Tài liệu TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH; BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ - ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1) pot

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ – ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
1.  m 2  4  x 2  2  m  2  x  1  0 .
2.
3.

m
m

2

 m  x 2  2mx  1  0 .

2

 m  2  x 2  2 1  m  x  1  0 .

4. mx 2  6  m  2  x  4m  7  0 .
5. mx 2  2 1  m  x  m  4 .
Bài 2. Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn

1 1 1
  . Chứng minh phương trình ẩn x sau ln ln có nghiệm
a b 2
x 2  ax  b x 2  bx  a  0 .







Bài 3. Chứng minh rằng các phương trình ẩn x sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số
1. x  x  1  x  x  b    x  a  x  b   0 .
2. x 2   a  b  x  2  a 2  ab  b 2  .
3. 3 x 2  2  a  b  c  x  ab  bc  ca  0 .
4.

 x  a  x  b    x  a  x  c    x  c  x  b   0 .
c  x  a  x  b   b  x  a  x  c   a  x  c  x  b   0 .

5.
Bài 4. Cho hai phương trình
x 2  2mx  n  0

1

2
(m, n, k là các tham số thực).
1
1


x  2  k   mx  n  k    0
 2
k
k



Chứng minh rằng nếu (1) có nghiệm thì phương trình (2) cũng có nghiệm.
Bài 5.
Cho ba số thực a , b, c thỏa mãn a 2  ab  ac  0 .
Chứng minh rằng phương trình ax 2  bx  c  0 ln có hai nghiệm phân biệt.

c  0,
Bài 6. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ điều kiện 
2
 c  a   ab  bc  2ac.

Chứng minh rằng khi đó phương trình ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình ax 2  bx  b  0
(1), với a và b là các tham số thực.
 a  0, b  0
2

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 . Chứng minh rằng tồn tại các số thực 1 ,  2 sao cho
x1
x
b
 1 2   2
 0.
x2
x1
a

Bài 8. Cho phương trình ẩn x : x 2  ax  b  2  0
(1); với a, b là các tham số thực.
1. Tìm a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  2; x2  3 .
2. Giả sử (1) có nghiệm kép   2 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a 2  b 2 .

3. Tìm b sao cho (1) có một nghiệm bằng  a .
4. Cho b  3 . Tìm giá trị của a để (1) có hai nghiệm đều lớn hơn 1 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

1

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 9. Cho phương trình: x 2  mx  n  3  0
(1); với m và n là các tham số thực.
1. Với n  3 , tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt.
 x1  x2  1,
2. Tìm m và n để (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho  2
2
 x1  x2  7.
3. Tìm nghiệm của phương trình (1) khi m và n thỏa mãn: 5m 2  6n 2  4 mn  10m  48n  135  0 .
4. Tìm giá trị nguyên của m và n để (1) có hai nghiệm nguyên là m và n.
Bài 10.
Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:  a  1 x 2  2  a  b  x  b  1  0 (a và b là các tham số thực).
Bài 11.
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  6 . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm
x 2  ax  1  0
2

x  bx  1  0

1
 2
 3

x 2  cx  1  0
Bài 12. Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  1 .
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
4 x 2  4  2a  1 x  4a 2  192abc  1  0

4 x 2  4  2b  1 x  4b 2  96abc  1  0
Bài 13.
Cho ba số thực a, b, c khác 0 và hai số thực p , q; p  x; q  x . Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm

a2
b2

c.
x p xq
Bài 14. Cho hai số thực m và n thỏa mãn 19 m  5 n  2000 .
Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm: 20mx 2  5nx  100  m  0 .
Bài 15. Cho ba số thực a , b, c đôi một phân biệt. Chứng minh phương trình sau ln có hai nghiệm phân biệt
1
1
1


 0.
x a xb xc
Bài 16. Cho phương trình x 2  ax  b  0 (a và b là các tham số thực).
Gọi x0 là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng x0  a 2  b 2  1 .
Bài 17. Cho bốn phương trình ẩn x với a , b, c, d là các tham số thực

ax 2  2bx  c  0

bx 2  2cx  d  0
cx 2  2dx  a  0

1
 2
 3
 4

dx 2  2 ax  b  0
Chứng minh ít nhất một trong bốn phương trình đã cho có nghiệm.
1
Bài 18. Cho phương trình: x 2  ax  2  0 (1); với a là tham số thực.
2a
Gọi b và c là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng b4  c 4  2  2 .
Bài 19. Cho phương trình x 2   a  b  x  ab  0
(1); với a và b là các tham số thực.
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm x1 , x2 biết rằng a và b thỏa mãn đẳng thức
2
x12  x2  2  2  x1  x2  2 x1 x2  .

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

2

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 20. Cho phương trình ax 2   b  a  1 x  m 2  1  0

(1); với a, b, m là các tham số thực.

2
1. Cho a  1; b  2 . Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức M  x12  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Chứng minh rằng nếu 2a 2  b 2  2ab  6a  2b  5  0 thì (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài 21.
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  px  q  0
(1).
Gọi x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình x 2  rx  s  0

(2).

2

q
 p
Chứng minh rằng nếu x1 x4  x2 x3 thì    .
s
r
Bài 22.
Cho phương trình  x 2  ax  b  1 x 2  bx  a  1  0

(1); với a và b là các tham số thực.

Chứng minh phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi a và b.
Bài 23. Cho hai phương trình ẩn x:
x 2   a  d  x  ad  bc  0
3

x 2   a 3  d 3  3abc  3bcd  c   ad  bc   0

1
 2

( a, b, c, d là các tham số thực).

Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh p 3 và q 3 là hai nghiệm của phương trình (2).
Bài 24. Cho phương trình: ax 2   ab  1 x  b  0
(1); với a và b là các tham số thực.
1. Chứng minh rằng (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của a và b.
1
2. Xác định giá trị của a và b để phương trình có nghiệm duy nhất x  .
2
Bài 25. Chứng minh rằng với a  c  b thì phương trình ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm.
Bài 26. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
ax 2  bx  c  0
1
(với a, b, c là các tham số thực).
2
ax  bx  c  0
 2
Bài 27. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  2ax  bc  0
1
x 2  2bx  ca  0

 2
3

(với a , b, c là các tham số thực khác 0).

x 2  2cx  ab  0
Bài 28. Giả dụ a , b, c là độ dài ba cạnh một tam giác.

1. Chứng minh rằng phương trình  a 2  b 2  c 2  x 2  4abx  a 2  b 2  c 2  0 ln có nghiệm.
2. Chứng minh rằng phương trình b 2 x 2   b 2  c2  a 2  x  c 2  0 vô nghiệm.
3. Chứng minh rằng phương trình x 2   a  b  c  x  ab  bc  ca  0 vô nghiệm.
Bài 29. Cho phương trình ax 2  bx  c  0 (a khác 0).
Chứng minh rằng phương trình trên ln có nghiệm khi các tham số a, b, c thỏa mãn từng điều kiện sau
1. 5a  2c  b .
2b c
2.
 4.
a a
b  a  c,
3. 
 a  0.
4. a  a  2b  4c   0 .
5. 5a  3b  2c  0 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

3

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 30.
Cho ba số thực dương a, b, c sao cho a  b  c  3 .
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  2a 2 x  b 3  0

1
y 2  2b 2 y  c3  0

 2
3

z 2  2c 2 z  a 3  0

Bài 31.
Cho ba số thực dương a, b, c sao cho a  b  c  3 .
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  2ax  abc  0
1
y 2  2by  abc  0

 2
 3

z 2  2cz  abc  0

Bài 32.
Cho ba số thực dương a , b, c . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
16  b  c  x 2  16ax  b  c  0

1
 2
 3

2

16  a  c  y  16by  a  c  0
16  a  b  z 2  16cz  a  b  0

Bài 33.
Cho a, b, c, d là bốn số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  d 2  4 .
Chứng minh rằng ít nhất một trong bốn phương trình ẩn x sau có nghiệm
ax 2  2 x  ab  0
1

bx 2  2 x  bc  0

 2
3
 3

2

cx  2 x  cd  0
dx 2  2 x  da  0
Bài 34.
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
4 x 2  4a ax  b 2 c  0
1

4 x 2  4b bx  c 2 a  0

 2
3

(với a , b, c là các tham số thực dương).

4 x 2  4c cx  a 2b  0
Bài 35. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  2ax  ac  0
1

x 2  2cx  c  0

 2  (với
3

a , b, c là các tham số thực).

x 2  2bx  ab  c
Bài 36. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  ax  b  1  0
1
x 2  bx  c  1  0
x 2  cx  a  1  c

 2
 3

(với a , b, c là các tham số thực).

Bài 37. Giả dụ a1a2  2  b1  b2  . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau có nghiệm
x 2  a1 x  b1  0 và x 2  a2 x  b2  0 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

4

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 38. Cho phương trình  x 2  2ax  2b  1 x 2  2bx  2a  1  0

(1); với a và b là các tham số thực.

Chứng minh phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi a và b.
Bài 39. Cho ba phương trình ẩn x với a, b, c là các tham số thực
ax 2  2bx  c  0
bx 2  2cx  a  0
cx 2  2ax  b  0
Chứng minh ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.

1
 2
 3

a  b  c ,

Bài 40. Cho phương trình ẩn x : a 2 x 2   a 2  b 2  c 2  x  b 2  0 với các tham số thực a, b, c thỏa mãn 
.
 a  b  c.

Chứng minh phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 41. Cho ba phương trình ẩn x với a , b, c là các tham số thực
9
ax 2   a  b  c  x  b  0
1

4
9
bx 2   a  b  c  x  c  0
 2
4
9
cx 2   a  b  c  x  a  0
 3
4
Chứng minh ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 42. Cho hai phương trình ẩn x với a, b, c là các tham số thực:
x 2  ax  b  c  0
1
x 2  bx  a  c  2
 2
Giả sử phương trình (1) vơ nghiệm. Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm.
Bài 43. Cho hai phương trình ẩn x với a, b, c, d là các tham số thực:
x 2  ax  b  0

1
x 2  cx  d  0
 2
a  a  c  c c  a   8  d  b   0 .

Giả sử a, b, c, d thỏa mãn bất đẳng thức:
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 44. Cho a, b, c, d là các tham số thực, trong đó a và b thỏa mãn a 2  b 2  1 .
Chứng minh phương trình ẩn x sau có nghiệm:  a 2  b 2  1 x 2  2 1  ac  bd  x  c 2  d 2  1  0 .
Bài 45. Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm:  a 2  b 2  x 2  2  a 3  b3  x  a 4  b 4  0 .
Bài 46. Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m:

x2  2x  m  0

 m  1  x 2  2 x  m   2  m  1  x 2  1

1
 2

Giả sử rằng (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình (2) vơ nghiệm.
Bài 47. Cho hai phương trình ẩn x với các tham số thực a, b, c, m, n, p :

ax 2  bx  c  0

1
 2

mx 2  nx  p  0
Giả dụ ít nhất một trong hai phương trình (1) hoặc (2) vơ nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình sau ln ln có nghiệm
 an  mb  x 2  2  ap  mc  x  bp  nc  0 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

5

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 48. Cho ba số thực x, y, z . Đặt a  x  y  z; b  xy  yz  xz; c  xyz .
Chứng minh rằng các phương trình ẩn t sau ln có nghiệm
t 2  2at  3b  0
1

at 2  2bt  3c  0
Bài 49. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với a là tham số thực
x 2  ax  8  0
2

x  xa 0
Xác định a để (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 50. Cho hai phương trình ẩn x tham số m
x2  2x  m  0

 2
1
 2
1
 2

x 2  mx  2  0
1. Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung.
2. Xác định m để hai phương trình trên tương đương với nhau.
3. Tìm m để hai phương trên đều có hai nghiệm phân biệt lớn hơn m.
Bài 51. Cho hai phương trình ẩn x tham số m
x 2  mx  1  0

x2  x  m  0
1. Tìm m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung.
2. Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau.
3. Định m để hai phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1.
Bài 52. Cho hai phương trình ẩn x tham số m
x2   m  2 x  3  0

1

2 x 2  mx  m  2  0

 2

1. Giải phương trình (1) với m  8 .
2. Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung.
3. Xác định m để (1) có các nghiệm phân biệt trái dấu với các nghiệm phân biệt của phương trình (2).
Bài 53. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
2 x 2   3m  5  x  9
1

6 x 2   7 m  15  x  19
 2
1. Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung.
2. Tìm m để hai phương trình tương đương với nhau.
3. Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1, đồng thời (2) có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 54. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m
x2   m  4 x  m  5  0
1
x2   m  2 x  m  1  0
1. Tính tổng các nghiệm của hai phương trình trên khi m  4 .
2. Định m để (1) và (2) có nghiệm chung.
3. Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau.
Bài 55. Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m
x 2   2m  3 x  6  0

 2

1
 2

2 x2  x  m  5  0
1. Xác định m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương đồng thời (2) có hai nghiệm cùng âm.
3. Định giá trị m để hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau.
CREATED BY HỒNG MINH THI;

6

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 56. Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương với nhau
x 2   3a  2b  x  4

x 2   2a  3b  x  2b  0
Bài 57. Tìm giá trị ngun của m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2 x 2   3m  1 x  3
1
6 x 2   2m  3  x  1
 2
Bài 58. Giả sử hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung duy nhất thì các nghiệm còn lại của (1) và (2) đều là
nghiệm của phương trình x 2  2 x  ab  0 .
x 2  ax  2b  0
1
(với a và b là hai tham số thực khác nhau).
2
x  bx  2a  0

 2
Bài 59. Cho hai phương trình ẩn x
x 2  ax  bc  0
1
(với a, b và c là các tham số thực khác 0 và khác nhau đôi một).
2
x  bx  ca  0
 2
Giả sử các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung.
1. Tìm nghiệm cịn lại của mỗi phương trình.
2. Chứng minh rằng các nghiệm cịn lại ấy thỏa mãn phương trình: x 2  cx  ab  0 .
Bài 60. Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m
3x 2  4 x  m  2  0
1
x 2  2mx  5  0

 2

1. Định m để (1) và (2) tương đương.
2. Tìm giá trị nguyên của m để (1) và (2) có nghiệm chung.
3. Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
3x2  4 x  m  2  x2  2mx  5  0 .
Bài 61. Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m
2 x 2  mx  1  0

1
 2

mx 2  x  2  0
1. Tìm m để (1) và (2) có nghiệm chung.

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
 x2  m  2 x2  mx 1 mx2  x  2   0 .
Bài 62. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a và b
x 2  ax  6  0
x 2  bx  12  0
Giả dụ hai phương trình trên có nghiệm chung. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a  b .
Bài 63. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m, n
x2  mx  3  0
x2  nx  5  0
Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm chung. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  m  n .
Bài 64. Giả sử hai phương trình ẩn x sau có nghiệm chung
x 2  ax  b  0
x 2  cx  d  0
2
Chứng minh đẳng thức  b  d    a  c  ad  bc   0 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

7

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 65. Cho hai phương trình ẩn x với các tham số a, b, c
x 2  bx  c  0

1
 2

x 2  b 2 x  bc  0

Biết (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 sao cho x3  x1  x4  x2  1 . Tìm b và c.
Bài 66. Cho hai phương trình ẩn x
ax 2  bx  c  0
1
cx 2  dx  a  0

 2

2
2
2
Biết (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 . Chứng minh rằng: x12  x2  x3  x4  4 .
Bài 67. Cho hai phương trình ẩn x với các tham số a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2

a1 x 2  b1 x  c1  0

1
a2 x 2  b2 x  c2  0
 2
2
Giả sử (1) và (2) có nghiệm chung. Chứng minh rằng  a1c2  a2 c1    a1b2  a2b1  b1c2  b2c1  .
Bài 68. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
x 2  mx  2m  3  0

1
 2

x2   m2  m  4  x  1  0

1. Định m để hai phương trình có nghiệm chung.

2. Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương.
3. Xác định m để (1) và (2) đều có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 69. Xác định các tham số m và n để hai phương trình ẩn x sau tương đương với nhau
x2   m  n  x  3  0
1

x 2  2 x  3m  n  5  0
Bài 70. Tìm m và n để hai phương trình ẩn x sau tương đương
x 2   2m  n  x  3m  0

 2
1
 2

2

x   m  3n  x  6  0
Bài 71. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m và n
x 2  mx  2m  1  0

1
 2

2

mx   2m  1 x  1
1. Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung.
2. Định m để hai phương trình trên tương đương.
Bài 72. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
x2  2x  m  0

x 2  2 x  3m  0
1. Tìm m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung.
2. Định m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau.
Bài 73. Cho hai phương trình ẩn x với p và q là các tham số
x 2  px  1  0
1

x 2  qx  1  0

 2

Giả dụ (1) có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 ; (2) có hai nghiệm phân biệt b1 , b2 .
Chứng minh rằng rằng:  a1  b1  a2  b1  a1  b2  a2  b2   q 2  p 2 .
Bài 74. Cho a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình bậc hai sau khơng có nghiệm hữu tỷ
ax 2  bx  c  0 .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

8

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 75. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2 x 2   3m  2  x  12  0

1
(m là tham số thực).
 2

2

4 x   9m  2  x  36  0
Bài 76. Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x
x 2   a  1 x  1  0
1
x 2   b  1 x  1  0

 2
 3
 4

x2  x  a  1  0

( a, b, c là các tham số thực).

x 2  cx  b  1  0
Biết rằng (1) và (2) có nghiệm chung; (3) và (4) có nghiệm chung.
2004a
Tính giá trị của biểu thức T 
.
bc
Bài 77. Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x
x 2  ax  1  0
1
x 2  bx  c  0
x2  x  a  0

 2
 3
 4

( a , b, c là các tham số thực).

x 2  cx  b  0
Biết rằng (1) và (2) có nghiệm chung; (3) và (4) có nghiệm chung. Tính giá trị biểu thức A  a  b  c .
Bài 78.
Cho x thỏa mãn phương trình x 2  2ax  9  0
;a  3.
2
Cho y thỏa mãn phương trình y  2by  9  0
;b  3 .
2

1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f  a; b   3  x  y      và các giá trị a, b tương ứng.
x y
Bài 79. Cho hai phương trình ẩn x
x 2  px  1  0
1
(p và q là các tham số thực).
x 2  qx  2  0
 2
Giả sử (1) có hai nghiệm là a và b; phương trình (2) có hai nghiệm là b và c.
Chứng minh hệ thức  b  a  b  c   qp  6 .
Bài 80. Cho hai phương trình (với các ẩn x và y; p và q là các tham số thực).
x 2  px  1  0
1
2

y 2  qy  1  0

 2
Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a và b; phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c và d.
2

Chứng minh đẳng thức:  a  c  a  d  b  c  b  d    p  q  .
Bài 81. Tìm tất cả các số nguyên không âm m sao cho phương trình sau có các nghiệm đều ngun
2

x 2   m  1 x  m  0 .

Bài 82. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2  px  q  0
(1); với p và q là các tham số thực.
2
1. Chứng minh rằng nếu 2 p  9 q  0 thì (1) có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
2. Cho p và q là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm ấy phải số
nguyên.
2
Bài 83. Giả dụ phương trình ẩn x: ax 2  bx  c  0 (a khác 0) có các nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 .
Chứng minh hệ thức: b3  a 2 c  ac 2  3abc .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

9

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 84. Chứng minh phương trình ẩn x sau vơ nghiệm: c 2 x 2   a 2  b 2  c 2  x  b 2  0 .

x2  4x
Bài 85. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ẩn x:

 3x  m .
1 x
Tìm giá trị thực của tham số m để biểu thức M  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 86.
1. Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax 2  bx  c  0 ( a, b, c là các tham số thực; a và b khác 0).
Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia là
3b 2  16ac  0 .
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax 2  bx  c  0 ( a, b, c là các tham số thực; a khác 0).
Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là

1  k 

2

ac  kb 2

 k  1 .

2

Bài 89. Cho phương trình: x   a  1 x  6  0
(1); với a là tham số thực.
1. Giải phương trình đã cho với a  6 .
2. Tìm a để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho
2
a) x12  x2  3x1 x2  34 .

5
b) x15  x2  211 .

Bài 90. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c . Giả dụ phương trình f  x   0 vơ nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình af 2  x   bf  x   c  x vô nghiệm.
Bài 91.
2
x12 x2
1. Tìm a để phương trình x  1  ax  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn bất đẳng thức

7.
x2 x1

2

2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình ẩn x: x 2  2kx  a 2  0
2

 a  0  ; với k và a là tham số thực.

2

x  x 
Xác định k theo a để  1    2   5 .
 x2   x1 
Bài 92. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 12 x 2  6mx  m 2  4 

12
 0 (1); với m là tham số thực.
m2

1. Giải phương trình đã cho với m  1 .
2. Khi (1) có hai nghiệm x1 , x2 . Hãy tìm giá trị của m sao cho

3
a) Biểu thức P  x13  x2 đạt giá trị lớn nhất.
3
b) Biểu thức P  x13  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 93. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x
x 2  ax  b  0
1
( a , b, c, d là các tham số thực).
x 2  cx  d  0
 2

Giả sử (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 . Chứng minh rằng
2

2  x1  x2  x1  x4  x2  x3  x3  x4   2  b  d    a 2  c 2   b  d    a 2  c 2   b  d  .

Bài 94. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số thực m
x2  x  m  0

1
 2

x 2  3x  m  0
1. Tìm m để hai phương trình trên đều vơ nghiệm.
2. Tìm m để nghiệm khác 0 của phương trình (2) bằng hai lần một trong các nghiệm của phương trình (1).
CREATED BY HỒNG MINH THI;

10

TRUNG ĐỒN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

Bài 95. Tìm a để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc khoảng  0;1 : 1  a  x 2   8a  1 x  6a  0 .
Bài 96. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a
x2  2x  a2  1  0
1
x 2  2  a  1 x  a 2  a  0
 2
Với giá trị nào của a thì nghiệm của phương trình (1) nằm giữa các nghiệm của phương trình (2) ?
Bài 97. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số s
x 2  3x  2s  0
1

x 2  6 x  5s  0
 2
Tìm s để hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt sao cho giữa khoảng hai nghiệm của (1) có đúng một
nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
Bài 98. Cho phương trình ẩn x: ax 2  bx  c  0
(1); với a, b, c là các tham số thực.
a
b
c
1. Giả sử tồn tại số thực m sao cho

  0 . Chứng minh (1) có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
m  2 m 1 m
 km  l 2 ,

2. Giả sử tồn tại các số thực k , l , m sao cho  a b c
    0.

k l m
Chứng minh (1) có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
Bài 99.
Giả dụ x1  0 là nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0 và x2  0 là nghiệm của phương trình  ax 2  bx  c  0 .
a
Chứng minh rằng phương trình x 2  bx  c  0 có đúng một nghiệm nằm trong khoảng  x1 ; x2  .
2
Bài 100.
Giả sử các phương trình ax 2  bx  c  0 và tam thức   x    x 2   x  c có nghiệm.
Các nghiệm của đa thức   x    x 2   x  c tạo thành miền chứa khoảng  0; 2  .
Chứng minh rằng phương trình a  0  x 2  b 1 x  c  2   0 có nghiệm.
Bài 101. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2   2sin   1 x  6sin 2  sin   1  0 (1); với  là góc lượng giác.
1. Tìm  để phương trình có nghiệm.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
M  x12  x2 .
Bài 102. Tìm giá trị nguyên của a và b để phương trình sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 2  x1  1  x2  2 .

x 2  ax  b  0 .
Bài 103. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x
x 2  3x  a  0
x 2  12 x  b  0

1
(a và b là các tham số thực).
 2

Giả sử (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 sao cho

x2 x3 x4

  . Xác định giá trị của a và b.
x1 x2 x3

Bài 104. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2   3sin   cos  x  4  4 cos 2  0

(1); với  là góc lượng giác.

1. Tìm  để phương trình có nghiệm.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
Z  x12  x2 .

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

11

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 105. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F  x1 x2  2 x1  2 x2 biết x1 , x2 là nghiệm của phương trình
2

x 2  mx   m  2   0 .
Bài 106. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2 x 2  mx  1  0
1
(m là tham số thực).
mx 2  x  2  0
 2
Bài 107.

1. Tìm giá trị nguyên của m để phương trình  m  1 x 2  2  m  2  x  m  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho
biểu thức x1  x2  x1 x2 là một số nguyên.
2. Tìm giá trị nguyên của m để x 2  2ax  a  3  0 có nghiệm ngun.
Bài 108.
1. Định m để phương trình  m  1 x2  2  m  3  x  m  4  0 có hai nghiệm bé hơn 2.
2. Tìm m để phương trình mx 2  2  m  3  x  m  6  0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm lớn hơn 5 và một
nghiệm bé hơn 2.
3. Với giá trị nào của m để x 2   2  m  x  2  m  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
2

2

 x1   x2 
     7.
 x2   x1 
Bài 109. Tìm tất cả các số dương a, b, c, d sao cho ba điều kiện sau thỏa mãn

1. Phương trình ax 2  bdx  x  0 có hai nghiệm là x1 , x2 .
2. Phương trình bx 2  cdx  a  0 có hai nghiệm là x2 , x3 .
3. Phương trình cx 2  adx  b  0 có hai nghiệm là x1 , x3 .
Bài 110. Cho phương trình ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm thuộc đoạn  0;1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

 a  b  2a  b  .
a a  b  c

Bài 111.
1. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  1  m  x  m2  2m  2  0 .
2
Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị bé nhất: P  x12  x2 .

2. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2   m  1 x  2m 2  8m  6  0 .
Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị bé nhất: P  x1 x2  2  x1  x2  .
Bài 112. Giả dụ phương trình x 2   m  4  x  m 2  3m  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Chứng minh rằng
1

mx12 mx12
121
.

8 
1  x1 1  x1
9

Bài 113.
1. Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 có một nghiệm dương x1 .
Chứng tỏ rằng khi đó phương trình cx 2  bx  a  0 cũng có một nghiệm dương x2 đồng thời x1  x2  2 .
2. Cho phương trình bậc n ẩn x: a0 x n  a1 x n 1  ...  an  0 , các nghiệm nếu có thì có giá trị tuyệt đối không
vượt quá giá trị biểu thức M  1  max

ak
; kn  1; 2;3;...; n .
a0

Bài 114. Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi  : 2 x 2   cos  1 x  4  sin 2   0 .
2
Tìm  để biểu thức P  x12  x2 đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ nhất.

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

12

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 115.
1. Tìm k để số 1 nằm giữa hai nghiệm của phương trình kx 2  2 1  k  x  k  1  0 .
2. Tìm m để phương trình mx 2  2  m  3 x  m  4 có nghiệm dương.
Bài 116. Cho bốn phương trình ẩn x với a và b là các tham số thực
x 2  2 ax  4b 2  0
1

x 2  2bx  4a 2  0
x 2  4ax  b 2  0

 2
3
 4

x 2  4bx  a 2  0
Chứng minh rằng trong bốn phương trình trên ln có ít nhất hai phương trình có nghiệm.
Bài 117.
1
1
1. Lập phương trình bậc hai với hệ số ngun có hai nghiệm là
;
.
10  72 10  72
x
x

13
2. Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm thỏa mãn x1  x2  1; 1  2  .
x1  1 x2  1 6
Bài 119.
1. Tìm giá trị nguyên của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên
4 x 2  4mx  2m2  2m  5  0 .
2. Tìm giá trị nguyên của m để phương trình sau có nghiệm đều là những số nguyên
 m  1 x 2   m  1 x  m  3  0 .
Bài 121. Gọi  ,  là hai nghiệm phân biệt của phương trình x 2  x  k  1  0 .
Đặt an 

n n
với n là số tự nhiên. Tìm k để a9 a10  a8 a11  1 .
 

Bài 122.
1. Cho phương trình x 2  ax  b  0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Biết a và b là hai số thực thỏa mãn
5a  b  22 . Tìm hai nghiệm đó.
2. Cho phương trình 2 x 2  mx  2n  8  0 (x là ẩn số; m và n là các số nguyên). Giả dụ phương trình có các
nghiệm đều là những số ngun. Chứng minh rằng m2  n2 là hợp số.
Bài 123. Cho a , b, c là ba số thực đôi một thỏa mãn đồng thời
ma 2  na  p  0
mb 2  nb  p  0
mc 2  mc  p  0

Bài 124. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 0  a  b và phương trình ax 2  bx  c  0 vô nghiệm.
a bc
Chứng minh rằng
 3.
ba

Bài 125. Cho phương trình x 2  2mx  1  0
(1). Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
2
2
Tìm m để biểu thức X  x12  x12  2012   x2  x2  2012  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 126. Cho biểu thức P  x   x8  12 x  12  3x .
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2  x  1  0 . Chứng minh P  x1   P  x2  .
Bài 127. Cho phương trình x 2  mx  2m  4

(1); với m là tham số thực.

Tìm giá trị nguyên dương của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho A 

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

13

x1 x2
nhận giá trị nguyên.
x1  x2

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 128. Cho phương trình 2 x 2  x  2  0 có hai nghiệm x1 , x2 .
x12
x2
 2 .
x1  1 x2  1

2
2
2. Lập phương trình bậc hai theo t có hai nghiệm là t1  x1  ; t2  x2  .
x1
x2
Bài 129. Cho hai phương trình ẩn x; với a , b, c là các tham số thực sao cho ca  0 .

1. Khơng giải phương trình; tính giá trị biểu thức P 

ax 2  bx  c  0

1
 2

cx 2  bx  a  0
Gọi  ,  tương ứng là nghiệm lớn nhất của hai phương trình trên. Chứng minh:     2 .

Bài 130. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  x  1  0 .
10
10
9
8
8
1. Chứng minh S  x1  x2  x19  x2   x1  x2   0 .
7
2. Tính S 7  x17  x2 .
Bài 131.
1. Tìm giá trị ngun của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: x 2  2mx  3m2  8m  6  0 .
2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 2  b 2  ab  c 2 . Chứng minh rằng phương trình sau có hai nghiệm

phân biệt: x 2  2 x   a  c  b  c   0 .
4
5
3. Tìm p để phương trình x 2  x  p  0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho  x14  x2  x15  x2  Max .

4. Cho phương trình x 2  2  m 2  1 x  2m 2  1  0

(1);với m là tham số thực.

Tìm giá trị nguyên của m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 sao cho P 

1 1
 đạt giá trị nguyên.
x1 x2

Bài 132. Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  3  0
(1); với m là tham số thực.
1. Giải phương trình với m  3 .
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x1  x2 x1  x2 .
Bài 133. Cho phương trình x 2  4 x  m2  3m  0
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
2
2. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị m sao cho x1  1  x2  4 x2 .
Bài 134. Cho a và b là hai nghiệm của phương trình x 2  x  1  0 . Tính giá trị của biểu thức
A   a 2011  a 2012  a 2008  a 6  5  b  b 2011  b 2012  b 2008  b 2009  b 6  5  a  .
Bài 135. Cho phương trình ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm thuộc đoạn  0; 2  .

 a  b  2a  b  .

a  2a  b  c 
2
x  2  m  2  x  2m  2  0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
Bài 136. Cho phương trình

(1); với m là tham số thực.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 tương ứng là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng có độ

6
.
3
Bài 137. Cho phương trình x 2  5 x  1 có các nghiệm là x1 , x2 .
Lập phương trình bậc hai ẩn y (với hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là
1
1
y1  1  ; y2  1  .
x1
x2
dài đường cao ứng với cạnh huyền là

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

14

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

Bài 138. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c có các hệ số a , b, c là các số nguyên; a khác 0.
Biết f  0  ; f 10  là các số lẻ, chứng minh rằng phương trình f  x   0 khơng có nghiệm ngun.
Bài 139. Cho số thực a khác 1 . Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm số x1 , x2 thỏa mãn hệ thức sau
 4 x1 x2  4  5  x1  x2  ,


1
.
 x1  1 x2  1 
1 a

Bài 140. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 4 x 2  2  a  b  x  ab  0
(1); với a và b là các tham số thực.

1. Giải phương trình đã cho với a  2; b  2  5 .
2. Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm với mọi giá trị của a và b.
3 x  x  2a 2 ,
3. Tìm a và b để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  1 2
8 x1 x2  3a  b.
2
Bài 141. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x  x  1  0 .
2
4
2001
2003
Chứng minh rằng các biểu thức P  x12  x2  x14  x2 và Q  x12001  x2  x12003  x2 chia hết cho 5.

Bài 142. Cho phương trình  m  1 x 2   2m  1 x  m  5  0
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để tập hợp nghiệm của phương trình chỉ có một phần tử.

2. Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 3.
3. Cho số thực a khác 1. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm x1 , x2 , tìm giá trị của a để biểu thức sau khơng
phụ thuộc vào tham số m: R   x1  a  x2  a  .
Bài 143. Cho phương trình x 2  8 x  m  0

(1); với m là tham số thực.
x
x
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1). Tính theo m biểu thức M  1  2 .
x1  3 x2  3
Bài 144. Giả sử phương trình x 2  ax  b  1  0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng a 2  b 2 là hợp số.
Bài 145. Cho phương trình x 2  mx  1  0
(1); m là tham số nguyên dương.
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1).
5
1. Chứng minh rằng x15  x2 là số nguyên.
5
2. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để x15  x2 là bội của 25.
Bài 146. Cho ba phương trình ẩn x, với a , b, c là các tham số thực

x 2  ax  1  0
x 2  bx  1  0

1
 2
 3

x 2  cx  1  0
Giả sử: Tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm nào đó của phương trình (2) bằng một nghiệm của
phương trình (3). Chứng minh a 2  b 2  c 2  abc  4 .

Bài 147. Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0
(1); với a, b và c là các tham số thực.
n
n
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt S n  x1  x2 . Chứng tỏ rằng aS n 2  bSn 1  cS n  0 .
Bài 148.
7
1. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của x 2  2 x  2  0 . Tính S 7  x17  x2 .

2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  6 x  1  0 .
n
Chứng minh rằng S n  x1n  x2 chia hết cho 5.

3. Tìm đa thức bậc 7 có hệ số ngun và nhận p 
CREATED BY HỒNG MINH THI;

7

3 75
là nghiệm.

5
3

15

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 149. Cho phương trình x 2  4 x  6  0 .

1. Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
n
2. Đặt S n  x1n  x2 . Chứng minh hệ thức S n  2  4 S n 1  6 S n  0 .
3. Chứng minh rằng S n là số nguyên với mọi số nguyên dương n.
4. Chứng minh rằng S n là số nguyên chẵn với mọi số nguyên dương n.

Bài 150. Cho phương trình x 2  mx  4  0 .
1. Chứng minh phương trình đã cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m.
2x  2x  7
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 2 22 .
x1  x2
3. Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên.
Bài 151. Cho phương trình ẩn x: x 2  5mx  1  0
(1); với m là tham số nguyên.
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
n
1. Chứng minh rằng S n  x1n  x2 là số nguyên với mọi số tự nhiên n.
2008
2. Tìm số dư trong phép chia S 2008  x12008  x2 cho 5.
Bài 152.
Tìm tất cả các số nguyên p sao cho phương trình 2 x 2   p  1 x  p  2008  0 có các nghiệm là những số ngun.

Bài 153. Tìm các số thực a và b để phương trình sau có nghiệm số kép x0  3 :  a  b  x 2   2a  5  x  3b  0 .
Bài 154. Cho phương trình x 2  4 x  1  0 .
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 .
5
1. Chứng minh x15  x2 là một số nguyên.

n
x1n  x2

với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng an là một số nguyên với mọi n.
2 3
Bài 155. Cho tam thức f  x   x 2  20 x  11 .

2. Đặt an 

1. Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho

f  x  là một số hữu tỷ.

2. Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho

f  x  là một số nguyên dương.

Bài 156. Tìm giá trị thực của b để có x thỏa mãn: x 2  bx  1  x 2  x  b .
Bài 157. Cho phương trình x 2  ax  b  0 , có hai nghiệm là x1 , x2  x1  x2  . Đặt un 

n
x1n  x2
(n là số tự nhiên).
x1  x2

n

Tìm giá trị của a và b sao cho đẳng thức un 1un  2  unun 3   1 với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra un  un1  un  2 .
Bài 158. Cho phương trình bậc hai: x 2  2  m  1 x  m 2  m  1  0
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1  x2  3 .
3. Định giá trị của m để tập giá trị của hàm số y  x 2  2  m  1 x  m 2  m  1 chứa đoạn  2;3 .

Bài 159. Cho a và b là hai số thực thỏa mãn a  b  2 . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
x 2  2a 2bx  b 5  0
x 2  2ab 2 x  a 5  0
Bài 160. Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 ; với a, b, c là các hệ số hữu tỷ, a khác 0.

Giả sử phương trình có một nghiệm vô tỷ là x1  m  n  m; n    .
Chứng minh phương trình sẽ có nghiệm thứ hai x2  m  n  m; n    .
CREATED BY HOÀNG MINH THI;

16

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH


Bài 161. Cho phương trình bậc n  n  2  có hệ số hữu tỷ và một nghiệm vô tỷ là x1  m  n  m; n    .
Chứng minh rằng x2  m  n  m; n    cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 162. Chứng minh rằng một phương trình bậc hai khơng thể có nghiệm hữu tỷ nếu các hệ số bậc hai.
Bài 163. Cho hai số dương a và b. Ký hiệu f  a; b  là nghiệm dương của phương trình

Xét tập hợp M 

 a; b  a  b  0; ab 

 a  b  x 2  2  ab  1 x  a  b .
ab  . Tìm giá trị nhỏ nhất của f  a; b  khi  a; b   M .

b c 
Bài 164. Gọi x0 là nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 . Đặt M  max  ;  .
a a
Chứng minh rằng x0  1  M .

2

2

2

Bài 165. Giả dụ phương trình  x  a    x  b    x  y   c 2 có nghiệm. Chứng minh a  b  c 3 .
2

Bài 166. Cho f  x   x 2  x  8 . Giải phương trình  f  x    f  x   8  x .


Bài 167. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn f  x   1x   1;1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  4a 2  3b 2 .

 f  3  10,

Bài 168. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn  f  1  0,

 f 1  1.
Hãy xác định dấu của hệ số a.
Bài 169.
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn f  x   1x   1;1 . Chứng minh rằng a  b  c  3 .

b

Bài 170. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c với a khác 0. Chứng minh rằng f  m   f  m    m    .
a

Bài 171.

1. Tìm giá trị nguyên của m để phương trình mx 2  2  m  3  x  m  2  0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu
thức sau nhận giá trị nguyên S 

1 1
 .
x1 x2

2. Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều nguyên: y  x 2   3  m  x  2m  5 .
3. Định m để phương trình x 2  m 2  7  mx có nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.
Bài 172. Cho hai phương trình ẩn x: x 2  mx  n  0; x 2  px  q  0 .
2

2

Biết rằng  m  p    n  q   0 . Chứng minh rằng nếu hai phương trình có đúng một nghiệm chung thì hai
nghiệm cịn lại là hai số hữu tỷ phân biệt.
Bài 173. Chứng minh phương trình  n  1 x 2  2 x  n  n  2  n  3  0 có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n.
Bài 174. Cho phương trình ax 2  bx  c  0
2

2

 a  0  có hai nghiệm là

x1 , x2 thỏa mãn ax1  bx2  c  0 .

3

Tính giá trị của biểu thức P  a c  ac  b  3abc .

CREATED BY HOÀNG MINH THI;

17

TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH