thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số ở trường thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________

NGUYỄN NHẬT PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________

NGUYỄN NHẬT PHƯƠNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
2

LỜI CẢM ƠN
“Ngôn từ không bao giờ nói hết…”
Những lời cảm ơn sau đây của tôi e sẽ không diễn tả hết những tình cảm tri ân của
bản thân tôi đối với thầy tôi – TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH. Những bài giảng,
những hướng dẫn về mặt khoa học, về nghiên cứu didactic,…. Những lời động viên,
chia sẽ,… tất cả những tình cảm mà thầy đã dành cho tôi đã khích lệ chúng tôi rất
nhiều trong quá trình hình thành luận văn này, hơn thế nữa là những trải nghiệm về
nghiên cứu didactic Toán và trải nghiệm về cuộc sống của một kỹ sư tâm hồn mà thầy
đã truyền cho tôi. Không biết nói gì hơn, kính chúc thầy thật nhiều sức khỏe và có
nhiều niềm vui trong cuộc sống.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS Lê Văn Tiến, TS.
Lê Thái Bảo Thiên Trung,… đã dạy cho chúng tôi những lý thuyết cơ bản về didactic
Toán, những kiến thức và lời khuyên vô cùng quý báu mà quý thầy, quý cô đã dành
cho chúng em.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Annie Bessot, PGS. TS Claude Comiti
và TS. Alain Birebent vì những đánh giá, nhận xét của họ đã giúp tôi rất nhiều trong
sự hình thành của luận văn này.
Sự chia sẽ và giúp đỡ của Ban giám hiệu, tổ chuyên môn Toán trường THPT Phước
Bửu trong quá trình tôi đi học đã khiến tôi cảm động và họ đã góp phần vào thành
công của luận văn.
Thật là thiếu sót nếu không nhắc đến vợ và con gái yêu quý nhất của tôi: Những
người đã chấp nhận xa tôi trong quá trình tôi học tập tại trường ĐHSP TP. HCM, đã
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn này được hoàn thành.
Cầu mong tất cả có nhiều sức khỏe và hạnh phúc.
Người thực hiện
Nguyễn Nhật Phương

3

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục

Mở đầu ........................................................................................................................... 1
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................................................1
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết .......................................................2
2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức .........................................................................................2
2.2. Tổ chức toán học .......................................................................................................................2
2.3. Hợp đồng dạy học .....................................................................................................................2
2.4. Phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt ...................................................................................................3
3. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................................4
4. Cấu trúc của luận văn .......................................................................................................................4

Chương 1. Quan hệ thể chế với phương trình chứa tham số .................................... 5
1. Phân tích sách Đại số 10 nâng cao ...................................................................................................6
1.1. Mục tiêu của việc đưa phương trình chứa tham số vào sách giáo khoa ....................................6
1.2. Phần bài học ..............................................................................................................................8
1.3. Phần bài tập .............................................................................................................................11
1.4. Kết luận về sách Đại số 10 nâng cao ......................................................................................21
2. Phân tích sách Giải tích 12 nâng cao .............................................................................................23
2.1. Phần bài học ............................................................................................................................23
2.2. Phần bài tập .............................................................................................................................25
2.3. Kết luận về sách Giải tích 12 nâng cao ...................................................................................37
3. Kết luận ..........................................................................................................................................39

Chương 2. Điều kiện và ràng buộc của sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu
đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số .......................................... 41
1. Điều kiện tối ưu và không tối ưu của sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong các kiểu

nhiệm vụ .............................................................................................................................................41
4


2. Những điều kiện và ràng buộc của sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện
luận phương trình chứa tham số. ........................................................................................................63

Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm.......................................................................... 65
1. Đối tượng và hình thức tổ chức thực nghiệm.................................................................................65
1.1. Đối tượng ................................................................................................................................65
1.2. Hình thức.................................................................................................................................66
2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm....................................66
2.1. Xây dựng các bài toán thực nghiệm .......................................................................................67
2.2. Nội dung các bài toán thực nghiệm.........................................................................................71
2.3. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm .........................................................................................73
2.3.1. Phân tích tiên nghiệm (a priori) đối với Bài 1 ......................................................................73
2.3.2. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) của Bài 1 .....................................................................75
2.3.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) đối với Bài 2 ......................................................................78
2.3.4. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) của Bài 2 .....................................................................81
2.3.5. Phân tích tiên nghiệm (a priori) đối với Bài 3 ......................................................................84
2.3.6. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) của Bài 3 .....................................................................88
2.3.7. Phân tích tiên nghiệm (a priori) đối với Bài 4 ......................................................................89
2.3.8. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) của Bài 4 .....................................................................92

Kết luận ........................................................................................................................ 96
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

5

Mở đầu
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số thường xuyên xuất hiện trong
đề thi tú tài, đề thi tuyển vào đại học, cao đẳng 1. Như vậy, loại toán này chắc chắn
được đề cập nhiều trong bài giảng của giáo viên lớp 12.
Luận án của Lê Văn Tiến (2001) đã chỉ ra rằng mặc dù được đề cập trong chương
trình toán các thời kỳ gần đây, “giải phương trình bằng đồ thị ở Việt Nam là mờ nhạt,
thậm chí không tồn tại đối với phương trình có nghiệm không nguyên”; “đồ thị hoạt
động chủ yếu với vai trò minh họa hoặc tổng kết các kết quả lí thuyết đạt được bằng
nghiên cứu lí thuyết; nó có đặc trưng định tính hơn là định lượng”.
Mặt khác, thực tế giảng dạy cho thấy giáo viên và học sinh thường sử dụng đồ thị
hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận phương trình chứa tham số. Chẳng hạn,
đề thi tuyển vào đại học, cao đẳng năm 2002 có bài toán sau:
Cho hàm số: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phương trình: -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Việc khảo sát bài thi cho thấy đa số thí sinh sử dụng đồ thị hàm số đã vẽ trong câu 1
để giải câu 2 nhờ lập luận “số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ
thị với đường thẳng y = -k3 + 3k2”.
Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến bốn câu hỏi sau:
Q’1. Đặt bên cạnh vai trò mờ nhạt của đồ thị trong dạy và học toán ở trung học phổ
thông, việc sử dụng đồ thị trong giải và biện luận phương trình chứa tham số chịu ảnh
hưởng của những yếu tố nào và có tác dụng gì?
Q’2. Học sinh sử dụng đồ thị đối với những kiểu phương trình chứa tham số nào?
Q’3. Nếu phương trình chứa tham số được cho ngoài chủ đề khảo sát hàm số hoặc
đồ thị không được cho trước, học sinh có sử dụng đồ thị hay không? Các em sử dụng
nó như thế nào?

Q’4. Việc sử dụng đồ thị để giải và biện luận phương trình chứa tham số trong đề
thi tuyển vào đại học, cao đẳng có gì khác so với sách giáo khoa trung học phổ thông?
Với mỗi câu hỏi đã đặt, chúng tôi cố gắng lựa chọn một công cụ lý thuyết phù hợp
để trả lời. Phần lớn các công cụ lý thuyết này đều xuất phát từ lý thuyết nhân chủng
học của Chevallard (1985, 1989, 1992, 1998).

1

“[…] Phương trình chứa tham số là một đề tài được ưa thích trong các kì thi. Vấn đề biện luận theo
tham số cũng có tác dụng tích cực trong rèn luyện tư duy cho học sinh.” (Tài liệu Hướng dẫn giảng
dạy Toán 10, trang 54).
1


2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết
2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức
Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa là đối
tượng, cá thể, thể chế.
Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri
thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ
thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá
nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I.
“Trong khoa học sư phạm, vấn đề trung tâm là vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể chế, các điều
kiện và những hiệu ứng của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân cũng là một vấn đề của khoa
học sư phạm, cơ bản về mặt thực hành nhưng thứ yếu về mặt khoa học luận 2” (Chevallard 1989b,
trang 93).

2.2. Tổ chức toán học
Theo lý thuyết nhân học sư phạm, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm
hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ

T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những gì cho
phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật τ. Đến lượt mình, công nghệ θ được
giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ.
Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ
Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một
praxéologie, khối [T/ τ] thuộc về thực hành và khối [θ/ Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu
T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
2.3. Hợp đồng dạy học
Được Stella Baruk đưa ra năm 1985, bài toán Tuổi của thuyền trưởng là một ví dụ
đơn giản nhưng nổi tiếng về hợp đồng dạy học. Người ta đề nghị 97 học sinh lớp CE1
và CE2 Pháp (tương đương lớp 2 và 3 Việt Nam) giải bài toán sau: “Trên một chiếc
thuyền, có 26 con cừu và 10 con dê. Hỏi thuyền trưởng bao nhiêu tuổi?”.
Trong số 97 học sinh, có 76 em đã tìm tuổi của thuyền trưởng bằng cách cộng hai
con số đã cho trong đề bài. Kết quả này cho phép rút ra các quy tắc ngầm ẩn sau đây
của hợp đồng dạy học giữa giáo viên và học sinh CE1 và CE2 Pháp đối với một bài
toán cho trước:
- Một bài toán do giáo viên đặt ra bao giờ cũng có lời giải và chỉ một lời giải;
- Để tìm ra lời giải, phải sử dụng tất cả các dữ liệu của đề bài bằng cách kết hợp chúng
với nhau theo một cách có thể chấp nhận.
Khoa học luận (tiếng Pháp: épistémologie, tiếng Anh: epistemology) nghiên cứu về lịch sử, phương
pháp và nguyên lý của các ngành khoa học. Cộng đồng Pháp ngữ có xu hướng xem khoa học luận là
một nhánh của triết học về các khoa học trong khi cộng đồng Anh ngữ xem khoa học luận là nhận thức
luận.
2
2


Hợp đồng dạy học là sự mô hình hóa của nhà nghiên cứu về quyền lợi và nghĩa vụ
ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học được giảng dạy, là tập hợp
các quy tắc (thường là ngầm ẩn) phân chia và giới hạn trách nhiệm của giáo viên và

học sinh đối với tri thức toán học này.
2.4. Phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt
Theo Douady (1986), phạm vi (cadre) được tạo thành từ các đối tượng của một
ngành toán học, những mối liên hệ giữa chúng, cách trình bày chúng, cách suy nghĩ,
cách lập luận, cách hành động trên chúng. Đối với toán học, ta có phạm vi hình học,
phạm vi số học, phạm vi đại số, phạm vi giải tích, …
Hai phạm vi có thể có một số đối tượng như nhau nhưng khác nhau ở sự kết hợp
giữa các đối tượng ấy, ở mối liên hệ giữa chúng và ở cách thức hành động, lập luận
trên các đối tượng.
Khái niệm ngôn ngữ biểu đạt (registre) có nguồn gốc từ ngôn ngữ học. Một đối
tượng có thể được trình bày khác nhau trong hai phạm vi khác nhau. Thậm chí, trong
cùng một phạm vi cũng có những cách khác nhau để trình bày cùng một đối tượng. Ta
nói rằng đối tượng được biểu đạt bằng những ngôn ngữ khác nhau.
“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ các dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ này: những vạch,
những ký hiệu, những hình vẽ… Nó là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị.” (Guzman Retamal
1990)

Ví dụ: phạm vi hình học tồn tại ít nhất bốn ngôn ngữ: ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ
hình vẽ, ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ đồ thị.
Một ngôn ngữ có thể được dùng trong nhiều phạm vi khác nhau. Chẳng hạn, ngôn
ngữ đồ thị tồn tại trong phạm vi hình học lẫn phạm vi đại số.
“Nếu quan tâm tới lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta sẽ nhận thấy rằng một phần công
việc quan trọng của nhà nghiên cứu là giải thích những bài toán mà họ muốn giải quyết, là thay đổi
cách nhìn về chúng, là trình bày chúng theo cách khác, là đặt chúng trong phạm vi khác – ít nhất
cũng khác một phần, là đối chiếu những bài toán được nêu ra trong các phạm vi khác nhau nhưng
nếu bây giờ dịch sang cùng một phạm vi thì lại đặt ra những câu hỏi mới và gợi ra việc sử dụng
những công cụ vốn không được nghĩ đến lúc đầu” (Lê Thị Hoài Châu 2004).

Hầu như trong mọi trường hợp, phạm vi mới thường dẫn đến sự phát triển, sự mở
rộng của toán học:

“Thay đổi phạm vi là một cách làm để nhận được những hình thức trình bày khác - không nhất thiết
phải tương đương với nhau - cho một bài toán. Các hình thức trình bày mới này cho phép vượt qua
khó khăn đã gặp khi giải bài toán và vận dụng những công cụ, những kỹ thuật mà cách trình bày
ban đầu không gợi ra. Đối với nhà nghiên cứu, thay đổi phạm vi nhằm mục đích tạo niềm tin về
phỏng đoán và khơi thông ra kế hoạch chứng minh. Một kế hoạch chứng minh không phải bao giờ
cũng hoàn hảo ngay từ đầu. Có lúc nó đi đến những phản ví dụ, dẫn đến chỗ bế tắc, […], thậm chí
phải loại bỏ phỏng đoán ban đầu. Dù thế nào đi chăng nữa, việc dịch từ phạm vi này sang phạm vi
khác thường đạt đến những kết quả chưa từng có, những kỹ thuật mới, những đối tượng toán học
mới – nói tóm lại là làm phong phú thêm cho phạm vi ban đầu” (Douady 1986).
3


Chúng tôi phát biểu lại bốn câu hỏi ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý
thuyết đã chọn như sau:
Q1. Bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số được đưa vào sách giáo
khoa toán trung học phổ thông như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?
Q2. Liên quan đến giải và biện luận phương trình chứa tham số, những kiểu nhiệm
vụ nào tồn tại trong các sách giáo khoa? Những kỹ thuật nào được trình bày? Những
kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên?
Q3. Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số, những điều kiện và ràng buộc
nào khiến học sinh thực hiện việc chuyển đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt? Đặc biệt,
việc chuyển đổi phạm vi sẽ trở nên tối ưu (hoặc không tối ưu) đối với những kiểu
nhiệm vụ nào?
Q4. Học sinh sẽ ứng xử như thế nào nếu đề bài không cho trước đồ thị hoặc được
cho nằm ngoài chủ đề khảo sát hàm số?

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, các phương pháp nghiên cứu được huy động nhằm phục vụ cho
vấn đề trung tâm: phân tích sự chuyển đổi phạm vi và ngôn ngữ biểu đạt trong giải và
biện luận phương trình chứa tham số. Để kiểm chứng các giả thuyết hoặc để trả lời

các câu hỏi được hình thành từ việc phân tích thể chế, chúng tôi sẽ luôn luôn tiến hành
nghiên cứu theo quy trình sau:
Phân tích thể chế → giả thuyết, câu hỏi → thực nghiệm kiểm chứng
Việc phân tích thể chế chỉ liên quan chủ yếu đến lớp 10 và 12 ở Việt Nam. Tuy
nhiên, khi đối chiếu, chúng tôi có sử dụng sách giáo khoa toán cùng cấp ban cơ bản,
sách giáo khoa thời kỳ trước, sách giáo khoa toán ở Mỹ và đề thi tú tài, đề thi tuyển
vào đại học, cao đẳng những năm gần đây.

4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau:
Chương 1. Quan hệ thể chế với phương trình chứa tham số
Chương 2. Điều kiện và ràng buộc của sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt
trong giải và biện luận phương trình chứa tham số
Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

4


Chương 1.
Quan hệ thể chế với phương trình chứa tham số
Chương này nghiên cứu mối quan hệ thể chế với phương trình chứa tham số ở bậc
trung học phổ thông để trả lời hai câu hỏi sau:
Q1. Bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số được đưa vào sách giáo
khoa toán trung học phổ thông như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?
Q2. Liên quan đến giải và biện luận phương trình chứa tham số, những kiểu nhiệm vụ
nào tồn tại trong các sách giáo khoa? Những kỹ thuật nào được trình bày? Những kỹ
thuật nào được thể chế ưu tiên?
Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao hiện hành làm tư

liệu phân tích chính vì hai lý do:
- Bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số chỉ có mặt trong sách giáo khoa
lớp 10 và 12. Lớp 11 có đưa vào phương trình lượng giác nhưng không chứa tham số.
“Nay các phương trình và bất phương trình như thế 3, chương trình không yêu cầu xét trường hợp
có tham số.” (Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, trang 10)

- Sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao trình bày bài toán giải và biện
luận phương trình chứa tham số đầy đủ hơn hai quyển sách giáo khoa cùng lớp thuộc
chương trình chuẩn. Đôi khi, trong trường hợp cần thiết, chúng tôi sẽ đối chiếu tư liệu
phân tích chính với sách giáo khoa chương trình chuẩn, sách giáo khoa thời kỳ trước,
sách giáo khoa nước ngoài, đề thi tú tài và đề thi tuyển vào đại học, cao đẳng ở Việt
Nam. Như nhiều công trình nghiên cứu trước đã khẳng định, việc đối chiếu theo thời
gian và theo thể chế này có mục đích kép:
- Xác định những đặc thù của mối quan hệ thể chế với chủ đề giải và biện luận
phương trình chứa tham số trong hai thể chế đang xét (lớp 10 và 12 chương trình nâng
cao);
“Việc phân tích theo thể chế nhằm nêu rõ đặc trưng của các sản phẩm giống nhau và khác nhau của
tiến trình chuyển hóa sư phạm của cùng một đối tượng tri thức [...] trong hai thể chế khác nhau; đặt
ra những câu hỏi về sự tương đồng và khác biệt thể chế nhìn từ góc độ các điều kiện và các ràng
buộc; khởi thảo một thư mục các tổ chức toán học hiện diện và xem xét khả năng phát triển của
chúng. Phân tích theo thời gian nhằm nêu rõ những tiến triển của mỗi hệ thống theo thời gian và
giúp ta hiểu rõ hơn hiện trạng cân bằng tạm thời của hệ thống.” (Trần Lương Công Khanh 2011)

- Bổ sung vào việc phân tích tri thức cần dạy những dấu hiệu về tri thức thực dạy
dưới những ràng buộc của kỳ thi tú tài và kỳ thi tuyển vào đại học, cao đẳng.
“[...] việc nghiên cứu kỳ thi tú tài ở hai nước và kỳ thi tuyển vào đại học ở Việt Nam nhằm xác
định những dấu hiệu về tác nghiệp thực tế và ổn định của giáo viên trong hai hệ thống giáo dục.”
(Trần Lương Công Khanh 2011)

3

Tức phương trình, bất phương trình vô tỉ, lượng giác, mũ và lôgarit.

5


1. Phân tích sách Đại số 10 nâng cao
1.1. Mục tiêu của việc đưa phương trình chứa tham số vào sách giáo khoa
Vào thế kỷ 16, François Viète (1540-1603) tìm ra phương pháp tổng quát để biểu
diễn nghiệm của một họ phương trình mà ông gọi là phương pháp tham số hóa. Ví dụ
dưới đây của Vandebrouck không chỉ minh họa cho phương pháp của Viète mà còn
nêu lên vấn đề đưa khái niệm tham số vào trường trung học phổ thông.
Mỗi phương trình dưới đây có bao nhiêu nghiệm thực?
x2 = 2x + 1
(1)
2
x = 2x – 2
(2)
2
x = 2x – 1
(3)
Xét các hàm số f, g 1 , g -2 và g -1 xác định bởi f(x) = x2, g 1 (x) = 2x + 1,
g -2 (x) = 2x – 2 và g -1 (x) = 2x – 1. Đồ thị của f, g 1 , g -2 và g -1 lần lượt
là parabol (P) và các đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 . Nghiệm của mỗi
phương trình (1), (2), (3) tương ứng là hoành độ giao điểm của (P)
(P)
d1
với d 1 , d 2 , d 3 . Do đó, số nghiệm của mỗi phương trình cũng là số
giao điểm của (P) với d 1 , d 2 , d 3 . Dựa vào đồ thị, ta thấy: (P) cắt d 1
d2

nên (1) có hai nghiệm phân biệt; (P) không có điểm chung với d 2
d3
nên (2) vô nghiệm; (P) tiếp xúc với d 3 nên (3) có nghiệm kép.
Việc giải ba phương trình trên đưa chúng ta đến phương trình
tham số hóa tổng quát x2 = 2x + a với a là một số thực cho trước bất
kỳ. Ba phương trình đã xét tương ứng với ba trường hợp đặc biệt là a = 1, a = -2 và a = -1.
y

6

5

4

3

2

1

x

-2

-1

1

2

Như vậy, về mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay
tham số hóa – theo cách gọi của Viète) một họ những phương trình cụ thể mà việc giải
và biện luận phương trình chứa tham số này cho phép suy ra nghiệm của những
phương trình cụ thể đang xét bằng cách gán cho tham số những giá trị tương ứng.
Theo nghĩa đó, tham số là một hằng số cho trước có thể nhận những giá trị tùy ý thuộc
một tập E ⊂ R cho trước 4. Về mặt chuyển hóa sư phạm, các khái niệm tham số và
phương trình chứa tham số được đưa vào sách Đại số 10 nâng cao như thế nào?
Khái niệm phương trình chứa tham số được trình bày tường minh thành một mục
riêng ở phần cuối bài Đại cương về phương trình trong sách Đại số 10 nâng cao.
Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ
này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số.
Chẳng hạn, phương trình m(x + 2) = 3mx – 1 (với ẩn x) là một phương trình chứa tham số m.
H4 Tìm tập nghiệm của phương trình mx + 2 = 1 – m (với m là tham số) trong mỗi trường hợp:
a) m = 0; b) m ≠ 0.
Rõ ràng nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số đó. Khi
giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy theo các giá trị có
thể của tham số. Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình chứa tham số, ta thường nói là giải và

4

Đối với các sách giáo khoa đang xét, nếu cho tham số mà không nói gì thêm, ta hiểu rằng E = R.

6


biện luận phương trình. (Đại số 10 nâng cao, trang 71)

Kể từ sau 1975, đây là lần đầu tiên sách giáo khoa toán 5 giải thích tường minh các
khái niệm tham số, phương trình chứa tham số, giải và biện luận phương trình. Như
vậy, các khái niệm này bắt đầu chuyển từ dạng cận toán học trong sách giáo khoa các

thời kỳ trước sang dạng toán học 6 trong sách Đại số 10 nâng cao thời kỳ này.
Chúng tôi ghi nhận rằng sách Hình học 10 nâng cao cũng có đề cập đến thuật ngữ
tham số trong mục phương trình tham số của đường thẳng. Tuy nhiên, sách Hình học
10 nâng cao không đề cập đến sự khác nhau cơ bản giữa tham số trong phương trình
chứa tham số với tham số trong phương trình tham số của đường thẳng dù có chung
tên gọi tham số.
Theo Nguyễn Thùy Trang (2005), tham số trong phương trình chứa tham số “được
hiểu là biến chỉ dạng và được xét ở hai khía cạnh: tham số là số cố định, tham số có độ
tự do”.
Chúng tôi tóm tắt dưới đây sự khác nhau giữa tham số trong phương trình chứa
tham số và tham số trong phương trình tham số của đường thẳng mà bộ sách giáo
khoa toán 10 nâng cao đã thể hiện.
Tham số
Tham số
trong PT chứa tham số
trong PT tham số của đường thẳng
Có bản chất là hằng số bất kỳ cho trước
Có bản chất là biến số trung gian
Sự thay đổi giá trị của tham số làm thay Sự thay đổi giá trị của tham số làm thay
đổi sự tồn tại nghiệm và giá trị nghiệm
đổi tọa độ điểm thuộc đường thẳng nhưng
không làm thay đổi sự tồn tại của điểm.
Không nhất thiết phải có sự tương ứng Tọa độ mỗi điểm M(x; y) thuộc đường
một-một giữa giá trị tham số và giá trị thẳng ứng với một và chỉ một giá trị của
nghiệm. Có những giá trị của tham số tham số và ngược lại.
làm phương trình vô nghiệm hoặc có hơn
một nghiệm.
Giải và biện luận PT chứa tham số là xét Viết PT tham số của đường thẳng là xác
sự tồn tại nghiệm và giá trị nghiệm theo định các giá trị x 0 , y 0 , a, b trong hệ x = x 0
các giá trị của tham số

+ at; y = y 0 + bt (t ∈ R), không phụ thuộc
vào giá trị của tham số

Bảng 1. Sự khác nhau của tham số trong PT chứa tham số và PT tham số của đường thẳng

Vì sự khác nhau trên không được trình bày tường minh trong sách giáo khoa, việc
giải và biện luận phương trình chứa tham số có thể làm nảy sinh những câu hỏi sau: Vì
sao tham số là số đã biết nhưng không cố định mà có thể nhận giá trị tùy ý? Giải và
biện luận phương trình chứa tham số giúp giải quyết những vấn đề gì trong toán học
và cuộc sống?
Chúng tôi không xét sách giáo khoa chương trình phân ban thí điểm.
Chevallard (1985) phân biệt ba loại khái niệm toán học: khái niệm toán học (notion mathématique) là khái
niệm có tên, có định nghĩa; khái niệm cận toán học (notion paramathématique) là khái niệm có tên nhưng không
được định nghĩa); khái niệm tiền toán học (notion protomathématique) là khái niệm không có tên, không có định
nghĩa nhưng được dùng một cách ngầm ẩn.
5
6

7


Chúng ta có thể thấy rằng mục tiêu của sách Đại số 10 nâng cao không phải là làm rõ
những đặc điểm của tham số và mối liên hệ khoa học luận giữa tham số với sự ra đời
của phương trình chứa tham số. Vậy mục tiêu đưa phương trình chứa tham số vào sách
Đại số 10 nâng cao là gì?
Từ thuở xa xưa, trong lịch sử phát triển của toán học, phương trình đã là vấn đề trung tâm của đại
số học. Trong Đại số 10 nâng cao, các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và
bậc hai cũng là một nội dung trọng tâm của chương trình. Chúng được trình bày chính xác hơn,
đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới. Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề
giải và biện luận phương trình. Bởi vậy, chương này đòi hỏi những kỹ năng thành thạo trong việc

giải các phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai trên cơ sở các phương pháp cơ bản
mà sách giáo khoa đã cung cấp. (Đại số 10 nâng cao, trang 65)

Như vậy, theo các tác giả sách giáo khoa, phương trình chứa tham số là một chủ đề
“đáng lưu ý và tương đối khó”, được đưa vào giảng dạy ở lớp 10 nhằm “trình bày
chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới” các vấn đề về phương trình
và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai.
Điều này hoàn toàn khác trong hệ thống dạy học hiện nay ở Pháp: Khái niệm phương trình xuất
hiện như khái niệm cận toán học. Việc dùng các kí hiệu ⇒, ⇔ không phải là mục đích của chương
trình; tất cả trình bày logic toán bị loại trừ. Phương trình chứa tham số cũng bị loại bỏ. (Lê Văn
Tiến 2001)

1.2. Phần bài học
Việc giải và biện luận phương trình chứa tham số được bắt đầu từ bài Phương trình
bậc nhất và bậc hai một ẩn trong sách Đại số 10 nâng cao với lời giới thiệu tường
minh: “Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải và biện luận các phương trình
bậc nhất và bậc hai có chứa tham số.” Xem như học sinh đã biết cách giải phương
trình bậc nhất và bậc hai ở các lớp dưới, phần bài học trình bày ngay kết quả giải và
biện luận các phương trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong hai bảng sau:
b
a

1) a ≠ 0

: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − .

2) a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
Bảng 2. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

1) a ≠ 0: Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0.
2) a ≠ 0:
• ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
x=

−b− ∆
−b+ ∆
và x =
;
2a
2a
8


• ∆ = 0: phương trình có một nghiệm (kép) x = −

b
;
2a

• ∆ < 0: phương trình vô nghiệm.
Bảng 3. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = 0

So với phương trình bậc nhất và bậc hai trong sách Đại số 8 và Đại số 9, hai dạng
phương trình trên có thể chứa tham số trong các hệ số a, b, c và hệ số a của lũy
thừa cao nhất có thể triệt tiêu. Vì thế, sách Đại số 10 nâng cao gọi tên chúng là
phương trình dạng ax + b = 0, dạng ax2 + bx + c = 0 để phân biệt với phương trình bậc
nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) và bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) đã học ở lớp dưới.
Dưới đây là hai ví dụ trong số ba ví dụ về giải và biện luận phương trình dạng ax +
b = 0, ax2 + bx + c = 0 được trình bày trong phần bài học của sách Đại số 10 nâng cao.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0.

(2)

Giải. Với m = 0, phương trình (2) trở thành 4x – 3 = 0; nó có nghiệm x =

3
.
4

Với m ≠ 0, (2) là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn là
∆’ = (m – 2)2 – m(m – 3) = 4 – m.
Do đó:
- Nếu m > 4 thì ∆’ < 0 nên (2) vô nghiệm;
- Nếu m = 4 thì ∆’ = 0 nên (2) có một nghiệm x =

m−2 1
= ;
m
2

- Nếu m < 4 và m ≠ 0 thì ∆’ > 0 nên (2) có hai nghiệm
x=

m−2− 4−m
m−2+ 4−m
và x =
.
m

m

Kết luận.
m > 4: (2) vô nghiệm;
m = 0: (2) có nghiệm x =

3
;
4

0 ≠ m ≤ 4: (2) có hai nghiệm x =

m−2± 4−m
m

(hai nghiệm này trùng nhau và bằng

1
khi m = 4).
2

Ví dụ 3. Cho phương trình
3x = -x2 + x + a.
(3)
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tùy
theo các giá trị của tham số a.
Giải. Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng
x2 + 2x + 2 = a.
(4)

9


Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của phương trình (4) và bằng số giao điểm của
parabol (P): y = x2 + 2x + 2 với đường thẳng (d): y = a. Quan sát đồ thị (h.3.1), ta thấy đỉnh của
parabol (P) là điểm M(-1; 1), khi a thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn
song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó, ta suy ra:
- Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung);
- Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm (kép) (đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P));
- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt).
CHÚ Ý
Khi viết phương trình (3) dưới dạng x2 + 3x + 2 = x + a, ta thấy kết quả trên còn cho biết số giao
điểm của parabol y = x2 + 3x + 2 với đường thẳng y = x + a.

Về mặt tổ chức toán học, ví dụ 2 và 3 đều là hai nhiệm vụ cụ thể liên quan đến
phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Tuy nhiên, cách phát biểu, yêu cầu và kỹ thuật
được huy động trong mỗi ví dụ có những điểm khác nhau.
Ví dụ 2 yêu cầu giải và biện luận một phương trình chứa tham số nhưng không hạn
chế kỹ thuật sử dụng. Khi đó, kỹ thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm
gọi là kỹ thuật đại số – dựa trên yếu tố công nghệ đã trình bày trong bảng 3. Kỹ thuật
này không những chỉ ra số nghiệm mà còn chỉ ra giá trị của từng nghiệm theo các giá
trị của tham số.
Trái lại, ví dụ 3 chỉ yêu cầu biện luận số nghiệm một phương trình chứa tham số,
không yêu cầu giải nhưng lại hạn chế kỹ thuật sử dụng thông qua nhóm từ “bằng đồ
thị”. Khi đó, kỹ thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm gọi là kỹ thuật đồ
thị – dựa trên yếu tố công nghệ được phát biểu ngay trong lời giải của ví dụ 3: Số
nghiệm của phương trình đang xét cũng là số giao điểm của parabol với đường thẳng.
Yếu tố công nghệ này không chỉ biện minh cho lời giải của ví dụ 3 mà còn chuyển bài
toán đang xét từ phạm vi 7 đại số (biện luận số nghiệm của phương trình) sang phạm vi

hình học (xét số giao điểm của hai đồ thị). Từ đó, một yếu tố công nghệ khác xuất hiện
và can thiệp vào lời giải: đồ thị trong hình 3.1. Ở đây, đồ thị vừa là một phần của lời
giải, vừa tham gia vào lời giải với tư cách yếu tố công nghệ (thể hiện qua cách diễn đạt
“Quan sát đồ thị (h.3.1), ta thấy...” hoặc những chữ trong dấu ngoặc đơn mô tả vị trí
tương đối giữa (P) và (d) nhằm giải thích vì sao phương trình vô nghiệm, có nghiệm
kép, có hai nghiệm phân biệt). Cuối cùng, kỹ thuật đồ thị – như ví dụ 3 đã chứng tỏ –
chỉ cho phép biện luận số nghiệm mà không chỉ ra được giá trị chính xác của nghiệm
theo các giá trị của tham số. Việc sử dụng đồ thị để tìm nghiệm gần đúng của phương
Chúng tôi tạm dịch các thuật ngữ cadre và registre là phạm vi và hệ thống biểu đạt. Liên quan đến nội dung
này, độc giả có thế đọc, chẳng hạn, bài viết của Raymond Duval (2002) Cadres et registres: comment décrire et
analyser l'activité mathématique? (Phạm vi và hệ thống biểu đạt: mô tả và phân tích hoạt động toán học như thế
nào?).
7

10


trình không được đề cập trong sách giáo khoa.
Trong ví dụ 3, việc sách giáo khoa đưa phương trình đang xét về dạng x2 + 2x + 2 =
a và ghi chú rằng “kết quả trên còn cho biết số giao điểm của parabol y = x2 + 3x + 2
với đường thẳng y = x + a” ngầm tiết lộ một ràng buộc của kỹ thuật đồ thị ở lớp 10:
biện luận số nghiệm của phương trình nhờ việc chuyển về sự tương giao giữa parabol
và đường thẳng cùng phương với trục hoành.
Điều này có nghĩa là: Các phương trình chứa tham số chỉ dùng được đồ thị với một
số loại đồ thị có dạng chuẩn đã biết. Các trường hợp còn lại không huy động đồ thị để
biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.
Sách giáo khoa giới thiệu tường minh kỹ thuật đồ thị nhằm mục đích gì? Kỹ thuật
đồ thị có ưu việt hơn kỹ thuật đại số hay không? Nếu có, đó là những ưu điểm nào?
Những kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật đồ thị là ưu việt có xuất hiện trong phần bài tập của
sách giáo khoa hay không? Ngoài vai trò kiểm nghiệm lại kết quả thu được bằng kỹ

thuật đại số như sách giáo viên Đại số 10 nâng cao đã viết “[…] Biết cách biện luận
số giao điểm của một đường thẳng và một parabol và kiểm nghiệm lại bằng đồ thị”, kỹ
thuật đồ thị còn có vai trò nào khác? Những điều kiện và ràng buộc của kỹ thuật đồ thị
ở lớp 10? Những điều kiện và ràng buộc này có thay đổi ở lớp 12 không?
Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi này trong phần sau.
1.3. Phần bài tập
Trong phần này, chúng tôi khảo sát các kiểu nhiệm vụ có mặt trong sách Đại số 10
nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao liên quan đến giải và biện luận phương
trình chứa tham số. Đó là bốn kiểu nhiệm vụ dưới đây:
T1. Giải và biện luận phương trình chứa tham số
T1a. Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số
T1b. Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường
T2. Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi cố gắng chọn lựa một (hoặc nhiều) nhiệm vụ tiêu
biểu để minh họa. Lời giải của mỗi nhiệm vụ này đều được rút ra từ sách Đại số 10
nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao. Từ những lời giải mong đợi này, chúng
tôi phát biểu kỹ thuật giải của mỗi kiểu nhiệm vụ đang xét.
Trước hết, chúng tôi xét một nhiệm vụ điển hình thuộc kiểu nhiệm vụ T1, trích từ
sách Đại số 10 nâng cao (bài 24b, trang 84).
2mx − m 2 + m − 2
Giải và biện luận phương trình (m là tham số):
= 1.
x2 −1
Lời giải của sách giáo viên Đại số 10 nâng cao (trang 120)
Điều kiện: x ≠ ±1. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình f(x) = 0, trong đó
f(x) = x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0

(*)
11

Dễ thấy (*) là phương trình bậc hai với biệt thức ∆’ = m – 1. Do đó với mọi m ≥ 1, nó có hai
nghiệm là x 1 = m –

m − 1 và x 2 = m +

m −1 .

Phương trình (*) nhận x = 1 là nghiệm nếu f(1) = m2 – 3m + 2 = 0, tức là m ∈ {1; 2}.
Ta xét cụ thể hơn:
• Nếu m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm kép x = 1, nhưng không là nghiệm của phương trình đã
cho do không thỏa mãn điều kiện x ≠ 1.
• Nếu m = 2 thì phương trình (*) có hai nghiệm x 1 = 1 và x 2 = 3, trong đó chỉ có x = 3 là nghiệm
của phương trình đã cho.
Phương trình (*) không bao giờ nhận x = - 1 là nghiệm vì f(-1) = m2 + m + 2 ≠ 0 với mọi m.
Do đó, ta có kết luận sau:
• Với m ≤ 1, phương trình đã cho vô nghiệm;
• Với m = 2, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3;
• Với 1 < m ≠ 2, phương trình có hai nghiệm x 1 = m –

m − 1 và x 2 = m +

m −1 .

Lời giải trên giúp chúng tôi rút ra kỹ thuật mong đợi của kiểu nhiệm vụ T1 như sau:
- Bước 1: Đặt điều kiện xác định của phương trình;
- Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương hoặc/ và phép biến đổi hệ quả, đưa
phương trình về dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0;
- Bước 3: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 như
trong bảng 2 hoặc bảng 3;

- Bước 4: Khi phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm, phương
trình đã cho vô nghiệm. Khi phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 có
nghiệm, xét những giá trị nào của tham số khiến nghiệm này thỏa điều kiện đã đặt;
- Bước 5: Tổng hợp kết quả trong bước 3 và bước 4 để kết luận về nghiệm của phương
trình ban đầu.
Công nghệ biện minh cho kỹ thuật trên là:
- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số đã được trình bày trong sách giáo khoa
toán trung học cơ sở;
- Cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc nhất đã
được trình bày trong sách giáo khoa toán lớp 8, 9;
- Khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phép biến đổi tương
đương, phép biến đổi hệ quả đã được trình bày trong sách giáo khoa toán trung học cơ
sở và được trình bày lại trong sách Đại số 10 nâng cao;
- Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 được tóm
tắt trong bảng 2, bảng 3;
12


- Các khái niệm tham số, giải và biện luận phương trình chứa tham số.
Kỹ thuật được huy động trong kiểu nhiệm vụ trên thuộc loại kỹ thuật đại số. Kỹ
thuật đồ thị chỉ can thiệp trong một kiểu nhiệm vụ con của T1 mà chúng tôi ký hiệu là
T1a: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Một ví dụ về kiểu nhiệm vụ
con này đã được trình bày khi phân tích phần bài học của sách Đại số 10 nâng cao.
Chúng tôi nhắc lại rằng trong kiểu nhiệm vụ con này, yêu cầu “giải và biện luận
phương trình” được thu hẹp thành “biện luận số nghiệm của phương trình” với ràng
buộc được phát biểu tường minh là “bằng đồ thị”. Chúng tôi rút ra kỹ thuật mong đợi
của kiểu nhiệm vụ T1a như sau:
- Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m) nếu m là tham số;
- Bước 2: Vẽ các đồ thị (C): y = f(x) và (d): y = g(m);
- Bước 3: Dựa vào đồ thị, xét số giao điểm giữa (C) và (d) theo các giá trị của m;

- Bước 4: Sử dụng kết quả ở bước ba để kết luận về số nghiệm của phương trình đã
cho.
Công nghệ biện minh cho kỹ thuật trên là:
- Khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phép biến đổi tương
đương, phép biến đổi hệ quả đã được trình bày trong sách giáo khoa toán trung học cơ
sở và được trình bày lại trong sách Đại số 10 nâng cao;
- Các đồ thị (C): y = f(x) và (d): y = g(m);
- Số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) là số giao điểm giữa (C) và (d);
- Các khái niệm tham số, giải và biện luận phương trình chứa tham số.
Chúng tôi ghi nhận rằng yếu tố công nghệ “Cách giải và biện luận phương trình
dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0” trong kiểu nhiệm vụ T1 đã được thay thế bằng
hai yếu tố công nghệ khác trong kiểu nhiệm vụ T1a: đồ thị (C) và (d); số nghiệm của
phương trình f(x) = g(m) là số giao điểm giữa (C) và (d). Sự thay thế này có hiệu ứng
kép:
- Đồ thị vừa tham gia vào kỹ thuật giải, vừa trở thành yếu tố công nghệ;
- Kỹ thuật đồ thị khiến liên hệ giữa T1a và T1 trở nên đặc biệt: Một mặt, T1a (biện
luận số nghiệm của phương trình) có phần giao với T1 (giải và biện luận phương trình)
khi xét về yêu cầu phải hoàn thành. Mặt khác, T1a bị “đẩy xa” khỏi T1 xét về kỹ thuật
được thể chế hóa (kỹ thuật của T1 không được huy động cho T1a).
Có thể sơ đồ hóa mối liên hệ được thể chế hóa giữa T1a và T1 như sau:
T1. Giải và biện luận phương trình
chứa tham số
T1a. Biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số

13


Một phần của T1a nằm trong T1 vì T1a có phần chung với T1 khi xét về yêu cầu
phải hoàn thành (biện luận – giải và biện luận). Tuy nhiên, T1a không hoàn toàn nằm

trong T1 vì kỹ thuật của T1 không được huy động cho T1a. Dấu mũi tên không liền
nét thể hiện xu hướng T1a bị “đẩy xa” khỏi T1 xét về mặt kỹ thuật được thể chế hóa.
Kết quả này cho phép trả lời một phần những câu hỏi đã đặt ra ở cuối phần 1.2:
Không chỉ có vai trò kiểm nghiệm lại kết quả thu được bằng kỹ thuật đại số, kỹ thuật
đồ thị còn trở thành một kỹ thuật “độc lập” trong kiểu nhiệm vụ T1a, cho phép thay
thế việc giải và biện luận phương trình dựa vào bảng 2, 3 bằng việc đọc đồ thị. Chúng
tôi sẽ quay lại kỹ thuật đồ thị khi khảo sát kiểu nhiệm vụ T2 (Định giá trị của tham số
để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước).
Dưới đây, chúng tôi tiếp tục xét một nhiệm vụ điển hình của kiểu nhiệm vụ T1b
(Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường) trong sách Đại số 10 nâng cao
(bài 17, trang 80).
Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x2 – 2x + 3 và y = x2 – m theo tham số m.
Lời giải của sách giáo viên Đại số 10 nâng cao (trang 114)
Số giao điểm của hai parabol đúng bằng số nghiệm của phương trình –x2 – 2x + 3 = x2 – m ⇔ 2x2 +
2x – m – 3 = 0 (3)
Đây là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn ∆’ = 2m + 7. Do đó:
- Khi m < -3,5 thì (3) vô nghiệm, suy ra hai parabol không có điểm chung.
- Khi m = -3,5 thì (3) có một nghiệm (kép), suy ra hai parabol có một điểm chung.
- Khi m > -3,5 thì (3) có hai nghiệm phân biệt, suy ra hai parabol có hai điểm chung.

Dựa vào lời giải mong đợi trên, chúng tôi rút ra kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ T1b như
sau:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho;
- Bước 2: Đặt điều kiện xác định của phương trình;
- Bước 3: Dùng các phép biến đổi tương đương hoặc/ và phép biến đổi hệ quả, đưa
phương trình về dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0;
- Bước 4: Biện luận (không cần giải) số nghiệm của phương trình dạng ax + b = 0
hoặc ax2 + bx + c = 0 như trong bảng 2 hoặc bảng 3. Nếu các phép biến đổi đã dùng
đều là phép biến đổi tương đương, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai
đường. Nếu trong số các phép biến đổi đã dùng có ít nhất một phép biến đổi hệ quả,

xét thêm giá trị nào của tham số khiến nghiệm này thỏa điều kiện đã đặt, từ đó suy ra
số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm cũng là số giao điểm của hai đường.
Công nghệ biện minh cho kỹ thuật trên là:
14


- Số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) là số nghiệm của phương trình
hoành độ giao điểm f(x) = g(x);
- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số đã được trình bày trong sách giáo
khoa toán trung học cơ sở;
- Cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, bất phương trình bậc nhất
đã được trình bày trong sách giáo khoa toán lớp 8, 9;
- Khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phép biến đổi tương
đương, phép biến đổi hệ quả đã được trình bày trong sách giáo khoa toán trung học cơ
sở và được trình bày lại trong sách Đại số 10 nâng cao;
- Cách biện luận phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 được tóm tắt
trong bảng 2, bảng 3;
- Các khái niệm tham số, biện luận phương trình chứa tham số.
Trong kiểu nhiệm vụ T1b đang xét, việc sách giáo
khoa chọn hai parabol y = -x2 – 2x + 3 và y = x2 – m để

4
3,75

biện luận số giao điểm (thay vì chọn một parabol và một
đường thẳng cùng phương với trục hoành) đã hạn chế
đáng kể sự can thiệp của kỹ thuật đồ thị. Thật vậy, việc
xét sự tương giao của hai parabol này đòi hỏi phải xét sự

3

-1 -0,5

O

3
2

tiếp xúc của hai parabol y = -x2 – 2x + 3 và y = x2 +

1

-3

x

(hình vẽ). Trong trường hợp này (và do đó trong trường
hợp tổng quát), kỹ thuật đại số là kỹ thuật tối ưu.Yếu tố
công nghệ về sự tương ứng giữa số điểm chung (của hai đường) và số nghiệm (của
phương trình hoành độ giao điểm) cho phép chúng tôi xem T1b (Biện luận theo tham
số số giao điểm của hai đường) là một biến thể của T1a (Biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số). Tuy nhiên, trong khi kỹ thuật đồ thị “đẩy xa” T1a khỏi T1
thì kỹ thuật đại số “kéo gần” T1b lại T1.
Bổ sung T1b vào sơ đồ liên hệ giữa T1 và T1a đã thiết lập, chúng tôi có sơ đồ sau:
T1. Giải và biện luận phương trình
chứa tham số
T1a. Biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số

T1b. Biện luận theo tham số

số giao điểm của hai đường

T1b nằm ngoài T1 vì T1b không phải là một kiểu nhiệm vụ con của T1 xét về yêu
cầu phải hoàn thành. T1b có phần chung với T1a vì T1b là một biến thể của T1a. Dấu
15


mũi tên không liền nét hướng vào T1 thể hiện xu hướng T1b được “kéo gần” đến T1
xét về mặt kỹ thuật được thể chế hóa.
Chúng tôi sẽ kết thúc mục này bằng việc phân tích hai nhiệm vụ tiêu biểu trong
sách Đại số 10 nâng cao thuộc kiểu nhiệm vụ T2 (Định giá trị của tham số để phương
trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước).
Dựa vào hình 3.1 (trang 74), tìm các giá trị của a để phương trình (3) 8
cho trong ví dụ 3 có nghiệm dương. Khi đó, hãy tìm nghiệm dương
của (3). (Đại số 10 nâng cao, bài tập 7, trang 78)
Lời giải của sách giáo viên (trang 110)
Hình 3.1 (Đại số 10 nâng cao trang 74) cho thấy phương trình có
nghiệm dương khi và chỉ khi a > 2. Khi đó, phương trình có hai
nghiệm 9 x = -1 ±
+

a − 1 trong đó nghiệm dương là nghiệm lớn x = -1

a −1 .

Ngay từ cách phát biểu đề bài, chúng ta có thể dự đoán rằng lời giải mong đợi là lời
giải huy động kỹ thuật đồ thị, cho phép chuyển việc tìm giá trị của tham số để phương
trình đã cho có nghiệm dương về việc dựa vào đồ thị, xác định vị trí để đường thẳng
cắt parabol tại ít nhất một điểm có hoành độ dương.
Để so sánh kỹ thuật đồ thị với kỹ thuật đại số, chúng tôi thử đưa ra dưới đây các lời

giải khác cho bài toán trên với giả định không có các yêu cầu “dựa vào hình 3.1
(trang 74)”. Những lời giải này đều dựa trên các yếu tố công nghệ - lý thuyết 10 của
sách giáo khoa.
Lời giải 1
(3) ⇔ x2 + 2x + 2 – a = 0
∆’ = 1 – (2 – a) = a – 1
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0 ⇔ a ≥ 1. Khi đó, hai nghiệm của phương trình là x 1
= -1 –

a − 1 < 0 với mọi a ≥ 1, x 2 = -1 +

a −1 .

Phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi
-1 +

a −1 > 0 ⇔

a − 1 > 1 ⇔ a – 1 > 1 ⇔ a > 2.

Khi đó, nghiệm dương của phương trình là x 2 = -1 +

a −1 .

Lời giải 2. (3) ⇔ x2 + 2x + 2 – a = 0

Tức phương trình 3x + 2 = - x + x + a.
Chúng tôi cho rằng sách giáo viên dựa vào việc tính biệt thức thu gọn ∆’ và công thức nghiệm để biết được giá
trị hai nghiệm của phương trình.
10

Chúng tôi lưu ý rằng định lý tổng quát về so sánh một số với hai nghiệm của tam thức bậc hai không được đưa
vào sách giáo khoa hiện hành. Bù lại, sách giáo khoa có đưa ra nhận xét sau (trang 76):
8

2

9

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1 ≤ x2). Đặt S =
- Nếu P < 0 thì x1 < 0 < x2 (hai nghiệm trái dấu);
- Nếu P > 0 và S > 0 thì 0 < x1 ≤ x2 (hai nghiệm dương);
- Nếu P > 0 và S < 0 thì x1 ≤ x2 < 0 (hai nghiệm âm).

−

b
c
và P = . Khi đó:
a
a

16


Gọi hai nghiệm (nếu có) của phương trình là x 1 , x 2 . Phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi
x 1 ≤ 0 < x 2 hoặc 0 < x 1 ≤ x 2 . Vì S = -2 < 0 nên 0 < x 1 ≤ x 2 không thể xảy ra. Do đó, phương trình có
nghiệm dương khi và chỉ khi x 1 ≤ 0 < x 2 ⇔ x 1 = 0 < x 2 hoặc x 1 < 0 < x 2 . Nếu 0 là một nghiệm của
phương trình, ta có a = 2 và nghiệm kia là x = -2 < 0. Khi đó, phương trình không có nghiệm nào
dương. Nếu x 1 < 0 < x 2 ta có P < 0 ⇔ 2 – a < 0 ⇔ a > 2.
Vậy các giá trị cần tìm là a > 2. Khi đó, nghiệm dương của phương trình là x 2 = -1 +

a −1 .

Đối chiếu ba lời giải trên, ta thấy kỹ thuật đồ thị (lời giải của sách giáo viên) ít “tốn
kém” hơn kỹ thuật đại số (lời giải 1 và lời giải 2, dẫu lời giải 2 thiếu yếu tố công nghệ
- lý thuyết). Vậy trong những trường hợp tổng quát nào thì kỹ thuật đồ thị ưu việt hơn
kỹ thuật đại số? Đó là những ưu việt gì? Học sinh có thường xuyên huy động kỹ thuật
đồ thị hay không?
Chúng tôi giả định rằng sách giáo khoa yêu cầu tường minh việc sử dụng hình 3.1
trong đề bài nhằm giới thiệu tính “ưu việt” của kỹ thuật đồ thị trong trường hợp cần
định giá trị của tham số để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thỏa điều kiện cho
trước (chẳng hạn x > α). Thật vậy, kỹ thuật đồ thị trong ví dụ trên cho phép bỏ qua
một số giai đoạn của kỹ thuật đại số (định điều kiện để phương trình có nghiệm, so
sánh các nghiệm với 0) để nhận ra ngay giá trị của tham số làm cho phương trình có
nghiệm dương.
Nếu không yêu cầu tường minh dùng đồ thị, liệu kỹ thuật đồ thị có được huy động
hay không? Câu hỏi này khiến chúng tôi tiếp tục xét một nhiệm vụ tiêu biểu khác cũng
thuộc kiểu nhiệm vụ T2 (Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều
kiện cho trước).
Cho phương trình kx2 – 2(k + 1)x + k + 1 = 0.
a) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn. Đặt x = y + 1. (Đại số 10 nâng cao, bài 21, trang 81)
Lời giải của sách giáo viên, trang 115
a) Với k = 0, phương trình đã cho có một nghiệm x = 0,5 thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Với k ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai với biệt thức ∆’ = k + 1. Do đó, nó vô
nghiệm khi k < –1; có nghiệm duy nhất x = 0 khi k = –1. Cả hai trường hợp này đều không thỏa
mãn đề bài.
Cuối cùng, ta chỉ còn phải xét hai trường hợp sau (kí hiệu hai nghiệm là x 1 và x 2 ):
Với -1 < k < 0, ta có x 1 x 2 =

k +1
< 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là có một
k

nghiệm dương (thỏa mãn).
Với k > 0, ta có x 1 + x 2 = x 1 x 2 =

k +1
> 0, phương trình có hai nghiệm dương (thỏa mãn).
k

Kết luận. Các giá trị của k thỏa mãn đề bài là k > -1.

17


b) Đặt x = y + 1, ta có phương trình ky2 – 2y – 1 = 0 (1). Bài toán trở thành: Tìm các giá trị của k để
phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. Hiển nhiên, điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm
trái dấu là k > 0.

Ngoài lời giải huy động kỹ thuật đại số trên đây, sách giáo viên không đề cập gì đến
các lời giải khác, chẳng hạn lời giải huy động kỹ thuật đồ thị mà chúng tôi giả định
dưới đây:
Khi x = 1, phương trình đã cho trở thành đẳng thức sai -1 = 0. Vậy x = 1 không phải
là nghiệm của phương trình với mọi k. Khi x ≠ 1, phương trình đã cho tương đương
với

2x − 1
= k. Nghiệm của phương trình chính là hoành độ giao điểm của đồ thị (C):

( x − 1) 2

y=

2x − 1
với đường thẳng (d): y = k cùng phương với trục hoành.
( x − 1) 2

Căn cứ vào đồ thị, ta thấy:

y

a) Phương trình có ít nhất một nghiệm
dương khi và chỉ khi k > -1.
b) Phương trình có một nghiệm lớn
hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1 khi và
chỉ khi k > 0.

y=k

1
1

O

x

-1

Rõ ràng lời giải huy động kỹ thuật

đồ thị ngắn gọn và dễ hiểu hơn lời giải
huy động kỹ thuật đại số. Nhưng tại

sao kỹ thuật đồ thị không được sách giáo viên huy động đối với bài tập trên? Chúng tôi
không tìm thấy giải thích nào từ sách giáo viên. Tuy nhiên, việc khảo sát các lời giải
mong đợi trong sách giáo viên cho phép chúng tôi rút ra sự ràng buộc thể chế đối với
“sự sống” của kỹ thuật đồ thị đặt trong mối tương quan với kỹ thuật đại số trong việc
giải quyết kiểu nhiệm vụ T2. Sự ràng buộc này thể hiện những lựa chọn sư phạm của
tác giả sách giáo khoa và được chúng tôi phát biểu dưới dạng hợp đồng thể chế như
sau:
Đối với kiểu nhiệm vụ T2 (Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa
điều kiện cho trước), kỹ thuật đồ thị được huy động chỉ khi đề bài yêu cầu tường minh.
Trong những trường hợp khác, kỹ thuật đại số là kỹ thuật được ưu tiên.
Khảo sát ý kiến 30 giáo viên toán đang dạy lớp 10 năm học 2011-2012 về lý do
không sử dụng kỹ thuật đồ thị trong lời giải bài toán trên, chúng tôi thu được kết quả
sau:
Lý do

Số lượng
(Một người có thể
đề xuất nhiều lý do)

18


Kỹ thuật tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số chưa được giảng dạy ở lớp 10
Kỹ thuật đồ thị không phải là kỹ thuật tổng
quát giải quyết được mọi bài tập thuộc kiểu
nhiệm vụ định giá trị của tham số để phương

trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

21/21
10/21

Kỹ thuật đồ thị đã được giới thiệu trong bài tập 7,
5/21
trang 78. Bài 21 trang 81 nhằm giới thiệu kỹ thuật
đại số
Không trả lời
9
Bảng 4. Kết quả khảo sát ý kiến giáo viên

Việc có một lượng lớn giáo viên không đưa ra giải thích nào (9/30) cho thấy sự lúng
túng của họ đối với câu hỏi đã đặt. Nói cách khác, những giáo viên này hoàn toàn “thờ
ơ” với việc huy động kỹ thuật đồ thị để giải bài toán đang xét. Trong số những giáo
viên có tham gia trả lời, 21/21 người giải thích việc không thể huy động kỹ thuật đồ thị
bằng lý do kỹ thuật tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chưa được giảng dạy ở
lớp 10. Chúng tôi không hoàn toàn tán đồng ý kiến này. Thật vậy, ngay cả khi việc vẽ
đồ thị (C): y =

2x − 1
là khó hoặc không thể đối với học sinh lớp 10, sách giáo khoa
( x − 1) 2

vẫn có thể giới thiệu kỹ thuật đồ thị dưới dạng chú ý (như đã từng làm trước đó ở các
trang 4, 5, 20, 28, 51, 66, 67 và 75): có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng sự
tương giao của đồ thị (C): y =

2x − 1

và đường thẳng (d): y = k.
( x − 1) 2

Vấn đề này cũng đưa chúng tôi đến một câu hỏi mới: ở lớp 12, sau khi học xong kỹ
thuật tổng quát về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, kỹ thuật đồ thị có được huy động để
giải quyết kiểu nhiệm vụ T2 không?
Từ lời giải mong đợi của sách giáo viên, chúng tôi rút ra kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ
T2 (Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước) như
sau:
Trường hợp 1. Đề bài yêu cầu tường minh việc sử dụng đồ thị
- Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m).
- Vẽ đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng cùng phương với trục hoành (d): y = g(m)
trên cùng một hệ trục tọa độ.
- Chuyển điều kiện ràng buộc nghiệm của phương trình từ ngôn ngữ đại số sang
ngôn ngữ hình học.
- Dựa vào đồ thị và điều kiện ràng buộc đối với nghiệm đã được chuyển sang ngôn
ngữ hình học, xác định điều kiện ràng buộc đối với g(m).
- Từ điều kiện ràng buộc đối với g(m), suy ra các giá trị m cần tìm.
19


Trường hợp 2. Đề bài không yêu cầu tường minh việc sử dụng đồ thị
- Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng ax2 + bx + c = 0 (hoặc ax + b = 0).
- Dựa vào bảng 3 (hoặc bảng 2) để biện luận sự tồn tại nghiệm và giá trị nghiệm của
phương trình.
- Trong trường hợp phương trình có nghiệm, xác định các giá trị của tham số khiến
nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện yêu cầu.
Công nghệ biện minh cho kỹ thuật trên là:
Trường hợp 1
- Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả.

- Tính chất: Nghiệm của phương trình f(x) = g(m) là hoành độ giao điểm của đồ thị
(C): y = f(x) và đường thẳng cùng phương với trục hoành (d): y = g(m).
- Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và tính chất của hàm số được sách Đại số 10 nâng
cao tổng quát hóa ở trang 36 (Qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được
nhiều tính chất của hàm số đó) và được cụ thể hóa trong các mục tiếp theo từ trang 37
đến trang 44.
- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Khái niệm tham số.
Trường hợp 2
- Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả.
- Cách biện luận phương trình dạng ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + c = 0 được tóm tắt
trong bảng 2, bảng 3.
- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Các khái niệm tham số, giải và biện luận phương trình chứa tham số.
Chúng tôi sơ đồ hóa kiểu nhiệm vụ T2 trong mối tương quan với các kiểu nhiệm vụ
T1, T1a và T1b như dưới đây. T2 có phần giao với T1 vì có chung kỹ thuật biện luận
phương trình chứa tham số. Về mặt toán học, kiểu nhiệm vụ T2 có hai kỹ thuật giải.
Dấu mũi tên không liền nét từ T2 hướng vào T1 biểu thị việc T2 có xu hướng tiến gần
T1 do kỹ thuật đại số được thể chế ưu tiên hơn kỹ thuật đồ thị.
T1. Giải và biện luận phương trình
chứa tham số
T1a. Biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số
T2. Định giá trị của tham số
để phương trình có nghiệm
thỏa điều kiện cho trước

T1b. Biện luận theo tham số
số giao điểm của hai đường

20