một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông vectơ hình học và vectơ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Ngơ Thị Hồng Hạnh


MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY
HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG:
VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ




LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC









Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Ngơ Thị Hồng Hạnh

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY
HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG:
VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ

Chun ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU






Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học hiện đại, như đại số
tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, Nó còn mang lại một công cụ hiệu quả cho việc
nghiên cứu hình học sơ cấp. Không chỉ trong phạm vi toán học, vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong
các lĩnh vực của vật lý và kỹ thuật.
Ở Việt Nam, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ
thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho

việc học môn vật lý. Cụ thể là vectơ được sử dụng ở cả ba lớp 10, 11, 12 để biểu diễn và nghiên cứu
các đại lượng vật lý.
Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tôi tìm thấy một số công trình nghiên cứu didactique đề
cập đến phương diện đối tượng cũng như phương điện công cụ của nó: Lê Thị Hoài Châu (Luận án tiến
sĩ, 1997), Đỗ Công Đoán (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hoàng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hoàng Hữu
Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002). Kết quả nghiên cứu của các công trình này cho thấy học sinh gặp khó
khăn trong việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ cũng như sử dụng công cụ vectơ trong phạm vi hình học.
Cụ thể, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã vạch ra những khó khăn mà học sinh thường gặp khi học tập phần
vectơ:
- Khó khăn trong việc vượt ra khỏi mô hình mêtric để xem xét các đặc trưng định hướng của
vectơ.
- Khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ.
- Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ.
Hơn thế, tác giả còn chứng tỏ được rằng ngoài nguồn gốc khoa học luận, những khó khăn trên còn có
thể bị làm cho trầm trọng thêm bởi một sự lựa chọn chuyển đổi sư phạm.
Các công trình mà chúng tôi đã kể ra ở trên chỉ nghiên cứu vectơ trong phạm vi hình học mà chưa đề
cập đến khái niệm vectơ trong phạm vi vật lí. Mặc khác những công trình này nghiên cứu về khái niệm
vectơ trong các chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp
nhất năm 2000. Trong khi chương trình hiện hành là chương trình phân ban được áp dụng từ năm 2006
trên toàn quốc.
Thực tế này dẫn chúng tôi đến những câu hỏi sau:
Khái niệm vectơ được đưa vào chương trình hình học lớp 10 hiện hành có gì thay đổi so với các
chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất
năm 2000?
Trong dạy học vật lý ở trường phổ thông, vectơ được đưa vào và sử dụng như thế nào? Học sinh
gặp vectơ trong vật lý trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong dạy học toán? Khi sử
dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ
trong hình học có ảnh hưởng gì đến việc học tập các khái niệm có liên quan đến vectơ trong vật lí
không?

Đó là những câu hỏi mà chúng tôi đặt ra và cũng là lý do mà chúng tôi chọn đề tài “Một nghiên
cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông : vectơ hình học và vectơ vật lí” để trả lời các
câu hỏi trên.
2. Lý thuyết tham chiếu:
Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic,
cụ thể là thuyết nhân học.
Trong thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và
“praxéologie ”.
Để thuận lợi trong việc trình bày, từ nay về sau chúng tôi quy ước gọi:
I1: là thể chế dạy học hình học THPT theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành.
I2 : là thể chế dạy học vật lí ở trường phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành.
Nghiên cứu quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “vectơ” xuất hiện ở đâu, tồn tại
như thế nào, có vai trò gì trong các thể chế I1 và I2. Nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh với đối
tượng “vectơ trong vật lý” sẽ cho chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm vectơ, từ đó trả lời
cho câu hỏi “ Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải những thuận lợi và khó khăn
gì?”
. Mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân được xác định thông qua việc nghiên cứu các “praxéologie
”.

3. Mục đích nghiên cứu:
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn chúng tôi cụ thể hóa những câu hỏi khởi đầu mà
việc trả lời chúng chính là mục đích của đề tài:
Q1. Trong thể chế I1, mối quan hệ thể chế với khái niệm vectơ có những đặc trưng cơ bản nào?
Q2. Trong thể chế I2, mối quan hệ thể chế với đối tượng vectơ có những đặc trưng cơ bản nào?
Vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào trong vật lý? Những tổ
chức vật lý có liên quan đến vectơ ? Những kiểu nhiệm vụ nào đòi hỏi học sinh hiểu đúng khái niệm
vectơ đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ?
Q3. Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí?
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Trước hết, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa hình học hiện hành nhằm thấy được

mối quan hệ thể chế đối với đối tượng vectơ trong thể chế I1. Trên cơ sở tham khảo kết quả nghiên cứu
về vectơ trong các chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất của tác giả : Lê
Thị Hoài Châu, Đỗ Công Đoán và Hoàng Hữu Vinh. Chúng tôi sẽ chỉ ra có sự thay đổi hay không về
đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 với các thể chế dạy học vectơ theo các chương trình hình
học: chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất. Kết quả thu được cho phép
chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q1.
- Tiếp đến chúng tôi sẽ phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thông
hiện hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các tổ chức vật lý gắn với đối
tượng vectơ. Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3.
- Từ những kết quả đạt được ở trên chúng tôi sẽ nghiên cứu và thiết lập một hệ thống câu hỏi thực
nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đưa ra về những khó khăn của học sinh khi sử
dụng vectơ trong vật lý.
5. Tổ chức của luận văn:
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau :
Chương 1- Vectơ trong dạy học hình học ở trường phổ thông.
Chương 2- Vectơ trong dạy học vật lý ở trường phổ thông
Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm
CHƯƠNG 1 : NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC

Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban được áp dụng trên cả nước. Qua đó chương trình
toán THPT gồm có: chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; tương ứng có hai bộ sách giáo khoa.
Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ của thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn
nhằm làm rõ đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1. Chúng tôi sẽ so sánh với vai trò của vectơ
trong thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý
hợp nhất năm 2000 (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các chương trình trước năm 2006).
1.1. Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006
Trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học trong chương trình hình học
10. Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, tọa độ của vectơ. Tiếp đến,
vectơ được sử dụng làm công cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ của điểm. Sau đó, công cụ vectơ được
dùng để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình và đồng dạng. Các kiến thức vectơ trong mặt

phẳng ở chương trình hình học 10 được dùng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng và trong không gian trong chương trình hình học 12.
1.1.1.Vectơ trong chương trình hình học hiện hành
Về mặt cấu trúc, trong chương trình hình học hiện hành có một số thay đổi về trình tự đưa vào
các kiến thức. Tuy nhiên so với các chương trình cũ mục đích của việc dạy học vectơ không thay đổi,
nó được đưa vào nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương
pháp vectơ. Qua đó, trong chương trình hình học 10, trước hết vectơ cũng được nghiên cứu với tư cách
là đối tượng. Sau đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng
thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Trong chương trình hình học 11, công cụ vectơ
được sử dụng để nghiên cứu các phép biến hình. Các khái niệm về vectơ trong mặt phẳng được mở
rộng vào không gian nhằm cung cấp công cụ để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Công
cụ vectơ tiếp tục được sử dụng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong không gian ở chương
trình hình học 12.
Ngoài ra mục tiêu của chương trình còn “Giới thiệu cho học sinh một số ứng dụng trong vật lý. Trong
vật lý 8, học sinh đã được học cách biểu diễn một lực bằng vectơ và cũng chỉ dừng lại ở cách biểu diễn.
Khi có kiến thức về vectơ học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình
THPT.”(SGV hình học 10 trang 22)
1.1.2. Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành
Các khái niệm liên quan đến vectơ được trình bày trong “Chương I. Vectơ” của SGK hình học
10. Trong chương này, các tác giả đưa vào khái niệm vectơ, tổng và hiệu của hai vectơ, tích của vectơ
với một số, hệ trục tọa độ. Chúng tôi sẽ phân tích cách đưa vào khái niệm vectơ trong SGK hình học 10
hiện hành trên cơ sở so sánh với cách đưa vào khái niệm vectơ trong các SGK thuộc chương trình cải
cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các SGK trước năm 2006).
Trong toán học, để định nghĩa khái niệm vectơ hình học người ta có thể định nghĩa qua hệ tiên
đề của không gian vectơ, qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương
các cặp điểm sắp thứ tự. Trong chương trình toán trung học, khái niệm vectơ thường được trình bày
theo tư tưởng lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc lớp tương đương các cặp điểm. Theo
xu hướng này, khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoặc khái niệm vectơ
buộc. Trong các chương trình hình học trước năm 2006 đều lựa chọn xây dựng khái niệm vectơ qua
khái niệm vectơ buộc theo sơ đồ trình bày: định nghĩa vectơ là đoạn thẳng có hướng, sau đó định nghĩa

hai vectơ cùng phương, mô tả hai vectơ cùng hướng, định nghĩa độ dài (hay môđun) của vectơ, cuối
cùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau. Trong đó khái niệm vectơ tự do có thể được đưa vào một cách
tường minh hay ngầm ẩn . Khi nghiên cứu SGK hiện hành chúng tôi thấy rằng về cơ bản không có sự
thay đổi trong việc đưa vào khái niệm vectơ so với các SGK trước năm 2006.
Đầu tiên SGK định nghĩa:
“Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.” (SGK hình học 10 trang.4)
Tiếp đến, các tác giả đưa vào khái niệm giá của vectơ:
“Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.” (SGK
hình học 10 trang 5)
Từ đó các tác giả định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả khái niệm hai vectơ cùng hướng, ngược
hướng
“Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau”. (SGK hình học
10 trang 5)









“Trên hình 1.3, hai vectơ
AB
uuur
,
CD
uuur
cùng phương, và có hướng đi từ trái sang phải. Ta nói
AB

uuur
và
CD
uuur
là hai vectơ cùng hướng. Hai vectơ
PQ
uuur
và
RS
u u ur
cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta
nói: Hai vectơ
PQ
uuur
và
RS
u u ur
là hai vectơ ngược hướng.” (SGK hình học 10 trang 5)
“Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng” (SGK hình học
10 trang 5)
Định nghĩa độ dài của vectơ và từ đó định nghĩa hai vectơ bằng nhau:
“Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài
của vectơ
a
r
được kí hiệu là |
a
r
|.”(SGK hình học 10 trang 7)
“Hai vectơ

a
r
và
b
r
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu
a
r
=
b
r
”(SGK hình học 10 trang 6)
Khái niệm vectơ tự do được đưa vào ngầm ẩn:
“Vectơ còn được kí hiệu là
a
r
,
b
r
,
x
r
,
y
r
,…khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của
nó”(SGK hình học 10, tr.4)
“… mọi vectơ–không đều bằng nhau. Ta kí hiệu vectơ-không là
0
r

. Như vậy
0
r
=
AA
u u ur
=
BB
u u ur
=…”
(SGK hình học 10 trang 6)
Các phép toán vectơ được định nghĩa trên các vectơ tự do.
Như vậy, trong SGK hiện hành cũng đưa vào khái niệm vectơ thông qua khái niệm vectơ buộc. Khái
niệm vectơ tự do không được trình bày tường minh. Theo các tác giả: “Vì lí do sư phạm khi định nghĩa
vectơ, ta không đề cập đến khái niệm vectơ tự do. Tuy nhiên khi định nghĩa hai vectơ bằng nhau giáo
Hình 1.3
A
B
D
E
R
S
P
Q
F
C
viên cần hiểu hai vectơ này cùng thuộc một lớp tương đương và sau khi xây dựng tọa độ của vectơ thì
tất cả các vectơ bằng nhau đều có cùng một tọa độ, như vậy thông qua tọa độ ta đã dùng các vectơ tự
do” (SGV hình học 10 trang 23)
Sau khi định nghĩa và nêu ra các tính chất của phép nhân vectơ với một số SGK đưa ra mệnh đề về việc

phân tích một vectơ qua cơ sở:
“Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x
r
đều phân tích một cách duy nhất
theo hai vectơ
a
r
và
b
r
, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
x ha kb= +
rrr
.”(SGK hình học 10
trang 16)
Mệnh đề này chính là cơ sở để xây dựng khái niệm tọa độ của vectơ trong hệ trục tọa độ vuông góc.
1.2. Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành
1.2.1. Công cụ vectơ trong SGK hình học 10:
Công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng
phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Để đưa vào các hệ thức lượng trong tam giác, trước hết SGK đưa
vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô hướng để tính độ dài của vectơ, góc
giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Nhờ đó, các tác giả chứng minh định lí côsin, công thức độ
dài đường trung tuyến trong tam giác…Trong các ứng dụng của tích vô hướng, SGK có đề cập đến ứng

dụng trong vật lý:
“Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực
F
ur
tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di
chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực
F
ur
được tính theo công thức:
A =
. ' cosF OO
ϕ
ur uuuur
(hình 2.8) trong đó |
F
ur
| là cường độ của lực
F
ur
tính bằng Niutơn (viết tắt là N), |
'OO
uuuur
| là độ dài của vectơ
'OO
uuuur
tính bằng mét (m), ϕ là góc giữa hai vectơ
'OO
uuuur
và
F

ur
, còn công A
được tính bằng Jun (viết tắt là J).
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của
hai vectơ
F
ur
và
'OO
uuuur
.”(SGK hình học 10 trang 41)
Điều này cho thấy ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của hai vectơ.
Để xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, ngay từ chương I các tác giả đưa vào các kiến thức
cơ sở của phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ và hệ trục tọa độ vuông góc, tọa độ của điểm và
tọa độ của vectơ đối với trục và hệ trục.
Về khái niệm tọa độ của vectơ SGK trình bày như sau:
O
(; )Mxy
1
M
2
M
i
r
j
r
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ
u
r
tùy ý. Vẽ

OA u=
u u ur r
và gọi AR
1
R, AR
2
R
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có
12
OA OA OA= +
uuur uuur uuuur
và cặp số duy nhất (x;y) để
1
OA xi=
uuur r
,
2
OA y j=
uuuur r
. Như vậy
u xi y j= +
rrr
. Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
u
r
đối
với hệ tọa độ Oxy và viết
(; )u xy=
r
. Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số

thứ hai gọi là tung độ của vectơ
u
r
” (SGK hình học 10 trang 23)
Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở.
Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó và các
phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ.
Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau:
“Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của
vectơ
OM
uuuur
đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với
hệ trục đó” (SGK hình học 10 trang 23)
Việc đưa vào các khái niệm tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm là cơ sở để
xây dựng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương III. Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng,
đường tròn và đường elip. Công thức tính độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng được suy ra
từ tích vô hướng của hai vectơ. Phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của
đường thẳng. Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực
tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng)
1.2.2. Công cụ vectơ trong SGK hình học 11
Công cụ vectơ được dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự, chứng minh tính chất của phép tịnh
tiến, phép đối xứng tâm và phép vị tự.
Để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, SGK đưa vào các khái niệm về vectơ trong không
gian. Trong đó các khái niệm vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt
phẳng. Tiếp theo, các tác giả đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng và sự phân tích duy nhất của một
vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. Sau đó, SGK xây dựng khái niệm tích vô hướng của hai vectơ
trong không gian. Từ đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều
kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

O
A
1
A
2
A
u
r
u
r
i
r
j
r
1.2.3. Công cụ vectơ trong SGK hình học 12
Trên cơ sở khái niệm vectơ trong không gian được giới thiệu ở Hình học 11, SGK xây dựng
phương pháp tọa độ trong không gian. Các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm
đối với hệ trục được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Các khái niệm phương trình
tổng quát của mặt phẳng, phương trình tham số của đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng được xây dựng dựa vào vectơ thông qua các khái niệm vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng, vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ngoài ra việc xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng,
giữa hai đường thẳng cũng dựa vào kiến thức vectơ.
1.3. Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ
Như trong phần phân tích chương trình đã chỉ ra, trong SGK 11 và 12 công cụ vectơ chủ yếu
được sử dụng để xây dựng các kiến thức trong phần lý thuyết, đồng thời được sử dụng để chứng minh
hai đường thẳng vuông góc trong phần bài tập ở SGK hình học 11. Do đó trong phần này chúng tôi chỉ
phân tích SGK Hình học 10, 11 nhằm làm rõ vai trò của vectơ trong các tổ chức toán học liên quan đến
vectơ. Nghiên cứu các SGK này chúng tôi thấy các tổ chức toán học được hình thành từ những kiểu
nhiệm vụ cơ bản sau:
T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ)

T2 Xác định tọa độ của vectơ
T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ
T4 Tính tích vô hướng
T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
T6 Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ
T7 Chứng minh hai điểm trùng nhau
T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
T9 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
So với các SGK trước năm 2006, trong SGK hiện hành đã bỏ đi các kiểu nhiệm vụ:
Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng
Chứng minh một đường thẳng di động đi qua một điểm cố định
Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Dưới đây chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK từ các kiểu nhiệm vụ
này. Khi phân tích, chúng tôi sẽ dừng ở thành phần công nghệ, vì chúng là các tổ chức toán học bộ
phận đều có chung Θ là lý thuyết vectơ và tập số thực R với các phép toán đại số.
Tổ chức toán học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ)
T1 gồm các kiểu nhiệm vụ con sau đây :
• TR
11
R : Tìm vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước.
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các vectơ khác vectơ
0
r
và cùng phương với
OA
u u ur

b)Tìm các vectơ bằng vectơ
AB

uuur

Kỹ thuật
τ
R
11
R: Dựa vào hình vẽ và tính chất hình học của hình, chỉ ra các
vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước.
Công nghệ
θ
R
11
R: định nghĩa vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng
nhau
• TR
12
R : Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu; tính độ dài của vectơ tổng
hoặc vectơ hiệu)
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ
MA MB+
uuur uuur
và
MA MB−
uuur uuur
.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tìm độ dài của các vectơ
AB
uuur
+
BC

uuur
và
AB
uuur
-
BC
uuur
.
Kỹ thuật t
R
12
R: dựa vào định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ để vẽ vectơ tổng và vectơ hiệu. Dựa
vào tính chất hình học của hình để tính độ dài của các vectơ này.
Công nghệ
θ
R
12
R: định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ.
Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ
T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con.
• TR
21
R: Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc.
Ví dụ: Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a)
2ai=
rr
b)
3bj= −
rr

c)
34cij= −
rrr
d)
0,2 3dij= +
ur r r

A
B
C
D
E
F
O
Kỹ thuật
τ
R
21
R: Trong biểu thức đã cho, xác định hệ số của các vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy. Nếu
các hệ số đó theo thứ tự là x, y thì tọa độ của vectơ đã cho là (x, y)
Công nghệ
τ
R
21
R:
(; )u x y u xi y j= ⇔= +
r rrr

• TR
22

R : Tìm tọa độ của một vectơ thỏa mãn một hệ thức vectơ cho trước
Ví dụ: Cho
(2;1), (3; 4), ( 7;2).ab c= =−=−
rr r

a) Tìm tọa độ của vectơ
324uabc=+−
rrrr

b) Tìm tọa độ vectơ
x
r
sao cho
xabc+=−
rr rr

Kỹ thuật
τ
R
22
R: Tính tọa độ của vectơ bằng cách dùng công thức tọa độ của các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
.
Công nghệ θR
22
R: định nghĩa tọa độ của vectơ, tọa độ của các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
.

Tổ chức toán học gắn với T3 - Chứng minh một đẳng thức vectơ
Kỹ thuật:
τ
R
31
R: Biến đổi vế này thành vế kia bằng cách dùng quy tắc 3 điểm
τ
R
32
R:R

RDùng quy tắc ba điểm kết hợp với hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để
biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi hai vế về cùng một vectơ
Công nghệ
θ
R
3
R:
- Các định nghĩa: vectơ bằng nhau, vectơ-không, phép cộng và hiệu hai vectơ, phép nhân
vectơ với một số.
- Tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số
- Tính chất của tích vô hướng
- Quy tắc 3 điểm:Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có:
MN NP MP+=
uuuur uuur uuur
,
MN ON OM= −
uuuur uuur uuuur

- Hệ thức trung điểm:

Hệ thức 1: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0IA IB+=
uur uur
r

Hệ thức 2:Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:
2MA MB MI+=
uuur uuur uuur

Hệ thức trọng tâm:
Hệ thức 1: Điểm G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi
0GA GB GC++=
uuur uuur uuur
r

Hệ thức 2:Nếu G là trung điểm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
3GA GB GC MG++=
uuur uuur uuur uuuur

Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật
τ
R
31
R) Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D, ta có:
AB CD AD CB+=+
uuur uuur uuur uuur

(Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật
τ

R
32
R) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ
giác ABCD. Chứng minh rằng:
2MN AC BD BC AD=+=+
uuuur uuur uuur uuur uuur

Tổ chức toán học gắn với T4 - Tính tích vô hướng
a) Có hai kiểu nhiệm vụ con gắn với T4:
T
R
41
R: Cho trước độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Tính tích vô hướng
T
R
42
R: Cho tọa độ vectơ, tính tích vô hướng
b) Kỹ thuật giải
τ
R
41
R: dùng định nghĩa
τ
R
42
R: dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng
c) Công nghệ
θ
R
4

R:
Định nghĩa tích vô hướng
Các tính chất của tích vô hướng
d)Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T
R
41
R, kỹ thuật τR
41
R) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô
hướng
.,.AB AC AC CB
uuur uuur uuur uuur

(Kiểu nhiệm vụ T
R
42
R, kỹ thuật τR
42
R) Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
a
r
= (-3;1) và
b
r
=(2;2), hãy
tính tích vô hướng
a
r
.

b
r

Tổ chức toán học gắn với T5 - Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
a) Hai kiểu nhiệm vụ con của T5:
TR
51
R: Cho trước hai vectơ không cùng phương. Hãy biểu thị các vectơ khác qua hai vectơ
đó
T
R
52
R: Cho tọa độ các vectơ. Hãy biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
b) Kỹ thuật:
τ
R
51
R: dùng quy tắc ba điểm,hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để phân tích vectơ
theo hai vectơ cho trước.
τ
R
52
R Để phân tích vectơ
c
r
theo
a
r
và
b

r
ta tìm các số h và k sao cho
c ha kb= +
rr
r
theo
a
r
và
b
r

c) Công nghệ
θ
R
5
R :
Mệnh đề: “Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x
r
đều phân tích
một cách duy nhất theo hai vectơ
a
r

và
b
r
, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
x ha kb= +
rrr
.”
Quy tắc ba điểm
Nhận xét: “ Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ
bằng nhau”
Công thức tính tọa độ của các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r

Tổ chức toán học gắn với T6 - Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ
Kỹ thuật
τ
R
6
R: Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ
thức đã cho về một trong các dạng:
MA kAB=
uuur uuur
. Vậy M nằm trên AB sao cho
MA kAB=
uuur uuur

AM BC=
uuuur uuur
. Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM

0MA MB+=
uuur uuur
r
. Vậy M là trung điểm AB
0AM =
uuuur
r
. Vậy M ≡ A
Công nghệ
θ
R
6
R:
Định nghĩa: vectơ-không, vectơ bằng nhau,
Quy tắc ba điểm
Hệ thức trung điểm: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0IA IB+=
uur uur
r

Tích của vectơ với một số và các tính chất
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k
khác 0 để
AB k AC=
uuur uuur

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho
20MA MB MC++ =
uuur uuur uuuur

r

Tổ chức toán học gắn với T7: chứng minh hai điểm trùng nhau
a) Có hai kiểu nhiệm vụ con của T7 được xem xét trong SGK:
T
R
71
R: Chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm
T
R
72
R: Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm
b)Kỹ thuật giải:
τ
R
71
R: Để chứng minh I ≡ I’ ta chứng minh
'0II =
uur
r

τ
R
72
R: Tính tọa độ trọng tâm G và G’ của các tam giác ABC và A’B’C’, suy ra G và G’ có tọa độ
bằng nhau, từ đó kết luận G ≡ G’
c)Công nghệ
θ
R
7

R:
Định nghĩa vectơ-không
Quy tắc ba điểm
Hệ thức trung điểm
Hệ thức trọng
Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là:
' ' '0AA BB CC++ =
uuur uuur uuuur
r

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(
;
33
A B CA B C
xxxyyy++ ++
)
d)Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T
R
72
R, kỹ thuật
τ
R
71
R) Chứng minh rằng
AB CD=
uuur uuur
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.
(Kiểu nhiệm vụ t

R
72
R, kỹ thuật
τ
R
71
R) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng
tâm.
(Kiểu nhiệm vụ tR
72
R, kỹ thuật
τ
R
72
R) Cho các điểm A(-4;1), B’(2;4), C’(2;-2) lần lượt là trung điểm các
cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng
trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau.
Tổ chức toán học gắn với T8 - chứng minh ba điểm thẳng hàng
Kỹ thuật
τ
R
8
R: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta làm như sau:
-Phân tích các vectơ
,AB AC
uuur uuur
theo một hệ vectơ nào đó
-So sánh và rút ra
AB k AC=

uuur uuur

-Kết luận A, B, C thẳng hàng
Công nghệ
θ
R
8
R:
Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Tính chất của phép nhân vectơ với một số
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k sao cho
AB k AC=
uuur uuur

Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên
cạch AB sao cho AK =
1
5
AB
a) Hãy phân tích
, ,,AI AK CI CK
uur uuur uur uuur
theo
,a CA b CB= =
u u ur u u ur
r
r

b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng
Tổ chức toán học gắn với T9: chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Kỹ thuật
τ
R
9
R: Để chứng minh AB⊥CD ta chứng minh rằng
.0AB CD =
uuur uuur

Công nghệ
θ
R
9
R:
Định nghĩa tích vô hướng
Các tính chất của tích vô hướng
Chú ý:
.0ab a b=⇔⊥
rr r r

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Ví dụ:Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2). Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ
đó tính diện tích tam giác OAB.
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc.
Thống kê số bài tập tương ứng với các kiểu nhiệm vụ
Kiểu nhiệm vụ
Ví dụ
Bài tập
Tổng cộng
T1

1
6
7
T2

2
2
T3
2
10
12
T4
1
4
5
T5
2
5
7
T6

3
3
T7

3
3
T8
1

1
T9
1
6
7

Nhận xét:
- Kiểu nhiệm vụ T1 nhằm giúp cho học sinh hiểu các khái niệm về vectơ, các đặc trưng của vectơ
(phương, hướng, độ dài), vectơ bằng nhau, vectơ đối và các phép toán vectơ.
Các kỹ thuật giải quyết các nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ này được rút ra từ yếu tố công nghệ được trình
bày tường minh trong phần lý thuyết. Trong tất cả các bài tập vấn đề xác định phương, hướng, độ dài
của vectơ được đặt trong mối liên hệ với các vectơ khác và dựa vào tính chất hình học của hình. SGK
có giới thiệu một bài tập ứng dụng trong phạm vi vật lí liên quan đến việc xác định vectơ và tổng của
hai vectơ.
“Cho ba lực
1
F
ur
=
MA
uuur
,
2
F
ur
=
MB
uuur
và
3

F MC=
ur uuuur
cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng
yên. Cho biết cường độ của
1
F
ur
,
2
F
ur
đều là 100N và
0
60AMB
∧
=
. Tìm cường độ và hướng của lực
3
F
ur
”
(Bài tập 10 SGK Hình học trang 12)
- Kiểu nhiệm vụ T2 nhằm mục đích củng cố định nghĩa tọa độ của vectơ và các công thức về tọa độ của
các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
. Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này các vectơ được cho dưới dạng phân
tích theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ vuông góc hoặc cho trước tọa độ. Không có bài tập nào
cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Kỹ thuật để giải quyết đơn giản chỉ áp dụng trực tiếp định nghĩa
và các công thức.

- Kiểu nhiệm vụ T3 giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi một hệ thức vectơ thành một hệ thức
vectơ. Tương tự như ở SGK 2000 số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này nhiều hơn so với các kiểu
nhiệm vụ khác. Điều này cho thấy yêu cầu rèn luyện kỹ năng biến đổi các hệ thức vectơ là một yêu cầu
trọng tâm. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được đưa ra tường minh mà chỉ ngầm ẩn qua
lời giải các ví dụ và bài tập.
- Mục đích của kiểu nhiệm vụ T4 là giúp học sinh biết cách vận dụng định nghĩa và biểu thức tọa độ để
tính tích vô hướng của hai vectơ. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đơn giản chỉ vận dụng định
nghĩa và công thức để tính. Vì trong phần lý thuyết không trình bày công thức hình chiếu nên không có
bài tập liên quan đến việc sử dụng kỹ thuật này để tính tích vô hướng.
- Kiểu nhiệm vụ T5 không xuất hiện trong SGK năm 2000 vì trong SGK 2000 không đưa vào định lí về
phân tích vectơ qua cơ sở. Trong kiểu nhiệm vụ t
R
51
R đề bài cho dưới dạng ngôn ngữ vectơ, khi đó kỹ
thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp vectơ. Trong kiểu nhiệm vụ t
R
52
R đề bài cho bằng ngôn ngữ
tọa độ, kỹ thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp tọa độ. Các kỹ thuật không được trình bày tường
minh mà ngầm ẩn qua lời giải ví dụ và bài tập. Yếu tố công nghệ được trình bày tường minh trong
SGK.
- Kiểu nhiệm vụ T6 nhằm mục đích rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ từ vectơ sang hình học tổng hợp
và ngược lại đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi trên một hệ thức vectơ. Kỹ thuật không được trình
bày tường minh trong SGK hiện hành mà ngầm ẩn qua lời giải các bài tập.
- Các kiểu nhiệm vụ từ T7 đến T9 liên quan đến phương diện công cụ của vectơ. Các bài tập thuộc các
kiểu nhiệm cụ này được cho bằng ngôn ngữ tổng hợp, ngôn ngữ vectơ hoặc ngôn ngữ tọa độ. Nếu đề
bài cho bằng ngôn ngữ tổng hợp hoặc ngôn ngữ vectơ thì kỹ thuật để giải quyết tương ứng sẽ dựa vào
các phép biến đổi vectơ, nếu đề bài cho bằng ngôn ngữ tọa độ thì kỹ thuật giải chủ yếu dựa vào các
công thức về tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm. Dựa vào kết quả thống kê ở trên ta thấy số lượng bài
tập liên quan đến phương diện công cụ của vectơ rất ít. Điều đó cho thấy việc sử dụng vectơ để giải

toán không được xem là mục đích quan trọng.
- Kiểu nhiệm vụ T3 (chứng minh một đẳng thức vectơ) có số bài tập nhiều nhất. Điều này cho thấy
trong SGK hiện hành việc rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ
vẫn là yêu cầu trọng tâm.
III. Kết luận:
Trong thể chế I1, vectơ vừa đóng vai trò là đối tượng vừa là công cụ để nghiên cứu hình học.
Trong đó công cụ vectơ được sử dụng chủ yếu để xây dựng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam
giác, phép biến hình, quan hệ vuông góc trong không gian và các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa
độ. Việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán hình học không được chú trọng, điều này thể hiện qua số
lượng bài tập tương ứng với các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương diện công cụ của vectơ rất ít.
Trong SGK hình học hiện hành, vectơ mang hai nghĩa: vectơ buộc, vectơ tự do. Khái niệm vectơ
buộc được trình bày tường minh còn khái niệm vectơ tự do chỉ được nói đến một cách ngầm ẩn.
CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên môn
vật lý. Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Trong thể chế I2, khái niệm
vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào? Vectơ được đưa vào
trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong toán học? Các đặc trưng định hướng của vectơ
được đề cập đến như thế nào? Có những tổ chức vật lý nào liên quan đến khái niệm vectơ?
Phân tích trên dựa vào các tài liệu sau:
Vật lý 8 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Bùi Gia Thịnh (Chủ biên)
Vật lí 9 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Đoàn Duy Hinh (Chủ biên)
Vật lý 10 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên kiêm Chủ biên)
Vật lý 11(cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)
Vật lí 12 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)
Sách giáo viên ở các khối lớp tương ứng.
2.1. Phân tích chương trình:
Vectơ bắt đầu xuất hiện lần đầu tiên ở chương trình vật lý 8 trong bài “Biểu diễn lực”với vai trò là
công cụ biểu diễn đại lượng vectơ cụ thể là biểu diễn lực.
“Ngay từ lớp 6 ta đã biết một lực không những có độ lớn mà còn có phương và chiều. Một đại
lượng vừa có độ lớn, vừa có phương và chiều là một đại lượng vectơ”

“Để biểu diễn vectơ lực người ta dùng một mũi tên có:
- Gốc là điểm mà lực tác dụng lên vật (gọi là điểm đặt của lực).
- Phương và chiều là phương và chiều của lực.
- Độ dài biểu diễn cường độ của lực theo một tỉ xích cho trước
Vectơ lực được kí hiệu bằng chữ F có mũi tên ở trên:
F
ur
. Cường độ của lực được kí hiệu bằng chữ
F không có mũi tên ở trên: F ” (SGK Vật lí 8 trang 15)
Qua đó vectơ dùng để biễu diễn lực gồm có các đặc trưng: gốc (điểm đặt), phương, chiều và độ dài.
Vectơ này mang nghĩa vectơ buộc. Phương và chiều của vectơ được hiểu thông qua phương và chiều
của lực. Chương trình vật lí 8 nghiên cứu các lực: lực ma sát (có phương nằm ngang), lực đẩy Ác-si-
mét (có phương thẳng đứng). Vectơ lực được dùng để minh họa trực quan cho các đặc trưng của lực
được đề cập đến.
Trong chương trình vật lí 9, vectơ được dùng để biểu diễn cho lực điện từ. Lực điện từ được
nghiên cứu trong bài “Lực điện từ” ở chương II “Điện từ học”. Trọng tâm của bài là xác định chiều của
lực điện từ do từ trường tác dụng lên đoạn dây dẫn có dòng điện chạy qua đặt trong từ trường. Chiều
của lực điện từ được xác định bằng quy tắc bàn tay trái: “Đặt bàn tay trái sao cho các đường sức từ
hướng vào lòng bàn tay, chiều từ cổ tay đến ngón tay giữa hướng theo chiều dòng điện thì ngón tay cái
choãi ra 90
P
0
P chỉ chiều của lực điện từ”( SGK Vật lí 9 trang 74)
Ở đây, điểm đặt và phương của lực điện từ không được nêu lên tường minh mà ngầm ẩn thể hiện trên
hình vẽ. Vectơ đóng vai trò minh họa trực quan cho các đặc trưng (đặc biệt là chiều) của lực điện từ.
Ở chương trình vật lí 10, công cụ vectơ được dùng trong việc nghiên cứu các đại lượng vectơ :
vận tốc, gia tốc, lực và động lượng.
-Vận tốc, gia tốc được nghiên cứu trong chương “ Động học chất điểm”. Để biểu diễn các đại
lượng này chương trình đưa vào các khái niệm vectơ vận tốc và vectơ gia tốc.
“ Vectơ vận tốc tức thời của một vật tại một điểm là một vectơ có gốc tại vật chuyền động, có

hướng của chuyển động và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của vận tốc tức thời theo một tỉ xích nào đó.”
(SGK Vật lí 10 trang 16-17)
“Vì vận tốc là đại lượng vectơ nên gia tốc cũng là đại lượng vectơ:
0
0
vv
v
a
tt t
−
∆
= =
−∆
r uur
r
r
”( SGK Vật lí 10
trang 18)
Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vectơ gia tốc có gốc ở vật chuyển động, có phương và
chiều trùng với phương và chiều của vectơ vận tốc và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo
một tỉ xích nào đó.”(SGK Vật lí 10 trang 18)
“Vectơ gia tốc của chuyển động thẳng chậm dần đều ngược chiều với vectơ vận tốc” (SGK Vật lí
10 trang 20)
“Trong chuyển động tròn đều, tuy vận tốc có độ lớn không đổi, nhưng có hướng luôn thay đổi, nên
chuyển động này có gia tốc. Gia tốc trong chuyển động tròn đều luôn hướng vào tâm của quỹ đạo
nên gọi là gia tốc hướng tâm” (SGK Vật lí 10 trang 32)
Các vectơ này là vectơ buộc vì nó gắn với vật chuyển động. Khi đó các mối quan hệ về phương, chiều
và độ lớn của các đại lượng vận tốc và gia tốc được thể hiện bằng các hệ thức vectơ thông qua các phép
toán vectơ.
- Lực được nghiên cứu trong các chương “Động lực học chất điểm”, “Cân bằng và chuyển động

của vật rắn”. Sau khi nhắc lại khái niệm lực và biểu diễn lực bằng vectơ SGK trình bày thí nghiệm
chứng tỏ việc tổng hợp lực áp dụng các quy tắc tìm tổng các vectơ: quy tắc hình bình hành. Điều này
chứng tỏ lực là đại lượng vectơ. Khi đó ngoài vai trò biểu diễn lực vectơ còn là công cụ để tổng hợp và
phân tích lực.
“Tổng hợp lực là thay thế các lực tác dụng đồng thời vào cùng một vật bằng một lực có tác dụng
giống hệt như các lực ấy. Lực thay thế này gọi là hợp lực.
Quy tắc hình bình hành: Nếu hai lực đồng quy làm thành hai cạnh của một hình bình hành, thì
đường chéo kẻ từ điểm đồng quy biểu diễn hợp lực của chúng. Về mặt toán học ta viết:
12
FFF= +
u r u ur u ur
” (SGK Vật lí 10 trang 56)
“Muốn tổng hợp hai lực có giá đồng quy tác dụng lên một vật rắn, trước hết ta phải trượt hai vectơ
lực đó trên giá của chúng đến điểm đồng quy, rồi áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực”
(SGK Vật lí 10 trang 98)
Trường hợp tìm hợp lực của hai lực song song cùng chiều tác dụng lên vật rắn thì vận dụng quy tắc:
“a) Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song, cùng chiều và có độ lớn bằng
tổng các độ lớn của hai lực ấy.
b) Giá của hợp lực chia khoảng cách giữa hai giá của hai lực song song thành những đoạn tỉ lệ
nghịch với độ lớn của hai lực ấy:

12
FFF= +
;
2
12
1
Fd
Fd
=

(chia trong)” (SGK Vật lí 10 trang 105)
Qua đó, vectơ biểu diễn cho lực tác dụng vào chất điểm là vectơ buộc vì nó gắn với chất điểm và vấn
đề tổng hợp và phân tích lực chỉ đặt ra khi các lực có chung điểm đặt. Trong trường hợp lực tác dụng
lên vật rắn thì tác dụng của lực không thay đổi khi di chuyển vectơ lực trên giá của nó và việc tổng hợp
hay phân tích lực được thực hiện khi các lực có giá đồng quy hoặc có giá song song. Do đó vectơ biểu
diễn cho lực tác dụng lên vật rắn là vectơ trượt.
Các đặc trưng của lực và một số loại lực cụ thể được phát biểu dưới dạng các định luật. Khi đó công cụ
vectơ được dùng để mô tả các định luật này dưới dạng một công thức toán học để có thể tính toán được
và làm cho các phát biểu trở nên gọn gàng hơn.
- Khái niệm động lượng được nghiên cứu trong chương “Các định luật bảo toàn”. Ở đây, công
cụ vectơ được dùng để định nghĩa động lượng và giải thích định luật bảo toàn động lượng. Vectơ biểu
diễn động lượng cũng là vectơ buộc.
Trong chương trình vật lí 11 vectơ được dùng để nghiên cứu các đại lượng vectơ: cường độ
điện trường và cảm ứng từ. Cường độ điện trường được nghiên cứu trong chương “Điện tích –Điện
trường”, còn cảm ứng từ được nghiên cứu trong chương “ Từ trường”. Chương trình đưa vào khái niệm
vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng từ:
“Vì lực F là đại lượng vectơ, còn điện tích q là đại lượng vô hướng, nên cường độ điện trường E
cũng là đại lượng vectơ. Cường độ điện trường được biểu diễn bằng một vectơ gọi là vectơ cường
độ điện trường:
F
E
q
=
ur
ur

Vectơ cường độ điện trường
E
ur
có:

-phương và chiều trùng với phương và chiều của lực điện tác dụng lên điện tích thử q dương;
- chiều dài(môđun) biểu diễn độ lớn của cường độ điện trường theo một tỉ xích nào đó.”( SGK Vật
lí 11 trang 16)
“Người ta biểu diễn cảm ứng từ bằng một vectơ gọi là vectơ cảm ứng từ, kí hiệu là
B
ur
. Vectơ cảm
ứng từ
B
ur
tại một điểm:
-có hướng trùng với hướng của từ trường tại điểm đó;
-có độ lớn là:
F
B
Il
=
”( SGK Vật lí 11 trang 126)
Các vectơ này có vai trò mô tả trực quan đặc trưng của các đại lượng cường độ điện trường và cảm ứng
từ tại một điểm trong điện trường hoặc từ trường. Vì các vectơ này liên kết với một điểm cố định trong
điện trường hoặc từ trường nên chúng cũng là các vectơ buộc.
Công cụ vectơ còn được dùng để xác định cường độ điện trường tổng hợp và cảm ứng từ tổng hợp tại
một điểm nhờ vào các nguyên lý chồng chất điện trường và từ trường: