Một số tính chất của phương trình sai phân và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
-------***-------

nguyễn hoàng hiển

một số tính chất của phơng trình sai phân
và ứng dụng

luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2009
1


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
-------***-------

nguyễn hoàng hiển

một số tính chất của phơng trình sai phân
và ứng dụng

Chuyên ngành: giảI tích
MÃ số: 60.46.01

luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS.Đặng Đình Châu

2


mở đầu
Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết kỹ
thuật số và ứng dụng của nó trong khoa học và trong đời sống hàng ngày, lý
thuyết phơng trình sai phân đợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Các
kết quả nghiên cứu theo phơng hớng này đợc áp dụng ngày càng nhiều trong
một sè lÜnh vùc kh¸c nh: to¸n kinh tÕ, kü thuËt tín hiệu số, lý thuyết hệ động
lực rời rạc và nhiều ngành khoa học khác.
Trong khuôn khổ của một Luận văn thạc sĩ, chúng tôi sẽ trình bày một số
khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết phơng trình sai phân và cố gắng tìm tòi,
khám phá những ứng dụng của nó. Để phục vụ cho việc giảng dạy toán học ở
phổ thông trong phần ứng dụng chúng tôi có giới thiệu một số ứng dụng của phơng trình sai phân trong toán sơ cấp. Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu ứng
dụng của phơng trình sai phân trong mô hình ngoại thơng. Do điều kiện về thời
gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề không thể đợc nh mong
muốn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến khoa Sau đại học, trờng Đại học
Vinh cũng nh các thầy cô giáo khoa Toán đà giảng dạy, hớng dẫn, giúp đỡ tôi
trong quá trình học Đại học cũng nh học Cao học. Tôi cũng xin chân thành cảm
ơn PGS.TS. Đặng Đình Châu - Trờng Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc gia Hà Nội đà tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
Ngày

3

tháng

năm 2009


Nội dung chính của bản luận văn này bao gồm :
1. Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về phơng pháp sai phân
2. Phát biểu và trình bày một số chứng minh các công thức giải PTSP
cp 1, cấp 2vµ hƯ PTSP
4. HƯ thèng mét sè bµi tËp ứng dụng của phơng trình sai phân trong toán
sơ cấp
3. Trình bày bài toán Mô hình ngoại thơng giữa hai quốc gia và phơng
pháp ma trận ứng dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ PTSP tơng ứng.

4


CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP CAO

1.1. Khơng gian các hàm trên thang thời gian (time scale)
1.1.1. Thang thời gian và không gian các hàm số trên thang thời gian
Giả sử R là tập hợp các số thực, khi đó một tập đóng Π của R được gọi
là một thang thời gian (xem [5]).
Trong khóa luận này chúng ta chỉ xét Π là một trong các dạng thang
thời gian sau: N, Z, hZ, R.
Trong đó N = {0, 1, 2, …} ( tập hợp các số tự nhiên ) và
Z = {0, 1, ±2, …}, hZ = {0, ±h, ±2h, …, ±nh, …} (h∈R+).
Giả sử t∈Π , ta ký hiệu:

δ(t) = inf {S∈Π; S>t}
ρ(t) = sup {S∈Π; S

µ(t) = t - σ(t).
µ(t) được gọi là bước nhảy trên Π .
Dễ dàng thấy rằng:
Nếu t∈R thì µ(t)=0.
Nếu t∈Z thì µ(t) =1, nếu t∈Hz thì µ(t) = h
1.1.1.1.Định lý.Giả sử Π là một thang thời gian nào đó. Khi đó ánh xạ f:

Π→R lập thành một khơng gian tuyến tính.
Chứng minh. Ký hiệu: G = {f | f: Π→R}.Khi đó hàm số θ(t) ≡ 0 trên G là
phần tử không thuộc G. Với f,g∈G bất kỳ ta có thể xác định các phép toán:
i) f + g: t → f(t) + g(t), ∀ t ∈ G
ii) λf: t → λf(t), λ∈R.

5


Khi đó G sẽ trở thành một khơng gian tuyến tính (thỏa mãn tám tiên đề
của khơng gian tuyến tính). Trong trường hợp khi Π = Z thì có khơng gian
các dãy số thông thường.
1.1.2. Khái niệm ∆ - đạo hàm (đạo hàm mở rộng)
Trong thời gian gần đây để đáp ứng với yêu cầu ứng dụng của toán học
trong các ngành khoa học khác, người ta đã tìm cách mở rộng lý thuyết giải
thích tốn học theo chiều hướng khác nhau. Trong những phương hướng mới
đó là phương trình động lực trên thang thời gian (Dynamic Equation on time
scales). Nhiều khái niệm của giải thích cổ điển đã được khái qt hóa và trình
bày lại dưới dạng tổng qt hơn để có thể ứng dụng đồng thời cho cả hàm liên
tục thông thương lẫn hàm rời rạc . Sau đây chúng tôi xin giới thiệu lại khái
niệm ∆-đạo hàm (đạo hàm mở rộng trên thang thời gian) (xem [4], [5]).
Giả sử f : Π→R là một hàm số trên thang thời Π và t∈Π là một giá trị tùy
ý cho trước.

1.1.2.1Định nghĩa. Hàm số f: Π→R được gọi là ∆ - khả vi nếu với mọi ε>0
bất kỳ cho trước luôn luôn tồn tại lân cận U của t (hoặc tồn tại δ>0 và U = (t-

δ, t+δ)∩Π) và tồn tại số thực f(t) sao cho với mọi S∈U ta có:
f ( δ ( A) − f ( s ) − f ∆ (t ) [ δ (t ) − S ] ) ≤ ε δ (t ) − S

Khi đó ta gọi f∆(t) là đạo hàm của f tại t trên Π ( hoặc chính xác hơn
f∆(t) là ∆- đạo hàm của f tại t∈Π ). Tương tự như đạo hàm thơng thường ta có
thể chứng minh được các công thức sau
1.1.2.2Định lý. Nếu Π=R và f: Π→R là khả vi tại t∈Π khi đó ta có
các khẳng định sau:
i)

Tổng của các hàm f và g: f+g là một hàm khả vi tại t và ta có:
(f+g)∆(t) = f∆(t) + g∆(t)

ii) Với hằng số α bất kỳ, αf: Π→R là một hàm khả vi tại t và ta có:

6


(αf)∆(t) = αf∆(t).
iii) Tích của các hàm khả vi f-g: Π→R cũng là một hàm khả vi tại t∈Π và
ta có:
(fg)∆ = f∆(t)g(t) + f(δ(t))g∆(t) = f∆(t)g∆(t) + f∆(δ(t))g∆(δ(t))
iv) Nừu f∆(t)g∆(δ(t))≠0, thì

1
f

là một hàm khả vi và ta có:

∆

1
f ∆ (t )
(t ) =
 ÷
f (t ) f (δ (t ))
 f 

v) Nếu g(t)g(δ(t))≠0, thì

f
g

là một hàm khả vi tại t và ta có:

∆

 f 
f ∆ (t ) g (t ) − f (t ) g ∆ (t )
(t ) =
 ÷
g (t ) g (δ (t ))
g

Nhận xét. Chúng ta nói rằng f: Π→R là ∆- khả vi trên Π, nếu f: Π→R là
khả vi tại mọi giá trị của t∈Π. Hồn tồn tương tự ta có thể định nghĩa đạo
hàm cấp cao của f và chứng minh một số tính chất tương ứng như tính chất

của hàm số thông thường f: R→R (xem [5] trang 7, 8, 9)
Ví dụ: a) Giả sử Π=Z, thì
f: Π→R được xác định bởi f(t)=qt ∀ t∈Π.
tacó: f∆(t) = qth - qt = (q-1)qt
b) Giả sử Π=Z,
f: Π→R được xác định bởi f(t)= at +b; (a, b ∈R).
f∆(t) = a
1.1.3. Khái niệm tích phân của một hàm trên thang thời gian
Giả sử Π là một thang thời gian . Để xây dựng khái niệm tích phân và
nghiên cứu các tính chât của chúng ta cần làm quen với một số khái niệm sau
1.1.3.1. Định nghĩa. Giả sử t∈Π là một giá trị nào đó. Nếu t< SupΠ và
t=δ(t) thì ta nói t là một điểm trù mật phải. Nếu t>infΠ và t= ρ(t) thì ta nói

7


t là một điểm trù mật trái. Nếu t∈Π là một điểm vừa trù mật trái vừa trùn
mật phải thì ta nói đó là điểm trù mật. Trong trường hợp ngược lại ta có điểm
cơ lập.
1.1.3.2. Định nghĩa. Giả sử f: Π→R là một hàm số. Khi đó ta nói f là một hàm
liên tục phải trên Π (rd-continous) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i)

f: Π→R là liên tục tại tất cả các điểm trừ mặt phải của Π

(ii)

Tại tất cả các điểm trừ mặt trái của Π thì tồn tại giới hạn trái hữu
hạn của f

1.1.3.3. Định nghĩa. Hàm F: Π→R được gọi là nguyên hàm (antiderivative)
của hàm f: Π→R nếu: F∆(t) = f(t) với mọi t∈Π.
t
Ta ký hiệu ∫f ( t ) ∆ =F(t) +C (tích phân khơng xác định của f(t)).
S

Ta định nghĩa

∫ f (t )∆t = F ( s) − F ( p) ,

(∀ s, p∈Π) . Tương tự như tích

P

phân thơng thường chúng ta có thể chứng minh được các tính chất cơ bản của
tích phân sau đây:
1.1.3.4. Định lý. (xem [5])
Giả sử a, b, c ∈Π, α∈R và f, g: Π→R là các hàm liên tục phải, khi đó:
b

b

a

(i)

b

a

a

∫ [ f ( t ) + g( t )]∆t =∫ f ( t )∆t +∫ g( t )∆t
b

a

(ii)

b

a

∫ [ αf ( t )]∆t =α∫ f ( t )∆t
b

a

(iii)

b

a

∫ [ f ( t )]∆t = − ∫ f ( t )∆t
b

c

b

a

a

c

(iv) ∫ f ( t )∆t =∫ f ( t )∆t +∫ f ( t )∆t
b

(v)

b

a

a

∆
∆
∫ f [ δ( t )]g ( t )∆t =( fg ) (b) − ( fg ) (b) − ∫ f ( t )g( t )∆t

8


b

(vi)

∫ f ( t )g

a

∆

b

( t )∆t =( fg ) (b) − ( fg ) (a ) − ∫ f ∆ ( t )g( δ( t ) ) ∆t
a

a

(vii)

∫ f ( t )∆t =0
a

a

(viii) nếu f(t)≥0 với mọi a≤t≤b thì

∫ f (t )∆t ≥0
a

b

a

(ix) nếu | f(t)| ≤ g(t) trên [a,b), thì

b

a

∫ f (t )∆t ≤ ∫ g (t )∆t

1.1.3.5. Hệ quả. Giả sử a, b ∈ và f: Π→R là liên tục phải khi đó:
b

a

(i)
(ii)

Nếu Π=R, thì

b

a

∫ f (t )∆t =∫ f (t )dt

Nếu Π=hZ={hK: K∈Z}, thì
b

∫ f (t )∆t =∑
a

D
−1
h

a
k=
h

f (kh)h nếu a
b

∫ f (t )∆t =0

nếu a=b

a
b

∫ f (t )∆t =∑
a

(iii)

a
−1
h
b
k=
h

f (kh)h

nếu a>b

Nếu T=Z ta có:
b

∫
a

f (t ) ∆t =∑ k =b f (k )
a −1

nếu a>b

1.2. Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân hữu hạn
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Xét dãy số

{ xn }

; dạng khai triển của nó là

9


{ x , x , x ,...x ,...} .
0

1

2

n

Thí dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng

{ n} = { o,1,2,..., n,...} ,
dãy số nguyên dương Z+ có dạng { n} = { o,1,2,..., n,...} , dãy số điều hoà
1 
1   1
  = 1, ,..., ,... .
n 
n  2
Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n. Kí hiệu x(n) = xn.
Chú ý rằng theo định nghĩa đạo hàm trên thang thời gian sai phân cấp một chính là
đạo hàm của dãy số ( hàm x(n) )

1.2.1.1. Định nghĩa. Ta gọi hiệu: ∆xn = xn+1 – xn
là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = xn với n ∈ Z
Thí dụ, Nếu hàm xn cho dưới dạng bảng
n
Xn

0
1

1
3

2
4

3
7

4
6

Ta có sai phân hữu hạn cấp 1 là:
∆x0 = x1 – xo = 3 – 1 = 2;

∆x1 = x2 – x1 = 4 – 3 = 1;

∆x2 = x3 – x2 = 7 – 4 = 3;

∆x3 = x4 – x3 = 6 – 7 = -1.

Từ đây về sau, nếu khơng có gì nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân
hữu hạn là sai phân, còn sai phân cấp 1 gọi tăt là sai phân.

10


1.2.1.2. Định nghĩa. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai
phân cấp 1 của xn, và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai
phân cấp k – 1 của hàm số đó.
Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là:
∆2xn = ∆(∆xn) = ∆xn + 1 - ∆xn
= xn + 2 – xn + 1 – (xn + 1 – xn)
= xn+2 – 2xn+1 + xn ;
Sai phân cấp 3 của hàm xn là:
∆3xn = ∆(∆2xn) = ∆2xn+1 - ∆2xn =

= x n+ 3 – 2xn + 2 + xn + 1 – (xn + 2 - 2xn +1 + xn) =
= xn+ 3 - 3xn+ 2 + 3xn + 1 – xn
Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là:
∆kxn = ∆(∆k-1xn) = ∆k-1xn+1 - ∆k-1xn =
trong đó

i
Ck =

k!
.
i!( k − i )!

Thí dụ, xét hàm xn trong định nghĩa 1, ta có
∆2xo = x2 – 2x1 + xo = 4 – 2.3 + 1 = -1,

∆2x1 = x3 – 2x2 + x1 = 7 – 2.4 + 3 = 2,

∆2x2 = x4 – 2x3 + x2 = 6 – 2.7 + 4 = -4,.

11

k

i

∑( −1) C ki xn+k-i , (a)
i =0

∆3xo = x3 – 3x2 + 3x1 – xo = 7 – 3.4 + 3.3 - 1 = 3,

∆3x1 = x4 – 3x3 + 3x2 – x1 = 6 – 3.7 + 3.4 - 3 = -6,

∆4xo = x4 – 4x3 + 6x2 - 4x1 + xo = 6 – 4.7 + 6.4 – 4.3 + 1 = -9,
Từ công thức (a), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.
1.2.2.Tính chất của phép tính sai phân
1.2.2.1. Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của
hàm số
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh cồn thức (1).
1
Thật vậy với k =1, ta có ∆xn = xn+ 1 – xn = C1o xn+ 1 – C1 xn.

Giả sử (1) đúng với k, có nghĩa là
∆k xn =

k

i

∑(−1) i C k xn+ k – i ,
i =0

Ta chứng minh (1) đúng với k + 1, tức là
∆

k+1

k

I
xn = ∆ xn+ 1 - ∆ xn = ∑( −1) i C K xn+ 1 +

k

k

k–i

–-

i =0

k

∑(−1) i x n+ k – i .
i =0

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i, - 1, sau đó thay i, bằng i, ta được
k +1

k

∑( −1)

∑(−1) i =

i , −1

i , =1

i =0

k +1

i
i −1
xn+ k + 1 – i, = - − ∑( −1) C k xn + k + 1 – i.
i =1

Bởi vậy
∆k + 1xn =

k

∑(−1) i C

i
k

xn+ k + 1 – i + xn+ k + 1 – i. =

i =0

=
=

k−
1

(
∑ −1) ixn+ k + 1 – i + xn+ k + 1 + xn+ k + 1 – i + (-1)k + 1xn =
i=
11

xn+ k + 1 – i + xn+ k + 1 + (-1)k + 1xn =
k−
1

=

∑(−1)C

=

∑(−1)C

i=
1
k

i =0

i
i
k+
1

i
k+

1

xn+ k + 1 – i + xn+ k + 1 + (-1)k + 1xn =

xn+ k + 1 – i.

12


Theo luật quy nạp, ta có cơng thức (1) đúng với mọi giá trị n
nguyên dương.
1.2.2.2.Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
∆k(axn + byn) = a∆kxn + b∆kyn, k =1,2,…
Thật vậy, theo (1) ta có
∆k(axn + byn) =

k

∑(−1) i(axn +k – i+ byn+ k –i) =
i =0

k

∑(−1) i(axn + k – i) +
i =0

k

k

∑(−1) i( yn+ k –i) =
i =0
k

i
i
= a ∑( − 1)C k X n +k −i + b∑( − 1)C k y n +k −i = a∆kxn + b∆kyn.
i =o

i =o

Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh được các tính chất
sau
1.2.2.3.Tính chất 3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
1. Đa thức bậc m – k, nếu k < m.
2. Hằng số, nếu k = m
3. Bằng 0 khi k > m.
1.2.2.4.Tính chất 4. Với n ∈ Z ta ln ln có :

Σ

N
n

xn = ∆ k −1 xn+1 − ∆ k −1 xn

Sử dụng tính chất 4 ta có thể tính giải được một số bài tốn tính tổng hữu
hạn sau đây
Thí dụ 1.

Tính các tổng
n

S = 1.1! + 2.2! + … + n.n! =

kk
∑ !
k=
1

S1 = (12 + 1 + 1)1! + (22 + 2 + 1)2! + …. + (n2 + n + 1)n! =
n

= ∑ (k2 + k + 1)k!
k =1

Giải. Ta có k.k! = (k + 1)! – k! = k!.

13


n

kk
Vậy S = ∑ ! =
k=
1

n

∆
∑ k! = (n + 1)! – 1.
k=
1

Vì (k2 + k + 1)k! = (k2 + 2k + 1 – k)k! = (k + 1)2k! – kk! =
= (k + 1)(k + 1)! – k.k! = ∆(k.k!), nên
n

2
S1 = ∑( k + k + 1)k! =
k =1

Thí dụ2.

n

∑∆ (k.k!) = (n +1)(n+1)! – 1
k =1

Tính các tổng
Tm = 1m + 2m + 3m + …. +nm, với m= 1,2,3.

Giải.
n

T1 = 1 + 2 + 3 + ….+ n =

∑k =

k=
1

n

∑∆
k =1

n

2
T2 = 1 + 2 +….+ n = = ∑k =

2

2

2

k =1

n

k ( k − 1) ( n + 1) n
=
;
2
2

∑∆

( k − 1) k ( 2k − 1)
6

k =1

n

n(n +1) 
3
T3 = 1 + 2 +…+ n = ∑k = 


3

3

3

k =1



=

n( n + 1)( 2n + 1)
6

2



2

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
1.3.1. Định nghĩa. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng
axn+1
hoặc

+

bxn

=fn

,

a

≠

xn+1 = qxn + fn , q ≠ 0 ;

0

,

b

≠

0

(1)

Nếu a, b, q, là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một
với hệ số hằng số; nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phân
tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên; fn là một hàm của n, gọi là vế phải; x n
là ẩn. Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; nếu f n ≡ 0
ta có phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất.
1.3.2. Cấu trúc nghiệm.

Ta dễ dành thấy rằng nghiệm tổng quát của (1) có

dạng
~ ∗
xn = xn + xn ,
trong đó

14


~
xn = Cλ n

b
với λ = − ,
a

∗

còn xn là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính
khơng thuần nhất.
Thí dụ.

Xét phương trình
xn+1 = 3xn + 2.n+1

Ta có

∗
xn = n
nên
xn = C.3n + n .

xn = C.3n và

1.3.3. Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một khơng thuần nhất.
1.3.3.1. Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình

axn+1 + bxn = fn

b
~
Phương trình này có nghiệm x n = Cλn , với λ = - .
a
Để tìm nghiệm riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là một
hàm của n và tìm

∗
xn = Cnλn . Thay vào phương trình sai phân, ta được

aCn+1λn+1 + bCnλn = fn
b
⇔ aCn+1λ ( − ) + bCnλn = fn
a
⇔ -bλn[Cn+1 – Cn] = -bλn∆Cn = fn
⇔ ∆Cn = -

fn
.
bλ n

Lấy tổng hai vế theo k từ 0 đến n – 1, ta được
1 n−1 f k
Cn = Co - − ∑
b k =0 λ k

15


1 n−1 f 

CO − ∑ kk  .λ n .
x =
b k =0 λ 

∗
n

Vậy

Thí dụ 1. Phương trình
xn+1 = xn + (n2 + n + 1). n! , xo = 1,
∗
có λ = 1 ⇒ xn = Cn ⇒ Cn+1 – Cn = (n2 + n + 1). n! = (n +1)2 n! – n.n!

= (n + +1)(n + 1)! – n.n! = ∆(n.n!) .
⇒ ∆Cn = ∆(n/\.n!) ⇒ Cn = n.n! và xn = C + n.n!, xo = 1
⇒ 1 = C + 0.0! = C

⇒

xn = n.n! + 1.

Thí dụ 2. Phương trình
xn+1 = 3xn + 2.3n+1 , xo = 1 ,
có

~

∗
⇒ xn = Cn3n . Thay vào phương trình, ta được

n
x n = C3

Cn+13n+1 =Cn3n+1 + 2.3n+1
∗

⇒ ∆Cn = 2 = ∆2n ⇒ Cn = 2n và xn = 2n3n + 2n3n , xo = 1 = C

⇒ xn = 3n + 2n3n = (2n + 1)3n .
1.3.3.2. Phương pháp Grin
Xét phương trình sai phân
axn + bx n+1 = fn.
Để tìm nghiệm của phương trình trên, ta dựng hàm Grin Gn.
Trước hết ta tìm nghiệm với vế phải là
fn = δ on =

0, nếu n ≠ 0
1, nếu n = 0

δ on ký hiệu Kronecke. Ta cũng dùng ký hiệu Kronecke
0, nếu n ≠ k
n
1, nếu n = k.
δ =
k
Nghiệm của phương trình axn + bxn+1 = δ on ta ký hiệu là Gn. Như vậy
aGn + bGn+1 = δ on .

16


Nghiệm Gn (hay hàm Grin Gn) là nnghiệm cơ bản của phương trình sai
phân, vì các nghiệm riêng của nó đều biểu diễn được qua Gn.
Để giải phương trình aGn + bGn+1 = δ on , ta viết nó dưới dạng khai triển
I

: aGn + bGn+1 = 0, khi n ≤ -1

II

: aGo + bG1 = 1

III : aGn + bGn+1 = 0, khi n ≥ 1.
Giả sử Gn = 0 khi n ≤ 0, khi đó tất cả các phương trình của nhóm I đều
thỏa mãn. Từ II suy ra G1 =

1
. Các phương trình nhóm III viết lại dưới
b

dạng
Gn+1 = -

b
Gn ,
a

G1 =

1
.
b
n

1 a
Giải phương trình này ta được Gn = −  − ÷ , với n ≥ 1 .

a b
Vậy
khi n ≤ 0
0,

G n =  1  a n
− a  − b ÷ khi n ≥ 1

 
Đây là một nghiệm của phương trình sai phân. Thêm vào đó nghiệm tống
qt của phương trình thuần nhất tương ứng, ta được nghiệm tổng quát của
phương trình aGn + bGn+1 = δ on là
  a n
khi n ≤ 0
A  − ÷
  b
Gn = 
n
1  a 

÷
 A − a ÷ − b  khi n ≥ 1



17


Trong đó A là hằng số tùy ý.
Để Gn bị chặn, ta phải có điều kiện sau:

1. Nếu

a
= 1 thì với mọi giá trị A,Gn đều bị chặn khi n → ±∞.
b

2. Nếu

a
< 1, thì Gn khơng bị chặn khi n → −∞, nếu A ≠ 0. Do vậy
b

trong trường hợp này cần chọn A = 0 để Gn bị chặn, và
khi n ≤ 0
0,

G n =  1  a n
− a  − b ÷ khi n ≥ 1

 
3. Nếu

a
1
1
> 1, thì Gn bị chặn khi A - = 0 hay A =
b
a
a

Khi đó
 1  a n
, khi n ≥ 0

Gn =  a  b ÷
 
0,
khi n < 0

Bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân ax n + bxn+1 = fn
theo công thức
∗
xn =

∞

∑G

k =−∞

f

n −1 k

Nếu chuỗi hội tụ.
Thật vậy, từ cách dùng

Gn-k + BGn-k+1 = δ on−k

Với

0, nÕu n ≠ k
n
δ0 − k = 
1, nÕu n = k
*
Thay chuỗi hội tụ xn vào vế trái của phương trình sai phân, ta được

18


∞

∞

k =−∞

k =−∞

*
*
a xn + b xn+1 = a ∑ Gn−k f k + b ∑ Gn− k +1 f k
∞

= ∑ ( aGn− k + bGn−1 ) f k =
k =−∞

*
n

Chuỗi x =

∞

∑G

k =−∞

n−k

fk

∞

∑δ

k =−∞

f = fn

n
k k

(đpcm).

có thể phân kỳ, nếu khơng giả thiết gì về fk .
k

 a
Thật vậy, nếu fk =  − ÷ , thì
 b

  a n
khi n ≤ k
A  − ÷ ,
  b
G n −k f k = 
n
1  a 

÷
 A − a ÷ − b  , khi n ≥ k + 1


*
Và chuỗi xn có vơ số hạng khác không như nhau khi cố định n. Định lý
*
sau đây đảm bảo cho chuỗi xn hội tụ

Định lý. Gỉa sử

a
≠ 1, Gn là nghiệm cơ bản bị chặn và
b

mọi k. Khi đó chuỗi
∞
*= ∑ G
fk
Xn
k =−∞ n−k
sẽ hội tụ.

Chứng minh. Ta chứng minh với

a
a
> 1. Trường hợp < 1
b
b

chứng minh hoàn toàn tương tự.
Với giả thiết của định lý, mỗi số hạn của chuỗi

19

f k ≤ F với


∗
xn =

∞
∞  1 a n−k 
f
G
f = ∑  − 
∑
n−k k k =n  a  b ÷
 k


k =−∞




Có thể ước lượng trên theo giá trị tuyệt đối, bằng số hạng của cấp số nhân lùi
vô hạn:
n−k
n−k
1 a
F a
−
f ≤
.
k a b
a b÷


*
Từ đây ta suy ra chuỗi xn hội tụ và ta có ước lượng:

k −n
F ∞ b
F
x ≤
=
.
∑
a k =n a
a−b
*
n

Không tồn tại nghiệm bị chặn khác, vì mọi nghiệm đều nhận được bằng cách
n
~
Gn−k f k một nghiệm tổng quát xn = A  − a  của phương
cộng vào x = ∑

÷
 b
*
n

∞

k =−∞

~
trình thuần nhất tương ứng. Nghiệm xn phải bị chặn, vì là hiệu của hai
nghiệm bị chặn. Điều này chỉ có thể xảy ra khi A = 0.
*
Thí dụ 2. Tìm nghiệm riêng X n bằng phương pháp hàm Grin,
của phương trình sai phân
xn+1 = xn + 2n0
Giải. Ta dựng hàm Grin Gn. Do Gn là nghiệm của phương trình
Gn – Gn+1 = δ on , nên:
I :

Gn – Gn+1 = 0 khi n ≤ -1

II :

Go – G1 = 1

III :

Gn – Gn+1 = 0 khi n ≥ 1

Lấy Gn = 0 với n ≤ 0 khi đó nhóm I thoả mãn. Từ nhóm II ta có

20


G1 = -1. Từ nhóm III ⇒ Gn = -1 với n ≥ 1
Vậy
0, nÕu n ≤ 0
Gn = 
−1, nÕu n ≥ 1

( )

∞
n−1
f k = ∑ ( −1) . −2k = ∑ 2k
k =−∞
k =−∞
k =−∞
∞ 1
1
1
∗

xn = ∑
=
.
= 2n
i 2−n+1
1
Đây là chuỗi hội tụ, nên
.Trên đây đã đổi
i=−n+1 2
1−
2
*
n

Và x =

∞

∑G

n−k

ký hiệu k = -1.
Nhận xét.Ngoài hai phương pháp trên ta cịn có thể sử dụng phương pháp hệ
số bất định tức là phương pháp chọn để giải phương trình sai phân cấp 1.
1.4. Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai
Nhiều bài tốn thực tiễn dẫn về việc giải phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai. Về ngun tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành
phần, nhưng do đặc thù của nó, người ta thường xét và giải trực tiếp.

1.4.1. Định nghĩa.Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng
axn+2 + bxn+1 + cxn = fn , a ≠ 0, c ≠ 0
hay

(1)

xn+2 = pxn+1 + qxn + fn , q ≠ 0,

trong đó xn là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn; fn là hàm số của n,
Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (1) gọi là phương trình sai phân tuyến
tính cấp hai với hệ số hằng số.
Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (1) gọi là phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.

21


Nếu fn = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
tương ứng với (1):
axn+2 + bxn+1 + cxn = 0
hay

xn+2 = pxn+1 + qxn

(2)

Nếu fn ≠ 0 thì (1)gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng
thuần nhất.
1.4.2.Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp n , nghiệm tổng quát

của (1) có dạng xn =

n

*
+ xn , trong đó

n

là nghiệm của phương trình sai phân

*
tuyến tính thuần nhất (2) và xn là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1).

a. Tìm nghiệm tổng quát

n

của phương trình thuần nhất

Đặt xn = λ n Thay vào (2) ta có :
aλ2 + bλ + c = 0

(3)

Từ đó ta có các trường hợp sau:
1. Nếu phương trình đặc trưng
aλ2 + bλ + c = 0
có 2 ngiệm thực khác nhau λ1 ≠ λ2 thì
n

= A λ1n + B λ2n ,

trong đó A, B là hai hằng số tuỳ ý.
2. Nếu (3) có nghiệm thực kép λ1 =λ2 = λ thì
n

= (A + Bn)λn,

trong đó A, B là các hằng số bất kỳ.
3. Nếu (3) có nghiệm phức
(với i2 = -1, r = λ =

λ = x + iy = r (cosϕ + isinϕ),

x 2 + y 2 ;ϕ = arctg

22

y
) , thi nghiệm tổng quát
x

n


của (2) có dạng

n

= rn (Acosnϕ + Bsinnϕ)

trong đó A, B là các hằng số tuỳ ý.

Chứng minh :
1. Do

1 1
= λ2 - λ1 ≠ 0, nên λ1n và λ2n là 2 nghiệm độc lập tuyến tính
λ1 λ2

của (2) nên

n

= A λ1n + B λ2n

2. λ1 = λ2 = λ là số thực, nên un = λn là một nghiệm của (2). Ta tìm nghiệm
thứ hai của (2) là vn dưới dạng : vn = yn.λn. thay vn vào (2), ta được
a.yn+2λn+2 +

b
byn+1λn+1 +cynλn = 0
a
b
a

⇔ yn+2λ2 + byn+1λ +
Theo công thức Viet: λ1 + λ2 = 2λ = λ1. λ2 = λ2 =

c
=0
a

b
a

c
a

Nên ta được
yn+2λ2 – 2yn-1λ2 + ynλ2 = 0
⇔ yn+2 + yn = 2yn+1
vậy yn là cấp số cộng tuỳ ý. Để đơn giản, ta lấy yn = n ; n ∈N và được
vn = nλn. Vì

vn
= n ≠ cost
un

⇒ un và vn độc lập tuyến tính và

23


n

= (A + Bn)λn

với A, B là các hằng số tuỳ ý

3. Nếu (3) có nghiệm phức λ = r(cosϕ +isinϕ) thì λn sẽ là nghiệm (2).
Ta có

λn =rn (cosϕ +isinϕ)n.

Theo công thức Moavrơ ta được

λn = rn (cosϕ +isinϕ). Nếu λn là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng
là nghiệm, nên ta được 2 nghiệm un = cosϕ, vn = sinϕ.
vn
= tgnϕ ≠ cosnt.
un

này độc lập tuyến tính, vì

Hai nghiệm

Do vậy nghiệm

ũn = Acosnϕ + Bsinnϕ.
Thí dụ 1. Giải phương trình sai phân
Xn+2 =
X0 =

-8xn+1 + 9xn

2,x1 = -8

Giải. Phương trình đặc trưng λ2 + 8λ - 9 = 0, nghiệm λ1 = 1, λ2 = -9. Vậy
n

= xn = A + B (-9)n.

với

X0 = A + B =

2, x 1 = A - 9B = -8

A = B = 1, và xn = 1 + (-9)n.

Ta có

Thí dụ 2.Giải phương trình sai phân
xn+2 = 8x n+1 – 16xn
x0 = 1, x1 = 16.
λ2 -8λ +16 = 0

Giải. Phương trình đặc trưng

có ngiệm kép

λ = 4 ⇒ ũn = (1 + 3n)4n.
Thí dụ 3. Giải phương trình sai phân
Xn+2
X0

= xn+1 - xn
1
2

=1, x1 = .

Giải. Phương trình đặc trưng

λ2 - λ + 1 = 0,

24

có nghiệm

λ=

1± i 3
.
2


λ=

Với

π
π
1+ i 3
= cos + isin
3
3
2

⇒ λn = cos

nπ
nπ
+ isin
3
3

⇒ xn = Acos
Với

x0 = 1 = A, x1 =

⇒

nπ
nπ
+ Bsin
.
3
3

1
1
3
= +B
⇒ B = 0.
2
2
2

Vậy
xn = cos

nπ
.
3

∗
b. Phương pháp tìm nghiệm riêng xn

Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
Xét các trường hợp sau:
1.Trường hợp 1: fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n).
Nếu (3) khơng có nghiệm λ = 1, thì tìm
∗
xn = Qk(n)

Trong đó Qk(n) là đa thức bậc k của n.
∗
Nếu (3) có nghiệm đơn λ = 1, thì xn = nQk(n)
∗
Nếu (3) có nghiệm kép λ = 1, thì xn = n2Qk(n)
∗
Thí dụ 1. Tìm nghiệm riêng xn của phương trình sai phân

Xn+2

= -4xn+1 + 5xn + 12n + 8

Giải. Phương trình đặc trưng λ2 + 4λ - 5 = 0 có nghiệm λ = 1 và λ = -5, do
∗
vậy xn = n (an + b). Thay vào phương trình sai phân, ta được

(n + 2) [a(n + 2 ) + b] + 4(n + 1) [a(n + 1) + b] – 5n (an + b) = 12n + 8.
Cho n = -1 ⇒ a + b + 5(- a + b) = -4 ⇔ 2a – 3b = 2
Cho n = 0 ⇒ 2(2a + b) + 4(a + b) = 8 ⇔ 4a + 3b = 4.
∗
Giải hệ này, ta đựơc a = 1, b = 0 và xn = n2’

25