Môđun tựa nội xạ và môđun hầu tựa nội xạ luận văn thạc sỹ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG ĐÌNH HNH

MễUN TA NI X
V MễUN HU TA NI X

luận văn thạc sỹ toán học

Ngh An - 2011

MC LC


2

Trang
1

MỞ
ĐẦU ......................................................................................
CHƯƠNG 1. MÔĐUN TỰA NỘI
XẠ .......................................
1.1. Một số kiến thức chuẩn

3
3

bị ...........................................................
1.2. Môđun con cốt yếu
……………………………………………..
1.3. Môđun A – nội xạ
………………………………………………
1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội
xạ ...........................................
CHƯƠNG 2. MÔĐUN HẦU TỰA NỘI
XẠ .............................

5
9
12
16

KẾT

24

LUÂN ..................................................................................
TÀI

LIỆU

THAM

25

KHẢO...........................................................

MỞ ĐẦU
Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang được các
nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm. Đặc biệt, môđun nội xạ là
một trong những trụ cột chính của lý thuyết mơđun, từ đó ứng dụng để đặc trưng
vành. Nhưng điều kiện của môđun nội xạ q mạnh vì thế một số lớp vành khó
có thể đặc trưng. Vì vậy người ta đã mởi rộng nghiên cứu các lớp môđun này và


3

trong những thập kỷ 80 và 90 các nhà khoa học đã đạt được nhiều kết quả tốt
trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ.
Năm 1989, Yoshitomo Baba và Manabu Harada đã đưa ra các khái niệm
mới về lớp môđun nội xạ là môđun hầu nội xạ. Với các tính chất cơ bản của
chúng. Mặc dù lớp môđun này đã được nghiên cứu trong hơn thập kỷ qua nhưng
nhiều tính chất thú vị và hữu ích vẫn không được chú ý.
Năm 2009 Adel Alahmadi và S. K. Jain tiếp tục nghiên cứu và mở rộng
lớp mơđun này, và đã thu được nhiều kết quả, đó là một số tính chất về mơđun
hầu tựa nội xạ. Các kết quả chính được đăng trên tạp chí Math. J. Okayama Univ
năm 2009.
Dựa trên những kết quả chính của bài báo “ A note on almost injective
modules” của Adel Alahmadi và S. K. Jain (xem [2]) luận văn nhằm tìm hiểu
một số tính chất về mơđun hầu tựa nội xạ. Vì vậy chúng tơi chọn đề tài nghiên
cứu của luận văn là “Môđun tựa nội xạ và môđun hầu tựa nội xạ”.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 2 chương.
Chương 1. Môđun tựa nội xạ.
Trong chương này chúng tơi trình bày các tính chất về môđun con cốt yếu,
môđun A – nội xạ, môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ.
Chương 2. Môđun hầu tựa nội xạ.
Trong chương này chúng tơi trình bày một số tính chất của mơđun hầu tựa

nội xạ.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Ngơ Sỹ Tùng.
Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo
hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc
trong quá trình học tập và nghiên cứu.


4

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê
Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà
và các thầy giáo cô giáo khác trong chuyên nghành Đại số đã tận tình giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên.
Nghệ An tháng 12 năm 2011
Tác giả

CHƯƠNG 1. MÔĐUN TỰA NỘI XẠ
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.1. Định nghĩa. Môđun con B của môđun A được gọi là hạng tử trực tiếp
trong A nếu có môđun C của A sao cho A B  C .


5

Mơđun A khác khơng được gọi là khơng phân tích được nếu 0 và A là những
hạng tử trực tiếp duy nhất trong A.
1.1.2. Định nghĩa. ( Các điều kiện Ci của môđun)
(C1) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

(C2) Mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nó cũng là hạng tử
trực tiếp của M.
(C3) M1, M2 là các hạng tử trực tiếp của M, M 1  M 2 0 thì M 1  M 2  M .
(1 – C1) Mọi môđun đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
1.1.3. Định nghĩa.
* M thỏa mãn (C1) được gọi là CS – môđun.
* M thỏa mãn (C1) và (C2) được gọi là môđun liên tục.
* M thỏa mãn (C1) và (C3) được gọi là môđun tựa liên tục.
* M thỏa mãn (1 – C1) được gọi là (1 – C1) môđun.
1.1.4. Định nghĩa. Cho A là môđun con của mơđun M.
* A được gọi là đóng trong M nếu A * B  M  A B .
* A được gọi là phần bù trong M nếu tồn tại B  M , A tối đại để A  B 0 .
1.1.5. Mệnh đề.
(i) A là đóng trong M khi và chỉ khi A là phần bù trong M.
(ii) Bao đóng ln tồn tại theo nghĩa cho A là môđun con của môđun M, T được
gọi là bao đóng của A trong M nếu A cốt yếu trong T và T đóng trong M.
1.1.6. Định nghĩa. Đơn cấu  : A  B của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu
Im  là hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu

Ker là hạng tử trực tiếp của B.
1.1.7. Mệnh đề.

 : B  C được gọi là chẻ ra nếu


6

(i) Đồng cấu môđun  : A  B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

 : B  A sao cho  id A . Khi đó B Im   Ker .

(ii) Đồng cấu  : B  C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

 : C  B sao cho  idC Khi đó B Ker  Im  .
1.1.8. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn

0  A   B   C  0
Được gọi là chẻ ra nếu Im  Ker là hạng tử trực tiếp của B.
1.1.9. Mệnh đề. Đối với dãy khớp ngắn

0  A   B   C  0
Các phát biểu sau tương đương.
(i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra.
(ii)  là đơn cấu chẻ ra.
(iii)  là toàn cấu chẻ ra.
1.1.10. Định lý. Cho dãy khớp ngắn

0  A   B   C  0
Khi đó các dãy sau là khớp
1) 0  Hom(M , A)   Hom(M , B)   Hom(M , C ) .
*

*

*

*

2) 0  Hom(C , M )   Hom( B, M )   Hom( A, M ) .
trong đó M là R mơđun tùy ý , * Hom(id M ,  ),  * Hom( , id M ) tương tự với *
và  * .

1.1.11. Định nghĩa. Vành R được gọi là địa phương nếu tập tất cả các phần tử
không khả nghịch của R đóng kín đối với phép cộng.
1.1.12. Định lý. Cho vành R, gọi A là tập tất cả các phần tử khơng khả nghịch
của R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) R là vành địa phương;


7

(ii) A là iđêan hai phía của R;
(iii) A là iđêan phải thực sự lớn nhất;
(iii)’ A là iđêan trái thực sự lớn nhất;
(iv) Trong R tồn tại iđêan phải lớn nhất;
(iv)’ Trong R tồn tại iđêan trái lớn nhất;
(v)

r  R

thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch phải;

(v)’

r  R thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch trái;

(vi)

r  R

thì hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch.

1.1.13 Mệnh đề. Cho mơđun M, khi đó nếu vành End(M) địa phương thì M là
mơđun khơng phân tích được.

1.2 Mơđun con cốt yếu
1.2.1. Định nghĩa. Mơđun con N của R – môđun M được gọi là môđun con cốt
yếu của M, kí hiệu N * M . Nếu với mọi môđun con khác không K của M ta đều
có K  N 0 . Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N.
Nếu mọi mơđun con của mơđun M là cốt yếu thì M được gọi là môđun đều.
1.2.2. Bổ đề. Cho A là mơđun con của mơđun M. Khi đó A * M khi và chỉ khi
với mỗi phần tử 0 m  M tồn tại

rR

sao cho 0 mr  A .

Chứng minh. Giả sử A  *M , m 0 và m  M thì khi đó mR 0 và A  mR 0 .
Từ đó suy ra tồn tại

rR

mà 0 mr  A .

Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của M, lấy 0 m  B và tìm được

r  R sao cho 0 mr  A thì do mr  B nếu B  A 0 vậy A * M .
1.2.3. Hệ quả. Cho A là mơđun con của mơđun M trên R. Khi đó

A  *M  Rx  A 0 x  M .
Chứng minh.




8

(  ) Hiển nhiên
(  ) Lấy 0  X  M  0  x  X sao cho A  Rx 0 mà Rx  X  A  X 0

 A * M .



1.2.4. Mệnh đề. Nếu trong mơđun M có dãy các mơđun con A  B  C thì khi đó
ta có
 A * B
A * C   *
B  C

Chứng minh. Nếu A * C khi đó 0  X  C ta có X  A 0 vì A  B  X  B 0
 B * C .

Lấy X  B  X  C  X  A 0 (vì A * C )  A * B .
 A * B
Vậy A  C  
*
B  C
*

 A * B
Nếu 

ta chứng minh A * C . Lấy 0  X  C  X  B 0 (vì B * C )
*
B  C
Vì 0  X  B  B  ( X  B)  A 0 (do A * B ).
Và

A  B nên X  B  A  X  A 0  A * C .



1.2.5. Mệnh đề. Cho f : M  N là đồng cấu R – mơđun. Khi đó nếu A * N thì
f  1 ( A) * M .

Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác không của M ta chứng minh
X  f  1 ( A) 0 . Thật vậy, nếu f ( X ) 0 thì f ( X )  A  X  f  1 ( A) .

Nếu f ( X ) 0 , khi đó A * N nên ta có f ( X )  A 0  x  X , x 0 sao cho

f ( x) a với a  A, a 0 .  x  f  1 ( A) tức là x  X  f  1 ( A)  X  f  1 ( A) 0 . Vậy
f  1 ( A) * M .




9

1.2.6. Mệnh đề. Cho B là môđun con khác không của mơđun M, A * M thì khi
đó A  B * B .
Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác khơng của mơđun B, khi đó

X M .

Do A * M nên A  X 0 ,  0 a  A  X  a  X và a  A  a  B
 a  ( A  B )  X  ( A  B )  X 0  A  B * B .

1.2.7. Mệnh đề. Cho

A  B  M . Nếu



( B / A) * ( M / A) thì B * M .

Chứng minh. X là mơđun con khác khơng của M.
Nếu B  X 0 thì A  X 0  Tồn tại tổng trực tiếp X  A  A
Vì B / A * M / A và ( X  A) A  M / A nên ( B / A)  ( X  A) A 0  c  A mà

c  A  B / A  ( X  A) / A

 c  A b  A  x  a  A (với a  A, b  B, x  X )
 x b  a  a ' , a '  A .

Ta có a  a '  A  B nên b  a  a '  B  x  B  x 0  b  A

 c  A  A  c  A mâu thuẫn với giả thiết c  A . Vậy B  X 0  B * M . 
n

n

i 1

i 1

1.2.8. Mệnh đề. Nếu Ai * Bi i i, n , Ai , Bi  M thì  Ai *  Bi
n

*
Đặc biệt nếu Ai * M thì  Ai  M
i 1

n

*
Bi  X  Bi i i, n mà Ai  Bi  X  Ai 0
Chứng minh. Lấy 0  X  
i 1

n

*
Ai ) 0 hay  Ai  Bi .
Lúc đó X  (
i 1



1.2.9. Mệnh đề. Cho Ai * M i , M i  M i  I . Khi đó nếu tồn tại I Ai thì tồn tại
 M i và  Ai *  M i .
I
I

I


10

Chứng minh. Trường hợp 1: I n hữu hạn.
Quy nạp theo n và chỉ cần chứng minh n = 2.
Cho A1 * M 1 , A2 * M 2 và  A1  A2
*
Ta có theo Mệnh đề 1.2.8  A1  A2 * M 1  M 2  0  M 1  M 2  M1  M 2 0 .

 M 1  M 2 .

+ Xét các đồng cấu chiếu f1 : M 1  M 2  M 1

x1  x2  x1
f 2 : M1  M 2  M 2

x1  x2  x2
1
*
*
Do A1 * M1 theo Mệnh đề 1.2.5  f1 ( A1 )  M1  M 2 hay A1  M 2  M 1  M 2 .
*
1
*
Do A2  M 2  f 2 ( A2 )  M 1  M 2  M 1  A2 * M 1  M 2 .

Dùng tính chất giao
 A1  M 2  M 1  A2 * M1  M 2 .  A1  A2 * M 1  M 2  n = 2 đúng.

Trường hợp 2: I vơ hạn bất kì.
+ Chứng minh tồn tại I M i . Lấy x   IM i
 Có sự biểu diễn x = x1 + ... + xk , xi  M i

(*)

x  M 1 + .... + M k hữu hạn.
M 1 + .... + M k  M1  M 2  ...  M k

Do đã chứng minh ở trường hợp 1, suy ra sự biểu thị ở (*) là duy nhất, do đó

M
I

i

 M i .
I

+ Chứng minh

 Ai *  M i .
I

I

M i   0  x  X có sự phân tích duy nhất
Lấy 0  X  
I

11

x = x1 + x2 + ... + xm ( do x  X  I M i ) xi  M i  x  M1  M 2  ...  M m
Do A1  A2  ...  A m * M1  M 2  ...  M m (do I hữu hạn),
Rx  ( A1  A2  ...  Am ) 0  Rx  I Ai 0  X  I Ai 0 .



1.3 Môđun A - nội xạ
1.3.1. Định nghĩa. Môđun M trên R được gọi là A - nội xạ nếu mọi môđun con
X và mỗi đồng cấu f : X  M có thể mở rộng tới đồng cấu f * : A  M sao cho
f  f *  i , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán với

0

X

f

i : X  A là phép nhúng.
i

A

f

*

M
1.3.2. Bổ đề. Nếu mơđun N là A - nội xạ thì mọi đơn cấu f : N  A là chẻ ra.
Hơn nữa, nếu A khơng phân tích được thì f là đẳng cấu.
Chứng minh. Vì f : N  A là đơn cấu nên ta có thể xem N như là môđun con
của môđun A. Do N là A - nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : A  N sao cho
g  f 1N .
Ta sẽ chứng minh A Imf  Kerg . Thật vậy, với a  A , ta có g (n)  N .
Đặt n  g (a) , a  f (n)  a  f (n)  f (n)  Imf .
Xét g (a  f (n)) g (a)  g ( f (n)) n  n 0  a  f (n)  Kerg  A Imf+Kerg .
Giả sử a  Imf  Kerg , khi đó.
 a  f ( n)
 a  Imf
nên 

 a  Kerg
 g ( a ) 0

n  N Hay g  f (n) 0  n 0  a  f (n)  f (0) 0

 Imf  Kerg=0  A Imf  Kerg  f chẻ ra.
Nếu A khơng phân tích được thì theo định nghĩa Kerg = 0.


12

Khi đó A Imf  f tồn cấu  f đẳng cấu.



1.3.3. Mệnh đề. Cho N là A - nội xạ và B là mơđun con của A thế thì

(i) N là B - nội xạ.
.i

(ii) N là A/B - nội xạ.
Chứng minh.
X

(i) Xét biểu đồ
m

X  B

f

f : X  N là đồng cấu

N

i là phép nhúng đồng nhất

i

B

iB

A

g

Do N là A - nội xạ  g : A  N là mở rộng của f tức là g  iB  i  f
*
*
Khi đó f g  iB  f cần tìm vì f *  i g  iB  i  f nên N là B – nội xạ.



(ii) Giả sử X/B là môđun con của A/B,  : X / B  N là đồng cấu môđun.
Gọi

 : A  A / B là toàn cấu tự nhiên và  '  / X . Khi đó

   ' : X  N là đồng cấu môđun

Do N là môđun A - nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : A  N mà   i    '
Ta có B  Ker
+ Xác định  : A / B  N với  (a  B)  (a) .
Dễ thấy  là ánh xạ,  là đồng cấu, 

X /B

 do đó N là A/B – nội xạ.

1.3.4. Mệnh đề. (Tiêu chuẩn Baer tổng quát)
Môđun N là A - nội xạ  N là Ra - nội xạ a  A .
Chứng minh. Dùng bổ đề Zorn.
S {(Bi , i ) X  Bi  A,  i là mở rộng

, i  I} .

 B B

1
2
Quan hệ thứ tự: ( B1 , 1 ) ( B2 , 2 )   
2 mở rộng  1 .





13

Theo bổ đề Zorn  ( B, ) tối đại.

X  B  A

  mở rộng  .
Ta chứng minh B = A.
Chứng minh B  A nếu B * A  0 C  A mà B  C 0 có B  C  B .
Xét  : B  C  N

a  b   (b)  0

  là đồng cấu và  là mở rộng của  .
( B, ) ( B  C ,  ) vơ lý với tính chất tối đại của (B,  ).
Nếu B  A  a  A  B  a 0
Đặt K {r  R ra  B} . Khi đó Ka 0 vì Ka Ra  B mà B * A, Ra 0 suy ra

Ra  B 0

+ Định nghĩa  : Ka  N

ka   (ka )
Do N là Ra - nội xạ nên tồn tại mở rộng của  là  : Ra  N
+ Ta đã có B  Ra Ù B

Xác định

 : B  Ra  N
b  ra   (b)  (ar )

Kiểm tra  đồng cấu .

Ka



Ra



N

 biến phần tử 0 thành phần tử 0. Nếu b  ra 0  ra  b  ra  ka
  (b  ra)  (b)  (ra)  (b)   (ra)  (b)  (ra)  (b  ra)  (0) 0
Vậy ( B  Ra,  ) ( B, ) mâu thuẫn  B  A .



14

Ai - nội xạ  N là Ai - nội xạ i  I
1.3.5. Mệnh đề. N là 
I
Ai - nội xạ thì N là Ai - nội xạ.
Chứng minh. N là 
I
Ai - nội xạ mà Ai   Ai nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là A i - nội
Do N là 
I
I

xạ với i  I .
Ngược lại, giả sử N là Ai – nội xạ với i  I .Đặt Ai  Ai , X  A và  : X  N là
đồng cấu môđun.
Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4 bằng Bổ đề Zorn ta giả sử  không
mở rộng thành một đồng cấu từ X’ vào N với bất kỳ môđun con X '  A mà X’
chứa X. Khi đó, X là mơđun con cốt yếu của A. Do X  A nên j  I và a  Aj sao
cho a  X , mà N là Aj - nội xạ j  I  N là aR - nội xạ, a  A (Mệnh đề
1.3.4).
Tương tự Mệnh đề 1.3.4 ta có thể mở rộng đồng cấu  thành đồng cấu
 : X  aR  N , điều này mâu thuẫn với tính tối đại của  .

Ai - nội xạ.
Vậy N là A - nội xạ hay N là 
I

1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ
1.4.1. Định nghĩa 1. Cho R M , M được gọi là nội xạ nếu M là A - nội xạ với mọi

môđun A.
Định nghĩa 2. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M - nội xạ.
Ví dụ: 1. Z - mơđun Q là nội xạ.
2. Z – môđun Z không là tựa nội xạ do đó khơng nội xạ.
1.4.2. Định lý. ([1] Định lý 4.5)


15

Cho

R

M , khi đó M nội xạ  Mọi iđêan phải I của R và mọi R - đồng cấu

f : I  M đều tồn tại đồng cấu

h : R  M sao cho hi  f trong đó i là phép nhúng

từ I vào R.
1.4.3. Mệnh đề. Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng tử trực
tiếp của mọi mơđun chứa nó.
Chứng minh. Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi mơđun chứa nó.
Thật vậy nếu A là nội xạ và A  B , một ánh xạ đồng nhất trên A mở rộng thành
đồng cấu f : B  A .
Khi đó, B  A  Kerf . Tức A là hạng tử trực tiếp của mơđun B chứa A. Ngược lại
giả sử ta có các môđun A và B sao cho B  A  Kerf . Khi đó A  B và tồn tại
đồng cấu f : B  A là mở rộng của phép đồng nhất idA. Vậy A là - nội xạ.



1.4.4. Mệnh đề. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nội xạ.
Chứng minh. Giả sử X là tổng trực tiếp của U va V trên R, X nội xạ.
Để chứng minh mệnh đề, ta chứng minh U cũng là nội xạ.
Cho đơn cấu g : A  B và đồng cấu f : A  V gọi j : U  X là phép nhúng tự
nhiên và h : X  U là phép chiếu tự nhiên. Khi đó vì X là nội xạ nên tồn tại đồng
cấu k : B  X sao cho k  g  j  f . Xét đồng cấu hợp thành h  k : B  U ta có

h  k  g h  j  f  f  U nội xạ.



1.4.5. Định lý. Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó

i : X  X các phát biểu sau tương đương
a) X nội xạ.
b) Mọi dãy khớp ngắn O

g

f
X

U

V

O chẻ ra

c) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R.

16

d) Với mọi đơn cấu g : A  B ta có g * Hom( g , i ) : Hom( B, X )  Hom( A, X )
là toàn cấu
e)

0

g

f
A

0

B
f*

0 l là dãy khớp ngắn thì

C

g*
0

Hom(A,X)

Hom(B,X)

Hom(C,X)

với f * Hom( f , i ) g * Hom( g , i ) cũng là dãy khớp ngắn.

X

Theo định nghĩa, tồn tại h : U  X thỏa mãn h  g i

h

i

Chứng minh. a)  b). Giả sử X nội xạ và xét biểu đồ sau
0

X

f

U

theo kết luận dãy khớp điều này kéo theo dãy khớp ngắn sau chẻ ra.
0

f

X

U

g

0

V

b)  c). Gọi U là một môđun nội xạ chứa X khi đó ta có dãy khớp ngắn
0

X

f

U

g

U/X

0

Trong đó g : U  U / X là phép chiếu tự nhiên. Theo chứng minh a)  b) thì dãy
trên là chẻ ra và do đó X là hạng tử trực tiếp của U.
c)  a). Từ Mệnh đề 1.3.3
a)  d). Theo định nghĩa g* = Hom(g,i) là toàn cấu nếu và chỉ nếu mọi phần tử
f : A  X trong Hom(A,X) tồn tại phần tử h : B  X trong Hom(B,X) sao cho
g*(h) = ihg =hg = f. Tức a) xảy ra  X nội xạ.



1.4.6. Bổ đề. Môđun N là A – nội xạ nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ đồng cấu

 : E ( A)  E ( N ) ln có  ( A)  N .
Chứng minh. Vì E(N) là mơđun nội xạ nên chỉ cần xét đối với   Hom( A, E ( N )) .
Điều kiện cần. Đặt X {a  A  (a)  N } . Vì N là môđun A – nội xạ nên 

X

mở

rộng được thành một đồng cấu  : A  N . Ta sẽ chứng minh N (   )( A) 0 .
Thật vậy, giả sử n  N và a  A sao cho n (   )(a) khi đó  (a)  (a)  n là một


17

phần tử của N. Do đó a  X . Từ đó n  (a)   (a)  (a)   (a) 0 . Thế thì

N (   )( A) 0 . Do đó (   )( A) 0 vì N * E ( N ) . Vậy  ( A)  ( A)  N .
Điều kiện đủ. Giả sử X  A và  : X  N là một đồng cấu vì E(N) nội xạ nên 
mở rộng được thành một đồng cấu  : A  E ( N ) . Theo giả thiết  ( A)  N , do đó

 là đồng cấu từ A đến N mở rộng của  . Vậy N là A – nội xạ.



1.4.7. Hệ quả. Môđun Q là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi   End ( E (Q)) ln
có  (Q)  Q .
1.4.7. Hệ quả. Giả sử A và B là các môđun nội xạ lẫn nhau ( tức A là B – nội xạ

và B là A – nội xạ). Nếu E ( A) E ( B) thì A  B . Hơn nữa nếu f : E ( A)  E ( B) là
một đẳng cấu thì f

A

là đẳng cấu từ A lên B; ngoài ra A và B là tựa nội xạ.

Chứng minh. Giả sử f : E ( A)  E ( B ) là một đẳng cấu thì f ( A)  B và f  1 ( B )  A
(Bổ đề 1.4.6). Do đó B ( ff  1 )( B)  f ( f  1 ( B))  f ( A)  B do đó f ( A) B . Vì vậy
f

A

là một tồn ánh. Từ đó suy ra f

A

là đẳng cấu từ A lên B.

Từ A là B – nội xạ và A B nên A là A - nội xạ, do đó A là tựa nội xạ.



1.4.8. Mệnh đề. ([9] Mệnh đề 1.17)
M 1  M 2 là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M i là M j nội xạ với i, j 1, 2 . Nói riêng,

hạng tử trực tiếp của mơđun tựa nội xạ là tựa nội xạ.

CHƯƠNG 2. MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ
Cho M và N là hai R môđun phải. M được gọi là hầu N - nội xạ (almost

N – injective) nếu mỗi môđun con X của N và mỗi đồng cấu

f :X  M

, tồn tại

đồng cấu g sao cho biểu đồ (1) giao hoán hoặc tồn tại đồng cấu h sao cho biểu đồ
(2) giao hoán.
(1) 0

X

i

N

(2) 0

X

i

N  N1  N 2


18

f

f

g

M

M

h

N1 là hạng tử trực tiếp khác không của N, và  : N 


N1
N1

là phép chiếu lên

N1 những biếu đồ này được gọi là biểu đồ (1) và biểu đồ (2) tương ứng. M được
gọi là hầu tựa nội xạ nếu M là hầu M – nội xạ. Một vành R được gọi là hầu tựa
nội xạ phải nếu nó là tựa nội xạ như là mơđun phải trên chính nó. Vành hầu tựa
nội xạ trái được định nghĩa tương tự.
Trong suốt phần này, trừ khi có quy định khác, R là vành có đơn vị 1 0 .
Và tất cả các mơđun là mơđun phải có đơn vị. Một môđun M được gọi là CS nếu
mỗi phần bù của môđun con là hạng tử trực tiếp của M. Nếu M n là CS với mỗi
n, thì M được gọi là

  CS

hữu hạn. Vành R được gọi là vành CS phải nếu R

môđun phải là CS. Vành CS trái định nghĩa tương tự. R được gọi là Utumi nếu
vành thương phải tối đại của nó trùng với vành thương trái tối đại.
M i được gọi là trao đổi nếu bất kỳ hạng tử trực
Mỗi sự phân tích M 
iI
M i'  N với M i'  M i .
tiếp nào của M, M 
iI

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của mơđun hầu tựa nội xạ.
2.1. Bổ đề. Một môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích được là tựa liên tục, do
đó đều.
Chứng minh. Rõ ràng M là môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích được nên M
là mơđun tựa liên tục. Ta chứng minh M là mơđun đều.Vì M là tựa liên tục nên
với mọi môđun con U của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Mà
M là mơđun khơng phân tích được nên M chỉ có 0 và M là hạng tử trực tiếp của
M do đó U cốt yếu trong M hay M là môđun đều.



2.2. Mệnh đề. Cho M và N là 2 môđun đều. M hầu N - nội xạ khi và chỉ khi mỗi


19

f  Hom( E ( N ), E ( M )) thì f ( N )  M hoặc f là đẳng cấu và f  1 ( M )  N .

Chứng minh. Giả sử M là hầu N - nội xạ. Cho f  Hom( E ( N ), E ( M )) và
X {n  N f (n)  M } . Khi đó f

X

: X  M . Vì M là hầu N - nội xạ, cũng như hình

(1) hoặc hình (2) đã chỉ ra. Nếu (1) đúng , khi đó tồn tại g : N  M sao cho
f

X

g X .

Chúng ta thấy rằng M  ( g  f )( N ) 0 . Thật vậy
Lấy m  M sao cho m = (g – f)(n) , với n  N . Khi đó f (n) g (n)  m  M . Do đó
n  X suy ra m = g(n) – f(n) = 0 nhưng M * E ( M ) nên (g – f)(N) = 0. Suy ra

f (N )  M .

Nếu (2) đúng thì sẽ tồn tại h: M  N sao cho h  f 1X . Khi đó f là tương ứng
một một. Do đó f là đẳng cấu vì E(N) là nội xạ và E(M) là mơđun khơng phân
1
tích được rõ ràng h f ( X )  f

f (X )

. Chúng ta thấy rằng N  ( f  1  h)(M ) 0 . Thật

vậy, lấy m'  N sao cho n' ( f  1  h)(m' ) với m'  M . Khi đó f  1 (m' ) h(m' )  n'  N .
Áp dụng f cả hai vế chúng ta được m'  f ( f  1 (m' ))  f (h(m' )  n' ) với m'  f ( X ) .
1
Do n' ( f  1  h)(m' ) 0 . Bởi vì h f ( X )  f

f (X )

và m'  f ( X ) . Kết quả điều chứng

minh là đúng vì N * E ( N ) , ( f  1  h)( M ) 0 . Do đ ó f  1 ( M ) h(M )  N .



2.3. Mệnh đề. Cho R là vành với lũy đẳng khơng tầm thường. Khi đó R là hầu
nội xạ phải khi và chỉ khi mỗi c  E ( RR ) thì c  R hoặc tồn tại r  R sao cho cr 1 .
Chứng minh. Giả sử R là hầu nội xạ phải. Khi đó RR là đều bởi Bổ đề 2.1. Cho
c  E ( RR ) và lC : R  E ( RR ) là phép nhân trái đồng cấu. Khi đó tồn tại f:
E ( RR )  E ( RR ) sao cho lc

R

 f R . Bởi Mệnh đề 2.2 thì f ( R )  R hoặc f là đẳng cấu

và f  1 ( R)  R . Nếu f ( R)  R , thì c  R . Nếu f là đẳng cấu và f  1 ( R)  R thì tồn
tại r  R sao cho f(r) = 1 nên cr lC (r )  f (r ) 1


20

Giả sử mỗi c  E ( RR ) , c  R hoặc tồn tại

r  R sao cho cr 1 . Chúng ta đã có

rằng E(RR) là đều. Nếu e  End ( E ( RR )) là lũy đẳng khi đó mỗi e(1)  R hoặc tồn tại

r  R sao cho e(1)r = 1. Nếu e(1)  R thì e(1) là một lũy đẳng trong R và giả thiết

e(1) = 0 hoặc e(1) = 1. Do đó e = 0 hoặc e 1E ( R ) bởi vì R * E ( RR ) . Nếu e(1)r =
R

1 với mỗi r  R khi đó e(r) = 1 vì thế e(1) = e(e(r)) = e2(r) = e(r) = 1. Vì vậy
e R 1RR
R

Chúng ta tiếp tục chứng tỏ rằng e 1E ( R ) . Ngược lại tồn tại x  E ( RR ) sao cho
R

e( x)  x . Khi đó e( x)  x 0 . Vì R * E ( RR ) tồn tại r '  R sao cho (e( x)  x)r ' 0 và
(e( x)  x) r '  R . Vì (e( x)  x)r '  R , (e( x)  x) r ' e(e( x)  x)r ' 0 . Mâu thuẫn với

(e( x)  x) r ' 0 . Bởi vậy e 1E ( R ) . Điều này chứng minh E ( RR ) là khơng phân tích
R

được và kết quả đều. RR là đều. Bây giờ cho f  End ( E ( RR ) . Khi đó bằng giả sử
khác f (1)  R hoặc f(r) = 1 với mỗi r  R, f (r )  R kéo theo f ( R)  R . Nếu f(r) = 1
đối với r  R thì f rR : rR  R là đẳng cấu. Bởi vì E(RR) là đều và nội xạ, f là một
đẳng cấu trên E(RR) và f  1 ( R) rR  R . Theo Mệnh đề 2.2, R là hầu tựa nội xạ.
2.4. Hệ quả. Cho D là miền nguyên và Q là vành tối đại của thương.
Khi đó D là hầu tựa nội xạ phải khi và chỉ khi c  Q thì c hoặc c  1  D .
2.5. Định lý. Nếu M là mơđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích được. Khi đó
End(M) là địa phương.
Để chứng minh định lý ta chứng minh hai bổ đề sau.
2.6. Bổ đề. Cho M là mơđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích được. Khi đó với
mỗi f , g  S End ( M )
(i) Nếu Ker(f)  Ker(g) thì Sg  Sf

.

(ii) Nếu Ker(f)=Ker(g) thì Sf  Sg hoặc Sg  Sf .