Bài giảng đồ họa máy tính thuật toán vẽ đường thẳng bresenham

Thuật toán vẽ đường thẳng Bresenham

1


Mối tương quan giữa X & Y
khi độ lớn hệ số góc nhỏ hơn 1
Dy
Dx
 x tăng 1 và y giữ nguyên hay tăng 1
Điều này bảo đảm cho đường thẳng liên tục
Nếu độ lớn của hệ số góc lớn hơn 1, chúng ta đổi vai trò của x
&y
 x được gọi là giá trị độc lập và y là giá trị phụ thuộc

2


Thuật toán Bresenham
Giới thiệu:
• Giả sử đường cong được xấp xỉ thành các điểm lần lượt là
(xi,yi). Các điểm này có tọa độ nguyên và được hiển thị trên
màn hình.
• Bài toán đặt ra là nếu biết được tọa độ (xi,yi) của bước thứ i, thì
điểm ở bước i+1 là (xi+1,yi+1) sẽ được xác định như thế nào.
•

Trong trường hợp hệ số góc 0<=m<=1, chúng ta có xi+1=xi+1 và
yi+1=yi hay yi+1=yi+1

yi+1

yi
yi-1
3

x

x


Thuật toán
•

Phương trình đường thẳng qua 2 điểm (x1, y1) và (x2, y2) là y=mx+b
với m=Dy/Dx và b=y1-mx1.

•

Đặt d1=y-yi và d2=(yi+1)-y, do đó việc chọn tọa độ của yi+1 phụ thuộc
vào d1 và d2 ( hay dấu của d1 - d2):
– Nếu d1-d2<0 thì chọn yi+1=yi
– Ngược lại, chọn yi+1=yi+1

yi+1

P
(xi+1,y=f(xi+1))

d2
d1

yi

S
xi

xi+1=xi+1
4


Thuật toán (cont.)
•

d1 - d2 = (2y – 2yi – 1) là một số thực do chứa m

•

Xét pi = Dx (d1 - d2) = Dx (2y - 2yi - 1) = 2Dy xi - 2Dx yi + C
– C = 2Dy + (2b - 1)Dx

•

Do dấu của pi và (d1-d2) giống nhau nên khi xét dấu của pi thì ta xác
định được yi+1

•

Mặc khác, pi+1 – pi = (2Dy xi+1 - 2Dx yi+1 + C) - (2Dy xi - 2Dx yi + C) =
2Dy – 2Dx(yi+1 – yi)

•

Từ đây, ta suy ra cách tính pi+1 theo pi:
– Nếu pi<0 thì yi+1=yi nên pi+1 = pi + 2Dy
– Ngược lại thì yi+1=yi+1 nên pi+1 = pi + 2Dy – 2Dx

•

Giá trị p đầu tiên được tính tại (x1, y1) là p1 = 2Dy x1 -2Dx y1 + C =
2Dy – Dx

5


Begin

p = 2Dy - Dx;
const1=2Dy; const2=2(Dy-Dx);
x = x1; y = y1;
putpixel(x,y,color);

x
End

p<0

p=p+const1;

p=p+const2;
y = y + 1;

x=x+1;
putpixel(x,y,color);

6


Chương trình (Dx>Dy>0)
void BresenhamLine(int x1, int
{
int Dx = x2 – x1, Dy = y2 –
int x = x1, y = y1;
int p = 2 * Dy – Dx;
int const1 = 2 * Dy, const2

y1, int x2, int y2, int color)
y1;

= 2 * (Dy-Dx);

putpixel(x, y, color);
while (x < x2) {
if (p < 0) {
p += const1;
} else {
p += const2;
y++;
}
x++;
putpixel(x, y, color);

}
}
7


Tổng kết
•

Xác định d1 và d2 sao cho d1 là độ lệch từ y đến điểm hiện hành yi

•

Xác định pi sao cho pi cùng dấu với (d1 – d2) và mang giá trị nguyên

•

Tính pi+1 theo pi theo 2 trường hợp pi < 0 và pi > 0. Chú ý trường hợp
pi = 0.

•

Tính p1

yi+1

P
(xi+1,y=f(xi+1))

d2
d1

yi

S
xi

xi+1=xi+1
8


Mở rộng
3

2

4
Dx<0,Dy>0,|Dx|>Dy

1
Dx>0,Dy>0,Dx>Dy

5
Dx<0,Dy<0,|Dx|>|Dy|

8
Dx>0,Dy<0,Dx>|Dy|
6

7

9


Kết hợp vùng 1 và 8
•
•

x tăng 1
Vùng 1 y tăng còn vùng 2 y giảm
...
int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;
Dy = abs(Dy);
while (x < x2) {
if (p < 0) {
p += const1;
} else {
p += const2;
y += dy;
}
x++;
putpixel(x, y, color);
}
...

10


Kết hợp vùng 1 và 4
•
•

Vùng 1 x tăng 1, vùng 4 x giảm 1
y tăng
...
int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;
Dx = abs(Dx);
while (x != x2) {
if (p < 0) {
p += const1;
} else {
p += const2;
y++;
}
x += dx;
putpixel(x, y, color);
}
...

11


Kết hợp vùng 1, 4, 5, 8
•
•

x tăng 1 khi Dx > 0, giảm 1 khi Dx < 0
y tăng khi Dy > 0, giảm khi Dy < 0
...
int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;
Dx = abs(Dx);

int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;
Dy = abs(Dy);
while (x != x2) {
if (p < 0) {
p += const1;
} else {
p += const2;
y += dy;
}
x += dx;
putpixel(x, y, color);
}
...

12


Kết hợp vùng 2, 3, 6, 7: x tính theo y
•
•

y tăng 1 khi Dy > 0, giảm 1 khi Dy < 0
x tăng khi Dx > 0, giảm khi Dx < 0
...
int dx = (Dx < 0) ? -1 : 1;
Dx = abs(Dx);
int dy = (Dy < 0) ? -1 : 1;
Dy = abs(Dy);
while (y != y2) {
if (p < 0) {

p += const1;
} else {
p += const2;
x += dx;
}
y += dy;
putpixel(x, y, color);
}
...

13


Chương trình hoàn chỉnh
BresenhamLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) {
int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1;
int x = x1, y = y1;
int
int

dx
dy

=
=

(Dx
(Dy

<

<

0)
0)

?
?

-1
-1

:
:

1;
1;

Dx
Dy

=
=

abs(Dx);
abs(Dy);

putpixel(x, y, color);
if (Dx > Dy)
{
int p = 2 * Dy – Dx;

int const1 = 2 * Dy, const2 = 2 * (Dy-Dx);
while (x
(x != x2)
x2) {
if (p < 0) {
p +=
} else {
p +=
y +=
}
x += dx;
putpixel(x, y,
}
} else {// đổi vai trò giữa x và y
…
}

const1;
const2;
dy;
color);

}
14


Bài tập
Cài đặt thuật toán Bresenham cho:
• Đường tròn tâm (xc,yc) bán kính R: (x-xc)2 + (y-yc)2 = R2
•

Đường elip tâm (xc,yc) bán kính dài là a, rộng là b: (x-xc)2 / a2 + (y-yc)2
/ b2 = 1

15