môđun fp xạ ảnh và môđun fp nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ
MÔĐUN FP- NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

Thành phố Hồ Chí Minh , 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----

HUỲNH NGỌC DIỄM

MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ
MÔĐUN FP- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh , 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô bộ môn Toán khoa Sư
phạm trường Đại học Cần Thơ và các thầy, cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhất là các thầy trong bộ môn Đại số, những người
đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học Đại học và Cao học. Chính
những kiến thức này là nền tảng quan trọng để tôi có thể thực hiện, hoàn thành luận
văn này.
Hơn hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy TS. Nguyễn Viết
Đông, người thầy luôn tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình thực hiện và hoàn chỉnh luận văn này. Tiếp theo, tôi cũng cảm ơn các
anh, chị, các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trình học tập
cũng như sửa chữa những sai sót trong luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến những người thân,
những người bạn đã luôn bên tôi, ủng hộ tinh thần cho tôi trong cuộc sống cũng như
trong học tập, đặc biệt là ba mẹ và cô tôi.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011

Huỳnh Ngọc Diễm


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ 1
MỤC LỤC ............................................................................................................................. 4
BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT ....................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 6

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................... 6
2. Mục đích của đề tài ........................................................................................................ 6
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 7
4. Nội dung luận văn .......................................................................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 7
Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................................... 8
1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun ................................................................... 8
1.2 Tổng trực tiếp trong ................................................................................................... 10
1.3 Dãy khớp .................................................................................................................... 10
1.4 Hàm tử Hom .............................................................................................................. 11
1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ .................................................................................... 13
1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn ....................................................... 14
1.7 Hàm tử tenxơ ............................................................................................................. 15
1.8 Phức và đồng điều ...................................................................................................... 17
1.9 Phép giải và tích mở rộng .......................................................................................... 19
1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn ................................................................................ 20
1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi............................................................................................... 22
Chương 2 MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ......................................... 24
2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ ................. 24
2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ ....................................................................... 29
2.3 Bao và phủ ................................................................................................................. 33
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI............................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 43


BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Ký hiệu

Ý nghĩa

RM

M là R- môđun trái

MR

M là R- môđun phải

SMR

M là S- R- song môđun

Mod

Phạm trù các môđun

Ab

Phạm trù các nhóm cộng aben



Môđun con

A ⊕R B

Tổng trực tiếp trên R của hai môđun A và B

A ⊗R B

Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B

Hom(A, B)

Tập hợp các đồng cấu từ A đến B

Extn R (B, A)

Tích mở rộng n chiều trên R của hai môđun A và B

H n (X)

Môđun đồng điều thứ n của phức X

Hn(X)

Môđun đồng điều thứ n của phức X theo chỉ số trên

⊥

Lớp trực giao của C

FP R

Lớp các R- môđun FP- xạ ảnh

FI R

Lớp các R- môđun FP- nội xạ

fpd R (M)

Chiều FP- xạ ảnh của R- môđun M

fpd S (M)

Chiều FP- xạ ảnh của S- môđun M

rfpD(R)

sup{fpd R (M), M là R- môđun phải hữu hạn sinh}

rfpD(S)

sup{fpd S (M), M là S- môđun phải hữu hạn sinh}

FP- id(M)

Chiều FP- nội xạ của R- môđun M

r. FP- dim(R)

sup{FP- id(M), M là R- môđun phải}

C, C⊥


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, ngày nay môn Đại số đồng điều đã và đang tràn ngập

vào toán học. Vì vậy, việc học môn này đã trở nên thực sự cần thiết và trở thành
môn học bắt buộc trong chương trình. Khi học môn này, chúng ta được học về
môđun trên vành có đơn vị bất kỳ R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều,
đối đồng điều của các phức, hàm tử xoắn Tor n , hàm tử mở rộng Extn. Khi học về
môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội
xạ. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng lại ở việc
nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu. Giả sử
khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là R- môđun phải xạ ảnh, biểu diễn hữu hạn
thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một
môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn?
Cho C là lớp các R- môđun phải, C- tiền bao, C- bao,…được định nghĩa ra sao?
Hoặc một vài mô tả của FP- môđun nội xạ là gì?,… Vì thế, để trả lời cho những câu
hỏi này, là một học viên cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số K20, tôi đã
chọn môn Đại số đồng điều để nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình với
đề tài “MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ”, trong đó FP là chữ viết
tắt của Finitely Presented có nghĩa là “biểu diễn hữu hạn”.
2. Mục đích của đề tài
Tổng hợp các kết quả về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, ta tiến hành
nghiên cứu:
- Số chiều FP- xạ ảnh của các môđun dưới những thay đổi của các vành. Cho R
và S là những vành coherent phải và ϕ: R → S là toàn cấu vành thì với S là Rmôđun xạ ảnh phải và là R- môđun dẹt trái thì fpd R (M)= fpd S (M) với M là Smôđun phải bất kỳ và do đó rfpD(S) ≤ rfpD(R).
- Cho R và S là những vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R thì
fpd R (M)= fpd S (M) đối với bất kỳ S- môđun phải M S và rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ =
” xảy ra khi rfpD( R ) < ∞.


- Đối với một vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội
xạ) có một bao FP- xạ ảnh khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một
bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất.
- Cuối cùng, chúng ta sẽ xét những tiền phủ FP- xạ ảnh dưới mở rộng tốt của

những vành.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Cho R là vành có đơn vị bất kỳ đồng thời là vành coherent phải, S là vành
coherent phải và là mở rộng tốt của R, M là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn. Luận
văn sẽ trình bày một số lý thuyết về FP- nội xạ, C- tiền bao, C- bao,…, các kết quả
về số chiều FP- xạ ảnh, một số mô tả về những bao FP- nội xạ, tiền phủ FP- xạ ảnh.
4. Nội dung luận văn
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ
5. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở các kiến thức đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ
cùng với việc nghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến
môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ.


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này chủ yếu trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho chương sau. Chứng minh
các kết quả trong chương này hầu như bỏ qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo.
Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là vành bất kỳ có đơn vị 1.

1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.1.1. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun trái trên vành R (Rmôđun trái), ký hiệu là R M, nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R,
tức có ánh xạ μ : R × M → M mà μ(r, m) = rm thỏa mãn:
 M 1 : 1m = m
 M 2 : (rs)m = r(sm)
 M 3 : r(m + n) = rm + rn
 M 4 : (r + s)m = rm + sm
với mọi r,s∈R và với mọi m, n ∈M .

Định nghĩa 1.1.2. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun phải trên vành R (Rmôđun phải), ký hiệu là M R , nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R,
tức có ánh xạ φ : M × R → M mà φ(m, r) = mr thỏa mãn:
 M 1 : m1 = m
 M 2 : m(rs) = (mr)s
 M 3 : (m + n)r = mr + nr
 M 4 : m(r + s) =mr + ms
với mọi r,s∈R và với mọi m, n ∈M .
Định nghĩa 1.1.3. Cho R và S là các vành, nhóm cộng aben M được gọi là S- Rsong môđun, ký hiệu là S M R , nếu M là một S- môđun trái và là một R- môđun phải
và các cấu trúc này là tương thích, tức là (sm)r = s(mr) với mọi s ∈ S, r ∈ R, m ∈
M.
Từ đây, nếu không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải trên R ta chỉ cần nói
ngắn gọn là R- môđun.


Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một R – môđun, tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ
phận ổn định của M nếu: A + A ⊂ A và RA ⊂ A
trong đó A + A = {a + ba, b ∈ A}
RA= {ra r ∈ R, a ∈ A}
Nếu A là bộ phận ổn định của M thì các phép toán trên M khi giới hạn lại chỉ trên
các phần tử của A, cảm sinh nên các phép toán trên A.
Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11). Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng
với phép toán cảm sinh lập thành một R- môđun.
Định nghĩa 1.1.6. A được gọi là môđun con của M, ký hiệu A  M khi và chỉ khi
với mọi x, y ∈ A thì x + y ∈ A và với mọi r ∈ R, với mọi x ∈ A thì rx ∈ A.
Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12). Cho M là R- môđun, giao của họ khác rỗng
các môđun con của M là một môđun con của M.
Định nghĩa 1.1.8.
 Cho M là R- môđun, S ⊂ M, môđun con sinh bởi tập S, ký hiệu 〈S〉 là giao của họ
tất cả các môđun con của M và chứa S.
 Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng r 1 m 1 + r 2 m 2 +…+ r n m n

trong đó r 1 , r 2 , …, r n ∈ R; m 1 , m 2 ,…, m n ∈ S.
 Cho M là R- môđun trái, A  M. Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở
thành R- môđun thì ta xác định trên M/A phép nhân ngoài từ R như sau: với mọi r ∈
R, mọi m + A ∈ M/A thì r(m + A) = rm + A. Phép nhân ngoài này thỏa các tiên đề
từ M 1 đến M 4 .
Do đó, tập thương M/A đã xác định được cấu trúc R- môđun trái. Ta gọi M/A là
môđun thương của môđun M theo môđun con A.
Định nghĩa 1.1.9.
 Cho môđun M trên vành R. Tập S ⊂ M được gọi là hệ sinh của M nếu 〈S〉 = M tức
là với bất kỳ phần tử m ∈ M thì m = r 1 s 1 + r 2 s 2 +…+ r n s n với r 1 , r 2 , …, r n ∈ R; s 1 ,
s 2 ,…, s n ∈ S.


 Tập S ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ r 1 s 1 + r 2 s 2 +…+ r n s n = 0 thì r 1 =
r 2 = … = r n = 0.
 Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
 Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của M nếu S vừa là hệ sinh vừa độc lập tuyến tính.
 Môđun M khác môđun không có cơ sở được gọi là môđun tự do.
Định nghĩa 1.1.10.
 Cho M, N là các R- môđun. Ánh xạ f: M → N được gọi là R- đồng cấu nếu với
mọi m, m 1 , m 2 ∈ M và với mọi r ∈ R thì:
f (m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 )
f(rm) = rf(m)
 Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu f đồng thời là đơn ánh (toàn ánh).
 Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu.
1.2 Tổng trực tiếp trong
Định lý 1.2.1 ([1], định lý 2, trang 24). Cho A, B là các môđun con của môđun M
trên vành R thỏa các tính chất:
(i) A ∩ B = 0
(ii) A + B = M

Khi đó ta có đẳng cấu M ≅ A ⊕ B
Thay cho dấu “≅ ” ta có thể viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B. Khi đó ta nói M là tổng
trực tiếp trong của hai môđun con A, B của M.
Định nghĩa 1.2.2. Môđun con A của M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu có
môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B. Khi đó, môđun B được gọi là hạng tử bù
trực tiếp của môđun con A.
1.3 Dãy khớp
Định nghĩa 1.3.1.
f
g
 Dãy các đồng cấu (hữu hạn hoặc vô hạn) ⋅⋅⋅ → A 
→ B 
→ C → ⋅⋅⋅ được gọi

là khớp tại môđun B nếu Im(f)= Ker(g).


 Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại đó vừa
có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.
 Dãy các đồng cấu được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian.
 Dãy khớp các đồng cấu được gọi là dãy khớp ngắn nếu dãy đó có dạng:
χ
σ
0 → A 
→ B 
→C → 0

thì χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, Im(χ) = Ker(σ).
f
g

 Dãy khớp các đồng cấu ⋅⋅⋅ → A 
→ B 
→ C → ⋅⋅⋅ được gọi là chẻ ra tại

môđun B nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B 1 sao cho
B = Im(f) ⊕ B 1 .
 Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
1.4 Hàm tử Hom
Định nghĩa 1.4.1.
 Cho M, N là các R- môđun, tập hợp tất cả các đồng cấu từ môđun M đến môđun
N, ký hiệu là Hom R (M, N) hay Hom(M, N). Trên Hom(M, N) ta định nghĩa phép
cộng như sau:
Với cặp đồng cấu bất kỳ f, g ∈ Hom(M, N), tổng (f + g) là ánh xạ từ M đến N xác
định bởi công thức: với mọi m ∈ M thì (f + g)(m) = f(m) + g(m).
Rõ ràng Hom(M, N) với phép cộng được xác định như trên lập thành một nhóm
cộng aben.
 Nếu M là một R- môđun thì ánh xạ ϕ :Hom R (R, M) → M cho bởi ϕ(f ) =
f (1) là
một R- đẳng cấu môđun.
 Cho đồng cấu α :A → B và M là môđun cố định. Các ánh xạ cảm sinh từ α là α∗
và α∗ được xác định theo các công thức sau:

α* :Hom(M, A) → Hom(M, B) mà α* (f) = αf,
α* :Hom(B, M) → Hom(A, M) mà α* (g) = gα,

∀f ∈ Hom(M, A) .
∀g ∈ Hom(B, M) .

Định nghĩa 1.4.2. Xét phạm trù các R- môđun trái, ký hiệu là Mod và môđun M ∈
Mod.

 Hàm tử Hom(M, _ ): Mod → Ab được cho như sau:
 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(M, A) ∈ Ab.
α : A → B tương ứng với đồng cấu nhóm

 Đặt mỗi R- đồng cấu

α* :Hom(M, A) → Hom(M, B) theo quy tắc α* (f) = αf,

∀f ∈ Hom(M, A) .

 Phản hàm tử Hom( _ ,M): Mod → Ab được cho như sau:
 Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(A, M) ∈ Ab.
α : A → B tương ứng với đồng cấu nhóm

 Đặt mỗi R- đồng cấu

α∗ :Hom(B, M) → Hom(A, M) theo quy tắc α* (g) = gα,

∀g ∈ Hom(B, M) .

Như vậy, với mỗi môđun M, ta có thể xác định được một hàm tử Hom(M, _ ) và
một phản hàm tử Hom( _, M). Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các
hàm tử Hom.
Định lý 1.4.3 ([1], định lý 1, trang 68). Với mỗi môđun M và với bất kỳ dãy khớp
ngắn
χ
σ
0 → A 

→ B 
→C → 0

Các dãy sau đây là khớp:
χ*
σ*
0 → Hom ( M , A ) 
→ Hom ( M , B ) 
→ Hom ( M , C )
σ
χ
0 → Hom ( C , M ) 
→ Hom ( B, M ) 
→ Hom ( A, M )
*

*

Tức là các hàm tử Hom chỉ bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.
Định lý 1.4.4 ([1], định lý 2, trang 70). Với mỗi môđun M, nếu ta có dãy khớp
ngắn chẻ:
χ
σ
0 → A 
→ B 
→C → 0

thì các dãy sau cũng là khớp và chẻ:
χ∗
σ∗

→ Hom( M , B) 
→ Hom( M , C ) → 0
0 → Hom( M , A) 
∗

∗

σ
χ
→ Hom( B, M ) 
→ Hom( A, M ) → 0
0 → Hom(C , M ) 

Tức là các hàm tử Hom bảo toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ.


1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ
Định nghĩa 1.5.1. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu
σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại đồng cấu φ : P → B sao cho f = σϕ .

Hay: Môđun P là môđun xạ ảnh nếu hàm tử Hom(P, _ ) là hàm tử khớp.
Như vậy, môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp ngắn:
χ
σ
0 → A 
→ B 
→C→ 0

dãy các nhóm aben sau là khớp:
χ*

σ*
0 → Hom(P, A) 
→ Hom(P, B) 
→ Hom(P,C) → 0

Định lý 1.5.2 ([1], định lý 1, trang 73). Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh.
Định lý 1.5.3 ([1], định lý 3, trang 75). Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là
tương đương:
(i) P là môđun xạ ảnh.
χ
σ
(ii) Mỗi dãy khớp 0 → A 
→ B 
→ P → 0 là chẻ ra.

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.
Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 → N → P → M → 0 với P
là môđun xạ ảnh.
Định nghĩa 1.5.4. Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn
cấu χ :A → B , mỗi đồng cấu f :A → J , tồn tại đồng cấu φ :B → J sao cho f = φχ .
Hay: môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom( _ , J) là hàm tử khớp.
Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom( _ , J) chuyển mỗi dãy khớp
χ
σ
ngắn 0 → A 
→ B 
→ C → 0 thành dãy khớp các nhóm aben sau:
∗

σ

χ
0 → Hom ( C, J ) 
→ Hom ( B, J ) 
→ Hom ( A, J ) → 0
*

Định lý 1.5.5 (Định lý Baer) ([1], định lý 5, trang 77). J là R- môđun nội xạ khi và
chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f: I → J, luôn luôn tồn tại
phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ I, ta có f(λ) = λq.
Định lý 1.5.6 ([1], định lý 9, trang 82). Mỗi môđun M đều có thể nhúng vào một
môđun nội xạ N(M) nào đó, xem như là môđun con của N(M).


Định lý 1.5.7 ([1], định lý 10, trang 82). Với bất kỳ môđun J, ba phát biểu sau là
tương đương:
(i) J là môđun nội xạ.
χ
σ
(ii) Mọi dãy khớp 0 → J 
→ B 
→ C → 0 là chẻ ra.

(iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó.
Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 → M → J → N → 0 với J
là môđun nội xạ.
1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn
Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun hữu hạn sinh
nếu nó có tập sinh hữu hạn, tức là: tồn tại a 1 , a 2 ,…, a n ∈ M sao cho với mọi m ∈ M
thì tồn tại r 1 , r 2 ,…,r n ∈ R để m = a 1 r 1 + a 2 r 2 + … + a n r n
Ta gọi {a 1 , a 2 ,…, a n } là tập sinh của M.

Định nghĩa 1.6.2. Một R- môđun M được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy
khớp R m 
→ R n 
→ M → 0 với m, n ∈  nào đó.
Từ dãy khớp ta có M ≅ Rn/ Im[Rm → Rn]. Do đó M đẳng cấu với môđun thương của
môđun hữu hạn sinh.
Nhận xét.
M là môđun biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại dãy khớp ngắn

0 → K 
→ F 
→ M → 0 với F là môđun hữu hạn sinh tự do, K là môđun hữu
hạn sinh.
Bổ đề 1.6.3 ([3], Lemma 2.1, page 50). Cho R là vành và dãy khớp các R- môđun
0 → L → M → N → 0 . Khi đó:

(i) Nếu L và N là những môđun biểu diễn hữu hạn thì M cũng là môđun biểu
diễn hữu hạn.
(ii) Nếu L là môđun hữu hạn sinh và M biểu diễn hữu hạn thì N cũng biểu diễn
hữu hạn.
Định nghĩa 1.6.4. Một vành R được gọi là vành coherent phải (trái) nếu mọi iđêan
phải (trái) hữu hạn sinh của R đều biểu diễn hữu hạn.


1.7 Hàm tử tenxơ
Định nghĩa 1.7.1. Cho M R và R N lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái,
G là nhóm aben. Ánh xạ ϕ : M × N → G được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu
thỏa:
(i) ϕ là song cộng tính, tức là:

ϕ(m1 + m 2 , n) = ϕ(m1 , n) + ϕ(m 2 , n)
ϕ(m, n1 + n 2 ) = ϕ(m, n1 ) + ϕ(m, n 2 )
với mọi m, m 1 , m 2 ∈ M; n, n 1 , n 2 ∈ N.
(ii) φ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N, tức là:

ϕ(mr, n) =
ϕ(m, rn)
với mọi r ∈ R và mọi m ∈ M, n ∈ N.
Định nghĩa 1.7.2. Cho M R và R N lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái.
Tích tenxơ của các môđun M và N, ký hiệu là M ⊗ N là các nhóm aben sao cho ánh
xạ song tuyến tính τ : M × N → M ⊗ N có tính chất phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ
song tuyến tính ϕ : M × N → G , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại
và duy nhất đồng cấu f : M ⊗ N → G thỏa mãn ϕ = fτ .
M×N

τ

M⊗N

ϕ
∃!f

G
Định lý 1.7.3 ([1], định lý 1, trang 86). Cho M R và R N lần lượt là các R- môđun
phải và R- môđun trái. Khi đó tích tenxơ M ⊗ N là tồn tại và duy nhất sai khác
nhau một đẳng cấu.
Định nghĩa 1.7.4. Cho f : M R → M 'R là đồng cấu R- môđun phải và g : R N → R N '
là đồng cấu R- môđun trái. Xét biểu đồ sau:

ϕ

M×N
τ

M′ × N′
τ′

h

M⊗N

M′ ⊗ N′

trong đó τ, τ′ là các ánh xạ tenxơ, ánh xạ ϕ: M × N → M′ × N′ được cho bởi công
thức ϕ(m, n) = (f(m), g(n)), với mọi (m, n) ∈ M × N.
Khi đó τ′ϕ là ánh xạ song tuyến tính. Từ đó sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ
tenxơ τ, tồn tại và duy nhất đồng cấu h: M ⊗ N → M′ ⊗ N′ thỏa điều kiện hτ = τ′ϕ.
Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, ký hiệu là h = f ⊗ g.
Định lý 1.7.5 ([1], định lý 3, trang 96). Cho f: M R → M′ R và g: R N → R N′ là các
toàn cấu R- môđun phải và R- môđun trái. Khi đó, tích tenxơ f ⊗ g: M ⊗ N → M’ ⊗
N’ là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân Ker(f ⊗ g) là nhóm con của M ⊗ N được
sinh bởi các phần tử m ⊗ n trong đó hoặc m ∈ Ker(f) hoặc n∈ Ker(g).
Định nghĩa 1.7.6.
 Với mỗi R- môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử τ1A = A ⊗ _ : R Mod → Ab
như sau:
 Đặt mỗi vật M ∈


Đặt

mỗi

R Mod

đồng

tương ứng với nhóm (A ⊗ M) ∈ Ab.

cấu

α:M → N

tương

ứng với

đồng

cấu

nhóm

1A ⊗ α : A ⊗ M → A ⊗ N
 Với mỗi R- môđun trái B, ta xây dựng một hàm tử τ2B = _ ⊗ B : Mod R → Ab như
sau:
 Đặt mỗi vật M ∈ Mod R tương ứng với nhóm (M ⊗ B) ∈ Ab.


Đặt

mỗi

đồng

cấu

α ⊗ 1B : M ⊗ B → N ⊗ B

α:M → N

tương

ứng

với

đồng

cấu

nhóm


Định lý 1.7.7 ([1], định lý 4, trang 100). Các hàm tử (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) là các
hàm tử khớp về bên phải. Tức là:
χ
σ
Nếu ta có dãy khớp ngắn 0 → M 
→ M ' 

→ M '' → 0 thì các dãy sau là khớp:
1A ⊗ χ
1A ⊗σ
A ⊗ M 
→ A ⊗ M ' 
→ A ⊗ M '' → 0

χ ⊗1B
σ ⊗1B
M ⊗ B 
→ M ' ⊗ B 
→ M '' ⊗ B → 0

Định lý 1.7.8 ([1], định lý 5, trang 101). Các hàm tử tenxơ (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) bảo
toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ.
Định nghĩa 1.7.9.
 Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun dẹt phải nếu hàm tử (M ⊗ _ ) là
hàm

tử

khớp.

Tức

là:

nếu

có

dãy

khớp

các

R-

môđun

trái

χ
σ
0 → A 
→ B 
→ C → 0 thì dãy sau là khớp:
1M ⊗χ
1M ⊗σ
0 → M ⊗ A 
→ M ⊗ B 
→M ⊗ C → 0

 Cho M là R- môđun trái, M được gọi là môđun dẹt trái nếu hàm tử ( _ ⊗ M) là
hàm

tử

khớp.

Tức

là:

nếu

có

dãy

khớp

các

R-

môđun

phải

χ
σ
0 → A 
→ B 
→ C → 0 thì dãy sau là khớp:

χ⊗1M
σ⊗1M
0 → A ⊗ M 

→ B ⊗ M 
→C ⊗ M → 0

Tính chất 1.7.10.

 Với mọi R- môđun phải M ta có M R ⊗ R ≅ M.
 Với mọi R- môđun trái N ta có R ⊗ R N ≅ N.
1.8 Phức và đồng điều
f
g
Định nghĩa 1.8.1. Dãy các đồng cấu ⋅⋅⋅ → X 
→ Y 
→ Z → ⋅⋅⋅ được gọi là dãy

nửa khớp nếu tại mỗi môđun trung gian của dãy, ảnh của đồng cấu vào được chứa
trong hạt nhân của đồng cấu ra. Tức là, một dãy các đồng cấu là nửa khớp nếu tích
của hai đồng cấu liên tiếp của dãy luôn luôn là đồng cấu 0.
Định nghĩa 1.8.2. Một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp đánh số theo tập tất
cả các số nguyên. Có hai loại phức: phức tiến và phức lùi.


 Một phức được gọi là phức tiến nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức cùng
chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức tiến có dạng:
∂ n −1
∂n
→ K n 
→ K n +1 → ⋅⋅⋅
K : ⋅⋅⋅ → K n −1 

 Một phức được gọi là phức lùi nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức ngược

chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức lùi có dạng:
∂n
∂ n +1
X : ⋅⋅⋅ ← X n −1 ←
 X n ←
 X n +1 ← ⋅⋅⋅

Tuy nhiên, ta chỉ cần thực hiện một phép biến đổi về chỉ số thay n bởi (-n) ta có thể
chuyển một phức lùi thành một phức tiến và ngược lại.
Định nghĩa 1.8.3.
∂n
∂ n +1
Xét phức X : ⋅⋅⋅ ← X n −1 ←
 X n ←
 X n +1 ← ⋅⋅⋅

Với mọi n ∈  , vì ∂ n ∂ n +1 =0 nên ta có Im ( ∂ n +1 ) ⊂ Ker ( ∂ n ) . Ta có môđun thương

Hn ( X ) =
Ker ( ∂ n ) / Im ( ∂ n +1 ) .
Môđun thương H n ( X ) được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức X.
Định nghĩa 1.8.4.
 Phức X = {X n , ∂ n } được gọi là phức dương nếu X n = 0 khi n < 0.
 Phức X = {X n , ∂ n } được gọi là phức âm nếu X n = 0 khi n > 0.
Giả sử ta có phức âm với chỉ số thường dùng
∂− n
∂ − n +1
X : ⋅⋅⋅ ← X − n −1 ←
 X − n ←
 X − n +1 ← ⋅⋅⋅

được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (-n) thay bởi n. Khi đó, X - n
được viết Xn, ∂ -n : X - n → X - n -1 được viết là δn: Xn → Xn+1. Lúc này phức âm được
chuyển thành phức dương theo chỉ số trên như sau:
n −1

δ
δ
δ
X : 0 → X 0 
→ X1 → ⋅⋅⋅ → X n −1 
→ X n 
→ X n +1 → ⋅⋅⋅
0

n

Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên X = {Xn, δn} được xác định theo công
thức Hn (X) = Ker(δn) / Im(δn-1)
 Cho phức X = {X n , ∂ n } các R- môđun và G là một R- môđun. Tác động hàm tử
phản biến Hom( _ , G) lên phức X ta thu được phức chỉ số trên, gồm các nhóm


n −1

δ
δ
aben: ⋅⋅⋅ → Hom(X n −1 ,G) 
→ Hom(X n ,G) 
→ Hom(X n +1 ,G) → ⋅⋅⋅ trong đó

n

đồng cấu δ n : Hom(X n ,G) 
→ Hom(X n+1 ,G) được xác định bởi công thức:

δn ( f ) =
( −1)

n +1 ∗
∂ n +1

(f ) =
( −1)n +1 f∂ n +1

Phức thu được theo cách trên ký hiệu là Hom(X, G) và các nhóm Hom(X n , G) có
thể được viết là Homn(X, G).
 Đồng điều của phức Hom(X, G) được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số
trong G. Đó là các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên:
Hn(X, G) = Hn(Hom(X,G)) = Ker(δn) / Im(δn-1)
1.9 Phép giải và tích mở rộng
Định nghĩa 1.9.1.
 Cho M là một R- môđun phải, ta gọi phép giải của M là một dãy khớp các Rmôđun và các đồng cấu:
∂o
∂n
∂1
X : ⋅⋅⋅ → X n 
→ X n-1 → ⋅⋅⋅ → X1 
→ X 0 
→M → 0

 Nếu X n là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R với mọi n ≥ 0 thì phép
giải ở trên được gọi là phép giải tự do (tương ứng phép giải xạ ảnh) của môđun M.
Định lý 1.9.2 ([1], định lý 1, trang 147). Mọi môđun M trên R đều có một phép
giải tự do.
Định nghĩa 1.9.3. Cho M và N là các R- môđun trái và
∂o
∂ n +1
∂n
→ X n 
→ X n-1 ⋅⋅⋅ → X 0 
→ M → 0 là phép giải xạ ảnh
X : ⋅⋅⋅ → X n +1 

của M. Phức thu gọn tương ứng với X là
∂ n +1
∂n
X : ⋅⋅⋅ → X n+1 
→ X n 
→ X n-1 → ⋅⋅⋅ → X 0 → 0

Xét dãy nửa khớp:
δ
δ
Hom(X, N) : 0 → Hom(X 0 , N) 
→ Hom(X1 , N) → ⋅⋅⋅ → Hom(X n , N) 
→
0

n

→ Hom(X n+1 , N) → ⋅⋅⋅
Trong đó các đồng cấu δn-1 = Hom(∂ n , i), với i là tự đồng cấu đồng nhất của môđun

(

)

N. Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều H n Hom(X, N) được gọi là


tích mở rộng n – chiều trên R của các môđun M và N đã cho. Ký hiệu là

Ext nR ( M, N ) hay Ext n ( M, N ) .

(

)

(

( )

)

( )

n
n
=
N) H=

X, N Ker δ n / Im δ n-1
Ta có Ext=
( M, N ) H n Hom(X,

 Khi n = 1, ta dùng ký hiệu Ext ( M, N ) và gọi là tích mở rộng của môđun M và N.

(

( )

)

=
N) Ker δ0 ≅ Hom ( M, N )
 Khi n = 0 thì Ext 0=
( M, N ) H0 Hom(X,
Nhận xét. Dãy khớp ngắn 0 → M → N → P → 0 là chẻ khi và chỉ khi Ext(P, M) =
0.
Định lý 1.9.4 ([1], định lý 1, 2, trang 163).
 Nếu R- môđun trái (phải) P là xạ ảnh thì Ext n ( P,N ) = 0, ∀n > 0 và mọi Rmôđun trái (phải) N.
 Nếu R- môđun trái (phải) J là nội xạ thì Ext n ( M,J ) = 0, ∀n > 0 và với mọi Rmôđun trái (phải) M.
1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn
Định nghĩa 1.10.1.
 Cho C là lớp các R- môđun nào đó. Ta gọi ⊥C là lớp các R- môđun F sao cho

Ext1R ( F,C ) = 0, ∀C ∈ C,

C⊥

là

lớp

các

R-

môđun

G

sao

cho

Ext1R ( C,G ) = 0, ∀C ∈ C.
Khi đó ⊥C và C⊥ được gọi là những lớp trực giao của C.
 Nhận xét. Đối với mọi lớp C, ta có C⊂

⊥

( C ) và C⊂ ( C)
⊥

⊥

⊥

.

Định nghĩa 1.10.2.
 Cặp (F, C) của những lớp các R- môđun được gọi là lý thuyết đối xoắn nếu

F⊥ = C và ⊥C= F .
 Ví dụ. Nếu F là lớp các R- môđun xạ ảnh và C là lớp chứa tất cả các R- môđun
thì (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn.
Chứng minh.


(i) Chứng minh F⊥ = C
Với F ∈ F⊥ thì Ext(M, F) = 0, ∀M ∈ F, suy ra F ∈ C, suy ra F⊥ ⊂ C
Với C ∈ C suy ra Ext(F, C) = 0, ∀F ∈ F (do F là lớp các R- môđun xạ ảnh), suy
ra C ⊂ F⊥.
Do đó F⊥ = C.
(ii) Chứng minh ⊥C = F
Với F ∈ F suy ra Ext(F, C) = 0, ∀C ∈ C hay F ∈ ⊥C, suy ra F ⊂ ⊥C.
Với M ∈ ⊥C suy ra Ext(M, B) = 0, ∀B ∈ C, suy ra M là môđun xạ ảnh hay M ∈

F, suy ra ⊥C ⊂ F.
Do đó ⊥C = F.
Vậy (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn.
Định nghĩa 1.10.3.
 Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ đơn cấu nếu với mọi môđun M có
dãy khớp 0 → M → C → F → 0 với C ∈ C và F ∈ F .
 Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ toàn cấu nếu với mọi môđun M
có dãy khớp 0 → C → F → M → 0 với C ∈ C và F ∈ F .
Định nghĩa 1.10.4.
 Cho R là vành và F là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu
ϕ : C → M với C ∈ F được gọi là một F- tiền phủ của M nếu đối với bất kỳ đồng

cấu f : C' → M với C′ ∈ F, tồn tại đồng cấu g : C' → C sao cho f = ϕg .
 Một F – tiền phủ ϕ : C → M của M gọi là F - phủ nếu mỗi tự đồng cấu g : C → C
sao cho ϕg = φ thì g là đẳng cấu.
 Đồng cấu ϕ : C → M được gọi là F - tiền phủ có tính chất ánh xạ duy nhất nếu
đối với bất kỳ đồng cấu f : C' → M với C′ ∈ F, tồn tại duy nhất đồng cấu

g : C' → C sao cho f = ϕg .


 Một toàn cấu ϕ : F → M với F ∈ F được gọi là một F- tiền phủ đặc biệt của M
nếu Ker(ϕ) ∈ F⊥ .
Hay M được gọi là có F- tiền phủ đặc biệt nếu có một dãy khớp
0 → C → F → M → 0 với F ∈ F và C ∈ F⊥ .

 Nếu F là lớp của những môđun xạ ảnh thì một F- phủ (tiền phủ) được gọi là phủ
(tiền phủ) xạ ảnh.
Định nghĩa 1.10.6.
 Cho R là vành và C là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu
φ : M → F với F ∈ C được gọi là một C- tiền bao của M nếu đối với bất kỳ đồng

cấu f : M → F' với F′ ∈ C, tồn tại đồng cấu g : F → F' sao cho f = gφ .
 Một C- tiền bao φ : M → F của M gọi là C- bao nếu mỗi tự đồng cấu g : F → F
sao cho gφ = φ thì g là đẳng cấu.
 Đồng cấu φ : M → F được gọi là C- tiền bao có tính chất ánh xạ duy nhất nếu đối
với bất kỳ đồng cấu f : M → F' với F′ ∈ C, tồn tại duy nhất đồng cấu g : F → F' sao
cho f = gφ .
 Một đơn cấu α : M → C với C ∈ C được gọi là một C- tiền bao đặc biệt của M
nếu CoKer(α) ∈ ⊥C.
Hay M được gọi là có C- tiền bao đặc biệt nếu có một dãy khớp
0 → M → C → F → 0 với C ∈ C và F ∈ ⊥C.

 Nếu C là lớp của những môđun nội xạ thì một C- bao (tiền bao) được gọi là bao
(tiền bao) nội xạ.
1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi
Định nghĩa 1.11.1. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: B → A, g: C →
A, cái kéo lại (pullback) là bộ ba (D, α, β) thỏa gα = fβ và nếu có bộ ba (X, α’, β’)
thỏa gα’ = fβ’ thì tồn tại duy nhất θ: X → D sao cho biểu đồ sau giao hoán.
C

X
g

θ

α’


B f

A

D

β’

α

C

β

g

B

f

A

Định nghĩa 1.11.2. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: A → B, g: A →
C, cái đẩy đi (pushout) là bộ ba (D, α, β) thỏa βg = αf và nếu có bộ ba (Y, α’, β’)
thỏa β’g = α’f thì tồn tại duy nhất θ: D → Y sao cho biểu đồ sau giao hoán.
g
g
A
C
A
C
f
β
f
β’
α
B
B
D
θ
α’

Y

Chương 2
MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ
2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ
Định nghĩa 2.1.1. Cho M là R- môđun phải.
 M được gọi là môđun FP- nội xạ nếu Ext1R ( N, M ) = 0 với mọi R- môđun phải
biểu diễn hữu hạn N.
 M được gọi là môđun FP- xạ ảnh nếu Ext1R ( M, N ) = 0 với mọi R- môđun phải
FP- nội xạ N.
Ví dụ. (1) J là R- môđun nội xạ thì J là R- môđun FP- nội xạ.
(2) P là R- môđun xạ ảnh thì P là R- môđun FP- xạ ảnh.
Ta ký hiệu FP R (FI R ) là lớp của những R- môđun FP- xạ ảnh (FP- nội xạ).
Như vậy, những FP R - tiền phủ (phủ) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền phủ (phủ)
FP- xạ ảnh đặc biệt. Tương tự, FI R - tiền bao (bao) đặc biệt sẽ được gọi là những
tiền bao (bao) FP- nội xạ đặc biệt.
Hơn nữa:
 Mọi R- môđun phải M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nếu có dãy khớp
0 → M → F → L → 0 trong đó F ∈ FI R và L ∈ FP R .

 Mọi R- môđun phải M có một tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt nếu có dãy khớp
0 → K → F → M → 0 trong đó F ∈ FP R và K ∈ FI R .

 Nếu α: M → F là một bao FP- nội xạ của M thì CoKer(α) là FP- xạ ảnh.
 Nếu β: F → M là một phủ FP- xạ ảnh của M thì Ker(β) là FP- nội xạ.
Định nghĩa 2.1.2. Một vành S được gọi là một mở rộng tốt của vành R nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:


(i) S là mở rộng chuẩn hóa hữu hạn của vành R, có nghĩa là: R và S có cùng đơn

vị và có những phần tử s 1 , s 2 , …, s n ∈ S sao cho S = Rs 1 + Rs 2 + …+ Rs n và Rs i =
s i R, với mọi i = 1, 2,…, n.
(ii) R S là dẹt, S R là xạ ảnh.
(iii) S là R- projective phải, tức là: nếu M S là môđun con của N S và M R là hạng
tử trực tiếp của N R thì M S là hạng tử trực tiếp của N S .
Định nghĩa 2.1.3. Một vành S được gọi là mở rộng rất tốt của R nếu S là mở rộng
tốt của R và S xem như một R- môđun phải và trái tự do với cơ sở s 1 , s 2 , …, s n
trong đó s 1 = 1 R .
Bổ đề 2.1.4 ([8], Lemma 2.1, page 792). Cho S là mở rộng tốt của R và M S là Smôđun phải. Khi đó:
(i) M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải M ⊗ R S.
(ii) M S đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải Hom R (S, M).
Bổ đề 2.1.5 ([4], Lemma 3.18, page 1165). Cho R và S là các vành. Giả sử S L R là
S- R- song môđun, L R là dẹt và S L là xạ ảnh hữu hạn sinh. Khi đó:
(i) Nếu M là R- môđun trái biểu diễn hữu hạn thì S L ⊗ R M là một S- môđun trái
biểu diễn hữu hạn.
(ii) Nếu M là R- môđun trái FP- xạ ảnh thì S L ⊗ R M là một S- môđun trái FP- xạ
ảnh.
Bổ đề 2.1.6 ([6], Exercise 9.21, page 258). Cho R và S là các vành, cho bộ ba các
môđun ( R N, S P R , S M) trong đó P là R- xạ ảnh. Khi đó ta có đẳng cấu:

Ext Sn ( P ⊗R N, M ) ≅ Ext Rn ( N, HomS ( P, M ) )
Định lý 2.1.7 ([6], Theorem 11.65, page 364).
 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun phải dẹt, N là R- môđun trái,
M là S- môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:

ExtSn ( S ⊗ R N , M ) ≅ Ext Rn ( N , M )
 Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun trái dẹt, N là R- môđun phải,
M là S- môđun phải. Khi đó, ta có đẳng cấu: