

với mọi

x ∈ F . Với mỗi

i∈I

( xi )i∈I ∈ ∏ Fi , ta đặt φ ( xi )i∈I = x , khi đó
i∈I

=
xi p=
ψ iφ=
(( xi )) ψ i ( x),
i (( xi ))

và do đó

ψφ ((=
xi )) ψ=
( x) (ψ i =
( x)) ( xi ),
hay ψφ = 1 F . Vì vậy
∏ i
i∈ I

∏F
i∈I

i

là một hạng tử trực tiếp của F , và vì thế

∏F ∈ C
i∈I

i

(theo giả thiết). Vậy C đóng với tích trực tiếp.



1.1.25 Định nghĩa. Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu

f :B → J sao cho f = f χ .
χ : A → B , mỗi đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu 
1.1.26 Định lý (Tiêu chuẩn Baer, [1]). R -môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất
kì iđêan trái I của R và bất kì đồng cấu f : I → J , luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao
cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q .
Cho R là một vành. Ta xét các điều kiện sau :
(C1 ) Bất kì đồng cấu f : I → R với I là iđêan trái hữu hạn sinh của R , luôn tồn tại

phần tử q ∈ R sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q .

(C1* ) Bất kì đồng cấu f : I → R với I là iđêan trái xylic của R , luôn tồn tại phần
tử q ∈ R sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q .

(C 2 ) r ( I1 ∩ I 2 ) = r ( I1 ) + r ( I 2 ) với mọi cặp iđêan trái hữu hạn sinh I1 , I 2 của R .
(C3 ) r (l ( I )) = I với mọi iđêan phải xylic I của R .

1.1.27 Định lý ([12, Theorem 1]). Các khẳng định sau là đúng đối với vành R bất
kì :
(i) R thỏa điều kiện (C1* ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện (C3 ) .
(ii) R thỏa điều kiện (C1 ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện (C 2 ) và (C3 ) .
Chứng minh. (i) Giả sử R thỏa điều kiện (C1* ) . Bây giờ ta xét iđêan trái xylic
Ra, a ∈ R . Lấy b là một phần tử bất kì trong r (l (a )) . Vì l (a ) ⊆ l (b) nên tồn tại


17

đồng cấu ϕ : Ra → Rb được xác định bởi ϕ (ra=
) rb, ∀r ∈ R . Theo (C1* ) , tồn tại
phần tử c ∈ R sao cho ϕ (a=
= b , và do đó b ∈ aR . Vậy r (l (aR=
) ac
)) aR
= r (l (a ))
.Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện (C3 ) . Lấy Ra là iđêan trái xylic của R và giả
sử θ là một đồng cấu từ Ra vào R , đặt θ (a ) = aθ , rõ ràng l (a ) ⊆ l (aθ ) . Vì vậy,
theo (C3 ) ta có aθ R = r (l (aθ R )) ⊆ r (l (aR )) = aR , do đó tồn tại phần tử c ∈ R sao
cho

aθ = ac .

Như

vậy

ta

đã

tìm

được

phần

tử

c∈R

sao

cho

θ
θ (ra=
) rθ (a=
) ra=
r (ac=
) (ra )c, ∀r ∈ R .

(ii) Giả sử R thỏa điều kiện (C1 ) . Lấy I1 , I 2 là hai iđêan trái hữu hạn sinh của

R và b là một phần tử bất kì trong r ( I1 ∩ I 2 ) . Tiếp tục lấy c là một phần tử bất kì
trong R , ta xét các đồng cấu sau:

θ1 : I1 → I1c
x  xc
và

θ 2 : I 2 → I 2 (c + b )
y  y (c + b )
Vì b ∈ r ( I1 ∩ I 2 ) nên θ1=
( x) θ 2 ( x), ∀x ∈ I1 ∩ I 2 , do đó tồn tại đồng cấu :

θ : I1 + I 2 → I1c + I 2 (c + b)
x + y  xc + y (c + b)
Theo (C1 ) , tồn tại phần tử a ∈ R sao cho θ ( x + y ) = ( x + y )a, ∀x ∈ I1 , ∀y ∈ I 2 . Do
đó ta có :
c − a ∈ r ( I1 ),

(c + b) − a ∈ r ( I 2 ).

Vì vậy b = (c + b − a ) − (c − a ) ∈ r ( I1 ) + r ( I 2 ) . Do đó r ( I1 ∩ I 2 ) = r ( I1 ) + r ( I 2 ) . Vậy
*
R thỏa điều kiện (C 2 ) . Mặt khác R thỏa điều kiện (C1 ) nên thỏa điều kiện (C1 )

kéo theo thỏa điều kiện (C3 ) .


18

Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện (C 2 ) và (C3 ) . Khi đó R thỏa (C1* ) vì (i). Giả
sử I = Ra1 + Ra2 +  + Ran là một iđêan trái hữu hạn sinh của R . Ta đi chứng minh

R thỏa điều kiện (C1 ) bằng quy nạp theo n - số phần tử sinh của I . Rõ ràng R
thỏa điều kiện (C1 ) với n = 1 (theo (i)). Giả sử R thỏa (C1 ) với k= n − 1 , ta cần
chứng minh R thỏa (C1 ) khi k = n . Gọi ϕ : I → R là một đồng cấu bất kì từ I vào

R và ϕ1 , ϕ 2 lần lượt là hạn chế của ϕ trên và Ran . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại
c1 , c2 ∈ R sao cho ϕ ( x=
) xc1 , ∀x ∈ I1 và ϕ ( =
y ) yc2 , ∀y ∈ Ran . Vì ϕ1 và ϕ 2 là

trùng nhau trên I1 ∩ Ran nên ta có c1 − c2 ∈ r ( I1 ∩ Ran ) . Mặt khác, do R thỏa (C 2 )
nên r ( I1 ∩ Ran ) = r ( I1 ) + r ( Ran ) , vì thế c1 − c2 = b1 − b2 với

b1 ∈ r ( I1 ), b2 ∈ r ( Ran ) .

Ta đặt c = c1 + b1 = c2 + b2 . Dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ ( x=
) xc, ∀x ∈ I . Vậy theo
nguyên lý quy nạp toán học, ta suy ra R thỏa điều kiện (C1 ) với mọi n ∈  .



1.1.28 Định nghĩa. Môđun con N của R -môđun M được gọi là môđun con cốt
yếu (essential submodule) của M nếu N ∩ K ≠ 0 với mọi môđun con K ≠ 0 của

M.
1.1.29 Định nghĩa. Nếu N là môđun con cốt yếu của môđun nội xạ E thì E được
gọi là bao nội xạ của môđun N , kí hiệu E ( N ) .
Chú ý: Mọi môđun đều có bao nội xạ (xem [5, Proposition 7.13]).
Cho M là R -môđun phải, khi đó ta có thể biến nhóm cộng aben HomR ( M , R )
thành R -môđun trái với phép nhân ngoài được xác định theo cách sau:
(rf )(m) = r ( f (m)) với f ∈ HomR ( M , R ), m ∈ M , r ∈ R.

1.1.30 Định nghĩa. R -môđun trái HomR ( M , R ) được gọi là môđun đối ngẫu của R
-môđun phải M , kí hiệu là M * .


19

1.1.31 Nhận xét.
• Nếu M là môđun tự do hữu hạn sinh thì M * cũng là môđun tự do hữu hạn sinh.
• Cho f : N → M là đồng cấu môđun, dễ thấy ánh xạ f * : M * → N * được xác
định theo công thức f * (α ) = α f với mọi α ∈ M * là một đồng cấu môđun. Hơn
nữa, nếu f là toàn cấu thì f * là đơn cấu.
Chứng minh. Giả sử M là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở hữu hạn là
m1 , m2 , , mn . Với mỗi i ∈ {1, 2, , n} , ta định nghĩa các đồng cấu ϕi : M → R như

sau

1 i = j
0 i ≠ j

ϕi ( m j ) = 

Khi đó ϕi ∈ M * với i = 1, 2, , n . Dễ thấy M * là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ
sở là ϕ1 , ϕ 2 , , ϕ n .
(ii) Giả sử ánh xạ f : N → M là toàn cấu. Khi đó ta có :
f * (α ) = f * ( β ) ⇔ α f = β f ⇒ α = β

hay f * là đơn cấu.



1.1.32 Định nghĩa. R -môđun M được gọi là môđun xoắn yếu (torsionless) nếu M
thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau :
(i) Ánh xạ chính tắc

=
M → M ** HomR ( M * , R), m  ( f  f (m)), m ∈ M , f ∈ M *
là đơn cấu.
(ii) M có thể nhúng vào tích trực tiếp của một họ nào đó các bản sao của vành hệ
tử R .
1.1.33 Nhận xét. R -môđun R / I là xoắn yếu khi và chỉ khi I là linh hóa tử trái
của một tập con khác rỗng X nào đó của R .


20

Chứng minh. (⇒) Giả sử R -môđun R / I là xoắn yếu. Khi đó tồn tại đơn cấu
f : R / I → R J với R J là tích trực tiếp của họ J các bản sao của vành hệ tử R . Đặt

f (1 + I ) =
(rj ) j∈J và đặt=
X {rj , j ∈ J } , dễ thấy I = l ( X ) .
(⇐) Giả sử I = l ( X ) với X là một tập con khác rỗng nào đó của R . Xét đồng

cấu f : R / I → R X được xác định bởi f (1 + I ) =
( x) x∈X . Dễ dàng chứng minh được
f là đơn cấu. Vậy R / I là môđun xoắn yếu.



21

§ 2. Vành
Tiết này sẽ nhắc lại định nghĩa và tính chất cơ bản của các lớp vành đặc biệt như:
vành Noether, QF-vành, vành FP-nội xạ,  . Những định nghĩa và tính chất này
được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu trong các tài liệu
[2], [10], [11], [13], [14], [15] và [21].
Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa vành Artin và vành Noether.
1.2.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Artin trái (t.ư, phải) nếu mọi dãy giảm
các iđêan trái (t.ư, phải) L1 ⊃ L2 ⊃ L3 ⊃  của R đều dừng.
1.2.2 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Noether trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan
trái (t.ư, phải) của R đều hữu hạn sinh.
Chú ý: Mỗi vành Artin trái đều là vành Noether trái (xem [15, p.21]), tuy nhiên
điều ngược lại nói chung là không đúng (xem [5, p.109]).
1.2.3 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành nội xạ trái (t.ư, phải) nếu R R (t.ư, RR )
là môđun nội xạ.
1.2.4 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành tựa Frobenius (hay QF-vành) nếu R
thỏa một trong các điều kiện tương đương sau:
(i) R là vành Artin hai phía và thỏa cả hai điều kiện linh hóa tử sau:
(a) r (l ( J )) = J với mọi iđêan phải J của R
(b) l (r ( I )) = I với mọi iđêan trái I của R .
(ii) R là vành Noether trái và là vành nội xạ trái.
Kết quả sau là rất đẹp đối với môđun nội xạ và môđun xạ ảnh trên QF-vành :
1.2.5 Mệnh đề ([2, Proposition 31.1]). Một môđun trên QF-vành là môđun nội xạ
khi và chỉ khi nó là môđun xạ ảnh.
1.2.6 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành pseudo-coherent trái (t.ư, phải) nếu
linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con hữu hạn của R là iđêan trái (t.ư, phải)
hữu hạn sinh.

22

1.2.7 Nhận xét. R là vành pseudo-coherent trái khi và chỉ khi môđun con xylic của
mỗi R -môđun trái tự do hữu hạn sinh là biểu diễn hữu hạn.
Chứng minh. (⇒) Giả sử R là vành pseudo-coherent trái và giả sử Rx ≅ R / I là
môđun con xylic của R -môđun trái tự do hữu hạn sinh F . Do F ≅ R n , n ∈  nên
tồn tại đơn cấu f : R / I → R n . Đặt f (1 + I ) =
(a1 , a2 , , an ) , dễ thấy I = l ( A) với
A = {a1 , a2 , , an } . Vì R là vành pseudo-coherent trái nên I là iđêan trái hữu hạn

sinh. Dãy khớp 0 → I → R → R / I → 0 chứng tỏ R / I là hay Rx là môđun biểu
diễn hữu hạn môđun biểu diễn hữu hạn.
(⇐) Giả sử môđun con xylic của mỗi R -môđun trái tự do hữu hạn sinh là biểu

diễn hữu hạn và giả sử I = l ( X ) với

X = {x1 , x2 , , xn } . Xét đồng cấu

( x1 , x2 , , xn ) . Rõ ràng f là đơn cấu,
f : R / I → R n được xác định bởi f (1 + I ) =

do đó có thể xem R / I là môđun xylic của R n . Do đó R / I là môđun biểu diễn hữu
hạn. Xét dãy khớp 0 → I → R → R / I → 0 , theo Mệnh đề 1.1.12 ta có I là iđêan
trái hữu hạn sinh. Vậy R là vành pseudo-coherent trái.



1.2.8 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành coherent trái (t.ư, phải) nếu mỗi iđêan
trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn.

Theo Định lý 1.1.14, chúng ta có điều kiện tương đương sau: Vành R là vành
coherent trái nếu l (a ) là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a ∈ R và giao của hai
iđêan trái hữu hạn sinh bất kì của R là iđêan trái hữu hạn sinh. Do đó nếu R là vành
coherent trái thì linh hóa tử trái của mỗi tập con hữu hạn của R là iđêan trái hữu hạn
sinh. Thật vậy, giả sử I = l ( X ) với X ⊂ R và X là tập hữu hạn, khi đó

I = ∩ l ( x) là hữu hạn sinh do X là hữu hạn và R là vành coherent trái. Vì vậy
x∈X

mỗi vành coherent trái đều là vành pseudo-coherent trái.
1.2.9 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành đối ngẫu trái (t.ư, phải) nếu mỗi iđêan
trái là một linh hóa tử trái (t.ư, phải) (nghĩa là, với mọi iđêan trái (t.ư, phải) L ,
l (r ( L)) = L (t.ư, r (l ( L)) = L ).


23

1.2.10 Mệnh đề ([10, Lemma 3.1]). Cho {I λ }λ∈Λ là một họ các iđêan phải của vành
đối ngẫu hai phía R . Khi đó:

(

)

l ∩ Iλ =
∑ l (I λ ).
λ∈Λ

λ∈Λ

Kết quả trên vẫn đúng cho họ các iđêan trái của nhưng khi đó chúng ta phải thay
thế các linh hóa tử trái bởi các linh hóa tử phải.
1.2.11 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Pseudo-Frobenius trái (t.ư, phải)
nếu

R

R (t.ư, RR ) là môđun nội xạ và mỗi R -môđun trái (t.ư, phải)

đều có thể

nhúng vào tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R .
Từ Định nghĩa 1.2.11, chúng ta dễ dàng nhận ra mỗi vành Pseudo-Frobenius trái
đều là vành đối ngẫu trái.
1.2.12 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành CF trái (t.ư, phải) nếu mỗi R môđun trái (t.ư, phải) xylic đều có thể nhúng vào một R -môđun trái (t.ư, phải) tự
do nào đó.
Như vậy, từ Định nghĩa 1.2.12, chúng ta có thể thấy rằng mỗi vành CF trái đều là
vành đối ngẫu trái.
Như chúng ta đã biết, R -môđun trái (t.ư, phải) M được gọi là môđun FP-nội xạ
trái (t.ư, phải) nếu Ext1R ( L, M ) = 0 với mọi R -môđun trái (t.ư, phải) biểu diễn hữu
hạn L . Từ định nghĩa môđun FP-nội xạ, một cách tự nhiên, chúng ta có định nghĩa
vành FP-nội xạ như sau:
1.2.13 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành FP-nội xạ trái (t.ư, phải) nếu

R

R

(t.ư, RR ) là môđun FP-nội xạ trái (t.ư, phải).
1.2.14 Mệnh đề ([13, Corollary 2.5]). Trong một vành FP-nội xạ trái (t.ư, phải),

mỗi iđêan phải(t.ư, trái) hữu hạn sinh là linh hóa tử phải (t.ư, trái) của một tập con
khác rỗng X nào đó của R .
1.2.15 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Baer trái (t.ư, phải) nếu R thỏa một
trong hai điều kiện tương đương sau:
(i) Linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con khác rỗng của R được sinh bởi
một phần tử lũy đẳng.


24

(ii) Linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con khác rỗng của R là một hạng tử
trực tiếp của R R (t.ư, RR ).
Chú ý: Khái niệm trái và phải trên vành Baer là đối xứng (xem [16, Proposition
7.46]), vì vậy từ đây về sau chúng ta sẽ gọi là vành Baer trái (hoặc phải) là vành
Baer.
1.2.16 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành chính quy von Neumann nếu với mỗi

a ∈ R , luôn tồn tại x ∈ R sao cho a = xax .
Theo [15, Theorem 4.23] và [11, Lemma 2.2], ta có kết quả sau:
1.2.17 Mệnh đề. Các khẳng định sau là tương đương đối với vành R :
(a) R là vành chính quy von Neumann.
(b) Mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
(c) Mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh là một hạng tử trực tiếp của

R

R (t.ư,

RR ).

(d) Mỗi R -môđun trái (t.ư, phải) đều là môđun FP-nội xạ trái (t.ư, phải).
Như vậy, theo Mệnh đề 1.2.17, chúng ta suy ra mỗi vành chính quy von
Neumann đều là vành FP-nội xạ hai phía.
1.2.18 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu J ( R ) = {0} .
Theo [15, Theorem 4.14 and 4.25], ta có kết quả sau:
1.2.19 Mệnh đề. R là vành chính quy von Neumann và là vành Noether trái (t.ư,
phải) khi và chỉ khi là R vành Artin hai phía nửa đơn.
1.2.20 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành PP trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan trái
(t.ư, phải) xylic của R đều là môđun xạ ảnh.
Ngoài ra, theo T.Y. Lam [16, Definition 7.45], vành PP còn được định nghĩa một
cách tương đương như sau: Vành R là vành PP trái nếu linh hóa tử trái của mỗi
phần tử trong R được sinh bởi một phần tử lũy đẳng. Như vậy, từ định nghĩa này,
chúng ta dễ dàng thấy rằng mỗi vành Baer đều là vành PP hai phía.
1.2.21 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành PF trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan
trái (t.ư, phải) xylic của R là môđun dẹt.