mô phỏng Monte carlo 3 chiều

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

3

1 Tổng quan

7

1.1

Động lực học của điện tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Hiệu ứng Dember quang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Nguồn laser quang sợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

Các loại khuếch đại quang . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2

Nguyên lý hoạt động của bộ khuếch đại quang sợi - pha
tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Lý thuyết về sự tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1

Tán xạ tạp chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2

Tán xạ phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3

Tán xạ plasmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Phương pháp Monte-Carlo tập hợp tự hợp
2.1

2.2

18

Phương pháp Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1

Quá trình trôi dạt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2

Quá trình tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Điều kiện quá trình mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1

Điều kiện quá trình mô phỏng chính xác và ổn định . . 24
1


2.2.2

Điều kiện đầu quá trình mô phỏng . . . . . . . . . . . 25

2.2.3

Tính toán điện thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Kết quả và thảo luận

27

TÀI LIỆU THAM KHẢO

28

2

PHẦN A: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật, các nguồn bức xạ được
sử dụng ngày càng nhiều trong hàng loạt các lĩnh vực như: công nghiệp, nông
nghiệp, sinh học, y học, kho cổ, tạo vật liệu mới, kiểm tra khuyết tật, đo chiều
dày vật liệu, xử lý nâng cao chất lượng sản phẩm. Vì vậy, việc sử dụng các
nguồn bức xạ ngày càng trở nên thường xuyên và phổ biến hơn. Trong giữa
những năm 1980, các thí nghiệm quang Terahertz đầu tiên được thực hiện
với một chuyển đổi Auston được thực hiện với silicon trên sapphire (SOS),
được kích thích bởi một xung va chạm bị ảnh hưởng của mode giam giữ của
chùm laser màu. Mặc dù bài báo khoa học đầu tiên về tia Terahertz được
ấn bản từ năm 1890, nhưng đến tận bây giờ, người ta vẫn phải đối mặt với
những thách thức trong việc nghiên cứu và phát triển những công nghệ giúp
tạo ra, phát hiện và điều khiển tia Terahertz. Với nhiều nguồn và các máy dò
bức xạ Terahertz hiệu quả hơn, các nhà nghiên cứu từ thập kỷ trước đã bắt
đầu phát triển những bộ lọc và các máy tạo tia để điều khiển tia Terahertz.
Một bộ phát Terahertz dựa trên hiệu ứng Dember quang cho thấy có hiệu
quả để tạo ra bức xạ Terahertz với tần số 0,7 THz và biên độ điện trường
lên đến 5 V/cm. Khi bị kích thích bởi xung trung tâm 90 fs tại 1,55 m. Một
lớp mỏng In0.53 Ga047 được trồng trên InP cung cấp vật liệu chất nền là dòng
điện kích thích một chiều Dember quang. Bộ phát Terahertz Dember quang
không cần phải có điện thế bên ngoài, chúng không phải chịu dòng điện cao
hạn chế việc sử dụng điện thế của bộ phát quang Terahertz bán dẫn InGaAs.
Nguồn quang cung cấp cách hiệu quả nhất để chuyển đổi các xung laser từ
một bộ dao động xung Terahertz với một tần số trung tâm khoảng 1 THz.

3

Đầu những năm 1990 các chất nền SOS cũng như các laser màu đã được thay
thế với chất nền GaAs và Ti: Sapphire laser. Năng lượng quang phổ của Ti:
laser Sapphire phù hợp với năng lượng vùng cấm của GaAs và đảm bảo sự
kích thích ở gần trung tâm của vùng Brillouin. Thực tế này là cần thiết để
tận dụng thuận lợi của tính biến đổi nhanh và vận tốc khuếch đại gamma.
Sự tạo ra bức xạ Terahertz trong chế độ tần số khoảng 1 THz là hiệu quả
nhất trong quang dẫn.
Bên cạnh đó, cùng với sự phát triển của máy tính chưng trình mô phỏng
vận chuyển bức xạ ngày càng được sử dụng rộng rãi. Điều này, một mặt gắn
với yêu cầu cấp bách giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong thực tế từ
thiết kế lò phản ứng đến bảo vệ bức xạ và vật lý y học. Mặt khác, các chi
phí thực nghiệm tăng lên và các chi phí tính toán giảm xuống cũng đang làm
cho việc mô phỏng sự vận chuyển trở nên hấp dẫn hơn và các máy tính cũng
tốt hơn đang làm cho mô phỏng số trở nên đáng tin cậy hơn. đặc biệt là các
phương pháp mô phỏng như: phương pháp Monte - Carlo tập hợp tự hợp,
phương pháp các phương trình cân bằng, mô hình kéo theo - khuếch tán.
Trong lớp các phương pháp đó, Monte - Carlo tập hợp tự hợp có nhiều ưu
điểm nổi trội đặc biệt là tính chính xác và tính ổn định. Đây là phưng pháp
bán cổ điển với tốc độ tán xạ được tính toán dựa trên qui tắc vàng Fermi và
việc khảo sát động lực học của hạt tải dựa trên các phương trình động học
của Newton.
Vì vậy, để hỗ trợ và so sánh với kết quả đo thực nghiệm, trong luận văn
này đã áp dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để nghiên cứu đề tài
"Mô phỏng Monte Carlo bộ phát Terahertz dựa trên hiệu ứng
Dember quang bởi nguồn Laser quang sợi".

4

2. Mục tiêu nghiên cứu
Tìm hiểu quá trình phát Terahertz dựa trên hiệu ứng Dember quang
bởi nguồn Laser quang sợi. Mô phỏng bộ phát Terahertz dựa trên hiệu ứng
Dember quang bằng phương pháp Monte Carlo.
3. Phạm vi nghiên cứu
Mô phỏng Monte Carlo 3 chiều bộ phát Terahertz dựa trên hiệu ứng
Dember quang bởi nguồn Laser quang sợi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các quá trình động lực học ba chiều của hạt tải.
- Nghiên cứu phưng pháp mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều.
- Xây dựng chưng trình mô phỏng Monte-Carlo ba chiều cho bài toán động
lực.
- So sánh kết quả thu được với các kết quả đã có.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dùng phương pháp mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều.
- Chưng trình mô phỏng được xây dựng bằng ngôn ngữ lập trình Fortran90.
6. Bố cục của luận văn
Ngoài Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, Luận văn có cấu trúc gồm
ba phần:
- Phần Mở đầu.
- Phần Nội dung được dự kiến gồm ba chương:
chương 1: Lý thuyết các quá trình vận chuyển hạt ti, nguồn Laser quang
5


sợi;
chương 2: phương pháp monte carlo;
chương 3: kết quả thảo luận.
- Phần Kết luận.

6


Chương 1

Tổng quan
1.1

Động lực học của điện tử

Trong tinh thể bán dẫn, điện tử được xem như là các hạt tự do với khối
lượng hiệu dụng m∗ . Nếu không tính đến tương tác của trường mạng tinh
thể lên điện tử thì khối lượng hiệu dụng có thể thay thế khối lượng nghỉ m0 .
Khi đó chuyển động của điện tử trong tinh thể có thể được mô tả bởi các
phương trình chuyển động cổ điển dựa trên Hmiltonian có dạng như sau:
H = Ek + U,

(1.1)

trong đó Ek là động năng và U là thế năng.
Đối với điện tử chuyển động trong vùng dẫn Hamiltonian có dạng sau:
H = Ek + Ec (r),

(1.2)

trong đó Ec (r) là năng lượng vùng dẫn cực tiểu được cho bởi công thức:
Ec (r) = C − χ(r) − eV (r),

(1.3)

trong đó C là hằng số liên quan đến gốc tính thế năng, χ(r) là ái lực điện
tử, e là độ lớn điện tích, eV (r) là thế tĩnh điện. Nếu vật liệu tương đối đồng
nhất thì χ(r) là hằng số và có thể bỏ qua được.
7


Đối với chuyển động của lỗ trống trong vùng hóa trị thì Hamiltonian có
dạng sau:
H = Ek + Ev (r),

(1.4)

trong đó Ev (r) là năng lượng cựa đại vùng hóa trị.
Các phương trình chuyển động của điện tử có thể được xây dựng dưới
dạng Hamiltonian như sau:
dk
1
=−
dt

∂H ∂ k ∂ k ∂H
−
∂ k ∂r ∂ k ∂r

=−

1 ∂H
1
= − ∆H
∂r

(1.5)

1
dr
=
dt

1 ∂H
1
∂H ∂r ∂r ∂H
−
=
= ∆k H
(1.6)
∂ k ∂r ∂ k ∂r
∂k
trong đó ∆ và ∆k là toán tử Naplace đối với vecto vị trí r và vecto sóng k.
Đối với các vùng năng lượng dạng hình cầu thì Ek =

2 2

k
2m∗

nên theo công

thức (1.6), ta có vận tốc nhóm:
v=

k
.
m∗

(1.7)

Trong trường hợp các điện tử chuyển động trong vùng dẫn có dạng hypebol
thì động năng của nó được xác định như sau:
1 + 4αγ(k) − 1
2α

Ek =
với α =

1
Eg

1−

m∗
m0

2

và γ(k) =

(1.8)

2 2
k

2m∗

Theo công thức (1.6) và (1.8) ta tính được công thức xác định vận tốc
nhóm điện tử như sau:
v=

1.2

k
m∗

1
1 + 4αγ(k)

(1.9)

Hiệu ứng Dember quang

Xét một mẫu bán dẫn đồng chất có bề dày d, một mặt có cực kim loại,
một mặt có điện cực trong suốt, nghĩa là một lớp vật liệu dẫn điện nhưng
8


cho ánh sáng đi qua như hình vẽ (1.1). Về phía điệnc cực trong suốt chúng
ta chiếu một chùm sáng với cường độ Ih p. Ánh sáng chiếu vào chất bán dẫn
bị hấp thụ và cường độ nó giảm dần theo định luật Buger-Lamber như sau:
Iph (x) = Iph (0)e−αx ,

(1.10)

trong đó α là hệ số hấp thụ ánh sáng. Vật mẫu hấp thụ ánh sáng sẽ làm phát
sinh các hạt tải quang. Vì cường độ ánh sáng giảm dần nên tốc độ phát sinh
các hạt tải quang cũng giảm dần theo chiều sâu của mẫu:
G(x) = G(0)e−αx .

(1.11)

Tốc độ phát sinh không đồng đều gây nên chênh lệch nồng độ hạt tải dư
của cả hai loại hạt tải, kéo theo quá trình khuếch tán của các điện tử dư và
lỗ trống dư từ bề mặt vào sâu trong chất bán dẫn. Vì hệ số khuếch tán hạt
tải tỉ lệ với độ linh dộng của nó, đồng thời độ linh động của điện tử lớn hơn
nhiều so với độ linh dộng của lỗ trống nên các điện tử sẽ khuếch tán nhanh
hơn so với lỗ trống, khi đó sẽ hình thành sự phân chia điện tử và lỗ trống.
Tại một thời điểm xác định, các điện tử sẽ khuếch tán vào sâu bên trong
mẫu nhanh hơn so với các lỗ trống. Vì vậy bề mặt mẫu được chiếu sáng sẽ
tích điện dương và bề mặt mẫu không được chiếu sáng sẽ tích điện âm, làm
hình thành một điện trường trong mẫu theo phương chiếu laser. Hiện tượng
này gọi là hiện tượng Dember quang. Điệnt trường này có khuynh hướng làm
cản trở chuyển động khuếch tán của các hạt tải có độ linh động nhỏ làm cho
tốc độ khuếch tán của hai loại hạt dẫn này bằng nhau và do đó dòng điện bị
triệt tiêu.

9


Hình 1.1: Mô hình thực nghiệm hiệu ứng Dember quang

1.3

Nguồn laser quang sợi

Để khuếch đại quang, người ta đã nghiên cứu và đưa vào ứng dụng nhiều
loại bộ khuếch đại quang khác nhau: bộ khuếch đại quang pha tạp đất hiếm,
loại laser bán dẫn, loại khuếch đại Raman sợi, loại TWA vv... Trong thiết
kế việc lựa chọn tùy theo đặc tính của từng loại. Phần này sẽ đề cập sơ bộ
đến các loại bộ khuếch đại quang, đặc biệt giới thiệu kỹ bộ khuếch đại quang
EDFA cùng các đặc tính cũng như ưu điểm của nó, việc sử dụng EDFA trong
hệ thống thông tin sợi quang hiện nay. Đây là bộ khuếch đại được dùng
trong phần thiết kế đồ của đồ án, nó cũng được dùng nhiều nhất trong các
tuyến thông tin quang hiện nay. Tiếp theo, đồ án sẽ trình bày về EDFA trong
hệ thống ghép kênh theo bước sóng và cuối cùng là hệ thông tin sợi quang
IM-DD đường dài sử dụng các EDFA mắc chuỗi để thay thế cho các trạm
lặp.
1.3.1

Nguyên lý hoạt động của bộ khuếch đại quang sợi - pha tạp

Các chất kích tạp và các chất nhạy cảm dùng để pha tạp sợi dẫn quang
với các mức độ tập trung khác nhau là các chất có chứa ion đất hiếm. Cơ chế
10


Hình 1.2: Các đặc điểm của các chủng loại khuếch đại quang

hoạt động của sợi quang pha tạp đất hiếm để trở thành để trở thành các bộ
khuếch đại theo hình 3.1
Khi một điện tử ở trạng thái cơ bản E1 được kích thích từ một nguồn bức
xạ có bước sóng phù hợp, nó sẽ hấp thụ năng lượng và chuyển tới mức cao
hơn E2 , từ mức này nó sẽ phân rã trực tiếp xuống trạng thái cơ bản theo
cách bức xạ và phát ra photon. Hoặc nếu như có mức năng lượng thấp hơn

E3 sẽ thả không bức xạ tới mức đó, từ đây điện tử có thể phân rã xuống mức
năng lượng E1 (hình 3.1 a) hay E4 (hình 3.1 b) thông qua quá trình bức xạ
tự phát, trong đó năng lượng dư ra thu được nhờ sự phát photon có bước
11


sóng dài hơn bước sóng kích thích.
Nếu thời gian sống của mức E3 đủ dài để điện tử được nguồn bơm kích
thích thì có thể xảy ra sự nghịch đảo độ tích lũy. Đây là điều kiện để có số
điện tử trên mức siêu bền E3 nhiều hơn mức tới (E1 hay E4 ). Một photon có
mức năng lượng tương đương với sự chênh lệch giữa mức E3 và E1 (đối với
3 mức) hay giữa E3 và E4 (đối với 4 mức) thì nó sẽ kích thích các điện tử
ở mức E3 rơi xuống mức E1 hay E4 và phát thêm một photon, photon này
cùng pha và hướng với photon tới (hiện tượng này gọi là bức xạ kích xạ kích
thích của các photon). Bức xạ làm xuất hiện thêm các photon cùng pha và
cùng hướng với các photon tới, điều này có nghĩa là ánh sáng đã được khuếch
đại. Trong hình 3.1 còn lưu ý rằng ở điều kiện không kích thích, hầu hết các
điện tử ở trạng thái cơ bản E1 , vì thế nên thông thường thì giá trị ngưỡng ở
các laser bốn mức thấp hơn so với laser ba mức.
Có nhiều ion đất hiếm có các dải huỳnh quang, vì vậy cho khả năng bức xạ
kích thích, điều này tạo ra các ứng dụng trong khuếch đại các tín hiệu quang.
Đáng chú ý nhất là N d3+ có dải bức xạ 1, 06µm và 1, 32µm; Er3+ có dải bức
xạ 1, 55µm và 2, 7µm. Ngoài ra còn có Hd3+ bức xạ ở 2, 08µmvà T m3 + cho
bức xạ ở 2, 3µm. Hiện nay sử dụng rộng rãi là bộ khuếch đại sợi quang trộn
Erbium (EDFA) do có nhiều ưu điểm như tăng ích đưa ra cao, băng tần rộng,
tạp âm thấp và phù hợp với bước sóng suy hao có sẵn trong sợi quang.
1.4

Lý thuyết về sự tán xạ

Trong tinh thể, sự chuyển động của các hạt tải luôn xảy ra các sự va chạm
khác nhau. Đó có thể là sự va chạm giữa các điện tử với nhau, sự va chạm
giữa điện tử với dao động mạng-phonon hoặc là sự va chạm các điện tử với
12


tạp chất ion hóa nếu bán dẫn không tinh khiết. Sự va chạm giữa các hạt
đó gọi là sự tán xạ. Sự tán xạ xảy ra với nhiều cơ chế, tốc độ và xác suất
khác nhau. Để nghiên cứu từng quá trình tán xạ, chúng ta không thể dùng lý
thuyết cổ điển mà phải dùng lý thuyết lượng tử. Trong quá trình mô phỏng
động lực học của các hạt tải bằng phương pháp Monte-Carlo, việc xác định
tốc độ tán xạ của các cơ chế tán xạ xảy ra trong linh kiện bán dẫn là rất
quan trọng. Tôi khảo sát năm cơ chế tán xạ quan trọng sau: Tán xạ tạp chất,
tán xạ phonon âm, tán xạ phonon quang không phân cực, tán xạ phonon
quang phân cực và tán xạ plasmon.
1.4.1

Tán xạ tạp chất

Các tạp chất trong bán dẫn gây ra thế tĩnh điện trong vật liệu, và thế tĩnh
điện này tạp ra sự tán xạ đối với các hạt tải. Công thức tính tốc độ tán xạ
do tạp chất ion hóa:

W (k) =
trong đó
tố,

S

2πNI Z 2 e4 N Ek

2
S

1
2 (4k 2 + q 2 ) ,
qD
D

(1.12)

là hằng số điện môi tĩnh, Z là nguyên tử số, e là điện tích nguyên

là hằng số planck rút gọn, k là hằng số Boltzman, NI là mật độ tạp

chất, 1/qD là độ dài Debye và N Ek là mật độ trạng thái cho bởi:
e2 n0
.
S kB T

qD =

3

(2m∗ ) 2
N Ek =

4π 2

N Ek
3

(1.13)

.

(1.14)

Theo nguyên lí Pauli thì không thể có hai hạt trong cùng một trạng thái,
nghĩa là chỉ được phép có hai trạng thái spin đối với mỗi trạng thái k nên
13


mật độ trạng thái ở (1.14) được tính theo công thức sau:
3

(2m∗ ) 2
N Ek =
1.4.2

N Ek

2π 2

3

.

(1.15)

Tán xạ phonon

Có hai loại phonon là phonon âm và phonon quang. Đối với các phonon
âm, các nguyên tử dao động cùng pha nên sự thay đổi ở hằng số mạng là do
độ biến dạng hoặc sự dịch chuyển vi phân. Đối với mode phonon quang, các
nguyên tử lân cận dao động ngược pha, vì vậy sự dao động này trực tiếp làm
thay đổi hằng số mạng.
1.4.2.1 Tán xạ phonon âm

Tốc độ tán xạ của phonon được cho bởi công thức:
2πΞ2d kB TL
,
W (k) =
cL

(1.16)

trong đó Ξd là thế năng biến dạng. TL là nhiệt độ mạng, cL là hằng số đàn
hồi của vật liệu và N (Ek ) là mật độ trạng thái được cho bởi công thức (1.14).
cL được xác định thông qua hệ thức tán sắc đối với phonon âm có q nhỏ như
sau:
ωq
= vS =
q

cL
,
ρ

(1.17)

Phương trình (1.16) bao gồm cả quá trình hấp thụ và phát xạ phonon.
Vì năng lượng phonon âm ω nhỏ hơn nhiều so với năng lượng nhiệt trung
bình kB T của các hạt tải ở nhiệt độ phòng nên tán xạ phonon âm được xem
là tán xạ đàn hồi.
1.4.2.2 Tán xạ phonon quang không phân cực

* Tán xạ trong thung lũng
14


Công thức tốc độ tán xạ quang không phân cực trong thung lũng:
W (k) =

πD02 k
1 1
qmax
n (ω0 ) + ∓
ln
ρω0 Ek
2 2
qmin

.

(1.18)

trong đó ω0 là năng lượng phonon quang phân cực và N Ek ∓ ω0 là
mật độ trạng thái. Trong công thức (1.23) dấu trên và dấu dưới tương
ứng với quá trình hấp thụ và tán xạ phonon. D0 là hằng số biến dạng
quang đối với tán xạ trong thung lũng. D0 = 0 ở các thung lũng vùng

dẫn Γ và X và khác 0 ở các vùng dẫn tại điểm L. Do đó chúng ta chỉ
nghiên cứu sự tán xạ trong thung lũng tại điểm L. Vì năng lượng photon
quang ω0 gần bằng năng lượng nhiệt trung bình kB T của các hạt tải
tại nhiệt độ phòng nên tán xạ phonon quang được xem là tán xạ không
đàn hồi.
* Tán xạ liên thung lũng
Tốc độ tán xạ của phonon quang không phân cực liên thung lũng có
công thức:
πDij2 Zj
1 1
n (ωij ) + ∓
N Ek ∓ ω
¯ ij − ∆Eji .
W (k) =
ρωij
2 2

(1.19)

với Dij là thế biến dạng liên thung lũng, nó mô tả cường độ tán xạ từ
thung lũng ban đầu i đến thung lũng cuối j, Zj là số các thung lũng ở
trạng thái cuối, ∆Eij = Ej − Ei , ωij là năng lượng của phonon quang,
N Ek ∓ ω
¯ ij − ∆Eji . là mật độ trạng thái cho bởi công thức (1.20), dấu
trên hoặc dưới lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ hay phát xạ
photon. Trong trường hợp này quá trình tán xạ cũng được xem là tán
xạ không đàn hồi.

15

1.4.2.3 Tán xạ phonon quang phân cực

Ta có công thức tốc độ tán xạ của phonon quang phân cực được cho bởi
công thức:
1 1
e 2 ω0 k
qmax
n(ω0 ) + ±
ln
W (k) =
8π Ek
2 2
qmin

,

(1.20)

trong đó ω0 là tần số phonon quang phân cực, qmax và qmin được cho bởi:
qmin

ω0
=k 1− 1±
Ek

qmin

ω0
=k 1+ 1±

Ek

1
2

(1.21)
1
2

(1.22)

Trong công thức 1.22 dấu trên (dưới) tương ứng với quá trình hấp thụ
(tán xạ) phonon. Trong trường hợp này quá tình tán xạ cũng được xem là
tán xạ không đàn hồi.
1.4.3

Tán xạ plasmon

Ta xét một chuyển động của một điện tử trong một tinh thể bán dẫn. Nếu
điện tử chuyển động rất chậm thì nó sẽ không ảnh hưởng đến chuyển động
của các hạt tải xung quanh do điện thế liên kết với điện tử đã bị chắn bởi
các hạt xung quanh. Nhưng nếu dịch chuyển điện tử chuyển động nhanh thì
chuyển động của các hạt tải xung quanh sẻ bị ảnh hưởng nhiều do điện thế
liên kết với các điện tử không bị chắn bởi các hạt tải khác và kết quả gây
ra một chuyển động sóng tập thể. Chuyển động sóng tập thể. Chuyển động
sóng tập thể nàu được được lượng tử hóa như một plasmon. Công thức tốc
độ tán xạ như sau:
1 1
qc
e2 ωp k

np + ∓
ln
W (k) =
8π S Ek
2 2
qmin
16

.

(1.23)


trong đó np là số plasmon bị kích thích và được xác định từ hàm phân bố
Bosse-Einstein, ωp =

e2 n0
∗
sm

là tần số plasma và:

qmin

ω0
=k 1− 1±
Ek

1
2

.

e2 n0
.
S kB T

qc =

với n0 là mật độ trung hòa của các hạt tải xung quanh.

17

(1.24)

(1.25)


Chương 2

Phương pháp Monte-Carlo tập hợp tự
hợp
2.1

Phương pháp Monte-Carlo

Phương pháp Mone-Carlo là phương pháp mô phỏng thống kê sử dụng
các thông số ngẫu nhiên và phân bố xác suất để giải bài toán. Nó là phương
pháp lặp đi lặp lại kiểu tính toán theo kiểu determinitic (nghĩa là kết quả
thu được là như nhau bất kể ta lặp lại tính toán bao nhiêu lần) và sử dụng

các tập số ngẫu nhiên như các dữ liệu đầu vào. Phương pháp mô phỏng này
được sử dụng khi mô hình phức tạp hoặc chứa nhiều hơn một cặp các tham
số nhất định.
Để giải các bài toán vận tải trong chất bán dẫn người ta thường sử dụng
một số phương pháp gần đúng như phương pháp mô phỏng Monte-Carlo đơn
hạt hoặc mô phỏng Monte-Carlo tập hợp tự hợp để khảo sát chuyển động
của một hạt hay nhiều hạt dưới tác động của điện trường ngoài và các sự
kiện tán xạ. Trong phương pháp mô phỏng Monte-Carlo đơn hạt, thay cho
mô phỏng chuyển động của một tập hợp hạt chúng ta mô phỏng chuyển động
của một hạt nhưng tăng số lần tán xạ của hạt lên. Ttong mô phỏng Monte18


carlo tập hơp chúng ta mô phỏng chuyển động của nhiều hạt cùng một lúc
tại những khoảng thời gian liên tiếp ∆t. Tùy thuộc vào quá trình vận tải
của các hạt ở trạng thái cân bằng hay không cân bằng, điện trường ngoài
là đồng chất hay không đồng chất mà ta chọn phương pháp mô phỏng đơn
hạt hay tập hợp hạt. Tuy nhiên, để mô phỏng linh kiện thì ta dùng phương
pháp Monte-Carlo tập hợp tự hợp vì phương pháp Monte-Carlo tập hợp đối
với sự mô phỏng bán dẫn khối chuyển động của các hạt được trải rộng trong
vùng vô hạn. Trong khi đó phương pháp mô phỏng Monte-Carlo tập hợp chỉ
được sử dụng để mô phỏng chuyển động của các hạt tải trong bán dẫn khối,
nghĩa là chỉ xem xét các hạt được giới hạn trong không gian mô hình linh
kiện. Bên cạnh đó, đối với mô phỏng linh kiện việc tính toán điện thế được
tính toán điện thế củng được thực hiện một cách tự hợp thep phân bố của
các hạt thông qua nghiệm của phương trình Poisson. Như vậy, để mô phỏng
chuyển động của các hạt tải trong linh kiện chúng ta phải kết hợp cả phương
pháp Monte-Carlo tập hợp với việc giải phương trình Poisson. Khi sử dụng
phương pháp Monte-Carlo tập hợp tự hợp ta chú ý đến các yêu cầu sau:
- Tính toán động lực học của các hạt tải với các điều kiện biên phù hợp.
- Tùy theo số lượng hạt đi ra hay đi vào qua các trục của linh kiện mà ta

phải cung cấp thêm các hạt để không làm thay đổi mật độ hạt.
- Tính toán điện thế tự hợp với các điều kiện biên phù hợp. Những điều
kiện biên áp dụng đối với động lực học của hạt tải phải phù hợp với các
điều kiện biên áp dụng đối với phương trình Poisson.
Việc mô phỏng linh kiện bằng phương pháp Monte-Carlo được thực hiện
bằng cách lặp đi lặp lại tính toán trong quá trình mô phỏng động lực của
19


hạt tải trong khoảng thời gian nhỏ ∆t cùng với tính toán điện thế dưới dạng
biểu đồ ở (hình vẽ 2.1) Trong hình vẽ 2.1, các mũi tên đường thẳng đứng
cho biết thời điểm phương tình Poisson được giải, khoảng thời gian giữa hai
đường thẳng liên tiếp tương ứng với khoảng thời gian ∆t giữa hai lần tính
toán điện thế, các đường nằm ngang chỉ quỷ đạo của các hạt tải theo thời
gian, dấu x trên mỗi đường ngang cho biết thời điểm mà tại đó mỗi hạt bị
tán xạ, khoảng thời gian giữa hai dấu x liên tiếp là thời gian bay tự do của
các hạt tải. Hình vẽ cũng cho ta thấy số lần tán xạ xảy ra trong khoảng thời
gian ∆t không phải là bất biến. Do đó trong quá trình mô phỏng động lực
học của các hạt tải thời gian bay của chúng và những lần tán xạ được xác
định một cách ngẫu nhiên bằng cách tạo bộ số ngẫu nhiên.
2.1.1

Quá trình trôi dạt

Tốc độ tán xạ được định nghĩa như số lần va chạm trung bình trên mỗi
đơn vị thời gian đối với một cơ chế tán xạ nhất định. Nếu WT (Ek ) là tốc
độ tán xạ toàn phần thì xác suất đối với một hạt tải bị tán xạ trong khoảng
thời gian [t, t + ∆t] sẻ là WT (Ek ) ∆t. Như vậy xác suất mà hạt tải không bị
tán xạ trong khoảng thời gian trên là 1 − WT (Ek ) ∆t. Do đó xác suất để một
N

hạt tải dịch chuyển mà không tán xạ đối với thời gian τ =

∆ti là:
i=1



t

P (τ ) = exp −


WT (Ek )dt

(2.1)

0

Đây là xác suất để một hạt tải dịch chuyển mà không tán xạ đối với thời
gian τ . Xác suất trên mỗi đơn vị thời gian của một điện tử chuyển động trong
thời gian τ và bị tán xạ tại thời điểm cuối cùng của quá trình bay này được

20


cho bởi công thức:




t

P (τ ) = Wτ (Ek ) exp −

WT (Ek )dt

(2.2)

0

Từ công thức (2.2sẻ tìm được giá trị thời gian τ sau khi tính tích phân,
tuy nhiên điều này không thể vì công thức tốc độ tán xạ là rất phức tạp,
Để khắc phục điều này người ta đưa thêm vào quá trình tán xạ ảo (còn gọi
là quá trình tự tán xạ) mà trong quá trình tán xạ này vecto sóng cũng như
năng lượng của hạt không đổi. W0 (Ek ) được chọn sao cho tốc độ tán xạ toàn
phần mới Γ trở thành hằng số, ta có:
WTnew = W0 (Ek ) ≡ Γ = const

(2.3)

hay
N

Γ=

Wj (Ek )

(2.4)

j=0

Hằng số Γ được lấy giá trị lớn hơn giá trị lớn nhất của Wτ (Ek ) để tránh
một giá trị âm của W0 (Ek ) trong miền năng lượng ta khảo sát, tuy nhiên
chúng ta nên chọn giá trị nhỏ nhất của Γ mà vẫn thỏa mãn điều kiện trên.
Thay (2.5) vào (2.2) ta có:
P (τ )
= exp(Γτ ).
Γ
Vì ta có 0 ≤

P (τ )
Γ

≥ 1 nên

P (τ )
Γ

(2.5)

có thể được mô tả bởi một số ngẫu nhiên

r nằm trong đoạn [0, 1]. Lấy logarith Neper hai vế ta có:
lnr ≡ ln

P (τ )
Γ

= −Γτ

(2.6)

Giả sử chất bán dẫn được đặt dưới điện trường ngoài Ed , điện tử làm thay
đổi vecto sóng k trong suốt thời gian bay theo hệ thức sau:
k = −eEd ,
21

(2.7)


trong đó e là điện tích của điện tử và hằng số

là hằng số Plank rút gọn.

Vận tốc của điện tử được cho bởi:
1
v = ∆k Ek .
2.1.2

(2.8)

Quá trình tán xạ

2.1.2.1 Lựa chọn cơ chế tán xạ

Tại thời điểm cuối quá trình trôi dạt, chuyển động tự do của điện tử sẽ
bị tác động của một lần tán xạ như tán xạ phonon, tán xạ tạp chất hay
tán xạ plasmon. Trong việc mô phỏng quá trình tán xạ ta phải lựa chọn
cơ chế tán xạ và sau đó xác định các trạng thái riêng của điện tử sau tán

xạ. Giả sử tốc độ tán xạ đối với các cơ chế tán xạ khác nhau lần lượt là
W1 (Ek ) , W2 (Ek ) , W3 (Ek ) , ..., WN (Ek ) . Sự lựa chọn cơ chế tán xạ được thực
hiện một cách ngẫu nhiên và sau đó chú ý đến các điều kiện để chọn cơ chế
tán xạ:
- Nếu r ≤

W1 (Ek )
Γ

thì chọn cơ chế tán xạ 1.

- Nếu

W1 (Ek )
Γ

- Nếu

W1 (Ek )+W2 (Ek )
Γ

≤r≤

W1 (Ek )+W2 (Ek )
Γ

≤r≤

thì chọn cơ chế tán xạ 2.

W1 (Ek )+W2 (Ek )+W3 (Ek )
Γ

thì chọn cơ chế tán xạ 3.

- ...............
N −1

N

Wi (Ek )

- Nếu

i=1

Γ

Wi (Ek )

≤r≤

i=1

Γ

thì chọn cơ chế tán xạ N.

Tuy nhiên, việc lựa chọn cơ chế tán xạ trên đã không tính đến nguyên lý
loại trừ Pauli bởi vì sự chiếm giữ hạt tải ở trạng thái cuối đã được bỏ qua.

Tuy vậy, nguyên lý loại trừ Pauli sẽ được xét đến trong việc tính toán mật
độ trạng thái cuối và trong phép tính toán tốc độ tán xạ đã trình bày trong
22


chương một. Năng lượng và vectơ sóng k của điện tử sau tán xạ phải tuân
theo định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng.
2.1.2.2 Trạng thái của hạt tải sau quá trình tán xạ

Đối với các trường hợp tán xạ bất đẳng hướng (tán xạ phonon âm, tán xạ
phonon quang không phân cực) thì các thành phần vectơ sóng của hạt sau
quá trình tán xạ được xác định như sau:
kx = k sin θ cos φ ,
(2.9)

ky = k sin θ sin φ ,
kz = k cos θ .
trong đó k là độ lớn vectơ sóng của hạt tải sau quá trình tán xạ.

Đối với trường hợp tán xạ bất đẳng thức (tán xạ phonon quang phân cực,
tán xạ tạp chất, tán xạ plasmon) thì các thành phần vectơ sóng của hạt tải
sau quá trình tán xạ được xác định như sau:

  ky

k
k
k
x
z

x
√2 2 √2 2 k
k
kx +ky k kx +ky
  k sin θ cos φ,
 x 


  −kx

ky  
kx kz
√
√
=
 ky  
 k sin θ sin φ,
  kx2 +ky2 k√ kx2 +ky2 k 



2 +k 2
k
x
y
kz
kz
k cos θ
0
k

k







(2.10)

2.1.2.3 Vận tốc của hạt tải

Phương pháp Monte-Carlo tương đương với việc giải phương trình vận tải
Bolzmann. Vì vậy nếu chúng ta lưu giữ số liệu về vị trí của hạt trong khoảng
thời gian bay thì chúng ta có thể tìm được hàm phân bố của hạt và có thể
tính được vận tốc trung bình. Việc lưu trữ này cần một bộ nhớ dung lượng
lớn và cần nhiều thời gian. Tuy nhiên ta có thể tính trực tiếp vận tốc trung
bình của hạt bằng phương pháp khác mà không cần tìm hàm phân bố, đó là
23


sự theo dõi sự bay của mỗi điện tử và lấy vận tốc trung bình trên toàn bộ
khoảng thời gian bay.
Công thức tính vận tốc hạt tải:
1
v = ∆k Ek .

(2.11)

Vận tốc trung bình của hạt tải trong suốt thời gian bay τ có thể được

viết như sau:
v =

1 ∆Ek

,
(2.12)
∆k
trong đó ∆Ek và ∆k lần lượt là sự thay đổi của năng lượng và vectơ sóng của
hạt tải trong thời gian τ . Nếu điện trường ngoài giữ không đổi thì sự thay
đổi của vectơ sóng k có dạng như sau:
∆k = −
2.2
2.2.1

eEd

τ

(2.13)

Điều kiện quá trình mô phỏng
Điều kiện quá trình mô phỏng chính xác và ổn định

Ta phải chọn bước thời gian ∆t và kích thước ô không gian ∆x thích hợp
để quá trình mô phỏng linh kiện bằng phương pháp Monte-Carlo chính xác
và ổn định. Việc lựa chọn bước thời gian và kích thước ô không gian liên
quan đến việc ổn đinh số, tuy nhiên ta cũng phải chọn bước thời gian và kích
thước ô thỏa mãn các quy luật vật lý. Bước thời gian t phụ thuộc vào tần số
plasma:

e2 n
,
∗
Sm

ωp =
với e là độ lớn điện tích,

(2.14)

là hằng số điện môi của vật liệu, m∗ là khối lượng

vật liệu hiệu dụng của hạt tải, và n là mật độ của hạt tải. Để quá trình mô
24


phỏng ổn định và chính xác thì ta phải chọn ∆t nhỏ hơn nhiều tần số plasma,
nghĩa là ∆t nhỏ hơn nhiều nghịch đảo tần số plasma, tức là ∆t

1
ωp .

Kích thước ô không gian ∆ liên quan đến sự biến thiên điện tích. Do đó,
ta phải chọn kích thước ô nhỏ hơn bước sóng nhỏ nhất của sự biến thiên điện
tích. Bước sóng bước sóng nhỏ nhất gần bằng độ dài Debye λD :
S kB T
e2 n

λD =

(2.15)

với kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ hạt tải và là mật độ hạt tải
lớn nhất.
2.2.2

Điều kiện đầu quá trình mô phỏng

Sự phân bố của hạt tải trong không gian k được xác định bởi các số ngẫu
nhiên với giả thuyết rằng ban đầu hệ ở trong trạng thái cân bằng nhiệt nên
năng lượng của một hạt tải được xác định:
3
Ek = − kB T ln (r) ,
2

(2.16)

với kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ hạt tải, r là hằng số ngẫu nhiên,
đồng nhất được phân bố đều giữa 0 và 1. Độ lớn của vectơ sóng k của các
hạt tải được xác định theo hệ thức tán sắc năng lượng.
2.2.3

Tính toán điện thế

Việc tính toán điện thế tại các điểm lưới được thực hiện một cách tự hợp
theo sự phân bố của các hạt tải trong mô hình linh kiện thông qua nghiệm
của phương trình Poisson với các điều kiện biên phù hợp trong quá trình
mô phỏng linh kiện bằng phương pháp Monte-Carlo tập hợp tự hợp. Phương
trình Poisson có dạng tổng quát như sau:
∆. ( S ∆ϕ) = ρ,

25

(2.17)