nhập môn không gian phân thớ và phân thớ vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Lan Anh

NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ
VÀ PHÂN THỚ VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Lan Anh

NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ
VÀ PHÂN THỚ VECTƠ

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................... 0
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................. 2
MỘT SỐ KÝ HIỆU .................................................................................... 3
CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ............................................. 4
1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ....................... 4
1.1.1.Mở đầu.............................................................................................................. 4
1.1.2.Định nghĩa ........................................................................................................ 5
1.1.3.Nhận xét ............................................................................................................ 6
1.2.NHÁT CẮT ............................................................................................................. 6
1.2.1.Định nghĩa ........................................................................................................ 6
1.2.2.Tính chất ........................................................................................................... 6
1.2.3.Ví dụ.................................................................................................................. 7
1.3.HỌ HÀM DÁN ....................................................................................................... 8
1.3.1Định nghĩa ......................................................................................................... 8
1.3.2.Tính chất ........................................................................................................... 8
1.3.3.Đẳng cấu các phân thớ cùng đáy ..................................................................... 9
1.4.ĐỊNH LÝ DÁN ....................................................................................................... 9
1.4.1.Định lý 1 ........................................................................................................... 9
1.4.2.Nhận xét .......................................................................................................... 12
1.4.3.Các ví dụ ......................................................................................................... 12
1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA
PHƯƠNG .................................................................................................................... 14

CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ ....................................................... 18
2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ.................................................................... 18
2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ................................................. 19
2.3.NHÁT CẮT ........................................................................................................... 19
2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ.................................................................................. 21

2.5.PHÂN THỚ PHỨC ............................................................................................... 23


2.6.PHÂN THỚ CON ................................................................................................. 26
2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ ...................... 30

KẾT LUẬN ............................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 47


LỜI MỞ ĐẦU
Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện vào khoảng những năm
1922 – 1925 trong công trình của E.Cartan về lý thuyết liên thông. Trong lớp các không
gian phân thớ, các phân thớ vectơ đóng vai trò quan trọng vì nhờ nó mà lý thuyết đối đồng
điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học, được xây dựng.
Những nghiên cứu nghiêm túc đầu tiên về phân thớ được bắt đầu bởi Poincare
trong các nghiên cứu về không gian phủ không tầm thường. Cấu trúc phân thớ cũng xuất
hiện nhiều trong các nghiên cứu về đa tạp khả vi. Sau đó, các lớp đặc trưng được định nghĩa
và trong một thời gian dài, chúng là công cụ chính của việc nghiên cứu. Các lớp đặc trưng
Stieffel Whitney được giới thiệu bởi Stieffel và Whitney vào năm 1935 về phân thớ tiếp xúc
của đa tạp trơn. Whitney cũng xét đến các phân thớ trên mặt cầu. Kể từ đó lý thuyết về
không gian phân thớ trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô
đại số và là một công cụ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu hình học vi phân.
Đúng như tên gọi đề tài, chúng tôi chỉ nghiên cứu các phần cơ bản của không
gian phân thớ và phân thớ vectơ. Luận văn được chia làm hai chương. Chương I trình bày
định nghĩa tổng quát về không gian phân thớ, nhát cắt, họ hàm dán, định lý dán và bài toán
mô tả lớp đẳng cấu tầm thường địa phương, trong đó định lý dán cho phép ta xây dựng một
không gian phân thớ trên đáy B nào đó bằng cách “dán” các phân thớ tầm thường. Chương
II trình bày định nghĩa phân thớ vectơ, nhóm cấu trúc vectơ GL(n, K), nhát cắt, các phép
toán trên phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ liên kết với đa tạp.

Do khả năng và trình độ có hạn, bản luận văn chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất
mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.
Nhân dịp này chúng tôi xin cảm ơn chân thành các Thầy, Cô của trường Đại học
Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ chúng tôi trong
suôt quá trình học tập. Đặc biệt, chúng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Anh
Vũ, người đã trực tiếp ra đề tài, hướng dẫn chúng tôi hoàn thành bản luận văn này.
Tp. HCM, ngày 06 tháng 11 năm 2011
Người thực hiện
Nguyễn Thị Lan Anh


MỘT SỐ KÝ HIỆU
𝜉

Không gian phân thớ

𝜉̅

𝒜

Atlas của không gian phân thớ

B

Đáy hay không gian cơ sở

F

Thớ mẫu

𝑆𝑛

Mặt cầu đơn vị n chiều

𝑣 (𝑆 𝑛 )

Phân thớ pháp của mặt cầu 𝑆 𝑛

𝑇 (𝑆 𝑛 )

Phân thớ liên hợp của phân thớ phức 𝜉

Phân thớ tiếp xúc của mặt cầu 𝑆 𝑛

𝑠 (𝜉 )

Tập các nhát cắt của 𝜉

𝑇𝑥 𝑀

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp M tại x

G

Nhóm đồng phôi của F

𝐾

Kí hiệu của không gian thực ℝ hoặc không gian phức ℂ

𝑛�

Phân thớ tầm thường n chiều

𝜈 (𝑋 )

Phân thớ chuẩn tắc của đa tạp X
Tập các ánh xạ liên tục từ B vào K

Df

Ánh xạ vi phân của ánh xạ f

TM

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp M

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) Tập các ma trận vuông 𝑛 × 𝑛 trong không gian 𝐾

H1(B,G) Đối đồng điều bậc nhất của B với hệ tử trong G
𝐶𝐾 𝐵


CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ
Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian phân thớ (tầm thường địa phương).
Định lý cơ bản nhất của chương là Định lý dán. Nhờ định lý dán, ta dựng một phân thớ bằng cách “dán” các phân thớ
tầm thường lại. Điều đáng nhấn mạnh là đa phần các phân thớ được cho bởi phép dán họ hữu hạn các phân thớ tầm
thường (tích trực tiếp). Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Fibre Bundles” ([10]) của D.
Husemoller. Do khuôn khổ hạn chế của bản luận văn, một số tính chất được giới thiệu mà không đưa ra chứng mình
(thường là khá phức tạp). Bạn đọc nào quan tâm có thể tham khảo cuốn tài liệu đã dẫn của D. Husemoller.

1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ
1.1.1.Mở đầu

Định nghĩa của phân thớ tầm thường địa phương được đưa ra để mô tả lại ý tưởng của một
số trường hợp hình học vi phân. Ta xét một số ví dụ sau:
a) Mặt trụ tròn xoay có thể được xem là hợp rời của họ các đường thẳng liên tục xuất
phát từ mỗi điểm x thuộc đường tròn S1

b) Dải Mobius

𝑇 ∶= 𝑆1 × ℝ = � ℝ𝑥 , ℝ𝑥 ≈ ℝ.
𝑥∈𝑆 1

[
]2
𝑀 = 0; 1 �(0; 𝑦) ≡ (1; 1 − 𝑦) = � 𝐼𝑥 , 𝐼𝑥 ≈ [0,1].
𝑥∈𝑆 1

c) Mặt Xuyến hai chiềuđược biểu diễn như là hợp rời các đường tròn (kinh tuyến) ứng
với các điểm x thuộc một đường tròn khác (vĩ tuyến).

d) Cho M là một đa tạp khả vi nhúng vào không gian Euclide ℝ𝑁 và TM là tập các

vectơ tiếp xúc của đa tạp M và xem như được nhúng vào ℝ𝑁 × ℝ𝑁 . Khi đó, TM có
thể hình dung là hợp các không gian con 𝑇𝑥 𝑀 gồm tất cả các vectơ tiếp xúc với đa

tạp M tại x.

𝑇𝑀 ∶= � 𝑇𝑥 𝑀 ,

𝑇𝑥 𝑀 ≈ ℝ𝑁 ,

Mỗi không gian trong các ví dụ ở trên có các điểm chung:
-

𝑥 ∈ 𝑀.

Không gian được tách thành hợp các không gian con mà được thường được gọi là các
“thớ”.


-

Các “thớ” đều là bản sao của một không gian tôpô nào đó mà thường được gọi là
“thớ mẫu”. Các “thớ” được đánh số bởi một không gian nào đó mà thường được gọi
là “đáy” hay “cơ sở”.

-

Xét trên toàn thể, nói chung không gian không phải là tích trực tiếp của “đáy” với
“thớ mẫu”. Tuy nhiên xét ở địa phương (một vùng nhỏ nào đó của đáy), tất cả các
không gian này là tích trực tiếp.

Dựa vào các đặc điểm này ta đưa ra một định nghĩa về phân thớ tầm thường địa phương.

1.1.2.Định nghĩa

Cho ba không gian tôpô E, B, F vàánh xạ liên tục p: E → B. Bộ ba 𝜉 = (E, p, B) được gọi là

một phân thớ tầm thường địa phương (hay đơn giản là phân thớ) với thớ mẫu F nếu tính
chất “tầm thường địa phương” sau đây thoả mãn:∀𝑥 ∈ 𝐵, ∃𝑈(lân cận mởcủa x trong B) và
≈

đồng phôi 𝜑 ∶ 𝑈 × 𝐹 �� 𝑝−1 (𝑈) (là tập con mở của E) làm cho tam giác dưới đây giao hoán
𝑝𝑟𝑈 = 𝑝�𝑝−1(𝑈) ∘ 𝜑

𝜑

𝑈 × 𝐹 �⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑝−1 (𝑈)
𝑝𝑟𝑈 𝑝�𝑝−1(𝑈)
𝑈

trong đó 𝑝𝑟𝑈 : 𝑈 × 𝐹 → 𝑈(phép chiếu tự nhiên)

(𝑥, 𝑓) ↦ 𝑝𝑟𝑈 (𝑥, 𝑓) ∶= 𝑥

Đồng phôi𝜑 thoả điều kiện trên gọi là đồng phôi theo thớ.

E được gọi là không gian toàn thể hay không gian phân thớ. Khi không sợ nhầm lẫn
ta thường dùng E để chỉ 𝜉; p được gọi là phép chiếu của phân thớ; B được gọi là cơ sở hay
đáy của phân thớ còn F được gọi là thớ mẫu. Với mỗi 𝑥0 ∈ 𝐵, 𝑝−1 (𝑥)(≈ 𝐹 )được gọi làthớ
tại𝑥0 ; 𝜑được gọi là đồng phôi toạ độ địa phươngxung quanh𝑥0 ∈ 𝐵; cặp (𝑈, 𝜑) được gọi

làbản đồ địa phương của phân thớ𝜉 xung quanh 𝑥0 ∈ 𝐵.

Họ {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 các bản đồ địa phương của không gian phân thớ𝜉= (E, p, B) gọi là

một atlas của 𝜉nếu {𝑈𝛼 }𝛼 là một phủ mở của B.

Như vậy, tất cả các phân thớ đều có ít nhất một atlas.


1.1.3.Nhận xét

-

Phép chiếu p của mỗi phân thớ luôn là toàn ánh.

-

Đặc biệt 𝜑: 𝐵 × 𝐹 → 𝐸 = 𝑝−1 (𝐵)(B đóng vai trò U trong định nghĩa) thì ta bảo phân

≈

thớ là tầm thường. Đương nhiên lúc này 𝜑 là một đồng phôi theo thớ. Nói cách khác,
phân thớ tầm thường chỉ sai kém một đồng phôi theo thớ với tích trực tiếp của đáy và

thớ mẫu.
Ví dụ: Mặt trụ là phân thớ tầm thường
≈

𝑝: 𝑇 ∶= 𝑆1 × ℝ → 𝑆1

với đồng phôi 𝜑: 𝑆1 × ℝ → 𝑝−1 (𝑆1 ).

1.2.NHÁT CẮT
1.2.1.Định nghĩa

Cho ξ = (E, p, B) là một không gian phân thớ. Ánh xạ liên tục s: B → Eđược gọi làmột nhát

cắt của ξnếu p. s = IdB .
𝑠

𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸

𝐼𝑑𝐵 𝑝
𝐵

𝑝𝑠(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐵; 𝑠(𝑥) = 𝑒 ∈ 𝑝−1 (𝑥) ⊂ 𝐸.

Nói cách khác, nhát cắt của phân thớ 𝜉= (E, p, B) là ánh xạ liên tục𝑠: 𝐵 → 𝐸mà 𝑠(𝑥) ∈
𝑝−1 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵.

1.2.2.Tính chất

a) Một nhát cắt bất kì của phân thớ tích (𝐵 × 𝐹, 𝑝, 𝐵) có dạng𝑠(𝑥) = (𝑥, 𝑓(𝑥)) trong
đó 𝑓: 𝐵 → 𝐹là ánh xạ liên tục được xác định duy nhất bởi nhát cắt𝑠.

Thật vậy:

Giả sử có ánh xạ bất kì
𝑠: 𝐵 → 𝐵 × 𝐹

𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑠 ′ (𝑥), 𝑓 (𝑥)�


trong đó 𝑠 ′ : 𝐵 → 𝐵, 𝑓: 𝐵 → 𝐹là các ánh xạ được xác định duy nhất bởi 𝑠 và 𝑝. 𝑠(𝑥) =

𝑠′(𝑥).

Do đó 𝑠 là nhát cắt nên

𝑝. 𝑠(𝑥) = 𝑥 = 𝑠 ′ (𝑥) ⟺ 𝑠(𝑥) = �𝑥, 𝑓 (𝑥)�, ∀𝑥 ∈ 𝐵∎

Tính chất trên cho thấy tồn tại một song ánh từ tập các nhát cắt của phân thớ tích(𝐵 ×

𝐹, 𝑝, 𝐵) và tập các ánh xạ liên tục 𝐵 → 𝐹.

b) Trong ngôn ngữ địa phương, 𝑠 được thể hiện như sau:

Giả sử𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 là atlas của 𝜉 = (E, p, B).

𝑠|𝑈𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝜉𝛼 = 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) ≈ 𝑈𝛼 × 𝐹

𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼 (𝑥, 𝑓) ( f phụ thuộc vào x,𝛼, 𝑠)
ta được 𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹

sao cho 𝑠(𝑥) = 𝜑𝛼 (𝑥, 𝑓)

Ta viết lại 𝑠|𝑈𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 )
𝑙𝑡

1−1

𝑥 ↦ 𝑠𝛼 (𝑥) ∶= 𝑓, ∀𝛼

𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼 �𝑥, 𝑠𝛼 (𝑥)�

�𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹� �⎯⎯� 𝑠 (thoả mãn điều kiện𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ).

𝛼

𝑙𝑡

Ta gọi họ �𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹� là biểu diễn địa phương của 𝑠 ứng với 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 .
𝛼

1.2.3.Ví dụ

Kí hiệu (𝑥, 𝑦)là tích vô hướng thông thường trong ℝ𝑛 và ‖𝑥 ‖ = �(𝑥, 𝑥) là chuẩn của vectơ.
• Phân thớ tiếp xúc 𝑇(𝑆 𝑛 )của mặt cầu 𝑆 𝑛 ⊂ ℝ𝑛+1 xác định bởi
𝑇(𝑆 𝑛 ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 𝑛 × ℝ𝑛+1 : (𝑏, 𝑥) = 0}.

• Phân thớ pháp 𝑣 (𝑆 𝑛 )của mặt cầu xác định bởi

𝑣 (𝑆 𝑛 ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 𝑛 × ℝ𝑛+1 : 𝑥 = 𝑘𝑏, 𝑘 ∈ ℝ}.


Điểm (𝑏, 𝑥)của không gian phân thớ 𝑇(𝑆 𝑛 ), (tương ứng, không gian phân thớ 𝑣 (𝑆 𝑛 ))chính

là vectơ tiếp xúc(tương ứng, vectơ pháp tuyến) của mặt cầu tại𝑏. Mỗi nhát cắt của
𝑇(𝑆 𝑛 )chính là một trường vectơ(tiếp xúc) của 𝑆 𝑛 , còn nhát cắt của 𝑣 (𝑆 𝑛 ) gọi là trường

vectơ pháp tuyến trên 𝑆 𝑛 .

1.3.HỌ HÀM DÁN
1.3.1Định nghĩa

Cho 𝜉= (E, p, B) là không gian phân thớ với thớ mẫu F và 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 là một

atlas của 𝜉. Xét hai bản đồ (𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 ) và �𝑈𝛽 , 𝜑𝛽 � mà𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.
Đặt 𝜑𝛽𝛼 ∶= �𝜑𝛽��𝑈𝛼∩𝑈𝛽�×𝐹 �

−1

∘ 𝜑𝛼��𝑈𝛼∩𝑈𝛽�×𝐹
≈

𝜑𝛽𝛼 : �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹 → �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹
(𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, 𝑓 �̅

Ta thường viết đơn giản là𝜑𝛽𝛼 ∶= 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 . Các hàm 𝜑𝛽𝛼 được gọi là hàm dán(hay hàm

chuyển) bản đồ (𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 ) với �𝑈𝛽 , 𝜑𝛽 �, ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.
1.3.2.Tính chất

Họ hàm dán�𝜑𝛽𝛼 � có các tính chất đặc trưng sau đây (mà được gọi là tính chất tương

thích):
(i)
(ii)

𝜑𝛾𝛼 =

𝛾𝛽

∘ 𝜑𝛽𝛼 , ∀𝛼, 𝛽, 𝛾 mà𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅.

𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹 , ∀𝛼.

Chứng minh
(i)

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ,ta có

𝜑𝛾𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥) = �𝜑𝛾−1 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 �(𝑥)

(ii)

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 , ta có

= �𝜑𝛾−1 ∘ 𝜑𝛼 �(𝑥) = 𝜑𝛾𝛼 (𝑥)

𝜑𝛼𝛼 (𝑥) = (𝜑𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼 )(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹 , ∀𝛼∎


1.3.3.Đẳng cấu các phân thớ cùng đáy

Cho𝜉1 = (𝐸1 , 𝑝1 , 𝐵), 𝜉2 = (𝐸2 , 𝑝2 , 𝐵) là hai phân thớ trên cùng đáy B với thớ mẫu lần lượt
là 𝐹1 và 𝐹2 .

Ánh xạ liên tục 𝜓: 𝐸1 → 𝐸2 được gọi là một đồng cấu phân thớ từ ξ1 đến ξ2 , kí hiệu

𝜓: 𝜉1 → 𝜉2 , nếu tam giác sau giao hoán :

𝜓

𝐸1 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸2
𝑝1 𝑝2

Nghĩa là 𝑝1 = 𝑝2 . 𝜓.

𝐵

Như vậy 𝜓 chuyển thớ 𝑝1−1 (𝑥) vào 𝑝2−1 (𝑥) tại cùng điểm tuỳ ý 𝑥 ∈ 𝐵.
Khi 𝜓 đồng phôi thì 𝜓 là đẳng cấuphân thớ .

1.4.ĐỊNH LÝ DÁN

Cho một không gian phân thớ 𝜉 với atlas đã cho ta luôn tạo ra họ các hàm dán thoả

tính chất (i), (ii).

Câu hỏi ngược lại, nếu có họ các hàm dán thoả (i), (ii) thì có khôi phục đượckhông
gian phân thớ 𝜉 hay không? Câu trả lời là khẳng định. Cụ thể ta có định lý dưới đây mà

thường được gọi là định lý dán.
1.4.1.Định lý 1

Cho không gian tôpô B với {𝑈𝛼 }𝛼 là phủ mở của B. Cho họ các đồng phôi theo thớ
≈

𝜑𝛽𝛼 : �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹 �� �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹 (𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅) thoả mãn (i), (ii).
Khi đó, ta có:

(a) Tồn tại không gian phân thớ 𝜉 = (E, p, B) và atlas 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 nhận �𝜑𝛽𝛼 �
làm họ hàm dán.

(b) 𝜉 là duy nhất sai kém một đẳng cấu phân thớ.

Chứng minh:

Sự tồn tại
Xét họ các không gian phân thớ tầm thường {𝑈𝛼 × 𝐹 }𝛼 .


Đặt 𝐸� ∶= ∐𝛼(𝑈𝛼 × 𝐹 ) (tổng tôpô của họ {𝑈𝛼 × 𝐹 }𝛼 ).
Xét 𝑝̅ : ∐𝛼 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝐵
Dễ thấy 𝑝̅ liên tục.

𝑒̅ = (𝑥, 𝑓) ↦ 𝑝̅ (𝑒̅) ∶= 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ⊂ 𝐵

Trên 𝐸� ta định nghĩa quan hệ

như sau :

∀𝑒̅1 = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹, ∀𝑒̅2 = �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � ∈ 𝑈𝛽 × 𝐹 thuộc 𝐸�
𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ �

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽
𝜑𝛽𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 �

Nhờ hai tính chất (i), (ii) ta kiểm tra được
vậy:
-

là một quan hệ tương đương trên 𝐸� . Thật

Tính phản xạ: 𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹 ⟹ 𝜑𝛼𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ), ∀𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼 ⟹ 𝑒̅1 ∼ 𝑒̅1 .

Tính bắc cầu:

𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ �

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

𝑒̅2 ∼ 𝑒̅3 ⇔ �

𝜑𝛽𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 �

𝑥𝛽 = 𝑥𝛾 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾
𝜑𝛾𝛽 �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = �𝑥𝛾 , 𝑓𝛾 �

(1.1)

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra được
�
-

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥𝛾 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾

𝜑𝛾𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = �𝜑𝛾𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 �(𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = 𝜑𝛾𝛽 �𝜑𝛽𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )� = 𝜑𝛾𝛽 �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = �𝑥𝛾 , 𝑓𝛾 �
⇒ 𝑒̅1 ∼ 𝑒̅3

Tính đối xứng:
𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ �
⇔�
⇔�

⇔�

𝜑𝛼𝛽 �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )

𝜑𝛽𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 �

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽
−1

�𝜑𝛽𝛼 � �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )
𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽
−1

�𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 � �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )

⇔�

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

�𝜑𝛼−1 ∘ 𝜑𝛽 ��𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )

⇔ 𝑒̅2 ∼ 𝑒̅1 .


�

Đặt 𝐸 ∶= 𝐸�∼ : không gian thương của 𝐸� theo quan hệ .

Đặt 𝑝: 𝐸 → 𝐵 sao cho đẳng thức 𝑝̅ = 𝑝 ∘ 𝑝𝑟 xảy ra trong tam giác giao hoán bên dưới

𝑝𝑟
� �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�
𝐸

𝑝̅ 𝑝
𝐵

Trong đó∀𝑒 ∈ 𝐸, ∃𝑒̅ = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹 ⊂ 𝐸� thoả mãn

𝑒̅ ↦ 𝑝𝑟(𝑒̅) ∶= 𝑒 (lớp tương đương của 𝑒̅),

�
ở đây 𝑝𝑟: 𝐸� → 𝐸 ∶= 𝐸�∼ phép chiếu tự nhiên. lúc đó ta định nghĩa
𝑝(𝑒) ∶= 𝑝̅ (𝑒̅) = 𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼 ⊂ 𝐵.

Định nghĩa p như thế là hợp lý và p liên tục. Hơn nữa p toàn ánh.
Kiểm tra được 𝜉 = (E, p, B) là một phân thớ tầm thường trên B.
Thật vậy:

Xét 𝜑𝛼 : 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 )(mở) ⊂ 𝐸

(𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) ↦ 𝜑𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) ∶= 𝑒 ∈ 𝐸

(e là lớp tương đương của 𝑒̅ = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) trong 𝐸� theo )

và �𝑝�𝑝−1(𝑈) ∘ 𝜑𝛼 � (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = 𝑝�𝑝−1(𝑈) �𝜑𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )�

= 𝑝�𝑝−1(𝑈) (𝑒)
= 𝑝̅(𝑒̅ )

= 𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼 , do vậy 𝜑𝛼 là đồng phôi toạ độ, ∀𝛼.

Ta thu được atlas 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 của 𝜉. Mặt khác :

�𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 �(𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) = 𝜑𝛽−1 �𝜑𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )� = 𝜑𝛽−1 (𝑒) = �𝑥𝛽 , 𝑓𝛽 � = 𝜑𝛽𝛼 (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 )

⇒ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 = 𝜑𝛽𝛼 , ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.

Tức là �𝜑𝛽𝛼 � trở thành họ hàm dán ứng với 𝒜. Do đó sự tồn tại được chứng minh.

Sự duy nhất

Giả sử còn có không gian phân thớ 𝜉′ = (𝐸′, 𝑝′, B) và atlas 𝒜’ = {(𝑈𝛼 , 𝜑′𝛼 )}𝛼 nhận 𝜑𝛽𝛼

là họ hàm dán ứng với 𝒜’ tức là 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽′

−1

∘ 𝜑𝛼′ , ∀𝛼, 𝛽 và 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.


Ta cần chứng minh rằng ∃𝜓 ∶ 𝜉 → 𝜉′ là đẳng cấu không gian phân thớ. Tức là cần xây

dựng 𝜓: 𝐸 → 𝐸′ sao cho đẳng thức 𝑝 = 𝑝′ ∘ 𝜓 xảy ra trong tam giác giao hoán sau:
𝜓

𝐸 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸′

𝑝𝑝′

B

Thật vậy, với mỗi 𝑒 ∈ 𝐸, ta chọn 𝑒̅ = (𝑥𝛼 , 𝑓𝛼 ) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹 ⊂ 𝐸� mà 𝑝𝑟 (𝑒̅) = 𝑒.
Ta định nghĩa 𝜓(𝑒) ∶= 𝜑𝛼′ (𝑒̅) ∈ 𝑝′−1 (𝑈𝛼 ) ⊂ 𝐸′.

𝜓 định nghĩa như thế là hợp lý. Hơn nữa 𝜓 đồng phôi thoả mãn đẳng thức 𝑝 = 𝑝′ ∘ 𝜓

((𝑝′ ∘ 𝜓)(𝑒) = 𝑝′ �𝜓(𝑒)� = 𝑝′ �𝜑𝛼′ (𝑒̅)� = (𝑝′ ∘ 𝜑𝛼′ )(𝑒̅) = 𝑥𝛼 = 𝑝̅ (𝑒̅) = 𝑝(𝑒)).
Do đó sự duy nhất được chứng minh

1.4.2.Nhận xét

-

Phân thớ 𝜉 = (E, p, B) vừa xây dựng trong phần chứng minh sự tồn tại được gọi

là phân thớ nhận được bằng cách dán các phân thớ tầm thường 𝑈𝛼 × 𝐹 (∀𝛼 )

-

bởi họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼 � đã cho.

Định lý dán vẫn còn đúng nếu ta thay phủ mở {𝑈𝛼 }𝛼 của B thành phủ đóng hữu

hạn hoặc hữu hạn địa phương của B (hữu hạn địa phương có nghĩa là ∀𝑥 ∈ 𝐵
-

có một số hữu hạn các 𝑈𝛼 chứa x).

Trong thực hành khi cho một phân thớ trên không gian B nào đó ta rất hay cho
bằng phép dán hữu hạn của các phân thớ tầm thường.

1.4.3.Các ví dụ

a) Ví dụ 1:
B = 𝑆 2 ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1}(không gian con củaℝ3 với tôpô thông thường)
𝑆1 ∶= {(𝑥, 𝑦, 0) ∈ 𝑆 2 |𝑥 2 + 𝑦 2 = 1} = 𝑆 2 ∩ (0𝑥𝑦)

𝑈+ ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 2 : 𝑧 ≥ 0}: bán cầu Bắc

𝑈− ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 2 : 𝑧 ≤ 0}: bán cầu Nam

𝑈+ , 𝑈− ⊂ 𝑆 2 , {𝑈+ , 𝑈− } phủ đóng hữu hạn của 𝑆 2 .

𝑈+ ∩ 𝑈− = 𝑆1 , 𝐵 = 𝑆 2 = 𝑈+ ∪ 𝑈− .
Xét họ 4 hàm dán


 𝜑++ = 𝐼𝑑: 𝑈+ × 𝐹 → 𝑈+ × 𝐹

 𝜑−− = 𝐼𝑑: 𝑈− × 𝐹 → 𝑈− × 𝐹
 𝜑+− = 𝐼𝑑: 𝑆1 × 𝐹 → 𝑆1 × 𝐹

(𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑+− (𝑥, 𝑓) = �𝑥, 𝜑(𝑥)(𝑓)�,

trong đó 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) (nhóm các đồng phôi của F)

𝑥 ↦ 𝜑 (𝑥 )

≈

với 𝜑(𝑥): 𝐹 → 𝐹 là một đồng phôi đã cho.

 𝜑−+ ∶= (𝜑+− )−1

Kiểm tra {𝜑++ , 𝜑−− , 𝜑+− , 𝜑−+ } thoả mãn tính tương thích

Đặt 𝐸𝜑 là không gian phân thớ nhận được bằng cách dán hai phân thớ tầm thường 𝑈+ × 𝐹

với 𝑈− × 𝐹 bởi họ hàm dán {𝜑++ , 𝜑−− , 𝜑+− , 𝜑−+ } ≡ {𝜑}.
𝐸𝜑 =

(𝑈+ × 𝐹 ) ⊔ (𝑈− × 𝐹 )
�(
𝑥, 𝑓) ≡ �𝑥, 𝜑(𝑥)(𝑓)�, ∀𝑥 ∈ 𝑆1

Đặc biệt: chọn 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)

𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) ∶= 𝐼𝑑𝐹

Lúc đó 𝐸𝜑 ≈ 𝑆 2 × 𝐹 (phân thớ tầm thường).

Định lý 2: Mọi không gian phân thớ trên 𝑆 2 đều có thể được cho bằng cách như trên, tức là
tồn tại 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) để 𝐸𝜑 ≈ 𝐸.
b) Ví dụ 2

Trên một đa tạp M, xét một atlas 𝒜 ={(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 . Ta xác định họ hàm chuyển

�𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅�, trong đó

≈

𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 : 𝜑𝛼 �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � �� 𝜑𝛽 �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 �,

cụ thể

𝜑𝛼 (𝑥) = �𝑥 1 (𝑥), … , 𝑥 𝑛 (𝑥)�, ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 , 𝜑𝛽 (𝑦) = �𝑦1 (𝑦), … , 𝑦 𝑛 (𝑦)�, ∀𝑦 ∈ 𝑈𝛽 .

Ta được

𝜑𝛽𝛼 �𝑥 1 (𝑥), … , 𝑥 𝑛 (𝑥)� = �𝑦1 (𝑥), … , 𝑦 𝑛 (𝑥)�, , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 .

Ma trận Jacôbi của 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 là :


𝜕𝑦1
⎡
(𝑥)
1
𝜕𝑦 𝑖
⎢ 𝜕𝑥
𝒯𝛽𝛼 (𝑥) ∶= � 𝑗 � = ⎢ ⋮
𝜕𝑥 𝑥
𝑛
⎢𝜕𝑦
⎣ 𝜕𝑥 1 (𝑥)

Ta được ánh xạ

⋯
⋱

⋯

𝜕𝑦1
(𝑥)⎤
𝜕𝑥 𝑛
⎥
⋮ ⎥ , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 .
𝜕𝑦 𝑛
⎥
(𝑥)
⎦
𝜕𝑥 𝑛
≅

𝐷𝑥 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �: ℝ𝑛 → ℝ𝑛

𝑣 ↦ 𝐷𝑥 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣 ∶= 𝒯𝛽𝛼 (𝑣) (v : vectơ cột).
Ta xét họ hàm

𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ𝑛 → 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ𝑛

(𝑥, 𝑣 ) ↦ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥, 𝑣 ) ∶= �𝑥, 𝐷𝑥 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣�.

Kiểm tra được �𝜑�𝛽𝛼 �(∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅) thoả mãn các tính chất tương thích. Thật vậy
�𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼 �(𝑥, 𝑣 )

= 𝜑�𝛾𝛽 �𝜑�𝛽𝛼 (𝑥, 𝑣 )�

= 𝜑�𝛾𝛽 �𝑥, 𝐷𝑥 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣�

= �𝑥, 𝐷𝑥 �𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽−1 �𝐷𝑥 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣�
= �𝑥, 𝐷𝑥 �𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣�

= �𝑥, 𝐷𝑥 �𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛼−1 �𝑣� = 𝜑�𝛾𝛼 (𝑥, 𝑣), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅.
⇒ 𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛾𝛼

𝜑�𝛼𝛼 (𝑥, 𝑣 ) = (𝑥, 𝐷𝑥 (𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 )𝑣) = (𝑥, 𝑣 ) ⇒ 𝜑�𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×ℝ𝑛 .

Dùng họ hàm dán �𝜑�𝛽𝛼 � để dán họ các phân thớ tầm thường {𝑈𝛼 × ℝ𝑛 }𝛼 ta được

phân thớ tiếp xúc TM của đa tạp khả vi M
𝑇𝑀 ∶=

∐𝛼(𝑈𝛼 × ℝ𝑛 )
�(𝑥, 𝑣 ) ≡ 𝜑� (𝑥, 𝑣 )
𝛽𝛼

(∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 , ∀𝑣 ∈ ℝ𝑛 , ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅).

Sang chương II, mục 2.7, ta sẽ còn đề cập sâu hơn về phân thớ tiếp xúc trên đa tạp và
một vài áp dụng của nó.

1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG
ĐỊA PHƯƠNG
1.5.1.Bài toán:Cho không gian tôpô B. Hãy mô tả lớp đẳng cấu các phân thớ tầm
thường địa phương trên B với thớ mẫu F cho trước.

Đặ𝑡 𝐺 ∶= 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹 ) là nhóm các đồng phôi của F đối với phép hợp thành.
Xét 𝜑𝛽𝛼 : �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹 → �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 � × 𝐹

(𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥, 𝑓) = �𝑥, 𝑓�̅

Cố định 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 . Ta được ánh xạ đồng phôi

≈

𝜑𝛽𝛼 (𝑥, . ): 𝐹 → 𝐹

Kí hiệu 𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺
Ta đồng nhất 𝜑𝛽𝛼 ≡ �𝜑𝛽𝛼 (𝑥, . )�

𝑓 ↦ �𝜑𝛽𝛼 (𝑥, . )� (𝑓) ∶= 𝑓 ̅
𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛽𝛼 (𝑥, . )

𝑥∈𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽

Tính chất tương thích được viết lại:
(𝚤̂)
(𝚤𝚤
�)

≡ �𝜑�𝛽𝛼 (𝑥)�

𝑥∈𝑈𝛼 ∩𝑈𝛽

. Do đó 𝜑𝛽𝛼 ≡ 𝜑�𝛽𝛼 .

𝜑�𝛾𝛼 (𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽 (𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥), 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅.
𝜑�𝛼𝛼 (𝑥) = 𝐼𝑑𝐹 = 1𝐺 (∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ).

Như vậy, họ hàm dán�𝜑𝛽𝛼 � (∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅) tương ứng với họ hàm �𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩

�).
𝑈𝛽 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹 )} thoả mãn tính chất tương thích (𝚤̂), (𝚤𝚤

Vấn đề: Trên B xét phủ {𝑈𝛼 }𝛼 (mở hay đóng hữu hạn địa phương) và cho hai họ hàm

dán �𝜑𝛽𝛼 �, �𝜓𝛽𝛼 �(thoả mãn tính chất tương thích). Theo định lý dán, ta được hai

phân thớ tầm thường địa phương 𝜉, 𝜂 trên B với thớ mẫu F. Ta muốn tìm hiểu xem
khi nào 𝜉 ≅ 𝜂?

1.5.2.Định lí 3 : Hai họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼 � và �𝜓𝛽𝛼 � xác định hai phân thớ tầm thường địa

phương đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại họ các đồng phôi theo thớ
≈

ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝑈𝛼 × 𝐹, ∀𝛼

sao cho 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 , ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.

Chứng minh

Cho họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼 � và �𝜓𝛽𝛼 � xác định lần lượt hai phân thớ tầm thường địa phương 𝜉

= (E, p, B) và 𝜂 = (E’, p’, B).

𝜉 có đồng phôi toạ độ 𝜑𝛼 , 𝜂 có đồng phôi toạ độ 𝜓𝛼 .
/ Giả sử 𝜉 ≅ 𝜂


Khi đó có một đồng phôi 𝜃: 𝐸 → 𝐸′. Cho ℎ𝛼 = 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃 −1 ∘ 𝜓𝛼 .
Khi đó ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 = 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃 −1 ∘ 𝜓𝛼

= 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃 −1 ∘ 𝜓𝛼

= 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽𝛼 .
/

= 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜃 −1 ∘ 𝜓𝛼

≈

Giả sử tồn tại một đồng phôi theo thớ ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝑈𝛼 × 𝐹, ∀𝛼 sao cho𝜓𝛽𝛼 =

ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 , ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.

Xét phủ mở {𝑝−1 (𝑈𝛼 )}𝛼 của E.Trên mỗi không gian con 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) ta đặt hàm
𝜃 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼−1 .

Ta cần chứng minh 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼−1 = 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽−1 trên tập 𝑝−1 (𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛼 ).
Thật vậy, ta có

𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽−1 = 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼−1 ∘ 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1
= 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1

= 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1
= 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1

Do đó 𝜉 ≅ 𝜂∎

= 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼−1

1.5.3.Đối dây chuyền và đối chu trình
Xét họ các đồng phôi theo thớ
≈

ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝑈𝛼 × 𝐹

(𝑥, 𝑓) ↦ ℎ𝛼 (𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, 𝑓�̅
≈

ℎ𝛼 (𝑥, . ): 𝐹 → 𝐹

𝑓 ↦ ℎ𝛼 (𝑥, . )(𝑓) ∶= 𝑓 ̅

ℎ�𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹 )
𝑥 ↦ ℎ�𝛼 (𝑥) ∶= ℎ𝛼 (𝑥, . )

Nhờ ℎ𝛼 (𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, ℎ�𝛼 (𝑥)(𝑓)� và 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 nên

𝜓�𝛽𝛼 (𝑥) = ℎ�𝛽−1 (𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥) ∘ ℎ�𝛼 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.


�𝑈𝛼 , ℎ�𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺� gọi là một đối dây chuyền 0-chiều (hay 0-đối dây chuyền) trên B

với giá trị trong G (G-giá trị).

�𝑈𝛼 , 𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺� gọi là một đối dây chuyền 1-chiều (hay 1-đối dây

�)). Khi 𝜑�𝛽𝛼
chuyền) trên B với giá trị trong G (𝜑�𝛽𝛼 chưa nhất thiết thoả mãn (𝚤̂), (𝚤𝚤

thoả mãn thêm điều kiện tương thích (𝚤̂), (𝚤𝚤
�) thì ta bảo �𝑈𝛼 , 𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺�

là một đối chu trình 1 chiều hay 1-đối chu trình trên B với giá trị trong G.

Hai 1-đối chu trình�𝑈𝛼 , 𝜑�𝛽𝛼 � và �𝑈𝛼 , 𝜓�𝛽𝛼 � gọi là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại
0_đối dây chuyền �𝑈𝛼 , ℎ�𝛼 � sao cho

𝜓�𝛽𝛼 (𝑥) = ℎ�𝛽−1 (𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥) ∘ ℎ�𝛼 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅.

Đặt 𝐻1 (𝐵, 𝐺 ) ∶=

tập các 1_đối chu trình
�
quan hệ đối đồng điều.

Tập H1(B, G) được gọi là (tập) đối đồng điều bậc nhất của B với hệ tử trong G.
1.5.4.Kết luận
Có một tương ứng song ánh giữa 𝐻1 (𝐵, 𝐺 ) và tập các lớp đẳng cấu phân thớ tầm

thường địa phương trên B với thớ mẫu 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹 ).∎

CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ
Phân thớ vectơ là trường hợp đặc biệt của phân thớ tổng quát khi thớ mẫu là một không gian vectơ n chiều và
các đồng phôi tọa độ địa phương không chỉ là đồng phôi theo thớ mà còn là đồng phôi tuyến tính. Số chiều của phân thớ
là số chiều của thớ mẫu. Các phân thớ vectơ đóng vai trò trung tâm trong K-lý thuyết tô pô. Chương này sẽ trình bày
các khái niệm và tính chất cơ bản nhất của phân thớ vectơ. Đặc biệt là các khái niệm và tính chất về nhóm cấu trúc, các
phép toán trên phân thớ vectơ.Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Vectorbundles and
their application” ([7]) của Luke G., Mishchenko A.

2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ
2.1.1. Định nghĩa:Cho B là không gian tôpô và F ≡ K n (K làtrường ℝ hay ℂ) với tôpô tự
nhiên.

Một phân thớ vectơ ( n chiều) trên B là bộ ba ξ = (E, p, B)gồm cặp không gian tôpô E, B và
toán ánh liên tục p: E → Bsao cho tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn:

∀x ∈ B, ∃U(là tập mở của x trong B) và đồng phôi theo thớ
≅

≅

φ: U × K n �� p−1 (U) ⊂ E

Mà φ|{b}×Kn : {b} × K n �� p−1 (b) ⊂ E là đẳng cấu tuyến tính, ∀b ∈ U.

Tùy vào trường K là thực hay phức mà ta gọi ξlà phân thớ vectơ thực hay phức.

2.1.2. Nhận xét: Mỗi phân thớ vectơ đều là phân thớ tầm thường địa phương.
2.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1

Cho 𝑇 = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 𝑛 × ℝ𝑛+1 : (𝑏, 𝑥) = 0} (ta coi x là vectơ tiếp xúc của 𝑆 𝑛 ). Phân thớ tiếp

xúc của mặt cầu đơn vị 𝑆 𝑛 trong ℝ𝑛+1 là phân thớ vectơ thực n chiều là bộ ba 𝒯 (𝑆 𝑛 ) =

(𝑇, 𝑝, 𝑆 𝑛 ).
-

-

𝑝 ∶ 𝑇 → 𝑆 𝑛 là toàn ánh liên tục.

Đặt 𝑈𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑆 𝑛 , 𝑥𝛼 ≠ 0}, 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛 và các nhúng tuyến tính
𝑢𝛼 :

ℝ𝑛 → ℝ𝑛+1

(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ↦ 𝑢𝛼 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝑥1 , … , 𝑥𝛼 , 0, 𝑥𝛼+1 , … 𝑥𝑛 )

Xác định ánh xạ tuyến tính 𝑣𝑏 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 với 𝑏 ∈ ℝ𝑛 , 𝑏 ≠ 0 như dưới đây
𝑥 ↦ 𝑣𝑏 (𝑥) = 𝑥 −

(𝑏, 𝑥)
𝑏
(𝑏, 𝑏)


(𝑏,𝑥)

Khi đó �𝑏, 𝑣𝑏 (𝑥)� = 0 và 𝑥 = (𝑏,𝑏) 𝑏 + 𝑣𝑏 (𝑥).

Đặt 𝜑𝛼 (𝑏, 𝑥) = �𝑏, 𝑣𝑏 �𝑢𝛼 (𝑥)��, ta có đẳng cấu

𝜑𝛼 : 𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 )
≅

thỏa mãn điều kiện𝜑|{𝑏}×𝐾𝑛 : {𝑏} × ℝ𝑛 �� 𝑝−1 (𝑏) ⊂ 𝑇 là đẳng cấu tuyến tính.
Ví dụ 2
-

Mỗi đa tạp vi phân thực n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là một không gian vectơ
thực n chiều.

-

Mỗi đa tạp vi phân phức n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là phân thớ vectơ phức n
chiều.

2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ
Xét 𝜉 = (𝐸, 𝑝, 𝐵) là phân thớ vectơ n chiều trên B (thớ mẫu là 𝐾 𝑛 ), {𝑈𝛼 }𝛼 là phủ

mở của B, 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 là atlas của 𝜉với

≅

𝜑𝛼 : 𝑈𝛼 × 𝐾 𝑛 �� 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) ⊂ 𝐸
≅

thỏa mãn điều kiện𝜑𝛼|{𝑥}×𝐾𝑛 : {𝑥} × 𝐾 𝑛 �� 𝑝−1 (𝑥) ⊂ 𝐸 là đẳng cấu tuyến tính ∀𝑥 ∈ 𝐵. Ta
được họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼 � (∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ 0) như sau:

≅

𝜑𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾 𝑛 �� 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾 𝑛

(𝑥, 𝑣 ) ↦ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥, 𝑣 ) ∶= �𝑥, 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥)(𝑣 )�

trong đó 𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) ⊂ 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐾 𝑛 )

𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥)

�𝜑�𝛽𝛼 �thỏa mãn điều kiện tương thích (hay điều kiện đối chu trình)
(i)

𝜑�𝛾𝛼 (𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽 (𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅.

1 ⋯ 0
(ii)
𝜑�𝛼𝛼 (𝑥) = 𝐼𝑛 = � ⋮ ⋱ ⋮ � ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾 𝑛 ), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 .
0 ⋯ 1
Nhận thấy 𝜑�𝛾𝛽 (𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛾 (𝑥) = 𝐼𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅
−1

⟺ 𝜑�𝛾𝛽 (𝑥) = �𝜑�𝛽𝛾 (𝑥)� , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅.
Ta bảo 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) là nhóm cấu trúc của 𝜉.

2.3.NHÁT CẮT
2.3.1.Định nghĩa


Cho ξ = (E, p, B) là một phân thớ vectơ n chiều trên B. Ánh xạ liên tục s ∶ 𝐵 →

Eđược gọi là một nhát cắt của ξ nếu p. s = IdB .

2.3.2.Tính chất
a)

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

1−1

𝑠 �⎯⎯� �𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 �⎯⎯⎯� 𝐾 𝑛 �

𝛼

{(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 của phân thớ vectơ 𝜉.
b)

sao cho 𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ứng với atlas 𝒜 =

Đặt 𝑠(𝜉 ) ∶= {s: B → E| 𝑠 là nhát cắt của 𝜉 }

Trên 𝑠(𝜉 ), ta trang bị cấu trúc K-không gian vectơ (nói chung là vô hạn chiều):
∀𝑠, 𝑠1 , 𝑠2 ∈ 𝑠(𝜉 ), ∀𝜆 ∈ 𝐾, 𝑠1 + 𝑠2 , 𝜆𝑠 ∈ 𝑠(𝜉 ) được định nghĩa như sau:

(𝑠1 + 𝑠2 )(𝑥) ∶= 𝑠1 (𝑥) + 𝑠2 (𝑥) ∈ 𝑝−1 ({𝑥}) ≅ 𝐾 𝑛

(𝜆𝑠)(𝑥) ∶= 𝜆𝑠(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵

(2.1)
(2.2)

(phép toán theo từng thớ)

Các công thức (2.1) và (2.2) xác định trên 𝑠(𝜉 ) cấu trúc của không gian vectơ.

(Kiểm tra được 𝑠(𝜉 ) là một K-không gian vectơ với cấu trúc vừa định nghĩa trên:
1) (𝑠1 + 𝑠2 )(𝑥) = 𝑠1 (𝑥) + 𝑠2 (𝑥) = 𝑠2 (𝑥) + 𝑠1 (𝑥) = (𝑠2 + 𝑠1 )(𝑥).

2) �(𝑠1 + 𝑠2 ) + 𝑠�(𝑥) = (𝑠1 + 𝑠2 )(𝑥) + 𝑠(𝑥) = 𝑠1 (𝑥) + 𝑠2 (𝑥) + 𝑠(𝑥)
= 𝑠1 (𝑥) + (𝑠2 + 𝑠)(𝑥)
= �𝑠1 + (𝑠2 + 𝑠)�(𝑥)

3) ∃0: 𝐵 → E

𝑥 ↦ 0(𝑥) ∶= (0, … 0) (vectơ không của 𝑝−1 ({𝑥}) )

(𝑠 + 0)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 0(𝑥) = 𝑠(𝑥)

0: 𝐵 → 𝐸 được gọi là nhát cắt 0 (đóng vai trò vectơ không trong 𝑠(𝜉 )).

4) ∀𝑠: 𝐵 → E đặt 𝑠 ′ ∶ 𝐵 → E

𝑥 ↦ 𝑠 ′ (𝑥) = −𝑠(𝑥)

(𝑠 + 𝑠′)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 𝑠 ′ (𝑥) = 𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑥) = 0(𝑥)

5) ∃1 ∈ 𝐾: (1. 𝑠)(𝑥) = 1. 𝑠(𝑥) = 𝑠(𝑥).

6) �𝜆(𝛽𝑠)�(𝑥) = 𝜆(𝛽𝑠)(𝑥) = 𝜆𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝛽)𝑠(𝑥)
= �(𝜆𝛽)𝑠�(𝑥), ∀𝛽 ∈ 𝐾.

7) �(𝜆 + 𝛽)𝑠�(𝑥) = (𝜆 + 𝛽)𝑠(𝑥)

= 𝜆𝑠(𝑥) + 𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝑠 + 𝛽𝑠)(𝑥), ∀𝛽 ∈ 𝐾.


8) �𝜆(𝑠1 + 𝑠2 )�(𝑥) = 𝜆(𝑠1 + 𝑠2 )(𝑥)

= 𝜆�𝑠1 (𝑥) + 𝑠2 (𝑥)�

= 𝜆𝑠1 (𝑥) + 𝜆𝑠2 (𝑥) = (𝜆𝑠1 + 𝜆𝑠2 )(𝑥) )
c)

Giả sử 𝜉 ≅ 𝐵 × 𝐾 𝑛 (phân thớ vectơ tầm thường) n chiều

Mỗi nhát cắt 𝑠: 𝐵 → 𝐸 ≅ 𝐵 × 𝐾 𝑛
𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

trong đó 𝑠̂ : 𝐵 �⎯⎯⎯� 𝐾 𝑛

𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑥, 𝑠̂ (𝑥)�

𝑥 ↦ 𝑠̂ (𝑥) sao cho 𝑠(𝑥) = �𝑥, 𝑠̂ (𝑥)�.
𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

Khi đó 𝑠(𝜉 ) ≅(�𝑠̂ : 𝐵 �⎯⎯⎯� 𝐾 𝑛 �, phép toán định nghĩa theo từng điểm.
• 𝑠̂𝑖 : 𝐵 → 𝐾 𝑛

𝑥 ↦ 𝑠̂𝑖 (𝑥) = 𝑒𝑖 = (0, … ,1, … 0), 𝑠ố 1 ở 𝑣ị 𝑡𝑟í 𝑡ℎứ 𝑖, 𝑖 = �����
1, 𝑛.

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

Xét 𝐶𝐾 (𝐵) ∶= �𝑓: 𝐵 �⎯⎯⎯� 𝐾�, đại số trên K

𝑠(𝜉 ) trở thành 𝐶𝐾 (𝐵)_môđun hay {𝑠̂ : 𝐵 → 𝐾} trở thành 𝐶𝐾 (𝐵)-môđun.

• (𝑓𝑠)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)𝑠(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵, ∀𝑓 ∈ 𝐶𝐾 (𝐵), ∀𝑠 ∈ 𝑠(𝜉 ).
• (𝑓𝑠̂ )(𝑥) ∶= 𝑓 (𝑥)𝑠̂ (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵

{𝑠̂ : 𝐵 → 𝐾}�≅ 𝑠(𝜉 )� là 𝐶𝐾 (𝐵)_môđun tự do hạng n với cơ sở là {𝑠̂𝑖 |𝑖 = �����
1, 𝑛}.

2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
2.4.1.Phép toán kéo ngược (pull back)
 Cho 𝜉 = (𝐸, 𝑝, 𝐵) là K_ phân thớ vectơ n chiều và 𝑓: 𝐵1 → 𝐵 liên tục.

Đặt 𝑓 ∗ (𝐸 ) = 𝐸 × 𝐵1 ∶= {(𝑒, 𝑥1 ) ∈ 𝐸 × 𝐵1 | 𝑝(𝑒) = 𝑓 (𝑥1 )} ⊂ 𝐸 × 𝐵1
(𝑝, 𝑓)
𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

𝑝1 : 𝑓 ∗ (𝐸 ) = 𝐸 × 𝐵1 �⎯⎯⎯� 𝐵1
(𝑝, 𝑓)
(𝑒, 𝑥1 ) ⟼ 𝑝1 (𝑒, 𝑥1 ) ∶= 𝑥1

 Kiểm tra 𝑓 ∗ (𝜉 ) = (𝑓 ∗ (𝐸 ), 𝑝1 , 𝐵1 ) là K_ phân thớ vectơ n chiều trên 𝐵1 và được gọi là

cái kéo ngược của 𝜉 bởi f.


𝑓 ∗ (𝐸 ) = 𝐸 × 𝐵1 → 𝐸

(𝑝, 𝑓)
𝑝1 𝑝

𝑓

𝐵1 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐵

2.4.2.Tổng Whitney (tổng trực tiếp)
 Cho 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖 , 𝑝𝑖 , 𝐵) là K_ phân thớ vectơ 𝑛𝑖 chiều với 𝒜 = {(𝑈𝛼𝑖 , 𝜑𝛼𝑖 )}𝛼 và họ hàm

𝑖
�, 𝑖 = ����
dán �𝜑�𝛽𝛼
1,2.

1
2
 Đặt 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼
⨁𝜑�𝛽𝛼
, tức là ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ ta có



1
(𝑥 )
𝜑�𝛽𝛼
1
2
𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼 ⨁𝜑�𝛽𝛼 ∶= � ⋯ ⋯ ⋯

0

⋮
⋮
⋮

0
⋯ ⋯ ⋯ � ∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2 ; 𝐾)
2
(𝑥 )
𝜑�𝛽𝛼

Phân thớ vectơ 𝜉 nhận được bằng cách dán {𝑈𝛼 × 𝐾 𝑛1+𝑛2 }𝛼 bởi họ hàm dán𝜑�𝛽𝛼 được gọi là

tổng Whitney (hay tổng trực tiếp) của 𝜉1 và 𝜉2 , kí hiệu 𝜉1 ⨁𝜉2 .
 Nhận xét: 𝜉1 ⨁𝜉2 = (𝐸, 𝑝, 𝐵), trong đó

𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 ∶= {(𝑒1 , 𝑒2 ) ∈ 𝐸1 × 𝐸2 | 𝑝1 (𝑒1 ) = 𝑝2 (𝑒2 )}.
(𝑝1 , 𝑝2 )
𝑝∶

𝐸 →𝐵

(𝑒1 , 𝑒2 ) ↦ 𝑝(𝑒1 , 𝑒2 ) ∶= 𝑝1 (𝑒1 ) = 𝑝2 (𝑒2 )∈ 𝐵.

𝑝−1 ({𝑥}) ≅ 𝑝1−1 ({𝑥})⨁𝑝2−1 ({𝑥}), ∀𝑥 ∈ 𝐵.
2.4.3.Tích tenxơ

 Cho 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖 , 𝑝𝑖 , 𝐵) là K_ phân thớ vectơ 𝑛𝑖 chiều với 𝒜 = {(𝑈𝛼𝑖 , 𝜑𝛼𝑖 )}𝛼 và họ hàm

𝑖
�, 𝑖 = ����
dán �𝜑�𝛽𝛼
1,2.

1
2
 Đặt 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼
⨂𝜑�𝛽𝛼
, tức là ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ ta có

1
2
⨂𝜑�𝛽𝛼
∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2 ; 𝐾).
𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼