về các vành noether không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Hoài Thương

VỀ CÁC VÀNH NOETHER
KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Hoài Thương

VỀ CÁC VÀNH NOETHER
KHÔNG GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số.
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN

*****

Trước tiên qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lời
chúc sức khỏe tốt đẹp nhất đến các thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ
VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI, TS TRẦN TUẤN
NAM và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tôi cùng các
bạn học viên cao học khóa 20.
Đặc biệt tôi kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG
TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này.
Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến tất cả các bạn học viên cao
học khóa 20 đã gắn bó với tôi trong quá trình học tập tại trường và quý thầy cô
khoa Toán và phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập,
nghiên cứu.
Và cuối cùng xin cảm ơn gia đình tôi cùng những người bạn đã hỗ trợ,
động viên tôi để hoàn thành luận văn này.

TP Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012
Tác giả luận văn
Phạm Thị Hoài Thương


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................................3
MỤC LỤC.................................................................................................................................................4
LỜI MỞ ĐẦU ..........................................................................................................................................5

Hệ thống các kí hiệu............................................................................................................................6
CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ..........................................7
1.1. MÔĐUN .......................................................................................................................7
1.2. VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ ................................................. 10

1.3.RADICAL NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH ........................................................... 17
1.4. VÀNH ĐƠN, VÀNH NỬA ĐƠN .............................................................................. 18
1.5. VÀNH NGUYÊN THỦY, VÀNH NỬA NGUYÊN THỦY ..................................... 21
1.6. RADICAL JACOBSON CỦA MỘT VÀNH ............................................................. 23
CHƯƠNG 2: LỚP CÁC VÀNH NOETHER VÀ ARTIN ................................................................ 25
2.1. VÀNH NOETHER: .................................................................................................... 25
2.2.VÀNH ARTIN ............................................................................................................ 28
CHƯƠNG 3 : MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU VỀ LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO
HOÁN.................................................................................................................................................... 35
3.1. SỬ DỤNG CÁC MA TRẬN NHƯ VẬT LIỆU ĐỂ XÂY DỰNG VÍ DỤ VỀ
VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN. ......................................................................................... 35
3.2.ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HILBERT: ........................................................................ 45

Kết luận .............................................................................................................................................. 49
Tài liệu tham khảo ......................................................................................................................... 50


LỜI MỞ ĐẦU

Các vành Noether không giao hoán đã được nghiên cứu từ rất lâu và là lớp
vành quan trọng trong Đại số không giao hoán. Nhưng những ví dụ và những hình
ảnh cụ thể về nó đôi khi chưa được miêu tả một cách đầy đủ.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về lớp các vành Noether không
giao hoán , đưa ra những ví dụ về những mô hình cụ thể để chứng minh rằng đây là
lớp vành rất rộng.
Do giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ xây dựng các ví dụ về lớp các vành
Noether không giao hoán theo hai hướng:
1/ Sử dụng vật liệu là các ma trận.
2/ Sử dụng vật liệu là vành đa thức một ẩn và vành đa thức nhiều ẩn trên
vành R không giao hoán.

Nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: nội dung cơ bản về vành không giao hoán.
Chương 2: Lớp các vành Noether và Artin.
Chương 3: Một số tìm hiểu sâu về lớp các vành Noether không giao hoán.


Hệ thống các kí hiệu
E(M): tập các tự đồng cấu của nhóm cộng M.
{r ∈ R : Mr =
(0)}
AR ( M ) =

R R : R là môđun phải trên chính nó.
R R:

R là môđun trái trên chính nó.

M R : M là môđun phải trên R.
R M:

M là môđun trái trên R.

SBT:

B là (S,T)- song môđun.

K[x]: Vành đa thức một ẩn với hệ số trên vành K.
K[x 1 ,...,x n ]: Vành đa thức nhiều ẩn với hệ số trên vành K.

I( A ) =

{r ∈ R / rA ⊆ A}


CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO
HOÁN
1.1. MÔĐUN
Định nghĩa1.1.1
M được gọi là R – môđun trung thành nếu với r ∈ R mà Mr = (0) thì r = 0.
Cho M là một R – môđun. Ký hiệu AR ( M ) =
{r ∈ R : Mr =
(0)}
Bổ đề 1.1.2
AR(M) là iđêan hai phía của R. Hơn nữa, M là R A( M ) - môđun trung thành.
Cho M là một R – môđun. Với mỗi r ∈ R , ta được một tự đồng cấu nhóm cộng
Tr : M → M , Tr (m)= mr , ∀m ∈ M

Ký hiệu E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng M. Trên E(M) ta trang bị hai
phép toán cộng và nhân như sau:
Phép cộng: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ + ψ)(m) = ϕ(m) + ψ(m), ∀m ∈ M
Phép nhân: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ.ψ )(m) =ϕ(ψ (m)), ∀m ∈ M
Khi đó, (E(M), +, .) là một vành.
Xét ánh xạ φ : R → E ( M ), φ(r )= Tr , ∀r ∈ R . Rõ ràng φ là một đồng cấu vành. Kiểm
tra trực tiếp ta được
được R

AR ( M )

Ker φ = AR ( M ) . Do đó, theo định lý Noether ta

≅ Imφ

Bổ đề 1.1.3
R

A( M )

đẳng cấu với vành con của vành E(M).

Định nghĩa 1.1.4
Cho M là một R – môđun. Ta định nghĩa commuting của vành R là
C ( M ) = {ϕ∈ E ( M ) : Tr ϕ = ϕTr , ∀r ∈ R}


Định nghĩa 1.1.5
M được gọi là R – môđun bất khả quy nếu nó thỏa hai tính chất
1) MR ≠ (0)
2) M chỉ có hai môđun con là (0) và M
Định lý 1.1.6. (bổ đề Schur)
Nếu M là một R – môđuun bất khả quy thì C(M) là một vành chia
Chứng minh.
Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh mọi phần tử
khác không trong C(M) đều khả nghịch. Tuy nhiên, nếu 0 ≠ ϕ ∈ C ( M ) mà có
ϕ−1 ∈ E ( M ) thì từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) . Do đó,

ta chỉ cần chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch trong
E(M).
Với mọi 0 ≠ ϕ ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M là môđun trung thành nên
ϕ( M ) =
M . Tức ϕ toàn cấu. Mặt khác, nếu Kerϕ ≠ (0) thì cũng do M là môđun

trung thành nên Ker ϕ = M , suy ra ϕ =0 (MT). Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ là đơn cấu.
Vậy ϕ là đẳng cấu. Suy ra ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) . Đây là điều ta cần
chứng minh.
Định nghĩa 1.1.7
Một iđêan phải ρ của vành R được gọi là chính quy nếu tồn tại r ∈ R sao cho
x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R .

Bổ đề 1.1.8
Nếu M là một R– môđun bất khả quy thì M đẳng cấu (như một môđun) với R–
môđun thương R ρ , trong đó ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy nào đó của R.
Ngược lại, nếu ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R thì R ρ là R – môđun
bất khả quy.


Chứng minh.
Vì M là R – môđun bất khả quy nên MR ≠ (0) .
Ký hiệu: S =
{u ∈ M : uR =
(0)}
Dễ thấy S là môđun con của M. Do MR ≠ (0) nên S ≠ M , mà M là môđun bất khả
quy nên S = (0). Điều này có nghĩa là ∃m ∈ M \{0}: mR ≠ (0) . Nhưng mR cũng là
môđun con của môđun trung thành M nên mR = M .
Xét R- đồng cấu ϕ : R → M , ϕ(r=
) mr ∀r ∈ R . Ta có ϕ( R) = mR = M nên ϕ laà toàn
cấu. Theo định lý Noether, M ≅ R ρ , với =
ρ Ker ϕ . Ta còn phải chứng minh
=
ρ Ker ϕ là iđêan tối đại và chính quy.

+) =

ρ Ker ϕ là iđêan tối đại của R: giả sử ρ′ là iđêan phải của R thỏa ρ ⊂ ρ′ . Khi
≠

đó, ρ′ ρ ≠ (0) . Mặt khác, M ≅ R ρ nên R ρ là môđun chính quy, do đo,
ρ′= R ⇒ =
ρ′ R .
ρ
ρ

Tức ρ là iđêan phải tối đại của R.
+) =
ρ Ker ϕ chính quy: vì mR = M nên ta suy ra
∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R
⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R .

Tức =
ρ Ker ϕ là iđêan chính quy.
Ngược lại, giả sử ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R, ta sẽ chứng minh
R

ρ

là R– môđun bất khả quy.

+) R ρ=
.R R ≠ (0)
ρ


+) Giả sử ρ′ ρ là một môđun khác không của R ρ . Khi đó, ρ ⊂ ρ′ . Nhưng ρ là iđêan

≠
phải tối đại của R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ .
Vậy R ρ là R – môđun bất khả quy.
1.2. VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ
Định nghĩa 1.2.1
Một idean nguyên tố trong vành R là một idean thực sự P của R thỏa mãn nếu I, J là
các idean của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P .
Một vành nguyên tố là vành mà trong đó 0 là idean nguyên tố.
Chú ý rằng một vành nguyên tố phải khác 0.
Mệnh đề 1.2.2
Với một idean thực sự của vành R, các điều kiện sau là tương đương:
a) P là idean nguyên tố.
b) Nếu I, J là các idean của R thực sự chứa P thì IJ ⊄ P
c) R/P là vành nguyên tố.
d) Nếu I, J là các idean phải của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P
e) Nếu I, J là các idean trái của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P
f) Nếu x, y ∈ R và xRy ⊆ P thì hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P
Chứng minh:
a ) ⇒ b) Hiển nhiên.
b) ⇒ c) Lấy I và J là các idean trong R/P, tồn tại các idean I ' ⊇ P và J ' ⊇ P trong

R sao cho I’/P=I và J’/P=J.
Nếu IJ=0 thì I ' J ' ⊆ P . Do b), hoặc I’=P hoặc J’=P và vì thế hoặc I=0 hoặc J=0.
c) ⇒ a ) Nếu I và J là các idean của R thỏa IJ ⊆ P thì (I+P)/P và (J+P)/P là các

idean của R/P mà có tích bằng 0.


Khi đó (I+P)/P=0 hoặc (J+P)/P=0, từ đó hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P
a ) ⇒ d ) Vì I là idean phải, (RI)(RJ)=RIJ ⊆ P . Do đó hoặc RI ⊆ P hoặc RJ ⊆ P

d ) ⇒ f ) Vì ( xR )( yR ) ⊆ P , hoặc xR ⊆ P hoặc yR ⊆ P
f ) ⇒ a ) Cho idean I ⊄ P và J ⊄ P , chọn các phần tử x ∈ I \ P và y ∈ I \ P . Khi

đó xRy ⊄ P , từ đó IJ ⊄ P
a ) ⇔ e) Chứng minh tương tự.

Từ mệnh đề 1.2.2 bằng quy nạp kéo theo rằng nếu P là idean nguyên tố trong vành
R và J 1 , J 2 , ...,J n là các idean phải của R sao cho J1 J 2 ... ⊆ P thì tồn tại J i ⊆ P .
Mệnh đề 1.2.3
Mọi idean tối đại M của vành R đều là idean nguyên tố.
Chứng minh:
Nếu I, J là các idean của R không chứa trong M, thì I+M=R và J+M=R. Ta có:

R = ( I + M )( J + M ) = IJ + IM + JM + M 2 ⊆ IJ + M
Và do đó IJ  M ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.3 cùng với bổ đề Zorn chỉ ra rằng mọi vành khác 0 đều có ít nhất một
idean nguyên tố.
Một idean nguyên tố tối tiểu trong vành R là một idean nguyên tố của R không thực
sự chứa bất kì các idean nguyên tố khác.
Nếu R là vành nguyên tố thì 0 là idean nguyên tố tối tiểu của R, và nó là duy nhất.
Mệnh đề 1.2.4
Bất kì idean nguyên tố P trong vành R chứa một idean nguyên tố tối tiểu.
Chứng minh:


Lấy X là tập các idean nguyên tố của R chứa trong P. chúng ta sử dụng bổ đề Zorn
trong X để chỉ ra rằng bất kì dây chuyền khác rỗng Y ⊆ X đều có cận dưới trong
X.
Đặt Q = ∩Y là một idean của R, và rõ ràng rằng Q ⊆ P . Ta chứng tỏ rằng Q là
idean nguyên tố.

Với x,y∈ R và xRy ⊆ Q , nhưng x ∉ Q . Ta chứng minh y ∈ Q . Khi đó x ∉ P ' với
P’ nào đó ∈ Y . Vì xRy ⊆ Q ⊆ P ' và P’ nguyên tố , từ đó y ∈ P '
Với bất kì P '' ∈ Y mà P '' ⊆ P ' , ta có x ∉ P '' và xRy ⊆ Q ⊆ P '' nên y ∈ P ''
Với P '' ∈ Y và P ''  P ' thì P '  P '' và vì thế y ∈ P ''
Do đó, y ∈ P '' với mọi P '' ∈ Y , và vì thế y ∈ Q , chứng tỏ Q là idean nguyên tố.
Lúc này Q ∈ X và Q là cận dưới của Y.
Do đó, theo bổ đề Zorn cho chúng ta một idean nguyên tố P* ∈ X mà tối tiểu trong
các idean của X.
Vì bất kì idean nguyên tố chứa trong P* đều trong X, chúng ta kết luận rằng P* là
một idean nguyên tố tối tiểu của R.
Cho một idean I trong vành R và một idean nguyên tố P chứa I, theo mệnh đề I.2.4
thì idean nguyên tố P/I chứa một idean nguyên tố tối tiểu Q/I của R/I.
Khi đó Q là idean nguyên tố của R chứa I và là tối tiểu trong số các nguyên tố chứa
I. Tóm lại, Q là nguyên tố tối tiểu trên I.
Mệnh đề 1.2.5
Trong vành Noether trái hoặc phải, tồn tại hữu hạn các idean nguyên tố tối tiểu mà
tích hữu hạn của các idean nguyên tố tối tiểu đó (cho phép lặp lại ) bằng 0.
Chứng minh:
Chú ý rằng chứng minh sau không đòi hỏi bắt buộc về giả thiết vành Noether trái
hoặc phải, chỉ cần điều kiện ACC trên các idean hai phía.


Đủ để chứng minh rằng tồn tại các idean nguyên tố P 1 ,…,P n trong R sao cho
P 1 P 2 …P n =0.
Để thấy điều này, chú ý rằng sau khi thay thế mỗi P i bởi một idean nguyên tố tối
tiểu trong nó, chúng ta có thể thừa nhận rằng mỗi P i là tối tiểu.
Vì bất kì nguyên tố tối tiểu P chứa P 1 P 2 ...P n , nó phải chứa một P j nào đó, từ đó
P=P j , do tính tối tiểu.
Do đó idean nguyên tố tối tiểu của R được chứa trong tập hữu hạn {P 1 ,…,P n }.
Giả sử không có tích hữu hạn các idean nguyên tố trong R bằng 0.

Lấy X là tập các idean K trong R mà không chứa tích hữu hạn các idean nguyên tố.
Vì X chứa 0, nên khác rỗng.
Do giả thiết vành Noether, tồn tại phần tử tối đại K ∈ X .
Do đó chúng ta có thể thừa nhận, không mất tính tổng quát, rằng không có tích hữu
hạn của các idean nguyên tố trong R bằng 0, trong khi tất cả các idean khác 0 của R
chứa tích hữu hạn các idean nguyên tố.
Đặc biệt, 0 không thể là idean nguyên tố. Do đó, tồn tại các idean khác không I, J
trong R sao cho IJ=0.
Khi đó tồn tại các idean nguyên tố P 1 ,…P m ,Q 1 ,…,Q n trong R với PP
1 2 ...Pm ⊆ I và

Q1Q2 ...Qn ⊆ J . Nhưng khi đó PP
1 2 ...Pm Q1Q2 ...Qn = 0 mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó tồn tại tích hữu hạn các idean nguyên tố trong R bằng 0.
Định nghĩa 1.2.6
Một idean nửa nguyên tố trong vành R là một idean của R mà là giao của các idean
nguyên tố (quy ước giao của họ rỗng các idean nguyên tố của R là R, vì thế R là
idean nửa nguyên tố của chính nó).
Một vành nửa nguyên tố là một vành mà trong đó 0 là idean nửa nguyên tố. Chú ý
rằng một idean P trong vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu R/P là vành nửa
nguyên tố.


Bổ đề 1.2.7
Cho R là vành và X là tập con của R sao cho 0 ∉ X và X là đóng với phép nhân.
Lấy P là một idean của R được chọn tối đại đối với tính chất mà P và X rời nhau.
Khi đó P là idean nguyên tố.
Chứng minh:
Chúng ta chứng minh theo điều kiện b của mệnh đề 1.2.2:
Nếu I và J là các idean của R sao cho I ⊃ P và J ⊃ P , khi đó IJ ⊄ P .

Vì I ⊃ P , do tính tối đại của P, có một phần tử x ∈ I \ P mà P ∩ X =
∅ nên

x∈ X ∩ I .
Tương tự, vì J ⊃ P nên tồn tại y ∈ X ∩ J . Khi đó xy ∈ IJ và xy ∈ X (vì X là đóng
với phép nhân).
Vì P và X là rời nhau, kéo theo IJ  P , ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.8
Nếu R là vành giao hoán, thì:
a) Giao của tất cả các idean nguyên tố của R là tập các phần tử lũy linh của R.
b) Với mỗi idean I của R, giao của tất cả các idean nguyên tố của R chứa I là
tập các phần tử r ∈ R sao cho r n ∈ I với n là số nguyên dương nào đó.
c) Vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu nó không chứa các phần tử lũy linh
khác 0.
Chứng minh:
Nếu r là một phần tử lũy linh của R, thì r phải chứa trong mọi idean nguyên tố, vì
nếu P là một idean nguyên tố, R/P không có phần tử lũy linh khác 0.
Do đó, tất cả các phần tử lũy linh đều nằm trong giao của các idean nguyên tố.
Ngược lại, nếu r không lũy linh, thì lấy
=
X

{r

n

| n ∈ N } , chúng ta có thể áp dụng

bổ đề 1.2.7 để có được một idean nguyên tố P của R mà r ∉ P và vì thế r không
nằm trong giao của các idean nguyên tố.

Rõ ràng, b) kéo theo từ a) bằng cách chuyển sang vành R/I, và c) là trường hợp đặc
biệt của a).
Định lý 1.2.9: [Levitzki, nagata]
Một idean I của vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu (*) bất cứ khi nào x ∈ R
với xRx ⊆ I thì x ∈ I .
Chứng minh:

{

}

Đầu tiên ta giả sử rằng I bằng giao của họ P | j ∈ J các idean nguyên tố.
j
Lấy x ∈ R với xRx ⊆ I , chúng ta có xRx ⊆ Pj với mỗi j ∈ J , P j nguyên tố.
Khi đó x nằm trong mỗi P j , từ đó x ∈ I .
Ngược lại , giả sử (*) đúng. Chúng ta chứng minh rằng I bằng giao của tất cả các
idean nguyên tố của R chứa I.
Do đó cho bất kì x ∈ R \ I chúng ta cần một idean nguyên tố P ⊇ I sao cho x ∉ P .
Đặt x o =x. Do (*), x0 Rx0 ⊄ I và vì thế ta có thể chọn 1 phần tử x1 ∈ x0 Rx0 \ I .
Cũng do (*) đối với x 1 ta có thể chọn phần tử x2 ∈ x1 Rx1 \ I .
Tiếp tục quá trình này ta có các phần tử

x 0 , x 1 ,x 2 ,…trong R\I sao cho

xi +1 ∈ xi Rxi ∀i . Chú ý rằng (bằng quy nạp) nếu J là idean bất kì của R và x ∈ J thì
j

x ∈ J ∀n ≥ j .

n

Bây giờ xi ∉ I ∀i . Do bổ đề Zorn, có một idean P ⊇ I tối đại với tính chất

xi ∉ P ∀i Đặc biệt x= x0 ∉ P và P là idean thực sự của R. Chúng ta cần chỉ ra P là
idean nguyên tố.
Lập luận bây giờ giống như trong chứng minh mệnh đề 1.2.7.
Xét idean J, K của R sao cho J ⊃ P, K ⊃ P . Do tính tối đại của P, tồn tại

x j ∈ J , xk ∈ K .


Nếu m là lớn nhất trong j và k, thì xm ∈ J ∩ K và vì thế xm +1 ∈ xm Rxm ⊆ JK , chứng
tỏ rằng JK ⊄ P nên P là idean nguyên tố.
Do đó I là giao của tất cả các idean nguyên tố của R chứa I, từ đó I là nửa nguyên
tố.
Hệ quả 1.2.10
Đối với idean I của vành R, các điều kiện sau là tương đương:
a) I là idean nửa nguyên tố.
b) Nếu J là idean của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I .
c) Nếu J là idean của R thực sự chứa I, thì J 2 ⊄ I .
d) Nếu J là idean phải của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I .
e) Nếu J là idean trái của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I .
Chứng minh:
a ) ⇒ d ) với bất kì x ∈ J , chúng ta có xRx ⊆ J ⊆ I , từ đó x ∈ I do định lý 1.2.9.
2

Do đó J ⊆ I
d ) ⇒ c) hiển nhiên.
c ) ⇒ b)

Nếu

J⊄I

thì

I+J

thực

sự

chứa

I.

Nhưng

vì

( I + J )2 = I 2 + IJ + JI + J 2 ⊆ I , ta có mâu thuẫn với c). Do đó J ⊆ I

RxR ) 2 RxRxR ⊆ I và vì thế
b) ⇒ a ) lấy bất kì x ∈ R sao cho xRx ⊆ I , ta có ( =
RxR ⊆ I , từ đó x ∈ I . Do định lý 1.2.9, I là nửa nguyên tố.
a ) ⇔ e) Tương tự.

Hệ quả 1.2.11
Cho I là idean nửa nguyên tố của vành R. Nếu J là idean phải hoặc trái của R sao

cho J n ⊆ I với n nguyên dương nào đó, thì J ⊆ I .
Chứng minh:
Trong trường hợp n=1, hiển nhiên.


Với n>1, và giả sử hệ quả đúng.

n − 1=
) 2 J 2n − 2 ⊆ J n ⊆ I .
Vì n ≥ 2 ta có 2n − 2 ≥ n , từ đó ( J
n −1
Khi đó J ⊆ I do hệ quả 1.2.10, và vì thế J ⊆ I theo giả thiết quy nạp. ta có điều

phải chứng minh.
1.3.RADICAL NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH
Định nghĩa 1.3.1
Radical nguyên tố của một vành R là giao của tất cả các idean nguyên tố của R.
Nếu R là vành 0, nó không có idean nguyên tố, và radical nguyên tố bằng R. Nếu R
khác 0, nó có ít nhất một idean tối đại và là nguyên tố theo mệnh đề 1.2.3. Do đó
radical nguyên tố của vành khác 0 là một idean thực sự.
Chú ý rằng một vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu radical nguyên tố bằng 0.
Trong bất kì trường hợp nào, radical nguyên tố của R là idean nửa nguyên tố nhỏ
nhất của R, và vì radical nguyên tố là nửa nguyên tố, nó chứa tất cả các idean lũy
linh một phía của R. (hệ quả 1.2.11).
Mệnh đề 1.3.2
Trong một vành R, radical nguyên tố bằng giao của tất cả các idean nguyên tố tối
tiểu của R.
Chứng minh:
Điều này ngay lập tức đúng vì mọi idean nguyên tố của R đều chứa một idean
nguyên tố tối tiểu (mệnh đề 1.2.4).

Định lý 1.3.3
Cho R là vành Noether trái hoặc phải, và cho N là radical nguyên tố của R. Khi đó
N là idean lũy linh của R chứa tất cả các idean trái hoặc phải lũy linh của R.
Chứng minh:
Vì N là idean nửa nguyên tố, nó chứa tất cả các idean một phía lũy linh của R do hệ
quả 1.2.11. Theo định lý 1.2.5, tồn tại các idean nguyên tố (tối tiểu) P 1 ,P 2 ,…,P k


trong R sao cho P 1 P 2 …P k =0. Vì N được chứa trong mọi P i , nên ta có Nk=0 nên N
lũy linh.
1.4. VÀNH ĐƠN, VÀNH NỬA ĐƠN
Định nghĩa 1.4.1
Một môdun đơn trên vành R là một môdun (phải hoặc trái) trên R mà không có
môdun con thực sự khác 0. Tương đương, môdun M là đơn nếu và chỉ nếu mọi
môdun con cyclic sinh bởi một phần tử khác 0 của M chính bằng M.
Định nghĩa1.4.2
Socle của một môdun A là tổng của tất cả các môdun con đơn của A, kí hiệu
soc(A). Quy ước tổng của họ rỗng các môdun con là môdun 0. Do đó, soc(A)=0 nếu
và chỉ nếu A không có môdun con đơn.
Một môdun nửa đơn là môdun A thỏa soc(A)=A.
Ví dụ, bất kì không gian vecto A trên trường k là k-môdun nửa đơn vì tất cả không
gian vecto con một chiều của A là k-môdun nửa đơn.
Trong vành R bất kì, rõ ràng rằng soc(R R ) là một idean của R. (Vì với r ∈ R , nếu A
là idean phải đơn của R thì hoặc rA=0 hoặc rA là đơn, và vì thế rA ⊆ soc( RR ) ).
Tương tự soc( R R) là một idean của R, nhưng hai socle này không nhất thiết trùng
nhau.
Nhớ lại rằng họ { Ai \ i ∈ I } các môdun con của môdun A là độc lập tuyến tính nếu
và chỉ nếu tổng của A i là tổng trực tiếp – chính xác hơn nếu và chỉ nếu ánh xạ tổng

⊕i∈I Ai → ∑ i∈I Ai là đẳng cấu. Trong trường hợp này, ta viết

∑

i∈I

Ai = ⊕i∈I Ai , điều

đó cho chúng ta xác định tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài của A i .
Mệnh đề 1.4.3
Socle của bất kì môdun A đều là tổng trực tiếp của các môdun con đơn của A.
Chứng minh:


X
Lấy=
đặt B =

{Bi | i ∈ I } là họ độc lập tuyến tính lớn nhất các môdun con đơn của A, và

∑

i∈I

Bi = ⊕i∈I Bi .

Khi đó B ⊆ soc( A) và nếu B ≠ soc( A) , có một môdun con S ⊆ A sao cho S  B ,
ta có S ∩ B ≠ S .
Khi S là đơn, S ∩ B =
0 . Nhưng X ∪ {S } là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với cách
chọn X. Do đó B=soc(A).

Mệnh đề 1.4.4
Một môdun A là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môdun con của A đều là hạng tử trực
tiếp của A.
Chứng minh:
Đầu tiên giả sử A là nửa đơn, và lấy B là một môdun con của A.
Theo bổ đề Zorn, có một môdun con C của A là tối đại thỏa B ∩ C =
0.
Nếu B ⊕ C ⊂ A có một môdun con đơn S ⊆ A sao cho S  B ⊕ C . Như chứng

0 , và vì thế {B, C , S } là độc lập tuyến tính.
minh trên, S ∩ ( B ⊕ C ) =
Nhưng khi đó B ∩ (C ⊕ S ) =
A
0 , mâu thuẫn với tính tối đại của C. Do đó B ⊕ C =
Ngược lại, giả sử rằng mọi môdun con của A đều là hạng tử trực tiếp.
Đặc biệt,
=
A soc( A) ⊕ B với B là một môdun con nào đó.
Nếu B ≠ 0 , lấy C là một môdun con cyclic khác 0 của B. Nếu c là phần tử sinh của
C, thì theo bổ đề Zorn, C có một môdun con M mà tối đại thỏa c ∉ M .
Khi đó M là môdun con thực sự tối đại của C. Bây giờ =
A M ⊕ N với N là môdun
con nào đó, và C
= M ⊕ (C  N ) .
Chú ý rằng C ∩ N ≅ C / M , từ đó C ∩ N là môdun con đơn của A, và vì thế
C ∩ N ⊆ soc( A) . Mà C ∩ N ⊆ C ⊆ B , điều này không thể.

Do đó B=0, và ta có A=soc(A).

Hệ quả 1.4.5
Bất kì môdun con của môdun nửa đơn là nửa đơn.
Chứng minh:
Nếu C là môdun con của môdun nửa đơn A, và B là môdun con của C, thì B là hạng
tử trực tiếp của A, và nó kéo theo rằng B cũng là hạng tử trực tiếp của C.
Định lý 1.4.6: [Noether]
Với bất kì vành R, các điều kiện sau là tương đương:
a) Tất cả các R-môdun phải đều nửa đơn.
b) Tất cả các R-môdun trái đều nửa đơn.
c) R R là nửa đơn.
d)

RR

là nửa đơn.

e) Hoặc R là vành 0 hoặc R ≅ M

n
1

( D ) × ... × M ( D ) với n i là các số nguyên
1
n
k
k

dương và D i là các vành chia.
Chứng minh:
a ) ⇒ c) Hiển nhiên.

c) ⇒ a ) Nếu R R là nửa đơn, thì tất cả các R-môdun phải cyclic đều nửa đơn, từ đó

ngay lập tức bất kì R-môdun phải đều nửa đơn (vì môdun bất kì đều là tổng của các
môdun con cyclic của nó).
b) ⇒ d ) Chứng minh tương tự.
e) ⇒ c) Hiển nhiên
c) ⇒ e) Nếu R R là nửa đơn, vì tự đồng cấu vành của môdun nửa đơn hữu hạn sinh

khác 0 đẳng cấu với tích trực tiếp hữu hạn các ma trận trên các vành chia, và vì

R ≅ End R ( RR ) nên ta có c) ⇒ e)
d ) ⇔ e) Chứng minh tương tự.

Định nghĩa 1.4.7


Một vành thỏa các điều kiện của định lý 1.4.6 được gọi là vành nửa đơn.
1.5. VÀNH NGUYÊN THỦY, VÀNH NỬA NGUYÊN THỦY
Định nghĩa 1.5.1
Một idean P trong vành R là nguyên thủy phải (trái) nếu P=ann R (A) với A là một
R-môdun phải (trái ) đơn nào đó.
Một vành nguyên thủy phải (trái ) là vành trong đó 0 là idean nguyên thủy phải (trái
), tức là bất kì vành nào có môdun phải (trái ) đơn trung thành.
Mệnh đề 1.5.2
Mọi idean nguyên thủy phải hoặc trái trong vành R là idean nguyên tố. Mọi idean
tối đại của R là idean nguyên thủy phải và trái.
Chứng minh:
Tính nguyên tố của idean nguyên thủy suy ra dễ dàng.
Cho idean tối đại M trong R, chọn idean phải tối đại K chứa M.
Khi đó R/K là R-môdun phải đơn và ann R (R/K) là idean nguyên thủy phải của R.

Vì RM
= M ⊆ K , chúng ta có (R/K)M=0, vì thế M ⊆ annR ( R / K ) .
Khi đó M=ann R (R/K) do tính tối đại của M, từ đó là nguyên thủy phải.
Tương tự M cũng là nguyên thủy trái.
Trên vành giao hoán R, bất kì môdun đơn nào cũng đẳng cấu với R/M trong đó M
là idean tối đại, và ann R (R/M)=M. Do đó tất cả các idean nguyên thủy của R là tối
đại, tương đương, tất cả các vành nguyên thủy giao hoán đều là vành đơn. Điều này
thì không đúng trong vành không giao hoán.
Mệnh đề 1.5.3
Trong bất kì vành R, các tập sau là trùng nhau:
a) Giao của tất cả các idean phải tối đại của R.
b) Giao của tất cả các idean trái tối đại của R.
c) Giao của tất cả các idean nguyên thủy phải của R.


d) Giao của tất cả các idean nguyên thủy trái của R.
Chứng minh:
Kí hiệu J a , J b , J c , J d lần lượt là 4 tập trên.
Chứng minh J a =J c
Cho bất kì idean phải tối đại M của R, tập hợp các phần tử lũy linh của R-môdun
phải đơn R/M là một idean nguyên thủy phải P.
Vì P ⊆ M , ta có J c ⊆ P ⊆ M ⊆ J a . Do đó J c ⊆ J a .
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng J a là một idean của R.
Xét x ∈ J a và r ∈ R . Lấy bất kì idean phải tối đại M của R, hoặc r ∈ M hoặc

M + rR =
R . Nếu r ∈ M thì rõ ràng rx ∈ M .
Nếu r ∉ M thì phép nhân trái bởi r cảm sinh một đẳng cấu của R/L vào R/M, ở đây

L=

{ y ∈ R | ry ∈ M } .
Do đó R/L là R-môdun phải đơn và L là idean phải tối đại của R, chúng ta có được

x ∈ J a ⊆ L và vì thế rx ∈ M .
Bây giờ rx nằm trong tất cả các idean phải tối đại của R, từ đó rx ∈ J a . Do đó J a là

J a ⊆ M và vì ( R / M ) J a = 0 từ đó J a ⊆ P . Do đó J a ⊆ J c .
một idean, RJ=
a
Do đó J a =J c .
Chứng minh tương tự J b =J d .
Chứng minh J a = J b
Ta thừa nhận rằng bất kì x ∈ J a , thì 1-x có nghịch đảo phải trong R. Nếu không,
(1 − x) R ≠ R và vì thế (1-x)R được chứa trong idean phải tối đại M nào đó.

Khi x ∈ J a ⊆ M , điều này là không thể. Do đó 1-x phải có nghịch đảo phải.
Tiếp theo ta thừa nhận rằng bất kì x ∈ J a , thì 1-x là khả nghịch trong R.


Do chứng minh trên, 1-x có nghịch đảo phải y ∈ R . Khi đó (1-x)y=1 và vì thế
y=1+xy. Vì − xy ∈ J a , áp dụng của chứng minh trên chỉ ra rằng y có nghịch đảo
phải z ∈ R .
Khi đó z=(1-x)yz=1-x , từ đó y(1-x)=1. Do đó 1-x là khả nghịch.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng J a ⊆ J b .
Xét x ∈ J a và bất kì idean trái tối đại M của R. Nếu x ∉ M , khi đó rx+m=1 với

r ∈ R , m∈M .
Vì J a là một idean, rx ∈ J a . Do chứng minh trên, phần tử m=1-rx là khả nghịch
trong R, điều này không thể. Do đó x ∈ M , nên J a ⊆ J b .
Chứng minh tương tự, J b ⊆ J a , và do đó J a = J b

1.6. RADICAL JACOBSON CỦA MỘT VÀNH
Định nghĩa1.6.1
Trong vành R bất kì, idean được định nghĩa bởi các tập giao ở mệnh đề 1.5.3 được
gọi là radical Jacobson của vành R, kí hiệu J(R).
Vì tất cả các idean phải hoặc trái nguyên thủy của R là nguyên tố (mệnh đề 1.5.2),
radical nguyên tố của R chứa trong J(R).
Ví dụ, nếu R=k[[x]] là vành chuỗi lũy thừa trên trường k, thì 0 là idean nguyên tố
của R, và vì thế radical của R là 0. Mặt khác, xR là idean tối đại duy nhất của R, do
đó J(R)=R.
Định nghĩa1.6.2
Một vành R là nửa nguyên thủy ( hoặc Jacobson nửa đơn) nếu J(R)=0. Một idean
nửa nguyên thủy (hay Jacobson idean) trong vành R là idean I thỏa J(R/I)=0.
Do mệnh đề 1.5.3, một idean I của vành R là nửa nguyên thủy nếu và chỉ nếu I là
giao của các idean nguyên thủy phải.
Do đó các idean nửa nguyên thủy của vành R có mối liên hệ với các idean nguyên
thủy giống như mối liên hệ của idean nửa nguyên tố và idean nguyên tố.


Chú ý rằng tất cả các idean nửa nguyên thủy là nửa nguyên tố.
Ví dụ k[[x]] là vành các chuỗi lũy thừa trên trường chỉ ra rằng không phải tất cả các
vành nửa nguyên tố ( thậm chí nguyên tố) đều nửa nguyên thủy.
Định lý 1.6.3: [Jacobson, Azumaya]
Nếu A là modun phải hữu hạn sinh trên vành R và AJ(R)=A thì A=0.
Chứng minh:
Nếu A là cyclic tức A=aR thì A=AJ(R)=aJ(R) và vì thế a=ax với x ∈ J ( R) . Vì 1- x
khả nghịch nên ta có a= 0, do đó A =0.
Bây giờ giả sử rằng A=a 1 R+...+a n R, với n>1, và định lý đúng với các modun có n-1
phần tử sinh.
Vì A/a 1 R có n-1 phần tử sinh và vì (A/a 1 R)J(R)=A/a 1 R kéo theo rằng A/a 1 R=0 nên
A=a 1 R. Do đó theo trường hợp cyclic ta có A=0.

Định lý này còn được gọi là bổ đề Nakayama. Nó kéo theo một trường hợp đặc biệt
là nếu A là R modun phải hữu hạn sinh và a 1 ,...,a n là các phần tử của A sao cho sao
cho tập a i +AJ(R) là tập sinh của A/AJ(R). Khi đó tập a 1 ,...,a n chính là tập sinh của
A. (Để thấy điều này ta xét modun A/(a 1 R+...+a n R) ).


CHƯƠNG 2: LỚP CÁC VÀNH NOETHER VÀ ARTIN
2.1. VÀNH NOETHER:
Định nghĩa2.1.1
Một tập hợp các tập con A của một tập A thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng
(ACC) nếu không tồn tại một dây chuyền vô hạn tăng thực sự của các tập con của
A.
Một tập con B của A là phần tử tối đại của A nếu không tồn tại tập con trong A thực
sự chứa B.
Mệnh đề 2.1.2 Cho A là một môdun, những điều kiện sau là tương đương:
a. A có ACC trên các môdun con.
b. Mọi họ các môdun con của A đều có phần tử tối đại.
c. Mọi môdun con của A đều hữu hạn sinh.
Chứng minh:
a ) ⇒ b) : Giả sử A là một họ khác rỗng các môdun con của A mà không có phần tử

tối đại.
Chọn A 1 ∈ A. Vì A 1 không là tối đại nên tồn tại A 2 sao cho A2 ⊃ A1 . Tiếp tục quá
trình này chúng ta sẽ có một dây chuyền tăng thực sự A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... các môdun
con của A, điều này mâu thuẫn với điều kiện ACC.
b) ⇒ c) Lấy B là một môdun con của A, và B là một họ tất cả các môdun con hữu

hạn sinh của B. Chú ý rằng B chứa 0 và vì thế khác rỗng. Do b) nên tồn tại một
phần tử tối đại C của B.
Nếu C ≠ B chọn một phần tử x ∈ B \ C và lấy C’ là môdun con B sinh bởi C và x.

Khi đó C ' ∈ B và C’ ⊃ C , mâu thuẫn với tính tối đại của C. Do đó C=B, từ đó B
hữu hạn sinh.
c) ⇒ a ) Cho B1 ⊆ B2 ⊆ ... là một dây chuyền tăng các môdun con của A.