một số tính chất của vành và môđun phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN

CAO VĂN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH
VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHSP
Ngành học: Toán học
Mã số sinh viên: K34101027

Giảng viên hướng dẫn
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012
1


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức cơ sở
1.1 Vành . . . . . . .
1.2 Iđêan . . . . . . .
1.3 Vành các thương
1.4 Môđun . . . . . .
1.5 Tôpô và đầy đủ .
1.6 Lọc . . . . . . . .

1.7 Dãy khớp . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2 Một số tính chất của vành và môđun phân bậc
2.1 Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Vành phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tính chất của vành và môđun phân bậc . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3
4
5

.
.
.
.
.
.
.

6
6
7
11
12

19
20
21

.
.
.
.
.
.

24
24
25
26
26
41
43


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của
PGS.TS. Trần Tuấn Nam. Tôi xin phép được gởi đến Thầy sự kính trọng và
lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân trong suốt thời gian
làm luận văn.
Tôi xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng dạy
lớp Toán 4 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung cũng
như toàn thể quý Thầy Cô trong Khoa Toán nói riêng đã tận tình giảng dạy và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi cũng xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, các

bạn sinh viên lớp Toán 4 đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt bốn năm học tại
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Cao Văn Hoàng

3


Lời mở đầu
Đại số nói chung là môn học khá phổ biến, khá hay của ngành toán trong các
trường đại học và đại số giao hoán lại là môn chuyên ngành khá mới của đại số.
Với mong muốn tìm hiểu thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh
các định lý cùng những tính chất liên quan của chuyên ngành đại số giao hoán,
tôi đã thực hiện luận văn này.
Dựa trên những kiến thức về vành, iđêan, A-môđun M, đồng cấu A-môđun,
tôpô và đầy đủ, lọc, dãy khớp, tôi sẽ giới thiệu cho người đọc biết về định nghĩa
vành phân bậc, môđun phân bậc cùng những tính chất của chúng.
Nội dung luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương này đưa ra các khái niệm và các mệnh đề sử dụng trong chương 2.
Chương 2: Một số tính chất của vành và môđun phân bậc.
Chương này đưa ra định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc
liên kết, các tính chất liên quan và chứng minh.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức, nên luận
văn này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây
dựng của các Thầy và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

4

Bảng ký hiệu
Ký hiệu
a−1
A/I
a
¯
x1 , x2 , . . . , xn
AnnJ
A

AssA (M )
S −1 A
AP
HomA (M, N )
M∼
=N

Ý nghĩa
Phần tử đảo của a
Vành thương của A theo I
Lớp tương đương a + I
Iđêan được sinh bởi tập {x1 , x2 , . . . , xn }
Linh hóa tử của iđêan J
Căn Jacobson của vành A
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết với M
Vành các thương của vành A
Vành địa phương tại P
Tập hợp tất cả các đồng cấu từ M đến N

Hai A−môđun M và N đẳng cấu với nhau

A

Cokerf
Ann(M )
∞
n=0 An
Mi

Đối hạt nhân của đồng cấu f
Linh hóa tử của môđun M
Tổng trực tiếp của họ các vành An
Tổng trực tiếp của họ A−môđun (Mi )i∈I

i∈I

M

N

Tích tenxơ của các A−môđun M và N

A

lim An
←−

G

Giới hạn ngược của họ các A−môđun An
Đầy đủ của nhóm tôpô G

5


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Vành

Định nghĩa 1.1.1. Vành là một tập A = ∅, trên đó đã xác định được hai phép
toán hai ngôi: một ký hiệu theo lối cộng, còn lại ký hiệu theo lối nhân thỏa:
i) (A; +) là nhóm giao hoán với phần tử trung hòa là 0.
ii) Phép nhân trong A có tính chất kết hợp nghĩa là:
∀a, b, c ∈ A : a(bc) = (ab)c.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng nghĩa là:
∀a, b, c ∈ A : a(b + c) = ab + ac và (b + c)a = ba + ca.
Khi phép nhân trong vành A có tính chất giao hoán nghĩa là ∀a, b ∈ A : ab = ba,
ta gọi vành A là vành giao hoán.
Khi phép nhân trong vành A có thêm đơn vị 1 nghĩa là ∀a ∈ A : 1a = a, ta gọi
vành A là vành có đơn vị.
Trong suốt luận văn này, ta xem A là vành giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.2. Cho vành A. Tập con S ⊂ A được gọi là vành con của vành
A nếu
i) 1 ∈ S
ii) ∀x, y ∈ S: x − y ∈ S
iii) ∀x, y ∈ S: x.y ∈ S

6


Định nghĩa 1.1.3. Một phần tử a thuộc vành A được gọi là khả nghịch nếu
∃ b ∈ A : ab = 1. Phần tử b như vậy là duy nhất và được gọi là phần tử đảo của
a và ký hiệu là a−1 .
Định nghĩa 1.1.4. Cho hai vành A và B. Một ánh xạ f : A −→ B được gọi là
một đồng cấu vành nếu:
i) ∀x, y ∈ A: f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)
ii) f (1) = 1
Định nghĩa 1.1.5.
• Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh
(toàn ánh, song ánh).
• Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A và B
đẳng cấu với nhau, ký hiệu A ∼
= B.
• Tập Imf = f (A) được gọi là ảnh của đồng cấu f .
• Tập Kerf = {x ∈ A|f (x) = 0} được gọi là hạt nhân của đồng cấu f .
Mệnh đề 1.1.1.
• Imf là một vành con của B. Đồng cấu vành f là toàn cấu khi và chi khi
Imf = B.
• Đồng cấu vành f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.
1.2

Iđêan

Định nghĩa 1.2.1. Cho vành A, tập I = ∅ trong A là iđêan của A khi và chỉ khi
∀a, b ∈ I : a − b ∈ I

∀x ∈ A, ∀a ∈ I : ax ∈ I
Định nghĩa 1.2.2. Iđêan của A mà khác A được gọi là iđêan thật sự của A.
Định nghĩa 1.2.3. Cho I là một iđêan của một vành A. Quan hệ hai ngôi ∼ xác
định trên A:
∀a, b ∈ A a ∼ b ⇔ a − b ∈ I, là một quan hệ tương đương.
7


Tập thương A/∼ được ghi là A/I , lớp tương đương với đại diện a ∈ A được ghi là
a + I. Khi đó, tập thương A/I có cấu trúc vành với hai phép toán:
• Phép cộng: ∀ a + I, b + I ∈ A/I

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I.

• Phép nhân: ∀ a + I, b + I ∈ A/I

(a + I).(b + I) = (ab) + I.

Định nghĩa 1.2.4. Cho I là iđêan của vành A. Ánh xạ
p : A −→ A/I
a −→ a + I
là một toàn cấu vành. Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ A lên vành thương A/I .
Hạt nhân của p là iđêan I. Ký hiệu các lớp a + I là a
¯.
Mệnh đề 1.2.1. Cho đồng cấu vành f : A −→ B. Khi đó ta có A/Kerf ∼
= Imf .
Định nghĩa 1.2.5. Một iđêan được gọi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một
tập hữu hạn T = {x1 , x2 , . . . , xn }.
Ký hiệu < x1 , x2 , . . . , xn >.
Mệnh đề 1.2.2. Cho hai iđêan I và J của vành A. Khi đó các tập sau là iđêan

của A:
I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J}
xi yj |xi ∈ I, yj ∈ J

IJ =
hh

(I : J) = {x ∈ A|xJ ⊂ I}
rad (I) = {x ∈ A|∃n ∈ N\ {0}

xn ∈ I}

Định nghĩa 1.2.6. Iđêan IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J.
Tổng quát ta có khái niệm lũy thừa của một iđêan I:
I 0 := A, I 1 := I, I 2 , . . . , I n , . . .
Và hiển nhiên là I 0 ⊃ I ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . .
Định nghĩa 1.2.7. Iđêan rad(I) được gọi là căn của iđêan I.

8


Định nghĩa 1.2.8. (0 : J) = {x ∈ A|xJ = 0} được gọi là linh hóa tử của J,
ký hiệu Ann(J).
Định nghĩa 1.2.9. Cho vành A.
Iđêan I của A được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc b ∈ I.
Iđêan I của A được gọi là iđêan tối đại nếu I là iđêan thật sự của A và không bị
chứa trong bất kì iđêan thật sự nào khác I.
Mệnh đề 1.2.3. Cho iđêan I của vành A. Khi đó:
I là iđêan nguyên tố ⇔ vành thương A/I là miền nguyên.
I là iđêan tối đại ⇔ A/I là trường.

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Zorn).
Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa:
• Cận trên của một tập con T ⊂ X là một phần tử a ∈ X thỏa
x a, ∀x ∈ T .
• Một dây chuyền trong X là một tập con T ⊂ X thỏa ∀x, y ∈ T thì x
y x.

y hay

• Phần tử tối đại của X là một phần tử a ∈ X sao cho ∀x ∈ X, a

x ⇒ a = x.

Bổ đề Zorn: Nếu mỗi dây chuyền của một tập sắp thứ tự khác rỗng
trên trong
thì
có chứa phần tử tối đại.

đều có cận

Mệnh đề 1.2.4.
• Cho iđêan I và các iđêan nguyên tố P1 , P2 , . . . , Pn của một vành A.
n

Nếu I ⊂

Pi thì I ⊂ Pi với i nào đó.
i=1

• Cho các iđêan I1 , I2 , . . . , In và iđêan nguyên tố P của một vành A.

n

n

Ii thì P ⊃ Ii với i nào đó, và do đó nếu P =

Nếu P ⊃
i=1

Ii thì P = Ii
i=1

với i nào đó.
Định nghĩa 1.2.10. Vành chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa
phương.

9


Định nghĩa 1.2.11. Iđêan giao của tất cả các iđêan tối đại của vành A được gọi
là căn Jacobson của vành A.
Ký hiệu A .
Mệnh đề 1.2.5. x ∈

A

⇔ 1 − xy khả nghịch trong A, ∀y ∈ A.

Định nghĩa 1.2.12. Vành A là vành Nơte khi và chỉ khi A thỏa một trong các
điều kiện sau:

i) Mọi dãy tăng những iđêan của A đều dừng.
ii) Mọi họ khác rỗng những iđêan của A đều có phần tử tối đại.
iii) Mọi iđêan của A đều hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.2.6. Cho A là một vành Nơte. I là một iđêan của A. Khi đó A/I là
một vành Nơte.
Hệ quả 1.2.1. Nếu A là một vành Nơte và f : A −→ B là một toàn cấu vành thì
B cũng là vành Nơte.
Định lí 1.2.1.(Định lí Hilbert cơ bản)
Nếu A là vành Nơte thì vành đa thức A[x] cũng là vành Nơte. Do đó nếu A là
vành Nơte thì vành đa thức A[x1 , . . . , xn ] cũng là vành Nơte.
Định nghĩa 1.2.13. Một iđêan thật sự Q của một vành A được gọi là iđêan
nguyên sơ nếu
∀x, y ∈ A xy ∈ Q và x ∈
/ Q ⇒ ∃n : y n ∈ Q.
hay ∀x, y ∈ A xy ∈ Q và x ∈
/ Q ⇒ y ∈ rad(Q).
Định nghĩa 1.2.14. Nếu Q là iđêan nguyên sơ và P = rad(Q) thì ta gọi iđêan
Q là P −nguyên sơ.
Mệnh đề 1.2.7. Nếu rad(I) là tối đại thì I là nguyên sơ. Đặc biệt lũy thừa của
iđêan tối đại m là m−nguyên sơ.

10


Định nghĩa 1.2.15. Cho vành A, iđêan I ta định nghĩa:
x≡y
1.3

(mod I) ⇔ x − y ∈ I.

Vành các thương

Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một vành. Một tập con S ⊂ A được gọi là tập con
nhân nếu:
i) 1 ∈ S
ii) ∀a, b ∈ S : ab ∈ S
Định nghĩa 1.3.2. Cho tập con nhân S của một vành A. Trên tập A × S ta định
nghĩa một quan hệ hai ngôi ≡ như sau:
∀(a, s), (a , s ) ∈ A × S
(a, s) ≡ (a , s ) ⇔ ∃t ∈ S : (as − a s)t = 0.
Dễ thấy rằng ≡ là một quan hệ tương đương trên A × S. Ta ký hiệu tập thương
a
A × S/ ≡ là S −1 A và ký hiệu lớp tương đương của phần tử (a, s) là .
s
Mệnh đề 1.3.1. Tập S −1 A cùng với hai quy tắc
a b
a b at + bs
• Cộng: ∀ , ∈ S −1 A
+ =
s t
s t
st
a b ab
a b
. =
• Nhân: ∀ , ∈ S −1 A
s t
s t
st
là một vành.

Định nghĩa 1.3.3. Vành S −1 A trong mệnh đề trên được gọi là vành các thương
của vành A theo tập con nhân S.
Ánh xạ f : A −→ S −1 A
a −→ f (a) = a1
là một đồng cấu vành.
Định nghĩa 1.3.4. Cho iđêan nguyên tố P của vành A. Tập S = A \ P là tập
con nhân của A. Trong trường hợp này, vành các thương S −1 A được ký hiệu là AP .

11


Định lí 1.3.1. Vành các thương của một vành Nơte là một vành Nơte.
Hệ quả 1.3.1. Nếu A là vành Nơte và P là iđêan nguyên tố của A thì AP là vành
Nơte.
Mệnh đề 1.3.2. Vành AP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập
hợp S −1 P := ps /p ∈ P, s ∈ S .
Mệnh đề 1.3.3. Cho S là một tập con nhân đóng của A và Q là iđêan P −nguyên
sơ.
i) Nếu S ∩ P = ∅ thì S −1 Q = S −1 A.
ii) Nếu S ∩ P = ∅ thì S −1 Q là S −1 P −nguyên sơ và sự rút ngắn của nó trong A
là Q.
Do đó iđêan nguyên sơ tương ứng với iđêan nguyên sơ là sự tương ứng giữa iđêan
trong S −1 A và iđêan bị rút ngắn trong A.
1.4

Môđun

Định nghĩa 1.4.1. Cho A là một vành. Một môđun trên vành A là một ba thứ
tự (M, +, ·) trong đó + : M × M −→ M là phép nội toán trên tập hợp M và
· : A × M −→ M là phép ngoại toán trên M thỏa các điều kiện sau:

i) (M, +) là nhóm Aben với phần tử trung hòa là 0.
ii) ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ M a(x + y) = ax + ay.
iii) ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ M (a + b)x = ax + bx.
iv) ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ M (ab)x = a(bx).
v) ∀x ∈ M

1x = x, trong đó 1 là phần tử đơn vị của vành A.

Khi đó vành A gọi là vành hệ tử của môđun. Ta thường gọi tắt là A−môđun M
thay cho môđun (M, +, ·) trên vành A.
Nếu nhóm M chỉ có duy nhất phần tử 0 thì có thể xem M là môđun trên bất kì
vành A nào. Ta gọi đó là môđun không.

12


Chú ý 1.4.1: Mỗi iđêan của một vành A là một A−môđun. Nói riêng vành A
cũng là một A−môđun.
Định nghĩa 1.4.2. Cho M và N là hai A−môđun. Một ánh xạ f : M −→ N
được gọi là một đồng cấu A−môđun nếu:
i) ∀x, y ∈ M

f (x + y) = f (x) + f (y)

ii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ M f (ax) = af (x)
Tập hợp tất cả đồng cấu A−môđun từ M đến N được ký hiệu là HomA (M, N ),
hoặc gọn hơn nữa: Hom(M, N ) (nếu không có gì nhầm lẫn về vành hệ tử).
Định nghĩa 1.4.3. Đồng cấu A−môđun được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng
cấu) nếu nó là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Định nghĩa 1.4.4. Nếu có một đẳng cấu A−môđun từ M đến N thì ta nói M

và N đẳng cấu với nhau, ký hiệu M ∼
= N.
A

Định nghĩa 1.4.5. Cho f : A −→ B là đồng cấu vành. Với a ∈ A, b ∈ B ta xác
định phép nhân: a.b = f (a).b. Phép nhân vô hướng của sự xác định này làm B
trở thành một A−môđun. Khi đó B vừa có cấu trúc của môđun vừa có cấu trúc
của vành. Vành B được trang bị một cấu trúc A−môđun được gọi là A−đại số.
Như vậy A−đại số là một vành B có cấu trúc của A−môđun với phép nhân ngoài:
∀a ∈ A, ∀b ∈ B a.b = f (a).b
Trong đó f : A −→ B là đồng cấu vành.
Định nghĩa 1.4.6. Một đồng cấu vành f : A −→ B là hữu hạn và B là A−đại
số hữu hạn nếu B là hữu hạn sinh như A−môđun.
Đồng cấu f là kiểu hữu hạn và B là A−đại số hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn
các phần tử x1 , x2 , . . . , xn ∈ B thỏa mỗi phần tử của B được viết dưới dạng một
đa thức của x1 , x2 , . . . , xn với hệ số thuộc f (A) ⊂ B.

13


Định nghĩa 1.4.7. Cho A−môđun M và tập con N ⊂ M . N được gọi là môđun
con của M nếu
i) N = ∅.
ii) ∀x, y ∈ N thì x + y ∈ N .
iii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ N thì ax ∈ N .
Tất nhiên môđun con cũng là một A−môđun với các phép toán cảm sinh.
Định nghĩa 1.4.8. Cho A là một vành Nơte. M là một A−môđun. Một iđêan P
của A được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều
kiện tương đương sau:
i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = P .

ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với A/P .
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AssA (M ).
Định nghĩa 1.4.9. Nếu N là môđun con của M thì nhóm thương (M/N, +) có cấu
trúc của một A−môđun với phép nhân ngoài a(x + N ) := ax + N (a ∈ A, x ∈ M ).
A−môđun (M/N, +, .) được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N .
Ánh xạ π : M −→ M/N với π(x) = x + N := x¯ là một toàn cấu A−môđun,
gọi là toàn cấu chính tắc.
Định nghĩa 1.4.10. Cho f ∈ HomA (M, N ). Khi đó:
• Nếu M là môđun con của M thì f (M ) là môđun con của N .
• Tập hợp Imf = f (M ) được gọi là ảnh của đồng cấu f .
• Đồng cấu f là toàn cấu ⇔ Imf = N .
• Nếu N là môđun con của N thì f −1 (N ) là môđun con của M .
• Tập hợp Kerf = f −1 {0} = {x ∈ M |f (x) = 0} được gọi là hạt nhân của đồng
cấu f .
• Đồng cấu f là đơn cấu ⇔ Kerf = 0.
14


• Môđun thương N/Imf được gọi là đối hạt nhân của đồng cấu f .
Ký hiệu Cokerf
Mệnh đề 1.4.1. Cho f ∈ HomA (M, N ), khi đó M/Kerf ∼
= Imf .
Định nghĩa 1.4.11. Cho I là iđêan của vành A và M là A− môđun.
Ta định nghĩa tích IM là tập hợp tất cả các tổng hữu hạn ai xi (ai ∈ I, xi ∈ M ).
Dễ kiểm tra IM là môđun con của M .
Định nghĩa 1.4.12. Thương (N : P ) của hai môđun con N và P của A−môđun
M là tập hợp những phần tử a ∈ A sao cho aP ⊂ N . Đó là một iđêan của A.
Đặc biệt, thương (0 : M ) được gọi là linh hóa tử của A−môđun M và ký hiệu là
Ann(M ).
Ann(M ) = {a ∈ A|ax = 0 ∀x ∈ M }

Định nghĩa 1.4.13. Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện
dây chuyền tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊂ M2 ⊂ . . . của M đều
dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho Mn = Mn+1 = . . ..
Định nghĩa 1.4.14. Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện
tối đại nếu mọi họ khác rỗng những môđun con của M , xếp thứ tự theo quan hệ
bao hàm, đều có phần tử tối đại.
n

ai xi với ai ∈ A, xi ∈ M

Định nghĩa 1.4.15. Tổng

∀i = 1, n gọi là một tổ

i=1

hợp tuyến tính của n phần tử x1 , x2 , . . . , xn với hệ tử thuộc A.
Tổng quát, nếu (xi )i∈I là một họ phần tử bất kì của M thì ta định nghĩa một
tổ hợp tuyến tính của họ (xi )i∈I là một tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử
ai xi trong đó
nào đó trong họ (xi )i∈I , nói cách khác đó là một tổng có dạng
i∈I

ai ∈ A, ∀i và ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.
Định nghĩa 1.4.16. Môđun con sinh bởi tập X ⊂ M là môđun con nhỏ nhất
của M mà chứa X.
Ký hiệu: X .

15

Định nghĩa 1.4.17. Cho A−môđun M . Một họ phần tử (xi )i∈I ⊂ M được gọi là
hệ sinh của M nếu mọi phần tử của M đều là tổ hợp tuyến tính của họ (xi )i∈I .
Khi đó M chính là môđun con sinh bởi X = {xi |i ∈ I}.
Định nghĩa 1.4.18. M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
Nói cách khác M = x1 , x2 , . . . , xn .
Định nghĩa 1.4.19. Một môđun M trên vành A được gọi là môđun Nơte nếu M
thỏa một trong các điều kiện sau:
i) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
ii) M thỏa điều kiện tối đại.
iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.1. Môđun con và môđun thương của môđun Nơte là Nơte.
Hệ quả 1.4.2. Nếu A là một vành Nơte thì mọi A−môđun hữu hạn sinh đều Nơte.
Hệ quả 1.4.3. Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của A thỏa mãn
IM = M thì tồn tại x ≡ 1(mod I) sao cho xM = 0.
Định nghĩa 1.4.20. Cho họ không rỗng các A−môđun (Mi )i∈I . Tích Descartes

Mi
i∈I

cùng với hai phép toán theo thành phần:
(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
a(xi )i∈I
= (axi )i∈I
Với xi , yi ∈ Mi , a ∈ A là một A−môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ
môđun (Mi )i∈I .

16

Định nghĩa 1.4.21. Cho họ không rỗng các A−môđun (Mi )i∈I .
Xét tập con của
Mi
i∈I

M=

(xi )i∈I ∈

Mi |xi = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn
i∈I

Dễ thấy M là môđun con của

Mi .
i∈I

A−môđun M gồm những họ phần tử (xi )i∈I ∈

Mi mà hầu hết các xi = 0 mô
i∈I

tả ở trên được gọi là tổng trực tiếp của họ A−môđun (Mi )i∈I .
Ký hiệu Mi .
i∈I

Định nghĩa 1.4.22. Cho họ môđun con (Mi )i∈I của một A−môđun M . Nếu
M=
Mi và Mk ∩
Mi = 0 ∀k ∈ I thì ta nói A−môđun M là tổng trực tiếp

i∈I

i=k

trong của họ môđun con (Mi )i∈I và ký hiệu M =

Mi .
i∈I

Mệnh đề 1.4.2. Cho họ môđun con (Mi )i∈I của một A−môđun M . Khi đó
M = Mi khi và chỉ khi mỗi phần tử x ∈ M được biểu diễn một cách duy nhất
i∈I

dưới dạng tổng hữu hạn

xi , xi ∈ Mi .

Định nghĩa 1.4.23. Một họ phần tử (xi )i∈I của một A−môđun M được gọi là
cơ sở của M nếu:
i) (xi )i∈I là hệ sinh của M .
ii) Phần tử 0 được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến
tính của họ (xi )i∈I tức là nếu
ai xi = 0 thì ai = 0, ∀i ∈ I.
i∈I

Định nghĩa 1.4.24. Một môđun có cơ sở khác rỗng được gọi là môđun tự do.
Định nghĩa 1.4.25. Cho ba A−môđun M, N, P . Một ánh xạ f : M × N −→ P
được gọi là ánh xạ A−song tuyến tính nếu f là A−tuyến tính theo từng biến,
tức là:

17


∀x, x ∈ M, ∀y, y ∈ N, ∀a ∈ A
f (x + x , y) = f (x, y) + f (x , y)
f (x, y + y ) = f (x, y) + f (x, y )
f (ax, y)
= f (x, ay) = af (x, y)
Định nghĩa 1.4.26. Tích Tenxơ của hai A−môđun M và N là một cặp (T, ϕ)
với T là một A−môđun và ϕ : M × N −→ T là một ánh xạ A−song tuyến tính
sao cho điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Với bất kì A−môđun P và bất kì ánh xạ A−song tuyến tính f : M × N −→ P
luôn tồn tại duy nhất một A−đồng cấu θ : T −→ P sao cho f = θϕ.
Ký hiệu là: T = M N
A

ϕ

M ×N
f

T

∃!θ
P
Các phần tử sinh x⊗y gọi là tích Tenxơ của hai phần tử x và y. Lưu ý rằng sự biểu
n

diễn mỗi phần tử u của tích Tenxơ T qua các phần tử sinh x ⊗ y: u =

xi ⊗ yi
i=1

là không duy nhất.
u

v

Chú ý 1.4.2: Cho hai A−đồng cấu M −→ M và N −→ N .
Khi đó, ánh xạ f : M × N −→ M ⊗ N xác định bởi f (x, y) = u(x) ⊗ v(y) là một
A−song tuyến tính nên cảm sinh một A−đồng cấu (duy nhất)
θ : M ⊗ N −→ M ⊗ N sao cho θ(x ⊗ y) = u(x) ⊗ v(y).
Ta ký hiệu A−đồng cấu này là u ⊗ v, và gọi là tích Tenxơ của hai đồng cấu u, v.

18


1.5

Tôpô và đầy đủ

Định nghĩa 1.5.1. Nhóm giao hoán tôpô là tập G có cấu trúc nhóm giao hoán
và cấu trúc tôpô thỏa :
i)
Ánh xạ

G × G −→
G
(x, y) −→ x + y

liên tục
ii)
Ánh xạ

G −→ G
x −→ −x

liên tục
Ánh xạ (x, y) −→ x + y liên tục có nghĩa là với lân cận W của x + y, tồn tại
lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W .
Ánh xạ x −→ −x liên tục có nghĩa là với lân cận U của −x tồn tại lân cận
V của x sao cho −V ⊂ U .
Bổ đề 1.5.1. Gọi H là giao của tất cả các lân cận của O trong nhóm giao hoán
tôpô G. Khi đó:
i) H là nhóm con của G.
ii) G/H là Hausdorff.
iii) H = {¯0} (H là bao đóng của {O})
iv) G là Hausdorff ⇔ H = 0
Định nghĩa 1.5.2. Một dãy (xu ) gọi là dãy Cauchy trong G nếu với mọi lân cận
U của 0, ∃s(U ) > 0 để xv − xu ∈ U, ∀v, u s(U ).
Định nghĩa 1.5.3. Hai dãy Cauchy (xu ) và (yu ) gọi là tương đương, ký hiệu
(xu ) ∼ (yu ) nếu (xu ) − (yu ) → 0 trong G.

19


Định nghĩa 1.5.4.
Gọi S = (xu ) ⊂ G : (xu ) là dãy Cauchy
Đặt G = S/ ∼ là tập các lớp tương đương của dãy Cauchy trong G.
G được gọi là đầy đủ của nhóm tôpô G.

Trên G định nghĩa phép cộng:
∀ (xu ), (yu ) ∈ G : (xu ) + (yu ) = (xu + yu ).
Ta có (G, +) là nhóm cộng giao hoán.
Ánh xạ φ : G → G là đồng cấu nhóm.
Kerφ = H, do đó φ là đơn cấu ⇔ G là Haussdorff.
Định nghĩa 1.5.5. Giả sử 0 ∈ G (G là nhóm cộng Aben) có một cơ sở lân cận
gồm các nhóm con của G:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ . . . ⊃ Gn ⊃ . . .
U ⊂ G là cơ sở lân cận của 0 ⇔ U ⊃ Gn với n nào đó.
Lấy G = A, Gn = I n với A là vành và I là iđêan của A. Tôpô xác định trên
A được gọi là tôpô I−adic hay I−tôpô. Dễ kiểm tra A là vành tôpô nghĩa là các
phép toán của vành là liên tục.
I−tôpô là Haussdorff ⇔ I n = (0).
Đầy đủ A của A với tôpô này gọi là đầy đủ I−adic. Khi đó A cũng là vành tôpô.
φ : A −→ A là một đồng cấu vành liên tục mà hạt nhân là I n .
Cho M là A−môđun, I là một iđêan của vành A, lấy G = M , Gn = I n M . Điều
này xác định một I−tôpô trên M . Đầy đủ M của M với tôpô này gọi là đầy đủ
I−adic. Khi đó M là tôpô A−môđun.
1.6

Lọc

Định nghĩa 1.6.1. Cho một A−môđun M .Một dãy giảm (Mn ) các môđun con
của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mn ⊃ . . . được gọi là một lọc của M .
Định nghĩa 1.6.2. Cho I là một iđêan của vành A. Một lọc (Mn ) được gọi là
I−lọc nếu ∀n : IMn ⊂ Mn+1 .

20

Định nghĩa 1.6.3. Nếu IMn = Mn+1 với n đủ lớn thì (Mn ) gọi là I−lọc ổn định.
Nhận xét: (I n M ) là một I−lọc ổn định.
Bổ đề 1.6.1. Nếu (Mn ), (Mn ) là các I−lọc ổn định của M thì chúng có sai phân
bị chặn, tức là có số nguyên n0 sao cho Mn+n0 ⊂ Mn và Mn+n0 ⊂ Mn ∀n 0 .
Do đó tất cả các I−lọc ổn định xác định cùng một tôpô trên M là I−tôpô.
1.7

Dãy khớp

Định nghĩa 1.7.1. Một dãy các A−môđun và A−đồng cấu:
fi+1

fi

. . . Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ . . .

(1)

được gọi là khớp tại môđun Mi nếu Imfi = Kerfi+1 .
Định nghĩa 1.7.2. Dãy các đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại
mỗi Mi trong dãy.
f

g

Định nghĩa 1.7.3. Dãy khớp hữu hạn dạng 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 (∗)
được gọi là dãy khớp ngắn. Để kiểm tra tính khớp của dãy (∗) ta cần kiểm tra
đồng cấu f là đơn cấu, đồng cấu g là toàn cấu và Imf = Kerg.
i

p

Chú ý 1.7.1: Mỗi dãy khớp ngắn đều có dạng 0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0.
Với N là môđun con của M , i : N −→ M là đồng cấu nhúng, p : M −→ M/N là
đồng cấu chiếu.
f
g
Thật vậy, với dãy khớp ngắn bất kì 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0
do f là đơn cấu nên ta có thể xem M là môđun con của M và do g toàn cấu mà
M ∼
= M/Kerg = M/f (M )
Với M ∼
= f (M ) nên có thể xem M = M/M .
f

g

Mệnh đề 1.7.1. Cho 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 là một dãy khớp của các
A−môđun. Khi đó M là môđun Nơte khi và chỉ khi M và M là môđun Nơte.

21


Mệnh đề 1.7.2. Cho sơ đồ giao hoán
u
v
0
M
M
f

f
u
v
0
N
N

với các dòng khớp:
M
f

0

N

0

Khi đó tồn tại dãy khớp
u
¯

v¯

u¯

d

v¯

0 −→ Kerf −→ Kerf −→ Kerf −→ CoKerf −→ CoKerf −→ CoKerf −→ 0.

Trong đó u¯, v¯, u¯ , v¯ cảm sinh từ các đồng cấu u, v, u , v .
Định nghĩa 1.7.4. Cho một dãy các nhóm (An ) và họ đồng cấu θn+1 : An+1 → An ,
ta gọi chúng là một hệ ngược.
Nếu các θn+1 là toàn cấu thì hệ ngược được gọi là hệ toàn cấu.
Định nghĩa 1.7.5. Một dãy (an ), an ∈ An , ∀n được gọi là dãy khít nếu thỏa
θn+1 (an+1 ) = an .
Định nghĩa 1.7.6. Tất cả dãy khít (an ) tạo thành một nhóm được gọi là giới hạn
ngược của hệ, ký hiệu là limAn .
←−

Chú ý 1.7.2. Cho (xv ) là dãy Cauchy trong G. Khi đó ảnh của (xv ) trong G/Gn
không đổi và bằng ξn .
Xét phép chiếu θn+1 : G/Gn+1 −→ G/Gn
ξn+1 −→ ξn
Vậy dãy Cauchy (xv ) trong G xác định dãy khít (ξn ) thỏa θn+1 (ξn+1 ) = ξn , ∀n
Hơn nữa hai dãy Cauchy tương đương xác định cùng một dãy khớp.
Mặt khác từ dãy khớp (ξn ) bất kì ta có thể xây dựng dãy Cauchy (xn ) bằng cách
lấy xn từ phần tử bất kì trong lớp ξn . Vậy G được xác định hợp lí từ tập các dãy
khớp (ξn ).
Do đó G ∼
= lim G/Gn .
←−

22


Mệnh đề 1.7.3. Nếu 0 −→ {An } −→ {Bn } −→ {Cn } −→ 0 là một dãy khớp các
hệ ngược thì khi đó dãy
0 −→ limAn −→ limBn −→ limCn
←−

←−

←−

luôn luôn khớp. Hơn nữa nếu {An } là một hệ toàn cấu thì dãy
0 −→ limAn −→ limBn −→ limCn −→ 0
←−

←−

←−

là dãy khớp.
p

Hệ quả 1.7.1. Cho 0 −→ G −→ G −→ G −→ 0 là một dãy khớp của các nhóm.
Cho G có một tôpô được xác định bởi một dãy các nhóm con {Gn } và cho G , G
được cảm sinh bởi tôpô của các dãy {Gn ∩ Gn }, {pGn }. Khi đó dãy
0 −→ G −→ G −→ G −→ 0
là dãy khớp.
Hệ quả 1.7.2. Gn là một nhóm con của G và G/Gn ∼
= G/Gn .
Mệnh đề 1.7.4. G ∼
= G.
Định nghĩa 1.7.7. Nếu φ : G −→ G là một đẳng cấu thì G gọi là đầy đủ.
Mệnh đề 1.7.5. Cho dãy khớp các A−môđun và đồng cấu
f

g

M −→ M −→ M −→ 0.
Khi đó dãy
f ⊗1

g⊗1

M ⊗ N −→ M ⊗ N −→ M ⊗ N −→ 0
là khớp với mọi A−môđun N (trong đó 1 là ánh xạ đồng nhất IdN ).

23


Chương 2

Một số tính chất của vành và môđun
phân bậc
2.1

Vành phân bậc

Định nghĩa 2.1.1. Một vành phân bậc là vành A cùng với họ (An )n 0 các nhóm
∞
con của nhóm cộng A sao cho A = n=0 An và Am An ⊂ Am+n , ∀m, n 0.
Nhận xét 2.1.1. Cho A =

∞
n=0 An

là một vành phân bậc. Khi đó:

i) A0 là vành con của A. Vì A0 là nhóm con của A và A0 A0 ⊂ A0 nên A0 đóng
kín với phép trừ và phép nhân.
ii) Mỗi An là một A0 − môđun vì mỗi An là nhóm con của A và A0 An ⊂ An xác
định một phép nhân ngoài trên An .
iii) A+ =

n>0

An là một iđêan của A.

Ví dụ 2.1.1. Cho vành A. Khi đó ta có
A khi n = 0
∞
A = n=0 An với An =
0 khi n > 0
Vậy mỗi vành giao hoán đều có thể coi là một vành phân bậc.
Ví dụ 2.1.2. Cho K là trường, A = K[x1 , x2 , . . . , xn ] và An là tập hợp tất cả các
đa thức thuần nhất bậc n. Khi đó A là vành phân bậc.
∞

Định nghĩa 2.1.2. Cho một vành phân bậc A: A = n=0 An . Mỗi phần tử x được
gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n sao cho x ∈ An và ta nói bậc của x bằng n.
24


Định nghĩa 2.1.3. Cho một vành phân bậc A: A =
∞
A gọi là vành con phân bậc nếu S = n=0 (S ∩ An ).

∞
n=0 An .

Vành con S của

Định nghĩa 2.1.4. Cho một vành phân bậc A: A =
∞
A được gọi là iđêan phân bậc nếu I = n=0 (I ∩ An ).

∞
n=0 An .

Một iđêan I của

∞

Định nghĩa 2.1.5. Cho một vành phân bậc A: A = n=0 An . Một iđêan I của
A được gọi là thừa nhận được nếu mỗi tập con hữu hạn J thì từ
xn ∈ I với
n∈J

xn ∈ An , sẽ kéo theo các thành phần thuần nhất xn đều nằm trong I.
2.2

Môđun phân bậc

Định nghĩa 2.2.1. Cho vành phân bậc A. Một A−môđun phân bậc là một
A−môđun M cùng với họ (Mn )n 0 các nhóm con của M thỏa mãn
M=

∞
n=0 Mn

Nhận xét 2.2.1. Cho M =

và Am Mn ⊂ Mm+n , ∀m, n

∞
n=0 Mn

0.

là một A−môđun phân bậc. Khi đó:

i) Mỗi Mn là một A0 −môđun.
ii) Mỗi y ∈ M được biểu diễn duy nhất dưới dạng hh yn với yn ∈ Mn , ∀n 0,
trong đó một số hữu hạn yn = 0. Những thành phần yn = 0 được gọi là thành
phần thuần nhất của y.
∞

Định nghĩa 2.2.2. Cho M là một A−môđun phân bậc: M =
n=0 Mn . Mỗi
phần tử x ∈ M được gọi là thuần nhất nếu tồn tại n sao cho x ∈ Mn và ta nói
bậc của x bằng n.
Định nghĩa 2.2.3. Cho M, N là một A−môđun phân bậc. Một đồng cấu của
A−môđun phân bậc là một A−đồng cấu f : M −→ N thỏa mãn f (Mn ) ⊂ Nn , ∀n 0.
Định nghĩa 2.2.4. Cho M là một A−môđun phân bậc: M =
môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc nếu N =

25

∞
n=0 Mn . Một
∞
n=0 (N ∩ Mn ).