iđêan nửa nguyên tố trong vành noether không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

MAI THỊ THANH HỒNG

IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ
TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO
HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Mai Thị Thanh Hồng

IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ
TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO
HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60460
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin chân thành gởi lời cảm ơn đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người
Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán Tin, đặc biệt là các thầy trong tổ Đại số
đã cung cấp cho em những tri thức quý báu để em có thể vận dụng vào việc làm
luận văn.
Xin cảm ơn gia đình, người thân đã luôn ở bên, ủng hộ, giúp đỡ, tiếp sức cho
con trong quá trình làm luận văn.
Cám ơn những người bạn của tôi, các bạn đã cho tôi rất nhiều ý tưởng trong
quá trình làm luận văn đồng thời đã chia sẻ, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn thành
luận văn.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. 3
MỤC LỤC ................................................................................................................... 4
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... 5
PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 6
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI................................................................................... 6
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ............................................................................... 6
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ................................................. 7
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................... 7
PHẦN NỘI DUNG ..................................................................................................... 8
CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................ 8
1.1 MÔĐUN ........................................................................................................ 8
1.2 VÀNH VÀ MÔĐUN NOETHER .................................................................. 8
1.3 RADICAL NGUYÊN TỐ ........................................................................... 10
1.4 RADICAL JACOBSON............................................................................... 12
CHƯƠNG 2: VÀNH CÁC THƯƠNG .................................................................. 14

2.1 VÀNH CÁC THƯƠNG ............................................................................... 14
2.2 ĐỊNH LÍ GOLDIE ...................................................................................... 19
CHƯƠNG 3: IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH NOETHER
KHÔNG GIAO HOÁN ......................................................................................... 27
3.1 CHIỀU RÚT GỌN ...................................................................................... 27
3.2 TÍNH CHẤT ARTIN – REES .................................................................... 30
3.3 ĐỊA PHƯƠNG HÓA TẠI IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ ........................... 34
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

, , , , 

: Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số

phức (theo thứ tự)
I R

: I là iđêan của R.

A ⊆ B ( A ⊂ B)

: A là môđun con (con thực sự) của môđun B.

A ⊆e B

: A là môđun con cốt yếu của môđun B.

A≅ B

: Môđun A đẳng cấu với môđun B.

A⊕ B

: Tổng trực tiếp của hai môđun A và B.

E(M)

: Bao nội xạ của môđun M.

Imf

: Ảnh của đồng cấu f.

Kerf

: Hạt nhân của đồng cấu f.

EndM

: Vành các tự đồng cấu của môđun M.

Hom(M,N)

: Tập các đồng cấu R –môđun từ M đến N.


PHẦN MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong lí thuyết vành giao hoán, một trong những khái niệm cơ bản là khái
niệm iđêan nguyên tố. Cho R là vành giao hoán, iđêan thực sự P gọi là iđêan
nguyên tố nếu ∀a, b ∈ R mà ab ∈ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P . Điều đó tương đương với P
là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R P là miền nguyên.
Tuy nhiên, trong trường hợp vành không giao hoán, chúng ta định nghĩa miền
nguyên (giống như vành giao hoán) là vành khác không và trong đó tích hai phần tử
khác 0 là khác 0. Thế nhưng, điều đó sẽ gặp khó khăn khi đề cập đến một iđêan P
để mà vành thương R P là miền nguyên.
Vì thế, định nghĩa iđêan nguyên tố trong vành không giao hoán đã thay tích
của hai phần tử bằng tích của hai iđêan được đưa ra bởi Krull năm 1928. Và các
iđêan nửa nguyên tố là giao của các iđêan nguyên tố.
Vậy một câu hỏi được đặt ra là trong vành không giao hoán (đặc biệt là lớp
các vành Noether không giao hoán) iđêan nửa nguyên tố có những tính chất gì? Một
vành giao hoán có thể được địa phương hóa theo các iđêan nguyên tố. Nếu đặt giả
thiết là vành không giao hoán thì chúng ta có thể địa phương hóa theo các iđêan
nguyên tố hoặc nửa nguyên tố được hay không?
Do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Iđêan nửa nguyên tố trong
vành Noether không giao hoán”.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu về các vành Noether không giao hoán, các iđêan nguyên tố, iđêan
nửa nguyên tố trong vành Noether không giao hoán. Từ đó, chỉ ra trong điều kiện
nào của các iđêan trong vành Noether không giao hoán để vành đó có thể địa
phương hóa được.


3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Vành Noether không giao hoán.
- Iđêan nửa nguyên tố trong vành Noether không giao hoán.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh.


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 MÔĐUN
1.1.1 Định nghĩa:
Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng giao hoán M được gọi là R-môđun phải,
M×R → M

kí hiệu M R , nếu tồn tại ánh xạ

(m,r ) → mr

thỏa ∀m,m1,m2 ∈ M; ∀a,b ∈ R :

(i) m ( a + b ) = ma + mb
(ii) (m1 + m 2 )a =m1a + m 2a
(iii) ( ma ) b = m ( ab )
(iv) m.1 = m
Trong trường hợp không gây nhầm lẫn, ta có thể kí hiệu M thay cho M R .
Nhóm con N của M R được gọi là môđun con nếu NR ⊆ N . Hơn nữa, nếu N là
môđun con của M thì ta có thể xây dựng môđun thương M / N =
{m + N | m ∈ M} với
phép nhân với R được định nghĩa ( m + N) r =mr + N .
1.1.2 Môđun M được gọi là R-môđun trung thành nếu Mr = 0 ⇒ r = 0.
1.1.3 Môđun M được gọi là R-môđun bất khả qui (đơn) nếu M ≠ 0 và M chỉ có
hai môđun con là 0 và M.
1.1.4 Môđun M được gọi là R- môđun nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của

các môđun đơn.
1.2 VÀNH VÀ MÔĐUN NOETHER
1.2.1 Định nghĩa:
Môđun M có tính chất mà mỗi dãy tăng các môđun con của M


M1 ⊆ M2 ⊆ ....Mn ⊆ Mn+1 ⊆ ...
đều dừng lại sau hữu hạn bước thì M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC).
Khi đó, M được gọi là môđun Noether.
Trong định nghĩa trên nếu ta thay dãy tăng các môđun con bằng dãy giảm các
môđun con thì M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC). M được gọi
là môđun Artin.
Nếu RR là môđun Noether (Artin) phải thì R là vành Noether (Artin) phải.
Nếu R R là môđun Noether (Artin) trái thì R là vành Noether (Artin) trái. R là vành
Noether (Artin) nếu R là vành Noether (Artin) hai phía.
1.2.2 Mệnh đề
Cho R- môđun M. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) MR là môđun Noether;
(ii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh;
(iii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại.
1.2.3 Hệ quả
Cho vành R. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là vành Noether phải;
(ii) R thỏa điều kiện ACC đối với các iđêan phải;
(iii) Mọi iđêan phải của R đều hữu hạn sinh;
(iv) Mọi tập khác rỗng các iđêan phải của R đều có phần tử tối đại.
1.2.4 Mệnh đề
Cho N là môđun con của R – môđun M. Khi đó, M là R – môđun Noether khi
và chỉ khi N và M/N là R – môđun Noether.

1.2.5 Hệ quả
Tổng trực tiếp hữu hạn các R – môđun Noether là R – môđun Noether.
1.2.6 Hệ quả
Nếu R là vành Noether phải thì mọi R – môđun hữu hạn sinh đều là môđun
Noether.
1.2.7 Hệ quả
Cho S là vành con của vành R. Nếu S là vành Noether phải và R là S – môđun
hữu hạn sinh thì R là vành Noether phải.
1.2.8 Vành R được gọi là đơn nếu R chỉ có hai iđêan là 0 và R. Điều đó tương
đương với 0 là iđêan tối đại duy nhất của R.
1.2.9 Iđêan I của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n
thỏa In = 0 .
1.2.10 Mệnh đề
Các điều kiện sau của vành R là tương đương:
(i) R là tích trực tiếp hữu hạn của các vành Artin đơn;
(ii) RR nửa đơn;
(iii) Mọi R – môđun phải là nửa đơn;
(iv) R là vành Artin phải và R không có iđêan lũy linh;
(v) R là vành Artin phải và giao của các iđêan tối đại của R bằng 0.
1.2.11 Nếu R thỏa một trong các điều kiện trên thì R được gọi là vành (Artin)
nửa đơn.
1.3 RADICAL NGUYÊN TỐ
1.3.1 Vành R được gọi là miền nguyên nếu tích của hai phần tử khác 0 là
khác 0.


Iđêan I của vành R là iđêan nguyên tố hoàn toàn nếu R/I là miền nguyên.
1.3.2 Mệnh đề
Các điều kiện sau của vành R là tương đương:

(i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0;
(ii) Nếu 0 ≠ I, J

 RR

thì IJ ≠ 0 ;

(iii) Nếu 0 ≠ I, J  R thì IJ ≠ 0.
1.3.3 Định nghĩa:
Vành R thỏa mãn một trong ba điều kiện trên là vành nguyên tố.
1.3.4 Định nghĩa:
Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/I là vành nguyên tố.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R kí hiệu là SpecR.

1.3.5 Định nghĩa:
Iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R là iđêan nguyên tố của R mà không thực
sự chứa iđêan nguyên tố nào khác của R.
Ta có mọi iđêan nguyên tố của R đều chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu. Do
đó, ta xét I là iđêan của R và iđêan nguyên tố P ⊇ I . Trong vành R I , iđêan nguyên
tố P I chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Q I của R I . Khi đó, Q là iđêan nguyên tố của
R và Q ⊇ I và Q là phần tử tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa I. Iđêan Q
được gọi là nguyên tố tối tiểu trên I.
1.3.6 Radical nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của
R. Kí hiệu N(R).
1.3.7 Mệnh đề
Các điều kiện sau của vành R là tương đương:


(i) R không có iđêan phải lũy linh khác 0;
(ii) R không có iđêan lũy linh khác 0;

(iii) N ( R ) = 0 .
1.3.8 Định nghĩa:
Vành R thỏa một trong ba điều kiện trên được gọi là vành nửa nguyên tố.
1.3.9 Định nghĩa:
Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu R/I là vành nửa
nguyên tố.

Một số định nghĩa khác của iđêan nửa nguyên tố mà ta thường gặp là:
Iđêan nửa nguyên tố là giao của các iđêan nguyên tố.
Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố khi và chỉ khi ∀x ∈ R
thỏa xRx ⊆ I thì x ∈ I .
1.4 RADICAL JACOBSON
1.4.1 Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu tồn tại một R – môđun đơn,
trung thành.
1.4.2 Mệnh đề
(i) Vành đơn là vành nguyên thủy.
(ii) Vành nguyên thủy là vành nguyên tố.
1.4.3 Iđêan I của vành R là iđêan nguyên thủy nếu R/I là vành nguyên thủy.
1.4.4 Radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy.
Kí hiệu J(R).
1.4.5 Mệnh đề


Cho I là iđêan của vành R. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) I = J ( R ) ;
(ii) I là giao của các iđêan phải tối đại của R;
(iii) I là iđêan lớn nhất thỏa với mọi a ∈ I thì 1 − a khả nghịch.
1.4.6 Nếu J(R) = 0 thì R là vành nửa nguyên thủy. Iđêan I của vành R là iđêan
nửa nguyên thủy nếu R/I là vành nửa nguyên thủy.

CHƯƠNG 2: VÀNH CÁC THƯƠNG
2.1 VÀNH CÁC THƯƠNG
2.1.1 Cho R là vành không giao hoán. Phần tử x ∈ R được gọi là chính qui
phải nếu xr = 0 ⇒ r = 0 với mọi r ∈ R . Phần tử chính qui trái được định nghĩa tương
tự. Phần tử được gọi là chính qui nếu nó vừa chính qui trái, vừa chính qui phải.
Ta định nghĩa CR (0=)

{x ∈ R x chính qui trong R} .

Hơn nữa, với I  R , ta có

CR ( I) =
{s ∈ R [s + I] chính qui trong R I}
C 'R ( I ) =
{s ∈ R [s + I] chính qui phai trong R I}
' CR ( I) =
{s ∈ R [s + I] chính qui trái trong R I}

Dễ dàng kiểm tra được CR (0); C 'R ( I);' CR ( I) là các tập đóng nhân.
2.1.2 Cho A là R – môđun phải và X là tập con của A. Tập
rann X =∈
0} là iđêan phải của R, gọi là iđêan linh hóa phải của X trong R.
{r R Xr =
0}
Cho A là R – môđun phải và Y là tập con của R. Tập rann A ( Y ) =∈
{a A Ya =

là nhóm con cộng của A, gọi là linh hóa tử phải của Y trong môđun A.
2.1.3 Cho R là vành bất kì. Tập S ⊆ R là tập con đóng nhân của R. Đặt

assS =

{r ∈ R ∃s ∈ S : rs = 0}.
2.1.4 Định nghĩa:
Vành các thương phải của R theo S là vành Q và đồng cấu θ : R → Q thỏa:
(i) ∀s ∈ S, θ ( s ) khả nghịch trong Q.
(ii) ∀q ∈ Q, ∃r ∈ R, ∃s ∈ S, q =θ ( r ) θ ( s ) .
−1

(iii) ker θ =ass S .


Trong trường hợp đặc biệt ass S = 0 , ta có thể đồng nhất R với θ ( R ) . Khi đó
∀q ∈ Q, q =rs −1 .

2.1.5 Bổ đề
Nếu tồn tại vành các thương phải Q của R theo S thì ( Q;θ ) có tính chất phổ
dụng đối với đồng cấu ϕ : R → R ' thỏa ϕ ( S ) chứa các phần tử khả nghịch của R ' .
2.1.6 Hệ quả
(i) Nếu tồn tại vành các thương phải Q của R theo S thì Q tồn tại duy nhất sai
khác một đẳng cấu.
(ii) Nếu tồn tại vành các thương phải Q và vành các thương trái Q’ của R
theo S thì Q ≅ Q ' .
2.1.7 Định nghĩa:
Theo hệ quả 2.1.6, vành các thương nếu tồn tại là duy nhất sai khác một đẳng
cấu nên ta có thể kí hiệu Q = R S . Khi đó, vành R được gọi là có thể địa phương hóa
theo S.
2.1.8 Định nghĩa: (Điều kiện Ore)
Tập con đóng nhân S của R được gọi là thỏa điều kiện Ore phải nếu với mọi r ∈ R
và s ∈ S , tồn tại r ' ∈ R và s ' ∈ S sao cho rs ' = sr ' . Khi đó, S còn được gọi là tập Ore

phải.
2.1.9 Mệnh đề
Nếu vành các thương phải RS tồn tại thì S thỏa điều kiện Ore phải.
Chứng minh:
Lấy r ∈ R,s ∈ S . Ta chứng minh tồn tại r ' ∈ R và s ' ∈ S thỏa rs' = sr ' .
θ ( r1 ) θ ( s1 )
Ta có θ ( s ) .θ ( r ) ∈ R S . Theo định nghĩa, ta có θ ( s ) θ ( r ) =
−1

r1 ∈ R,s1 ∈ S .

−1

−1

với


θ ( s ) θ ( r1 ) , nên rs1 − sr1 ∈ ker θ =ass S .
Do đó θ ( r ) θ ( s1 ) =
0 với s 2 ∈ S . Đặt s1s 2 = s ' và r1s 2 = r ' , ta có S thỏa điều kiện
Do đó, ( rs1 − sr1 ) s 2 =

Ore phải.□
2.1.10 Bổ đề
Nếu S thỏa điều kiện Ore phải thì ass S là iđêan của R.
Chứng minh:
Lấy a, b ∈ ass S và r ∈ R . Khi đó, tồn tại s, t ∈ S sao cho as= bt= 0 . Vì S thỏa
điều kiện Ore nên tồn tại t1 ,s1 sao cho ss1 = tt1 và r ',s' sao cho rs ' = sr ' , với s1 ,s' ∈ S .
0 và ars' = 0 nên a − b ∈ ass S và ar ∈ ass S .□

Vậy ( a − b ) ss1 =

Tuy nhiên, ta thấy rằng không phải lúc nào S cũng thỏa điều kiện Ore phải.Ví
dụ sau đây sẽ chỉ ra tập đóng nhân S không thỏa điều kiện Ore phải.
Ta có đại số Lie g trên trường K là không gian véctơ trên K được trang bị
thêm tích Lie, tức là ánh xạ song tuyến tính trên K: g × g → g , ( x, y )  [ x, y ] sao cho

[ x, x ] = 0 và

 x, [ y, z ] +  y, [ z, x ] +  z, [ x, y ] =
0.

Nếu A là đại số kết hợp trên K, ta có thể xây dựng đại số Lie tương ứng trên
K bằng cách đặt [a,b=] ab − ba .
Nếu g là đại số Lie hai chiều với cơ sở {x, y} và [ x, y ] = y . Đặt R = K [ x, y ] với
xy y ( x + 1) ). R là miền nguyên Noether với =
xy − yx =
y (hay=
P xR + yR là iđêan

nguyên tố. Đặt S = R \ P . Chọn r= y; s= x − 1 ta có S không thỏa điều kiện Ore phải.
Thật vậy, ta có yR = Ry . Nếu tồn tại a, b ∈ R thỏa ya= ( x − 1) b thì ( x − 1) b ∈ yR
⇒ b ∈ yR ⇒ b = yc .

Khi đó, ya =
( x − 1) yc =yxc nên =a xc ∈ P . Do đó, a ∉ S . S không

thỏa điều kiện Ore phải.□
2.1.11 Định nghĩa:

=
Ta kí
hiệu S

S=
ass S ; R R ass S

Nếu S là tập Ore phải và S bao gồm các phần tử chính qui trong R thì S
được gọi là tập mẫu số bên phải.
2.1.12 Định nghĩa:
Miền nguyên R được gọi là miền nguyên Ore phải nếu CR (0) là tập Ore phải.
2.1.13 Bổ đề
Cho S là tập Ore phải trong vành R. Khi đó:
(i) S là tập mẫu số bên phải khi và chỉ khi nếu s ∈ S và r ∈ R thỏa sr = 0 thì
tồn tại t ∈ S sao cho rt = 0 .
(ii) Nếu mọi phần tử của S chính qui trong R thì S là tập mẫu số bên phải.
(iii) Nếu R hoặc R thỏa điều kiện ACC với tập các iđêan linh hóa phải thì S
là tập mẫu số bên phải.
Chứng minh:
(i),(ii),(iii) Hiển nhiên.□
2.1.14 Mệnh đề
Nếu R là miền nguyên Noether phải thì R là miền nguyên Ore phải.
Chứng minh:
Lấy 0 ≠ a, b ∈ R . Ta có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: aR ∩ bR ≠ 0 . R là miền nguyên Ore phải.
0 . Khi đó, do ab ∈ aR mà aR ∩ bR =
0 nên ab ∉ bR . Vì
Trường hợp 2: aR ∩ bR =

vậy, iđêan phải bR + abR thực sự chứa bR . Tương tự, iđêan phải bR + abR + a 2 bR
thực sự chứa bR + abR ….Cứ tiếp tục như vậy, ta có dây chuyền tăng các iđêan phải
bR ⊂ bR + abR ⊂ bR + abR + ab 2 R ⊂ .....


Vì R là vành Noether nên dây chuyền trên phải dừng. Khi đó chọn n ∈  nhỏ
nhất thỏa: a n bR ⊆ bR + abR + ... + a n −1bR . Nghĩa là, tồn tại ri ∈ R,i = 0, n − 1 sao cho
br0 a( br1 + ... + a n − 2 brn −1 − a n −1b) ≠ 0 (do cách chọn n nhỏ
a n b = br0 + abr1 + ... + a n −1brn −1 ⇒ −=

0 .□
nhất). Điều này mâu thuẫn với giả thiết aR ∩ bR =

2.1.15 Mệnh đề
Cho R là một vành bất kì và S ⊆ R là tập con đóng nhân của R. Khi đó, tồn tại
vành các thương phải của R theo S khi và chỉ khi S là tập mẫu số bên phải.
Chứng minh:

(⇒)

Mệnh đề 2.1.9 đã chỉ ra rằng nếu vành các thương phải của R trên S tồn

tại thì S là tập Ore phải. Hơn nữa, để khả nghịch mỗi phần tử của S phải chính qui
trong R .

( ⇐)

Giả sử S là tập mẫu số bên phải. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả

sử ass S = 0 và mỗi phần tử của có thể viết dưới dạng rs −1 .

Ta xây dựng vành R S .
Đặt F là tập các iđêan phải A của R thỏa A ∩ S ≠ ∅ . Ta có với A1 , A 2 ∈ F và
α ∈ Hom ( A1 ,R ) :

(i) A1 ∩ A 2 ∈ F
(ii) α −1A 2 ={a ∈ A1 α ( a ) ∈ A 2 } ∈ F
Đặt

{Hom ( A, R ) A ∈ F} và quan hệ tương đương với α i ∈ Hom ( Ai ,R ) ,

α1  α 2

nếu tồn tại A ⊆ A1 ∩ A 2 sao cho α1 và α 2 trùng nhau trong A.
Phép toán của các lớp tương đương được định nghĩa:
Phép cộng: [α1 ] + [α 2 ] = [β] với β là tổng của ánh xạ hạn chế của α1 và α 2 trên
A1 ∩ A 2 .


Phép nhân: [α1 ][α 2 ] =[ γ ] với γ là tích của 2 ánh xạ α1α 2 trên tập α 2 −1A1 .
Khi đó
(i) Các phép toán được định nghĩa tốt và các lớp tương đương cùng với các
phép toán trên tạo thành một vành.
(ii) Với r ∈ R , r được đồng nhất với lớp tương đương của đồng cấu
λ ( r ) : R → R;x  rx .

(iii) Với mỗi s ∈ S , s có ảnh ngược s −1 = [ α ] với α :sR → R;sx  x .
(iv) Nếu α ∈ Hom ( A,R ) với A ∈ F thì [α ] =as −1 với s ∈ A ∩ S và a = α ( s ) .
Vành xây dựng ở trên là vành các thương của R theo S.□
2.2 ĐỊNH LÍ GOLDIE
2.2.1 Định nghĩa:

Iđêan phải I của R là iđêan cốt yếu phải nếu I ∩ L ≠ 0 với mọi L iđêan phải
khác 0 của R.
Môđun con N của môđun M là môđun con cốt yếu nếu N ∩ X ≠ 0 với mọi X là
môđun con khác 0 của M, kí hiệu N ⊆ e M . M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.
Đặt Γ( R ) là tập tất cả các iđêan cốt yếu phải của R.
Tập ς( R =)

{a ∈ R aE=

0; E ∈ Γ( R )} là iđêan phải của R, gọi là iđêan phải suy

biến.
2.2.2 Định nghĩa:
Môđun M được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của M là cốt yếu.
Ta có mọi môđun con khác 0 và mọi mở rộng cốt yếu của môđun đều là
môđun đều.
2.2.3 Định nghĩa:


M là R – môđun và giả sử M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun
con khác 0. Khi đó, tồn tại số nguyên dương n sao cho M chứa môđun con cốt
yếu N và N là tổng trực tiếp của n môđun con đều.
Số n không phụ thuộc vào cách chọn N hoặc cách phân tích N thành các
môđun con đều. Ta gọi n là chiều Goldie của M. Kí hiệu rank M = n .
2.2.4 Định nghĩa:
Vành R là vành Goldie phải nếu R thỏa điều kiện ACC đối với các iđêan linh
hóa phải và R có chiều Goldie hữu hạn.
2.2.5 Mệnh đề
Cho hai R-môđun phải M, N và ϕ : M → N là đồng cấu R-môđun. Nếu L là
môđun con cốt yếu của N thì ϕ −1 ( L ) =

{m ∈ M ϕ (m) ∈ L} là môđun con cốt yếu của M.
Chứng minh:
Gọi B là môđun con khác 0 của M. Ta cần chứng minh B ∩ ϕ−1 ( L) ≠ 0 .
0 ⇒ B ⊂ ker ϕ ⊂ ϕ−1 ( L) ⇒ B ∩ ϕ−1 ( L)= B ≠ 0 .
Nếu ϕ( B) =

Nếu ϕ( B) ≠ 0 ⇒ ϕ( B) ∩ L ≠ 0 (do L là môđun con cốt yếu của N).
⇒ ∃b ∈ B : 0 ≠ ϕ( b ) ∈ L ⇒ 0 ≠ b ∈ B ∩ ϕ−1 ( L ) .□

2.2.6 Mệnh đề
Nếu I là iđêan phải cốt yếu của vành R. Khi đó, với c ∈ R , tập
c −1 I =
{r ∈ R cr ∈ I } là iđêan cốt yếu của R.

Chứng minh:
cx .□
Áp dụng Mệnh đề 2.2.5 với đồng cấu ϕ : R → I xác định bởi ϕ( x ) =

2.2.7 Mệnh đề
Nếu R là vành thỏa điều kiện ACC với các iđêan linh hóa phải thì ς ( R ) là
iđêan lũy linh của R.


Chứng minh:
Đặt A = ς( R ) . Vì A thỏa điều kiện ACC với iđêan linh hóa phải nên tồn tại n
đủ lớn để rann A n = rann A n +1 . Ta chứng minh A n +1 = 0 bằng phản chứng.
Giả sử A n +1 ≠ 0 . Khi đó tồn tại a ∈ A sao cho A n a ≠ 0 . Chọn a sao cho

rann a

lớn nhất.
Nếu b ∈ A thì rann b là iđêan cốt yếu của R. Do aR ≠ 0 nên aR ∩ rann b ≠ 0 . Tức
là tồn tại r ∈ R sao cho ar ≠ 0 và bar = 0 . Từ đó ta có rann ba ⊃ rann a . Nếu A n ba ≠ 0
thì mâu thuẫn với cách chọn a. Vậy A n ba = 0 . Do đó, A n +1a = 0 . Theo cách chọn n
thì A n a = 0 . Vậy A n +1 = 0 .□
2.2.8 Hệ quả
Nếu R là vành Goldie nửa nguyên tố thì ς ( R ) = 0 .
2.2.9 Mệnh đề
Cho R là vành Goldie nửa nguyên tố và I là iđêan phải khác 0 của R. Khi đó,
0.
tồn tại c ∈ I sao cho ( rann c ) ∩ I =

Chứng minh:
Trường hợp 1: I là iđêan đều. Theo Mệnh đề 2.2.6, nếu K ≠ 0 là iđêan phải
của R và K ⊆ I thì với mọi c ∈ I ta có c−1K =
{x ∈ R cx ∈ K} là iđêan phải cốt yếu của
R.
Vì R nửa nguyên tố nên I2 ≠ 0 . Vì vậy, ta có thể chọn c, c ' ∈ I sao cho cc ' ≠ 0 .
=
B ( rann c) ∩ I và
Ta chứng minh c chính là phần tử cần tìm bằng phản chứng. Đặt

giả sử B ≠ 0 . Do I là iđêan đều nên B là iđêan cốt yếu trong I. Theo Mệnh đề 2.2.6,
(c ')−1 B là iđêan cốt yếu trong R. Mặt khác, cc '(c ') −1 B = 0 ⇒ cc ' ∈ ς ( R ) , với ς( R ) là

iđêan không suy biến của R được định nghĩa ở Định nghĩa 2.2.1. Mặt khác, R nửa
0 ⇒ cc ' = 0 (mâu thuẫn).
nguyên tố nên ς( R ) =

Trường hợp 2: I không là iđêan đều.

0 . Nếu
Chọn iđêan phải đều U1 ⊆ E và a1 ∈ U1 sao cho rann a1 ∩ U1 =
rann a1 ∩ E ≠ 0,

chọn iđêan phải đều U 2 ⊆ rann a1 ∩ E và chọn a 2 ∈ U 2 thỏa

rann a 2 ∩ U 2 =
0 . Ta có:
a1R ⊕ a 2 R ⊕ ( rann a1 ∩ rann a 2 ∩ E ) ⊆ E

Tiếp tục như trên ta có:
a1R ⊕ a 2 R ⊕ .... ⊕ a k R ⊕ ( rann a1 ∩ rann a 2 ... ∩ rann a k ∩ E ) ⊆ E

Vì R là vành Goldie nên quá trình trên phải dừng sau hữu hạn bước. Có
0.
nghĩa là tồn tại k sao cho rann a1 ∩ rann a 2 ... ∩ rann a k ∩ E =

Đặt c = a1 + a 2 + ... + a k . Ta có c ∈ E . Vì

∑a R
i

là tổng trực tiếp nên

0.
rann c =  rann a i . Vậy rann c ∩ E =

2.2.10 Mệnh đề

Cho R là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Khi đó, iđêan phải I của R là
iđêan cốt yếu của R khi và chỉ khi I chứa một phần tử chính qui.
Chứng minh:

( ⇐ ) Giả sử

a ∈ I chính qui. Ta chứng minh aR là iđêan cốt yếu bằng phản

chứng. Giả sử aR không là iđêan cốt yếu. Khi đó, tồn tại iđêan phải K của R sao
0 . Ta chứng minh K + aK + ..... + a i −1K ∩ a i K =
0 với mọi i ∈  bằng phản
cho aR ∩ K =

chứng. Giả sử K + aK + ..... + a i −1K ∩ a i K ≠ 0 . Ta có thể viết a i k i =k 0 + ak1 + ..... + a i −1k i −1

(

)

i−2
i −1
0.
⇒ k 0 = a  − k1 + ak 2 + .... + a k i −1 + a k i  ⇒ k 0 ∈ aR ∩ K =

= k i −=
k=
k=
....
0 (mâu
0

1
1

thuẫn

với

Tương

tự,

ta

K + aK + ..... + a i −1K ∩ a i K ≠ 0 ).

có
Vậy

K + aK + ..... + a i −1K ∩ a i K =
0.

Khi đó, ta có tổng trực tiếp vô hạn các iđêan phải K ⊕ aK ⊕ a 2 K ⊕ .... .Điều này
không thể xảy ra vì R là vành Goldie. Do đó, với mọi iđêan phải K của R ta có
aR ∩ K =
0 . Suy ra aR là iđêan cốt yếu của R. Mà aR ⊆ I nên I là iđêan cốt yếu.


( ⇒ ) Giả sử I là iđêan phải cốt yếu của R. Vì R là vành Goldie nửa nguyên tố
nên tồn tại a 0 ∈ I và a 0 không lũy linh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rann a 0 = rann a 0 2 . Giả sử rann a 0 ≠ 0 . Vì I là iđêan cốt yếu nên rann a 0 ∩ I ≠ 0 . Khi đó

tồn tại a1 ∈ rann a 0 ∩ I và a1 không lũy linh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả
sử rann a1 = rann a12 . Giả sử rann a1 ≠ 0 . Tiếp tục như trên, ta xây dựng dãy các phần
tử {a i } với a i ∈ ( rann a 0 ) ∩ ( rann a1 ) ∩ .... ∩ ( rann a i −1 ) và rann a i = rann a i 2 .
Ta sẽ chứng minh a 0 R + a1R + .... + a i −1R ∩ a i R =
0 với mọi i bằng phản chứng.
Giả sử a 0 R + a1R + .... + a i −1R ∩ a i R ≠ 0 . Ta có thể viết a i ri = ∑ a jrj . Vì a i ∈ rann a j với mọi
j< i

2
a12 r=
...= a i −12 ri −=
0 ⇒ ri ∈ rann a i 2 =
rann a i ⇒ a i ri = 0 . Vì R là vành
j < i nên a 0 r=
0
1
1

Noether phải nên quá trình xây dựng a i phải dừng sau hữu hạn bước

⇒ tồn

tại n sao

cho rann a 0 ∩ rann a1 ∩ ..... ∩ rann a n =
0 . Đặt a = a 0 + a1 + ..... + a n thì a ∈ R và a là chính
0 ⇒ a i ( a 0 + a1 + .... + a n ) x =
0,
qui phải. Thật vậy, nếu ax = 0 ⇒ ( a 0 + a1 + .... + a n ) x =

2
2
rann a i
∀i =1, n ⇒ a i x = 0 , ∀i =1, n (do a i ∈ rann a j với mọi j < i ) ⇒ x ∈ rann a i =

0.
⇒ x ∈ rann a 0 ∩ rann a1 ∩ ..... ∩ rann a n =

□

2.2.11 Mệnh đề
Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì CR (0=)

{x ∈ R x chính qui trong R} là

tập Ore phải. Tức là tồn tại vành các thương phải của R theo CR (0) .
Chứng minh:
Lấy a, c ∈ CR ( 0 ) . Khi đó, cR là iđêan cốt yếu của R ⇒ a −1 (cR ) cũng là iđêan cốt
yếu của R ⇒ tồn tại phần tử chính qui b ∈ a −1 ( cR ) ⇒ tồn tại d ∈ R sao cho ab = cd .□
2.2.12 Hệ quả
Nếu R là vành Noether phải nửa nguyên tố thì tồn tại vành các thương phải
của R theo CR (0) .


2.2.13 Định nghĩa:
Cho
=
S CR (0=
)

R

là

vành

Goldie

{x ∈ R x chính qui trong R} .

phải

nửa

nguyên

tố.

Đặt

Theo Mệnh đề 2.2.10, tồn tại vành các thương

phải của R theo S. Kí hiệu Q = RS .
2.2.14 Mệnh đề (Định lí Goldie)
R là vành Goldie phải nửa nguyên tố khi và chỉ khi tồn tại vành các thương
phải Q của R và Q là vành Artin nửa đơn.
Hơn nữa, R là vành nguyên tố khi và chỉ khi Q là vành đơn.
Chứng minh:
Đầu tiên ta chứng minh: “R là vành Goldie phải nửa nguyên tố khi và chỉ khi
tồn tại vành các thương phải Q của R và Q là vành Artin nửa đơn”.

( ⇐ ) Do

Q là vành Artin

⇒Q

là vành Noether ⇒ Q là vành Goldie ⇒ R là

vành Goldie (do R là vành con của vành Q). Ta chỉ cần chứng minh R là nửa
nguyên tố. Gọi N là iđêan lũy linh của R. Ta có lann N là iđêan phải cốt yếu của R.
Thật vậy, lấy iđêan phải I của R và I ≠ 0 . Chọn k sao cho IN k ≠ 0 và IN k +1 = 0
⇒ 0 ≠ IN ⊆ I ∩ lann N .
k

Vì lann N là iđêan phải cốt yếu của R nên ( lann N ) Q là iđêan phải cốt yếu của
Q. Bởi Q nửa đơn =
nên Q ( lann N ) Q ⊕ C . Do

( lann N ) Q ∩ C = 0 ⇒ C = 0 .

Vậy

Q = ( lann N ) Q . Vậy 1 = ac−1 với a ∈ lann N và c ∈ CR ( 0 ) . Suy ra a= c ∈ lann N . Do
c ∈ CR ( 0 ) và c ∈ lann N nên N = 0. R không có iđêan lũy linh khác 0 nên R là vành

nửa đơn.

( ⇒ ) Đầu

tiên ta chứng minh tồn tại Q. Lấy a, d ∈ R với d chính qui. Theo

Mệnh đề 2.2.9, dR

là iđêan cốt yếu của R. Theo Mệnh đề 2.2.5,

a −1 ( dR ) =
{x ∈ R ax ∈ dR} là iđêan cốt yếu của R. Theo Mệnh đề 2.2.9, a −1 ( dR ) chứa


phần tử chính qui c ⇒ ∃b ∈ B : ac =db . Vậy CR ( 0 ) là tập Ore phải. Suy ra tồn tại vành
các thương Q của R theo CR ( 0 ) .
Để chứng minh Q là Artin nửa đơn, ta cần chứng minh bổ đề sau:
Cho K là iđêan phải của Q. Khi đó, tồn tại iđêan phải K’ của Q sao cho
K ⊕K'=
Q

.

Chứng minh bổ đề:
Do K là iđêan phải của Q nên K ∩ R là iđêan phải của R. Gọi I là iđêan phải
tối đại thỏa ( K ∩ R ) ∩ I =0 . Ta có ( K ∩ R ) ⊕ I là iđêan phải cốt yếu của R vì nếu
0 ⇒ ( K ∩ R ) ∩ I ⊕ U =0 (mâu
ngược lại tồn tại iđêan phải U thỏa ( K ∩ R ) ⊕ I  ∩ U =

thuẫn với cách chọn K). Theo Mệnh đề 2.2.9, ( K ∩ R ) ⊕ I chứa phần tử chính qui. Do
đó,

Q vì phần tử chính qui trong R là khả nghịch trong Q. Vì vậy,
(( K ∩ R ) ⊕ I) Q =

K ⊕ IQ = ( K ∩ R ) Q ⊕ IQ = Q . 

Ta chứng minh Q là vành nửa đơn. Chọn K là iđêan phải bất kì của Q. Theo
Q . Khi đó, 1 =e + (1 − e ) với
bổ đề, ta có tồn tại iđêan phải K’ sao cho K ⊕ K ' =

e ∈ K; 1 − e ∈ K ' . Ta có, e2 = e do đó K = eQ . Do đó, Q là vành Noether phải (vì mọi

iđêan phải đều hữu hạn sinh). Vì e lũy đẳng nên mọi iđêan khác 0 của Q không lũy
linh. Vậy Q là nửa đơn.
Ta chứng minh Q là vành Artin bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, khi đó
tồn tại dãy giảm ngặt các iđêan phải sinh bởi các phần tử lũy đẳng
e1Q ⊃ e 2 Q ⊃ e3Q ⊃ ... . Theo bổ đề, ta có thể tìm được iđêan phải U 2 của Q sao cho

e1=
Q U 2 ⊕ e 2 Q . Tương tự ta có e 2=
Q U 3 ⊕ e3Q …Cứ tiếp tục như trên ta có tổng trực

tiếp vô hạn U 2 ⊕ U3 ⊕ .... Mâu thuẫn với Q là vành Noether phải. □
Ta chứng minh: “R là vành nguyên tố khi và chỉ khi Q là vành đơn”.