một nghiên cứu didactic về dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC
HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC
HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Từ đáy lòng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Ái Quốc,
người thầy đã tận tâm hướng dẫn khoa học; người thầy đã luôn quan tâm, yêu
thương học trò và là người thầy luôn động viên tôi trong những lúc khó khăn nhất
để tôi có thể vượt qua những trở ngại, để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Xin gửi lời cảm chân thành đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh. Cảm ơn quý
Thầy Cô đã hết lòng truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong mấy năm qua.
Xin cảm ơn Phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho chúng tôi
trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Lương Trọng Tường


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM CĂN
.....................................................................................................................................5
1.1. Phân tích chương trình ......................................................................................5
1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn ........................................................5
1.1.2. Giai đoạn tường minh .................................................................................6
1.2. Phân tích Sách giáo khoa ..................................................................................9
1.2.1. Sách giáo khoa Toán lớp 7 .......................................................................10
1.2.1.1. Lý thuyết ............................................................................................10

1.2.1.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................13
1.2.1.3. Kết luận từ phân tích SGK7 ...............................................................17
1.2.2. Sách giáo khoa Toán lớp 9 .......................................................................18
1.2.2.1. Lý thuyết ............................................................................................18
1.2.2.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................30
1.2.2.3. Kết luận từ phân tích SGK9 ...............................................................47
1.2.3. Tổng kết phân tích khái niệm căn bậc hai ở lớp 7 và lớp 9 .....................47
1.2.4. Sách giáo khoa toán lớp 12 cơ bản ...........................................................49
1.2.4.1. Lý thuyết ............................................................................................49
1.2.4.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................53
1.2.5. Sách giáo khoa toán lớp 12 nâng cao .......................................................57
1.2.5.1. Lý thuyết ............................................................................................57
1.2.5.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................61


1.2.6. Tổng kết phân tích trên SGK12cb và SGK12nc ......................................67
Chương 2. THỰC NGHIỆM ..................................................................................69
2.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................69
2.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm..................................................................69
2.3. Thực nghiệm đối với học sinh ........................................................................70
2.3.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................70
2.3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ......................70
2.3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ................76
2.4. Thực nghiệm đối với giáo viên .......................................................................79
2.4.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................79
2.4.2. Nội dung câu hỏi thực nghiệm .................................................................79
2.4.3. Phân tích các trả lời nhận được từ giáo viên ............................................81
KẾT LUẬN CHUNG ..............................................................................................85
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................87
PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THCS

:

Trung học cơ sở

THPT

:

Trung học phổ thông

VD

:

Ví dụ

BT

:

Bài tập

HĐ

:

Hoạt động

SGK

:

Sách giáo khoa hiện hành

SGK6

:

Sách giáo khoa Toán lớp 6 hiện hành

SGK7

:

Sách giáo khoa Toán lớp 7 hiện hành

SGK9

:

Sách giáo khoa Toán lớp 9 hiện hành

SGK12cb :

Sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành

SGK12nc :

Sách giáo khoa Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành

SGV

:

Sách giáo viên hiện hành

SGV6

:

Sách giáo viên Toán lớp 6 hiện hành

SGV7

:

Sách giáo viên Toán lớp 7 hiện hành

SGV9

:

Sách giáo viên Toán lớp 9 hiện hành

SGV12cb :

Sách giáo viên Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành

SGV12nc :

Sách giáo viên Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7............................................ 17

Bảng 1.2

Các công thức biến đổi căn thức .......................................................... 29

Bảng 1.3

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK9 ........................................... 46

Bảng 1.4

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK12bc và SGK12nc ............... 67

Bảng 2.1

Thống kê các lời giải câu 1 của học sinh (phiếu số 1) ......................... 77

Bảng 2.2

Thống kê các lời giải câu 2 của học sinh (phiếu số 2) ......................... 78

Bảng 2.3

Thống kê các lời giải câu 3 của học sinh (phiếu số 3) ......................... 79


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Khái niệm căn bậc hai được chính thức đưa vào từ lớp 7 thông qua việc giới
thiệu về căn bậc hai của một số không âm. Đến lớp 9, khái niệm này được giới thiệu
một cách chi tiết hơn thông qua việc nghiên cứu căn bậc hai số học của một số thực
không âm, căn thức bậc hai cùng với các tính chất của nó.
Ở chương trình THPT, cuối lớp 12, khi mà một trường số mạnh hơn trường số
thực được giới thiệu, khái niệm căn bậc hai một lần nữa được nghiên cứu: căn bậc
hai của một số thực dương, căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của một số
phức.
Việc chuyển từ khái niệm lũy thừa sang khái niêm căn bậc hai, rồi căn bậc hai
số học, căn bậc hai số phức có thể gây ra một số khó khăn cho học sinh, dẫn tới
những sai lầm. Đồng thời, qua thực tế chúng tôi nhận thấy hầu như học sinh không
quan tâm đến điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện cho các phép biến đổi trên
căn thức.
Những nhận định trên gợi mở cho chúng tôi đến với đề tài “Một nghiên cứu
didactic về dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ
thông”.
Từ đây, để tránh nhầm lẫn, chúng tôi sẽ dùng “căn bậc hai” hoặc “căn bậc hai

thực” để chỉ khái niệm căn bậc hai trên tập số thực, khi muốn nói đến căn bậc hai
trên tập số phức thì chúng tôi nêu rõ ràng: “căn bậc hai phức” hoặc “căn bậc hai trên
tập số phức”
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát:
- Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào,
thông qua những tình huống nào, với mục đích gì?

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


2
- Sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai từ khi mới xuất hiện đến khi được
được nghiên cứu hoàn chỉnh? Trong quá trình đó, nó phải chịu những ràng buộc
nào?
- Cùng với sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai thì người học gặp phải
những khó khăn nào?
- Khái niệm căn bậc hai trên tập số phức được đưa vào chương trình như thế
nào, thông qua những tình huống nào, với mục đích gì? Khi chuyển từ căn bậc hai
trên trường số thực sang căn bậc hai trên trường số phức, học sinh có sự nhầm lẫn
nào giữa các khái niệm, ký hiệu liên quan hay không? Họ có mang những kiến thức
về căn bậc hai trên trường số thực sang áp đặt cho khái niệm này trên trường số
phức?
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên
cứu này trong phạm vi didactic toán, cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm công
cụ của Lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một
đối tượng tri thức, tổ chức toán học) và khái niệm hợp đồng didactic.
Trong phạm vi đã chọn cùng với những câu hỏi xuất phát, chúng tôi trình bày

hệ thống câu hỏi của luận văn như sau:
Q1. Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm căn bậc hai trong chương trình
phổ thông hiện hành?
Q2. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và
HS trong quá trình dạy – học khái niệm căn bậc hai? HS phản ứng thế nào trong
các tình huống phá vỡ hợp đồng?
Q3. Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, HS có thể gặp những khó khăn
gì, mắc phải những sai lầm nào khi học khái niệm căn bậc hai?

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


3
Q4. Ở học sinh, kiến thức về căn bậc hai trên trường số thực có tạo nên
chướng ngại cho việc học căn bậc hai trên trường số phức hay không?
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu:
Trong chương trình Toán phổ thông, khái niệm căn bậc hai thâm nhập vào các
lĩnh vực số học, đại số, hình học và cả giải tích. Phạm vi hoạt động của công cụ này
rất rộng, trải dài đến hết chương trình phổ thông. Do đó, vì lý do thời gian nên
chúng tôi chỉ quan tâm đến việc nghiên cứu phương diện đối tượng của khái niệm
căn bậc hai.
Khái niệm căn bậc hai xuất hiện sau khái niệm lũy thừa, được xem là một
phép toán ngược của phép bình phương. Vì là một phép toán ngược nên có thể gây
ra một số khó khăn nhất định cho học sinh.
Trong phạm vi đã chọn, chúng tôi đi tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu
hỏi Q1, Q2, Q3, Q4. Để đạt được điều đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên
cứu sau:
- Phân tích chương trình và một số SGK toán THCS và THPT hiện hành để

làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm căn, thấy được những ràng buộc của thể
chế lên khái niệm này.
- Từ phân tích trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu và xây dựng
thực nghiệm đối với giáo viên và học sinh để kiểm chứng tính xác đáng của các giả
thuyết đã phát biểu.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận chung.
- Phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lý do chọn đề
tài, câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu; khung lý thuyết tham chiếu; phạm vi nghiên
cứu, mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


4
- Chương 1, chúng tôi nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên,
SGV và SGK. Việc phân tích SGK cho phép làm rõ các tổ chức toán học gắn liền
với khái niệm căn và các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy và
học khái niệm này.
Thông qua việc phân tích trên cho phép chúng tôi có thể xác định mối quan hệ
của thể chế với đối tượng căn, từ đó hình thành các giả thuyết nghiên cứu. Chúng
tôi chọn phân tích các sách giáo khoa Toán hiện hành: SGK7, SGK9; SGK12cb và
SGK12nc.
- Chương 2, chúng tôi xây dựng thực nghiệm và tiến hành đối với giáo viên,
học sinh để kiểm chứng một số giả thuyết nghiên cứu đã phát biểu.
- Phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở hai chương
và đề xuất hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn này

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


5

Chương 1. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ
VỚI KHÁI NIỆM CĂN
Mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán hiện hành
với khái niệm căn bậc hai. Chúng tôi đi tìm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi sau:
- Trước khi chính thức xuất hiện, có giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn bậc
hai hay không, lúc nào?
- Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình và SGK toán phổ thông
như thế nào, với nghĩa gì?
- Có những đối tượng nào liên quan đến khái niệm căn, chúng có vai trò gì?
- Những tổ chức toán học nào liên qua đến khái niệm căn được đưa vào SGK?
- Có những hợp đồng didactic nào chi phối việc dạy – học khái niệm căn bậc
hai?
- Học sinh gặp những khó khăn, có thể mắc những sai lầm nào khi làm việc
với căn bậc hai?
1.1. Phân tích chương trình
1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn
Bài toán: Trong một hệ thống số, a là số đã cho, tìm số b sao cho bn=a.
Lần đầu tiên xuất hiện trong chương trình là một bài tập trong SGK6 trang 28
được yêu cầu học sinh giải sau khi giới thiệu khái niệm Lũy thừa với số mũ tự
nhiên:
(SGK6, tr.28, BT58)
a) Lập bảng bình phương của các số tự nhiên từ 0 đến 20.
b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 169; 196

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


6
Kỹ thuật giải cũng đã được thể chế gợi ý thông qua các yêu cầu được nêu tuần
tự câu a) đến câu b).
Có thể nói đây là lần đầu tiên học sinh được thực hiện phép toán ngược với
phép bình phương.
Số chính phương
Số chính phương được SGK6 giới thiệu sau đó thông qua một bài tập:
(SGK6, tr.31, BT72)
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ: 0, 1, 4, 9, 16,
…). Mỗi tổng sau có là một số chính phương không?
a) 13 + 23
b) 13 + 23 + 33
c) 13 + 23 + 33 + 43

Những trích dẫn trên là minh chứng cho sự tồn tại ngầm ẩn của khái niệm căn
bậc hai trong chương trình lớp 6 (phạm vi Số học)
Ở lớp 6, a là số tự nhiên. Đến lớp 7, bài toán trên được mở rộng với a là một
số hữu tỉ:
(SGK7, tr.19, BT29)
2

16
16  4 
Viết số

dưới dạng một lũy thừa. Ví dụ
=   . Hãy tìm các cách viết khác
81
81  9 

1.1.2. Giai đoạn tường minh
Số tự nhiên

1

→

số nguyên

2

→

số hữu tỉ

3

→ số

thực

4

→ số

phức

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


7
Khái niệm căn bậc hai được giới thiệu tường minh vào giai đoạn 3 trong
chương trình lớp 7.
Chương trình lớp 7 giới thiệu: Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm và
ký hiệu

với mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: học sinh “Hiểu thế nào là

căn bậc hai của một số không âm. Biết sử dụng đúng ký hiêu

“ (SGV7, tr.45).

Kiến thức về căn bậc hai của một số không âm được sử dụng ở cả chương
trình lớp 7 về sau và lớp 8 qua các bài toán tính giá trị của biểu thức, áp dụng định
lý Py-ta-go, giải phường trình bậc nhất một ẩn.
Khái niệm căn bậc hai số học, các tính chất và các phép biến đổi trên căn bậc
hai chưa được giới thiệu.
Như vậy một trong những vai trò của căn bậc hai như là cầu nối trên con
đường giới thiệu các tập số trong chương trình.
“Việc giới thiệu căn bậc hai … nhằm mục đích sớm hoàn chỉnh khái niệm số
cho học sinh” (SGV7, tr.4).
Trong chường trình lớp 9: khái niệm căn bậc hai được giới thiệu hoàn chỉnh.
Nội dung cụ thể như sau:

- Căn bậc hai
- Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

A2 = A

- Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương
- Bảng căn bậc hai
- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


8
Mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là:
“ Học sinh nắm được định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học; Biết được liên hệ
giữa phép khai phương với phép bình phương, quan hệ thứ tự, phép nhân, phép
chia. Biết cách xác định điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai, biến đổi biểu thức
chứa căn thức bậc hai.”. (SGV9, tr.12)
“Đi sâu nghiên cứu tính chất phép khai phương, xét các phép biến đổi tương
ứng với các tính chất đó và ứng dụng của chúng là nội dung chủ yếu của chương
này.” (SGV9, tr.14).
Học sinh được tiếp cận tính chất của phép khai phương, cụ thể là những liên
hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và với các phép toán đã biết trên tập số
theo hai phương diện:
- Để tìm hiểu thêm về phép khai phương: phép toán ngược của phép bình
phương, bảo toàn quan hệ thứ tự, có quy ước ưu tiên khi thực hiện cúng với các
phép toán cộng, trừ, nhân, chia.

- Làm cơ sở cho các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương diện thứ nhất, học sinh hiểu về phép khai phương như là phép toán
một ngôi trên tập số thực không âm. Phương diện thứ hai, cần thiết cho kỹ năng
biến đổi trên các biểu thức toán học sau này. Chúng tôi nhận thấy rằng quá trình
chuyển từ phương diện thứ nhất sang phương diện thứ hai biểu thị bước chuyển từ
tính toán trên các số sang tính toán trên các chữ.
Học sinh được dành nhiều thời lượng nghiên cứu các vấn đề liên quan căn
thức bậc hai, chương trình chỉ yêu cầu học sinh biết cách xác định điều kiện có
nghĩa của căn thức bậc hai. Tuy nhiên, có điều đáng chú ý là “phần lớn các bài tập
trong sách có liên quan đến biểu thức chứa chữ đều cho trước điều kiện của các
chữ” và khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không
bắt buộc phải nêu rõ ràng” (SGV9, tr.14).

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


9
Chúng tôi nảy sinh một số câu hỏi:
- Tồn tại hay không một quy tắc của hợp đồng phát biểu tạm thời như sau:
RD1. “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghĩa của căn
thức bậc hai khi làm việc với các biểu thức chứa chữ dưới căn”
- Việc tập trung phần lớn yêu cầu làm việc trên căn bậc hai số học, căn thức
bậc hai, các phép biến đổi trên căn thức bậc hai có làm lu mờ khái niệm căn bậc hai
của một số hay không?
Đến cuối chương trình 12, học sinh một lần nữa được nghiên cứu khái niệm
căn bậc hai, nhưng lần này là trên một trường số hoàn toàn mới – Trường số phức.
Các nội dung được giới thiệu: căn bậc hai của số thực dương, căn bậc hai của số
thực âm và căn bậc hai của số phức .

Mục đích của chương trình: “Học sinh biết tìm căn bậc hai của một số thực
âm” (SGV12cb, tr.156) và “Học sinh hiểu được định nghĩa căn bậc hai của số phức,
biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của một số phức về việc giải một hệ phương trình
hai ẩn thực” (SGV12nc, tr.237).
Có một sự khác biệt ở hai chương trình cơ bản và nâng cao. Ở chương trình 12
cơ bản có yêu cầu khá nhẹ nhàng: “không có định nghĩa chính thức về căn bậc hai,
các căn bậc hai của một số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác” (SGV12cb,
tr.157). SGV ở hai chương trình đều lưu ý: không đưa ra ký hiệu căn bậc hai của số
thực âm” và không nên dùng ký hiệu

để chỉ căn bậc hai của số phức.

Liệu học sinh có sự lẫn lộn nào giữa căn bậc hai thực và căn bậc hai phức
không?
1.2. Phân tích Sách giáo khoa
Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa hiện
hành sau: SGK7, SGK9, SGK12cb và SGK12nc. Việc lựa chọn này xuất phát từ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


10
phân tích chương trình, ở SGK7 thì khái niệm căn bậc hai lần đầu tiên xuất hiện
chính thức, ở lớp 9 thì được nghiên cứu hoàn chỉnh, đến lớp 12 khái niêm căn bậc
hai một lần nữa được nghiên cứu nhưng trên một hệ thống số mới.
1.2.1. Sách giáo khoa Toán lớp 7
1.2.1.1. Lý thuyết
Khái niệm căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai được được chính thức đưa vào SGK7 trong bài “Số vô
tỉ - Khái niệm căn bậc hai” trong chương “Số hữu tỉ - số thực” sau khi đã nghiên
cứu số hữu tỉ.
Tình huống dẫn đến xuất hiện khái niệm căn bậc hai:
(SGK7, tr.40, Bài toán)
Cho hình vẽ, trong đó hình vuông AEBF có cạnh bằng 1m, hình vuông ABCD có
cạnh AB là một đường chéo của hình vuông AEBF.
a) Tính diện tích hình vuông ABCD.
b) Tính độ dài đường chéo AB.
Lời giải:
a) Có thể thấy ngay diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích hình vuông
AEBF tức là bằng 2.1.1 = 2 (m2).
b) Nếu gọi x(m) (x>0) là độ dài cạnh AB của hình vuông ABCD thì ta có x2 = 2.
Người ta đã chứng minh được rằng không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2 và
đã tính được x = 1.4142135623730950488016887…
Ta gọi số như vậy là số vô tỉ.

Định nghĩa căn bậc hai
Sau khi giới thiệu số vô tỉ, SGK7 đưa ra một nhận xét:

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


11
32 = 9 ; (-3)2 = 9 ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
rồi phát biểu định nghĩa căn bậc hai của một số:
“Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.” (SGK7, tr.40)
Ký hiệu

cũng được chính thức đưa vào trong một kết luận”

“Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là
âm ký hiệu là − a . Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0, cũng viết

a , một số

0 = 0 “ (SGK7,

tr.41)
Cuối bài SGK khẳng định: Có thể chứng minh rằng các số

2 ,

3 ,

5 ,

6 ,… là những số vô tỉ.

Nhận xét:
Ở bài toán SGK7 đưa vào không phải là một hoạt động mà là bài toán nêu lên
kèm theo lời giải và bình luận, bài toán đưa đến một chướng ngại cho học sinh (câu
b). Chướng ngại này xuất phát từ việc học sinh luôn có lời giải trong việc tìm một
số tự nhiên có bình phương bằng một số tự nhiên khác, tìm một số hữu tỉ có bình
phương bằng một số hữu tỉ khác như trước đây (Các bài toán mà chúng tôi đã trích
dẫn khi phân tích giai đoạn ngầm ẩn).
Một điểm đáng lưu ý là đến thời điểm này học sinh chưa biết định lý Py-ta-go
(sẽ được giới thiệu ở phần sau của SGK7). Dó đó bài toán tìm cạnh của một tam

giác vuông cạnh 1 đơn vị không thể giải quyết bằng định lý Py-ta-go. Ở đây, thể chế
chọn hướng giải quyết bằng việc tính diện tích dựa vào các diện tích thành phần
(hình vẽ). Có được kết quả sau: S=
S ABF 2 S AEBF .
4=
ABCD
Như vậy, khái niệm căn bậc hai của một số hình thành từ một tình huống hình
học, kéo theo một chướng ngại trong phạm vi số học (tìm một số hữu tỉ biết bình

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


12
phương của nó bằng 2). Tình huống này mang lại một nghĩa về mặt số học cho khái
niệm căn bậc hai.
Như vậy, bài toán vừa nêu trên là tình huống dẫn đến sự xuất hiện khái niệm
căn bậc hai của một số không âm.
Trong định nghĩa căn bậc hai, số a không được chỉ rõ là thuôc tập số nào. Có
lẽ đây là một quy ước: Khi nói đến một số mà không nêu rõ thuôc tập số nào thì
mặc định là thuộc tập số lớn nhất đã biết (trong trường hợp này là tập số hữu tỉ).
Theo SGV7: Bài toán được đưa vào là để dẫn đến một ví dụ về số vô tỉ và số
vô tỉ đầu tiên học sinh được biết là

2.

được giới thiệu : “số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số

Ký hiệu

dương ký hiệu là

a và một số âm ký hiệu là − b .”

Như vậy SGK7 chỉ dừng lại ở việc giới thiệu định nghĩa căn bậc hai của một
. Căn bậc hai số học chưa được nhắc tới và đương nhiên các tính

số và ký hiêu

chất của căn cũng không xuất hiện.
Sang bài “Số thực”, sau khi khẳng định: “Với hai số thực x, y bất kỳ, ta luôn
có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y” . SGK7 giới htiệu: “Với a, b là hai số thực
dương, ta có: nếu a > b thì

a > b “.

Có lẽ việc SGK7 đưa ra tính chất này là để minh họa cho tính sắp thứ tự tốt
của tập số thực.
Chúng tôi không tìm thấy một ví dụ minh họa hay một hoạt động nào cho kiến
thức về so sánh các căn số.
Cuối cùng, SGK7 giới thiệu Trục số thực, cách biểu diễn số vô tỉ trên trục số
(đại diện là

2 ) và kết thúc quá trình hoàn chỉnh khái niệm số ở bậc THCS.

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán

13
1.2.1.2. Các tổ chức toán học
TB1: Tìm căn bậc hai của một số dương
τB 11 : Tính nhẩm chỉ ra hai số: b và -b thỏa b2 = a và (-b)2 = a.
Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a.
θ 1 1 : Định nghĩa căn bậc hai của một số, lũy thừa của một số hữu tỉ
Ví dụ: (SGK7, tr.41, nhận xét)
Nhận xét: 32 = 9 ; (-3)2 = 9.
Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.

Đặc điểm của TB1:
- Số dương a luôn có thể biểu diễn dễ dàng dưới dạng a = b2 : hoặc là số chính
phương (không vượt quá 36) hoặc phân số mà tử và mẫu là các số chính phương
(không vượt quá 36) hoặc một lũy thừa dạng hn
- Ít trường hợp số a được cho dưới dạng thập phân hữu hạn (a < 1), nếu có thì
cũng là số dễ dàng biểu diễn dưới dạng một bình phương (đã biết kết quả ở các bài
học liền trước).
- Kết quả chấp nhận: “số đúng”.
Việc cho số a như trên giúp cho các kỹ thuật nhẩm bình phương luôn giải
quyết tốt kiểu nhiệm vụ TB1. Không cần nhờ đến công cụ máy tính bỏ túi.
TB2 : Tính
tB 21 : Tính

a

τB 21 : Tìm số dương b sao cho b2 = a. Kết hợp mẫu
Kết luận:

a =b

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


14
θB 21 : định nghĩa căn bậc hai, nhận xét

a là một số dương, mẫu trong bài

toán
(SGK7, tr.41, BT83; lời giải trong SGV7, tr.83)
Ta có

25 =−
5;
25 =
−5; (−5) 2 =25 =
5 ;

Theo mẫu trên, hãy tính
a)

36 ; b) − 16 ; c)

9
; d)
25

32 ; e)

( −3)

2

Giải:
a)

36 = 6 ; b) − 16 =
−4 ;

c)

9 3
= ; d)
25 5

e)

( −3)

2

32 = 3 ;

= 9=3

Đặc điểm của tB 21 :
Nhiệm vụ này giúp học sinh làm quen với ký hiệu

, là tiền thân của nhiệm

vụ tính căn bậc hai số học ở lớp 9, đồng thời học sinh bước đầu cảm nhận tính chất
của căn bậc hai số học thông qua các mẫu bài toán đưa ra, thấy được mối liên hệ
giữa căn bậc hai và phép bình phương.
tB 22 : Tính giá trị biểu thức số
τB 22 : Dùng τB 21 để tính các căn số trước.
Thay các giá trị ấy vào biểu thức rồi tính kết quả.
θB 2 2 : θB 21 và các phép toán đại số sơ cấp
(SGK7, tr.50, BT105; lời giải trong SGV7, tr.53)
Tính giá trị của các biểu thức sau:

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


15
a)

0,01 − 0, 25

b) 0,5 100 −

1
4

Giải:
a)

0,01 − 0, 25 =−
0,1 0,5 =
−0, 4

b) 0,5 100 −

1
= 0,5.10 − 0,5= 4,5
4

Đặc điểm của tB 22 :
Các căn số luôn dễ dàng tính được bằng các kỹ thuật đại số, kết quả luôn là
“số đúng”. Từ lời giải mẫu, co thể nói công cụ máy tính bỏ túi bị loại khỏi nhiệm vụ
này. Kỹ thuật đại số luôn hữu dụng.
Kết quả chấp nhận: “số đúng”
tB 23 : Dùng máy tính bỏ túi tính
τB 23 : Các phím bấm trên máy tính bỏ túi.
Làm tròn kết quả cuối cùng khi cần
θB 23 : Hướng dẫn ngay trong bài tập
Các phép toán +, -, x, / trên tập số
Quy ước làm tròn số
(SGK7, tr.42, bài tập 86; lời giải trong SGV7, tr.47)
(SGK7 hướng dẫn học sinh nút căn bậc hai trên máy tính bỏ túi thông qua 4 bài giải
mẫu rồi nêu yêu cầu):
Dùng máy tính bỏ túi để tính

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán

16
3783025 ; 1125.45 ;

6, 4
0,3 + 1, 2
;
0,7
1, 2

Giải:
Cho học sinh tự đọc trong sách giáo khoa để biết cách sử dụng máy tính bỏ túi khi
dùng nút dấu căn bậc hai
3783025 = 1945
1125.45 = 225

1125.45 ≈ 1, 46 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

6, 4
≈ 12,11 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
1, 2

Đặc điểm của tB 23 :
Kỹ thuật máy tính bỏ túi được chỉ định rõ ràng. Các số trong dấu căn bậc hai
hoặc là không thể biểu diễn dưới dạng một bình phương hoặc một số chính phương
rất lớn (nhẫm bình phương rất khó và không hiệu quả).
Kết quả chấp nhận: “số đúng” hoặc gần đúng. Kỹ thuật đại số lu mờ, thậm chí
là bất khả thi.
TB3: Tìm một số x khi biết

x =a

τB 3 : x = a 2
θB 3 : Lũy thừa số mũ hữu tỉ, định nghĩa căn bậc hai của một số
Ví dụ:
(SGK7, tr.41, BT85; Lời giải trong SGV7, tr.47)
Điền số thích hợp vào ô trống:
x

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


17
x

4

0,25

(-3)2

104

9
4

16

0,0625

(-3)4

108

81
16

4

0,25

(-3)2

104

9
4

Giải:
x

x

Đặc điểm của TB3 :
Số x cần tìm luôn tồn tại.
Bảng 1.1 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7
Kiểu nhiệm vụ

Nhiệm vụ
TB1

Tìm căn bậc hai của một số dương
tB 21
Tính

a

tB 22
Tính giá trị biểu thức số

B

T 2

tB 23
Dùng máy tính bỏ túi tính
TB3
Tìm một số x khi biết

x =a

Kỹ thuật

Tần số

τB 11

4

τB 21

10

τB 22

2

τB 23

4

τB 3

6

1.2.1.3. Kết luận từ phân tích SGK7
Kỹ thuật đại số chiếm ưu thế, máy tính bỏ túi chỉ được sử dụng khi có chỉ định
rõ ràng. Từ đó cho phép chúng tôi dự đoán quy tắc sau:

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


18
RD2. “ Khi tính các căn bậc hai hoặc tính giá trị biểu thức thì dùng kỹ thuật
đại số; Máy tính bỏ túi chỉ được dùng khi có chỉ định rõ ràng”
1.2.2. Sách giáo khoa Toán lớp 9

1.2.2.1. Lý thuyết
Chúng tôi phân tích chương 1 SGK9 vì ở chương này khai niệm căn bậc hai
được đưa vào một cách hoàn chỉnh.
Nội dung của chương này bao gồm:
- Căn bậc hai: định nghĩa, ký hiệu, điều kiện tồn tại. Hằng đẳng thức
A2 = A

- Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai. Khai phương một thương.
Chia các căn thức bậc hai.
- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. Rút gọn biểu thức chứa căn
bậc hai.
Căn bậc hai số học:
SGK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc hai của một số không âm cùng với nhận xét
đã đưa vào ở SGK7 như là sự gợi nhớ cho học sinh. Điều này thể hiện một sự tiếp
nối trong thể chế THCS.
Tiếp theo là một hoạt động:
(SGK9, tr.4, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.14)
Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:
a) 9 ;

b)

4
;
9

c) 0, 25 ;

d) 2

Giải:
“Giáo viên lưu ý hai cách trả lời:

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán