nghiên cứu didactic về giải bài toán bằng cách lập phương trình ở thcs

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kiều Mỹ Ý

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI
BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH Ở THCS

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kiều Mỹ Ý

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI
BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
PHƯƠNG TRÌNH Ở THCS
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để gửi đến TS. Trần Lương
Công Khanh lời cảm ơn chân thành vì quãng thời gian được thầy tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ về mặt nghiên cứu lẫn niềm tin để thực hiện luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,
PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Đoàn Hữu Hải và các
quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng
dạy, truyền thụ những tri thức quý báu trong suốt thời gian 2 năm của chương trình
cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn toán. Ngoài ra, tuy chỉ
được gặp mặt trong một thời gian ngắn ngủi, nhưng các góp ý về luận văn, những
chỉ dẫn về didactic của PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain
Birebent đã gợi mở cho tôi và các bạn học cùng khóa những quan niệm mới, rõ ràng
hơn về didactic.
Tôi cũng rất cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, các bạn học cùng khóa 20, đặc biệt là chị Võ Mai
Như Hạnh, em Tôn Nữ Khánh Bình và gia đình đã luôn động viên, khích lệ, quan
tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.

Kiều Mỹ Ý


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƯƠNG I: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – TRI
THỨC CẦN DẠY.......................................................................................................6
1.1

GBTBCLPT trong chương trình toán THCS ................................................6

1.2

GBTBCLPT trong SGK Toán THCS ............................................................7

1.2.1

GBTBCLPT trong SGK toán 8...............................................................7

1.2.2

GBTBCLPT trong SGK toán 9.............................................................12

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – TRI
THỨC TIẾP THU .....................................................................................................31
2.1

Phân tích thực hành giảng dạy của GV .......................................................31

2.2

Tri thức tiếp thu được của học sinh .............................................................33

CHƯƠNG III: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ....................................................38
3.1

Đối tượng và hình thức thực nghiệm ...........................................................38

3.2

Phân tích tiên nghiệm (a_priori) các bài toán thực nghiệm.........................39

3.2.1

Xây dựng các bài toán thực nghiệm .....................................................39

3.2.2

Phân tích chi tiết các bài toán ...............................................................42

3.3

Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ...................58

3.3.1

Các bài toán dành cho HS lớp 8 ...........................................................58

3.3.2

Các bài toán dành cho HS lớp 9 ...........................................................61


3.3.3

Các bài toán dành cho HS lớp 10 .........................................................66

KẾT LUẬN ...............................................................................................................75
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................77
PHỤ LỤC ......................................................................................................................

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
SGV: Sách giáo viên
PT: Phương trình
HPT: Hệ phương trình
GBTBCLPT: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
GBTBCLHPT: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
THCS: Trung học Cơ Sở
THPT: Trung học Phổ Thông
G8: Sách Toán 8 tập 2
G9: Sách Toán 9 tập 2
E8: Sách Bài tập Toán 8 tập 2
E9: Sách Bài tập Toán 9 tập 2
M8: Sách giáo viên Toán 8 tập 2
M9: Sách giáo viên Toán 9 tập 2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
GBTBCLPT là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình
toán ở bậc THCS và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THCS những năm
trước cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10 những năm gần đây. Theo SGV, mấu
chốt của kiến thức này là cung cấp cho HS biết cách lập PT xuất phát từ tình huống
thực tế của bài toán và khả năng toán học hóa tình huống thực tế là một trong những
yêu cầu quan trọng trong dạy học môn Toán. Chủ đề GBTBCLPT đã được giới

thiệu cho HS dưới dạng ngầm ẩn từ bậc tiểu học và được tiếp cận tường minh ở bậc
THCS, cụ thể là ở lớp 8 và lớp 9. Có thể thấy vấn đề cần quan tâm khi dạy học chủ
đề này là làm cho HS thấy được ứng dụng thực tế của PT trong khoa học và đời
sống.
Trao đổi với chúng tôi, những người có trách nhiệm ra đề thi tuyển sinh vào
lớp 10 ở các Sở Giáo dục và Đào tạo đều cho rằng GBTBCLPT là một loại toán khó
nhưng không giải thích rõ lý do. Chúng tôi tự hỏi vì sao họ đánh giá rằng đây là loại
toán khó và khó ở điểm nào? Để đi tìm những yếu tố trả lời cho thắc mắc này,
chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu didactic về giải bài toán bằng cách lập phương
trình ở THCS”.
Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi muốn trước hết làm rõ những yếu
tố liên quan đến mục tiêu quy định trong chương trình hiện hành về dạy học chủ đề
GBTBCLPT và sự cụ thể hóa mục tiêu này trong các SGK cũng như trong thực tế
dạy học ở bậc THCS, từ đó xem xét ảnh hưởng của các yếu tố đó lên hoạt động dạy
của giáo viên cũng như việc học tập của HS. Cụ thể hơn, chúng tôi tiến hành một
nghiên cứu nhằm giải đáp phần nào cho những câu hỏi sau:
Q’1: Chủ đề GBTBCLPT đã được đưa vào chương trình và SGK toán THCS
như thế nào?


Q’2: Yêu cầu của thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT là gì? Vì sao loại bài
tập này được coi trọng trong chương trình toán THCS?
Q’3: Ba yếu tố chương trình, SGK và thực tế giảng dạy của GV ảnh hưởng
ra sao đến HS trong việc học GBTBCLPT? Những chướng ngại và ngộ nhận của
HS khi thực hành giải toán?
2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt
nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán. Cụ thể là thuyết
nhân học, khái niệm hợp đồng didactic.
• Thuyết nhân học

Giới thiệu khái niệm praxéologie, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân.
Tiếp cận theo các praxéologie là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và
phân tích thực tế dạy học. Cụ thể:
Việc xây dựng các tổ chức toán học gắn với chủ đề GBTBCLPT sẽ cho
phép:
-

Vạch rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức GBTBCLPT,
góp phần trả lời cho các câu hỏi Q’1và Q’2.

-

Hiểu được mối quan hệ cá nhân (GV và HS) trong thể chế duy trì với đối tượng
tri thức GBTBCLPT, từ đó góp phần trả lời cho câu hỏi Q’3.

• Hợp đồng didactic
Một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của GV và HS đối
với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy.


Hợp đồng didactic cho phép giải thích những ứng xử của GV và HS, tìm ra ý
nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng
và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Cụ thể:
Trong quá trình dạy học đối tượng tri thức GBTBCLPT, hợp đồng didactic
cho phép:
-

Chỉ rõ những quy tắc chi phối ứng xử của GV và HS có ảnh hưởng đến việc ứng
xử của HS khi gặp bài toán thực tiễn, bổ sung các ý trả lời cho câu hỏi Q’1 và
Q’3.

-

Tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng, góp phần trả lời cho câu hỏi Q’3.
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình

bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:
• Q1: Mối quan hệ thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT? Những quy tắc nào của
hợp đồng didactic liên quan đến tri thức GBTBCLPT?
• Q2 : Những dạng toán nào liên quan đến GBTBCLPT được trình bày trong
SGK? Những chiến lược nào được đề nghị? Những chiến lược được ưu tiên?
• Q3 : Những điểm khác nhau giữa tri thức cần dạy và tri thức tiếp thu? Điều này
ảnh hưởng ra sao đến HS?
3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn
Phương pháp nghiên cứu:
Để tìm kiếm những yếu tố cho phép trả lời 3 câu hỏi trên, chúng tôi tiến
hành thực hiện nghiên cứu như sau:
• Phân tích chương trình, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT và một số
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 để có thể thấy được các chiến lược được đề nghị và
những chiến lược ưu tiên.


• Mặt khác chúng tôi cũng phân tích chương trình, SGK, các tài liệu hướng dẫn
giảng dạy và bài làm của HS để thấy được tri thức cần dạy và tri thức tiếp thu.
Sau đó chúng tôi phân tích hai tri thức ấy để thấy được những điểm khác nhau
của chúng
• Từ đây đưa ra những giả thuyết nghiên cứu
• Dự giờ và quan sát lớp học (để nhận thấy rõ tri thức được dạy từ đó có thể trả lời
cho những giả thuyết được nêu cũng như giải thích được phần nào nguyên nhân

dẫn đến sự khác biệt giữa hai tri thức cần dạy và tiếp thu)
• Đưa ra bộ câu hỏi thực nghiệm (kiểm chứng lại những giả thuyết và tiếp tục giải
tìm ra phần nào nguyên nhân dẫn đến sự khác biệt giữa hai tri thức cần dạy và
tiếp thu)
Chúng tôi cụ thể hóa bằng sơ đồ sau
NGHIÊN CỨU
TRI THỨC CẦN DẠY

NGHIÊN CỨU
TRI THỨC TIẾP THU

GIẢ THUYẾT
NGHIÊN CỨU

THỰC NGHIỆM
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương I, II và III.
Phần mở đầu: Chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, mục đích
nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và giới thiệu
cấu trúc của luận văn
Chương I: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – tri thức cần dạy
1.1 GBTBCLPT trong chương trình toán THCS


1.2 GBTBCLPT trong SGK toán THCS
Chương II: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – tri thức tiếp thu
2.1 Phân tích thực hành giảng dạy của GV
2.2 Tri thức tiếp thu được của HS
Chương III: Thực nghiệm
3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a_priori) các bài toán thực nghiệm
3.3 Phân tích hậu nghiệm (a_posteriori) các bài toán thực nghiệm
Phần kết luận: Tóm tắt những kết quả đạt được, chỉ ra những lợi ích của đề tài,
đồng thời mở rộng hướng nghiên cứu cho luận văn
Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi chỉ chú ý phân tích cách đặt ẩn và
biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn để lập được PT của HS mà thôi và
chúng tôi không xem xét đến cách HS giải PT như thế nào.
Sau khi phân tích sơ lược về các bài làm của HS đối với loại toán thuộc chủ
đề GBTBCLPT chúng tôi nhận thấy rằng khi làm bài HS đều chọn ẩn là đại
lượng cần tìm. Chúng tôi luôn tự hỏi rằng: điều gì đã dẫn dắt các em đến cách
làm như thế? Để có thể trả lời cho câu hỏi này chúng tôi tiến hành nghiên cứu
GBTBCLPT với tri thức cần dạy.


CHƯƠNG I
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
TRI THỨC CẦN DẠY
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong chương này là tìm kiếm các yếu tố
trả lời cho câu hỏi Q1“Mối quan hệ thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT? Những
quy tắc nào của hợp đồng didactic liên quan đến tri thức GBTBCLPT?”
1.1 GBTBCLPT trong chương trình toán THCS
Chủ đề GBTBCLPT được đưa vào giảng dạy ở chương 3 có tên gọi “Phương
trình bậc nhất một ẩn” trong chương trình toán lớp 8. Cụ thể là bài 6 và 7: “Giải
bài toán bằng cách lập phương trình”. Mục tiêu của bài này là giúp HS:
“_ Nắm được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
_ Biết vận dụng để giải một số dạng toán bậc nhất không quá phức tạp” [G 8 ,
trang 26]
Trong mục những điểm cần lưu ý, G 8 , trang 26 có đoạn viết:
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trọng tâm của Đại số 8. Có
thể gặp lại ở đây nhiều bài toán ở lớp dưới, chỉ khác là giải bằng phương pháp

đại số. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong
bài toán thành các biểu thức và phương trình. Nó đòi hỏi kĩ năng giải phương
trình và lựa chọn nghiệm thích hợp.”
 Những trích dẫn trên cho thấy khả năng toán học hóa các tình huống thực tế
rất quan trọng trong việc giải các bài toán bận nhất và bậc hai (ở đây chúng
tôi gọi toán bậc nhất và bâc hai là những bài toán mà ta có thể giải nhờ xây
dựng một PT quy về bậc nhất hoặc bậc hai và giải PT này), bên cạnh đó còn
chỉ ra cho chúng ta cách giải mới bằng phương pháp đại số ngoài cách giải
bằng phương pháp số học đã được học trước đây


Ở bài 6 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, vấn đề trọng tâm là biểu
diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức của một ẩn, trong đó ẩn
số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết
Ở bài 7 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)”, vấn đề trọng tâm
là việc biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bằng phương pháp lập bảng
Đến lớp 9, “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” được gặp lại ở bài 8:
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” (thuộc chương 4: – “Hàm số
=
y ax 2 (a ≠ 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”). Mục tiêu của bài này là giúp học

sinh
“_ Biết chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn
_ Biết cách tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương
trình
_ Biết trình bày bài giải của một bài toán bậc hai”
Với mục tiêu trên thì GBTBCLPT là phương tiện để PT được sử dụng như
công cụ tường minh trong việc giải các bài toán nhất và bậc hai, đồng thời nêu
ra “ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết” có thể thấy được đây
chính là một trong những nguyên nhân dẫn đến việc HS luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm
1.2 GBTBCLPT trong SGK Toán THCS
1.2.1 GBTBCLPT trong SGK Toán 8
Chương III: “Phương trình bậc nhất một ẩn” trong M8 gồm các nội dung sau
-

Mở đầu về phương trình

-

Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải


-

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

-

Phương trình tích

-

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

-

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

-

Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)

Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng ở hai bài cuối chương.
Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn
M 8 xây dựng cách biểu diễn một đại lượng chứa ẩn như sau
“Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một
trong các đại lượng ấy là x thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới
dạng một biểu thức của biến x.
Ví dụ 1: Gọi x (km/h) là vận tốc của một ôtô. Khi đó:
Quãng đường ôtô đi được trong 5 giờ là 5x (km).
Thời gian để ôtô đi được quãng đường 100km là

100
(h).
x

Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với biến
x biểu thị:
a)

Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy với vận tốc
trung bình là 180m/ph.

b)

Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu trong x phút
Tiến chạy được quãng đường 4500m.

Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số (ví dụ x = 12). Hãy lập biểu thức biểu thị số
tự nhiên có được bằng cách:
a)

Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x (ví dụ: 12 → 512 , tức là 500 +
12);

b)

Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x (ví dụ: 12 → 125 , tức là
12 ×10 + 5 ).”

Từ đoạn trích trên chúng tôi có nhận xét sau:
Trước hết M 8 xét bài toán quen thuộc với HS trước đây là bài toán vận tốc,
qua đó đưa vào cách biểu diễn các đại lượng chứa ẩn và các đại lượng phụ thuộc
lẫn nhau. Sự xuất hiện của hoạt động 1 nhằm củng cố cách biểu diễn các đại lượng
phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Một điểm đáng chú ý ở đây là yêu cầu
trong hoạt động 1 và hoạt động 2 là giống nhau tuy nhiên ở hoạt động 2 là một bài
toán về số tự nhiên, có thể đây là dụng ý của các tác giả nhằm nhấn mạnh lại việc
biểu diễn các đại lượng phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Tuy nhiên, ở đây
lại được đưa vào hai dạng toán là toán về chuyển động và toán về tìm số, để cho
HS thấy rằng ta không chỉ biểu diễn các đại lượng phụ thuộc trong các bài toán về
chuyển động mà còn các dạng toán khác nữa.
Trong ví dụ 2 (bài toán cổ):
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Đây là một bài toán số học quen thuộc thường được xuất hiện trong SGK
THCS. Điều này làm cho ta thấy được việc tìm ra một phương pháp giải khác
ngoài phương pháp số học (trước đây đã được dùng để giải bài toán này) cho các
bài toán số học và trong ví dụ này mục đích là giới thiệu cách giải bằng phương
pháp đại số.
Ta thấy rằng trong đề bài yêu cầu tìm số gà, số chó, và trong phần hướng
dẫn giải của SGK là gọi ẩn là số gà. Sau đó ở hoạt động 3 lại yêu cầu HS giải lại
bài toán trên với cách gọi ẩn là số chó, và 19/19 bài tập trong SGK đều được
SGK hướng dẫn giải với cách chọn ẩn là đại lượng cần tìm.
Chúng tôi đặt ra câu hỏi: Tại sao SGK lại trình bày như thế, đây có phải
là bước đầu để hình thành nên một quy tắc hành động trong HS: chọn ẩn là đại
lượng cần tìm hay không? Câu trả lời phần nào được thể hiện 1 cách ngầm ẩn
trong phần trả lời hoạt động 2 bài 7 trang 28 của G8: “Cách chọn ẩn này dẫn đến
phương trình giải phức tạp hơn; cuối cùng còn phải làm thêm một phép tính nữa
mới ra đáp số” (hoạt động 2 này yêu cầu chọn ẩn không phải là đại lượng cần
tìm và nêu nhận xét) thêm vào đó sau bài đọc thêm trang 30 của M8 có chú ý
như sau: “Trong cách giải trên đây, mặc dù bài toán hỏi tổng số áo may theo kế
hoạch, nhưng chúng ta đã không chọn đại lượng đó làm ẩn…” theo như trong
chú ý trên cũng ngầm nói rằng các bài toán trước đây đã luôn chọn ẩn là đại
lượng cần tìm.
Bên cạnh đó chúng tôi còn nhận thấy được rằng tất cả các bài toán cho
trong M8 luôn dẫn đến điều kiện của ẩn là số nguyên dương, điều này phần nào
làm cho HS có được cách đặt điều kiện cho ẩn dễ dàng, tuy nhiên cũng chính
điều này làm cho HS nhầm lẫn trong việc luôn cho điều kiện của ẩn là số dương
mà ít quan tâm đến kiến thức thực tế trong quá trình làm bài nên dẫn đến việc
làm sai kết quả cuối cùng của bài toán (khi HS so sánh kết quả tìm được với
điều kiện của ẩn để kết luận)

Ví dụ: Bài 41/trang 58 trong M9
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người
chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng
150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
Bài giải do học sinh trình bày:
Gọi x (x > 0) là số của bạn thứ nhất chọn
x + 5 là số của bạn thứ hai chọn
Tích của hai số là: x(x + 5)
Theo đầu bài ta có phương trình: x( x + 5) =
150
 x2 + 5x – 150 = 0
Ta có: ∆= 52 − 4.1.(−150)= 25 + 600= 625
⇒ ∆ =25
−5 + 25
−5 − 25
⇒ x1 =
=
10; x2 =
=
−15 (loại)
2
2

Vậy hai số được chọn là: số Minh chọn là 10 và Lan chọn là 15 hoặc ngược
lại.
Bài giải được trình bày trong G 9 :
Gọi số mà một bạn đã chọn là x và số bạn kia chọn là x + 5.
Tích của hai số là x(x + 5).
Theo đầu bài ta có PT: x=
( x + 5) 150 hay x 2 + 5=

x − 150 0.
Giải PT: ∆ = 25 − 4.1.(−150) = 625 = 252 ; x1 = 10; x2 = −15.


Trả lời:
– Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.
– Nếu bạn Minh chọn số –15 thì bạn Lan chọn số –10 hoặc ngược lại.
Đối với bài toán này điều kiện của ẩn là mọi giá trị đều có thể chấp nhận,
nhưng do HS có thói quen đặt điều kiện cho ẩn là số dương nên đã dẫn đến việc
bỏ sót kết quả của bài toán
1.2.2 GBTBCLPT trong SGK toán 9
Chương IV: “Hàm số
=
y ax 2 (a ≠ 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”
-

Hàm số
=
y ax 2 (a ≠ 0)

-

Đồ thị của hàm số
=
y ax 2 (a ≠ 0)

-

Phương trình bậc hai một ẩn

-

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

-

Công thức nghiệm thu gọn

-

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

-

Phương trình quy về phương trình bậc hai

-

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng một bài ở cuối chương.
“Ví dụ. Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy
định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so
với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời
hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may
xong bao nhiêu áo?


Giải. Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x ( x ∈ Ν, x > 0 ) .
Thời gian quy định may xong 3000 áo là

3000
(ngày).
x

Số áo thực tế may được trong 1 ngày là x + 6 (áo).
Thời gian may xong 2650 áo là

2650
(ngày).
x+6

Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có PT
3000
2650
.
−5 =
x
x+6

Giải PT trên:
0,
3000( x + 6) − 5 x( x + 6) =
2650 x hay x 2 − 64 x − 3600 =

∆=' 322 + 3600
= 4624, ∆=' 68,
x1 = 32 + 68 = 100, x2 = 32 − 68 = −36,
x2 = −36 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời. Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.”
Mở đầu bài SGK trình bày ví dụ là bài toán năng suất như trên (tương tự bài
toán năng suất đã được xuất hiện đầu tiên ở bài đọc thêm trong M8) và điều đặc biệt
ở đây là nguyên một bài giảng chỉ có một ví dụ và một hoạt động (bài toán về diện
tích) mà ngoài ra không còn phần nào khác nữa. Có thể thấy SGK chỉ nêu ra các bài
toán số học quen đã được gặp ở các lớp dưới để HS có thể tiếp thu một phương
pháp giải mới đó là phương pháp đại số một cách dễ dàng hơn. Điều đáng chú ý ở
đây là trong phần giải các bài toán được trình bày trong M9 vẫn gọi ẩn là đại lượng
cần tìm và điều kiện của ẩn cũng là số nguyên dương. Cũng tương tự như ở M8, các


bài tập trong M9 đều được trình bày hướng dẫn giải trong G9 với cách chọn ẩn là
đại lượng cần tìm.
Ví dụ: Bài 43/trang 58 trong M9
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường
sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi
về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn
vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng
thời gian đi.
Bài giải được trình bày ở trang 61 trong G9
Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vận tốc lúc về là x – 5
(km/h).
Thời gian đi 120 km là: 120/x (giờ).
Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian lúc đi hết tất cả là: 120/x + 1 (giờ)
Đường về dài 120 + 5 = 125 (km).
Thời gian về là:

125
(giờ).
x −5

Theo đầu bài ta có PT:

120
125
+1 =
x
x −5

Giải PT:

x2 − 5 x + 120 x − 600 =
125 x ⇔ x2 −10 x − 600 =
0;
x = 30; x = −20 (loại).
1
2
Trả lời: Vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h.


Ví dụ: Bài 49/trang 59 trong M9
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong
việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?
Bài giải được trình bày ở trang 63 của G9
Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.
Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình
đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).
Mỗi ngày đội I làm được 1/x (công việc),
Mỗi ngày đội II làm được

1
(công việc).
x+6

Mỗi ngày cả hai đội làm được ¼ (công việc).
Ta có PT:

1
1
1
.
+
=
x x+6 4

Giải PT:

0 ; ∆' = 1 + 24 = 52 ;
x( x + 6) = 4 x + 4 x + 24 hay x2 − 2 x − 24 =
x = 6, x = −4 (loại).
1
2
Trả lời: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc;
Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.
Các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề GBTBCLPT
T ts : Toán tìm số


T cđ : Toán chuyển động

T ns : Toán năng suất
T hh : Toán hình học
T kh : Toán có nội dung khác
Bảng 2.1.Thống kê các bài toán trong SGK, SBT phân loại theo các dạng toán được
đề cập
Các dạng toán

M8

E8

M9

E9

Tổng số bài tập

T ts

10

14

5

5

34

T cđ

4 + 1 vd

9

4

7

25

T ns

3

1

2 + 1 vd

5

12

T hh

1

0

4 + 1 hđ

2

8

T kh

5

3

3

3

14

Tổng cộng

24

27

20

22

93

được đề cập

• Nhận xét:
Trong các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề
GBTBCLPT, dạng toán về tìm số được cho nhiều nhất tập trung chủ yếu ở lớp 8,
tiếp theo đó là dạng toán về chuyển động với số lượng bài không nhỏ. Có thể
thấy việc hai dạng toán này có số lượng khá cao trong các bài tập là vì đây cũng
là những dạng toán mà HS thường gặp ở các lớp dưới.
Các chiến lược giải gắn với chủ đề GBTBCLPT
• Chiến lược giải số học: Giải toán bằng phương pháp số học


-

Dùng các kiến thức về số học đã được học trước đây để suy luận ra
kết quả của bài toán

Ví dụ: Bài tập 35/trang 25 trong M8
“Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 1/8 số học sinh cả lớp.
Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số
học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học
sinh?”
Bài giải: Học kì một, số HS giỏi chiếm 1/8 = 12.5% số HS cả lớp
Học kì hai, tăng thêm 3 HS nên số HS giỏi chiếm 20% số HS cả lớp.
 tăng thêm 3 HS thì tỉ lệ tăng thêm là 20% – 12.5% = 7.5% nên số HS của
lớp là 3*100/7.5 = 40 HS
Vậy lớp 8A có 40 HS.
• Chiến lược giải đại số: Giải toán bằng phương pháp đại số
Thực hiện theo trình tự các bước GBTBCLPT được trình bày trong M8
Bước 1. Lập phương trình:
-

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

-

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

-

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn điểu kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Ví dụ: Bài tập 46/trang 59 trong M9


“Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và
giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh
đất”
Bài giải được trình bày ở trang 62 trong G9
“Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), x > 0.
Vì diện tích của mảnh đất bằng 240 m2 nên chiều dài là:

240

x

(m).

Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì mảnh đất mới có chiều
 240



rộng là x + 3 (m), chiều dài là 
− 4  (m) và diện tích là:
 x


240
( x + 3)  x − 4  (m2 )


Theo đầu bài ta có PT:

240
240 .
( x + 3)  x − 4  =


Vì x > 0 nên từ phương trình này suy ra −4 x 2 − 12 x + 240 x + 720 =
240 x
hay x 2 + 3x − 180 =
0.
Giải PT:

∆= 32 + 720= 729, ∆= 27
x1 = 12, x2 = −15 (loại).

Do đó, chiều rộng là 12 m, chiều dài là 240 : 2 = 20 (m).
Trả lời: Mảnh đất có chiều rộng là 12 m, chiều dài là 20 m »


Chúng tôi nhận thấy rằng cả hai dạng toán về tìm số và chuyển động được
SGK và SBT đưa vào nhiều nhất, Mặt khác có không ít bài trong hai dạng toán này
có thể thực hiện cả hai chiến lược giải trên để giải quyết. Tuy nhiên, phần trình bày
cách giải của các bài toán trong SGK, SBT và SGV đều chỉ sử dụng chiến lược đại
số để giải quyết các bài toán đó mà thôi. Như vậy chúng tôi cho rằng chiến lược đại
số được chương trình ưu tiên chọn lựa trong việc giải quyết các bài toán bậc nhất và
bậc hai.
Bên cạnh đó, số lượng bài tập của dạng toán về năng suất không nhiều, tuy
nhiên phần lớn trong các bài tập này nếu chúng ta chọn ẩn gián tiếp thì dẫn đến lời
giải tốt hơn khi chọn ẩn theo cách trực tiếp.
Phân tích trên đã chỉ ra rằng cả 2 sách M8 và M9 đều không trình bày tường
minh cách chọn ẩn số. Tuy nhiên, trong phần nhận xét trả lời hoạt động 2 bài 7
trang 28 của G8 và phần chú ý ở cuối bài đọc thêm, đã gợi mở ngầm ẩn rằng chọn
ẩn là đại lượng cần tìm. Bên cạnh đó, các lời giải trong SGK, SBT và nhiều sách
tham khảo cũng đều cung cấp một khuôn mẫu duy nhất: chọn đại lượng cần tìm là
ẩn hay có thể gọi là chọn ẩn theo cách trực tiếp. Cách gợi ý ngầm ẩn cho việc chọn
ẩn đã phần nào giúp ích cho HS trong việc đặt ẩn được dễ dàng nhưng bên cạnh đó
đôi khi việc chọn ẩn theo cách trực tiếp làm cho việc tìm ra kết quả bài toán gặp
nhiều khó khăn hơn chọn ẩn theo cách gián tiếp. Mặt khác, có một số bài toán mà
nếu chọn ẩn khác đi (theo cách gián tiếp) ta vẫn thu được kết quả tương tự, thậm chí
đôi khi lời giải còn tốt hơn. Dưới đây là một số dẫn chứng:
“Bài 2 trang 79: Một ôtô đi từ A đến B. Cùng một lúc ôtô thứ hai đi từ B đến A
với vận tốc bằng 2/3 vận tốc của ôtô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi
ôtô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?
Lời giải 1 (Chọn số liệu cần tìm là ẩn): Gọi x (h) là thời gian để ôtô 1 đi hết
quãng đường AB (x > 5). Vận tốc của ôtô 1 là AB/x. Vận tốc của ôtô 2 là 2AB/3x.