phương pháp lặp suy rộng nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

PHƯƠNG PHÁP LẶP SUY RỘNG NGHIÊN CỨU
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------------------------

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

PHƯƠNG PHÁP LẶP SUY RỘNG NGHIÊN CỨU
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS: NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được xây dựng từ những năm
1940 và được phát triển cho đến hôm nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa
dạng và có ý nghĩa để nghiên cứu các phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa học
Tự nhiên, Y học, Kinh tế học.
Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với
ánh xạ tăng đóng vai trò rất quan trọng. Khi nghiên cứu các phương trình dạng này, ta có
thể nhận được các kết quả sâu hơn về nghiệm như sự duy nhất, sự ổn định và tính gần đúng
nghiệm bằng các dãy lặp đơn điệu. Các định lý đầu tiên của Tarski và Krasnoselskii về
điểm bất động của ánh xạ tăng đòi hỏi các điều kiện khá ngặt lên nón (nón milihedral
mạnh) hoặc lên ánh xạ (điều kiện hoàn toàn liên tục).Sau này với việc sử dụng các nguyên
lý tổng quát về thứ tự thì điều kiện liên tục của ánh xạ đã được bỏ đi và điều kiện compact
đã được giảm nhẹ rất nhiều.
Các định lý về điểm bất động của ánh xạ tăng được nhiều nhà toán học chứng minh
với các phương pháp khác nhau: Sử dụng bổ đề Zorn, dãy siêu hạn, nguyên lý Entropy,
dãy lặp suy rộng…
Trong luận văn này, tôi trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng
trong không gian có thứ tự, theo một phương pháp thống nhất là sử dụng dãy lặp suy rộng
của Heikkila. Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Nguyên lý truy hồi và lặp trong tập có thứ tự:
Chương 2: Một số định lý điểm bất động trong tập có thứ tự.
Chương 3: Ứng dụng cho các phương trình và bao hàm thức.
Chương 4: Một số trường hợp riêng.
Tôi xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Bích Huy, thầy đã giới thiệu đề tài, tận
tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cám ơn quý Thầy Cô tham gia
giảng dạy lớp Toán giải tích khoá 20, các bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá

trình học tập cũng như hoàn thành luận văn này.


MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU----------------------------------------------------------------------------------------3
MỤC LỤC---------------------------------------------------------------------------------------------4
CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ TRUY HỒI VÀ LẶP TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ .............. 5
1.1
Quan hệ thứ tự .................................................................................................... 5
1.2
Nguyên lý truy hồi và lặp trong tập có thứ tự ..................................................... 7
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ ..... 11
2.1
Các định nghĩa .................................................................................................. 11
2.2
Điểm bất động của ánh xạ đa trị ....................................................................... 12
2.3
Điểm bất động của ánh xạ đơn trị ..................................................................... 18
2.4
So sánh nghiệm ................................................................................................. 23
CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BAO HÀM THỨC26
3.1
Bài toán về bao hàm thức.................................................................................. 26
3.2
Bài toán đơn trị ................................................................................................. 28
CHƯƠNG 4 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG ............................................................. 33
4.1
4.2

Điểm bất động trong không gian tôpô có thứ tự ............................................... 33
Phương trình và bao hàm thức trong không gian định chuẩn có thứ tự............ 37

KẾT LUẬN------------------------------------------------------------------------------------------43
TÀI LIỆU THAM KHẢO-------------------------------------------------------------------------44


5
__________________________________________________________________

CHƯƠNG 1
NGUYÊN LÝ TRUY HỒI VÀ LẶP TRONG TẬP CÓ THỨ TỰ
Quan hệ thứ tự

1.1

1.1.1. Cho P là tập khác rỗng
Một quan hệ, kí hiệu “ ≤ ” trên P gọi là quan hệ thứ tự (bộ phận) nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:
a.

x ≤ x với mọi x ∈ P .

b. Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y .
c. Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z .
Tập P khác rỗng trên đó có một quan hệ thứ tự bộ phận được gọi là tập có thứ tự bộ phận,
viết là poset =
P

( P ,≤) .

Với x , y ∈ P , ta kí hiệu x < y khi x ≤ y và x ≠ y .
1.1.2. Cho P là tập có thứ tự, A ⊂ P
Một phần tử b ∈ P được gọi là cận trên của A nếu x ≤ b với mọi x ∈ A , hơn nữa
nếu b ∈ A ta nói b là phần tử lớn nhất của A, kí hiệu b = max A .
Nếu tập các cận trên của A có phần tử nhỏ nhất, ta gọi nó là cận trên nhỏ nhất của A
và kí hiệu là sup A .
Phần tử y ∈ A được gọi là phần tử tối đại của A nếu y ≤ z và z ∈ A thì z = y .
Một phần tử b ∈ P được gọi là cận dưới của A nếu b ≤ x với mọi x ∈ A , hơn nữa
nếu b ∈ A ta nói b là phần tử nhỏ nhất của A, kí hiệu b = min A .
Nếu tập các cận dưới của A có phần tử lớn nhất, ta gọi nó là cận dưới lớn nhất của
A và kí hiệu là inf A .
Phần tử y ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu của A nếu z ≤ y và z ∈ A thì z = y .
Phần tử lớn nhất cũng là phần tử tối đại, phần tử nhỏ nhất cũng là phần tử tối tiểu.
1.1.3. Cho P là tập có thứ tự, B ⊂ P

__________________________________________________________________


6
__________________________________________________________________
Tập con B được gọi là xích nếu với mọi cặp phần tử x , y ∈ B ta có x ≤ y hoặc

y ≤ x.
Tập con W của dãy B được gọi là phần đầu của B nếu x ∈ W và y < x thì y ∈ W .
Tập B được gọi là sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của B có phần tử nhỏ nhất.
Tập B được gọi là sắp tốt ngược nếu mọi tập con khác rỗng của B có phần tử lớn
nhất.
1.1.4. Cho P là tập có thứ tự, C ⊂ P
Tập C được gọi là có hướng lên nếu với mỗi cặp x, y ∈ C , tồn tại phần tử z ∈ C

sao cho x ≤ z và y ≤ z .
Tập C được gọi là có hướng xuống nếu với mỗi cặp x, y ∈ C , tồn tại phần tử w ∈ C
sao cho w ≤ x và w ≤ y .
Tập C được gọi là có hướng nếu C có cả hướng lên và hướng xuống.
Cho=
P

( P, ≤ ) là tập có thứ tự, với

z , w∈ P ta ký hiệu:

[ z ) ={ x ∈ P : z ≤ x}
( w] ={ x ∈ P : x ≤ w}

[ z , w=] [ z ) ∩ ( w]
1.1.5. Bổ đề Zorn:
Cho P là tập có thứ tự. Nếu mỗi xích sắp tốt trong P có cận trên thì P có một phần
tử tối đại.

__________________________________________________________________


7
__________________________________________________________________

1.2

Nguyên lý truy hồi và lặp trong tập có thứ tự
Bổ đề 1.2.1(Nguyên lý truy hồi)
Cho P là tập có thứ tự và khác rỗng,

=
2P

{ A : A ⊂ P} , D ⊂ 2P , ∅ ∈ D và

ánh xạ f : D → P
Khi đó tồn tại duy nhất một xích sắp tốt C trong P thoả mãn:

x ∈C ⇔ x =
f ( C < x ) trong đó C < x =
{ y ∈ C : y < x} .
Ngoài ra:
Nếu C ∈ D (tức f ( C ) tồn tại) thì f ( C ) không phải là một cận trên ngặt của C.
Chứng minh
Một tập con A khác rỗng của P được gọi là một f – tập nếu nó có các tính chất sau:
i) ( A, < ) là tập sắp tốt.

( )

ii) x = f A< x với mọi x ∈ A trong đó A< x =
{ y ∈ A : y < x} .
Những f – tập này thoả mãn:

( a ) : Nếu A và B là các f –tập và

A ⊄ B thì B = A< x với x ∈ A .

Chứng minh ( a ) :
Do A ⊄ B nên có x = min ( A \ B ) .
Khi đó ta có: A< x ⊂ B .



Chứng minh B = A< x

Giả sử B \ A< x khác rỗng

(

)

Khi =
đó có y min B \ A< x ⇒ B < y ⊂ A< x .
x
Nếu B < y = A<=
thì y

f=
( B< y ) f=
( A< x ) x (mâu thuẫn vì y ∈ B và x ∉ B )

Vậy B < y ⊂ A< x và B < y ≠ A< x .

(

)

Do đó, có z = min A< x \ B < y và A< z ⊂ B < y

(1)

Vì z ∈ A< x ⊂ B , z ∉ B < y và y ∈ B nên y ≤ z < x .
Ta lại có: B < y ⊂ A< x

__________________________________________________________________


8
__________________________________________________________________

⇒ B < y ⊂ A< y ⊂ A< z ( 2 )
f=
( B< y ) f=
( A< z ) z .

Từ (1) , ( 2 ) , ta có B < y = A< z .Do
đó y
=

(

)

Suy ra y ∈ A< x (mâu thuẫn với y = min B \ A< x ).
Vậy B = A< x .


Áp dụng ( a ) ta chứng minh tập C là hợp của tất cả các f – tập là f – tập.


Cho A1 , A2 là các f – tập.

A1 ⊂ A2 , thì A1 ∪ A2 =
A2 là f – tập.
A1 ⊄ A2 , thì A2 = A1< x với x ∈ A1 . Khi đó A1 ∪ A2 = A1 ∪ A1< x = A1 là f – tập.


Cho ( Ai )i∈I là f – tập .Ta chứng minh C =

Lấy K ⊂ I .Giả sử B =

A

i

 A là f – tập.
i

i∈I

là f –tập. Khi đó, tương tự trên ta có B ∪ Ak (với

i∈K

k ∈ I \ K ) f –tập.
Vậy tập C là hợp của tất cả các f –tập là f – tập.

(

)

Do đó: x = f C < x với mọi x ∈ C .

(

)

Ngược lại nếu x ∈ P và x = f C < x .

(

)

Khi đó với x ∈ C < x ∪ { x} ta có f C < x ∪ { x}=

f ( C < x=
) x.

Vậy C < x ∪ { x} là một f –tập. Do đó { x} ∪ C < x ⊂ C suy ra x ∈ C .

(

Vậy x ∈ C ⇔ x =
f C 

)

Chứng minh tính duy nhất:

( )

Cho B là một tập con sắp tốt của P sao cho x ∈ B ⇔ x =
f BVì B là f –tập nên B ⊂ C .
Nếu B ≠ C thì B = C < x ( theo ( a ) )
Với x ∈ C và x ∉ B ta có:
=
x

f (=
C < x ) f=
( B ) f ( B
( )

Điều này mâu thuẫn với x ∈ B ⇔ x =
f B
__________________________________________________________________


9
__________________________________________________________________
Vậy B = C .


Chứng minh: Nếu f ( C ) tồn tại thì nó không thể là cận trên ngặt của C

Giả sử ngược lại nếu f ( C ) là cận trên ngặt của C thì

(

f ( C ) = f {u ∈ C : u < f ( C )} = f C

< f (C )

)

Mà f ( C ) ∉ C
Do đó C ∪ { f ( C )} là một f –tập chứa trong C với C là hợp của tất cả các f –tập(vô lý).
Bổ đề 1.2.2
Cho G : P → P và c ∈ P .
Khi đó tồn tại một xích sắp tốt C = C ( G ) trong P, được gọi là xích sắp tốt của

{

}

sup c , G C < x  .
các cG –lặp thoả x ∈ C ⇔ x =
Chứng minh
Đặt=
D

{W ⊂ P : W sắp tốt và tồn tại sup {c , G [W ]} }.

{

}

Định nghĩa: f : D → P sao cho: f (W ) = sup c , G [W ] với W ∈ D .
Theo bổ đề 1.2.1, tồn tại duy nhất một xích sắp tốt C sao cho:

{

}

=
=
x ∈C ⇔
x f (C
) sup c , G C < x 

Bổ đề 1.2.3
Kí hiệu

G là tập tất cả các hàm chọn của ánh xạ F : P → 2 P \ ∅ nghĩa là

G = {G : P → P : G ( x ) ∈ F ( x ) với x ∈ P }.
Cho c ∈ P và G ∈ G , kí hiệu CG là phần đầu dài nhất của xích sắp tốt C ( G ) của
các cG –lặp thoả thu hẹp của G đối với CG là tăng (nghĩa là G ( x ) ≤ G ( y ) khi x ≤ y
trong CG ), kí hiệu là: G CG .
Định nghĩa một quan hệ thứ tự bộ phận  trên

G như sau:

__________________________________________________________________

10
__________________________________________________________________
Với F , G ∈ G thì

(O )

F  G khi và chỉ khi CF là phần đầu riêng của CG và G CF = F CF .
Khi đó:

( G ,  ) có phần tử tối đại.

Chứng minh
Ta sẽ áp dụng bổ đề Zorn
Lấy xích

C trong G .Ta chứng minh C có cận trên.

Những tập CF , F ∈ C tạo thành một họ các tập sắp tốt của P.

=
Khi
đó C :  {CF : F ∈ C } là tập sắp tốt.
Hơn nữa, từ ( O ) , những hàm F CF xét như các quan hệ trong P × P , tạo thành xích.

{

}

Như
vậy g :  F CF : F ∈ C là một hàm từ C đến P.

=
Do mỗi F ∈ C là tăng trong CF . Do đó g tăng và g ( x ) ∈ F ( x ) với mỗi x ∈ C
Chọn G là một hàm chọn từ

F sao cho: G C = g .

Khi đó G ∈ G và G tăng trong C.

=
Do C :  {CF : F ∈ C } nên với mỗi x ∈ C thì có F ∈ C sao cho x ∈ CF .
Vậy CF là C hay là phần đầu của C ⇒ CF< x =
C
{

}

{

}

Vì F=
=
c , F CF< x  sup c , G C < x  .
CF g=
CF=
G CF nên x sup
Vậy C là C ( G ) hoặc là phần đầu riêng của C ( G ) .
Do G tăng trên C nên C là CG hoặc phần đầu riêng của CG .
Vậy ta có: F CF = G CF và CF là phần đầu riêng của CG , do đó

F  G, F ∈C .
Vậy G là cận trên của
Theo bổ đề Zorn,

C trong G .

G có phần tử tối đại.

__________________________________________________________________


11
__________________________________________________________________

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP
CÓ THỨ TỰ
2.1 Các định nghĩa
2.1.1. Cho X, P là các tập có thứ tự
Ta nói

F : X → 2P \ ∅

là tăng hướng lên nếu x ≤ y trong X thì với mỗi z ∈ F ( x )

tồn tại phần tử w ∈ F ( y ) sao cho z ≤ w .
Ta nói F: X → 2 P \ ∅ là tăng hướng xuống nếu x ≤ y trong X thì với mỗi

w ∈ F ( y ) tồn tại phần tử z ∈ F ( x ) sao cho z ≤ w .

Nếu F tăng hướng lên và hướng xuống, ta nói F tăng.
2.1.2. Cho P là tập có thứ tự, Y ⊂ P
Tập con A khác rỗng của Y được gọi là tập compact có thứ tự hướng lên trong Y
nếu với mọi xích C của Y mà có một cận trên bé nhất trong P thì 

{[ y ) ∩ A : y ∈ C}

khác rỗng khi [ y ) ∩ A khác rỗng với mọi y ∈ C .
Tập con A khác rỗng của Y được gọi là tập compact có thứ tự hướng xuống trong Y
nếu với mọi xích C của Y mà có một cận dưới lớn nhất trong P thì 

{( y ] ∩ A : y ∈ C}

khác rỗng khi ( y ] ∩ A khác rỗng với mọi y ∈ C .
Nếu A là tập compact có thứ tự hướng lên và hướng xuống, ta nói A là tập compact
có thứ tự trong Y.
Mỗi tập có thứ tự là tập compact có thứ tự.
2.1.3. Cho A là tập con khác rỗng của tập có thứ tự P.

__________________________________________________________________


12
__________________________________________________________________

Tập tất cả các cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất có thể có của các xích của A
được gọi là bao đóng có thứ tự của A, kí hiệu ocl ( A ) .
Nếu A = ocl ( A ) thì A là tập đóng có thứ tự .
Ta nói rằng:
Một tập con A của tập có thứ tự P có một sup – center c trong P nếu c ∈ P và

sup {c , x} tồn tại trong P với mỗi x ∈ A .
Một tập con A của tập có thứ tự P có một inf – center c trong P nếu c ∈ P và

inf {c , x} tồn tại trong P với mỗi x ∈ A .
Nếu c có cả hai tính chất này, thì c được gọi là order – center của A trong P.

P
2.1.4. Cho tập có thứ tự =

( P, ≤ ) và hàm đa trị F : P → 2P \ ∅

Kí hiệu: Fix ( F ) =
{ x ∈ P : x ∈ F ( x )} .
Mọi phần tử của Fix ( F ) được gọi là điểm bất động của
Điểm bất động của

F.

F được gọi là tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất nếu tương ứng nó

là phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất.
Với hàm đơn trị G : P → P , Fix ( G ) =
{ x ∈ P : x =G ( x )} .

2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị
Bổ đề 2.2.1
Cho

F : P → 2P

thoả giả thiết ( S + ) sau:

{

}

i) Tập S + =∈
x P : [ x ) ∩ F ( x ) ≠ ∅ khác rỗng.
ii) Nếu C là xích sắp tốt khác rỗng trong S + , G : C → P là ánh xạ tăng và

x ≤ G ( x ) ∈ F ( x ) với mọi x ∈ C thì G [C ] =  G ( x ) có một cận trên trong S + .
x∈C

Khi đó

F có điểm bất động tối đại và cũng là phần tử tối đại của S+ .
Chứng minh

Đặt=
D

{W ⊂ S+ : W sắp tốt và có một cận trên ngặt trong S+ }.

__________________________________________________________________


13
__________________________________________________________________
Do S + là tập khác rỗng nên ∅ ∈ D .

Xây dựng hàm f : D → P định bởi: Mỗi W ∈ D được đặt tương ứng với phần tử

=
y f (W ) ∈ [ x ) ∩ F ( x ) trong đó x là một cận trên ngặt cố định của W trong S + .
Mặt khác theo bổ đề 1.2.1, tồn tại duy nhất một xích sắp tốt W trong P thoả:

x ∈W ⇔ x =
f (W < x ) .

(

)

Như vậy mỗi phần tử y ∈ W ( tức là y ∈ f W < y , đều thuộc [ x ) ∩ F ( x ) trong đó x là cận
trên ngặt cố định của W < y trong S + .
Tập C của những phần tử x này tạo thành xích sắp tốt trong S + .
Xét ánh xạ G :C → P định bởi: x  y với y ∈ F ( x ) và x ≤ y .
Vậy ta có: x ≤ G ( x ) ∈ F ( x ) với mọi x ∈ C và G [C ] = W .
Khi đó G [C ] = W có cận trên x trong S + thoả x = max W .Vì nếu trái lại thì f (W )
tồn tại và là cận trên ngặt của W (mâu thuẩn).
Vậy x là phần tử tối đại trong S + .


Chứng minh: x là điểm bất động tối đại của

F.

Do x ∈ S + nên tồn tại y ∈ P thoả x ≤ y ∈ F ( x ) .
Áp dụng giả thiết ( S + ) với C = { x} và G ( x ) := y thì { y} có cận trên z trong S + (tức
là: y ≤ z ).

Do x là phần tử tối đại của S + nên x= z= y ∈ F ( x ) .
Suy ra x ∈ Fix ( F )
Nếu z là điểm bất động của

F và x ≤ z thì z ∈ S+ (vì z ≤ z ∈ F ( z ) ).

Mà x là phần tử tối đại của S + nên x = z .
Vậy x là điểm bất động tối đại của

F.

__________________________________________________________________


14
__________________________________________________________________

Mệnh đề 2.2.2
Giả sử:
i)

F : P → 2P \ ∅

ii) Tập S +=

là hàm tăng hướng lên.

{x ∈ P : [ x ) ∩ F ( x ) ≠ ∅} khác rỗng.

iii) Mỗi xích sắp tốt của

iv) Giá trị của
trong

F [ S+ ] có cận trên bé nhất trong P.

F tại những cận trên bé nhất này là tập compact có thứ tự hướng lên

F [ S+ ] .

Khi đó:

F có điểm bất động tối đại và cũng là phần tử tối đại của S+ .

Chứng minh
Chứng minh các giả thiết ( S + ) của bổ đề 2.2.1 thoả.
Giả sử C là xích sắp tốt trong S + , G : C → P là ánh xạ tăng và x ≤ G ( x ) ∈ F ( x ) với mọi

x ∈C .
Khi đó G [C ] là xích sắp tốt trong

F [ S+ ]

Theo giả thiết iii) Tồn tại y = sup G [C ] , nghĩa là x ≤ y với mọi x ∈ G [C ]


Ta chứng minh y ∈ S +

Do

F tăng hướng lên nên [ x ) ∩ F ( y ) ≠ ∅ với mọi x ∈ G [C ] .

Do

F ( y ) là tập compact có thứ tự hướng lên trong F [ S+ ] nên giao của các tập

[ x ) ∩ F ( y ) với

x ∈ G [C ] là khác rỗng.

Vậy có phần tử w thoả x ≤ w ∈ F ( y ) với mọi x ∈ G [C ] .
Như vậy G [C ] có cận trên w ∈ F ( y ) .
Do y = sup G [C ] nên y ≤ w .
Suy ra w ∈ [ y ) ∩ F ( y ) .
Vậy y ∈ S + .
Các giả thiết của bổ đề 2.2.1 thoả nên

F có điểm bất động tối đại và cũng là phần tử tối đại

của S + .

__________________________________________________________________


15
__________________________________________________________________

Mệnh đề 2.2.3 (đối ngẫu của mênh đề 2.2.2)
Giả sử:
i)

F : P → 2P \ ∅

ii) Tập S −=

là hàm tăng hướng xuống.

{x ∈ P : ( x] ∩ F ( x ) ≠ ∅} khác rỗng.

iii) Mỗi xích sắp tốt ngược của
iv) Giá trị của
xuống trong
Khi đó:

F [ S− ] có cận dưới lớn nhất trong P.

F tại những cận dưới lớn nhất này là tập compact có thứ tự hướng

F [ S− ] .

F có điểm bất động tối tiểu và cũng là phần tử tối tiểu của S− .

Mệnh đề 2.2.4
Giả sử:
i)

F : P → 2P \ ∅

là hàm tăng hướng lên.

ii) Tập các giá trị của

F là tập compact có thứ tự hướng lên trong F [ P ] .

Khi đó: Nếu những xích sắp tốt của

F [ P ] có cận trên bé nhất và nếu tập những cận trên bé

nhất này có một sup – center c trong P thì tập:

{x ∈ P : ( x] ∩ F ( x ) ≠ ∅} khác rỗng.

S −=

Chứng minh
Đặt

G = {G : P → P : G ( x ) ∈ F ( x ) với x ∈ P }

Trên

G ta có quan hệ thứ tự sau:

Nếu F , G ∈ G thì F  G khi và chỉ khi CF là phần đầu riêng của CG và G CF = F CF
Theo bổ đề 1.2.3,

( G ,  ) có phần tử tối đại G

Cho C ( G ) là xích sắp tốt của các cG –lặp và C = CG là phần đầu dài nhất của C ( G ) mà
trên đó G tăng
Vậy C là xích sắp tốt và G là một hàm chọn tăng của

Vì G [C ] là xích sắp tốt trong

F mà G tăng trên C

F [ P ] nên tồn tại w = sup G [C ]

__________________________________________________________________


16
__________________________________________________________________

Hơn nữa, =
tồn tại x sup {c , w} ∈ P

{

}

Suy ra x = sup c , G [C ] .

{

}

{

}

Theo bổ đề1.2.2, với mỗi x ∈ C , ta có: x= sup c, G C < x  ≤ sup c , G [C ] = x

Vậy x là một cận trên của C và cũng là cận trên của G [C ] .
Hơn nữa: F tăng hướng lên và

F ( x ) là tập compact có thứ tự hướng lên trong F [ P ] nên

()

G [C ] có một cận trên z trong F x .
Thật vậy với x ≤ x

{

}

F tăng hướng lên nên [ x ) ∩ F ( x ) ≠ ∅ ⇒ ∩ [ x ) ∩ F ( x ) ≠ ∅ , x ∈ G [C ] ≠ ∅

()

Do đó có phần tử z sao cho: x ≤ z ∈ F x
Vậy w sup G [C ] ≤ z .
=


Chứng minh: x = max C

Giả sử ngược lại x là cận trên ngặt của C
Lấy F là một hàm chọn của

{

}

F mà thu hẹp của F trên C ∪ { x} là G C ∪ ( x , z ) .

()

Do G tăng trên C và F ( x=
z F x với mỗi x ∈ C
) G ( x ) ≤ w ≤=

{}

Khi đó: F tăng trên C ∪ x .

{

}

{

{ {

}

{}

}}

Hơn
nữa: x sup =

=
c , G [C ] sup =
c, F [C ] sup c , F  y ∈ C ∪ x : y < x 

{}

Khi đó: C ∪ x là phần đầu dài nhất của CF
Suy ra C = CG là một tập con riêng của CF và F=
CG F=
CF G=
CF G CG
Theo ( O ) thì G  F . Điều này không thể xảy ra vì G là phần tử tối đại của

(G , )

Vậy x = max C

{

}

{

}

Vì G tăng=
trên C nên x sup
=
c, G [C ] sup c, G ( x )
Đặc biệt

F ( x) ∋ G ( x) ≤ x

__________________________________________________________________


17
__________________________________________________________________

()

() (

Khi đó: G x ∈ x  ∩ F x , tức là x ∈ S −
Định lý 2.2.5
Giả sử:

F : P → 2P \ ∅

i)

là hàm tăng.

ii) Tập các giá trị của
Khi đó: Nếu những xích của

F là tập compact có thứ tự trong F [ P ] .

F [ P ] có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất và nếu tập

những cận trên bé nhất, cận dưới lớn nhất này có một sup – center hoặc một inf – center
trong P thì

F có điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất.

Chứng minh


Trường hợp 1: ocl

( F [ P ]) có một sup – center trong P.

Theo mệnh đề 2.2.4 thì tập S −=

(

{x ∈ P : ( x] ∩ F ( x ) ≠ ∅} khác rỗng.

()

Do đó có x ∈ P thoả x  ∩ F x ≠ ∅ .
Vậy các giả thiết của mệnh đề 2.2.3 thoả, nên

F có điểm bất động nhỏ nhất x− .

Đặc biệt: [ x− ) ∩ F ( x− ) ≠ ∅
Các giả thiết của mệnh đề 2.2.2 thoả nên


Trường hợp 2: ocl

F có điểm bất động lớn nhất.

( F [ P ]) có một inf – center trong P : Chứng minh tương tự.

Ví dụ:
Giả sử  m có quan hệ thứ tự sau: Với mọi x = ( x1 ,...,
=
xm ) , y

( y1 ,..., ym ) ∈  m ,

1,..., j và xi ≥ yi , i =
j + 1,..., m trong đó j ∈ {0,..., m}
x ≤ y khi và chỉ khi xi ≤ yi , i =
Khi đó:
Nếu i) F :  m → 2 \ ∅ là tăng.
m

ii) Tập các giá trị của
iii)

F   m 

F là những tập con đóng của  m .

được chứa trong tập

__________________________________________________________________

18
__________________________________________________________________

p
m


m
B=
( c ) ( x1 ,...xm ) ∈  : ∑ xi − ci ≤ R p  , p, R ∈ ( 0, ∞ )
i =1


p
R

=
trong
đó: c
Thì

( c1 ,..., cm ) ∈  m .

F có điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất.
Chứng minh:

( x1 ,..., xm ) ∈ BRp ( c )

Cho x

=

Do max {ci , xi } − ci ≤ xi − ci và min {ci , xi } − ci ≤ xi − ci với mỗi i = 1,..., m
Nên sup {c, x} ∈ BRp ( c ) và inf {c, x} ∈ BRp ( c ) với mọi x ∈ BRp ( c ) .
Hơn nữa, mỗi tập BRp ( c ) là một tập con đóng và bị chặn trong  m nên những dãy đơn
điệu của chúng hội tụ trong BRp ( c ) .
Vậy ta có:

F   m 



Những dãy của



c là một order center của

có cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất.

ocl F   m 

F là tập compact.
Các giả thiết của định lý 2.2.5 thoả nên F có điểm bất động nhỏ nhất và lớn nhất.



Tập các giá trị của

2.3 Điểm bất động của ánh xạ đơn trị

Mệnh đề 2.3.1
Giả sử:
i) G : P → P là tăng.

(

)

ii) ocl G [ P ] có một sup – center c trong P.

(

)

iii) Bất kỳ xích sắp tốt C khác rỗng nào trong P đều có sup G [C ] .
Khi đó:
Nếu C là một xích sắp tốt của các cG – lặp thì có x = max C và

{

}

x=
min z ∈ P : sup {c , G ( z )} ≤ z .

__________________________________________________________________


19
__________________________________________________________________

{

}

Hơn nữa x là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x = sup c , G ( x ) và nó tăng đối
với G.
Chứng minh
Định nghĩa:
=
F : G : P → 2 P \ ∅ là hàm đơn trị.
Cho C là một xích sắp tốt của cG –lặp.
Ta có: c là một sup – center của ocl

( F [ P ]) trong P.

sup ( G [C ]) tồn tại, tức là w = sup ( G [C ]) .
Do G đơn trị nên tập các giá trị của

F là tập compact có thứ tự trong F [ P ] .

Vậy có x = max C

{ ( )}

=
=
và x sup
{c , G [C ]} sup c , G x .


{

}

Chứng minh: x =
min z ∈ P : sup {c, G ( z )} ≤ z .

Lấy z ∈ P thoả sup {c , G ( z )} ≤ z .
Khi =
đó c min C ≤ z .

{

}

Nếu x ∈ C và sup {c , G ( y )} ≤ z với
=
y ∈ C < x thì x sup c , G C < x  ≤ z .
Bằng phương pháp qui nạp, ta có: x ≤ z với mỗi x ∈ C .
Đặc biệt
=
x max C ≤ z .

{

}

Do x max C ≤ z ⇒=
=

x min z ∈ P : sup {c , G ( z )} ≤ z .

{ ( )}

Mà x = sup c , G x .
Do đó x = x là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x = sup {c, G ( x )} .
Mệnh đề 2.3.2 (Đối ngẫu của bổ đề 1.2.2 và mệnh đề 2.3.1)

( a ) . Cho G : P → P

và c ∈ P . Khi đó tồn tại một xích sắp tốt ngược D trong P, được

{

}

gọi là xích sắp tốt ngược của cG –lặp thoả x ∈ D =
⇔ x inf c , G { y ∈ D : x < y} .

( b ) . Giả sử:

__________________________________________________________________


20
__________________________________________________________________
i) G : P → P là tăng.

(

)

ii) Tập ocl G [ P ] có một inf – center c trong P.

(

)

iii) Bất kỳ xích sắp tốt ngược D khác rỗng nào trong P đều có inf G [ D ] .
Khi đó:
Nếu D là một xích sắp tốt ngược của các cG –lặp thì tồn tại x = min D ,

=
x inf
=
{c , G ( x )}

{c , G [ D ]} và x=

{

}

max z ∈ P : z ≤ inf {c , G ( z )} .

Ngoài ra x là nghiệm lớn nhất của phương trình x = inf {c , G ( x )} và nó tăng đối với G.
Định lý 2.3.3

( a ) .Cho P là tập có thứ tự và G : P → P

là ánh xạ tăng.

Nếu i) x ≤ G ( x ) .
ii) Với bất kỳ xích sắp tốt C trong [ x ) và x ≤ G ( x ) với mọi x ∈ C thì tồn tại cận
trên nhỏ nhất của G [C ] .
Khi đó: Xích sắp tốt C của các xG − laëp có phần tử lớn nhất x* và

x* =
max C =
sup G [C ] =
min { y ∈ [ x ) : G ( y ) ≤ y} .
Ngoài ra x* là điểm bất động nhỏ nhất của G trong [ x ) và x* tăng đối với G.

( b ) . Cho P là tập có thứ tự và G : P → P

là ánh xạ tăng.

()

Nếu i) G x ≤ x .

(

ii) Với bất kỳ xích sắp tốt ngược D trong x  và G ( x ) ≤ x với mọi x ∈ D thì có

inf G [ D ] .
Khi đó: Xích sắp tốt ngược D của các xG − laëp có phần tử nhỏ nhất x* và

{ (

}

x* = min D = inf G [ D ] = max y ∈ x  : y ≤ G ( y ) .

(

Hơn nữa x* là điểm bất động lớn nhất của G trong x  và x* tăng đối với G.

__________________________________________________________________


21
__________________________________________________________________
Chứng minh ( a ) :
Do G tăng và x ≤ G ( x ) nên G [ x )  ⊂ [ x ) .
Cho C là xích sắp tốt của các xG − laëp .
Ta có x ≤ x với mọi x ∈ C ⇒ x ≤ G ( x ) ≤ G ( x ) .

{

}

{

}

=
x ∈ C ⇔ x sup x , G C < x  ≤ sup
x ,G ( x) G ( x) .
Vậy=

Theo ii) Tồn tại cận trên nhỏ nhất của G [C ] .
Vậy các giả thiết của mệnh đề 2.3.1 thoả nên

{

}

Ta có x* = =
max C và x* sup
=
x , G [C ] sup G [C ] (vì x ≤ x ≤ G ( x ) với mọi x ∈ C )

{

}

{

}

và =
x* min y ∈ [ x ) : sup { x, G ( y )} ≤ y= min y ∈ [ x ) : G ( y ) ≤ y .
(vì x ≤ y ⇒ x ≤ G ( x ) ≤ G ( y ) )
Hơn nữa x* là nghiệm nhỏ nhất của phương
trình: x sup
=
=
{ x , G ( x )} G ( x ) .
Tức là x* là điểm bất động nhỏ nhất của G trong [ x ) .
Định lý 2.3.4

Giả sử:
i) G : P → P là ánh xạ tăng.
ii) Với bất kỳ xích C của P đều có supG [C ] và inf G [C ] .
Khi đó:

(

)

a. Nếu ocl G [ P ] có một sup – center hoặc một inf –center trong P thì G có điểm
bất động lớn nhất và nhỏ nhất.

(

)

b. Nếu ocl G [ P ] có một sup –center c trong P thì G có điểm bất động lớn nhất

(

x* trong x  trong đó x là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x = sup {c , G ( x )}
Cả x và x* đều tăng đối với G.

(

)

c. Nếu ocl G [ P ] có một inf –center c trong P thì G có điểm bất động nhỏ nhất

x* trong [ x ) trong đó x là nghiệm lớn nhất của phương trình x = inf {c , G ( x )}

__________________________________________________________________


22
__________________________________________________________________

Cả x và x* đều tăng đối với G.
Mệnh đề 2.3.5
Giả sử G : P → P là ánh xạ tăng
Khi đó:

(a)

Nếu i) Tập S + =
{ x ∈ P : x ≤ G ( x )} khác rỗng.
ii) Với bất kỳ xích sắp tốt C của S + đều có supG [C ] .
Thì G có điểm bất động lớn nhất. Hơn nữa với mọi x ∈ S + , G có điểm bất động nhỏ

nhất trong [ x ) và nó tăng đối với G.

( b ) Nếu

{

}

i) Tập S − =
x ∈ P : G ( x ) ≤ x khác rỗng.
ii) Với bất kỳ xích sắp tốt ngược D trong S − đều có inf G [C ] .

Thì G có điểm bất động nhỏ nhất. Hơn nữa với mọi x ∈ S − , G có điểm bất động lớn

(

nhất trong x  và nó tăng đối với G.
Chứng minh

( a ) Các giả thiết của mệnh đề 2.2.2 thoả với F := G . Do đó G có điểm bất động lớn nhất.
Với x ∈ S + , ta có x ≤ G ( x ) ⇒ G [ x )  ⊂ [ x ) .
Cho C xích sắp tốt trong [ x ) ⇒ C là xích sắp tốt của S + .
Do đó x ≤ G ( x ) với mọi x ∈ C và tồn tại supG [C ] ( theo ii)).
Vậy các giả thiết của định lý 2.3.3 ( a ) thoả nên G có điểm bất động nhỏ nhất trong [ x ) và
nó tăng đối với G.

( b ) Các giả thiết của mệnh đề 2.2.3 thoả với F := G . Do đó G có điểm bất động nhỏ nhất.

()

Với x ∈ S − , ta có G x ≤ x

(

Cho C là xích sắp tốt ngược trong x  ⇒ C là xích sắp tốt ngược của S − .
Do đó G ( x ) ≤ x với mọi x ∈ C và tồn tại inf G [C ] (theo ii)).

__________________________________________________________________


23

__________________________________________________________________

(

Vậy các giả thiết của định lý 2.3.3 ( b ) thoả nên G có điểm bất động lớn nhất trong x  và
nó tăng đối với G.

2.4 So sánh nghiệm
Định lý 2.4.1

X
Cho tập có thứ tự=

( X , ≤ ) , một tập con P của X,

Giả sử hàm G : P → P và một hàm đa trị F : X

( Ha )

x∈P .

→ 2P

có các tính chất sau:

()

(

G tăng, G x ≤ x và với bất kỳ xích sắp tốt ngược D trong x  đều có

inf G [ D ] trong P.

( Hb )

x là một cận trên của F [ X ] = F ( x ) và nếu x ≤ p trong X với p ∈ P
x∈X

thì G ( p ) là một cận trên của

F ( x) .

(

Khi đó G có điểm bất động tối đại x* trong x  và nếu x là điểm bất động của

F thì

x ≤ x* .
Chứng minh
Cho D là xích sắp tốt ngược của xG − laëp .

(

Do D xích sắp tốt ngược trong x  nên có inf G [ D ] trong P (Theo giả thiết ( H a ) )

{ (

}

Vậy D có phần tử nhỏ nhất x* và x* = min D = inf G [ D ] = max y ∈ x  : y ≤ G ( y )

(

Hơn nữa x* là phần tử bất động tối đại của G trong x  .


Chứng minh: x* là cận trên của tập các điểm bất động của
động của

F ( tức là nếu x là điểm bất

F thì x ≤ x*

Giả sử ngược lại:
Giả sử tồn tại x ∈ X thoả x ∈ F ( x ) và x ≤/ x* .
Vì x* = min D và D là tập sắp tốt ngược nên tồn tại phần tử lớn nhất p của D mà x ≤/ p .

__________________________________________________________________


24
__________________________________________________________________

Do x ∈ F ( x ) và x là một cận trên của

F [ X ] ( giả thiết ( H b ) )

nên x ≤ x =
max D . Do đó p < x .

Nếu q ∈ D và p < q thì x ≤ q .
Theo giả thiết ( H b ) , ta có G ( p ) là một cận trên của

F ( x ) ,tức là x ≤ G ( q ) .

Vậy x là cận dưới của G {q ∈ D : p < q} .
Mặt khác:

{

}

Do p ∈ D nên =
p inf x , G {q ∈ D : p < q}= inf G {q ∈ D : p < q} (Vì x là một
cận trên của tập G {q ∈ D : p < q} ).
Suy ra x ≤ p (mâu thuẩn cách chọn p).
Vậy x ≤ x* .
Định lý 2.4.2
Cho P là tập con khác rỗng của X và

F : X → 2X .

Giả sử:
i)

F [ X ] có một cận trên x

trong P.

ii) Nếu p ∈ P thì có max F ( p ) ∈ P và nó cũng là cận trên của

F  X ∩ ( p ] .

iii) Mọi xích sắp tốt ngược của tập {max F ( p ) : p ∈ P} có cận dưới lớn nhất trong
P.
Khi đó

F có điểm bất động lớn nhất thuộc P.

 : X → 2 X là một hàm đa trị khác thoả điều kiện
Hơn nữa: Nếu F

 ( x ) đều có một phần tử z ∈ F ( x ) thoả mãn y ≤ z
iv) Với mỗi x ∈ X và y ∈ F
thì điểm bất động lớn nhất của

F là một cận trên của tất cả các điểm bất động của F .

Chứng minh:
Theo giả thiết ii) thì với p ∈ P đều có max F ( p ) ∈ P .
Xét ánh xạ: G : P → P định bởi G ( p ) = max F ( p ) với p ∈ P .

__________________________________________________________________


25
__________________________________________________________________

Ta có G tăng.

()

Hơn nữa G x ≤ x .
Mọi xích sắp tốt ngược của G [ P ] đều có cận dưới lớn nhất trong P

( H a ) của định lý 2.4.1 thoả
Ta có: x là một cận trên của

F[X ]

Với x ≤ p trong X (với p ∈ P )
Ta có: G ( p ) = max F ( p ) là một cận trên của
nên G ( p ) là cận trên của

F  X ∩ ( p ]

F ( x)

( H b ) của định lý 2.4.1 thoả
Vậy G có điểm bất động lớn nhất x* ∈ P

( )

( )

( )

Do
=
x* G=

x* max F x* ∈ F x* .
Vậy x* cũng là điểm bất động của
bất động của

F và x* cũng là một cận trên của tập tất cả các điểm

F.

( )

Vậy x* là điểm bất động lớn nhất của=
F và x* max F x* ∈ P .

 : X → 2 X là một hàm đa trị khác thoả giả thiết iv)
Cho F

 [ x]
Từ giả thiết i) và iv) ta có x là cận trên của F
Ngoài ra:

 ( x ) có một z ∈ F ( x ) thoả y ≤ z và
Nếu x ≤ p trong X và p ∈ P thì với mỗi y ∈ F

z ≤ max F ( p ) =
G ( p)
Theo định lý 2.4.1

 thì x ≤ x* với x* là điểm bất động lớn nhất của
Nếu x là điểm bất động của F

F.

__________________________________________________________________