về cấu trúc thứ tự trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thành Thị Phương Bối

VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thành Thị Phương Bối

VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người
thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa ToánTin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền đạt
những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng khóa và các anh chị khóa
trên đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi đã tạo điều kiện, hỗ trợ
cho tôi cả về tinh thần lẫn vật chất để tôi có thể yên tâm hoàn thành khóa học.
Bản thân tôi đã cố gắng học tập, tìm hiểu và hoàn thành luận văn bằng cả
tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn chắc sẽ không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Vì thế, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân
thành từ quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
TP.HCM, Tháng 09 năm 2013
Tác giả

Thành Thị Phương Bối


1

MỤC LỤC
trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
MỤC LỤC ............................................................................................................. 1

T
0

0T

BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................... 2
T
0

0T

PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 3
T
0

0T

Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................... 4
T
0

T
0

Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO
T
0

HOÁN .................................................................................................................. 16
0T

2.1. Định lý ..................................................................................................... 16
T
0

0T

0T

0T

2.2. Định lý R.E. Johnson ............................................................................. 21
T
0

0T

0T

T
0

2.3. Định lý ..................................................................................................... 22
T
0

0T

0T

0T

2.4. Định lý ..................................................................................................... 25
T
0

0T

0T

0T

2.5. Định lý Albert, Neumann, Fuchs ......................................................... 26
T
0

0T

0T

T
0

2.6. Định lý ..................................................................................................... 28
T
0

0T

0T

0T

2.7. Các ví dụ về vành không giao hoán sắp thứ tự ................................... 31
T
0

0T

0T

T
0

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 35
T
0

0T

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 36
T
0

0T


2

BẢNG KÍ HIỆU

Kí hiệu

Đọc là

charR

Đặc số của vành R

MR

M là R − module phải

R

M

M là R − module trái

R

MR

M là song module

J ( R)

Căn Jacobson của vành R

P

Thứ tự trên vành R

 [ x]

Vành các đa thức biến x có hệ số thực

T

Tiền thứ tự trên vành R

T

Cái bao đóng chia của T


3

PHẦN MỞ ĐẦU
Vành số nguyên  có một cấu trúc thứ tự tự nhiên được định nghĩa với
hai phép toán cộng và nhân trong  . Cụ thể:

∀a, b, c ∈ , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c ,
0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab.
Trong  , chúng ta có quan hệ thứ tự:

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
Nếu chúng ta tiên đề hóa những tính chất cơ bản trên, chúng ta sẽ đi đến
khái niệm một vành sắp thứ tự.
Tuy nhiên không phải bất cứ vành R nào cũng có thể đưa vào một quan
hệ thứ tự để nó trở thành một vành sắp thứ tự. Điều đó càng phức tạp hơn đối với

lớp các vành không giao hoán. Trong trường hợp nếu R là một trường thì Artin
và Schreier đã chỉ ra rằng: một trường R là trường sắp thứ tự nếu và chỉ nếu R
là “số thực hình thức”, −1 không là tổng của các bình phương trong R .
Vậy với những điều kiện gì thì vành R sắp thứ tự và các vành không giao
hoán sắp thứ tự có các đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìm hiểu và làm rõ vấn
đề trên.


4

Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả có liên
quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ
tự, trường sắp thứ tự.
1.1.

Định nghĩa vành
Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí

hiệu là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một
vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

R, + là một nhóm giao hoán.

ii)

R,. là một nửa nhóm.

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý

x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz và ( y + z ) x =yx + zx.

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân
có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị.
1.2.

Định nghĩa vành con
Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R

cảm sinh trên A lập thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R.
1.3.

Định lý
Cho A là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương

đương:


5

1.4.

i)

A là vành con của R ;

ii)

Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, − x ∈ A;

iii)

Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A và xy ∈ A .

Định nghĩa ideal của một vành
Cho R là một vành, một vành con I của R được gọi là ideal trái (ideal

phải) của vành R nếu thỏa mãn các điều kiện: rx ∈ I ( xr ∈ I ) , ∀x ∈ I , ∀r ∈ R.
Vành con I của R được gọi là ideal của vành R nếu I vừa là ideal trái vừa
là ideal phải của vành R .
1.5.

Định lý
Cho I là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương

đương:
i)

I là ideal của R ;

ii)

Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I , − x ∈ I , rx ∈ I và xr ∈ I ;

iii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I , rx ∈ I và xr ∈ I .
1.6.

Định nghĩa ideal nguyên tố
Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu I ≠ R và với hai

ideal M , N ⊆ R, MN ⊆ I thì M ⊆ I hoặc N ⊆ I .
1.7.

Định nghĩa ideal tối đại
Một ideal I của vành R được gọi là ideal tối đại nếu I ≠ R và nếu M là

một ideal thỏa I ⊂ M ⊂ R thì I = M hoặc M = R .


6

1.8.

Định lý

− Định nghĩa

Giả sử I là ideal của vành R . Khi đó ta xét nhóm thương của nhóm cộng
Abel R .
I
•

Lớp xy + I chỉ phụ thuộc vào các lớp x + I và y + I mà không phụ

thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện x, y từ các lớp đó. Và ta
gọi xy + I là tích của hai lớp x + I và y + I .
•

R cùng với hai phép toán:
I

Phép cộng: ( x + I , y + I )  x + y + I
Phép nhân: ( x + I , y + I )  xy + I

là vành, gọi là vành thương của R trên I .
Nhận xét:
1) Nếu R là vành giao hoán thì vành thương R

I cũng giao hoán.

2) Nếu vành R có đơn vị e thì vành thương R
1.9.

e+I .
I có đơn vị

Định nghĩa đồng cấu vành
Một ánh xạ f từ vành R vào vành R ' được gọi là một đồng cấu vành nếu

f bảo toàn các phép toán, nghĩa là ∀x, y ∈ R

f ( x + y=
) f ( x) + f ( y)
f ( xy ) = f ( x ) f ( y )


7

Một đồng cấu từ vành R vào vành R được gọi là một tự đồng cấu của R .
Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn
cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu.

Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào R ' thì ta nói R đẳng cấu với R ' . Kí hiệu:

R ≅ R'.
1.10. Các ví dụ về đồng cấu vành
1)

Ánh xạ đồng nhất id R của vành R là một tự đẳng cấu, gọi là tự

đẳng cấu đồng nhất của R .
2)

Giả sử A là vành con của vành R . Khi đó ánh xạ bao hàm

iA : A → R định bởi iA ( x ) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc.

3)

Giả sử I là một ideal của vành R . Khi đó ánh xạ π : R → R định
I

bởi π ( x )= x + I là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc .
4)

Giả sử R, R ' là hai vành. Khi đó ánh xạ f : R → R ' định bởi

f ( x ) = 0 R ' ( 0 R ' là phần tử không của vành R ' ) là một đồng cấu, gọi là
đồng cấu tầm thường.
5)

Cho R là một vành có đơn vị và a ∈ R khả nghịch. Khi đó ánh xạ

f : R → R , định bởi f ( x ) = axa −1 là một tự đẳng cấu của R .

1.11. Mệnh đề
Nếu

f : R → R'

f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ R .
1.12. Mệnh đề

là

đồng

cấu

vành

thì

f ( 0R ) = 0R '

và


8

Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Đặc biệt, tích của hai
đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng,

toàn cấu, đẳng cấu) vành.
1.10. Mệnh đề
Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là một đẳng cấu vành.
1.13. Định lý
Cho đồng cấu vành f : R → R ' và A là một vành con của R , A ' là vành
con của R ' . Khi đó:
i)

f ( A ) là vành con của R ' .

ii)

f −1 ( A ') là vành con của R . Hơn nữa, nếu A ' là ideal của R ' thì

f −1 ( A ') cũng là ideal của R .

Đặc biệt: Im f = f ( R ) là vành con của R ' , ker f = f −1 ( 0 R ' ) là ideal của R . Ta
gọi Im f là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f .
1.14. Định lý
Đồng cấu vành f : R → R ' là đơn cấu khi và chỉ khi ker f = {0 R } .
1.15. Định lý đẳng cấu 1
Cho đồng cấu vành f : R → R ' . Khi đó ánh xạ f : R
f ( x + ker f ) =
f ( x ) là đơn cấu vành. Đặc biệt R

ker f

ker f

≅ Im f .

→ R ' định bởi


9

1.16. Định lý đẳng cấu 2
Cho R là một vành và I là một ideal của R , A là một vành con của R .
Khi đó I + A là vành con của R ; I là ideal của I + A ; I ∩ A là ideal của A và
A ∩ A ≅ ( I + A ) qua đẳng cấu vành x + I ∩ A  x + I .
I
I

1.17. Định lý đẳng cấu 3
Cho R là một vành và I là ideal của R . Khi đó:
i)

A là vành con của vành thương R I khi và chỉ khi A có dạng A ' I

với A ' là vành con của R và A ' chứa I .
ii)

A là ideal của vành thương R I nếu và chỉ nếu A có dạng A ' I với

A ' là ideal của R và A ' chứa I . Hơn nữa, ta có:

(R I )

( A' I )

≅R

A'

(

)

qua đẳng cấu ( x + I ) + A '  x + A ' .
I

1.18. Định nghĩa
Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác không trong R đều
khả nghịch (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia).
1.19. Định nghĩa
Một thể giao hoán được gọi là một trường.
1.20. Định nghĩa
Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác
không luôn khác không.


10

1.21. Định nghĩa
Một vành R được gọi là một miền nếu R ≠ 0, ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 .
1.22. Định nghĩa
Cho R là một miền, miền R ' ⊇ R gọi là một vành các thương của R nếu

∀x ∈ R ', ∃a, b ∈ R \ {0} : ax ∈ R, xb ∈ R.
1.23. Định nghĩa đặc số của vành

Vành R gọi là vành có đặc số s ≠ 0 nếu s là số nguyên dương bé nhất thỏa
s.r= 0 R , ∀r ∈ R

(*)

Vành R gọi là vành có đặc số 0 nếu 0 là số nguyên duy nhất thỏa (*).
1.24. Mệnh đề
Nếu vành R có đặc số s ≠ 0 thì mọi phần tử không phải là ước của không
trong vành đều có cấp bằng s . Nếu vành R có đặc số s = 0 thì mọi phần tử
không phải là ước của không đều có cấp vô hạn.
Chứng minh.
Xét vành R và giả sử r ∈ R không phải là ước của 0 . Nếu R có đặc số s ≠ 0 ,
ta có sr = 0 và r có cấp là n là một ước số của s . Ta chứng tỏ n = s . Với mọi

=
0 R 0 R và do r không phải là ước của 0 R , suy ra
x ∈ R , ta có ( nx=
) r x ( nr
) x=
nx = 0 R . Vậy n = s . Bây giờ nếu vành R có đặc số s = 0 và giả sử r có cấp hữu

hạn n . Lập luận như trên, ta có: nx = 0 R với mọi x ∈ R , điều này trái với giả
thiết R có đặc số s = 0 . Vậy r có cấp vô hạn.


11

1.25. Hệ quả
Đặc số của vành R có đơn vị 1R ≠ 0 R chính là cấp của phần tử đơn vị 1R
trong nhóm cộng R (tức là số nguyên s > 0 bé nhất sao cho s.1R = 0 R ).

1.26. Mệnh đề
Nếu R là một miền thì hoặc R có đặc số 0 hoặc R có đặc số nguyên tố.
Chứng minh.
Vì R ≠ {0 R } nên có x ∈ R, x ≠ 0 R và do đó, nếu R có đặc số s ≠ 0 thì phải
có s > 1 . Hơn nữa, nếu giả sử s = mm ' với 1 < m, m ' < s thì phải có r ∈ R sao cho
m ' r ≠ 0 R , ngoài ra phần tử b = m ' r không phải là ước của 0 theo giả thiết, nên

theo mệnh đề 1.24, b có cấp s và do m < s , ta có mb ≠ 0 R (*); nhưng mặt khác,

= m ( m ' r=
ta có mb
)

( mm ')=r

sr= 0 R (mâu thuẫn với (*)). Vậy đặc số s ≠ 0

phải là số nguyên tố.
1.27. Hệ quả
Một miền nguyên, một thể hay một trường hoặc có đặc số 0 , hoặc có đặc số
nguyên tố.
1.28. Định nghĩa module
Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng Aben. M được gọi là

mr
một R − module phải nếu có một ánh xạ f : M × R → M , ( m, r )  f ( m, r ) =
sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì:


12

i)

m ( a + b ) = ma + mb.

ii)

( m1 + m2 ) a =m1a + m2a.

iii)

( ma ) b = m ( ab ).

Chú ý:
M R là R − module phải, tương tự có

R

M là R − module trái, M vừa là R −

module phải vừa là R − module trái gọi là song module. Kí hiệu: R M R .
1.29. Định nghĩa module con
Cho R − module M và tập ∅ ≠ N ⊂ M , N được gọi là module con của M
nếu:
i)

∀x, y ∈ N : x − y ∈ N .

ii)

∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N .

Tất nhiên module con N là một R − module với phép toán cảm sinh và
M N cũng là R − module được gọi là module thương.

1.30. Định nghĩa

M được gọi là module đơn hay bất khả quy nếu MR ≠ 0 và M có đúng hai
module con là M và 0 .
1.31. Định nghĩa
Cho M là R − module, A ( M ) là tập hợp các phần tử của R linh hóa toàn

0} .
bộ M : A ( M ) =
{r ∈ R : Mr =


13

1.32. Định nghĩa

M là R − module trung thành khi và chỉ khi A ( M ) = 0 .
1.33. Định nghĩa vành nguyên thủy
Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R − module bất khả
quy và trung thành.
1.34. Định nghĩa căn Jacobson của một vành
Căn Jacobson của một vành R là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa
mọi R − module bất khả quy. Kí hiệu: J ( R ) . Nếu R không có module bất khả
quy thì ta đặt J ( R ) = R .
1.35. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy

Nếu J ( R ) = 0 thì R được gọi là vành nửa nguyên thủy.
1.36. Định nghĩa vành nguyên tố
Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu ∀a, b ∈ R sao cho aRb = ( 0 ) thì ta
có a = 0 hoặc b = 0 .
1.37. Định nghĩa quan hệ thứ tự
Quan hệ hai ngôi ℜ trong một tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự
trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i)

Phản xạ: xℜx, ∀x ∈ X .

ii)

Phản xứng: ∀x, y ∈ X , nếu xℜy và yℜx thì x = y .


14

iii) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X , nếu xℜy và yℜz thì xℜz .
Quan hệ này mở rộng quan hệ “bé hơn hoặc bằng” trong tập hợp số thực
và thường được kí hiệu là “ ≤ ”.
Nếu với mọi cặp ( x, y ) ta có xℜy hoặc yℜx thì quan hệ thứ tự ℜ được gọi
là tuyến tính hay toàn phần, còn nếu trong X tồn tại các cặp phần tử không so
sánh được với nhau thì ℜ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
1.38. Định nghĩa
Cho ( X , ≤ ) là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa:
•

Cận trên của một tập con A của X là phần tử x ∈ X thỏa

a ≤ x, ∀a ∈ A.
•

Một dây chuyền trong X là một tập con A của X thỏa ∀a, b ∈ A

thì a ≤ b hoặc b ≤ a .
•

Phần tử cực đại của X

là phần tử x0 ∈ X

sao cho nếu

x ∈ X , x 0 ≤ x thì x0 = x .

1.39. Bổ đề Zorn
Nếu X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bộ phận và mọi dây chuyền
tăng của X đều có cận trên nằm trong X thì X có phần tử cực đại.
1.40. Định nghĩa
Một trường F là trường sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần “<”
trên F sao cho ∀a, b, c ∈ F , ta có:


15

a < b ⇒ a + c < b + c,
0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab.
1.41. Định nghĩa
trường

Một

∑ F = {a
2

2
1

là

thực

hình

thức

nếu

−1∉ ∑ F 2

với

+ ... + an2 / n ∈ , ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ n} là tổng của các bình phương trong

F.
1.42. Định lý Artin- Schreier
Một trường F là thực hình thức nếu và chỉ nếu F sắp thứ tự.

16

Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp
thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, mối
quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành
sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành.
Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự
như sau:
2.1.

Định lý

2.1.1. Định nghĩa

R là vành sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần " < " trên R sao
cho ∀a, b, c ∈ R , ta có:

a < b ⇒ a + c < b + c;
0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab.
2.1.2. Định nghĩa
Hình nón dương của thứ tự " < " là tập hợp P =
{c ∈ R : 0 < c} thỏa mãn
ba tính chất sau:

( 2.1) P + P ⊆ P.
( 2.2 ) P.P ⊆ P.
( 2.3) P ∪ ( − P ) =R \ {0}.

17

Nhận xét:
Nếu cho tập P thỏa mãn 3 tính chất trên thì ta định nghĩa một thứ tự trên
vành R bởi a < b ⇔ b − a ∈ P . Khi đó R là vành sắp thứ tự với " < " . Do đó, ta
có P thỏa 3 tính chất trên là một thứ tự trên R .
2.1.3. Mệnh đề
Nếu P là một thứ tự trên vành R ≠ 0 thì P ∩ ( − P ) =∅,1∈ P và R là một
miền có đặc số 0 .
Chứng minh.
Giả sử nếu a ∈ P ∩ ( − P ) thì a ∈ P và a ∈ ( − P ) suy ra −a ∈ P. Ta có:

0 = a + ( −a ) ∈ P + P ⊆ P (mâu thuẫn với tính chất (2.3)). Do đó P ∩ ( − P ) =∅ .

12 =−
Mặt khác, ta cũng có 1∈ P hoặc −1∈ P vì 1 =
( 1) ∈ P.P ⊆ P . Mở rộng với
2

bất kỳ số tự nhiên n , ta có: n.1 = 1 + ... + 1∈ P . Do đó charR = 0.
Cuối cùng, ta chứng minh R là một miền. Nếu b, c ∈ R \ {0} thì việc lựa
chọn một cách thích hợp dấu của b và c cho ta ( ±b )( ±c ) ∈ P.P ⊆ P và bc ≠ 0 .
Vậy R là một miền.
Nhận xét:
Mệnh đề trên cho ta điều kiện cần để một vành R có tồn tại một thứ tự
trong R . Nhìn chung, các điều kiện này là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của
một thứ tự. Trong phần sau của luận văn, ta sẽ tìm ra một số điều kiện đủ để một
vành tùy ý được sắp thứ tự.
Ý tưởng đầu tiên là của J.P.Serre về sự mở rộng của khái niệm thứ tự là

khái niệm tiền thứ tự.


18

2.1.4. Định nghĩa
Một tiền thứ tự trong vành R là một tập con T ⊆ R \ {0} thỏa mãn hai tính
chất sau:

( 2.4 )T + T ⊆ T ;
( 2.5) ∀a1,..., am ∈ R \ {0} , t1 ,..., tn ∈ T

thì tích của a1 , a1 ,..., am , am , t1 ,..., tn lấy

theo thứ tự bất kỳ đều nằm trong T .
Chú ý:
Cho phần tử tùy ý a1 ,..., am ∈ R và các số i1 ,..., im ≥ 0 , ta viết

(

)

per a1i1 ...amim ∈ T là tích của i1 + ... + im các nhân tử cho bởi a1 ,..., a1 ,..., am ,...., am
 

i1

im

lấy theo thứ tự bất kỳ. Từ đó, tính chất (2.5) có thể viết dưới dạng như sau:

per ( a12 ...am2 t1...tn ) ∈ T với a1 ,..., am ∈ R \ {0} , t1 ,..., tn ∈ T .
2.1.5. Mệnh đề
Nếu T là một tiền thứ tự trên vành R ≠ 0 thì T ∩ ( −T ) =∅,1∈ T và R là
một miền có đặc số 0 .
Nhận xét:
1) Bất kỳ thứ tự P nào trong R cũng là một tiền thứ tự (vì ta có

axa =
( −a ) x ( −a ) , suy ra P thỏa (2.4) và (2.5)). Tuy nhiên điều ngược lại không
đúng. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:
Trong vành  [ x ] , ta gọi P là tập hợp các đa thức khác không có hệ số
dẫn đầu dương, T là tập hợp các đa thức khác không có hệ số dẫn đầu dương và
bậc lớn hơn 100. Khi đó, P thỏa các tính chất (2.1), (2.2) và (2.3) nên P là một


19

thứ tự, T thỏa các tính chất (2.4), (2.5) nên T là một tiền thứ tự. Nhưng T
không thỏa tính chất (2.3) nên T không là một thứ tự.
2) Giao của một họ bất kỳ (không rỗng) của các thứ tự là một tiền thứ tự.
2.1.6. Bổ đề
Với bất kỳ tiền thứ tự T ⊆ R \ {0} và bất kỳ phần tử 0 ≠ b ∈ R , ta kí hiệu:
=
Tb

{∑ per (b a ...a t ...t ) / a ,..., a
i

2

1

2
m 1

n

1

m

}

∈ R \ {0} , t1 ,..., tn ∈ T , i, m, n ≥ 0 .

Khi đó, các điều sau là tương đương:
i)

Tb không là tiền thứ tự trong R ;

ii)

0 có nghiệm t , t ' ∈ T .
Phương trình t '+ bt =

0 có nghiệm t ', t '' ∈ T .
iii) Phương trình t ''+ t ' b =
Chứng minh.
i ) ⇒ ii )

Ta có Tb thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5). Suy ra Tb không là tiền thứ tự
khi và chỉ khi 0 ∈ Tb , tức là khi và chỉ khi

∑ per ( b a ...a t ...t ) = 0 (*)
i

2
1

a1 ,..., am ∈ R \ {0} , t1 ,..., tn ∈ T .Ta có hai trường hợp xảy ra:

(
)
Trường hợp 2: Nếu i lẻ thì b. per ( b a ...a t ...t ) ∈ T .

Trường hợp 1: Nếu i chẵn thì per bi a12 ...am2 t1...tn ∈ T .
i

Thật vậy:

2
1

2
m 1

n

2
m 1

n

với


20

Vì T là tiền thứ tự nên nhóm các số hạng trong phương trình (*) mà i
chẵn thì ta sẽ có phương trình t + r = 0, t ∈ T , br ∈ T ; nhưng trong (*) phải tồn
tại một số hạng với i lẻ mà t = 0 . Khi đó, nhân trái b ta có phương trình

bt + t ' = 0, t ' = br ∈ T .
ii ) ⇒ i )

0 có nghiệm t , t ' ∈ T suy ra 0 ∈ Tb . Vậy Tb
Giả sử phương trình t '+ bt =
không là tiền thứ tự.
ii ) ⇒ iii )

Giả

sử

phương

trình

t '+ bt =
0 có nghiệm

t, t ' ∈T

suy

ra

t ' b + btb = 0 ⇒ t ''+ t ' b = 0, t '' = btb ∈ T .
iii ) ⇒ ii ) Chứng minh tương tự.

2.1.7. Định lý
Một tiền thứ tự T ⊆ R \ {0} là một thứ tự khi và chỉ khi T là tiền thứ tự tối
đại.
Chứng minh.

(⇒)

Giả sử T ⊆ R \ {0} là một thứ tự. Khi đó nếu tồn tại một tiền thứ tự

T ' ⊃ T , T ' ≠ T thì với a ∈ T '\ T ta có −a ∈ T ⊆ T ' và 0 = a + ( −a ) ∈ T '+ T ' ⊆ T '
(mâu thuẫn). Do đó T là tiền thứ tự tối đại.

( ⇐)

Giả sử T là một tiền thứ tự tối đại. Khi đó nếu T không là một thứ

tự thì tồn tại b sao cho b và −b đều không thuộc vào T . Mặt khác Tb thỏa hai
tính chất (2.4), (2.5) và Tb ⊃ T , Tb ≠ T . Theo bổ đề 2.1.6 phương trình t1 + bt2 =
0
có nghiệm t1 , t2 ∈ T và phương trình t3 − bt4 =

0 có nghiệm t3 , t4 ∈ T . Mà


21

=
t5

( bt2 )( bt4 ) ∈ T

0
nên ta có: t1 + bt2 =0 ⇔ t1t3 + bt2t3 =0 ⇔ t1t3 + bt2 ( bt4 ) =

⇔ t1t3 + t5 =
0 (mâu thuẫn).

2.2.

Định lý R.E. Johnson

2.2.1. Định nghĩa

≠ 0 , ta định nghĩa: T ( R )
Cho vành R =

{∑ per ( a ...a ) / a ,..., a
2
1

2

m

1

m

}

∈ R \ {0}

Nhận xét: T ( R ) thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5) nên T ( R ) là một tiền thứ tự.
2.2.2. Định nghĩa
Vành R là thực hình thức nếu 0 ∉ T ( R ) .Trong trường hợp này, T ( R ) là
một tiền thứ tự trong R vì nó được chứa trong mỗi tiền thứ tự của R . Ta gọi

T ( R ) là tiền thứ tự yếu của R .
2.2.3. Định lý
Cho vành R ≠ 0 bất kỳ. Các điều sau là tương đương:
i)

R là thực hình thức.

ii)

R có một tiền thứ tự.

iii)

R có một thứ tự.

Chứng minh.
iii ) ⇒ i ) hiển nhiên.
i ) ⇒ ii ) Giả sử R là thực hình thức. Khi đó R có một tiền thứ tự yếu 0 ∉ T ( R )

chứa trong một tiền thứ tự T nào đó của R .


22

ii ⇒ iii ) Cố định một tiền thứ tự T trong R . Theo bổ đề Zorn, ta có thể mở

rộng T thành tiền thứ tự tối đại T1 . Áp dụng định lý 2.1.7, ta có T1 là một thứ tự
trên R . Vậy định lý đã được chứng minh.
Trong lý thuyết của trường thực hình thức, điều nổi tiếng là bất kỳ tiền thứ
tự T nào trong trường F cũng đều là giao của tất cả các thứ tự chứa T . Trong
trường hợp T = T ( F ) thì phần tử a ∈ F \ {0} là tổng của các bình phương trong

F nếu và chỉ nếu a > 0 trong mỗi thứ tự của trường F . Artin đã sử dụng kết quả
này làm công cụ trong bài giải nổi tiếng của ông về vấn đề thứ 17 của Hilbert
(những lưu ý về cấu trúc của hàm hữu tỉ nửa xác định dương).
Tiếp theo, chúng ta sẽ xét sự tổng quát hóa các kết quả này từ trường đến
vành tùy ý.
2.3. Định lý
2.3.1. Định nghĩa
Cho T là một tiền thứ tự bất kỳ trong vành R , ta định nghĩa:

T ={a ∈ R : at ∈ T , t ∈ T }
={a ∈ R : t ' a ∈ T , t ' ∈ T }

={a ∈ R : ab 2 ∈ T , b ≠ 0}

=
{a ∈ R : b '2 a ∈ T , b ' ≠ 0}
T gọi là cái bao đóng chia của T .

Nhận xét: Ta có 0 ∉ T , T ⊆ T . Do đó T là một tiền thứ tự của R .