bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Sinh

BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC
HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Sinh

BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC
HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô : PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS. TS.
Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về những bài giảng didactic Toán
sinh động và đầy ý nghĩa.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Claude Comiti và TS. Alain Birebent về
những lời góp ý cho luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học,
Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều
kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn :
Ban Giám Hiệu cùng quí thầy cô đồng nghiệp khoa Khoa học Cơ bản trường
Đại học Công Nghiệp Thực Phẩm nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ và động viên tôi hoàn thành tốt khóa học.
Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ toán Trường Cao đẳng Bách Việt,
THPT Lê Quí Đôn, THPT Nguyễn Chí Thanh đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi tiến
hành thực nghiệm.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 20 vì những
sẻ chia trong thời gian học tập.
Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá
trình học tập của tôi.
Nguyễn Trường Sinh


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

Lời cảm ơn
Mục lục
Bảng danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1
Chương 1 PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN...... 5
1.1. Lý do tồn tại của BBT và những chướng ngại liên quan : .............................5
1.1.1. Về khái niệm hàm số.............................................................................6
1.1.2. Về khái niệm đồ thị ...............................................................................8
1.2. Vai trò của BBT trong dạy học hàm số : ......................................................22
* Kết luận ............................................................................................................. 24
Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN ............................... 27
2.1. Bảng biến thiên trong chương trình toán lớp 10 ..........................................28
2.1.1. Thời điểm xuất hiện và ý nghĩa của BBT : ............................................ 28
* Kết luận ............................................................................................................. 35
2.1.2. Các tổ chức toán học xung quanh khái niệm BBT : ............................. 36
* Kết luận: ............................................................................................................ 44
2.2. Bảng biến thiên trong chương trình toán lớp 12 ..........................................45
2.2.1.Ứng dụng của bảng biến thiên : ............................................................... 45
2.2.2.Các tổ chức toán học liên quan đến bảng biến thiên : ........................... 58
* Kết luận ..................................................................................................................... 70
Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................................... 74
3.1. Mục tiêu của thực nghiệm ............................................................................74
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm : .........................................................74
3.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) : .................................................................75
3.3.1. Các bài toán thực nghiệm ......................................................................... 75
3.3.2. Phân tích chi tiết các bài toán .................................................................. 77


3.3.2.1. Các bài toán dành cho học sinh lớp 12 – Ban KHTN ............77

3.3.2.2. Các bài toán dành cho sinh viên đại học (Toán A1) ..............87
3.4. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) : ...........................................................93
3.4.1. Các bài toán dành cho học sinh lớp 12 ...............................................93
3.4.2. Các bài toán dành cho sinh viên năm nhất ..........................................97
KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV con của KNV T : “Lập BBT của hàm số” ........ 44
Bảng 2.2. Thống kê các bài tập thuộc KNV T1SBT và T2SBT .......................................... 60
Bảng 2.3. Thống kê các bài tập thuộc KNV T CT .......................................................... 62
Bảng 2.4. Thống kê các bài tập thuộc KNV TGT .......................................................... 65
Bảng 2.5. Thống kê các bài tập thuộc KNV TVDT ........................................................ 69
Bảng 2.6. So sánh vai trò của BBT với bảng giá trị và đồ thị của hàm số ................ 71
Bảng 2.7. Tóm tắt sự tiến triển của BBT ở cấp đại học và phổ thông ........................ 72
Bảng 3.1. Thống kê các lời giải bài 1 của học sinh....................................................... 94
Bảng 3.2. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh....................................................... 95
Bảng 3.3. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh....................................................... 96
Bảng 3.4. Thống kê các lời giải bài 1 của học sinh....................................................... 97
Bảng 3.5. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh....................................................... 98
Bảng 3.6. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh....................................................... 98


DANH MỤC VIẾT TẮT
GK NC10

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 10 hiện hành

GK NC12

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

BT NC10

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 10 hiện hành

BT NC12

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

GV NC10

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 10 hiện hành

GV NC12

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

BBT

: Bảng biến thiên

KSHS

: Khảo sát hàm số

GTLN

: Giá trị lớn nhất

GTNN

: Giá trị nhỏ nhất

THPT

: Trung học phổ thông

KNV

: kiểu nhiệm vụ


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
KSHS là bài toán khá quen thuộc đối với học sinh phổ thông trung học. Bài
toán này xuất hiện ngay từ năm học đầu tiên của chương trình THPT và còn được
nghiên cứu liên tục trong những năm tiếp sau đó. Trong các đề thi tốt nghiệp THPT
và thi tuyển vào đại học thì nó là câu bắt buộc phải có và luôn xuất hiện ở đầu. Điều
đó cho thấy tầm quan trọng của KNV này trong chương trình môn toán ở trường
phổ thông.
BBT là công cụ hỗ trợ đắc lực cho vấn đề KSHS và các bài toán có liên quan
đến hàm số. Chẳng hạn, học sinh có thể sử dụng BBT để khảo sát sự biến thiên, tìm
GTLN, GTNN của hàm số, tìm m để phương trình có nghiệm, tìm miền giá trị của
hàm số …
Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp khó khăn khi sử dụng BBT trong
giải toán. Chẳng hạn, với bài toán “Sử dụng bảng biến thiên tìm cực trị của hàm số

x3
sau : f ( x ) = − m 2 x + 5 ”. Hầu hết học sinh không xét hết các trường hợp của
3
tham số m. Sau đây là bài giải của một học sinh lớp 12 :
“Giải.
Tập xác định : D = 
Ta có :

f ' ( x=
) x2 − m2

Từ đó :

f '( x ) =
0⇔ x=
−m hoặc x = m

Bảng biến thiên :

x
−∞
f '( x )
f ( x)

−∞

+

−m
0

f ( −m )

−

m
0

+∞
+
+∞

f ( m)

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Vậy hàm số đạt cực đại tại x = − m , f ( − m )=

2 3
m + 5 và đạt cực tiểu tại
3

2
− m3 + 5 ”
x = m , f ( m) =
3
* Bình luận
Đối với học sinh THPT, việc so sánh hai số thực là dễ dàng Tuy nhiên, so
sánh hai giá trị có chứa tham số (số kí hiệu bằng chữ) thì học sinh gặp rất nhiều khó
khăn. Vì vậy, việc so sánh để sắp thứ tự các điểm tới hạn trong BBT cũng gây ra

không ít khó khăn cho học sinh. Hệ quả là học sinh thường cho đáp án sai hoặc
không xét đầy đủ các trường hợp của tham số trong một số bài toán có liên quan
đến việc sử dụng BBT.
Trong bài giải trên, học sinh đã cho rằng m > − m với mọi m . Tuy nhiên
điều này chỉ đúng khi m > 0 . Có thể nhận thấy em học sinh này đã không xét đầy
đủ các trường hợp của tham số m. Cụ thể là cần xét thêm m < 0 và m = 0 .
Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này ? Còn những sai lầm nào khác ở học
sinh khi sử dụng BBT trong giải toán không ? Những sai lầm đó có nguồn gốc từ
đâu ?
Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã quyết định lựa chọn chủ đề :
“Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT” làm đề tài luận văn thạc sĩ của
mình.
Mục tiêu của luận văn là làm rõ những vấn đề sau đây :
-

Khái niệm BBT được đưa vào như thế nào ở chương trình THPT ? Nhằm

mục đích gì ? Có được định nghĩa rõ ràng không ? Những khái niệm toán học nào
có mối liên hệ với BBT ?
-

Những dạng toán nào liên quan đến sử dụng BBT ? Chúng được phát triển ra

sao qua các cấp lớp, bậc học ? Những sai lầm nào thường gặp ở học sinh khi giải
quyết các bài toán gắn liền với khái niệm này ? Những sai lầm này là do đâu ?

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


-

Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm BBT

trong chương trình và sách giáo khoa hiện hành (kết quả lựa chọn của hệ thống dạy
học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm BBT và việc giải quyết
các dạng toán có liên quan đến khái niệm này ?
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Các khái niệm về Lý thuyết nhân chủng học (như : tổ chức toán học, quan hệ
thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế
với khái niệm BBT) và khái niệm hợp đồng didactic được chúng tôi sử dụng để
phục vụ cho nghiên cứu của mình. Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh
những yếu tố một mặt là cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I (thể chế dạy học
toán ở THPT) và quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm BBT, mặt khác là
những quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến BBT.
Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi
trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :
Q 1 : BBT là gì ? Nó được đưa vào trong tình huống nào ở bậc đại học? Những
kí hiệu trong BBT có liên quan đến những khái niệm toán học nào ? Có những
chướng ngại nào liên quan đến việc lĩnh hội và sử dụng BBT ?
Q 2 : Mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT được xây dựng và tiến triển ra
sao trong thể chế dạy học ở phổ thông ? Đặc trưng của những tổ chức toán học
nào gắn liền với khái niệm BBT ? Chúng xuất hiện ra sao ?
Q 3 : Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối
quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm BBT ? Những quy tắc hành động,
những quan niệm nào tạo ra các sai lầm của học sinh khi sử dụng BBT trong
giải toán ?

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q 1 , Q 2 , Q 3 và Q 4 được nêu ra ở mục 2,
chúng tôi đã lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp và xác định những nhiệm
vụ cần thực hiện sau :
Trước tiên chúng tôi tham khảo một số giáo trình đại học và các luận văn
Didactic Toán, sách giáo khoa toán phổ thông và một số tài liệu tham khảo để tìm
hiểu cụ thể khái niệm BBT là gì ? Mục đích đưa vào khái niệm này để làm gì ? Có
những chướng ngại gì trong việc lĩnh hội và sử dụng khái niệm này. Việc nghiên
cứu này sẽ giúp chúng tôi hiểu được nguồn gốc của những chướng ngại khoa học
luận gắn liền với BBT. Từ đó, chúng tôi dự đoán được những sai lầm chủ yếu mà
học sinh thường phạm phải liên quan đến việc học khái niệm này. Những kết quả
thu được cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q 1 và được trình bày trong chương 1:
“PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN”
Để có được câu trả lời cho câu hỏi Q 2 và Q 3 , chúng tôi sẽ nghiên cứu mối
quan hệ thể chế I với BBT, vạch rõ cuộc sống của BBT trong thể chế. Nghĩa là,
chúng tôi sẽ chỉ ra sự tiến triển của BBT trong toàn bộ chương trình toán THPT,
những mong đợi của thể chế, những quy tắc hợp đồng và những sai lầm chủ yếu của
học sinh liên quan đến BBT. Tất cả phần này chúng tôi sẽ trình bày trong
chương 2 : “MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN”. Từ đó,
chúng tôi sẽ đưa ra những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic liên quan đến
khái niệm BBT.
Để kiểm chứng cho những giả thuyết nghiên cứu của mình, chúng tôi sẽ tiến
hành hai thực nghiệm, một trên lớp 10 và một trên lớp 12. Chúng tôi sẽ trình bày
phần này trong chương 3 : “NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM”
Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt lại các kết quả đã nghiên cứu được và
nêu ra một số hướng có thể nghiên cứu tiếp từ luận văn này.

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT

Chương 1
PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau :
Q 1 : BBT là gì ? Nó được đưa vào trong tình huống nào ở bậc đại học? Những kí
hiệu trong BBT có liên quan đến những khái niệm toán học nào ? Có những chướng
ngại nào liên quan đến việc lĩnh hội và sử dụng BBT ?
1.1. Lý do tồn tại của BBT và những chướng ngại liên quan :
Mỗi BBT gắn liền với hai khái niệm quan trọng là hàm số và đồ thị hàm số.
Do đó để nghiên cứu về BBT cần thiết phải bắt đầu từ việc tìm hiểu về hai khái
niệm đó. Tiếp đến chúng tôi xác định mối quan hệ giữa BBT với hai khái niệm đó
và đưa ra lý do tồn tại và ý nghĩa của BBT. Đồng thời xem xét có những chướng
ngại nào liên quan việc hiểu và sử dụng BBT. Cụ thể chúng tôi sẽ cố gắng trả lời
những câu hỏi sau :
1. Hai khái niệm hàm số và đồ thị có những đặc trưng cơ bản nào về mặt
khoa học luận và sư phạm ?
2. BBT là gì ? Nó có vai trò và ý nghĩa thế nào đối với hai khái niệm trên ?
Có những chướng ngại gì gây trở ngại cho việc hiểu và sử dụng BBT ? Kiểu sai lầm
nào học sinh có thể gặp khi sử dụng BBT ?
Để trả lời cho những câu hỏi nêu trên chúng tôi đã tham khảo một số tài liệu
sau :
1. Lê Thị Hoài Châu (2002), “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số”, Báo
Toán học và Tuổi trẻ, (số 8/2002). [3]
2. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận
và didatic, Luận văn thạc sĩ khoa học. [5]
3. Nguyễn Viết Đông (1998), Toán cao cấp tập 1, NXB giáo dục. [8]
4. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị
Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 1,
NXBGD. [17]

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT

5. Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong
qua phương trình của nó, Luận văn Thạc Sĩ. [22]
6. Margaret L.Lial (Fourth Edition, 1992), Finite Mathematics and Calculus
with Applications, Harper Collins College Publishers. [25]
7. Finney Thomas (Second Edition, 1994), Calculus, Addison Wesley
Publishing Company, New York. [26]
8. BLOCH, I. (2000) Un milieu graphique pour I’apprentissage de la notion
de fonction au lycée, Petit x, no 58, 25-46. [27]
9. COMIN, E. (2005). Variables et fonctions, du collège au lycée : méprise
dedactique ou quiproquo interinstitutionnel, Petit x, no 67, 33-61.
[28]
10. [29]
1.1.1. Về khái niệm hàm số
Khái niệm hàm số đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Đặc biệt nó là
một trong những đối tượng nền tảng trong lĩnh vực nghiên cứu, phân tích toán học.
Sự tiến triển lịch sử của khái niệm này thì phức tạp và đã được phân tích trong
nhiều nghiên cứu. Vì vậy, chúng tôi sẽ không trở lại vấn đề này, nhưng ở đây chúng
tôi sẽ đưa ra dẫn chứng một số tài liệu liên quan đến khái niệm hàm số và quan
niệm về nó để xác định rõ hơn mục tiêu nghiên cứu của mình.
Khái niệm hàm số được nêu trong Từ điển Bách khoa phổ thông toán học,
[17-tr.324], như sau :
“Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ
thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên
khác.
Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất
rộng. Đó có thể là danh số, là số trừu tượng, là một vài số (tức là điểm trong
không gian) và - nói chung - là phần tử của một tập hợp bất kì”.
Như vậy, chính sự phụ thuộc giữa các đại lượng biến thiên đã xây dựng nên

các khái niệm hàm số và biến số. Các khái niệm này khá trừu tượng, phức tạp và

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


tồn tại khắp nơi quanh ta như : Nhiệt độ của nước là đại lượng phụ thuộc vào điều
kiện môi trường và khí hậu, hiệu điện thế giữa hai đầu dây dẫn là đại lượng phụ
thuộc vào cường độ dòng điện đi qua dây dẫn, quãng đường đi của một vật rơi tự do
là đại lượng phụ thuộc vào thời gian, diện tích hình tròn là đại lượng phụ thuộc vào
vào bán kính của đường tròn đó.
Trong trường hợp đơn giản, khi đại lượng là số thực, khái niệm “hàm số”
được quyển tự điển nói trên, [17-tr.324], định nghĩa như sau : “Giả sử với mỗi số x
của tập hợp cho trước E các số thực, có tương ứng một số y, kí hiệu là y = f ( x )
(đọc : y bằng ef của x). Như vậy, ta bảo rằng trong tập hợp E, đã cho hàm số

y = f ( x ) ”. Khái niệm về hàm số được hình thức hóa bằng liên kết mỗi phần tử của
tập hợp này với một phần tử duy nhất của tập hợp khác. Phương pháp tiến hành này
khá mơ hồ, chẳng hạn như : không thể xác định được bản chất của biến số và hình
thức liên kết giữa biến số với giá trị của hàm số như thế nào cả. Theo Comin
(2005), phần lớn học sinh phổ thông chưa sẵn sàng tiếp nhận một cách dạy hình
thức về khái niệm hàm số. Vậy, cách tiếp cận nào sẽ đem lại hiệu quả tốt nhất có thể
cho việc dạy học về hàm số ?
Ở thời kỳ toán học Babylon, người ta tìm thấy các bảng bình phương, lập
phương và nghịch đảo của các số tự nhiên mà theo quan điểm toán học hiện đại thì
những bảng này định nghĩa các hàm số từ tập  vào  . Các bảng này cung cấp
một số giá trị của các hàm f (=
n ) n2 , f =
n)
( n ) n3 , f (=

1
, n ∈  . Chúng là những
n

hàm không liên tục. Trong đó, f ( n ) = n 2 và f ( n ) = n3 là những hàm tăng trên  ,

f (n) =

1
là hàm giảm trên  . Như vậy, dù chưa có khái niệm về hàm số ở thời kỳ
n

này nhưng khái niệm này đã tồn tại một cách không chính thức dưới dạng các bảng,
và với góc nhìn của toán học hiện đại thì chúng là các bảng giá trị của hàm. Phạm vi
của biến số được xác định rõ là tập hợp các số tự nhiên. Trường hợp mở rộng
n ∈  , các bảng giá trị trên chỉ cung cấp một số giá trị hữu hạn, rời rạc và chưa thể

hiện được sự biến đổi liên tục giữa các đại lượng trong hàm.

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Lý do nêu ra vấn đề trên là do chúng tôi tìm thấy đoạn trích dẫn liên quan
đến bảng giá trị của hàm trong [17-tr.326] như sau : “Trong phương pháp cho hàm
bằng bảng số, mỗi trị của đối số được xếp tương ứng với trị của hàm. Phương pháp
cho hàm này thường dùng trong các trường hợp mà miền xác định gồm một số hữu
hạn trị số (bảng giá các mặt hàng, bảng kết quả xổ số, v.v.)”. Như vậy, đối với một
hàm, một bảng giá trị đưa ra một mẫu các cặp giá trị được tạo thành bởi một giá trị
của biến số với giá trị hàm tương ứng. Vì vậy, nó biểu hiện một phần (trừ trường
hợp rất đặc biệt của một hàm chỉ gồm một tập hợp hữu hạn các cặp giá trị) của

tương ứng giữa biến và ảnh của nó. Do đó, nó cung cấp cái nhìn hữu hạn cho cái gì
đó (sự biến thiên liên tục) thường là vô hạn. Ngoài ra, một bảng giá trị không có lý
do gì để chứa các giá trị đặc biệt như giá trị cực đại, giá trị cực tiểu. Trong nghĩa
này, bảng giá trị biểu hiện hàm số theo một cách rất riêng và tùy tiện. Tóm lại, một
bảng giá trị không cho phép xác định hàm số của nó.
Trong công trình nghiên cứu của mình, Comin (2005) đã nêu lại khái niệm
về hàm số của Leibniz (1646-1716), chữ “Hàm số” chỉ một mối quan hệ giữa các
đại lượng biến đổi được liên kết với nhau theo một quy luật. Với cách tiếp cận này,
hàm số là sự kết hợp của hai tập hợp được mô hình hóa bằng một đồ thị, loại bỏ sự
gò bó giữa hai đại lượng. Vậy, liệu có thể xác định được hàm số từ đồ thị của nó ?
1.1.2. Về khái niệm đồ thị
Khái niệm về đồ thị được trích từ [17-tr.356] như sau :
“Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông
góc ( x, y ) trong đó y = f ( x ) là hàm của x trong miền xác định E của hàm.
Ở đây y = f ( x ) là hàm của một biến x ”
Phương pháp cho hàm số bằng đồ thị khá phổ biến và được sử dụng rộng rãi
trong thực tiễn. Chẳng hạn, người ta thường nghiên cứu sự biến thiên của một đại
lượng này theo một đại lượng khác từ nhữngđường cong ghi nhận được bằng các
dụng cụ riêng.

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Nói về ứng dụng của đồ thị, Tự điển bách khoa phổ thông Toán học (tập 1)
trang 361 có viết : “Đồ thị của hàm thường được sử dụng để giải gần đúng các
phương trình (thí dụ, f ( x ) = 0 ở các điểm x1 , x2 và x3 , x.h.13), các hệ phương
trình và bất phương trình. Thí dụ, khi giải phương trình dạng f ( x ) = g ( x ) , người
ta dựng đồ thị các hàm y = f ( x ) và y = g ( x ) . Hoành độ các giao điểm của hai đồ
thị là nghiệm của phương trình (x.h.14). Các phần nào của trục Ox, mà đồ thị

y = f ( x ) nằm cao hơn đồ thị y = g ( x ) , chính là nghiệm của bất đẳng thức

f ( x ) > g ( x ) ; trên h.14, đó là các khoảng ( x1 , x2 ) và ( x3 ; +∞ ) .”. Tuy rằng chúng ta
chỉ giải được gần đúng các phương trình và bất phương trình khi sử dụng đồ thị của
các hàm số nhưng dẫu sao những kết quả có được cũng khá quan trọng. Hơn nữa đồ
thị phản ánh trực quan dáng điệu định tính của hàm, và vì vậy nó được xem là
phương tiện quan trọng để nghiên cứu hàm.
Để vẽ đồ thị của hàm số, [8-tr.161] đưa ra quy trình sau :
“Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự sau đây :
1. Tìm tập xác định của f
2. Xét chiều biến thiên : tìm khoảng tăng, giảm của hàm số
3. Tìm cực trị (nếu có)
4. Xét khoảng lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có)
5. Tìm tiệm cận (nếu có)
6. Lập bảng biến thiên
7. Vẽ đồ thị
Trong nhiều trường hợp, để việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý
phát hiện các đặc điểm của hàm số như tính chẵn lẻ, tuần hoàn.”
Như vậy, để vẽ đồ thị của hàm số cần thực hiện các bước theo trình tự trên.
Từ quy trình này, chúng tôi đặt ra những câu hỏi sau : BBT là gì ? Có được định
nghĩa trước khi đưa ra quy trình khảo sát hàm số không ? Nó có vai trò gì trong quy
trình này ?

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Xem xét toàn bộ nội dung giáo trình [8], chúng tôi không tìm thấy một dấu
hiệu nào về việc định nghĩa BBT cả. Đặc biệt hơn, việc lập BBT như thế nào và có
ý nghĩa gì trong quy trình trên cũng không được đề cập. Điều này càng khiến chúng
tôi băn khoăn hơn về vai trò của BBT trong việc dựng đồ thị của hàm số.

Để tìm hiểu rõ hơn về vai trò của BBT, chúng tôi tham khảo thêm [17]. Để
dựng đồ thị của hàm số, [17-tr.357] viết :
“Để dựng đồ thị của hàm f ( x ) cho bằng giải tích (công thức), thường sử
dụng các tính chất sau đây của nó :
1) Tìm miền xác định của hàm.
2) Trong miền xác định, tìm các khoảng trong đó hàm là liên tục, có đạo
hàm bậc nhất, bậc hai.
3) Khảo sát dấu các đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của
hàm, các khoảng lồi và lõm, các điểm cực đại và cực tiểu cùng các điểm
uốn.
4) Khảo sát dáng điệu của hàm khi đối số dần tới các điểm biên trong miền
xác định, đặc biệt là tìm các giới hạn của hàm và các đường tiệm cận,
nếu có.
5) Tìm trị của hàm tại các điểm cực đại, cự tiểu, tại các điểm uốn và thêm
vài điểm khác nữa, theo mức độ chính xác cần phải đạt khi dựng đồ thị
của hàm.
Khi dựng đồ thị của hàm cần chú ý các tính chất đã khảo sát được ấy”
Ở quy trình trên, không xuất hiện bước lập BBT trong việc dựng đồ thị của
hàm số. Phải chăng khi dựng đồ thị không nhất thiết phải lập BBT ? Vậy [8] đưa
vào bước lập BBT nhằm mục đích gì ?
Liên quan đến khái niệm BBT, chúng tôi tìm được và lược dịch phần định
nghĩa về BBT trong [30] như sau : “Định nghĩa : Một bảng biến thiên chỉ (cho biết)
chiều biến thiên của một hàm số trên mỗi khoảng, tức là, hàm số hoặc tăng hoặc
giảm hoặc không đổi (không tăng, không giảm).”. Rõ ràng, định nghĩa này không

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


cụ thể, dường như chỉ là nêu chức năng của BBT. Như vậy, với một BBT người ta
có thể đọc được những thông tin gì chứa trong nó ?

Nhằm xác định rõ hơn về chức năng và lý do tồn tại của BBT, chúng tôi xem
xét ví dụ minh họa sau trong [8-tr.163] :
“Để minh họa cho các bước khảo sát, ta xét hàm số :

=
f ( x)

x3
x−a

( a > 0)

…
Từ các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau đây :

”
Qua quan sát, chúng tôi nhận thấy hầu hết những tính chất của hàm số khảo
sát ở các bước trước đó được tóm tắt và thể hiện trong BBT. Cụ thể dòng thứ nhất là
đặt thứ tự các điểm tới hạn (các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không
xác định) tăng dần từ trái sang phải trên trục số , dòng thứ hai và thứ ba lần lượt thể
hiện dấu của đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai của hàm số trên các khoảng chia
bởi các điểm tới hạn. Dòng cuối cùng thể hiện hàm số đồng biến (tương ứng

f ' ( x ) > 0 ) trên một khoảng bằng một mũi tên đi lên từ trái sang phải và ngược lại,
hàm số nghịch biến (tương ứng f ' ( x ) < 0 ) trên một khoảng bằng một mũi tên đi
xuống từ trái sang phải, giới hạn của hàm số ở vô cực hoặc tại các điểm tới hạn, giá
trị cực trị của hàm số. Như vậy, BBT là bảng tóm tắt một số tính chất của hàm số.
Để hiểu rõ hơn chức năng của BBT, chúng tôi lược dịch luận án của Bloch
(2000) về BBT như sau : “Bảng biến thiên chỉ có chức năng là một chuyển tiếp giữa
hàm và trình bày đồ thị của nó. Theo truyền thống, đó là một công cụ để tóm tắt

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


(một loại tốc ký) nghiên cứu các dấu hiệu của đạo hàm, trước khi chuyển đến trình
bày đồ thị..”. Như vậy, quan sát BBT có thể nhận biết dấu của đạo hàm trên các
khoảng và sự biến thiên của hàm số qua các kí hiệu mũi tên. Do đó, bảng này thể
hiện trực quan hình dáng đồ thị của nó, nên có nó việc dựng đồ thị sẽ dễ dàng hơn.
Với vốn từ vựng thích hợp (các dấu cộng, trừ, các giá trị số, các mũi tên, …)
hay một BBT, đối tượng hàm số được xác định bởi một đường cong. Đó là đồ thị
tương thích với một BBT. Như vậy, ngoài việc lập lại ý tưởng của một hàm số được
xác định bằng một đường cong, chúng tôi nhận thấy ở đây BBT có khả năng trở
thành một đối tượng nghiên cứu. Dù sao nó được coi là một cách thể hiện (một phần
nào) của hàm số.
Trở lại vấn đề vẽ đồ thị của hàm số, [17-tr.357] có đoạn viết :“Để dựng được
đồ thị của hàm số cần vẽ “ đường cong ” là tập hợp các điểm có tọa độ ( x, y ) liên
hệ với nhau bởi hệ thức y = f ( x ) , x thuộc tập E. Nói một cách chặt chẽ, dựng đồ
thị chính xác của một hàm là điều không thể làm được, bởi vì mọi hình ảnh hình
học của điểm, đoạn thẳng, đường cong, .v.v. chỉ có thể vẽ gần đúng mà thôi. Vì vậy,
hình vẽ thật ra cũng chỉ là phác họa của đồ thị. Nhưng nếu đường cong được vẽ đủ
chính xác thì người ta cũng gọi là đồ thị của hàm số”
Với phần trích dẫn trên, chúng ta khẳng định vẽ một đường cong đi qua
chính xác vô hạn các điểm ( x, f ( x ) ) là điều không thể. Điều đó cũng có nghĩa là
đường cong được vẽ dựa vào BBT không cho một đồ thị chính xác của hàm số.
Người ta có thể chọn một cách vẽ đồ thị đơn giản như trong [5-tr.357] :
“Phương pháp đơn giản nhất là dựng đồ thị của hàm theo từng điểm một. Cụ
thể là : cho đối số một vài trị, tìm các trị tương ứng của hàm, đánh dấu các điểm
tương ứng, sau đó vạch đường cong đều đi qua các điểm ấy. Bằng cách ấy, người ta
đã vẽ, chẳng hạn, đủ loại đường cong thực nghiệm sau khi tiến hành một số thí
nghiệm”

Việc dựng đồ thị theo cách trên chính là sử dụng bảng giá trị của hàm số để
vẽ đồ thị. Nếu đi từ một bảng giá trị, với bản chất là hữu hạn, sẽ có một số lượng vô

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


hạn hàm số có thể đáp ứng nó. Trong bối cảnh đồ thị, điều này cho phép có nhiều
chọn lựa khác nhau để nối nhiều điểm được cho từ một bảng giá trị. Về mặt lý
thuyết, nếu sự biến đổi là vô hạn, trong thực hành, vẽ đồ thị theo cách này chỉ có thể
chính xác ở một số hữu hạn điểm đã cho, nhưng sẽ không thể hiện chính xác đồ thị,
thậm chí là sai lệch hoàn toàn về sự biến thiên của hàm số. Bởi hàm số xác định,
liên tục trong một khoảng nào đó thì biến thiên liên tục trên khoảng đó. Do đó, ta
không thể kiểm soát hàm số tăng hay giảm như thế nào trong một khoảng giữa hai
điểm được. Chẳng hạn, xét hàm số : y =

11x + 2
, có bảng giá trị là :
2 x3 − 1

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

0.56

1.18

3

-2

13

1.6

0.66

Nối các điểm được cho trong bảng giá trị trên sẽ cho ta một đồ thị không
chính xác. Cụ thể, nếu dựa vào bảng giá trị trên để vẽ đồ thị thì hàm số giảm (đồ thị
đi xuống) trong khoảng ( −1;0 ) . Nhưng thực tế đồ thị hàm số lại không hoàn toàn đi
xuống trong khoảng ( −1;0 ) .

Đồ thị của hàm số y =

11x + 2
2 x3 − 1

So với bảng giá trị, việc dựa vào BBT để xây dựng đường cong biểu diễn
cho đồ thị của hàm số sẽ thể hiện chính xác sự đơn điệu của nó trên các khoảng.
Tuy nhiên, việc thực hành vẽ một đường cong biểu diễn một số điểm cho trong
bảng giá trị là phổ biến trong nhiều lĩnh vực mà chương trình dạy toán rất khó gạt

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


bỏ. Thực tế, ở cấp trung học cơ sở học sinh đã quá quen thuộc với bảng giá trị xuất
hiện trong toán học cũng như trong các ngành khác hoặc những tình huống thường
nhật bên ngoài trường học. Học sinh thường được yêu cầu vẽ đồ thị từ dữ liệu của
một bảng giá trị, bằng cách chấm các điểm được cho trên hệ trục tọa độ Descartes
rồi nối các điểm này theo thứ tự từ trái sang phải, thường bằng những dòng phân
đoạn. Chẳng hạn, chương trình vậy lý lớp 9 hiện hành, trong bài 1 “Sự phụ thuộc
của cường độ dòng điện vào hiệu điện thế giữa hai đầu dây dẫn”, học sinh được
yêu cầu dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của I vào U và từ đồ thị đó suy ra một
số giá trị. Đồ thị này biểu diễn sự phụ thuộc tuyến tính của hai đại lượng I và U nên
nó là một đường thẳng.
Như vậy, ở đầu lớp 10 bảng giá trị chưa có vấn đề gì đối với học sinh trong
việc dựng đồ thị. Mối liên kết giữa bảng giá trị với đường cong đã được thực hiện,
nhưng không nhất thiết phải liên kết với ý tưởng về hàm, còn chưa rõ ràng trong
đầu học sinh. Những kinh nghiệm khác nhau về bảng giá trị chắc chắn đã định dạng
việc trình bày đồ thị. Do đó, việc trình bày đồ thị của hàm số dựa vào BBT, trong
khi mà nó vẫn xuất hiện cùng với một số cặp giá trị, học sinh có thể thực hiện theo
quy tắc là nối các điểm bởi những đường phân đoạn. Theo luận văn thạc sỹ Bùi
Anh Tuấn (2007) thì tồn tại hai quy tắc hợp đồng trong việc dựng đồ thị hàm số :
“Quy tắc 1 : “Đối với học sinh lớp 11, dựng đồ thị là vẽ những điểm đặc biệt
rồi nối chúng lại với nhau”;
Quy tắc 2 : “Đối với học sinh lớp 12, dựng đồ thị phải dựa trên bảng biến

thiên lập được bằng công cụ đạo hàm”.”
Như vậy, nếu không được hướng dẫn và giải thích một cách đầy đủ về các ký
hiệu mũi tên có trong BBT, việc dựng đồ thị của hàm số sẽ là dựng các đoạn thẳng
tương ứng với các mũi tên trên mỗi khoảng. Khi đó, đồ thị hàm số được dựng dựa
vào một BBT chẳng khác gì một bảng giá trị; điều này có thể dẫn đến quan niệm chỉ
tồn tại một đồ thị duy nhất tương thích với một BBT. Hơn nữa, từ thực tế “mỗi hàm
số chỉ có một đồ thị và BBT duy nhất” có thể đã hình thành ở học sinh mối quan hệ
một – một giữa biểu thức hàm số, BBT và đồ thị của nó. Khi đó, điểm khác biệt

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


giữa BBT với bảng giá trị trong việc dựng đồ thị chủ yếu là nó chứa những điểm
đặc biệt (điểm cực trị) nên thể hiện đúng sự biến thiên của hàm số.
Mặt khác, học sinh chưa bao giờ vẽ hơn hai đường biểu diễn cho đồ thị của
hàm số từ một BBT cả. Do đó, quan niệm có nhiều đồ thị tương thích với một BBT
rất khó tồn tại trong đầu học sinh. Ngược lại, nếu tồn tại nhiều hơn một đồ thị tương
thích với một BBT thì học sinh sẽ phải lựa chọn đường cong nào là hợp lý ? Hơn
nữa, một đồ thị tương thích với một BBT thì nó là đồ thị của biểu thức hàm số nào ?
Ở đây, vấn đề được quan tâm là học sinh làm thế nào biết được đồ thị của hàm số,
chẳng hạn y = x 2 không trông giống như một trong những đường cong dưới đây ?

Câu trả lời được tìm thấy trong [26-tr.219] : “Đồ thị của hàm khả vi

y = f ( x ) có phần lõm hướng lên trên khoảng y ' tăng và có phần lõm hướng
xuống trên khoảng y ' giảm”. Điều này thật có ý nghĩa trong việc dựng đồ thị. Thật
vậy, trong tất cả các đường cong thỏa mãn sự đơn điệu của hàm số thì đường cong
thể hiện đúng tính lồi lõm của nó có thể xem là đồ thị hợp lý nhất. Như vậy, dấu của
đạo hàm cấp hai trong BBT cho biết hàm đạo hàm y ' tăng hay giảm trên những
khoảng nào, sẽ cung cấp thông tin về các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số. Để rõ

ràng hơn, chúng tôi đưa ra hai trích dẫn sau :
“Định lí :
Cho f khả vi cấp hai trên a, b . Khi ấy f ( x ) lõm (lồi) trên a, b
khi và chỉ khi f " ( x ) ≥ 0 ( f " ( x ) ≤ 0 ) , ∀x ∈ a, b ” [8-tr.159,160]
hoặc :

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


“Đồ thị của hàm khả vi y = f ( x ) có phần lõm hướng lên trên khoảng y '
tăng và có phần lõm hướng xuống trên khoảng y ' giảm” [26-tr.219]
Do đó, nếu chỉ dựa vào sự biến thiên của hàm số được thể hiện trong một
BBT mà không quan tâm đến tính lồi lõm sẽ làm giảm tính chính xác của đường
cong biểu diễn cho đồ thị của nó. Nói cách khác, dấu đạo hàm cấp hai của hàm số
được ghép chung trong BBT sẽ cho ta hình dung chính xác hơn hình dáng đồ thị của
hàm số.
Ngoài ra, theo các trích dẫn trên khi dựng đồ thị của hàm số cũng cần lưu ý
đến tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn của hàm số. Vậy, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn của
hàm số có ý nghĩa gì với việc dựng đồ thị ?
Tự điển bách khoa phổ thông toán học 1, có đoạn viết :
“Miền xác định của hàm chẵn luôn đối xứng qua điểm x = 0 . Đồ thị hàm
chẵn đối xứng qua trục tung.” [17-tr.374]
Và :
“ Miền xác định của hàm lẻ đối xứng qua điểm x = 0 . Đồ thị hàm lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ.” [17-378]
Đoạn trích cho thấy việc xác định tính chẳn lẻ của hàm số sẽ giúp cho việc
dựng đồ thị của hàm số được dễ dàng hơn. Hơn nữa, do tính đối xứng của đồ thị
hàm số chẵn và hàm số lẽ nên có thể chỉ cần khảo sát, lập BBT và vẽ đồ thị của hàm
số trên khoảng ( 0;+∞ ) hoặc khoảng ( −∞;0 ) rồi suy ra khoảng còn lại.
Để tìm hiểu mối liên hệ giữa tính tuần hoàn với quy trình dựng đồ thị của

hàm số, chúng tôi tham khảo ví dụ sau trong [8-tr.167] :
“Ta khảo sát và vẽ đường cong cho bởi hệ phương tham số

 x = a.cos3 t
, t ∈ ( −∞; +∞ ) , a > 0

3
 y = a.sin t
[…]

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Rõ ràng x, y được xác định với mọi t và x, y không vượt ra ngoài đoạn

[ −a; a ] nên đường cong không có tiệm cận. Ngoài ra

x, y tuần hoàn với chu

kì 2π , do đó ta chỉ cần khảo sát đường cong đã cho khi t ∈ [ 0;2π ]
[…]

”
Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy để vẽ đồ thị các hàm số tuần hoàn chỉ
cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ của nó. Nghĩa là, chỉ cần lập BBT trên một chu kỳ của
hàm số. Tuy nhiên, cần xem xét thêm về việc chọn lựa điểm bắt đầu cho chu kỳ
khảo sát.
Một ví dụ khác trong [8-tr.173] về khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
“Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình r = a sin 3ϕ :
[…]

Ở đây r là hàm số tuần hoàn với chu kì

2π
, vì thế ta chỉ cần khảo sát nó
3

 π π
trong khoảng  − ,  . Hơn nữa r là hàm lẻ nên ta cũng chỉ cần khảo sát trong
 3 3
 π
0, 3 
[…]

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


”
Rõ ràng, nếu dựa vào tính tuần hoàn và tính chẵn lẽ có thể giúp cho việc
khảo sát được thu hẹp trên khoảng nhỏ nhất nhưng đủ để dựng được đồ thị của một
hàm số. Vấn đề là làm thế nào để xác định được hàm số có tuần hoàn và cách xác
định chu kỳ của nó ra sao cần được hướng dẫn rõ hơn trong thực hành. Ở đây,
chúng tôi không thấy đề cập đến vấn đề này. Phải chăng việc xác định những vấn đề
này đã được biết từ phổ thông ?
Đối với một BBT, chúng tôi có một số câu hỏi sau : Những kí hiệu nào có
thể xuất hiện trong một BBT ? Chúng có ý nghĩa gì ? Có những chướng ngại nào
liên quan đến việc hiểu các kí hiệu này ? Chúng có ảnh hưởng gì đến việc sử dụng
BBT để giải toán ?
Đầu tiên, chúng tôi tìm hiểu về dấu hai gạch. Qua BBT của hàm số

f ( x) =

x3
(với a > 0 ), chúng tôi nhận thấy dấu hai gạch trong BBT có nghĩa
x−a

là không tồn tại hay không xác định. Nếu nó biểu thị cho đạo hàm tại một điểm thì
đạo hàm không tồn tại tại điểm đó; nếu nó biểu thị cho hàm số tại một điểm thì hàm
số không xác định tại điểm đó.
Trường hợp đạo hàm không tồn tại tại một điểm thì hàm số có thể liên tục
hoặc gián đoạn tại điểm này. Tuy nhiên, hàm số không xác định tại một điểm thì
hàm số sẽ không liên tục tại điểm đó. Ngược lại, nếu tồn tại đạo hàm tại một điểm
thì hàm số sẽ liên tục tại điểm đó nhưng hàm số có thể liên tục hoặc gián đoạn tại
điểm mà nó xác định.
Trong luận văn thạc sĩ của Trần Anh Dũng (2005) trang 26 có nêu rằng : “Về
khái niệm « Gián đoạn » hay « không liên tục » có thể quan niệm rằng nó xuất hiện
ngầm ẩn qua bảng biến thiên nhờ vào một dấu hiệu đặc biệt là hai đường sổ

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT