một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai chứa tham số ở lớp 9, 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Hải Dương

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Hải Dương

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Ái Quốc

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, chúng tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc,
người đã tận tình giúp đỡ, chỉ dẫn, động viên tơi, giúp tơi có đủ niềm tin và nghị lực
để hồn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cơ đã nhiệt tình
giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác
đáng, giúp chúng tơi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên
ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Tốn. Tơi xin chân thành cảm ơn:
•

Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SDH, ban chủ nhiệm và
giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo
thuận lợi cho chúng tơi trong suốt khố học vừa qua.

•

Ban giám hiệu trường THPT Long Xuyên (An giang); THPT Trung An
(Cần Thơ) đã hỗ trợ giúp tơi tổ chức thực nghiệm thực nghiệm.

•

Ban giám hiệu trường THPT Xuân Tô (An Giang) và các giáo viên của
trường đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi có thể hồn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã ln chia sẻ cùng tơi

những buồn vui và khó khăn trong q trình học tập.
Cuối cùng, tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những
người thân yêu trong gia đình tơi, những bạn bè tâm giao của tôi. Họ, những người
đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tơi hồn tất tốt luận văn.

Phạm Hải Dương


DANH MỤC VIẾT TẮT
THCS: Trung học cơ sở
THPT: Trung học phổ thơng
PTBH: Phương trình bậc hai một ẩn
PTBN: Phương trình bậc nhất một ẩn
GDTHPT: Giáo dục trung học phổ thông
HS: Học sinh
M1: Sách giáo khoa lớp 9 tập 2
G1: Sách giáo viên lớp 9 tập 2
E1: Sách bài tập lớp 9 tập 2
M2: Sách giáo khoa lớp 10 (cơ bản)
G1: Sách giáo viên lớp 10 (cơ bản)
E2: Sách bài tập lớp 10 (cơ bản)
M3: Sách giáo khoa lớp 10 (nâng cao)
G3: Sách giáo viên lớp 10 (nâng cao)
E3: Sách bài tập lớp 10 (nâng cao)
OM: Tổ chức toán học


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Bảng danh mục các chữ viết tắt
Mục lục
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................1
Chương I .........................................................................................................5
I. Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các giáo trình

đại học: ....................................................................................................................5
1.1 Tham số .........................................................................................................5
1.2 Phương trình tham số ..................................................................................6
1.3 Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình ..........................7
II. Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số: ......................8
2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT: ........................................8
2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS: .......................................8
2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT: ..........................................9
2.2 Phân tích SGK: ...........................................................................................12
2.2.1 Phân tích M1 .............................................................................12
2.2.2 Phân tích M2 .............................................................................23
2.2.3 Phân tích M3 .............................................................................37
Kết luận chương 1: ..............................................................................................60
Chương 2 .......................................................................................................62
2.1 Mục tiêu thực nghiệm: ..................................................................................62
2.2 Đối tượng thực nghiệm: ................................................................................62
2.3 Mô tả thực nghiệm:........................................................................................62
2.3.1 Bài toán thực nghiệm: .............................................................................62
2.3.2. Cách thức tiến hành: ..............................................................................63
2.4 Phân tích apriori: ...........................................................................................63


2.4.1 Phân tích a priori tổng quát: ..................................................................63
2.4.1.1 Các biến didactic và biến tình huống:..................................64
2.4.1.2. Các chiến lược có thể ............................................................63
2.4.2 Phân tích a priori cụ thể: ........................................................................64
2.4.2.1 Đối với bài toán 1: ..................................................................64
2.4.2.2 Đối với bài toán 2: ..................................................................66
2.4.2.3 Đối với bài tốn 3:…………….…………………………….67
2.5 Phân tích a posteriori các bài toán thực nghiệm: .......................................69

2.5.1 Đối với bài toán 1: ...................................................................................69
2.5.2 Đối với bài toán 2: ...................................................................................73
2.6 Kết luận từ thực nghiệm: ...........................................................................78
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................82


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
a. Lý do chọn đề tài:
Xuất phát từ tầm quan trọng của PTBH chứa tham số trong chương
trình Tốn phổ thông:
PTBH là khái niệm cơ bản và quan trọng của chương trình Tốn ở cấp THCS
và cấp THPT. Nó được xuất hiện đầu tiên vào năm lớp 8 nhưng tới năm lớp 9 thì
mới được chính thức định nghĩa và nghiên cứu, đóng vai trị cơng cụ trong suốt cấp
THPT. Đặc biệt là sự xuất hiện của PTBH chứa tham số vào cuối học kì 2 của lớp 9
sau khi định lý Vi-ét về các nghiệm của PTBH được dạy. Tới đầu năm lớp 10,
PTBH chứa tham số được giới thiệu chính thức về mặt định nghĩa và nghiên cứu ở
cấp độ cao và sâu hơn với việc biện luận số nghiệm của một phương trình tùy theo
giá trị một tham số và việc biện luận này đóng một vai trị cơng cụ trong các bài
tốn liên quan đến phương trình bậc cao, khảo sát hàm số,…
Xuất phát từ thực tế giảng dạy:
Qua q trình giảng dạy chúng tơi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong quá trình nghiên cứu khái niệm PTBH chứa tham số, cụ thể là gặp khó khăn
trong việc lựa chọn phương pháp đại số hay phương pháp đồ thị để giải quyết các
bài toán liên quan đến biện luận số nghiệm của PTBH chứa tham số.
Ngoài ra, xuất phát từ mong muốn mở rộng hướng nghiên cứu trong luận án
của TS. Nguyễn Ái Quốc khi nghiên cứu về việc dạy và học khái niệm PTBH ở hai
nước Việt Nam và Pháp, mà trong đó sự khác biệt rất lớn là sự xuất hiện của khái
niệm PTBH chứa tham số trong chương trình Việt Nam.

Từ những lý do trên đã đưa chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu về
PTBH chứ tham số trong chương trình Việt Nam nhằm làm sáng tỏ một số nghi vấn
ban đầu sau:


Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình
Tốn phổ thơng? Tại sao lại có sự xuất hiện này?
HS gặp những khó khăn nào trong việc học khái niệm PTBH chứa tham số?
Nguyên nhân của những khó khăn đó là gì?
2.

Khung lý thuyết tham chiếu:

Lý thuyết nhân học sư phạm:
Phần này chúng tôi chỉ mô tả một cách ngắn gọn các khái niệm cần tham
chiếu để tìm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi đã đặt ra.
•

Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân:

Quan hệ của thể chế I với tri thức O – R(I, O): là tập hợp các tác động qua
lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn
tại ra sao, có vai trị gì?...
Quan hệ cá nhân X với tri thức O – R(X, O): là tập hợp các tác động qua
lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu thế nào về O, có thể
thao tác O ra sao.
Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là q trình thiết
lập hay điều chỉnh quan hệ R(X, O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của
thể chế I (mà cá nhân X là một thành phần) luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ
R(X, O). Do đó, muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O).

•

Tổ chức tốn học

Hoạt động tốn học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tế
toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội, cho nên, cũng cần thiết xây dựng một mơ
hình cho phép mơ tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà
Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie.
Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là cơng
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ . Một praxéologie mà
các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức tốn học.
Bosch M. và Chevallard Y. (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế đối với
một đối tượng, với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một
tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những


kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải
làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ
thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với
đối tượng nói trên”
Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức
O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với O, từ đó hiểu được
quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh
chẳng hạn) duy trì đối với O.
• Chuyển hóa sư phạm:
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta khơng thể dạy cho
HS tồn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích lũy được trong lịch sử. Hơn
nữa để tri thức của nhân loại trở nên có thể dạy được trong nhà trường phổ thơng thì
cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho

mục tiêu dạy học xác định.
Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ
bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri
thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy.
Các đối tượng cần dạy được thể hiện thơng qua chương trình, SGK, đề thi, tài
liệu ôn thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác
giả SGK.
3. Mục đích nghiên cứu:
Qua việc phân tích chương trình và kinh nghiệm giảng dạy chúng tôi nhận
thấy vấn đề PTBH chứa tham số là vấn đề khó khăn đối với học sinh. Với khung lý
thuyết tham chiếu đã chọn chúng tơi trình bày lại dưới đây những câu hỏi nghiên
cứu mà việc tìm kiếm câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
Q1: Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình
Tốn THCS và THPT? Sự xuất hiện này nhằm mục đích gì?
Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số ở cấp THCS
và THPT? Những quy tắc hợp đồng didactic nào liên quan đến PTBH chứa tham
số?
Q3: Những khó khăn và sai lầm nào HS gặp phải khi nghiên cứu về PTBH
chứa tham số?


4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn:
Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là:
thực hiện một nghiên cứu thể chế bằng cách phân tích các chương trình và SGK liên
quan. Tiếp đến, vận dụng lý thuyết nhân chủng học để nghiên cứu sự cho phép triển
khai các TCTH tìm được trong thể chế phổ thơng hiện nay. Sau đó, chúng tôi sẽ tiến
hành thực nghiệm trên học sinh với mong muốn kiểm chứng các giả thuyết mà
chúng tôi đặt ra. Việc tiến hành xây dựng thực nghiệm được chúng tôi lấy cơ sở từ
việc phân tích thể chế.
Dựa vào phương pháp nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tổ chức nghiên

cứu của chúng tơi như sau:

Phân tích mối quan hệ thể chế đối với phương trình bậc hai chứa tham
số.

Từ đó, đề xuất các hợp đồng didactic hay giả thuyết nghiên cứu.

Xây dựng bài toán thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu
hỏi đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu.
Luận văn gồm 4 phần:
Phần mở đầu: Trong phần này chúng tơi trình bày những ghi nhận ban đầu,
lợi ích của đề tài nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn.
Chương 1: Mở đầu là sự trình bày các khái niệm về tham số, phương trình
tham số. Tiếp đó, chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học toán ở cấp
THCS, THPT đối với các khái niệm PTBH chứa tham số.
Chương 2: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các
giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1.
Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được trong chương 1, 2 và đề
xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này.


Chương I
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA
THAM SỐ
Chương này nhằm tìm câu trả lời các câu hỏi Q1, Q2, Q3 được đặt ra trong
phần mở đầu.
I.

Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các

giáo trình đại học:

Trước tiên chúng tơi tìm hiểu xem khái niệm tham số, phương trình chứa
tham số được hiểu như thế nào trong toán học.
1.1 Tham số:
Khái niệm tham số không được định nghĩa một cách duy nhất, chính vì thế
mà sau đây chúng tơi đưa ra một số cách hiểu về tham số:
Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là
thuật ngữ không được định nghĩa rõ ràng, được sử dụng ngược với ẩn số, để chỉ
các hệ số hay các đại lượng nào đó mà người ta muốn biểu đạt một mệnh đề hay
các nghiệm của một hệ phương trình theo chúng” [25].
“Tham số: đại lượng mà giá trị của nó được dùng để phân biệt các phần tử
của một tập hợp nào đó”.[18, tr.138 - 139]
“Tham số: một biến vốn nhận các giá trị khác nhau, qua đó cung cấp các giá
trị khác nhau cho biến khác”[16, tr.609 - 610]
Theo cách hiểu này thì tham số được xem là “biến” có các giá trị khác nhau
và nó cung cấp các giá trị khác nhau cho biến khác.
Đó là cách hiểu về tham số được trình bày trong một số cuốn từ điển tốn
học. Ngồi ra, trong dạng phương trình ax = b thì “các biến a, b có vai trị khác về
căn bản so với biến x . Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, cịn
các biến dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay
tham biến”[14, tr 63 - 64].


Theo Hồng Kỳ thì “cho hàm số f ( x) , ngồi các đối số ra cịn có các chữ a,
b, c… Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c… như là đã
biết thì chúng được gọi là tham số, hay thơng số, hay tham biến” [15, tr 94].
Vậy qua các cách trình bày trong các tài liệu thì tham số được xem là hằng
số tùy ý.
Như vậy, tất cả các mô tả trên đây đều khơng đưa ra một tiêu chí thống nhất

cho việc phân biệt khi nào tham số là biến số, khi nào nó đóng vai trị là hằng số.
Tham số trong phương trình chứa tham số được xem là hằng số tùy ý chứ
khơng phải là “biến” có các giá trị khác nhau và nó cung cấp các giá trị khác nhau
cho biến khác.
Tiếp sau đây là khái niệm về phương trình tham số:
1.2 Phương trình tham số
Để hiểu nghĩa của tham số thì ta phải gắn nó với một phương trình khi đó ta
có phương trình chứa tham số. Vậy phương trình chứa tham số được hiểu như thế
nào?
Theo Nguyễn Bá Kim thì phương trình chứa tham số được hiểu như sau:
“Một phương trình nhiều biến được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng
hạn:
-

Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó.

-

Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại

lượng, ví dụ như S = vt . Khi ấy vấn đề khơng phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa
mãn phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng
đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động đều.
-

Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định. Các
1
2

2

3

2 x 3; 0.4
=
y 2;=
t 0.15;=
a
phương trình=

4
đều có cùng một dạng là ax = b .
6

Vấn đề ở đây khơng phải tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình này. Trong hai
trường hợp đầu, vai trị các biến là bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các
biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x […] phương trình nhiều biến nếu


được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao gồm được tất cả các phương trình có
cùng một dạng. Dưới góc độ đó phương trình nhiều biến được gọi là dạng phương
trình hay phương trình có chứa tham biến.[…]
Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình
có ba biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua
các biến còn lại, còn a và b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] Khi giải phương
trình chứa tham biến, các tham biến được xem như đại diện cho những số đã biết và
ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 63 -64]
Như vậy, nghiệm và tập nghiệm của phương trình chứa tham số phụ thuộc
vào tham số, khi tham số thay đổi sẽ dẫn đến việc thay đổi tập nghiệm của phương
trình. Các tham số ở đây “được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải
biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 64]

Như vậy trong các bài toán chứa tham số người ta phải xem xét đối tượng
tham số ở hai khía cạnh:
• Một là tham số được xem như là một giá trị số cố định.
• Hai là tham số có sự thay đổi giá trị của nó, vì sự thay đổi giá trị này
mà tùy từng điều kiện cụ thể của bài toán mà nảy sinh sự phân chia
các trường hợp khác nhau. Trong từng trường hợp đó thì tham số lại
được xem là một giá trị số cố định.
Vì vậy, biện luận chính là q trình đi lập luận về số nghiệm của phương
trình tùy theo giá trị nhận được của tham số, nghĩa là ứng với trường hợp này của
tham số thì ta có tập nghiệm tương ứng, ứng với trường hợp khác thì ta cũng có tập
nghiệm tương ứng…
Trong phương trình thì khái niệm gắn liền với tham số nhiều nhất đó là ẩn
số, vậy giữa ẩn số và tham số có mối quan hệ như thế nào?
1.3 Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình
Từ các cách hiểu về tham số và ẩn số chúng tôi đưa ra được các vấn đề sau:
-

Những điểm tương tự và khác nhau giữa tham số và ẩn số

Những điểm tương tự:


Cùng biểu thị bằng một chữ cái, ẩn số thường dùng chữ x cịn tham số

-

thì dùng chữ m,t ,…
Có thể nhận được nhiều giá trị khác nhau và phải thỏa điều kiện cho

-

trước.
Cùng hiện diện trong một phương trình, bất phương trình, hệ phương

-

trình, hệ bất phương trình…
Cả hai đều được xem là biến số trong biểu thức đại số.

-

Những điểm khác nhau:
Ẩn số là đại lượng cần phải xác định, chẳng hạn khi tìm nghiệm của

-

phương trình, bất phương trình… cịn tham số là đại lượng đã biết rồi.
Số giá trị mà ẩn nhận được, hay giá trị của ẩn số thỏa điều kiện cho

-

trước thì phụ thuộc vào giá trị của tham số, còn giá trị của tham số là
độc lập.
-

Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số

Từ sự phân tích trên ta thấy rằng giữa tham số và ẩn số có mối quan hệ một
chiều, tức là các giá trị của ẩn số chỉ phụ thuộc vào các các giá trị của tham số, còn
các giá trị của tham số không phụ thuộc vào giá trị của ẩn. Điều này được thể hiện

như sau:
“Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn chứa hai tham biến a
và b. Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có
3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các
biến còn lại, còn a, b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] các tham biến được
xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham
biến đó”.[12, tr 63 -64]
Như vậy trong phương trình chứa tham số thì các giá trị của tham số là độc
lập còn các giá trị của ẩn số thì lại phụ thuộc vào các giá trị của tham số.
II.

Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số:

2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT:
2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS:


Theo chương trình GDTHPT thì vấn đề phương trình được học sinh tiếp thu
chính thức từ năm lớp 8 trở đi, nhưng PTBH thì được chính thức học vào năm lớp 9
với đầy đủ lý thuyết và kỹ năng để giải. PTBH được trình bày ở trong chương IV
của phần đại số lớp 9, trước đó là các chương:
Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba
Chương II: Hàm số bậc nhất
Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Các chương này có thể xem là bước đầu để học sinh có thể tiếp thu phần
PTBH.
Trong chương IV: “Hàm =
số y ax 2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn”,
thì phần hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0) là bài đầu tiên trước khi bước vào PTBH.

Theo chương trình GDTHPT thì đối với PTBH học sinh cần có kiến thức là
“hiểu khái niệm phương trình bâc hai một ẩn” và về kỹ năng thì “vận dụng được
cách giải phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là cơng thức nghiệm của phương
trình đó (nếu phương trình có nghiệm)”. Còn kiến thức và kỹ năng về định lý Vi-ét
là “hiểu và vận dụng được định lý Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc
hai một ẩn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng”.
Như thế, Chương trình GDTHPT khơng đặt u cầu học sinh giải các dạng
toán PTBH chứa tham số mà chỉ tập trung vào việc giải PTBH với hệ số là số.
Ngoài ra các vấn đề ứng dụng PTBH cũng được trình bày như: giải bài tốn bằng
cách lập phương trình.
2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT:
Theo chương trình GDTHPT thì phần đại số đối với lớp 10 gồm:
- “Mệnh đề. Tập hợp, các phép toán: giao, hợp, hiệu của hai tập hợp. Các tập
hợp số. Số gần đúng, sai số.
- Ôn tập và bổ túc về hàm số. Hàm số bậc hai và đồ thị. Hàm số y = x .
- Đại cương về phương trình, hệ phương trình: các khái niệm cơ bản. Phương
trình quy về bậc nhất, bậc hai. Phương trình bậc nhất hai ẩn; hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn, ba ẩn.


- Bất đẳng thức. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dấu của nhị thức bậc nhất. Bất phương trình và
hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương
trình bậc hai.
- Góc và cung lượng giác, giá trị lượng giác của chúng. Công thức cộng.
Công thức nhân đôi. Công thức biến đổi tổng thành tích. Cơng thức biến đổi tích
thành tổng”
Qua đó cho thấy trước khi giới thiệu về phương trình thì học sinh được tiếp
xúc với các vấn đề như: mệnh đề, tập hợp; hàm số bậc nhất, bậc hai. Các vấn đề
này ít nhiều cũng giúp học sinh phần nào trong quá trình tiếp thu vấn đề phương

trình và bất phương trình.
Về phương trình một ẩn được chia thành hai phần: một là đại cương về
phương trình, hai là phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. Trong
phần một thì các yêu cầu được đặt ra là:
“Kiến thức:
Hiểu khái niệm phương trình, nghiệm của phương trình.
Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương
đương phương trình.
Biết khái niệm phương trình hệ quả.
Kỹ năng:
Nhận biết một số cho trước là nghiệm của phương trình đã cho; nhận biết
được hai phương trình tương đương.
Nêu được điều kiện xác định của phương trình (không cần giải các điều
kiện)
Biết biến đổi tương đương phương trình.”
Như vậy đối với bài này yêu cầu tập trung vào phần nắm các khái niệm về
phương trình và các phép biến đổi tương đương. Chưa thấy xuất hiện vấn đề liên
quan tham số trong phương trình. Cịn phần hai liên quan nhiều đến việc tính tốn
giải phương trình được chương trình GDTHPT đặt ra yêu cầu như sau:


“Kiến thức:
0 ; phương trình
Hiểu cách giải và biện luận phương trình ax + b =
ax 2 + bx + c =
0.

Hiểu cách giải các phương trình quy về dạng bâc nhất, bậc hai: phương
trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa
căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích.

Kỹ năng:
0 . Giải thành thạo
Giải và biện luận thành thạo phương trình ax + b =

phương trình bậc hai.
Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai: phương trình có ẩn ở
mẫu số, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn đơn giản,
phương trình đưa về phương trình tích.
Biết vận dụng định lý Vi-ét vào việc xét dấu các nghiệm của phương trình
bậc hai.
Biết giải các bài toán thực tế đưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai
bằng cách lập phương trình.
Biết giải phương trình bậc hai bằng máy tình bỏ túi.”
Như vậy, đối với phần này chúng tôi nhận thấy tham số đã được đưa vào
0 , cịn
phương trình. Như trong dạng giải và biện luận phương trình dạng ax + b =

đối với PTBH thì tham số được đưa vào khi “xét dấu các nghiệm của PTBH” bằng
cách vận dụng định lý Vi-ét.
Ngoài ra PTBH chứa tham số được xuất hiện nhiều trong phần “dấu của tam
thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai”, yêu cầu của chương trình GDTHPT đối với
phần này như sau:
“Kiến thức: Hiểu định lý về dấu của tam thức bậc hai
Kĩ năng:
Áp dụng được định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc
hai; các bất phương trình quy về bậc hai: bất phương trình tích, bất phương trình
chứa ẩn ở mẫu thức.


Biết áp dụng việc giải bất phương trình bậc hai để giải một số bài tốn liên

quan đến phương trình bậc hai như: điều kiện để phương trình có nghiệm, có hai
nghiệm trái dấu”
Như thế qua việc phân tích chương trình lớp 10 chúng tơi thấy đã có sự xuất
hiện PTBH chứa tham số nhưng với mật độ rất thấp và sự yêu cầu chỉ ở mức cơ
bản.
2.2 Phân tích SGK:
2.2.1 Phân tích SGK lớp 9 (M1)
Trong M1 thì PTBH được trình bày ở chương thứ hai trước đó là chương về
“hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn”, chương này “là bước tiếp theo của hệ thống
kiến thức về phương trình và hệ phương trình”[G1].
Trong chương thứ hai của M1 gồm tất cả là 8 bài như sau:
Bài 1: Hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0)
Bài 2: Đồ thị của hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0)
Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 4: Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 5: Cơng thức nghiệm thu gọn
Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bài 7: Phương trình qui về phương trình bậc hai
Bài 8: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Như vậy hai bài đầu của chương này trình bày trường hợp đơn giản nhất của
hàm số bậc hai đó là hàm số dạng
=
y ax 2 (a ≠ 0) nhưng nó lại vơ cùng quan trọng
vì nó giải quyết hết mọi vấn đề cơ bản như: đồ thị là một đường cong gọi là parabol,
nhận trục Oy làm trục đối xứng, có điểm thấp nhất nếu a > 0 (cao nhất nếu a < 0 )
gọi là đỉnh của parabol. Và đây cũng được xem là các kiến thức liên quan đến việc
giải phương trình bậc hai.
Các bài còn lại đều liên quan đến PTBH. Theo G1 thì những kiến thức về

PTBH mà được trình bày trong M1 là “hầu như trọn vẹn mọi điều về lý thuyết cũng
như về kỹ thuật tính tốn”


Mục tiêu của các bài về PTBH là:
0,
“Nắm vững qui tắc giải phương trình bậc hai các dạng ax 2 + c =
ax 2 + bx =
0 và dạng tổng qt. Mặc dù rằng có thể dùng cơng thức nghiệm để giải

mọi phương trình bậc hai, song cách giải riêng cho hai dạng đặc biệt nói trên rất
đơn giản. Do đó cần khuyên HS nên dùng cách giải riêng cho hai trường hợp ấy.
Nắm vững các hệ thức Vi-ét và ứng dụng của chúng vào việc nhẩm nghiệm
của phương trình bậc hai, đặc biệt là trong trường hợp a + b + c =
0 và a − b + c =
0,
biết tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Có thể nhẩm được nghiệm của các
phương trình đơn giản như: x 2 − 5 x +=
6 0, x 2 + 6 x +=
8 0 ,…”
Theo yêu cầu như vậy thì chương này chỉ tập trung cho việc giải các bài tốn
phương trình bậc hai với hệ số thuần số khơng có xuất hiện dạng chứa tham số,
đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự tương giao của các đồ thị.
Nhưng đó chỉ là các yêu cầu về kiến thức cần đạt được khi học xong các bài
về PTBH còn trong các bài tập các phần luyện tập trong M1 có xuất hiện các dạng
PTBH chứa tham số không? Để biết được câu trả lời chúng tơi đi vào phân tích từng
bài.
Đầu tiên là bài “phương trình bậc hai một ẩn”, trong bài này thì trước hết M1
đưa ra một bài toán mở đầu để từ đó giới thiệu về định nghĩa PTBH, sau đó là các ví
dụ về giải các PTBH dạng khuyết b, c và dạng tổng quát với cách giải dùng hằng

đẳng thức đưa về dạng f 2 ( x) = m , m là hằng số. Trong phần bài tập thì có xuất hiện
một dạng bài tập về PTBH chứa tham số:
Bài tập 11/42 “Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 + bx + c =
0 và chỉ rõ
hệ số a, b, c :
d ) 2 x 2 + m 2 = 2(m − 1) x , m là một hằng số”.

Như vậy M1 không đưa ra một định nghĩa gì liên quan đến khái niệm PTBH
chứa tham số mà chỉ đưa kèm theo lời giải thích khi có sử dụng tham số.
Kế tiếp là hai bài liên tiếp trình bày về cơng thức nghiệm và cơng thức thu
gọn để giải PTBH, các bài tập cũng đều khơng có dạng chứa PTBH tham số mà chỉ


là các PTBH thuần số. Nhưng sau các bài này thì có một bài luyện tập để rèn luyện
cách giải PTBH đã học, ở cuối bài luyện tập này có xuất hiện một dạng tốn về
PTBH chứa tham số, đó là bài tập 24 trang 50:
0
“Cho phương trình (ẩn x ) x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 =

a. Tính ∆ ' .
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có
nghiệm kép? Vơ nghiệm”.
Cũng như bài tập trước thì trong bài tập này M1 cũng đưa ra lời giải thích
nhằm để học sinh phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số.
Bài 6 là về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó, đây là hệ thức quan trọng được
vận dụng nhiều khi gặp các PTBH. Cũng như các bài trước thì trong bài này đều
khơng xuất hiện PTBH chứa tham số cả trong phần lý thuyết lẫn phần bài tập. Sau
bài này cũng có một bài luyện tập mà trong đó có xuất hiện dạng PTBH chứa tham
số đó là bài tập 30 trang 54:
“Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính tổng và tích các

nghiệm theo m
a. x 2 − 2 x + m =
0

0”
b. x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 =

Và bài tập 31 trang 54:
“Tính nhẩm nghiệm của các phương trình
d ) (m − 1) x 2 − (2m + 3) x + m + 4 =
0 với m ≠ 1 ”

Hai bài tập này M1 khơng đưa ra lời giải thích như hai bài trước nhưng M1
lại sử dụng hai biến số x, m trong phương trình với dụng ý là xem x là ẩn số và
tham số là m .
Hai bài tập cuối cùng là vận dụng PTBH để giải các bài toán quy về PTBH
và các bài toán thực tế ứng dụng của PTBH. Ngoài ra các dạng bài tốn về PTBH
chứa tham số cịn xuất hiện ở phần bài tập ơn chương đó là các bài 60, 62 trang 64:
Bài tập 60 “Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo),
hãy tìm nghiệm kia:


d . x 2 − 2mx + m=
− 1 0, =
x1 2 ”

0
Bài tập 62 “Cho phương trình 7 x 2 + 2 ( m − 1) x − m 2 =

a. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b. Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi–ét , hãy
tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m .”
Như vậy, qua việc phân tích trên chúng tơi nhận thấy rằng trong M1 không
xuất hiện định nghĩa khái niệm PTBH chứa tham số và khơng có quy ước nào để
phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số mà chỉ được phân biệt qua các lời giải thích
kèm theo bài tập. Từ đó, chúng tơi nhận thấy có một hợp đồng didactic được diễn ra
là:
“Trong các PTBH chứa tham số HS có trách nhiệm xem x là ẩn và các
chữ khác m, t , k ,... là các tham số”
 Các OM trong M1:
Trong các kiểu nhiệm vụ sau chúng tôi xét các PTBH chứa tham số có dạng:
x 2 + bx + c =
0 (*), trong đó b, c có thể chứa m và b được cho dưới

dạng tường minh 2b .
Bởi vì qua việc phân tích M1 chúng tơi có đưa ra nhận xét là trong M1 chỉ
đưa ra các PTBH chứa tham số có dạng như trên.
T1 1 : Đưa các phương trình cho trước về dạng ax 2 + bx + c =
0 và chỉ rõ
các hệ số a, b, c.
τ 11 : Chuyển tất cả các số hạng về vế trái.

Thu gọn để đưa về dạng ax 2 + bx + c =
0

Chỉ ra các hệ số
θ11 : Các quy tắc biến đổi đại số; định nghĩa PTBH.

Θ1 1 : (, +, ×) là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ (bài 11 trang 42 sách M1): Đưa các phương trình sau về dạng
ax 2 + bx + c =
0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c .
d ) 2 x 2 + m 2 = 2(m − 1) x, m là một hằng số”


Giải (lời giải trong G1)
d) 2 x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0;

a=
2, b =
−2(m − 1), c =
m2 .

Nhận xét:
Đây là dạng toán cơ bản nhằm giúp học sinh ghi nhớ dạng của PTBH và
cách xác định các hệ số a, b, c nhằm phục vụ cho các nhiệm vụ sau, kiểu nhiệm vụ
này sẽ được học sinh vận dụng nhiều nhưng khơng trình bày trong lời giải.
Trong bài này M1 có đưa ra phần chú thích “ m là hằng số” để học sinh có
thể phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số.
Ta thấy trong dạng này M1 chỉ đưa ra m ở hai hệ số b, c còn hệ số a là một
hằng số, đồng thời hệ số b cho dưới dạng 2b .
T1 2 : Cho phương trình ax2 +bx + c = 0(*) . Tính ∆’.
τ 21 : Xác định các hệ số a, b, c

Suy ra b ' =

b
2

Tính ∆ '= b '2 − ac
θ 21 : Các phép biến đổi đại số, định nghĩa biệt số delta.

Θ1 2 : (, +, ×) là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ bài tập 24a/50: Cho phương trình (ẩn x) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0.

Tính ∆ ' .
Giải (lời giải trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m

Nhận xét:
Đây cũng là một kiểu nhiệm vụ cơ bản, nó được vận dụng rất nhiều trong các
kiểu nhiệm vụ sau này.
Trong ví dụ này M1 cũng đưa phần chú thích để học sinh có thể xác định
được tham số và ẩn số là “ẩn x ”
Trong dạng của PTBH trên chúng tôi thấy rằng m chỉ xuất hiện trong hai hệ
số b, c khơng có trong hệ số a , đồng thời hệ số b cũng là bội của 2.


Trong phần trình bày lời giải khơng có trình bày phần xác định các hệ số của
PTBH và được xem như học sinh đã biết.
T1 3 : Với giá trị nào của m để phương trình x2 + bx + c = 0 (*) có nghiệm
thỏa điều kiện cho trước (ĐKCT):
τ 31 : Tiến hành τ 21

Từ ĐKCT và dựa vào phương pháp giải PTBH để đưa ra một phương
trình hay bất phương trình với m là ẩn số.
T1 3.1 : Điều kiện ĐKCT là có 2 nghiệm phân biệt.
1
: Tiến hành τ 21
τ 3.1

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi ∆ ' > 0
(giải bất phương trình đó đưa ra các giá trị của m )
1
: Định nghĩa, công thức nghiệm thu gọn, các phép biến đổi đại số.
θ3.1

Θ1 3.1 : (, +, ×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ bài 24b trang 50: Cho phương trình (ẩn x) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0 với

giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải (trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 − 2m > 0 hay khi m <

1
2

T1 3.2 : ĐKCT là phương trình có nghiệm kép.
1
: Tiến hành τ 21
τ 3.2

Phương trình có nghiệm kép khi ∆ ' =0
Giải phương trình trên với ẩn là m .
Kết luận.
1
: Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm.
θ3.2

Θ1 3.2 : (, +, ×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ câu 24b/50: Cho phương trình (ẩn x): x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0 với giá trị

nào của m thì phương trình có nghiệm kép.


Giải (trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m

Phương trình có nghiệm kép khi m =

1

.
2

T1 3.3 : ĐKCT là phương trình vơ nghiệm.
1
: Tiến hành τ 21
τ 3.3

Phương trình vơ nghiệm khi ∆ ' < 0 .
Giải bất phương trình trên với ẩn m .
1
: Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm.
θ3.3

Θ1 3.3 : (, +×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ câu 24b/50: Cho phương trình (ẩn x) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0 với giá trị
nào của m thì phương trình vơ nghiệm.
Giải (trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m

Phương trình vơ nghiệm khi m >

1
.
2

T1 3.4 : ĐKCT là phương trình có nghiệm.
1
: Tiến hành τ 21 .
τ 3.4

Phương trình có nghiệm khi ∆ ' ≥ 0 .
1
: Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm.
θ3.4

Θ1 3.4 : (, +×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ câu 62a/64: Cho phương trình 7 x 2 + 2(m − 1) x − m 2 =
0 với giá trị nào

của m thì phương trình có nghiệm.
Giải (trong G1)
∆ =' (m − 1) 2 + 7 m 2 > 0 với mọi giá trị của m . Do đó, phương trình có nghiệm

với mọi giá trị của m .


Nhận xét:
Trong lời giải trên đưa ra nhận xét về ∆ ' ln lớn hơn khơng điều này có thể
gây khó khăn cho học sinh khi làm.
Các kiểu nhiệm vụ con của T1 3 đều sử dụng công thức nghiệm thu gọn để
tính, khơng thấy việc xác định các hệ số của phương trình. Như vậy, trong q trình
tính delta của các kiểu nhiệm vụ T1 3 thì cơng việc xác định các hệ số của phương
trình khơng cần trình bày.

Đây là các kiểu nhiệm vụ vận dụng thuật toán giải PTBH để biện luận cho
từng trường hợp cụ thể.
Trong đề bài ví dụ của mỗi kiểu nhiệm vụ đều có đưa ra lời chú thích để học
sinh có thể xác định tham số và ẩn số.
T1 4 : Tìm giá trị của m để phương trình x2 + bx + c = 0 (*) có nghiệm, rồi
tính tổng và tích các nghiệm theo m .
1
τ 41 : Thực hiện τ 3.4

b
a

c
a

− ; x1 x2 =
Tính tổng và tích các nghiệm: x1 + x2 =

θ 41 : Định lý Vi-ét, công thức nghiệm, các phép biến đổi đại số.

Θ1 4 : (, +×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.

Ví dụ câu 30a/54: Tìm giá trị của m để phương trình x 2 − 2 x + m =
0 có

nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m .
Giải (trong G1)
Phương trình có nghiệm khi ∆ ' = 1 − m ≥ 0 hay khi m ≤ 1
x1 =
+ x2 2; =

x1 x2 m

Nhận xét:
Trong yêu cầu của bài đã nêu lên các bước chính để giải bài toán, tức là yêu
cầu xác định m để phương trình có nghiệm rồi sau đó tính tổng và tích các nghiệm.
Đây là dạng bài vận dụng để ghi nhớ công thức của định lý Vi-ét, và cũng là
tiền để để có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau.