ứng dụng một số định lí về tập có thứ tự trong giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Khoa: Toán – Tin


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
TẬP CÓ THỨ TỰ TRONG GIẢI TÍCH

CHUYÊN NGÀNH:

TOÁN GIẢI TÍCH

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

SINH VIÊN THỰC HIỆN:

DƯƠNG THÙY VÂN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-2012-


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bài khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến

Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm
Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn
và cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này một
cách tốt nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp
đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học
Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt
thời gian học tập.
Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại Học
Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt
được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống. Tôi xin chân
thành cảm ơn.

Sinh viên thực hiện
Dương Thùy Vân


MỤC LỤC

Trang
Lời mở đầu .................................................................................................... 1
Chương I: Một số nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự ................................... 3
1. Bổ đề Zorn và các dạng tương đương...................................................... 3
1.1 Các định nghĩa ............................................................................. 3
1.2 Tiên đề chọn ................................................................................ 4
1.3 Bổ đề cơ bản ................................................................................ 4
1.4 Liên hệ giữa các định lý cơ bản ................................................... 6
2. Nguyên lý Entropy ................................................................................... 8
2.1 Định lý (Brezis – Browder) ........................................................ 8

2.2 Hệ quả ......................................................................................... 9
Chương II: Các ứng dụng ............................................................................. 11
1. Ứng dụng vào lý thuyết tập hợp .............................................................. 11
a. Một số kết quả về điểm bất động trong tập có thứ tự ................. 11
b. Định lý Berstein .......................................................................... 13
c. Ứng dụng vào bài toán lực lượng tập hợp .................................. 13
2. Ứng dụng vào lý thuyết độ đo ................................................................. 15
3. Ứng dụng vào tôpô, giải tích hàm ........................................................... 17
a. Tồn tại tập bất biến compắc của ánh xạ liên tục .......................... 17
b. Định lý Hahn – Banach ................................................................ 18
c. Định lý Tychonoff ........................................................................ 21
d. Nguyên lý biến phân Ekerland ..................................................... 24
4. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ..................................................... 27
a. Định lý Caristi .............................................................................. 27
b. Các định lý điểm bất động trong không gian có thứ tự................ 28
Tài liệu tham khảo......................................................................................... 35


LỜI MỞ ĐẦU
Chúng ta đã biết vai trò quan trọng của quan hệ thứ tự trong  khi nghiên
cứu các hàm một biến. Tuy nhiên khi học về Hàm nhiều biến, Hàm phức,
Không gian Tôpô, Lý thuyết độ đo tích phân chúng ta chưa thấy vai trò của
quan hệ thứ tự. Chỉ ở cuối học phần Giải tích hàm ta mới thấy một ứng dụng
của quan hệ thứ tự qua việc sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh định lý Hahn –
Banach. Ví dụ này và các ví dụ được nêu trong khóa luận chỉ ra vai trò quan
trọng của quan hệ thứ tự trong chứng minh các định lý phức tạp của Giải tích;
đó là ngay cả khi bài toán ban đầu không liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào
một thứ tự thích hợp sẽ làm cho chứng minh định lý rõ ràng hơn, ngắn gọn hơn.
Mặt khác, trong các nghiên cứu về ánh xạ thì các điều kiện liên quan đến thứ tự,
đặt lên các ánh xạ có thể thay thế cho các tính chất Tôpô. Ví dụ, trong bài toán

điểm bất động thì tính tăng của ánh xạ có thể thay thế cho tính liên tục.
Để tìm hiểu các nguyên lý cơ bản về tập thứ tự và các ứng dụng đa dạng của
quan hệ thứ tự, tôi đã chọn đề tài này làm khóa luận tốt nghiệp. Mục tiêu của
khóa luận là:
• Trình bày các định lý cơ bản về tập có thứ tự, mối liên hệ giữa chúng.
• Tìm hiểu chứng minh một số kết quả của Giải tích bằng cách đưa vào một
thứ tự thích hợp và sử dụng các định lý cơ bản.
• Tìm hiểu các bài toán mà trong đó sử dụng các tính chất về thứ tự để thay
thế cho các tính chất Tôpô.
Các kết quả được trình bày trong khóa luận được tham khảo từ nhiều tài liệu
khác nhau. Nay chúng được tập hợp lại trong một tài liệu, với các chứng minh
chi tiết và hệ thống.
Do đó khóa luận có thể là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên khoa
Toán khi tìm hiểu về quan hệ thứ tự và ứng dụng.


Khóa luận có hai chương. Chương I trình bày về định lý Zorn, định lý
Hausdorff về xích cực đại, tiên đề chọn, định lý về sắp tốt; mối liên hệ giữa các
nguyên lý này. Chương này cũng giới thiệu về nguyên lý Entropy. Chương II
trình bày các ứng dụng khác nhau của hai định lý trên trong Giải tích như ứng
dụng vào bài toán so sánh lực lượng tập hợp, vào Tôpô và Giải tích hàm, vào lý
thuyết Độ đo, vào bài toán điểm bất động.
Sinh viên thực hiện
Dương Thùy Vân


CHƯƠNG I: MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ
1. BỔ ĐỀ ZORN VÀ CÁC DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
• Định nghĩa 1:

Cho X là một tập hợp và ≤ là một quan hệ thứ tự trong X, tức là: ∀ x, y, z ta có:
i)

Tính phản xạ: x ≤ x, ∀x ∈ X .

ii)

Tính phản đối xứng : ( x ≤ y, y ≤ x) ⇒ x =y .

iii)

Tính bắc cầu: ( x ≤ y, y ≤ z ) ⇒ x ≤ z .

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X được gọi là một tập được sắp.
• Định nghĩa 2:
Cho tập được sắp X, A là tập con của X. Ta nói:
i)

A là một xích trong X nếu mọi cặp phần tử ( x, y ) ∈ A đều so sánh
x ≤ y
y≤ x

được, nghĩa là : ∀ x, y ∈ A ⇒ 
ii)

Phần tử x0 ∈ X gọi là phần tử tối đại nếu:
(∀x ∈ X , x0 ≤ x) ⇒ x =x0

Phần tử x0 ∈ X gọi là phần tử tối tiểu nếu:
(∀x ∈ X , x ≤ x0 ) ⇒ x =x0

iii)

Phần tử x0 ∈ X gọi là một cận trên của A nếu:
a ≤ x0 , ∀ a ∈ A .

Phần tử x0 ∈ X gọi là một cận dưới của A nếu:
x0 ≤ a, ∀ a ∈ A .

Nếu x0 là cận trên (hay cận dưới) của A và x0 ∈ A thì x0 được gọi là
phần tử lớn nhất (hay nhỏ nhất) của A.
iv)

Một tập được sắp gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của
nó đều có phần tử nhỏ nhất.
• Định nghĩa 3:


nh x S : X X gi l tng( gim) nu S ( x) S ( y )(hay S ( x) S ( y ))
mi khi x, y X v x y
1.2. TIấN CHN: Cho tp I v h cỏc tp X i , i I . Khi ú tn ti
ỏnh x f : I X i tho món f ( i ) X i , i I .
iI

Phỏt biu khỏc ca tiờn chn:
Cho X thỡ tn ti ỏnh x f :2 X / {} X tho f ( A) A, A ( f gi l hm
chn ca tp X).
1.3 B C BN:
Cho X , ta xột th t " " trờn 2 X theo A B A B .
Cho F 2 X / {} v g : F F tho món:

1) Nu F ' F l xớch thỡ



A F

A F '

2) A F thỡ A g ( A) v g ( A) \ A cha khụng quỏ mt phn t.
Khi ú tn ti B F tho g(B)= B.
Chng minh
Ta c nh B F
Mt h à F gi l tt nu B à v tho:
a) Nu à ' à xớch thỡ A à
A à '

b) A à g ( A) à .
H { A F : B A} l tt
Gi à0 l giao ca tt c h tt
Nu cú à0 l xớch thỡ B =

A cn tỡm.Vỡ khi ú

Aào

à0 (do à0 laứ xớch vaứ toỏt)
g ( ) à 0
B g ( )
maứ g () B (do g laứ haứm choùn) neõn g () =B



 A1 ⊂ A
 A ⊂ A1

Tập µ1=  A1 ∈ µ0 :∀A∈ µ0 ⇒ 



 là xích.


Nếu µ1 là tốt thì µ1 = µ0 ( do định nghĩa µ0 ) nên µ0 xích.
Chứng minh µ1 tốt.
• Chứng minh µ1 thoả tính chất a.
Nếu µ ' xích trong µ1 , đặt A1 =



A' ∈ µ '

A' , cần chứng minh A1 ∈ µ1

 A' ⊂ A : ∀ A' ∈ µ ' ⇒ A1 ⊂ A
Ta có: ∀A∈ µ0 ⇒  ' '
'
∃ A ∈ µ : A ⊂ A ⇒ A ⊂ A1

Vậy µ1 thoả tính chất a.

• Xét A1 ∈ µ1 . Ta chứng minh g ( A1 )∈ µ1 .

 g ( A1 ) ⊂ A 
Ta chứng minh họ µ=
 A∈ µ0 : 
 là tốt
A
 A ⊂ A1



1



⇒ µ A1 =
µ0

a)Nếu µ ' xích trong µ A , ta có
1

A ⊂ A1 , ∀ A∈ µ ' ⇒

 A∈ µ ( do

µ ' ⊂ µ , µ tốt)

A∈ µ '



A ⊂ A1

A∈ µ '

∃ A∈ µ ' , g ( A1 ) ⊂ A ⇒ g ( A1 ) ⊂



A

A∈ µ '

b) Xét tuỳ ý A∈ µ A có các trường hợp sau:
1

(i) g ( A1 ) ⊂ A
(ii) A = A1
(iii) A ⊂ A1 , A ≠ A1
Nếu (i) và (ii) xảy ra thì g ( A1 ) ⊂ A , A ⊂ g ( A) ⇒ g ( A1 ) ⊂ g ( A) ⇒ g ( A)∈ µ A

1

Nếu (iii) xảy ra thì do A1 ∈ µ1 và g ( A)∈ µ1
 A1 ⊃ g ( A) ⇒ g ( A)∈ µ A1
⇒
 g ( A) ⊇ A1 ⇒ g ( A) \ A có hơn một phần tử( vô lý)

Chứng minh g ( A1 )∈ µ1 . Ta có ∀A∈ µ0

 g ( A1 ) ⊂ A
⇒
 A ⊂ A1 ⇒ A ⊂ g ( A1 )

Vậy g ( A1 )∈ µ1
1.4 LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
Bốn mệnh đề sau đây là tương đương với nhau:
a) Bổ đề Zorn: Nếu trong tập hợp không rỗng X với thứ tự bộ phận, mỗi xích
đều có cận trên thì X có một phần tử tối đại.
b) Định lý về sự sắp tốt: Mọi tập khác rỗng X đều có thể được sắp tốt.
c) Tiên đề chọn
d) Nguyên lý tối đại Hausdorff : Mọi tập hợp X với thứ tự bộ phận đều tồn tại
một xích tối đại, tức là S là một xích của X sao cho với mọi xích T của X ,
S ⊂ T kéo theo S = T.

Chứng minh
a ) ⇒ b) Kí hiệu W là họ các quan hệ thứ tự sắp tốt một tập con của X.

Xét W như là họ các tập con của X 2 , W được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm
(⊂ ) .

W thoả a) nên W có phần tử tối đại là E với quan hệ sắp tốt ≤ trên E.
Ta chứng minh E=X. Thật vậy, nếu tồn tại x0 ∈ X \ E , đặt x0 ≤ x, ∀x ∈ E thì tồn tại
quan hệ sắp tốt trên E ∪ { x0 } : mâu thuẫn với E tối đại.
Vậy X = E là tập được sắp tốt.
b) ⇒ c) Đặt X =  X i
i∈I

Theo b) cố định một quan hệ thứ tự sắp tốt X.

Đặt f (i ) là phần tử nhỏ nhất của X i , ∀ i ∈ I .
Ta có : f : I →  X i
i∈ I

( f ∈∏ X i )
i∈I

X i rời nhau ⇒ f ( I )  X i chỉ có duy nhất một phần tử ∀ i ∈ I hay f ( i ) ∈ X i , ∀ i ∈ I

.


c) ⇒ d ) Cho ( X , ≤) . Ta định nghĩa A ≤ B ⇔ A ⊂ B

Đặt F là họ các xích của X.
F ≠ ∅ ( do tập 1 điểm là xích)

{

x ∈ X \ A : A  { x}∈ F
∀ A∈ F , đặt A* =

}

 A neáu A* = ∅
Gọi f là hàm chọn của X, g : F → F , g ( A) =

*
*
 A  f ( A ) , neáu A ≠ ∅

{

}

Ánh xạ g thoả tính chất 2 của bổ đề cơ bản.
Tập F thoả tính chất 1 của bổ đề cơ bản.
Vậy theo bổ đề cơ bản ta có B ∈ F thoả g( B ) = B
Ta có B* = ∅ nên B là tập cần tìm.
d ) ⇒ a ) Xét tập các xích của X với quan hệ bao hàm ⊂ . Theo nguyên lý tối đại

Haussdorff, có một xích tối đại, vì xích này có cận trên nên cận trên đó chính là
phần tử tối đại.
2. NGUYÊN LÝ ENTROPY TRỪU TƯỢNG
2.1 ĐỊNH LÝ(BREZIS, BROWDER)
Giả sử:
(1) X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có một cận
trên, nghĩa là từ un ≤ un +1 với mọi n ∈Ν luôn suy ra tồn tại v ∈ X sao cho
un ≤ v , với mọi n ∈Ν .

(2) S : X → [ −∞; +∞ ) là một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên, nghĩa là từ
u ≤ v , luôn luôn suy ra S (u ) ≤ S (v) và tồn tại một số thực c sao cho S (u ) ≤ c ,

với mọi u ∈ X . Thế thì tồn tại u ∈ X sao cho:
(3) Với mọi v ∈ X , u ≤ v thì S (u ) = S (v) .
Chứng minh:


Chọn một phần tử cố định tuỳ ý u1 ∈ X rồi dựng theo quy nạp dãy (un )n
đơn điệu tăng như sau:

Giả sử un đã chọn, chúng ta đặt: M n =∈
{u X :un ≤ u} và β n = sup S (u )
u∈M n

• Nếu β n = S (un ) thì (3) thoả với u = un và chúng ta chứng minh xong.
• Nếu không, ta có β n > S (un ) và có thể chọn một un +1 ∈ M n sao cho:
(4) β n − s(un +1 ) ≤ 2−1 [ β n − S (un )]
Bằng cách này ta thu được một dãy (u n ) n đơn điệu tăng. Mà theo (1) thì nó có
một cận trên là u. Nghĩa là:
(5) un ≤ u với mọi n.
Ta chứng minh u là phần tử cần tìm.
Giả sử u không thoả (3) thì tồn tại v ∈ X sao cho u ≤ v mà S (u ) < S (v) .
Dãy ( S (un ) )n đơn điệu tăng và bị chặn trên nên theo (2) nó hội tụ. Từ (5) và tính
đơn điệu tăng của dãy S ta suy ra:
S (un ) ≤ S (u ) .
(6) lim
n →∞

Vì v ≥ u mà u ≥ un với mọi n (do (5)) nên v ≥ un với mọi n.
Vậy v ∈ M n với mọi n.
Do đó từ (4) ta suy ra : 2S (un +1 ) − S (un ) ≥ β n ≥ S (v) với mọi n. Cho n → ∞ ta có:
S (un ) ≥ S (v) .
(7) lim
n →∞

Từ (6) và (7) ta suy ra S (u ) ≥ S (v) mâu thuẫn với giả thiết của phản chứng.
Vậy định lý được chứng minh.
2.2 HỆ QUẢ:
Giả sử:
i)

X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy giảm trong X có cận dưới.

ii)

S : X → ( −∞, +∞ ] là một phiếm hàm tăng và bị chặn dưới.

Thế thì tồn tại phần tử u ∈ X sao cho:
iii)

Với mọi v ∈ X , v ≤ u thì S (u ) = S (v) .


Chứng minh:
Ta định nghĩa trong X quan hệ thứ tự mới “<” như sau: x < y ⇔ x ≥ y
Thế thì tập sắp thứ tự ( X , <) và phiếm hàm (-S) thoả mãn các điều kiện của định
lý 1.1. Thật vậy, ta kiểm tra dãy tăng { xn }n ⊂ X có một cận trên.Ta có:
xn < xn −1 với mọi n ∈ N nên xn ≥ xn +1 . Do đó theo giả thiết { xn } có một cận dưới là

u, nghĩa là: xn ≥ u với mọi n.
Trở lại quan hệ “<” trong X ta có: xn < u với mọi n ∈ N
Vậy { xn } ⊂ X có một cận trên.
Áp dụng nguyên lý Entropy (X,<) và phiếm hàm (-S) ta có:
Tồn tại u ∈ X sao cho :
Với mọi v ∈ X : v > u ⇒ − S (u ) = − S (v)
Hay với mọi v ∈ X , v ≤ u ⇒ S (u ) =
S (v ) .


CHƯƠNG II. CÁC ỨNG DỤNG

1. ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TẬP HỢP
1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP CÓ THỨ
TỰ
1.1.1 Định lý 1
Giả sử ( X , ≤) là một tập có thứ tự và f : X → X thoả mãn:
a) Mỗi xích thuộc X có cận trên.
b) x ≤ f ( x) , với mỗi x ∈ X
Khi đó f có điểm bất động.
Chứng minh
Ta có X là tập có thứ tự và mỗi xích thuộc X có cận trên nên theo bổ đề Zorn X
có phần tử tối đại. Gọi x1 là phần tử tối đại.
Ta có:
 x1 ≤ f ( x1 )

 x1 toái ñaïi

Suy ra x1 = f ( x1 ) .
Vậy f có điểm bất động.
1.1.2 Định lý 2
Cho tập được sắp ( X , ≤) và ánh xạ f : X → X thoả mãn:
a) Mỗi xích thuộc X có một cận trên đúng
b) Ánh xạ f là ánh xạ tăng
c) ∃ x0 ∈ X : x0 ≤ f ( x0 )
Khi đó f có điểm bất động.
Chứng minh
Đặt X 1 =
{ x ∈ X : x ≤ f ( x)}
Ta có xo ∈ X 1 . Do f là ánh xạ tăng nên f ( X 1 ) ⊂ X 1
Thật vậy, với x ∈ X 1 ta có x ≤ f ( x) nên do f là ánh xạ tăng ta có
f ( x) ≤ f ( f ( x)) hay f ( x) ∈ X 1

Do định nghĩa của tập X 1 , ta thấy X 1 thỏa điều kiện b) của định lý 1.1.1
Ta sẽ chứng minh thỏa điều kiện a) của định lý 1.1.1
Thật vậy A ⊂ X 1 là một xích thì theo giả thiết a) của định lý 1.1.2 tồn tại a = sup A
. Ta phải chứng minh a ∈ X 1 . Thật vậy, với mọi x ∈ A , ta có: x ≤ a ⇒ f ( x) ≤ f (a)
Mà x ≤ f ( x) với mọi x ∈ A
Vậy f(a) là một cận trên của A trong X, do đó a ≤ f (a)
Vậy a ∈ X 1 và là một cận trên của A trong X 1
Áp dụng định lý 1.1.1 cho tập X 1 và ánh xạ f ta suy ra f có điểm bất động trong
X1
1.1.3 Bổ đề
Cho các tập X,Y và các ánh xạ f : X → Y , g : Y → X . Khi đó ta có thể phân tích
X =∪
X1 X 2 , Y =
Y1 ∪ Y2 sao cho : X 1 ∩ X 2 =
∅, Y1 ∩ Y2 =
∅, f ( X 1 ) =
Y1 , g (Y2 ) =
X 2.

Chứng minh
Ta xét ánh xạ ϕ :2 X → 2 X , ϕ ( A) =
X \ g (Y \ f ( A) ) với 2 X là tập tất cả các tập con
của X.
Trong 2 X ta xét quan hệ: A ≤ B ⇔ A ⊂ B .
Ta chứng minh mỗi xích thuộc 2 X có cận trên đúng.
Ta xét xích { Ai }i ⊂ 2 X thì

A

i

là cận trên đúng của { Ai } i .

i

Ta cần chứng minh ∃A ∈ 2 X sao cho A ≤ ϕ ( A) .
Thật vậy ta chọn A = φ suy ra
=
ϕ (φ ) X \ g (Y =
\ f (φ ) ) X \ g (Y ) ⊃ φ
Ta chứng minh ϕ là ánh xạ tăng:
Giả sử A ⊂ B ta chứng minh ϕ ( A) ⊂ ϕ ( B)
Ta có:
A ⊂ B ⇒ f ( A) ⊂ f ( B )
⇒ Y \ f ( A) ⊃ Y \ f ( B)
⇒ g (Y \ f ( A)) ⊃ g (Y \ f ( B))
⇒ X \ g (Y \ f ( A)) ⊂ X \ g (Y \ f ( B))
⇒ ϕ ( A) ⊂ ϕ ( B )


Vậy ϕ là ánh xạ tăng.
Áp dụng định lý 1.1.2 ta có ϕ có điểm bất động.
Bây giờ ta chứng minh tồn tại
X1 ∪ X 2 =
X , Y1 ∪ Y2 =
Y , X1 ∩ X 2 =
∅, Y1 ∩ Y2 =
∅ f ( X1 ) =

Y1 , g (Y2 ) =
X 2.

đặt X 2 X=
Thật vậy, lấy X 1 ⊂ X thoả X 1 = ϕ ( X 1 ) Và=
\ X 1 , Y1 f=
( X 1 ), Y2 Y \ Y1
Ta có:
ϕ ( X 1 ) =X 1 ⇒ X 1 =X \ g (Y \ f ( X 1 )) ⇒ g (Y \ f ( X 1 )) = X 2 ⇒ g (Y2 ) = X 2

Rõ ràng X 1 ∩ X 2 = φ , Y1 ∩ Y2 = φ .
1.2 ĐỊNH LÝ BERSTEIN
Giả sử X ≠ φ , Y ≠ φ và tồn tại các đơn ánh f : X → Y , g : Y → X . Khi đó tồn tại
song ánh giữa X, Y.
Chứng minh
Gọi X 1 , X 2 , Y1 , Y2 là các tập thoả mãn bổ đề 1.1.3.
Do g :Y2 → X 2 là song ánh nên có ánh xạ ngược.
 f ( x)

Xét ánh xạ h : X → Y như sau: h( x) = 

−1
 g ( x)

thì h là song ánh từ X vào Y.

1.3 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP
1.3.1 Mệnh đề
Cho các tập X, Y. Khi đó tồn tại ít nhất 1 trong 2 khả năng sau:
1) Có một đơn ánh từ X vào Y

2) Có một đơn ánh từ Y vào X.
Chứng minh
Xét tậpA các tập (A,f) trong đó: A ⊂ X , f : A → Y là đơn ánh
Trong A ta xét thứ tự: ( A1 , f1 ) ≤ ( A2 , f 2 ) nếu A1 ⊂ A2 , f1 ( x) =
f 2 ( x) với mọi x ∈ A1
Ta chứng minh A có phần tử tối đại.


Xét một xích {( Ai , fi )}i . Đặt A0 =
∪ Ai , f o : A0 → Y thoả f o ( x) = f i ( x) nếu x ∈ Ai .
Ta có:
fi ( x)
 x ∈ Ai ⇒ f 0 ( x) =

f j ( x)
 x ∈ Aj ⇒ f 0 ( x) =

Mặt khác do { Ai }i∈I là xích thuộc A nên Ai ⊂ Aj hoặc Aj ⊂ Ai
Vậy fi ( x) = f j ( x) .
Suy ra f 0 xác định đúng và ( A0 , f 0 ) là cận trên của ( Ai , fi )i∈I
Theo bổ đề Zorn thì A có phần tử tối đại là cặp (M,f).
Ta sẽ chứng minh M=X hoặc f(M) = Y, vì:
Nếu M=X thì f : X → Y là đơn ánh
Nếu f(M)=Y thì f −1 : Y → M ⊂ X là đơn ánh.
Giả sử M ≠ X , ta sẽ chứng minh f(M) =Y.
Nếu f ( M ) ≠ Y thì ta xét M=
M ∪ {a} .
1
Với a ∈ X \ M và b ∈Y \ f ( M ) .
 f ( x) neáu x ∈ M

neáu x = a
b

Đặt F ( x) = 

Thì F là đơn ánh trên M 1 .
Vậy mệnh đề được chứng minh
1.3.2 Định nghĩa
1) Ta nói hai tập hợp X,Y có cùng lực lượng hay tương đương và viết cardX=
cardY nếu tồn tại một song ánh giữa X và Y.
2) Ta nói lực lượng của X không lớn hơn lực lượng của Y và viết cardX ≤ cardY
nếu tồn tại một đơn ánh từ X vào Y.
1.3.3 Định lý
1) Với hai tập X, Y tuỳ ý luôn xảy ra ít nhất một trong các khả năng:
cardX ≤ cardY hoặc cardY ≤ cardX .

2) Nếu cardX ≤ cardY và cardY ≤ cardX thì cardX= cardY.


Chứng minh
1) Theo mệnh đề 1.3.1, với hai tập X, Y tùy ý tồn tại ít nhất một trong hai
khả năng sau:
• Tồn tại một đơn ánh f : X → Y hay card(X) ≤ card(Y)
• Tồn tại một đơn ánh f : Y → X hay card(Y) ≤ card(X)
2) Do cardX ≤ cardY và cardY ≤ cardX nên tồn tại các đơn ánh
f : X →Y , g : Y → X

Theo định lý Berstein, tồn tại song ánh giữa X và Y hay cardX= cardY
2.ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO
2.1 Định nghĩa

Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) . Ta nói tập A ∈ F là một nguyên tử nếu µ ( A) > 0
và với mọi B ∈ F mà B ⊂ A thì hoặc µ ( B) = µ ( A) hoặc µ ( B) = 0
2.2 Định lý
Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) . Nếu F không chứa nguyên tử nào thì với mọi
α ∈ ( 0, µ ( X ) ) tồn tại tập A ∈ F sao cho µ ( A) = α

Chứng minh
Trong F ta xét thứ tự như sau: A ≤ B ⇔ A ⊂ B
Ta đặt :

F1 =
{ A ∈ F : µ ( A) ≤ α }
∞

µ ( An )
Giả sử { An } ∈ F1 là dãy tăng. Ta đặt A =  An thì µ ( A) = lim
n →∞
n =1

Do µ ( An ) ≤ α nên µ ( A) ≤ α
Vậy A ∈ F1 và A ≥ An với mọi n ∈ 
Xây dựng hàm S : F1 → [-∞ , +∞) sao cho S ( A) = µ ( A) , với mọi A ∈ F1
Ta có : S tăng do độ đo µ tăng
S bị chặn trên bởi α
Áp dụng nguyên lý Entropy cho F 1 và phiếm hàm S ( A) = µ ( A) . Ta có:


Tồn tại tập Ao ∈ F1 sao cho:
Với mọi A ∈ F1 , Ao ⊂ A ⇒ µ ( Ao ) =
µ ( A)

Đặt F=
{B ∈ F : B ⊃ Ao , α ≤ µ ( B) < ∞}
2
∞

Giả sử {Bn } ∈ F2 là dãy giảm. Ta đặt B =  Bn
n =1

Ta có: Ao ⊂ Bn với mọi n

⇒ Ao ⊂ B

=
µ ( B) lim µ ( Bn ) ≥ α
n →∞

Vậy B ∈ F2 và B ≤ Bn với mọi n ∈ 
Xây dựng hàm S : F2 → (-∞ , +∞ ] sao cho S ( B) = µ ( B) , với mọi B ∈ F2
Ta có : S tăng do độ đo µ tăng
S bị chặn dưới bởi α
Áp dụng nguyên lý Entropy ở dạng hệ quả cho F 2 và phiếm hàm S ( B) = µ ( B) , ta
có:
Tồn tại tập Bo ∈ F2 thỏa:
Với mọi B ∈ F2 , B ⊂ Bo ⇒ µ ( B) =
µ ( Bo )
Ta chứng minh: µ=
( B0 ) µ=
( Ao ) α
Ta có µ ( Ao ) ≤ α ≤ µ ( Bo )
Giả sử trái lại: µ ( Bo ) > µ ( Ao ) thì µ ( Bo \ Ao ) > 0

Ta chứng minh Co = Bo \ Ao là nguyên tử.
Lấy D ⊂ Co =
Bo \ Ao và giả sử µ ( D) > 0 , ta chứng minh µ ( D) = µ ( Bo \ Ao )
Ta có: µ ( Ao  D) > α ⇒ Ao  D ∈ F2
Do đó:
µ ( Ao  D) = µ ( Bo )
⇒ µ ( Ao ) + µ ( D) =
µ ( Bo )
⇒ µ ( D) =
µ ( Bo \ Ao )

Vậy Bo \ Ao là nguyên tử, ta gặp mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.


3. ỨNG DỤNG TRONG TÔPÔ, GIẢI TÍCH HÀM.
3.1 TỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN COMPẮC CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC
Mệnh đề: Cho X là T 2 -không gian compắc, f : X → X là ánh xạ liên tục. Khi đó
tồn tại tập compắc

A ≠ ∅ sao

cho f(A)=A
Chứng minh

Đặt Y= { A ⊂ X : A ñoùng, A ≠ ∅ , f(A) ⊂ A}
Trong Y xét thứ tự: A1 ≤ A2 ⇔ A2 ⊂ A1
Nếu A ∈ Y thì A đóng
Ta có X compắc, A ⊂ X và A đóng nên A compắc

⇒ f(A)

compắc trong X ( do

f liên tục)
(f(A) compắc trong X, X là T 2 -không gian)

⇒ f(A)

đóng

f ( A) ⊂ A ⇒ f ( f ( A)) ⊂ f ( A)

Vậy f ( A) ∈ Y
Xét họ (Ai )i∈I ⊂ Y xích, với Ai ≠ ∅, Ai ñoùng
Ai ⇒ A ñoùng ( do A i đóng
Đặt A= i∩
∈I

Chứng minh

∀i ∈ I

)

A≠∅

 Ai ⊂ Aj

Do (Ai )i∈I xích nên ∀i, j ∈ I ⇒ 

 Aj ⊂ Ai

⇒ (Ai )i∈I có tính chất giao hữu hạn

Vậy (Ai )i∈I là họ các tập đóng, có tính chất giao hữu hạn và X là không gian
Ai ≠ ∅
compắc nên A= i∩
∈I

Ta có
A ⊂ Ai

∀i ∈ I

⇒ f ( A) ⊂ f ( Ai ) ⊂ A i

∀i ∈ I

⇒ f ( A) ⊂ A

Ai ∈ Y
Vậy A= i∩
∈I
Do A= ∩ Ai ⊂ A i nên Ai ≤ A
i∈I


Vậy (Ai )i∈I có cận trên là A.
Theo bổ đề Zorn, trong Y có phần tử tối đại, đó chính là A.

Do A ∈ Y ⇒ f ( A) ⊂ A ⇒ A ≤ f ( A)
f ( A)
(A tối đại, f ( A) ∈ Y , A ≤ f ( A) ) ⇒ A =

3.2 ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH
Giả sử:
X là không gian vectơ; p : X →  là nửa chuẩn.
X 0 là không gian con của X, f : X 0 →  là phiếm hàm tuyến tính thoả:

f ( x) ≤ p( x) ,

∀x ∈ X 0

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính F : X →  thoả:
F=
( x) f ( x), ∀ x ∈ X 0 và F ( x) ≤ p( x), ∀ x ∈ X .

Chứng minh
Xét tập χ các cặp ( Dg , g ) với Dg là không gian con chứa X 0 , g là phiếm hàm
g ( x) f ( x), ∀ x ∈ X 0 và g ( x) ≤ p ( x), ∀ x ∈ Dg
tuyến tính trên Dg sao cho: =

χ ≠ ∅ ( do ( X o , f )∈ χ ). Trong χ ta xét thứ tự ( Dg , g ) ≤ ( Dh , h) nếu
 Dg ⊂ Dh

( x) h( x), ∀ x ∈ Dg .
 g =

Ta chứng minh sự tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F xác định trên X.
Trước hết ta chứng minh χ có phần tử tối đại.

Giả sử A là một xích của χ . Đặt DA =

D

g

g∈A

Ta sẽ xác định hàm h : DA →  như sau:
∀x ∈ DA , ∃ g ∈ A : x ∈ Dg . Đặt h( x) = g ( x) .

Kiểm tra tính đúng đắn của hàm h.
g ≤ g'

Nếu cũng có x ∈ Dg ' , do A là xích ⇒ 

'
 g ≤ g

Vì x ∈ Dg ∩ Dg ' nên g ( x) = g ( x ' ) .

.


Vậy hàm h xác định đúng.
∀ x, y ∈ DA ; α , β ∈  ⇒ ∃ g , g ' ∈ A: x ∈ Dg , y ∈ Dg '

Giả sử g ' ≤ g ⇒ x, y ∈ Dg và α x + β y ∈ Dg ⊂ DA
Suy ra DA là không gian vectơ con của X.
Mặt khác: h(α x + β y ) = g (α x + β y )= α g ( x) + β g ( y )= α h( x) + β h( y )

Suy ra h là phiếm hàm tuyến tính trên DA
Mà
h ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ DA ⇒ h ∈ χ
g ≤ h, ∀g ∈ A
⇒ h là cận trên của tập A.

Theo bổ đề Zorn trong χ tồn tại phần tử tối đại F : G → K
Ta sẽ chứng minh miền xác định của F là toàn không gian (G ≡ X ) .
Giả sử trái lại, tồn tại y ∈ X \ G .
Xét D = {λ y + z : λ ∈ , z ∈G} : không gian con sinh bởi y và G.
Với u, v ∈G , ta có:
F (u ) + F (v) = F ( u + v) ≤ p (u + v) = p ( u − y + y − v) ≤ p ( u − y ) + p ( y − v) ( do p là nửa

chuẩn).
⇒ − p( u − y ) + F (u ) ≤ p ( y + v) − F (v) .

Do u , v tuỳ ý nên sup {− p( u − y ) + F (u )} ≤ inf { p(v + y ) − F (v)} .
v ∈G
u ∈G

Đặt ξ= sup {− p(u − y ) + F (u )} .
u ∈G

Xác định hàm k : D → , λ y + z → λξ + F ( z ), ∀ λ ∈ , z ∈G .
( z ) F ( z ), ∀z ∈G .
k tuyến tính và k=

Ta sẽ chứng minh

k ( y + z ) p ( y + z ) , , z G.
=
0 : k (=
z ) F ( z ) p ( z ), z G.
> 0 : k ( y + z ) = + F ( z )

z
z

z
z
= + F p + y F + F






z + y
= p
=
p ( z + y ), z G.

= à < 0 ( à > 0)

=
inf { p ( u y ) F (u )} ,
u G

k ( y + z ) =

+ F ( z ) =
à + F ( z )

z
= à + F
u

z

z
z
à p y F + F

u
u
u
z à y
=à p

u
= p ( z à y)
= p ( y + z )

Vy k ( x) p( x), x D k .
F k v F k trỏi vi tớnh ti i ca F. Suy ra iu phi chng minh.

3.3 NH Lí TYCHONOFF
3.3.1 nh ngha : Cho khụng gian tụpụ X.
H (Gi )i I - mt ph ca tp A nu

G A.
i

iI

Ph (Gi )i I ca A gi l ph m nu Gi l tp m.


A X - tp compc nu t mi ph m ca A luụn cú th ly mt ph

gm hu hn tp hp.



A Gi , Gi mụỷ i I J I , J hửừu haùn ,A Gi
i I
i J




Nu X l tp compc thỡ ta núi X l khụng gian compc.



=
 X


G , G

i

i

i∈ I

 
mở ∀i ∈ I  ⇒  ∃ J ⊂ I , J =
hữu hạn , X
 



 G  .
i

i∈ J



• Cho τ là một tơpơ trên X.
Một họ con σ của τ gọi là một tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn
các tập thuộc σ là một cơ sở của τ .
Như vậy họ con σ của τ là tiền cơ sở của τ nếu mọi G ∈τ và mọi x ∈G tồn tại
W1 , W2 ,......, Wn ∈ σ sao cho x ∈ W1 ∩ W2 ∩ ...... ∩ Wn ⊂ G

Cho ( X α ,τ α )α∈I là một họ các khơng gian tơpơ.
Đặt X = ∏ X α và π α : X → X α là phép chiếu hay ánh xạ toạ độ thứ α . Các khơng
α ∈I

gian X α gọi là khơng gian toạ độ.
Ta gọi tơpơ tích trên X là tơpơ yếu nhất để tất cả các phép chiếu π α liên tục.
Như vậy tơpơ tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập πα−1(Uα ),Uα ∈τα ,α ∈ I hay
có cơ sở là họ tất cả các tập dạng

π α (Uα ) , Uα ∈ τ α ; α ,....., α
n

−1

i =1

i

i

i

i

1

n

∈I .

Tơpơ tích gọi là tơpơ Tichonoff . Tập X với tơpơ Tichonoff gọi là tích của họ
khơng gian đã cho.
3.3.2 Bổ đề Alexandrov
Cho ξ là một tiền cơ sở của khơng gian X. Khi đó nếu mọi phủ mở bao gồm

các tập thuộc ξ đều có một phủ con hữu hạn thì X compắc.
Chứng minh
Phản chứng : Giả sử trái lại X khơng compắc. Gọi U là họ các phủ mở nhưng
khơng có phủ con hữu hạn của X. Sắp thứ tự U bởi quan hệ bao hàm {Α β }β ∈ E là
một họ các phủ được sắp tuyến tính của U .
U1 ,...., Un ∈  Aβ ⇒ ∃ β 0 ∈ E : U1 , ...., Un ∈Α β0
β ∈E

n

⇒ U i ≠ X ⇒

=i 1

 Αβ

β∈ E

là cận trên của {Α β }

β ∈E


Theo bổ đề Zorn, trong U có phần tử tối đại là Α .
Khi đó Α là phủ mở của X không có phủ con hữu hạn.
Với mọi tập mở U của X,U∉ A,A  {U } có phủ con hữu hạn.
Đặt B = A  ξ . Chứng minh B là một phủ của X.
Thật vậy, nếu tồn tại x ∈ X \

Β

B∈ B

Lấy U∈ A sao cho x ∈U . Vì ξ là một tiền cơ sở nên ∃V1 ,V2 ,....,Vn ∈ ξ sao cho
n

x ∈Vi ⊂ U , ∀ i .
i =1

Do A  {Vi } có phủ con hữu hạn nên tồn tại hữu hạn phần tử thuộc Α , kí hiệu
Wi : Vi  Wi = X
n

 n   n
U ∪  Wi ⊃  Vi     Wi  =
X
=i 1 =
 i 1=
 i 1 

Do đó A có phủ con hữu hạn ( vô lý).
vậy B là một phủ của X.
Vì B ⊂ ξ nên B có phủ con hữu hạn
do đó A có phủ con hữu hạn ( vô lý).
Vậy X compắc.
3.3.3 Định lý Tychonoff
Tích tôpô của các không gian tôpô compắc là không gian compắc, tức là
X = ∏ X α compắc nếu và chỉ nếu X α , α ∈ I compắc.
α ∈I

Chứng minh
Nếu X compắc thì do π α : X → X α liên tục nên X α compắc.
Giả sử mọi X α đều compắc. Để chứng minh X compắc, theo bổ đề Alexandrov,
ta chứng minh mọi phủ G của X gồm các tập dạng π α (V ), α ∈ I , V mở trong X α
−1

, có một phủ con hữu hạn.
Với mọi α ∈ I , kí hiệu Gα là họ các tập mở V của X α :π α ( V ) ∈G .
−1


⇒ ∃α 0 ∈ I : Gα0 là một phủ mở của X α0 .

Vì nếu trái lại thì ∃ x ∈ X sao cho π α ( x) ∉

 V , ∀α ⇒ x∉ 

V ∈ Gα

Do X α compắc nên trong Gα có phủ con hữu hạn
0

0

{π α−1 (Vi )} ⊂ G và
n

i =1

o

n

π α (V )
=
i =1

{Vi }

n

i =1

.

−1
π=
α ( Xα ) X .

−1

0

W.

W ∈G

i

0

0

3.4 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
3.4.1 Định nghĩa:
Một ánh xạ F : X →  gọi là nửa liên tục dưới nếu {u ∈ X : F (u ) > α } là tập mở với
mọi α ∈  .
Ánh xạ nửa liên tục dưới có tính chất:
un = u thì lim F (un ) ≥ F ( u )
Nếu lim
n →∞
n →∞

3.4.2 Nguyên lý biến phân Ekeland
Giả sử:
i)

(X,d) là không gian metric đầy đủ.

ii)

F : X →  nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
F (v ) + ε .
Cho ε , λ > 0 và xε ∈ X thoả mãn: F ( xε ) < inf
v∈ X

Khi đó tồn tại phần tử uε sao cho:
1) F (uε ) ≤ F ( xε )
2) d (uε , xε ) ≤ λ
3) F (v) ≥ F (uε ) − ε .

d (uε , v)

λ

, với mọi v ∈ X , v ≠ uε .
Chứng minh

d

Coi λ = 1 ( nếu không xét d ' = ).
λ

Đặt Y =
{u ∈ X : F (u ) ≤ F ( xε ), d (u, xε ) ≤ 1}
Đặt Y1 =
{u ∈ X : F (u ) ≤ F ( xε )} , Y2 =
{u ∈ X : d (u, xε ) ≤ 1} .
Ta có: