module chia được trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM

VÕ THỊ VÂN ANH

MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN
MIỀN DEDEKIND

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Vân Anh

MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN
MIỀN DEDEKIND

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ĐÌNH LÂN


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – Tin, quý thầy cô
trong bộ môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường
Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến
thức làm nền tảng trong quá trình viết luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Đình Lân, là người trực tiếp
hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn PGS. TS Mỵ Vinh
Quang đã giúp đỡ tôi rất nhiều để hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tin tưởng, động viên tôi
trong suốt thời gian qua.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011
Võ Thị Vân Anh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..............................................................................................................i
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................... iii
Chương 1. Miền Dedekind ..........................................................................................1
1.1. Phần tử nguyên .............................................................................................1

1.2. Bao đóng nguyên ...........................................................................................5
1.3. Vành Noether .................................................................................................5
1.4. Miền Dedekind ..............................................................................................7
1.5. Một số kết quả trên vành giao hoán.............................................................20
Chương 2. Module chia được trên miền Dedekind ...................................................22
2.1. Cấp của phần tử trên miền Dedekind ..........................................................22
2.2. Module cyclic trên miền Dedekind .............................................................29
2.3. Module nội xạ và module chia được ...........................................................36
2.4. Một số tính chất cơ bản của module chia được trên miền Dedekind ..........40
2.5. Module tựa cyclic trên miền Dedekind .......................................................48
2.6. Cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind ..................................57

KẾT LUẬN ...............................................................................................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................64


LỜI MỞ ĐẦU
Các miền Dedekind có thể xem là một mở rộng gần gũi nhất của miền các
ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các ideal
chính; chẳng hạn, trong một miền Dedekind mỗi ideal khác 0 sinh bởi một phần tử
đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal của miền
Dedekind đều là ideal hữu hạn sinh. Tuy nhiên, nó có rất nhiều tính chất khác lạ so
với miền ideal chính; chẳng hạn, ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal
chính, module con của một module cyclic trên miền Dedekind có thể không là
module cyclic, module con của module tự do trên miền Dedekind có thể không là
module tự do…
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng và mở rộng một số kết
quả của module trên miền ideal chính sang module trên miền Dedekind. Cụ thể,
chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong một module trên miền
Dedekind. Sau đó, dựa vào khái niệm cấp của một phần tử chúng tôi xây dựng,
nghiên cứu về module cyclic, module tựa cyclic. Từ đó, chúng tôi đưa ra và chứng
minh được các định lý cho phép mô tả cấu trúc của module tựa cyclic, module chia
được trên miền Dedekind.
Luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1: Miền Dedekind
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về miền
Dedekind cần cho chương sau.
Chương 2: Module chia được trên miền Dedekind
Trong chương này, chúng tôi
• Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp của một phần tử trong
module trên miền Dedekind.

• Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic, module tựa cyclic
trên miền Dedekind; đặc biệt là nghiên cứu tính chất của module chia được,
mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind.
• Nghiên cứu và xây dựng định lý cấu trúc của một module chia được trên
miền Dedekind.


Chương 1
MIỀN DEDEKIND
1.1.

Phần tử nguyên

1.1.1. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên và A  B.
Phần tử b  B được gọi là phần tử nguyên trên A nếu tồn tại đa thức đơn khởi
f x   A x  , deg f  1 nhận b làm nghiệm.

Nói cách khác, b nguyên trên A khi và chỉ khi tồn tại a 0, a1, , an 1  A sao
cho bn  an 1bn 1    a1b  a 0  0.
1.1.2. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên, A  B. Nếu mọi phần tử
b  B nguyên trên A thì ta nói B nguyên trên A .

1.1.3. Mệnh đề. Cho tháp các miền nguyên A  B. Nếu B là A -module hữu hạn
sinh thì B nguyên trên A .
Chứng minh. Giả sử b1, b2, , bm là hệ sinh của A -module B.





Với mọi b  B , tồn tại aij  A i, j  1, 2, , m sao cho



b1b  a11b1    a1mbm



b2b  a21b1    a2mbm


.






b b  am1b1    ammbm


m
Do đó hệ phương trình




a11  b  x1  a12x 2    a1mxm  0




a x  a22  b  x 2    a2m x m  0


 21 1





a x  am 2x 2    amm  b  x m  0


 m1 1



 



có nghiệm không tầm thường x1, x 2, , x m  b1, b2, , bm . Vì vậy, định thức
ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính bằng 0,


a11  b
a12
a1m
a21

a22  b 
a2m
 0.



am 1
am 2
 amm  b
Khai triển định thức, ta được phương trình
bm  am 1bm 1    a1b  a 0  0.

với a 0, a1, , am 1  A . Vì thế b nguyên trên A .

■

1.1.4. Hệ quả. Cho A và B là những miền nguyên, A  B. Giả sử b  B . Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương
i) b nguyên trên A,
ii) A b  là A -module hữu hạn sinh,
 
iii) A b  nguyên trên A .
 
Chứng minh. Dễ thấy ii )  iii ) và iii )  i ). Ta chứng minh i )  ii ).
Giả sử b nguyên trên A . Khi đó, tồn tại a 0, a1, , an 1  A sao cho
bn  an 1bn 1    a1b  a 0  0.





Ta chứng minh 1, b, , bn 1 là hệ sinh của A b  trên A .
 
Đầu tiên, ta chứng minh bằng quy nạp (theo k ) bk biểu thị tuyến tính được qua

1, b, , bn 1 với hệ số thuộc A .


n 1
Giả sử bi biểu thị tuyến tính được qua 1, b, , b
, với mọi i  k k  n  .

Nhân cả hai vế của bn  an 1bn 1    a1b  a 0  0 với bk 1n , ta được
bk 1  an 1bk    a1bk 2n  a 0bk 1n  0.

Suy ra
bk 1  an 1bk    a1bk 2n  a 0bk 1n .
k
k 2n k 1n
n 1
,b
Vì b , , b
biểu thị tuyến tính được qua 1, b, , b
(giả thiết quy

n 1
với hệ số thuộc A .
nạp), nên b k 1 cũng biểu thị tuyến tính được qua 1, b, , b

Vậy b

k

k   biểu thị tuyến tính được qua 1, b, , bn 1 với hệ số thuộc A .




k
k
Với mọi x  A b  , x  a 0  a1b    akb , ai  A . Vì 1, b, , b biểu thị
 
n 1
với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính được
tuyến tính được qua 1, b, , b
n 1
qua 1, b, , b
với hệ số thuộc A . Vậy A b  là A -module hữu hạn sinh.
 

■

1.1.5. Hệ quả. Cho A và B là những miền nguyên, A  B. Giả sử b1, , bn  B.
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
i) b1, , bn nguyên trên A ,
ii) A b1, , bn  là A -module hữu hạn sinh,


iii) A b1, , bn  là nguyên trên A .



Chứng minh. Dễ thấy ii )  iii ) và iii )  i ). Ta chứng minh i )  ii ).
Giả sử b1, , bn nguyên trên A , ta chứng minh A b1, , bn  là A-module hữu


hạn sinh bằng quy nạp theo n.
Mệnh đề đúng khi n  1 (hệ quả 1.1.4).


Giả sử mệnh đề đúng với n  1. Khi đó, A b1, , bn 1  là A -module hữu hạn


sinh. Vì bn nguyên trên A nên bn nguyên trên A b1, , bn 1  . Vì thế, theo hệ quả


1.1.4, ta có A b1, , bn 1  bn   A b1, , bn  là A b1, , bn 1  -module hữu hạn






sinh. Do vậy, A b1, , bn  là A -module hữu hạn sinh.



■

1.1.6. Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên A  B. Nếu b1, b2  B nguyên trên A
thì b1  b2, b1  b2, b1.b2 cũng nguyên trên A . Nói cách khác, tập hợp các phần tử

của B nguyên trên A ,





AB  b  B b nguyên trên A ,
là một vành con của B chứa A .
Chứng minh. Vì b1  b2, b1  b2, b1.b2 là các phần tử của A b1, b2  và A b1, b2 




nguyên trên A (hệ quả 1.1.5) nên b1  b2, b1  b2, b1.b2 nguyên trên A .

■

1.1.7. Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên A  B  C . Nếu B nguyên trên A và
C nguyên trên B thì C là nguyên trên A .

Chứng minh. Lấy c  C . Vì c nguyên trên B nên có b0, , bn 1  B sao cho
cn  bn 1cn 1    b1c  b0  0.

Suy ra c nguyên trên A b0, , bn 1  .


Vì thế, theo hệ quả 1.1.4, A b0, , bn 1, c  là A b0, , bn 1  -module hữu





hạn sinh. Mặt khác, vì b0, , bn 1 nguyên trên A nên A b0, , bn 1  là A 

module hữu hạn sinh (hệ quả 1.1.5). Do đó, A b0, , bn 1, c  là A -module hữu hạn




Vậy

sinh.

c

nguyên

trên

A.

■

Bao đóng nguyên

1.2.

1.2.1. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên và A  B.





AB  b  B b nguyên trên A được gọi là bao đóng nguyên của A trong B.
B được gọi là nguyên trên A nếu AB  B.

A được gọi là đóng nguyên trong B nếu AB  A.

1.2.2. Nhận xét. A  AB  B.
1.2.3. Định nghĩa. Cho A là một miền nguyên, Q A là trường các thương của A .
Bao đóng nguyên của A trong Q A được gọi là bao đóng nguyên của A .
Q A

Miền nguyên A được gọi là đóng nguyên nếu A

1.3.

 A.

Vành Noether

Trong phần này, ta giả sử R là vành giao hoán.
1.3.1. Định nghĩa. Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng
nếu mọi dãy tăng các ideal I 1  I 2   của R đều dãy dừng, nghĩa là tồn tại số tự
nhiên n sao cho I n  I n 1   .
1.3.2. Định nghĩa. Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều
kiện dây chuyền tăng.
1.3.3. Định nghĩa. Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập
hợp không rỗng gồm các ideal của R đều chứa phần tử tối đại.
1.3.4. Mệnh đề. Cho R là một vành. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
i) R là vành Noether,

ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại,
iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. (xem [6], định lý 7.1.1, trang 189-190).

■

1.3.5. Bổ đề.
i) P là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi với mọi ideal B, C của R,
nếu BC  P thì B  P hoặc C  P .
ii) P là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi nếu P  B1  Bk Bi  R





thì P  Bi , với i  1, 2, , k nào đó.
1.3.6. Mệnh đề. Mọi ideal khác 0 của vành Noether R đều chứa tích của một hay
nhiều ideal nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử ngược lại. Gọi S là tập tất cả các ideal khác 0 của khác R
không chứa tích của các ideal nguyên tố. Vì S   và R là vành Noether nên S
có phần tử tối đại là A . Do A  S nên A không là ideal nguyên tố. Vì thế, tồn tại
các ideal B, C  R sao cho BC  A nhưng B  A và C  A (bổ đề 1.3.5). Vì

B  A nên A 
/ A  B. Tương tự, ta có A 
/ A C .
Mặt khác, do tính tối đại của A trong tập S nên A  B  S và A  C  S .
Vì vậy, A  B  P1  Pk và A  C  Q1 Qt , với Pi , Q j là các ideal nguyên tố

của R . Khi đó, A  A  B A  C   P1  Pk .Q1 Qt , suy ra A  S (điều này
mâu thuẫn với cách chọn A ). Vậy giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh.

■

1.3.7. Mệnh đề. Cho R là vành Noether, S là tập con nhân của R . Khi đó, vành



a


các thương S 1R  
a
R
,
s
S



 cũng là vành Noether.


s







1
J , với f : R  S 1R là
Chứng minh. Lấy J là ideal của S 1R . Đặt I  f

đồng cấu R -module xác định bởi f a  

a
, a  R. Dễ thấy I là ideal của vành
1

Noether R , do đó I hữu hạn sinh. Giả sử a1, , an  R là các phần tử sinh của I .
Lấy



a 
a s a
a
 J . Vì    J nên a  f 1    I . Do đó, tồn tại các phần tử
 1 
s
1 1 s



ti  R i  1, n sao cho a 

n

 tiai . Vì thế
i 1

 n

a
1 a
1
1 
    f a    f 
t a  
s
s 1 s
s  i 1 i i 



Suy ra J được sinh bởi hữu hạn phần tử

a1
1

, ,

an
1

n

ti ai
 
s
1
i 1


.

Vậy S 1R là vành Noether.

1.4.

■

Miền Dedekind

1.4.1. Định nghĩa. Cho D là miền nguyên. D được gọi là miền Dedekind nếu các
điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn
i) D là vành Noether,
ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại,
iii) D là vành đóng nguyên.

1.4.2. Ví dụ. OK

   m
, neáu m  2, 3 mod 4




là miền Dedekind.
   m  1 , neáu m  1 mod 4



2

1.4.3. Định nghĩa. Cho D là miền nguyên và Q D  là trường các thương của D.
Tập con A khác rỗng của Q D  được gọi là ideal phân của D nếu


i) a  b  A, với mọi a, b  A,
ii) ax  A, với mọi a  A, x  D,
iii) Tồn tại a  D, a  0 sao cho aA  D.
1.4.4. Chú ý. Để tránh nhầm lẫn giữa ideal và ideal phân của D , ta còn gọi ideal
của D là ideal nguyên.
1.4.5. Mệnh đề. (tính chất của ideal phân)
i) Nếu A là ideal nguyên của D thì A là ideal phân của D. Ngược lại, nếu A
là ideal phân của D và A  D thì A là ideal nguyên của D.
ii) Mỗi ideal phân A của D đều viết được dưới dạng A 

I
, với a  D, I  D.
a

iii) Nếu D là miền Noether thì mọi ideal phân của D đều là D -hữu hạn sinh, tức
là nếu A là ideal phân của D thì tồn tại a1, , an  A sao cho với mọi

x  A, x  a1a1    an an , với a1, , an  D nào đó.

iv) Nếu A , B là ideal phân của D thì A  B, AB cũng là ideal phân của D.
1.4.6. Định nghĩa. Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D và





  a  Q D aP  D .
Q D  là trường các thương của D. Ta định nghĩa P
 
 là ideal phân của D.
Khi đó, P

1.4.7. Bổ đề. Cho D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố của D. Khi đó,

  D và P
  D.
P
 . Suy ra D  P
.
Chứng minh. Lấy a  D. Vì aP  D nên a  P
  D.
Tiếp theo, ta chứng minh P

Lấy b  P \ 0 , ta có 0  b  P . Theo mệnh đề 1.3.8, tồn tại P1, , Pk
là các ideal nguyên tố của D sao cho P1  Pk  b  P . Gọi k là số tự nhiên bé


nhất để tồn tại các ideal nguyên tố P1, , Pk của D thỏa P1  Pk  b  P . Xảy
ra một trong hai trường hợp sau

Trường hợp 1. k  1.
Do P1 là ideal nguyên tố của miền Dedekind D nên P1 là ideal tối đại của D.
Vì P1  b  P nên P1  b  P . Đặt d 

1
1
1
. Khi đó P 
b  D, tức
b
b
b

. Hơn nữa, d  D (nếu d  D thì 1  b  1  P, vô lý).
là d  P
b
Vậy d 

1 
 P \ D.
b

Trường hợp 2. k  2.
Vì P1  Pk  b  P và P là ideal nguyên tố nên tồn tại i để Pi  P .
Không mất tính tổng quát, giả sử P1  P . Suy ra P1  P ( P1 là ideal nguyên tố
nên cũng là ideal tối đại). Do cách chọn k nên P2  Pk  b . Chọn
a  P2  Pk \ b . Khi đó, d 

a 
 P \ D. Thật vậy, ta có

b

1
1
1
a
P1  P a  P1 P2  Pk  
b  D.
b
b
b
b
Suy ra d 

a 
a
a
 P . Nếu  D thì a  b   b , điều này mâu thuẫn với
b
b
b

cách chọn a. Vậy d 

a 
 P \ D.
b

 \ D. Vì vậy, P
  D.

Trong cả hai trường hợp, ta đều chỉ ra có phần tử d  P

  D và P
  D.
Tóm lại, ta có P

■

1.4.8. Bổ đề. Cho D là vành Dedekind và P là ideal nguyên tố khác 0 của D. Khi
 .P  D.
đó, P



.P là ideal phân của D. Mặt
Chứng minh. Vì P, P là ideal phân của D nên P





.P  D. Vậy P
.P  D.
 nên P
khác, do aP  D a  P
 nên P  P
.P . Do tính tối đại của P, ta có P
.P  P hoặc
Vì 1  D  P
.P  D.

P

,
.P  P . Khi đó, P
 đóng với phép nhân. Thật vậy, lấy a, b  P
ta
Giả sử P
 là một
. Điều này cho ta P
có ab  P  a b P   aP  P  D . Do đó ab  P

 là ideal phân của D nên là D miền nguyên con của Q D  chứa D. Mặt khác, vì P
 là D -module hữu hạn sinh. Vì thế, P
 nguyên trên D. Tuy
hữu hạn sinh. Do đó, P
  D, mâu thuẫn với bổ đề 1.4.6.
nhiên, ta lại có D đóng nguyên, cho nên P

 .P  D.
Vậy P

■

1.4.9. Mệnh đề. Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal nguyên khác 0 và khác D
của D đều phân tích được một cách duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các
ideal nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử tồn tại ideal khác 0 và khác D của D không phân tích được
thành tích các ideal nguyên tố. Gọi S là tập các ideal như vậy.
Vì S   và D là vành Noether nên S có phần tử tối đại là A .
Gọi k là số tự nhiên bé nhất để tồn tại k ideal gồm P1, , Pk sao cho

A  P1  Pk và A  P1  Pk . Khi đó, tồn tại ideal tối đại P của D sao cho
P  A  P1  Pk . Do P là ideal nguyên tố nên tồn tại i để Pi  P, suy ra
A  P
P  D.
Pi  P  A. Không mất tính tổng quát, giả sử P1  A. Khi đó, P
1
1 1
A  D. Mặt khác, ta có P
A  A và P
A  A (nếu P
A  A thì
Vì vậy P
1
1
1
1


A  P  P , mâu thuẫn với cách chọn k ). Do đó P
A  S , tức là tồn tại
AP
1
2
k
1
A  Q Q . Từ đây, suy ra
các ideal Q1, , Ql sao cho P
1
1

l
A  PQ Q ,
A  DA  P1P
1
1 1
l
mâu thuẫn với A  S . Vậy giả sử trên sai.
Ta chỉ ra sự phân tích trên là duy nhất. Giả sử A  P1  Pk  Q1 Ql , với

k  l . Vì A  Q1 nên tồn tại i sao cho Pi  Q1. Không mất tính tổng quát, giả sử

 với cả hai vế của đẳng thức
P1  Q1. Do tính tối đại của P1 nên P1  Q1. Nhân P
1

P1  Pk  Q1 Ql , ta được P2  Pk  Q2 Ql  Q2 . Lặp lại tương tự như trên, ta
có P2  Q2, P3  Q3,  Nếu k  l thì sau k bước D  Qk 1 Ql  Ql , vô lý.





Do đó k  l và Pi  Qi i  1, k . Vậy sự phân tích của A là duy nhất.



■



Như vậy, mọi ideal nguyên A của miền Dedekind D A  0, A  D được
phân tích một cách duy nhất A  P1k  Pmk , với Pi là các ideal nguyên tố của D
m

1

và ki  1. Đây được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của A .
Xét A là ideal phân của D. Khi đó A 

I
, với I  D, a  D. Ta có sự phân
a

tích I  P1 1  Pmm ki  0 và a  P11  Pmm li  0 . Vì aA  I nên
k

l

k

l1

lm

l

k1

km

P1  Pm A  P1  Pm .
k l1

Khi đó, quy ước A  P1 1

km lm

 Pm

, ki  li  . Định nghĩa này hợp lý.

Thật vậy, ta chứng minh nếu

A
k1 l1

thì P1

I
J
l
l 
k
k 

(J  P1  Pm và b  P1  Pm )
a
b

km lm

 Pm

k1 l1

 A  P1

1

m

1

km  lm 

 Pm

.

m


Vì I  aA, J  b A nên b I  aJ . Suy ra
l1 k1

P1

lm  km

 Pm

l1 k1

 P1

lm km 

 Pm

.

Do đó li   ki  li  ki , tức là ki  li  ki   li , i  1, m.
Vậy mọi ideal (ideal nguyên hoặc ideal phân) A khác 0 và khác D của D
đều được phân tích một cách duy nhất dưới dạng A  P1k  Pmk , với ki là các số
1

m

nguyên khác 0 và Pi là các ideal nguyên tố khác nhau của D.
1.4.10. Định nghĩa. Cho A , B là ideal (nguyên hoặc phân) của D. A chia hết cho
B , viết A  B, nếu tồn tại ideal nguyên C sao cho A  BC . Khi đó, ta gọi B là ước

của A , viết B | A.
1.4.11.Định nghĩa. Cho A là ideal (nguyên hoặc phân) khác 0 của miền Dedekind
D và A  P1 1  Pmm , với ki   \ 0 . Cấp của ideal A ứng với ideal nguyên tố
k

k

P, viết ordP A , được định nghĩa bởi ordP A  ki nếu P = Pi và ordP A  0

nếu P  Pi , i  1, m.
Quy ước P 0  D, với mọi P là ideal nguyên tố của D.
1.4.12. Mệnh đề. (Tính chất của ordP ) Cho D là miền Dedekind, P là ideal
nguyên tố, A , B là các ideal phân của D và a, b  Q D  . Khi đó
i) ordP AB   ordP A  ordP B  .
A  B khi và chỉ khi ordP A  ordP B  , với mọi P là ideal nguyên tố của D.





ii) ordP A  B   min ordP A, ordP B  .

 

iii) ordP ab   ordP a  ordP b  , trong đó ordP a  ordP





iv) ordP a  b   min ordP a, ordP b  .

 a .






v) Nếu ordP a  ordP b  thì ordP a  b   min ordP a, ordP b  .
Chứng minh.
i) Hiển nhiên.





1
1
1
ii) Đặt C  A  B. Ta có D  A  B C  AC  BC .

Do A  C

nên AC 1  D. Vậy AC 1  D. Tương tự, ta cũng có

BC 1  D. Mặt khác, nếu P là một ideal nguyên tố sao cho P | AC 1 và
P | BC 1 thì P | AC 1  BC 1, vô lý. Do đó, P không đồng thời có mặt trong
sự phân tích của AC 1 và BC 1. Suy ra









min ordP AC 1 , ordP BC 1

  0  ord

P

D   ordP A  B C 1 .

Do đó

 





ordP C   min ordP AC 1 , ordP BC 1

  ord

P

C   ordP A  B C 1 .







  ordP a  ordP b .

Vì vậy ordP A  B   min ordP A, ordP B  .
iii) Ta có

ordP ab   ordP a . b





iv) Vì ordP a  b  ordP

 a  b  và


ordP a  b   ordP a  b

a  b  a  b nên

  min ordP a, ordP b .

v) Không mất tính tổng quát, giả sử ordP a  ordP b  . Khi đó






ord a  b   min ord a , ord b   ord b 


P
P
P
P

.


ordP b   min ordP a  b  , ordP a  ordP a  b 












Vậy ordP a  b   ordP b   min ordP a, ordP b  .

■


1.4.13. Mệnh đề. Cho A là ideal phân của miền Dedekind D, giả sử có sự phân
k

k

tích A  P1 1  Pmm , ki  . Khi đó
i) A1  P1k  Pmk .
m

1

ii) A là ideal nguyên của D khi và chỉ khi ordP A  0 với mọi P là ideal
nguyên tố.
iii) A  D khi và chỉ khi ordP A  0 với mọi P là ideal nguyên tố.
iv) Nếu AB  AC thì B  C ( A, B, C là ideal (nguyên hoặc phân) của D ).
1.4.14. Nhận xét. Sự tồn tại của ideal nguyên C như trong định nghĩa 1.4.10 là duy
nhất. Do đó, ta ký hiệu C :

A

B

1.4.15. Mệnh đề. Cho A , B là ideal (nguyên hoặc phân) của D. Khi đó, các mệnh
đề sau là tương đương
i) A chia hết cho B,
ii) AB 1 là ideal nguyên của D,
iii) A  B.
1.4.16. Mệnh đề. Cho D là miền Dedekind, a1, , an   và P1, , Pn là những
ideal nguyên tố của D. Khi đó, tồn tại phần tử a  Q D  sao cho ordP a  ai ,
i

i  1, n, và ordP a  0, P  P1, , Pn .
a

a 1

Chứng minh. Xét ideal phân A  P1 1 P2 2

an 1

 Pn

a1 1 a2 1
a 1
P2
 Pn n .

, B  P1

Vì A1B  P1  D nên A | B. Do đó B  A, B  A. Vậy tồn tại x1  A \ B. Khi
đó, x1  A \ P a

1

1

, tức là x1  A và x1 / P

a1 1

. Điều này cho ta


ord x  a

 P  1 
1

.
ordP x1   0, P  P1, , Pn

ordP x1   a j  1, j  2, 3, , n.

1

j

Tương tự, với mỗi i  1, 2, , n tồn tại x i  Q D  sao cho


ordP x i   ai




.
ordP x i   0, P  P1, , Pn



ord x   a j  1, j  1, , n \ i 


 P i
i



j



Đặt a  x1    x n  Q D  .

 

 

Vì ordP x j  ai  1  j  i  và ordP x i  ai nên
i
i









ordP a  min ordP x1 , , ordP x n   ai i  1, n .
i

i

i





Nếu P  P1, , Pn thì ordP a  min ordP x1  , , ordP x n   0.

■

1.4.17. Bổ đề. Cho D là miền Dedekind, A là ideal (nguyên hoặc phân) của D và
B là ideal nguyên của D. Khi đó, tồn tại a  A sao cho A  a  AB.

Chứng minh. Gọi P1, , Pn là tất cả các ideal nguyên tố của miền Dedekind D

 

 

tham gia vào sự phân tích A hoặc AB (tức là ordP A  0 hoặc ordP AB  0,
i

i

i  1, n , và ordP A  ordP AB   0, P  Pi ). Theo mệnh đề 1.4.16, tồn tại
a  Q D  thỏa ordP a  ordP A , i  1, n , và ordP a  0, P  Pi . Từ
i

i

đó, suy ra a  A.
Mặt khác, vì

ordP

i

và

a









 AB  min ordP A, ordP A  ordP B   ordP A i  1, n
i

i

i

i



ordP

a





 AB  min ordP

 a , ordP AB   0  ordP A P  Pi 
■

nên A  a  AB.

1.4.18. Mệnh đề. Mọi ideal (nguyên hoặc phân) của D đều được sinh bởi tối đa
hai phần tử.
Chứng minh. Giả sử A là ideal (nguyên, phân) bất kỳ của D. Lấy b  A. Vì
b  A nên b  AB, với B là ideal nguyên nào đó của D. Theo bổ đề 1.4.17,

tồn tại a  A sao cho A  a  AB  a  b  a, b .

■

1.4.19. Định nghĩa. Cho A , B là ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind D.



Ước chung lớn nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal A, B



thỏa đồng thời các điều kiện sau
i)

A, B  | A và A, B  | B,





ii) Nếu tồn tại ideal C sao cho C | A, C | B thì C | A, B .
Bội chung nhỏ nhất của hai ideal A , B được định nghĩa là ideal A, B  thỏa


đồng thời các điều kiện sau
i) A | A, B  và B | A, B  ,




ii) Nếu tồn tại ideal C sao cho A | C , B | C thì A, B  | C .


1.4.20. Mệnh đề. Cho A , B là hai ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind
D. Khi đó

i)

A, B   A  B và A, B   A  B.

ii) Nếu A và B được phân tích thành tích các ideal nguyên tố A  P1a  Pna và
1

b
b
B  P1  Pn thì
1

n

n


A, B   P1c Pnc

n

1

và

A, B   P d  P d ,
n
1


n

1









với ci  min ai , bi , di  max ai , bi .





Sau này, nếu A  B  D thì ta viết A, B  1.
1.4.21. Mệnh đề. Cho A, I , J là các ideal (nguyên hoặc phân) của miền Dedekind
D. Khi đó

 

i) Nếu AI J và I , J  1 thì A J .

 

ii) Nếu A  I , A J và I , J  1 thì A  IJ .

 

iii) Nếu I , J  1 thì IJ  I  J .
Chứng minh.
i) Ta có A  AD  A I  J   AI  AJ  J . Do đó A J .
ii) Vì A  I và A J nên A  I và A  J . Do đó
A  AD  A I  J   AI  AJ  IJ .

Suy ra A  IJ .
iii) Hiển nhiên IJ  I  J . Ta chứng minh IJ  I  J .

 

Vì I , J  1 nên tồn tại a  I , b  J sao cho a  b  1. Khi đó, với mọi

x  I  J , ta có x  x .1  x a  b   xa  xb  IJ . Vậy IJ  I  J .

■

1.4.22. Mệnh đề. Nếu D là miền Dedekind và S là tập con nhân của D thì S 1D
cũng là miền Dedekind.


Chứng minh. Đầu tiên, vì D là vành Noether nên S 1D cũng là vành Noether
(mệnh đề 1.3.7).
Tiếp theo, ta chỉ ra mọi ideal nguyên tố của S 1D đều là ideal tối đại.
Lấy P là ideal nguyên tố của S 1D. Xét I là ideal của S 1D ( I  S 1D )

 

1
P là ideal nguyên tố của D ( f : D  S 1D là đồng

sao cho P  I . Khi đó, f

cấu các D -module xác định bởi f r  

 

r
, r  D ).
1



 

1
P  f 1 I . Mặt khác, do f 1 P là ideal tối đại ( D là
Vì P  I nên f

 



 

1
P là ideal nguyên tố của D ) nên f 1 I  f 1 P hoặc
miền Dedekind, f

a
a

1 a
1
    f a   I ,   S 1D. Suy ra
s
s 1 s
s

f 1 I   D. Nếu f 1 I   D thì



 

1
I  f 1 P . Do đó P  I .
S 1D  I , mâu thuẫn với cách lấy I . Vì thế, f

Vậy P là ideal tối đại của S 1D.
Cuối cùng, ta chứng minh S 1D đóng nguyên.
Gọi Q D  là trường các thương của D. Khi đó, Q D  cũng chính là trường
các thương của S 1D ( đơn cấu f : D  S 1D xác định bởi f r  

r
, r  D ).
1

Lấy d  Q D  nguyên trên S 1D. Theo định nghĩa về phần tử nguyên, tồn tại
các ci 

ai

bi





 S 1D i  0, n  1 sao cho d n  cn 1d n 1    c1d  c0  0.

Đặt s  b0b1 bn 1  S . Khi đó
n

sd 

n 1

 scn 1 sd 

   s n 1c1 sd   s nc0  0,






và s icn i  D i  1, n . Vì thế, sd  nguyên trên D. Suy ra sd  D ( D đóng
nguyên). Do đó, d  S 1D. Vậy S 1D đóng nguyên.

■

1.4.23. Mệnh đề. Nếu D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố của D thì

 p

PDP   p  P, s  D \ P  là ideal nguyên tố khác 0 duy nhất của vành địa
 s



a

phương hóa DP   a  D, s  D \ P  .
 s



Chứng minh. Theo mệnh đề 1.4.22, DP là miền Dedekind. Do đó, mọi ideal
nguyên tố của DP đều là ideal tối đại. Mặt khác, vì vành địa phương hóa DP có

PDP là ideal tối đại duy nhất nên PDP là ideal nguyên tố khác 0 duy nhất của
■

DP .

1.4.24. Bổ đề. Cho P là ideal nguyên tố của miền Dedekind D và x  P \ P 2,
a  D. Khi đó, tồn tại a , a   D \ P sao cho a.a   x

ordP a 

a .

 ord a  
 ord a  
Chứng minh. Ta có ordP a.x
 ordP a   ordP x

  0. Vì vậy,





P

a.x

P

ordP a 

D  AB 1, với A, B là những ideal nguyên của D và A  P, B  P .

Lấy a   B \ P . Khi đó, a.a .x

ordP a 

: a   A \ P . Suy ra a.a   x

ordP a 

a .

■

1.4.25. Mệnh đề. Nếu D là miền Dedekind thì DP là miền ideal chính.
Chứng minh. Miền Dedekind DP chỉ có một ideal nguyên tố khác 0 duy nhất

PDP . Hơn nữa, mọi ideal khác 0, khác DP của DP đều được phân tích một cách