hạng của module trên miền dedekind và miền các ideal chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ân

HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN
DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC
IDEAL CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ân

HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN
DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC
IDEAL CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ, K20
Mã số: 60 46 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – tin trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã cho tôi niềm đam mê khoa học và
đã trang bị đầy đủ kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người
đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này,
người đã cho tôi những định hướng và nhận xét quý báu trong quá trình xây
dựng đề cương cũng như quá trình hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tin tưởng, động viên và
ủng hộ về mặt tinh thần cả vật chất để tôi thuận lợi hoàn thành khóa học.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012
Nguyễn Văn Ân


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ......................................................................................................... i
Mục lục ........................................................................................................... ii
Lời mở đầu ....................................................................................................... iii
Chương 1. MIỀN DEDEKIND ..................................................................... 1
1.1. Khái niệm đóng nguyên .................................................................... 1
1.2. Vành Noether .................................................................................... 2
1.3. Miền Dedekind.................................................................................. 3
1.4. Hạng của nhóm Abel ........................................................................ 9
Chương 2. HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN
MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH........................................................................... 11
2.1. Cấp của phần tử............................................................................... 11
2.2. Module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind ........................... 16
2.3. Khái niệm hạng của module trên miền Dedekind. ......................... 21
2.4. Một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính......... 31

2.5. So sánh một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính
và miền Dedekind. .................................................................................. 41
Kết luận ......................................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 49


LỜI MỞ ĐẦU
Có nhiều nghiên cứu module trên miền các ideal chính vì nó có nhiều tính
chất “hay và đẹp” và miền Dedekind có thể xem như là mở rộng gần gủi nhất
của miền các ideal chính, vì miền Dedekind còn bảo lưu được nhiều tính chất
rất giống với miền các ideal chính, chẳng hạn: trong miền Dedekind mỗi
ideal đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal
nguyên tố của miền Dedekind đều là ideal tối đại, tuy nhiên nó cũng có nhiều
tính chất rất khác so với miền các ideal chính, chẳng hạn mỗi ideal của miền
Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của môt module cyclic
trên miền Dedekind có thể không là module cyclic…
Khái niệm hạng của module có thể xem như là khái niệm mở rộng của
khái niệm hạng module tự do, tuy nhiên khái niệm hạng của một module đặc
biệt là hạng của module trên miền Dedekind chưa được nghiên cứu nhiều,
trong luận văn này sẽ nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra những tính chất mới về
hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính.
Luận văn gồm 2 chương
Chương I: Miền Dedekind
Trong chương này trình bài các tính chất cơ bản về miền Dedekind cần
thiết cho chương II.
Chương II: Hạng của module trên miền Dedekind và trên miền các ideal
chính
Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của
cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind, xây dựng và nghiên cứu
các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind, xây dựng

khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính,
nghiên cứu các tính chất quan trọng hạng của module trên miền Dedekind và
miền các ideal chính.


Chương 1. MIỀN DEDEKIND
1.1. Khái niệm đóng nguyên
1.1.1. Định nghĩa phần tử nguyên
Cho 𝐴 và 𝐵 là những miền nguyên, 𝐴 ⊂ 𝐵 (tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵).
Phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 được gọi là phần tử nguyên trên 𝐴 nếu tồn tại đa thức 𝑓(𝑥)
thuộc 𝐴[𝑥] đơn khởi, bậc lớn hơn hoặc bằng 1, nhận 𝑏 làm nghiệm. Hay 𝑏
nguyên trên 𝐴 khi và chỉ khi tồn tại 𝑎0 , 𝑎1 , … 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 sao cho
1.1.2. Định lý

𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = 0

Cho tháp các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵. Nếu 𝐵 là 𝐴-module hữu hạn sinh thì 𝐵
nguyên trên 𝐴 (nghĩa là mọi phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 đều nguyên trên 𝐴).

Chứng minh. Giả sử 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 là hệ sinh của 𝐴-module 𝐵, khi đó ∀𝑏 ∈ 𝐵 ta
có

Suy ra

𝑏1 𝑏 = 𝑎11 𝑏1 + ⋯ + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚
𝑏 𝑏 = 𝑎21 𝑏1 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚
� 2
…
𝑏𝑚 𝑏 = 𝑎𝑚1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑚 𝑏𝑚

(𝑎11 − 𝑏)𝑏1 + 𝑎12 b2 … + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚 = 0
𝑎 𝑏 + (𝑎22 − 𝑏)𝑏2 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚 = 0
� 21 1
…
𝑎𝑚1 𝑏1 + 𝑎𝑚2 𝑏2 + ⋯ + (𝑎𝑚𝑚 − 𝑏)𝑏𝑚 = 0

Hệ có nghiệm 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 khác 0, do đó:

a11  b
a12

a1m
a21
a22  b 
a2 m
0



am1
am 2
 amm  b

Đẳng thức trên tương đương với
(−1)𝑚 𝑏𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑏 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴


Vậy 𝑏 là nghiệm của đa thức:

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑚 + (−1)𝑚 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + (−1)𝑚 𝑎1 𝑥 + (−1)𝑚 𝑎0 ∈ 𝐴[𝑥]

Từ đó suy ra b nguyên trên A.



1.1.3. Hệ quả
Cho tháp các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵, và b thuộc B. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương
i) b nguyên trên A.

ii) A[b] là A-module hữu hạn sinh.
iii) A[b] nguyên trên A.
1.1.4. Định nghĩa bao đóng nguyên
Cho các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵. Ta định nghĩa bao đóng nguyên của A trong
B là tập 𝐴𝐵 = {𝑏 ∈ 𝐵|𝑏 nguyên trên A}.

Nếu 𝐴𝐵 = 𝐵 thì ta nói B nguyên trên A, nếu 𝐴𝐵 = 𝐴 thì ta nói A đóng
nguyên trong B.
Nhận xét: 𝐴 ⊂ 𝐴𝐵 ⊂ 𝐵

1.1.5. Định nghĩa đóng nguyên
Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Bao đóng nguyên
của A trong K được gọi là bao đóng nguyên của A. Miền nguyên A được gọi là
đóng nguyên nếu 𝐴𝐾 = 𝐴.

1.2. Vành Noether

1.2.1. Định nghĩa dây chuyền tăng các ideal
Cho một dãy vô hạn các ideal {𝐼𝑛 |𝑛 = 1,2, … } trong một vành.

Dãy này được gọi là một dây chuyền tăng nếu 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯

Dãy này gọi là dây chuyền tăng nghiêm ngặt nếu 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 ⊂ ⋯


1.2.2. Định nghĩa dãy dừng
Một dây chuyền tăng các ideal 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ trong một vành
được gọi là dừng nếu có một số nguyên dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛0 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
1.2.3. Định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng

Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu mọi dây
chuyền tăng các ideal của R đều dừng. Nói cách khác, R được gọi là thỏa mãn
điều kiện dây chuyền tăng nếu R không chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt
các ideal nào.
1.2.4. Định nghĩa vành Noether
Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều kiện dây
chuyền tăng.
1.2.5. Định nghĩa điều kiện tối đại
Một vành D được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập không
rỗng S các ideal của D đều chứa một ideal sao cho không có một ideal nào
trong S chứa nó thực sự; nghĩa là trong S có một ideal I sao cho nếu J là một
ideal trong S mà 𝐼 ⊆ 𝐽 thì 𝐼 = 𝐽 (hay nói cách khác, mọi tập không rỗng S các
ideal của D đều chứa phần tử tối đại).
1.2.6. Định lý

Cho R là một vành, các mệnh đề sau là tương đương:
i) R là vành Noether.
ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại.
iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.
1.3. Miền Dedekind

1.3.1. Định nghĩa miền Dedekind
Cho D là miền nguyên, D được gọi là miền Dedekind nếu các điều kiện
sau đồng thời được thỏa mãn:
i) D là vành Noether.
ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại.


iii) D là đóng nguyên.
Ví dụ 1. Miền các ideal chính là miền Dedekind, thậy vậy:
Trong miền các ideal chính mọi ideal đều sinh bởi một phần tử nên hữu
hạn sinh, do đó miền các ideal chính là vành Noether.
Giả sử 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố khác 0 trong miền các ideal chính X, và có
ideal 〈𝑞〉 sao cho 〈𝑝〉 ⊂ 〈𝑞〉 ⊂ 𝑋 suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝑋 sao cho 𝑝 = 𝑎𝑞, vì vậy
𝑎𝑞 ∈ 〈𝑝〉 kết hợp với 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố suy ra 𝑎 ∈ 〈𝑝〉 hoặc 𝑞 ∈ 〈𝑝〉 điều
này tương đương 𝑎 = 𝑏𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ 𝑋) hoặc 𝑞 = 𝑐𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑐 ∈ 𝑋). Vậy
〈𝑝〉 = 〈𝑞〉 hoặc 〈𝑞〉 = 𝑋, tức là 〈𝑝〉 tối đại.

Giả sử X là miền các ideal chính, K là trường các thương của X, Ta đã có
𝑋 ⊂ 𝑋 𝐾 , ngược lại lấy 𝛼 ∈ 𝑋 𝐾 , ta có 𝛼 ∈ 𝐾 nên 𝛼 = 𝑎/𝑏, với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 và
(𝑎, 𝑏) = 1. Vì 𝛼 nguyên trên X nên tồn tại 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝑋 sao cho
suy ra

hay

𝑎 𝑛−1
𝑎
𝑎 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 � � + 𝑎0 = 0
� � + 𝑎𝑛−1 � �
𝑏

𝑏
𝑏

𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 + 𝑎0 𝑏 𝑛 = 0
𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 − ⋯ − 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 − 𝑎0 𝑏 𝑛

Vậy 𝑎𝑛 ⋮ 𝑏 mà (𝑎, 𝑏) = 1 nên 𝑏 = 1 do đó 𝛼 = 𝑎 ∈ 𝑋. Do đó ta có
𝑋 𝐾 ⊂ 𝑋.

Ví dụ 2. Cho K là trường sau cho ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, trong đó ℚ và ℂ lần lượt là
trường các số hữu tỷ và trường các số phức, [𝐾: ℚ] = 𝑛. Ta gọi 𝑂𝐾 là vành
các số nguyên của K trên ℤ, tức là
𝑂𝐾 = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ℤ}

Khi đó 𝑂𝐾 là miền Dedekind (xem [9], trang 194, định lý 8.1.1).

1.3.2. Định nghĩa Ideal phân

Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D. Tập con A khác
rỗng của K được gọi là ideal phân của D nếu có 3 điều kiện sau:
i) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 thì 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐴.


ii) ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì 𝑎𝑥 ∈ 𝐴.

iii) ∃𝛼 ∈ 𝐷, 𝛼 ≠ 0 để 𝛼𝐴 ⊂ 𝐷.

Nhận xét

Nếu 𝐴, 𝐵 là các ideal phân của 𝐷 thì 𝐴 + 𝐵, 𝐴𝐵 cũng là ideal phân của 𝐷.

1.3.3. Tính chất

1) Nếu 𝐴 ⊲ 𝐷 thì A là ideal phân của D. Ngược lại, nếu A là ideal phân
của D và 𝐴 ⊂ 𝐷 thì 𝐴 ⊲ 𝐷.

2) Mỗi ideal phân A của D đều viết được 𝐴 =

�
1.3.4. Định nghĩa Ideal 𝑷

𝐼

𝛼

với 𝛼 ∈ 𝐷, 𝐼 ⊲ 𝐷.

Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D, K là trường các
thương của D. Ta định nghĩa
𝑃� = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼𝑃 ⊂ 𝐷}

Nhận xét: 𝑃� là ideal phân của D, thật vậy
• ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�: (𝛼 + 𝛽)𝑃 ⊂ 𝛼𝑃 + 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷 + 𝐷 = 𝐷, do đó 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝑃�.
• ∀𝑎 ∈ 𝐷, ∀𝛼 ∈ 𝑃�: (𝛼𝑎)𝑃 = 𝑎(𝛼𝑃) ⊂ 𝑎𝐷 ⊂ 𝐷, suy ra 𝛼𝑎 ∈ 𝑃�.
• Lấy 𝛼 ∈ 𝑃\{0}. Khi đó ∀𝛽 ∈ 𝑃�, ta có 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼 ∈ 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷, nên 𝛼𝑃� ⊂ 𝐷.
1.3.5. Mệnh đề

Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố khác 0 của D. Khi đó
𝑃�𝑃 = 𝐷.
Chứng minh. Vì 𝑃�, 𝑃 là ideal phân của D nên 𝑃�𝑃 là ideal phân của D. Với mọi

𝛼 ∈ 𝑃� thì 𝛼𝑃 ⊂ 𝐷 nên 𝑃�𝑃 ⊂ 𝐷, suy ra 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷.

Vì 1 ∈ 𝐷 ⊂ 𝑃� nên 1𝑃 ⊂ 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷, do tính tối đại của P ta có 𝑃�𝑃 = 𝑃
hoặc 𝑃�𝑃 = 𝐷.

Giả sử 𝑃�𝑃 = 𝑃, Khi đó ta chứng minh 𝑃� là một miền nguyên con của K
chứa D. Thật vậy, vì 𝑃� là ideal phân của D nên 𝑃� đóng với phép trừ. Để
chứng minh 𝑃� đóng với phép nhân ta lấy 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�, cần chứng minh 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�.
Ta có:(𝛼𝛽)𝑃 = 𝛼(𝛽𝑃) ⊂ 𝛼𝑃 ⊂ 𝑃 ⊂ 𝐷(vì 𝑃�𝑃 = 𝑃) do đó 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�.


Do D là vành Noether nên 𝑃� là D-hữu hạn sinh. Do 𝑃� là miền nguyên nên
𝑃� là D-module hữu hạn sinh. Do đó 𝑃� nguyên trên D, mà D đóng nguyên nên
𝑃� = 𝐷, mâu thuẫn với bổ đề 1.3.5.
Vậy 𝑃�𝑃 = 𝐷.



1.3.6. Định lý

Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal khác 0 và khác D của D đều phân
tích được duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các ideal nguyên tố.
Chứng minh. (xem [1], trang 10, mệnh đề 1.4.9).
1.3.7. Định nghĩa cấp của ideal
có

Từ định lý 1.3.6 nếu D là miền Dedekind thì ∀𝐴 ⊲ 𝐷, 𝐴 ≠ 0, 𝐴 ≠ 𝐷, ta
𝑘

𝑘

𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚

trong đó 𝑃𝑖 là các ideal nguyên tố khác nhau của D và 𝑘𝑖 ≥ 1. Đây được gọi
là dạng phân tích tiêu chuẩn của A. Với mọi P là ideal nguyên tố của D ta quy
ước 𝑃0 = 𝐷 = 〈1〉. Ta định nghĩa
𝑘𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝐴), 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

Nếu P không có mặt trong sự phân tích tiêu chuẩn của A thì ta định nghĩa
𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) = 0, (𝑃 ≠ 𝑃𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚)

Xét khi A là ideal phân của D, khi đó 𝐴 =
𝑘

𝑘

𝑙

𝑙

𝐼

𝛼

với 𝐼 ⊲ 𝐷 và 𝛼 ∈ 𝐷, theo trên

ta có 𝐼 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ≥ 0, 〈𝛼〉 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑙𝑖 ≥ 0. Từ giả thiết 〈𝛼〉𝐴 = 𝐼 ta
𝑙
𝑘
𝑙

𝑘
có 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 . Ta định nghĩa
𝑘 −𝑙1

𝐴: = 𝑃1 1

𝑘 −𝑙𝑚

… 𝑃𝑚𝑚

Định nghĩa hợp lý, vì nếu 𝐴 =

𝐼

𝛼

𝐽

, 𝑘 𝑖 − 𝑙𝑖 ∈ ℤ
𝑘′

′

𝑙′

′

𝑘
𝑙
= , 𝐽 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 〈𝛽〉 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚

𝛽

thì 𝐼 = 𝛼𝐴 và 𝐽 = 𝛽𝐴 nên 𝛽𝐼 = 𝛼𝐽, do đó 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝛽𝐼) = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝛼𝐽) suy ra
𝑙𝑖′ + 𝑘𝑖 = 𝑙𝑖 + 𝑘𝑖′ hay 𝑘𝑖 − 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖′ − 𝑙𝑖′ , 𝑖 = 1, … , 𝑚, vậy ta có
𝑘 −𝑙1

𝐴 = 𝑃1 1

𝑘 −𝑙𝑚

… 𝑃𝑚𝑚

𝑘 ′ −𝑙1′

= 𝑃1 1

′
𝑘 ′ −𝑙𝑚

… 𝑃1 𝑚


Từ kết quả trên ta suy ra các ideal phân của D lập thành một nhóm đối với
phép nhân ideal, đơn vị là D.
Nhận xét .
𝑘
−𝑘
𝑘
−𝑘
• Nếu 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì 𝐴−1 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚 𝑚 .

𝑘
𝑘
• Nếu 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì các điều kiện sau là tương đương
o A là ideal nguyên của D.
o 𝑘𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
o 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) ≥ 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố.
• 𝐴 = 𝐷 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) = 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố.

Để tiện lợi khi đưa ra tính chất cấp của ideal trong miền Dedekind, Sau
đây chúng ta sẽ xây dựng tính chất số học của các ideal trong miền Dedekind
tương tự như tính chất số học của các phần tử trên miền các ideal chính.
1.3.8. Định nghĩa chia hết

Cho A, B là ideal (nguyên, phân) của D. Ta nói A chia hết cho B, viết
𝐴 ⋮ 𝐵, nếu tồn tại ideal nguyên C để 𝐴 = 𝐵𝐶. Khi 𝐴 ⋮ 𝐵 ta còn nói B là ước
của A, viết 𝐵|𝐴.
𝐴

Sự tồn tại ideal nguyên 𝐶 như trên là duy nhất nên ta ký hiệu 𝐶 ≔ .
𝐵

Nhận xét:

i) 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝐴 ⋮ 𝐵.

ii) 𝑎 ∈ 𝐵 khi và chỉ khi 〈𝑎〉 ⋮ 𝐵.

1.3.9. Định nghĩa ước chung lớn nhất
Cho A và B là ideal của D, ideal (𝐴, 𝐵) gọi là ước chung lớn nhất của A
và B nếu xãy ra hai điều kiện sau:

i) 𝐴 ⋮ (𝐴, 𝐵), 𝐵 ⋮ (𝐴, 𝐵)

ii) Nếu 𝐴 ⋮ 𝐶 và 𝐵 ⋮ 𝐶 thì (𝐴, 𝐵) ⋮ 𝐶

1.3.10. Tính chất
𝑘

𝑘

𝑙

𝑙

𝑚𝑖𝑛{𝑘1 ,𝑙1 }

1) 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐵 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 thì (𝐴, 𝐵) = 𝑃1

𝑚𝑖𝑛{𝑘𝑚 ,𝑙𝑚 }

… 𝑃𝑚

.

2) (𝐴, 𝐵) = 𝐴 + 𝐵.
Chứng minh.Vì 𝐴 ⊂ 𝐴 + 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴 + 𝐵 nên 𝐴 ⋮ (𝐴 + 𝐵), 𝐵 ⋮ (𝐴 + 𝐵).


Nếu 𝐴 ⋮ 𝐶 và 𝐵 ⋮ 𝐶 tức là 𝐴 ⊂ 𝐶 và 𝐵 ⊂ 𝐶 suy ra (𝐴 + 𝐵) ⊂ 𝐶 hay
(𝐴 + 𝐵) ⋮ 𝐶.

3) Nếu 𝐴𝐶 ⋮ 𝐵,(𝐴, 𝐵) = 〈1〉 thì 𝐶 ⋮ 𝐵.
Chứng minh. Ta có 𝐴𝐶 ⊂ 𝐵, từ (𝐴 + 𝐵) = 〈1〉, suy ra tồn tại 𝑎 ∈
𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑎 + 𝑏 = 1. Khi đó ∀𝑐 ∈ 𝐶: 𝑐 = 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 ∈ 𝐵, nên
𝐶 ⊂ 𝐵 hay 𝐶 ⋮ 𝐵.
4) Nếu (𝐴, 𝐵) = 〈1〉 thì 𝐴𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.
Chứng minh. Hiển nhiên ta có 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵
Mặt khác từ 𝐴 + 𝐵 = 〈1〉 suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑎 + 𝑏 = 1
Khi đó ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵: 𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑥𝑏 ∈ 𝐴𝐵, nên 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴𝐵.

5) Nếu (𝐴, 𝐵) = 〈1〉, 𝐶 ⋮ 𝐴, 𝐶 ⋮ 𝐵 thì 𝐶 ⋮ 𝐴𝐵.
Chứng minh. Do 𝐶 ⋮ 𝐴, 𝐶 ⋮ 𝐵 nên 𝐶 ⊂ 𝐴 và 𝐶 ⊂ 𝐵 suy ra 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝐴𝐵 hay 𝐶 ⋮ 𝐴𝐵.

6) Nếu 𝑃1 và 𝑃2 là các ideal nguyên tố khác nhau thì (𝑃1 , 𝑃2 ) = 〈1〉.
Chứng minh. 𝑃1 là ideal nguyên tố nên 𝑃1 tối đại mà 𝑃1 ⊂ 𝑃1 + 𝑃2 ⊂ 𝐷

nên 𝑃1 + 𝑃2 = 𝐷 hay (𝑃1 , 𝑃2 ) = 〈1〉.

1.3.11. Định nghĩa bội chung nhỏ nhất

Cho A và B là ideal của D, ideal [𝐴, 𝐵] gọi là bội chung nhỏ nhất của A và
B nếu xãy ra hai điều kiện sau:
i) [𝐴, 𝐵] ⋮ 𝐴, [𝐴, 𝐵] ⋮ 𝐵.

ii) Nếu 𝐶 ⋮ 𝐴 và 𝐶 ⋮ 𝐵 thì 𝐶 ⋮ [𝐴, 𝐵].

Nhận xét:

𝑘

𝑘

𝑙

𝑙

𝑚𝑎𝑥{𝑘1 ,𝑙1 }

1) 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐵 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 thì [𝐴, 𝐵] = 𝑃1

2) [𝐴, 𝐵] = 𝐴 ∩ 𝐵.

1.3.12. Tính chất cấp của ideal
1) Cho 𝐴, 𝐵 là ideal phân bất kỳ của D, ta có

𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) + 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵)
𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴 + 𝐵) = min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵)}

𝑚𝑎𝑥{𝑘𝑚 ,𝑙𝑚 }

… 𝑃𝑚

.


Từ đó suy ra 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵), ∀𝑃 là ideal
nguyên tố.

2) Ta định nghĩa 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) ≔ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (〈𝛼〉), ∀𝛼 ∈ 𝐾 , khi đó ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ta có
𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼𝛽) = 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) + 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)

𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼 + 𝛽) ≥ min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)}

Nếu
𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) ≠ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)
min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)}.

thì

1.3.13. Định lý

𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼 + 𝛽) =

Cho D là miền Dedekind, A là ideal (nguyên, phân) của D, B là ideal
nguyên của D. Khi đó ∃𝛼 ∈ 𝐴 để 𝐴 = 〈𝛼〉 + 𝐴𝐵.
1.3.14. Định lý
tử.

Mọi ideal (nguyên, phân) của miền Dedekind D đều sinh bởi tối đa 2 phần

Chứng minh. Giả sử A là ideal bất kỳ của D, 𝛽 ∈ 𝐴. Khi đó, 〈𝛽〉 ⊂ 𝐴 nên tồn
tại B là ideal nguyên của D sao cho 〈𝛽〉 = 𝐴𝐵 . Theo định lý 1.3.13, tồn tại α
thuộc A để
𝐴 = 〈𝛼〉 + 𝐴𝐵 = 〈𝛼〉 + 〈𝛽〉 = 〈𝛼, 𝛽〉



1.4. Hạng của nhóm Abel

Trong luận văn này chúng tôi chuyển một số kết quả về hạng của nhóm
Abel sang hạng của module trên miền các ideal chính và miền Dedekind. Sau

đây là một số kết quả cơ bản được nhắc lại.
1.4.1. Độc lập và hạng.
Cho S là tập khác rỗng và không chứa phần tử 0 của nhóm Abel G, S được
gọi là độc lập nếu 𝑠1 , … , 𝑠𝑟 là các phần tử của S, và 𝑚1 , … , 𝑚𝑟 là các số
nguyên thỏa hệ thức 𝑚1 𝑠1 + ⋯ + 𝑚𝑟 𝑠𝑟 = 0 ta sẽ suy ra được 𝑚𝑖 𝑠𝑖 = 0 ∀𝑖.
Nếu S không độc lập thì hiễn nhiên ta nói S là phụ thuộc.

Từ định nghĩa suy ra “Nhóm G là tổng trực tiếp của nhóm cyclic nếu và
chỉ nếu nó được sinh ra bởi một tập độc lập”.
Từ bổ đề Zorn’s suy ra “Mỗi tập độc lập tuyến tính của G nằm trong một
tập độc lập tuyến tính tối đại”.


Nếu 𝑝 nguyên tố, G là nhóm Abel thì ta gọi 𝑟𝑝 (𝐺) là lực lượng của tập
độc lập tuyến tính tối đại gồm những phần tử có cấp là lũy thừa của 𝑝.
Tương tự ta gọi 𝑟0 (𝐺) là lực lượng của tập độc lập tuyến tính tối đại gồm
những phần tử có cấp vô hạn.
Ta định nghĩa hạng của G là

𝑟(𝐺) = 𝑟0 (𝐺) + max 𝑟𝑝 (𝐺)

1.4.2. Mệnh đề (xem [5], 4.2.1)

𝑝

Nếu 𝐺 là nhóm Abel, hai tập độc lập tối đại gồm những phần tử có cấp là
lũy thừa của số nguyên tố p thì có cùng lực lượng. Tương tự hai tập độc lập
tối đại gồm những phần tử có cấp vô hạn cũng có cùng lực lượng. Do đó
𝑟0 (𝐺), 𝑟𝑝 (𝐺) và 𝑟(𝐺) chỉ phụ thuộc vào 𝐺.
1.4.3. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 2, trang 102)

Cho 𝐺 là nhóm Abel, H là nhóm con của G, 𝑑(𝐻) là số phần tử của tập
sinh tối tiểu của 𝐻. Khi đó 𝑟(𝐺) hữu hạn khi và chỉ khi 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)} hữu hạn
(với H chạy khắp các nhóm con hữu hạn sinh của G), hơn nữa trong trường
hợp này ta có 𝑟(𝐺) = 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)}.
1.4.4. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 3, trang 102)

Cho 𝐺 là nhóm Abel hữu hạn sinh thì 𝑑(𝐺) = 𝑟(𝐺), hơn nữa 𝑑(𝐺) =
𝑟0 (𝐺) khi và chỉ khi 𝐺 không xoắn.

1.4.5. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 4, trang 102)

Cho A, B là các nhóm Abel hữu hạn sinh và B không xoắn thì ta có
𝑑(𝐴⨁𝐵) = 𝑑(𝐴) + 𝑑(𝐵)

1.4.6. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 7, trang 102)

Cho 𝐻 là nhóm con của nhóm Abel 𝐺 thì ta có

i) 𝑟0 (𝐻) + 𝑟0 (𝐺/𝐻) = 𝑟0 (𝐺).

ii) 𝑟𝑃 (𝐻) + 𝑟𝑃 (𝐺/𝐻) ≥ 𝑟𝑃 (𝐺).


Chương 2. HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND
VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH
Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của
cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind. Dựa vào tính chất cấp của
phần tử chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và
tựa cyclic trên miền Dedekind. Trên cơ sở đó chúng tôi xây dựng khái niệm

hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên
cứu các tính chất quan trọng về hạng của module trên miền Dedekind và miền
các ideal chính.
Trong chương này giả sử D là miền Dedekind, 𝑅 là vành giao hoán có
đơn vị (nếu không có giả thiết gì thêm).
2.1. Cấp của phần tử

2.1.1. Định nghĩa cấp của một phần tử
Cho 𝑀 là 𝑅-module, ta định nghĩa cấp của phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 là
𝑂(𝑥) ≔ {𝑎 ∈ 𝑅/𝑎𝑥 = 0}

Khi đó 𝑂(𝑥) là một ideal của R.

Nếu 𝑂(𝑥) = 0 thì ta nói 𝑥 có cấp vô hạn.

Nếu 𝑂(𝑥) ≠ 0 thì ta nói 𝑥 có cấp hữu hạn.

2.1.2. Mệnh đề

Cho 𝑀 là 𝑅-module và 𝑥 ∈ 𝑀, Khi đó: 𝑂(𝑥) = 𝐴 khi và chỉ khi 𝑎𝑥 =
0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 và nếu 𝑏𝑥 = 0 thì b ∈ 𝐴.
Chứng minh.Chiều thuận của mệnh đề là hiển nhiên.

Đảo lại, từ giả thiết 𝑎𝑥 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 suy ra 𝐴 ⊂ O(𝑥), Mặt khác ∀𝑏 ∈
𝑂(𝑥), thì theo định nghĩa của 𝑂(𝑥) ta có 𝑏𝑥 = 0, từ đây theo giả thiết của
mệnh đề thì 𝑏 ∈ 𝐴, do đó O(x) ⊂ 𝐴, vậy 𝑂(𝑥) = 𝐴.
2.1.3. Mệnh đề

Cho M là D – module, khi đó ta có các tính chất sau
i) Nếu, 𝑂(𝑥) = 𝐴 thì 𝑂(𝑏𝑥) =

𝐴

𝐴+〈𝑏〉

, ∀𝑏 ∈ 𝐷.


ii) Nếu 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑂(𝑥) = 𝐴, 𝑂(𝑦) = 𝐵, (𝐴, 𝐵) = 1 thì 𝑂(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝐵.

iii) Nếu trong M các phần tử 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 có cấp là 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 thì M có
chứa phần tử cấp [𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 ].

Chứng minh
i) Lấy 𝑐 ∈

𝐴

𝐴+〈𝑏〉

suy ra 𝑐𝑏 ∈

đó 𝑐(𝑏𝑥) = (𝑐𝑏)𝑥 = 0.
𝐴

𝐴〈𝑏〉

𝐴+〈𝑏〉

mà

𝐴〈𝑏〉

𝐴+〈𝑏〉

⊂

𝐴(𝐴+〈𝑏〉)
𝐴+〈𝑏〉

= 𝐴, nên 𝑐𝑏 ∈ 𝐴 do

Mặt khác nếu 𝑑(𝑏𝑥) = 0 thì 𝑑𝑏 ∈ 𝐴 suy ra 〈𝑑〉〈𝑏〉 ⋮ 𝐴 do đó 〈𝑑〉

𝐴+〈𝑏〉

mà �

〈𝑏〉

𝐴+〈𝑏〉

,

𝐴

𝐴

𝐴

� = 1 nên 〈𝑑〉 ⋮ 𝐴+〈𝑏〉 tức là 𝑑 ∈ 𝐴+〈𝑏〉
𝐴+〈𝑏〉

Vậy ta có 𝑂(𝑏𝑥) =

𝐴
𝐴+〈𝑏〉

〈𝑏〉

𝐴+〈𝑏〉

⋮


ii) ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ta có 𝑎𝑏(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑏𝑦 = 0 nên 𝑐(𝑥 + 𝑦) = 0,
∀𝑐 ∈ 𝐴𝐵.

Mặt khác, nếu 𝑑(𝑥 + 𝑦) = 0 thì 𝑑𝑎(𝑥 + 𝑦) = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 hay 𝑑𝑎𝑦 = 0,
∀𝑎 ∈ 𝐴 suy ra 𝑑𝑎 ∈ 𝐵, ∀𝑎 ∈ 𝐴. Vì (𝐴, 𝐵) = 1 nên ∃𝑎0 ∈ 𝐴, 𝑏0 ∈ 𝐵 sao cho
𝑎0 + 𝑏0 = 1, khi đó 𝑑 = 𝑑(𝑎0 + 𝑏0 ) = 𝑑𝑎0 + 𝑑𝑏0 ∈ 𝐵, tương tự 𝑑 ∈ 𝐴, do
đó 𝑑 = 𝑎0 𝑑 + 𝑑𝑏0 ∈ 𝐴𝐵
Vậy 𝑂(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝐵.

iii) Ta chứng minh cho trường hợp 𝑛 = 2. Xãy ra hai trường hợp sau
Trường hợp 1. Tồn tại i sao cho 𝐴𝑖 = 0

Khi đó [𝐴1 , 𝐴2 ] = 0, ta chọn 𝑥 = 𝑥𝑖 .

Trường hợp 2. 𝐴𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 ∈ {1,2}.

𝑘
ℎ
𝑙
𝑘
ℎ
𝑙
Giả sử 𝐴1 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐴2 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 . Khi đó [𝐴1 , 𝐴2 ] = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 ,
với 𝑙𝑖 = max{𝑘𝑖 , ℎ𝑖 } , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}.

Khi đó với mỗi i cố định (𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}), không mất tính tổng quát, giả
sử 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖 . Khi đó với mỗi 𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}\{𝑖}, ta lấy cố định phần tử 𝑎𝑗 ∈
𝑘

𝑘

𝑃𝑗 𝑗 \𝑃𝑖 𝑖 . Đặt 𝑦𝑖 = (𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 )𝑥1 ∈ 𝑀. Ta chứng minh
𝑘

𝑂(𝑦𝑖 ) = 𝑃𝑖 𝑖 .

𝑘

𝑘𝑖−1
𝑘
𝑖+1
Ta có (𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖 �𝑃1𝑘1 … 𝑃𝑖−1
. 𝑃𝑖+1
… 𝑃𝑚𝑚 � = 𝐴1
𝑘

𝑘
∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 , nên 𝑎𝑦𝑖 = 𝑎(𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 )𝑥1 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖 𝑖

,


Nếu
𝑏𝑦𝑖 = 0
thì
𝑏(𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ∈ 𝐴1 ,
do
đó
𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 𝐴1 = 𝑘𝑖 , vì 𝑎𝑗 ∉ 𝑃𝑖 , ∀𝑗 ≠ 𝑖 nên
𝑘
suy ra 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏) ≥ 𝑘𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 �𝑃𝑖 𝑖 �. Mặt khác ∀𝑃 ≠ 𝑃𝑖 , thì 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 0 =
𝑘

𝑘

𝑘

𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖 𝑖 �. Vậy ta có 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖 𝑖 �, ∀𝑃 nên 𝑏 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 .
𝑘

𝑙

Vậy 𝑂(𝑦𝑖 ) = 𝑃𝑖 𝑖 = 𝑃𝑖 𝑖 .

𝑙

𝑙

Đặt 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑚 . Theo (ii) thì 𝑂(𝑦) = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 = [𝐴1 𝐴2 ]

Trong trường hợp n tổng quát, ta chứng minh (iii) bằng quy nạp.



2.1.4. Định nghĩa thành phần P-nguyên sơ
Cho D – module M và P là ideal nguyên tố của D, ta định nghĩa thành
phần P-nguyên sơ của M là tập 𝑀𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp là lũy thừa của 𝑃}.
Khi đó 𝑀𝑃 là module con của M, thật vậy:
Ta có 0 ∈ 𝑀𝑃 .

Xét 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃 , với 𝑂(𝑥1 ) = 𝑃𝑟 , 𝑂(𝑥2 ) = 𝑃 𝑠 , đặt 𝑘 = max{𝑟, 𝑠}. Khi đó
∀𝑎 ∈ 𝑃𝑘 ta có 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 = 0 suy ra 𝑎 ∈ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) nên
𝑃 𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) do đó 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑃𝑙 , với 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘, vậy 𝑥1 + 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃 .

Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑃 , 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑡 , khi đó ∀𝑏 ∈ 𝑃 𝑡 ta có 𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) =
0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑃𝑡 ⊂ 𝑂(𝑎𝑥) do đó 𝑂(𝑎𝑥) = 𝑃𝑢 , với 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑡, vậy
𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑃 .

2.1.5. Định nghĩa module P-nguyên sơ

D-module M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu 𝑀 = 𝑀𝑃 , nói cách
khác M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu mỗi phần tử của M đều có cấp
là lũy thừa của P.
2.1.6. Định nghĩa phần xoắn
Cho D-module M, ta gọi tập 𝑀𝑇 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp hữu hạn} là phần
xoắn của M. Khi đó 𝑀𝑇 là module con của M, thật vậy:

Ta có 0 ∈ 𝑀𝑇 .

Xét 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀𝑇 , vì 𝑂(𝑥1 ) ≠ 0, 𝑂(𝑥2 ) ≠ 0, nên tồn tại 𝑎1 ∈ 𝑂(𝑥1 )\{0}
và 𝑎2 ∈ 𝑂(𝑥2 )\{0} . Khi đó ta có 𝑎1 𝑎2 ≠ 0 và 𝑎1 𝑎2 (𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑎𝑥1 +
𝑎𝑥2 = 0 suy ra 𝑎1 𝑎2 ∈ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) nên 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) ≠ 0 hay 𝑥1 + 𝑥2 ∈ 𝑀𝑇 .


Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 , vì 𝑂(𝑥) ≠ 0, nên tồn tại 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥)\{0} khi đó ta có
𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) = 0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 .


2.1.7. Định nghĩa module xoắn và không xoắn

M được gọi là module xoắn nếu 𝑀 = 𝑀𝑇 . Nói cách khác M là module
xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp hữu hạn.

M được gọi là module không xoắn nếu 𝑀𝑇 = 0. Nói cách khác M là
module không xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp vô hạn.
2.1.8. Mệnh đề

Cho D-module M và 𝑀𝑇 là phần xoắn của M. Khi đó module thương
𝑀/𝑀𝑇 là D-module không xoắn.

Chứng minh. Giả sử 𝑀/𝑀𝑇 không là module không xoắn, khi đó tồn tại
𝑥̅ = 𝑥 + 𝑀𝑇 ∈ 𝑀/𝑀𝑇 sao cho 𝑥̅ ≠ 0� và 𝑂(𝑥̅ ) ≠ 0 tức là tồn tại 𝑎 ∈
𝑂(𝑥̅ )\{0} suy ra 𝑎𝑥̅ = 0� hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 do đó 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 nên tồn tại 𝑏 ∈
𝑂(𝑎𝑥)\{0} khi đó 𝑏𝑎𝑥 = 0 tức là 𝑎𝑏 ∈ 𝑂(𝑥), 𝑎𝑏 ≠ 0 vậy 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 hay 𝑥̅ = 0�
điều này mâu thuẩn với cách chọn x.
Vậy M�M là module không xoắn.



T

2.1.9. Mệnh đề

Cho D-module M. Khi đó phần xoắn 𝑀𝑇 là tổng trực tiếp của các thành
phần P-nguyên sơ của M.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh
𝑀𝑇 =

�

𝑃 nguyên tố

𝑀𝑃

Với 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 \{0} ta có 𝑂(𝑥) ≠ 0, mà D là miền Dedekind nên ta có thể
𝑒
𝑒
viết 𝑂(𝑥) = 𝑃1 1 … 𝑃𝑛 𝑛 , 𝑒1 > 0.
𝑒

𝑒

𝑒

𝑒

𝑖−1

𝑖+1
Với mỗi 𝑖 = 1, … , 𝑛 đặt 𝐴𝑖 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑖−1
. 𝑃𝑖+1
… 𝑃𝑛 𝑛 . Khi đó
(𝐴1 , … , 𝐴𝑛 ) = 1 nên tồn tại 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 sao cho 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 1.
Cho nên


𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑥 = (𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 )𝑥 = � 𝑎𝑖 𝑥 = � 𝑥𝑖
𝑒

với 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 𝑥 là phần tử thuộc 𝑀𝑃𝑖 . Thật vậy, nếu 𝑏 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 thì 𝑏𝑎𝑖 ∈ 𝑂(𝑥) do
𝑒
đó 𝑏𝑥𝑖 = 𝑏𝑎𝑖 𝑥 = 0 hay 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥𝑖 ). Vậy 𝑃𝑖 𝑖 ⊂ 𝑂(𝑥𝑖 ) nên 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑃𝑖𝑡 , với
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑒𝑖 , do đó ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑃𝑖 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛. Từ đó ta có
𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑥 = � 𝑥𝑖 ∈ � 𝑀𝑃𝑖

Vậy 𝑀𝑇 là tổng các thành phần p-nguyên sơ của M. Tiếp theo ta chứng
minh

Thật vậy với

𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 � = {0}
𝑄≠𝑃

𝑥 ∈ 𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 �
𝑄≠𝑃

ta có 𝑥 ∈ 𝑀𝑃 nên tồn tại số nguyên dương m sao cho 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑚 . Mặt khác
𝑥 ∈ � 𝑀𝑄
𝑄≠𝑃

𝑚
nên ta có thể viết 𝑥 = 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 với 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑄𝑖 , 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑄𝑖 𝑖 với 𝑄𝑖 là các
𝑚
𝑚
ideal nguyên tố khác nhau. Ta có 𝑂(𝑥) = 𝑂(𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ) = 𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 . Vì
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
�𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 , 𝑃𝑚 � = 1 nên tồn tại 𝑎 ∈ 𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 , và 𝑏 ∈ 𝑃𝑚 sao cho
𝑎 + 𝑏 = 1. Khi đó 𝑥 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 0, suy ra

Vậy ta có

𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 � = {0}
𝑄≠𝑃

𝑀𝑇 = ⨁𝑃 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố 𝑀𝑃




2.2. Module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind
2.2.1. Định nghĩa module cyclic
Cho 𝑅 là vành bất kỳ. 𝑅 -module 𝑀 được gọi là module cyclic nếu 𝑀
được sinh bởi một phần tử, tức là 𝑀 = 〈𝑥〉 = 𝑅𝑥 = {𝑟𝑥|𝑟 ∈ 𝑅} với 𝑥 là
phần tử nào đó thuộc 𝑀.
Trước khi định nghĩa cấp của module cyclic ta có mệnh đề sau:

2.2.2. Mệnh đề
M là D-module cycylic, hai phần tử 𝑥, 𝑦 thuộc M sao cho 𝑀 = 〈𝑥〉 = 〈𝑦〉
thì 𝑂(𝑥) = 𝑂(𝑦).

Chứng minh. Do 〈𝑥〉 = 〈𝑦〉 nên tồn tại 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 sao cho 𝑦 = 𝑎𝑥, 𝑥 = 𝑏𝑦. Khi
đó ∀𝑐 ∈ 𝑂(𝑥) thì 𝑐𝑥 = 0 suy ra 𝑐𝑎𝑥 = 0 hay 𝑐𝑦 = 0 tức là 𝑐 ∈ 𝑂(𝑦) do đó
𝑂(𝑥) ⊂ 𝑂(𝑦), tương tự 𝑂(𝑦) ⊂ 𝑂(𝑥).

Từ mệnh đề 2.2.2 hai phần tử sinh ra cùng một module thì chúng có cấp
bằng nhau, vì thế ta đi đến định nghĩa:
2.2.3. Định nghĩa cấp của module cyclic
M là D-module cyclic, cấp của M là cấp của phần tử sinh ra M.
Nếu 𝑥 có cấp vô hạn. Khi đó module cyclic sinh bởi 𝑥, 〈𝑥〉 = 𝐷𝑥, gọi là

module cyclic cấp vô hạn.

Nếu 𝑥 có cấp hữu hạn. Khi đó module cyclic sinh bởi 𝑥, 〈𝑥〉 = 𝐷𝑥 gọi là
module cyclic cấp hữu hạn.
2.2.4. Mệnh đề

Cho M là D-module cyclic cấp hữu hạn 𝐴. Nếu N là module con của M và
N có cấp là 𝐴 thì 𝑀 = 𝑁.
Chứng minh. Giả sử 𝑀 = 〈𝑥〉 và 𝑁 = 〈𝑦〉. Vì N là module con của M nên tồn
tại 𝑏 ∈ 𝐷 sao cho 𝑦 = 𝑏𝑥. Khi đó theo mệnh đề 2.1.3 ta có
𝐴 = 𝑂(𝑦) = 𝑂(𝑏𝑥) =

𝐴
𝑂(𝑥)
=
𝑂(𝑥) + 〈𝑏〉 𝐴 + 〈𝑏〉

Do đó 𝐴 + 〈𝑏〉 = 𝐷, nên tồn tại 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐷 sao cho 𝑎 + 𝑐𝑏 = 1. Khi đó
𝑥 = (𝑎 + 𝑐𝑏)𝑥 = 𝑐𝑏𝑥 = 𝑐𝑦 ∈ 𝑁. Vậy 𝑀 = 𝑁.



2.2.5. Mệnh đề
Module con của module cyclic cấp hữu hạn là module cyclic cấp hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử 𝑀 = 〈𝑥〉, 𝑂(𝑥) ≠ 0, và N là module con của M, ta chứng
minh N là module cyclic cấp hữu hạn.
Vì N là module con của M tồn tại 𝑏 ∈ 𝐷 sao cho 𝑏𝑥 ∈ 𝑁, đặt
𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐷|𝑎𝑥 ∈ 𝑁}

Khi đó H là ideal của D. Thật vậy, vì 𝑏 ∈ 𝐻 nên 𝐻 ≠ ∅. Xét 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐻,

ta có (𝑎1 + 𝑎2 )𝑥 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 ∈ 𝑁 tức là 𝑎1 + 𝑎2 ∈ 𝐻. Mặt khác nếu 𝑎 ∈ 𝐻,
𝑟 ∈ 𝐷 thì (𝑟𝑎)𝑥 = 𝑟(𝑎𝑥) ∈ 𝑁 hay 𝑟𝑎 ∈ 𝐻.

Xét đồng cấu D-module 𝜑: 𝐻 → 𝑁 sao cho 𝜑(𝑎) = 𝑎𝑥, ∀𝑎 ∈ 𝐻. Dễ thấy
𝜑 là toàn cấu và
Do đó ta có

𝑘𝑒𝑟𝜑 = {𝑎 ∈ 𝐻|𝑎𝑥 = 0} = 𝑂(𝑥)
𝐻�
𝐻
𝑂(𝑥) = �𝑘𝑒𝑟𝜑 ≅ 𝑁

Mặt khác H và 𝑂(𝑥) là ideal nguyên của D nên theo bổ đề 1.3.15 tồn tại
𝛼 ∈ 𝐻 sao cho 𝐻 = 〈𝛼〉 + 𝐻. 𝑂(𝑥). Do đó 𝐻/𝑂(𝑥) là D-module sinh bởi
phần tử 𝛼 + 𝑂(𝑥). Điều này suy ra N là D-module cyclic. Giả sử 𝑁 = 〈𝑦〉, khi
đó tồn tại 𝑐 ∈ 𝐷 sao cho 𝑦 = 𝑐𝑥. Mà 𝑂(𝑥) ≠ 0 nên tồn tại 𝑑 ∈ 𝐷\{0} sao cho
𝑑𝑥 = 0, khi đó 𝑑𝑦 = 𝑑𝑐𝑥 = 𝑐𝑑𝑥 = 0 suy ra 𝑑 ∈ 𝑂(𝑦) nên 𝑂(𝑦) ≠ 0.
Vậy N là D-module cyclic cấp hữu hạn.



Trong miền ideal chính, module con của module cyclic cấp vô hạn là
module cyclic. Tuy nhiên, trong miền Dedekind kết quả này không còn đúng
nữa, tức là module con của module cyclic cấp vô hạn trên miền Dedekind có
thể không là module cyclic. Ví dụ sau sẽ cho ta thấy rõ điều này.
2.2.6. Ví dụ
Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 và ideal 𝐼 = 〈3,1 + √−5〉. Khi đó D là miền
Dedekind và D là D-module cyclic cấp vô hạn, có module con I không là
module cyclic.

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh D là miền Dedekind bằng cách chỉ ra
𝐷 = 𝑂ℚ�√−5� , với 𝑂ℚ�√−5� là vành các số nguyên của ℚ�√−5�.

Với mọi phần tử 𝑚 + 𝑛√−5 ∈ ℤ + ℤ√−5, thì 𝑚 + 𝑛√−5 là nghiệm của
đa thức đơn khởi 𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 𝑚2 + 5𝑛2 ∈ ℤ[𝑥], cho nên 𝑚 + 𝑛√−5 ∈
𝑂ℚ�√−5� .
Đảo lại lấy 𝛼 = 𝑎 + 𝑏√−5 ∈ 𝑂ℚ�√−5� , với 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ. Xảy ra hai trường
hợp:
Trường hợp 1. 𝑚𝑖𝑛(𝛼, ℚ) = 𝑥 − 𝑝 ∈ ℤ[𝑥].
Khi đó, 𝛼 = 𝑝 ∈ ℤ ⊂ ℤ + ℤ√−5.

Trường hợp 2. 𝑚𝑖𝑛(𝛼, ℚ) = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 ∈ ℤ[𝑥].

Khi đó, 𝛼 2 + 𝑝𝛼 + 𝑞 = 0. Suy ra 2𝑎 = −𝑝 ∈ ℤ và 𝑎2 + 5𝑏 2 = 𝑞 ∈ ℤ

Giả sử ∉ ℤ , tức là 2𝑎 = 2𝑢 + 1 với 𝑢 ∈ ℤ. Từ 𝑎2 + 5𝑏 2 = 𝑞 ∈ ℤ, suy ra
5(2𝑏)2 = 4𝑞 − 4𝑎2 ∈ ℤ do đó 2𝑏 ∈ ℤ, mà 𝑏 ∉ ℤ (vì nếu 𝑏 ∈ ℤ thì 𝑎2 ∈ ℤ,
vô lý) cho nên 2𝑏 = 2𝑣 + 1 với 𝑣 ∈ ℤ, dẫn đến điều vô lý:
𝑞 = 𝑎2 + 5𝑏 2 = 𝑢2 + 𝑢 + 5𝑣 2 + 5𝑣 +

3
∈ℤ
2

Do đó ta có 𝑎 ∈ ℤ, nên 5𝑏 2 = 𝑞 − 𝑎2 ∈ ℤ vì thế, 𝑏 ∈ ℤ. Như vậy
𝛼 = 𝑎 + 𝑏√−5 ∈ ℤ + ℤ√−5 = 𝐷.
Vậy ta có 𝐷 = 𝑂ℚ�√−5� .

Tiếp theo ta thấy D là D-module cyclic cấp vô hạn (vì 𝐷 = 〈1〉 và

𝑂(1) = 0), nhưng I = 〈3,1 + √−5〉 không là ideal chính, thật vậy:

Xét 𝛼 = 𝑎 + 𝑏√−5 ∈ 𝐷, đặt 𝑁(𝛼) = 𝑎2 + 5𝑏 2 . Khi đó ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐷 ta có
𝑁(𝛼𝛽) = 𝑁(𝛼)(𝛽).
Giả sử I là ideal chính sinh bởi phần tử 𝑑 = 𝑎0 + 𝑏0 √−5 ∈ 𝐷.

Vì 3 ∈ 𝐼 = 〈𝑑〉 nên tồn tại 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho 3 = 𝑥𝑑, khi đó 9 = 𝑁(3) =
𝑁(𝑥𝑑) = 𝑁(𝑥)𝑁(𝑑), suy ra 𝑁(𝑑)|9.

Vì 1 + √−5 ∈ 𝐼 = 〈𝑑〉 nên tồn tại 𝑦 ∈ 𝐷 sao cho 1 + √−5 = 𝑦𝑑, khi đó
6 = 𝑁�1 + √−5� = 𝑁(𝑦𝑑) = 𝑁(𝑦)𝑁(𝑑), suy ra 𝑁(𝑑)|6.


Vậy ta có 𝑁(𝑑) = 1 hoặc 𝑁(𝑑) = 3.

Nếu 𝑁(𝑑) = 3 thì 𝑎02 + 5𝑏02 = 3 điều này không thể xảy ra vì 𝑎0 , 𝑏0 ∈ ℤ.

Nếu 𝑁(𝑑) = 1 hay 𝑎02 + 5𝑏02 = 1, suy ra 𝑎02 = 1 và 𝑏02 = 0, nên 𝑑 = ±1.
Suy ra 〈3,1 + √−5〉 = 〈1〉 = 𝐷, do đó tồn tại các số nguyên a, b, c, d sao cho
1 = 3�𝑎 + 𝑏√−5� + �1 + √−5��𝑐 + 𝑑√−5�

Suy ra

3𝑎 + 𝑐 − 5𝑑 = 1
�
3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0

Từ hệ này suy ra 3(𝑎 − 𝑏) − 6𝑑 = 1, vô lý.

(1)

(2)

Vậy I = 〈3,1 + √−5〉 không là ideal chính.



2.2.7. Định nghĩa module tựa cyclic

Cho 𝐷 là miền Dedekind, 𝑄(𝐷) là trường các thương của 𝐷, 𝑃 là ideal
nguyên tố của 𝐷, đặt
𝐷(𝑃∞ ) = �𝑥 ∈

𝑄(𝐷)�
𝐷 �𝑥 có cấp là lũy thừa của 𝑃�

𝐷(𝑃∞ ) chính là thành phần P-nguyên sơ của D-module 𝑄(𝐷)/𝐷.
Ta gọi 𝐷(𝑃∞ ) là module tựa cyclic kiểu 𝑃∞ của D.

Cấu trúc của module tựa cyclic được thể hiện trong mệnh đề sau đây:
2.2.8. Mệnh đề
𝐷(𝑃∞ ) sinh bởi tập đếm được các phần tử 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … khác 0, thỏa
𝑃𝑎1 = 0 và 𝑎𝑖 ∈ 𝑃𝑎𝑖+1 , với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, …

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh

+∞

−𝑛
𝐷(𝑃∞ ) = � �𝑃 �𝐷�
𝑛=1

Thật vậy, lấy 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝐷(𝑃∞ ), khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho
𝑃𝑛 𝑥 ⊂ 𝐷, tức là 𝑥 ∈ 𝑃−𝑛 , hay 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝑃−𝑛 /𝐷. Ngược lại 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝑃−𝑛 /𝐷
thì 𝑃 𝑛 𝑥 ⊂ 𝐷 hay 𝑥 + 𝐷 ∈ 𝐷(𝑃∞ ).


Tiếp theo ta chứng minh 𝑃 −𝑛 /𝐷 là module cyclic. Áp dụng bổ đề 1.3.13
cho hai ideal 𝑃−𝑛 và 𝑃𝑛 thì tồn tại 𝛼 ∈ 𝑃−𝑛 sao cho
Suy ra

𝑃−𝑛 = 〈𝛼〉 + 𝑃 𝑛 . 𝑃−𝑛 = 〈𝛼〉 + 𝐷

𝑃−𝑛� = 〈𝛼〉 + 𝐷� ≅ 〈𝛼〉�
𝐷
𝐷
〈𝛼〉 ∩ 𝐷

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝐷,
Do đó, 𝑃−𝑛 /𝐷 là module cyclic. Giả sử 𝑃 −𝑛 /𝐷 = 〈𝑎
���〉,
𝑛 với ���
−𝑛
∞)
𝑎𝑛 ∈ 𝑃 . Khi đó 𝐷(𝑃 sinh bởi tập đếm được các phần tử 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , …

khác 0 và 𝑃𝑎1 = 0, 〈𝑎𝑖 〉 = 𝑃〈𝑎𝑖+1 〉, với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, …

2.2.9. Mệnh đề

Module tựa cyclic 𝐷(𝑃∞ ) có duy nhất một module con cấp 𝑃 𝑛 với

𝑛 = 1,2, … và module con này là module cyclic. Mọi module con thật sự của
𝐷(𝑃∞ ) đều là module cyclic cấp hữu hạn.

Chứng minh. Giả sử 𝐷(𝑃∞ ) sinh bởi tập đếm được các phần tử 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 , …
và 𝑁 là module con thật sự của 𝐷(𝑃∞ ). Vì 𝐷(𝑃∞ ) ≠ 𝑁 nên tồn tại số nguyên
dương i sao cho 𝑎i ∉ 𝑁. Khi đó, 𝑎k ∉ 𝑁, ∀𝑘 ≥ 𝑖. Gọi n là số nguyên dương
lớn nhất để 𝑎n ∈ 𝑁.

Khi đó 𝑁 = 〈𝑎n 〉, thật vậy vì 𝑎n ∈ 𝑁 nên 〈𝑎n 〉 ⊂ 𝑁, ngược lại lấy
𝑥 ∈ 𝑁\{0}, vì 𝑎𝑖 ∈ 𝑃𝑎𝑖+1 , ∀𝑖 ≥ 1 nên tồn tại số nguyên dương t sao cho
𝑥 ∈ 〈𝑎𝑡 〉, hơn nữa
0 ⊂ 〈𝑎1 〉 ⊂ ⋯ ⊂ 〈𝑎𝑛 〉 ⊂ ⋯

gọi k là số nhỏ nhất để 𝑥 ∈ 〈𝑎𝑘 〉. Khi đó, 𝑥 = 𝑚𝑎
���𝑘 và (〈𝑚〉, 𝑃) = 1. Suy ra
𝑘
tồn tại 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑏 ∈ 𝑃 sao cho 𝑎𝑚 + 𝑏 = 1, cho nên
𝑎𝑘 = (𝑎𝑚 + 𝑏)𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑎𝑘 = 𝑎𝑥 ∈ 𝑁

Do đó 𝑘 ≤ 𝑛, suy ra 𝑎𝑘 ∈ 〈𝑎𝑛 〉 hay 𝑥 ∈ 〈𝑎𝑛 〉, vậy 𝑁 ⊂ 〈an 〉.
Như vậy các module con của 𝐷(𝑃∞ ) là

0 ⊂ 〈𝑎1 〉 ⊂ ⋯ ⊂ 〈𝑎𝑛 〉 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐷(𝑃∞ )

Dễ thấy module 〈𝑎𝑛 〉 có cấp là 𝑃𝑛 .

