một nghiên cứu didactic về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI
QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ
VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI
QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ
VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Chân thành cảm ơn đến: PGS.TS. Lê Thò Hoài Châu, PGS.TS. Lê
Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ
tôi trong suốt khoá học Thạc só.
Ban Giám hiệu Trường THPT Phú Quốc đã tạo điều kiện cho tôi
trong suốt thời gian học tập; các đồng nghiệp luôn quan tâm, chia sẽ; các
thầy cô tổ Toán – Tin Trường THPT Phú Quốc đã giúp đỡ tôi hoàn thành
thực nghiệm luận văn này,
Ban Chủ nhiệm khoa Toán, lãnh đạo và chuyên viên phòng SĐH đã
giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi.
Các bạn học viên, đặc biệt là các bạn học viên didactic khóa 20
đã thông cảm, chia sẽ, động viên và giúp đỡ nhau vượt qua những khó
khăn trong thời gian học tập, nghiên cứu.
Gia đình và những người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian học tập.

Lý Tấn Tài


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

M1 :

Sách giáo khoa lớp 6

M2 :

Sách giáo khoa lớp 7

M3 :

Sách giáo khoa lớp 12 – chương trình nâng cao

SGK :

Sách giáo khoa

SGV :

Sách giáo viên

THCS :

Trung học cơ sở

THPT :

Trung học phổ thông

HS

Học sinh


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực ..........................................................................6
Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ ............................................14
Bảng 2.1. So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT ............28
Bảng 2.2. So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri
thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy ..............................................................29
Bảng 2.3. Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa. ..............30
Bảng 2.4. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1 ..........................34
Bảng 2.5. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M2 ..........................40
Bảng 2.6. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M3 ..........................52
Bảng 2.7. Sự tiến triển của các tổ chức toán học ......................................................53
Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược giải bài toán 1 của học sinh ..............................67
Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược giải bài toán 2 của học sinh ..............................68
Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược giải bài toán 3 của học sinh ..............................70


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Mục lục
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC KHOA HỌC .........................................................................................4
1. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2] .......................................................................4
2. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3] .......................................................................8
3. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1] .......................................................................9
CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA TRONG
CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC ...................................................................................16
1. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THCS ..............................................16

1.1. Phân tích chương trình ............................................................................16
1.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................17
2. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT ..............................................19
2.1. Phân tích chương trình ............................................................................19
2.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................20
3. Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ........................30
3.1. Các tổ chức toán học trong M1 ...............................................................30
3.2. Các tổ chức toán học trong M2 ...............................................................34
3.3. Các tổ chức toán học trong M3 ...............................................................40
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................57
1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ....................................................................57
2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ...................................57
2.1. Bài toán 1 và bài toán 2...........................................................................57
2.2. Bài toán 3 .................................................................................................63
3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm .............................67
KẾT LUẬN ..............................................................................................................73
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phụ lục


MỞ ĐẦU
1. CÂU HỎI MỞ ĐẦU
Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó
lũy thừa bậc n (n là số tự nhiên) của một số thực a là tích của n thừa số a:
a n = a.a. ... .a .



n thöøa soá

Đến lớp 12, lũy thừa được mở rộng với số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỷ, và
số mũ vô tỷ. Cùng với sự mở rộng phạm vi số mũ, điều kiện của cơ số cũng có sự
thu hẹp tương ứng.
Sự thay đổi này đã gây không ít khó khăn cho học sinh từ đó dẫn đến những
sai lầm mắc phải trong việc tiếp nhận khái niệm này. Chẳng hạn, sai lầm của học
sinh khi đồng nhất hàm chứa căn với hàm lũy thừa; sai lầm khi dùng máy tính bỏ túi
tính giá trị của một lũy thừa với số mũ hữu tỉ có cơ số âm nhưng vẫn cho ra một giá
trị xác định, mặc dù lũy thừa này không tồn tại theo định nghĩa hiện hành.
Trước thực tế như vậy, chúng tôi đặt ra các câu hỏi:
Q’1: Trong hệ thống dạy học, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được xây
dựng như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?
Q’2: Trong chương trình phổ thông, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được
trình bày như thế nào?
Q’3: Những ràng buộc của chương trình có tác động như thế nào đến học sinh khi
học về các khái niệm này?
2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
Chúng tôi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của didactic toán. Cụ thể chúng
tôi sử dụng các khái niệm: chuyển đổi didactic; quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ
chức toán học của lý thuyết nhân chủng học; hợp đồng didactic.
Chuyển đổi didactic: nhằm làm rõ sự chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri
thức cần giảng dạy, xem sự chuyển đổi này có phù hợp với mục tiêu đưa vào khái
niệm này hay không?
Lý thuyết nhân chủng học: phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái
niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa từ đó làm rõ mối quan hệ thể chế, quan hệ cá


nhân đối với hai khái niệm này.
Hợp đồng didactic: tìm ra những quy tắc hợp đồng ngầm ẩn giữa giáo viên
và học sinh từ đó giải mã cho những cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải
quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan.

3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ
thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình
bày như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?
Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa xuất
hiện và tiến triển như thế nào?
Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải
quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm này ?
4. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 3. Cụ
thể: thứ nhất, tìm hiểu sự hình thành và tiến triển của khái niệm lũy thừa và hàm số
lũy thừa ở chương trình phổ thông; thứ hai, xác định các sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa của một số
và hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc của những sai lầm này để từ đó có
những điều chỉnh trong cách dạy học, nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong giảng
dạy.
Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi phân tích nhằm làm rõ các cách tiếp
cận khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa.
Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tôi phân tích chương trình, sách giáo
khoa và các tổ chức toán học liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa
ở cấp độ THCS và THPT nhằm làm rõ sự hình thành và tiến triển của chúng qua các
khối lớp.
Kết quả phân tích ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy, chúng
tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu.


Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm để kiểm chứng những giả
thuyết đã đặt ra.

5. TỔ CHỨC LUẬN VĂN
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận.
Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất
phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp
nghiên cứu, tổ chức luận văn.
Chương 1, trình bày kết quả phân tích về cách xây dựng lũy thừa của một số
và hàm số lũy thừa trong một số giáo trình đại học.
Chương 2, trình bày kết quả về phân tích chương trình, sách giáo khoa, các
tổ chức toán học ở THCS và THPT gắn với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa.
Đặt ra giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3, trình bày bộ câu hỏi thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và phân
tích hậu nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm.
Phần kết luận, trình bày kết qủa đạt được của luận văn và đề cập những
hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn.


Chương 1
KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC
KHOA HỌC
Mục tiêu của chương
Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm
số lũy thừa được trình bày như thế nào trong các tài liệu ở bậc đại học? Chúng có
những cách tiếp cận nào?
Tài liệu tham khảo
1. Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà
Nội. [1]
2. Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông,
Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh.
3. Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry. [2]
4. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series. [3]

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá
chi tiết về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa, hơn nữa các tài liệu này trình bày
các cách khác nhau khi xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa.
1.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2]
Tài liệu này chỉ trình bày về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không,

số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ; không trình bày lũy thừa với số mũ thực và hàm
số lũy thừa.
Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ
nguyên âm và số mũ hữu tỉ được trình bày cụ thể và chứng minh chi tiết.
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Cho a là một số thực và n là số nguyên dương, an là tích của n thừa số a; a
gọi là cơ số và n gọi là số mũ.
Lũy thừa với số mũ nguyên dương có các tính chất sau:
a) Quy tắc nhân: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì
a m .a n = a m + n .

b) Quy tắc chia: cho a là một số thực khác không; m, n là các số nguyên dương sao


cho m > n thì

am
= a m−n .
n
a

Nếu a ≠ 0 và n > m thì

am
1
= n−m .
n
a
a

c) Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên
dương thì ( a m ) = a m.n .
n

d) Quy tắc lũy thừa của một tích: cho a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì

( ab )

n

= a nb n .

e) Quy tắc lũy thừa của một thương: cho a, b là các số thực, b ≠ 0 và n là số
a

n

an

nguyên dương thì   = n .
b
b

Lũy thừa với số mũ không
Lũy thừa với số mũ không xuất hiện khi mở rộng điều kiện của m trong quy
tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = n, giả sử công thức

am
= a m − n vẫn
n
a

an
−n
a n=
a0 .
1 =
đúng trong trường hợp số mũ bằng không, thì=
n
a

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: ∀ a ∈ ℝ và a ≠ 0, a0 =1.

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa với số mũ nguyên âm xuất hiện khi mở rộng điều kiện của n trong
quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = -n, giả sử công thức
n
0
a=
1 , từ đó suy ra
a m .a n = a m + n vẫn đúng trong trường hợp số mũ âm thì a n .a −=

a−n =

1
.
an

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: cho a là số thực khác không và n là số
nguyên dương, a − n =

1
.
an

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của một số
thực.


Định nghĩa căn bậc n: cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và a là số thực bất
kì, căn bậc n của a là số b sao cho bn = a.
Theo định nghĩa này, kết quả về căn bậc n của một số thực a được tóm tắt
như sau:
Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực
n chẵn

n lẻ

Có hai căn bậc n của a.
Giá trị dương kí hiệu:

a>0

n

Có duy nhất một căn bậc n của a,

a.

kí hiệu:

Giá trị âm kí hiệu: − a .

n

a.

n

Có duy nhất một căn bậc n Có duy nhất một căn bậc n của a,
a=0
của a, kí hiệu

n

0 = 0.

kí hiệu

n

0 = 0.

Có duy nhất một căn bậc n của a,
a<0

Không tồn tại.
kí hiệu:

n

a.

Trước khi đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ, tài liệu [2] nhận xét:
1
n

cho a là một số thực và n là số nguyên dương. Giả sử a có nghĩa và công thức

(a )

m n

n

=a

mn

1
.n

 1
1
1
a . Điều này chứng tỏ
vẫn còn đúng khi m = thì  a n = a n = a=
n
 

1
n

rằng a là một căn bậc n của a.
Từ kết quả về căn bậc n của một số thực a và nhận xét trên, tài liệu [2] đưa ra
các định nghĩa:
• Định nghĩa 1
1
n

Nếu a là số thực không âm và n là số nguyên dương, a chỉ căn bậc n của số
không âm a, còn kí hiệu là

n

a.
1

Nếu a là số âm và n là số nguyên dương lẻ thì a n chỉ căn bậc n của a, còn kí
hiệu là

n

a.


1

Nếu a là số âm và n là số chẵn thì không định nghĩa a n .
Tiếp theo, tài liệu [2] nhận xét: Cho a là số thực dương; m, n là các số
nguyên, n > 0. Nếu a

m
n

có nghĩa và nếu công thức ( a n ) = a nm vẫn còn đúng khi
m

m

m
1
m
1
.m
 1n 
1
n
n
n
a
a=  a  . Như vậy, a là lũy thừa bậc m của a n .

thay n bằng thì =
n
 

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu
tỉ:
• Định nghĩa 2
m
tối giản; số thực a và giả sử
n

Cho m, n là các số nguyên, n > 0 và phân số

a không âm khi n chẵn, thì a

m
n

m

 1n 
chỉ lũy thừa m của a . Tức là a =  a  .
 
1
n

m
n

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ

nguyên dương.
Nhận xét về tài liệu [2]
Lũy thừa với số mũ nguyên dương a n là tích của n thừa số a. Các tính chất
của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính chất của phép nhân trên
tập số thực.
Lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được mở rộng từ
lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn các tính chất của lũy thừa
với số mũ nguyên dương:
+ Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) .
+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm a-n là nghịch đảo của an: a − n =
 1n 
+ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a= a=  a 
 
r

m
n

m

trong đó

1
(a ≠ 0) .
an

m
là phân số tối
n

giản và căn bậc n của a tồn tại.
Do tài liệu [2] không trình bày về lũy thừa với số mũ vô tỉ nên chúng tôi
chưa biết được cách tiếp cận định nghĩa này từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ


hữu tỉ như trên.
2.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3]
Tài liệu này chỉ trình bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ

nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa.
Lũy thừa của một số
Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu
[2]. Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau:
Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng xk (với k là số nguyên dương ≥ 2)
được định nghĩa là tích của k thừa số, tất cả đều bằng x. Ta kí hiệu: x1 nghĩa là chính
nó; khi x ≠ 0, x0 bằng 1, x-k bằng

1
(k = 1, 2, 3, …). Vì thế xp được định nghĩa cho
k
x

mọi số nguyên p. Định nghĩa này thỏa 3 quy tắc cơ bản sau: x p x q = x p + q ,
x p . y p = ( xy ) ; ( x p ) = x pq . Từ các quy tắc này có thể suy ra được các quy tắc khác.
q

p

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ cũng được định nghĩa dựa trên căn bận n của một
số thực.
Tài liệu [3] không trình bày định nghĩa căn bậc n của một số, mà chỉ đưa ra
nhận định: Cho a là số thực dương, căn bậc n của a là số thực mà lũy thừa bậc n của
nó bằng a. Từ nhận định này, tài liệu [3] đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu
m

tỉ: Cho a > 0, a n = n a m (m , n ∈ ; n > 0) .
Lũy thừa với số mũ thực
Quá trình định nghĩa lũy thừa với số mũ thực có thể được tóm tắt như sau:
Cho (x n ) là dãy hữu tỉ đơn điệu tăng, (y n ) là dãy hữu tỉ đơn điệu giảm sao
cho: xn ≤ yn với mọi n và hiệu số d n = y n – x n tạo thành một dãy có giới hạn là 0.
Khi đó ta được một dãy các khoảng lồng nhau thắt dần, trong đó khoảng thứ n là

( xn ; yn ) . Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này được kí hiệu là ( xn | yn ) .
Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này có giao duy nhất, giả sử là s và được


kí hiệu: ( xn | yn ) = s .
Cho ( xn | yn ) = s là dãy các khoảng lồng nhau thắt dần bất kì và số thực
dương a. Khi đó ( a xn | a yn ) với a > 1 hoặc ( a yn | a xn ) với a < 1 cũng là dãy các
khoảng lồng nhau thắt dần, như vậy chúng có giao duy nhất là phần tử δ. Ta kí hiệu:

δ = as .
Sau đó, tài liệu [3] đưa ra nhận xét: khi s là số hữu tỉ thì định nghĩa này hoàn
toàn phù hợp với các định nghĩa đã được xây dựng trước đó.
Nhận xét tài liệu [3]
Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên được trình bày giống tài liệu [2].

m
n

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cơ số dương: a =

( a)
n

m

.

Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương, khái niệm này
được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số: aα là giới hạn của dãy số ( a xn ) ,
trong đó ( xn ) là dãy số hữu tỉ có giới hạn là α.
3.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1]
Lũy thừa của một số
Tài liệu này không trình bày định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số

mũ nguyên. Tuy nhiên trong phần nhận xét mà tài liệu này nêu ra sau khi định nghĩa
hàm số mũ cơ số e:
“Mệnh đề: exp1 = e .
1
n

Cho tới lúc này thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta

thấy expt trùng với et trong hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6).

Đoạn trích trên chứng tỏ tài liệu [1] đã thừa nhận định nghĩa và các tính chất
của lũy thừa với số mũ nguyên.
Lũy thừa với số mũ bất kì được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số a.
Quá trình này có thể được tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ
→ Hàm logarit cơ số a → hàm mũ cơ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực.
Hàm logarit nêpe


Hàm logarit nêpe, ký hiệu là ln, ánh xạ từ *+ vào ℝ định nghĩa như sau:
x

dt
.
t
1

∀x ∈  , ln x =∫
*
+

Hàm mũ
Vì ánh xạ ln : *+ →  liên tục, tăng nghiêm ngặt, và vì lim ln = +∞ ,
+∞

lim
ln = −∞ , nên ánh xạ ln có ánh xạ ngược, ánh xạ ngược này được gọi là hàm mũ,
+
0

ký hiệu là exp :  → *+ .
Sau khi xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa ra nhận xét: “Cho tới lúc này
1
n

thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta thấy expt trùng với et

trong hai trường hợp này. Như vậy chúng ta có thể thác triển kí hiệu et cho trường
hợp t ∈ ℝ bằng cách đặt: ∀x ∈ , et =exp t ” (Giải tích 2, tr.10).
Hàm logarit cơ số a

Hàm logarit cơ số a, kí hiệu là log a , là ánh xạ từ *+ vào ℝ được xác định
ln x
.
ln a

như sau: ∀x ∈ *+ , log a x =
Hàm mũ cơ số a

log a .

Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là exp a , là ánh xạ từ ℝ vào *+ ngược với ánh xạ
Hàm số mũ cơ số a có các tính chất sau:
, y exp a x ⇔=
x log a y
• ∀( x, y ) ∈ (  × *+ ) =
2

• ∀x ∈ , exp a x =e x ln a
• Hàm số exp a thuộc lớp C ∞ trên  và ∀x ∈ *+ , ( exp a ) '( x) =( ln a )( exp a x )

• exp a (0) = 1
exp a ( x ) .exp a ( y )
• ∀( x, y ) ∈  2 , exp a ( x + y ) =
1
exp a x

• ∀x ∈ , exp a (− x) =


• ∀a ∈ (1; +∞) \ {1}, ∀x ∈ , exp 1 x =
a

1
exp a x

Sau khi xây dựng xong hàm mũ cơ số a, tài liệu [1] nhận xét: “Cho đến lúc
này thì kí hiệu ax đã được định nghĩa khi ( a ∈ *+ và x ∈ ℤ hay

1
, x ∈ * ), hoặc khi
x

a = e. Trong các trường hợp đó, ta có:

ln ( a x ) = x ln a
, do đó ax = exp a (x).

ln ( exp a x ) = x ln a

Như vậy, ta có thể thác triển kí hiệu ax ra trường hợp x ∈ ℝ bằng cách định

nghĩa: ∀x ∈ , a x =exp a x .” (Giải tích 2, tr.12)

Sau đó, tài liệu [1] trình bày lại các tính chất của exp a khi thay kí hiệu exp a x
bởi a x .
Như vậy, aα là giá trị của hàm số exp a tại α, với a là một số thực dương và α
là một số thực bất kì.
Hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e: “Cho α ∈ ℝ,

hàm số lũy thừa với số mũ α là ánh xạ từ *+ vào ℝ, ở đây được kí hiệu là pα và

được xác định như sau: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x .” (Giải tích 2, tr.15)

Vì hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ nên hàm số lũy
thừa có đầy đủ các tích chất của hàm số mũ. Tài liệu [1] trình bày chi tiết về hàm số
lũy thừa p α :
→ 0 , và do đó ta có thể thác triển liên tục phải hàm
Nếu α > 0 thì eα ln x 
x → 0+

số p α bằng cách đặt p α (0) = 0.
Ánh xạ pα thuộc lớp C ∞ trên (0 ; +∞) và :
α α ln x
 '
(α −1) ln x
α e=
α eα −1
pα ( x) =
e

=
x
∀x ∈ (0; +∞), 
α −2
 pα''=
 ( x) α (α − 1) x

Nếu α > 0 thì p α khả vi tại 0 và pα' (0) = 0 .


→ +∞ .
Nếu α < 0 thì p α không khả vi tại 0 và pα' (0) 
x → 0+

Bảng biến thiên của hàm số p α :
Trường hợp α < 0
0

x
'

Trường hợp α > 0
+∞

x

–

pα ( x)

+∞

0

'

+

pα ( x)

+∞

+∞

pα ( x)

pα ( x)

0

0

Đồ thị của hàm số lũy thừa

Nhận xét tài liệu [1]
Lũy thừa với số mũ nguyên tuy không được trình bày, nhưng ngầm ẩn chúng
được hiểu như trong tài liệu [2] và [3].
Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương: aα là giá trị của
hàm số exp a tại α.
Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng

như trong tài liệu [2] và [3] nhưng khi α là số nguyên thì định nghĩa này hoàn toàn
phù hợp với các kiến thức về lũy thừa đã biết trước đó. Như vậy, các tính chất của
lũy thừa được bảo toàn.
Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm mũ cơ số e:
∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x . Hàm số lũy thừa có tập xác định là (0 ; +∞) với mọi số

mũ α, và là hàm số đơn điệu.
Kết quả phân tích trên cho thấy sự xuất hiện độc lập của lũy thừa của một số


và hàm số lũy thừa. Chúng đều là kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a.
Kết quả phân tích tài liệu [1] có những nét tương đồng với kết luận về sự mở
rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học
phổ thông” của Nguyễn Hữu Lợi. Kết quả về tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa
trong luận văn này được tóm tắt như sau:
Có 2 tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên dương sang số
mũ thực:
Tiến trình 1: “hàm logarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa cơ số e → hàm mũ
cơ số a → lũy thừa cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở
trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình
này, lũy thừa với số mũ thực trước hết được định nghĩa cho cơ số e. Các tính chất
của ex (x ∈ ℝ) là cơ sở để xây dựng hàm mũ cơ số a (a > 0). Lũy thừa với số mũ

thực bất kì được định nghĩa từ hàm số mũ cơ số a, các tính chất của lũy thừa cũng
được suy ra từ tính chất của hàm số mũ cơ số a.
Tiến trình 2: “hàm lôgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực cơ số e → lũy
thừa thực cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung
học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình này, lũy thừa
với số mũ thực trước hết cũng được định nghĩa cho cơ số e, kết quả này là cơ sở để
xây dựng lũy thừa với số mũ thực cơ số a (a > 0) . Tính chất của lũy thừa với số mũ

thực cơ số a được suy ra từ tính chất của ex.
Kết quả phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa của một số trong tài
liệu [1] giống tiến trình 1 trong luận văn của Nguyễn Hữu Lợi.


KẾT LUẬN
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa là tích của n thừa số a:
a n = a.a. ... .a . Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính


n thöøa soá

chất của phép nhân trên tập số thực.
2. Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với
số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
dương.
+ Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) .
+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm a −n
a−n =

là nghịch đảo của a n :

1
(n ∈  + ) .
an

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết quả về lũy thừa với số mũ hữu tỉ được tóm
tắt như sau:
Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa 1

 1n 
a= a=  a 
 
r

m
n

m

Định nghĩa 2
m
n

trong đó a= a=
r

m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + , phân số

m
n

n

a

m

trong đó

a > 0 , m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + .

Định nghĩa 3
aα = exp a α

trong

đó

a > 0.

1

tối giản và a n tồn tại.

4. Lũy thừa với số mũ thực: kết quả về lũy thừa với số thực được tóm tắt như
sau:
Bảng 1.3. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ thực
Định nghĩa 1
aα = lim a rn trong đó lim rn = α , a > 0 .

Định nghĩa 2
a x = exp a x trong đó a > 0 .

Hai định nghĩa này cũng là hai cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.
5. Các quy tắc tính lũy thừa được bảo toàn với mọi số mũ.
6. Hàm số lũy thừa được định nghĩa dựa vào hàm số mũ cơ số e:


∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x . Hàm số lũy thừa xuất hiện như là một kết quả của việc

xây dựng hàm số mũ cơ số a.
Như vậy, có hai cách xây dựng lũy thừa của một số. Cách 1: lũy thừa của
một số được xây dựng theo hướng mở rộng số mũ: số mũ nguyên dương → số mũ 0
và số mũ nguyên âm → số mũ hữu tỉ → số mũ thực. Cách 2: lũy thừa của một số là
kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a.
Việc xây dựng hàm số lũy thừa hoàn toàn không dựa vào kết quả lũy thừa
của một số, chúng xuất hiện độc lập với nhau.


Chương 2

KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC
Mục tiêu của chương
Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm
số lũy thừa xuất hiện và tiến triển như thế nào trong các thể chế dạy học ở trường
phổ thông? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền với các khái niệm này?
Để trả lời cho các câu hỏi đặt ra, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình
và sách giáo khoa lớp 6, 7 và lớp 12 hiện hành. Đối với lớp 12, chúng tôi chọn phân
tích sách 12 chương trình nâng cao, đồng thời có sự đối chiếu với sách 12 chương
trình chuẩn.
1.

Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở (THCS)

1.1. Phân tích chương trình
a)

Sách giáo khoa lớp 6 (M1)

Chương trình của môn đại số 6 gồm 3 chương: chương I – ÔN TẬP VÀ BỔ

TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN, chương II – SỐ NGUYÊN và chương III – PHÂN SỐ.
Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và chương II.
Chương I (39 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày ở §7 – Lũy thừa với số
mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số (1 tiết), §8 – Chia hai lũy thừa cùng cơ
số (1 tiết), Luyện tập về lũy thừa (1 tiết). Bên cạnh đó, lũy thừa còn là công cụ dùng
để viết gọn tích của các thừa số giống nhau khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số
nguyên tố (§15 – Phân tích một số ra thừa số nguyên tố).
Chương II, khái niệm lũy thừa được trình bày ở §12 – Tính chất của phép
nhân (khái niệm lũy thừa được trình bày dưới dạng một chú ý)
b)

Sách giáo khoa lớp 7 (M2)
Chương trình của môn đại số 7 gồm 4 chương: chương I – SỐ HỮU TỈ. SỐ

THỰC, chương II – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ, chương III – THỐNG KÊ, và chương
IV – BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và IV.
Chương I (23 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày trong §5, 6 – Lũy thừa


của một số hữu tỉ (2 tiết), luyện tập về lũy thừa (1 tiết).
Chương IV, §3 – Đơn thức, lũy thừa xuất hiện với vai trò là một trong những
công cụ để nhân hai đơn thức.
1.2. Phân tích sách giáo khoa
Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích M1 và M2 song song với nhau nhằm
tìm hiểu cách trình bày khái niệm lũy thừa ở hai bậc học (lớp 6 và lớp 7), để từ đó
làm rõ quan hệ thể chế đối với khái niệm lũy thừa.
Khái niệm lũy thừa của một số
M1 tiếp cận khái niệm lũy thừa bằng hoạt động “ a + a + a + a =

a.4 , còn
a.a.a.a = ? ” (M1, tr.26), sau đó giới thiệu cách viết gọn biểu thức chứa tích của các

thừa số giống nhau bằng cách dùng lũy thừa “người ta viết 2.2.2 thành 23; a.a.a.a
thành a4” (M1, tr.26). Khái niệm lũy thừa được M1 trình bày như sau: “Lũy thừa
bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a: a n = a.a. ... .a


n thöøa soá

(n ≠ 0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là

phép nâng lên lũy thừa.” (M1, tr.26).
Trên tập số nguyên, khái niệm lũy thừa được M1 trình bày khá vắn tắt “ta
cũng gọi tích của n số nguyên a là lũy thừa bậc n của số nguyên a (cách đọc và kí
hiệu như đối với số tự nhiên).” (M1, tr.94).
M2 trình bày khái niệm này bằng cách kế thừa các kết quả có được từ M1
“tương tự đối với số tự nhiên, với số hữu tỉ x ta định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một
số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1):
x n = x.x. ... .x ( x ∈ , n ∈ , n > 1) . x đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa



n

n thöøa soá

bậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.” (M2, tr.17).
Lũy thừa với số mũ 0
M1 tiếp cận lũy thừa với số mũ 0 bằng nhận xét “Với m > n ta có:

a m : a n = a m − n ( a ≠ 0 ). Trong trường hợp m = n, ta có: a m : a n = 1 với a ≠ 0 (vì số bị

chia bằng số chia), chẳng hạn 54:54 = 1.” (M1, trang 29). Từ đó đưa ra quy ước
" a 0 = 1 (a ≠ 0)" (M1, tr.29).


M2 cũng đưa ra quy ước “ x0 = 1 (x ≠ 0)” (M2, tr.17), nhưng không giải thích
gì về tính hợp lí của quy ước này.
Nhận xét
Với n là số tự nhiên (n ≠ 0), lũy thừa bậc n của a (a ∈ ℕ hoặc a ∈ ℤ) là tích

của n thừa số a: a n = a.a. ... .a .


n thöøa soá

Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho cơ số a khác 0: a0 = 1 (a ≠ 0).
Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng
nhau.
Quy tắc tính lũy thừa
M1 chỉ trình bày hai quy tắc về nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số. Quy tắc
về nhân hai lũy thừa cùng cơ số được xây dựng bằng ví dụ “Viết tích của hai lũy
thừa sau thành một lũy thừa: 23.22; a4.a3 ” (M1, tr.30), quy tắc về chia hai lũy thừa
cùng cơ số được xây dựng bằng hoạt động “Ta đã biết 53.54 = 57. Hãy suy ra
57 : 53 = ? và 57 : 54 = ? ” (M1, tr.31). Từ đó, M1 đưa ra các quy tắc tính lũy thừa “
a m .a n = a m + n ; a :a = a
m

n

m-n

với a ≠ 0 và m ≥ n)” (M1, tr.31).

Kế thừa các kết quả có được từ M1, M2 phát biểu tương tự cho số hữu tỉ
“Với số tự nhiên a, ta đã biết: am.an = am+n; am:an = am-n (a ≠ 0, m ≥ n). Cũng vậy,
đối với số hữu tỉ x, ta có các công thức: xm.xn = xm+n; xm:xn = xm-n (x ≠ 0, m ≥ n)”
(M2, tr.19). Bên cạnh hai quy tắc này, M2 trình bày thêm quy tắc lũy thừa của lũy
thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương. Cách tiếp cận các quy tắc
được trình bày giống với M1. Trên tập số hữu tỉ, lũy thừa có các quy tắc tính sau:
1)

x m .x n = x m + n

2)

x m : x n = x m − n ( x ≠ 0, m ≥ n)

3)

( x. y )

4)

x
xn
=
( y ≠ 0)
 
yn

 y

5)

(x )

n

= xn .y n

n

m n

= x m. n

Nhận xét
Các quy tắc tính lũy thừa không được chứng minh, chúng được xây dựng


theo phương pháp quy nạp: từ kết quả của một số ví dụ cụ thể rồi khái quát thành
công thức.
Các quy tắc tính lũy thừa là yếu tố kỹ thuật trong nhiều kiểu nhiệm vụ liên
quan đến lũy thừa.
Có sự tương ứng 1 - 1 giữa phép nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số với phép
cộng, trừ các số mũ. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và
cộng hai số mũ; chia hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và trừ
hai số mũ (tương ứng).
Nhận xét M1 và M2
1. Về định nghĩa lũy thừa: lũy thừa được định nghĩa cho cơ số là một số tự

nhiên (lớp 6) và một số nguyên (lớp 7) với số mũ là một số tự nhiên. Lũy thừa bậc n
của a là tích của n thừa số a: a n = a.a. ... .a . Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa


n thöøa soá

cho cho cơ số khác 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) . Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai
lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng nhau.
2. Về tính chất của lũy thừa: M1, M2 chỉ trình bày các quy tắc tính lũy
thừa: quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số, quy tắc lũy thừa của lũy thừa, quy
tắc lũy thừa của một tích, của một thương. Các quy tắc về so sánh lũy thừa không
được trình bày.
2.

Khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT

2.1. Phân tích chương trình
Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình nâng cao) gồm 4 chương,
khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày trong chương II – HÀM SỐ
LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT (39 tiết). Cụ thể:
Khái niệm lũy thừa được trình bày trong §1 – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (2
tiết) và §2 – Lũy thừa với số mũ thực (1 tiết).
Hàm số lũy thừa được trình bày trong §6 – Hàm số lũy thừa (1 tiết).
Luyện tập về lũy thừa (2 tiết), luyện tập về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và
hàm số logarit (2 tiết).
Ngoài ra, các tính chất của lũy thừa còn xuất hiện khi nghiên cứu về logarit