nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ
HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ
TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ
HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ
TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ
HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ
TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, giảng
viên khoa toán - tin học Trƣờng Đại học Sƣ phạm TPHCM, ngƣời đã bỏ rất nhiều thời gian
và công sức để hƣớng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lƣỡng trong suốt quá trình thực hiện luận

văn. Cô cũng là cầu nối giữa giáo sƣ đồng hƣớng dẫn và tôi kể từ lúc bắt đầu cho đến lúc
hoàn tất luận văn. Cô còn là ngƣời đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp để gởi đến
giáo sƣ phản biện mặc dù cô rất bận rộn với công tác giảng dạy và nghiên cứu khoa học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn bà Claude Comiti. Với vai trò là giáo sƣ đồng hƣớng dẫn,
bà đã cho tôi những ý kiến quý báu để hoàn thiện bản luận văn này.
Sự hiện diện của bà Annie Bessot, thầy Trần Văn Tấn, thầy Lê Văn Tiến, thầy Đoàn
Hữu Hải trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là một niềm vinh hạnh đối với tôi. Tôi xin
trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy cô trong hội đồng đối với bản luận văn
của tôi.
Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong chuyên ngành Lý luận
và phƣơng pháp dạy học Toán cũng nhƣ các thầy cô ở các bộ môn khác đã tận tâm giảng dạy
chúng tôi trong suốt hai năm học qua. Tôi cũng rất cảm động và biết ơn hai giáo sƣ ngƣời
Pháp đã không quản ngại xa xôi, đến tham gia giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi bƣớc đầu làm
quen với ngành Didactic Toán.


Tôi xin cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại học và trƣờng Đại học Sƣ
phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chƣơng trình và các thủ tục bảo vệ luận văn.
Tôi sẽ không thể có thời gian để tham dự đầy đủ khóa học nếu thiếu sự quan tâm tạo
mọi điều kiện thuận lợi của BGH trƣờng PTTH Lƣơng Văn Can, Q.8 và sự sẵn sàng đảm
nhiệm giúp tôi phần việc giảng dạy của các đồng nghiệp trong tổ toán. Xin BGH và các bạn
nhận ở tôi lời cảm ơn sâu sắc.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phƣơng pháp dạy học toán khóa 11
đã cùng tôi chia xẻ những niềm vui cũng nhƣ những khó khăn trong suốt hai năm học vừa
qua.
Cuối cùng tôi muốn nói lời cảm ơn đến vợ tôi, ngƣời đã luôn gần gũi, động viên và
tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể tập trung nghiên cứu đồng thời đã giúp tôi rất nhiều trong
việc đánh máy và in ấn bản luận văn này.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 8
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................ 1
I/ Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................................... 1
1. Quan hệ thể chế:............................................................................................................. 1
2. Tổ chức toán học :.......................................................................................................... 2
II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu ........................................................................... 3
III/ Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................................. 4
1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa :................................................................ 4
2. Nghiên cứu thực nghiệm :.............................................................................................. 5
CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA...... 6
Mở đầu ................................................................................................................................... 6
I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989 ............................................................................ 6
I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ hiệu
quả để nghiên cứu hình học ............................................................................................... 6
I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 : ......................... 7
II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999 ......................................................................... 10
II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình : .......................................... 10
II.2. Không thay đổi cấutrúc của chƣơng trình : .............................................................. 11
III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000 .............................................................................. 12
III.1. Cách trình bày các tri thức cần phải dạy : ............................................................... 12
III.1.1. Vectơ và các hệ thức lƣợng: ............................................................................ 13
III.1.2. Vectơ và phép biến hình : ................................................................................ 14
III.2. Công cụ vectơ trong bài tập : .................................................................................. 15
III.2.1. Loại 1: Các bài tập nhằm củng cố định nghĩa vectơ, các quy tắc và các phép
toán về vectơ ................................................................................................................ 18
III.2.2. Loại 2 : Các bài tập rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ ...................................... 25
III.2.3. Loại 3 : Các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học. ..... 35
IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu .......................................................................... 66

CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ..................................................................... 68
Mở đầu ................................................................................................................................. 68
I/ Các bài toán thực nghiệm ................................................................................................. 69
II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên ............................................................................ 70
II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 : ................................................................................... 70
II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 : ................................................................................... 75
II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 : ................................................................................... 80
III/ Phân tích A-posteriori bài toán ...................................................................................... 83
III.1. Phân tích a-posteriori bài toán 1: ............................................................................ 83
III.2. Phân tích a-posteriori bài toán 2 : ........................................................................... 88
III.3. Phân tích a-posteriori bài toán 3 : ........................................................................... 95
III.4. Tổng kết phần phân tích a-posteriori ba bài toán thực nghiệm : ............................ 96
IV/ Kết luận........................................................................................................................ 100
KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 101
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 101
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
Trƣớc năm 1956, vectơ đƣợc đƣa vào giảng dạy từ bậc trung học. Cuộc cải cách giáo
dục thực hiện năm 1956 ở miền Bắc đã loại bỏ vectơ ra khỏi chƣơng trình môn toán ở bậc
học này. Năm 1975, đất nƣớc thống nhất về mặt hành chính, song chƣa thống nhất về chƣơng
trình giảng dạy : miền Bắc vẫn dạy theo chƣơng trình cũ, miền Nam dạy theo chƣơng trình
mới, trong đó vectơ đƣợc đề cập đến ở lớp 10 và đƣợc dùng để xây dựng một số kiến thức
hình học giải tích. Đƣa vectơ với tƣ cách là công cụ giải toán chƣa đƣợc xem là mục đích của
chƣơng trình này.
Năm 1989, một chƣơng trình mới đƣợc ban hành và kể từ 09/1990 sách giáo khoa
biên soạn theo chƣơng tình đó đã thay thế cho những bộ sách cũ soạn theo chƣơng trình riêng
cho từng miền trƣớc đây.

Với chƣơng trình 1989, vectơ đƣợc đƣợc giảng dạy ở tất cả các lớp 10 trên toàn quốc.
Mục đích của việc dạy học vectơ là cung cấp cho học sinh một đối tƣợng tri thức mới, xây
dựng một phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học. Có ba bộ sách giáo khoa đƣợc biên soạn
theo chƣơng trình 1989.
Mƣời năm sau, năm 1999 theo tinh thần "giảm tải", ngƣời ta hạ thấp yêu cầu đối với
việc học một số nội dung toán học.
Năm 2000, với cuộc "giảm tải, chỉnh lý và hợp nhất", ngƣời ta thay sách giáo khoa
một lần nữa ở bậc trung học. Kể từ đó, cả nƣớc dùng chung một bộ sách giáo khoa.
Trong chƣơng trình 1999, cũng nhƣ trong chƣơng trình 1989, vectơ luôn giữ một vị trí
quan trọng. Là giáo viên dạy toán ở bậc phổ thông trung học, tôi nhận thấy có nhiều vấn đề
liên quan đến việc dạy học vectơ cần đƣợc nghiên cứu.


Về phƣơng diện đối tƣợng của tri thức, luận án tiến sĩ của Lê Thị Hoài Châu đã vạch
rõ những khó khăn trong học tập của học sinh lớp 10. Từ một nghiên cứu khoa học luận và
nghiên cứu thể chế, từ một thực nghiệm đặt trong quan điểm so sánh, tác giả đã vạch rõ
nguồn gốc của những khó khăn này.
Liên quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ, chúng tôi chỉ có bài báo của Bittar mà
trong đó tác giả kết luận là " công cụ vectơ chỉ tỏ ra sẵn sàng đƣợc sử dụng" bởi một số ít học
sinh, và "học sinh có khó khăn khi sử dụng công cụ này để giải toán"
Ở Việt Nam, chúng tôi không biết một công trình didactic nào nghiên cứu việc sử
dụng vectơ của học sinh bậc phổ thông trung học. Đã có vài quyển sách tổng kết những dạng
toán có thể giải bằng vectơ và đƣa ra một hệ thống bài tập để học sinh luyện tập việc sử dụng
công cụ này. Nhƣng đó là những tài liệu toán học đƣợc viết bởi những thầy giáo có kinh
nghiệm chứ không phải là những nghiên cứu didactic.
Đặt mình trong khuôn khổ của didactic toán, chúng tôi muốn tìm hiểu xem phƣơng
diện công cụ của vectơ đƣợc đƣa vào nhƣ thế nào trong sách giáo khoa hình học 10 và học
sinh sử dụng vectơ để giải toán ra sao.
Câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu của chúng tôi là :
- Chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành đòi hỏi học sinh dùng vectơ để giải những loại

toán nào?
- Trong thực tế, học sinh có đạt đƣợc điều đó hay không?
Để tìm những yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi này, trƣớc hết chúng tôi cần
nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa. Việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ
đƣợc tiến hành với những công cụ lý thuyết nào ? Trong chƣơng I chúng tôi sẽ trình bày
khung lý thuyết tham chiếu và phƣơng pháp nghiên cứu mà


chúng tôi thừa nhận. Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu, ở chƣơng II chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa. Sự phân tích này sẽ giúp chúng tôi hình thành
nên những giả thuyết về tính hiệu quả của công cụ vectơ đối với học sinh. Giả thuyết này cần
phải đƣợc kiểm chứng bởi một thực nghiệm. Nghiên cứu thực nghiệm là đối tƣợng của
chƣơng 3, trong đó chúng tôi sẽ trình bày phân tích a-priori những bài toán thực nghiệm và aposteriori kết quả thu đƣợc.


Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu

Hoàng Hữu Vinh

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để phân tích vai trò của một tri thức cần dạy, cách thức trình bày nó, mối liên hệ của
nó với những tri thức khác có mặt trong chƣơng trình, những điều kiện và những ràng buộc
cho việc dạy và học tri thức đó, lý thuyết didactic toán cung cấp cho chúng ta nhiều công cụ.
Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt ở đây phạm vi lý thuyết làm cơ sở cho việc xác định phƣơng
pháp luận nghiên cứu và nền tảng cho việc tìm các yếu tố trả lời những câu hỏi đƣợc định ra
ở trên.

I/ Khung lý thuyết tham chiếu
Ở đây, chúng tôi tự đặt mình trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học của
Chevallard. Lý thuyết này là kết quả của một quá trình lý thuyết hóa mà điểm xuất phát là lý

thuyết chuyển đổi didactic. Quá trình lý thuyết hóa đó gắn liền với vân đề "sinh thái học".
"Cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những đòi
hỏi đƣợc tạo ra giữa các đối tƣợng tri thức khác nhau cần dạy" (Bosch et Chevallard, 1999,
82). Những đối tƣợng này duy trì các mối quan hệ qua lại theo thứ bậc, tạo nên các cấu trúc
sinh thái. Cấu trúc sinh thái này cho phép phân tích thực tiễn dạy học một tri thức. Trong thực
tiễn này không chỉ có các đối tƣợng tri thức mà còn có những kiểu đối tƣợng đặc biệt : những
thể chế, những cá thể và những vị trí đƣợc chiếm giữ bởi các cá thể trong thể chế.
1. Quan hệ thể chế:
Khái niệm quan hệ thể chế đƣợc Chevallard đƣa vào từ quan niệm thừa nhận rằng: "
Một tri thức không tồn tại trong một xã hội rỗng, mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm
xác định, trong một xã hội nhất định và đƣợc cắm sâu vào một

1


Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu

Hoàng Hữu Vinh

hoặc nhiều thể chế. Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có
thể sống trong nhiều thể chế khác nhau"
Một đối tƣợng tri thức O đƣợc coi là tồn tại đối với một thể chế I nếu có một mối
quan hệ R(I,0) của I đối với O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện nhƣ thế nào và ở đâu trong
I, O giữ vai trò gì trong I và mối quan hệ giữa O với các đối tƣợng khác của I ra sao.
Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, một đối tƣợng tri thức O tồn tại đối với một cá nhân X nếu có
mối quan hệ R(X,0) của X đối với O. Quan hệ này bao gồm tất cả các tác động qua lại của X
đối với O nhƣ X có thể sử dụng O nhƣ thế nào, hiểu về O ra sao...
Chevallard cũng chỉ rõ : "Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ
thể chế, những điều kiện và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là
vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ về mặt khoa học luận của việc dạy học" (Chevallard

1989b,93)
2. Tổ chức toán học :
Để có một phƣơng pháp phân tích thực tế của một thể chế, năm 1998, Chevallard đƣa ra khái
niệm organisation praxéologique. Theo ông, một tổ chức praxéologique là một bộ bốn thành
phần [T,τ,θ,Θ] : kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật τ để giải quyết T, công nghệ θ để giải thích cho kỹ
thuật τ, lý thuyết Θ đóng vai trò công nghệ của θ, nghĩa là giải thích cho θ. Một tổ chức
praxéologique mà các thành phần đều mang bản chất toán học thì đƣợc gọi là một tổ chức
toán học
Chevallard xem một kỹ năng (savoir-faire) nhƣ là cặp praco-technique [T,τ] và một tri
thức là cặp công nghệ-lý thuyết [θ,Θ]. Tuy nhiên, thông thƣờng một tri thức bao hàm cả bốn
thành phần [T,τ,θ,Θ].

2


Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu

Hoàng Hữu Vinh

Nhƣ vậy, kỹ năng về một kiểu nhiệm vụ T là những kỹ thuật để thực hiện những
nhiệm vụ t ∈ T. Những kỹ thuật này đƣợc giải thích bởi tri thức [θ,Θ].
Nghiên cứu những kiểu nhiệm vụ T liên quan đến đối tƣợng tri thức O và những kỹ
thuật thực hiện tƣơng ứng τ là tiếp cận mối quan hệ thể chế với đối tƣợng này, làm rõ những
thực tế thể chế trong đó đối tƣợng O xuất hiện và hoạt động. Mặt khác, những kỹ thuật đƣợc
đƣa vào trong một thể chế để thực hiện các nhiệm vụ đã cho thƣờng đòi hỏi phải đƣợc giải
thích, nghĩa là đòi hỏi yếu tố công nghệ-lý thuyết.
Tóm lại, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với một đối tƣợng tri thức toán học
O có thể đƣợc thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O.

II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu

Đặt nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi xác định thể
chế mà chúng tôi quan tâm là việc giảng dạy toán ở lớp 10, lớp đầu tiên của bậc phổ thông
trung học và đối tƣợng cần nghiên cứu là vectơ.
Việc chọn khung lý thuyết tham chiếu nhƣ trên giúp chúng tôi có thể trình bày lại các
câu hỏi xuất phát một cách cụ thể và rõ ràng hơn :
- Vectơ đƣợc đƣa vào thời điểm nào trong chƣơng trình lớp 10 ?
- Nó đƣợc trình bày ra sao ? Nhằm mục đích gì ?
- Vectơ có mối quan hệ nhƣ thế nào với những vấn đề khác của chƣơng trình ?
- Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến vectơ là các kiểu nhiệm vụ nào ? Trong các kiểu
nhiệm vụ này thì đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm ? Kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ đó
đƣợc trình bày ra sao ? Phần lý

3


Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu

Hoàng Hữu Vinh

thuyết nào về vectơ đƣợc dùng để giải thích các kỹ thuật đó ? Học sinh có nắm vững và giải
quyết tốt các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ đó không ?

III/ Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết đã đƣợc trình bày, để tìm cách trả lời các câu hỏi đƣợc đặt ra
ở trên, chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sau đây :
1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa :
Vấn đề ở đây là phải chỉ ra những nét đặc trƣng của vectơ với tƣ cách là công cụ trong
thể chế dạy học. Thể chế mà chúng tôi quan tâm đến là việc dạy học Hình học lớp 10, lớp đầu
tiên của bậc PTTH. Chính ở bậc học này, học sinh lần đầu tiên đƣợc tiếp xúc với một phƣơng
pháp mới trong nghiên cứu Hình học : phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ.

a/ Thông qua "sách giáo viên" và "tài liệu Hƣớng dẫn Giảng dạy Toán 10", chúng tôi
sẽ nghiên cứu nội dung chƣơng trình hình học lớp 10 bao gồm chƣơng trình cải cách giáo dục
năm 1989 và chƣơng trình chỉnh lý hợp nhất năm 1999.
Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các quy định về nội dung giảng dạy phần vectơ, yêu
cầu về mức độ sử dụng vectơ trong giải toán ở học sinh lớp 10
b/ Chúng tôi sẽ nghiên cứu sách giáo khoa hình học 10 (sách chỉnh lý và hợp nhất
năm 2000) ở các nội dung có liên quan đến vectơ.
Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu xem sách giáo khoa đã trình bày nội dung
vectơ ra sao ? Tại sao phải trình bày nhƣ vậy ? Nhằm mục đích gì ? Về phƣơng diện công cụ,
vectơ đƣợc dùng để xây dựng các vấn đề nào trong phần

4


Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu

Hoàng Hữu Vinh

lý thuyết. Nó dùng để giải quyết các dạng toán nào trong phần bài tập? Độ khó, độ phức tạp
của các dạng toán đó ra sao ?
Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ cho phép chúng tôi vạch rõ quan hệ thể
chế đối với tri thức vectơ xét ở phƣơng diện công cụ. Nghiên cứu này là cần thiết, vì quan hệ
của cá nhân đối với một tri thức không hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế.

2. Nghiên cứu thực nghiệm :
Từ việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa, chúng tôi đƣa ra các giả thuyết về
khả năng sử dụng công cụ vectơ để giải toán của học sinh. Để kiểm chứng các giả thuyết đó,
chúng tôi cần phải xây dựng một thực nghiệm. Thực nghiệm này phải cho chúng tôi biết công
cụ vectơ có sẵn sàng đƣợc học sinh huy động không ? và học sinh sử dụng chúng có hiệu quả
không ? Các bài toán mà chúng tôi đƣa ra thuộc các kiểu nhiệm vụ quen thuộc đối với học

sinh lớp 10. Các bài toán này mặc dù có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhƣng nếu giải
chúng bằng công cụ vectơ thì lời giải sẽ gọn nhất. Tuy nhiên để có thể giải đƣợc trọn vẹn bài
toán bằng công cụ vectơ, học sinh phải biết định hƣớng cách giải và chọn các phép biến đổi
thích hợp.

5


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH
GIÁO KHOA
Mở đầu
Kể từ cuộc cải cách giáo dục theo chƣơng trình năm 1989, vectơ đƣợc đƣa vào giảng
dạy ở tất cả các lớp 10 trong cả nƣớc. Ta biết rằng mỗi tri thức cần dạy đƣợc xem xét trên hai
phƣơng diện : phƣơng diện "đối tƣợng" và phƣơng diện "công cụ". Trong luận văn này,
chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phƣơng diện "đối tƣợng" của vectơ mà chỉ quan tâm
nghiên cứu đến phƣơng diện "công cụ" của nó. Nhƣ chúng tôi đã nói, sau 10 năm thực hiện
chƣơng trình CCGD, đến năm 1999, theo tinh thần giảm tải, chƣơng trình 1989 đƣợc chỉnh
lý. Chúng tôi sẽ phân tích chƣơng trình 1989 và 1999 đồng thời nghiên cứu việc thể hiện
phƣơng diện này trong sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (gọi tắt là sách năm 2000). Khi phân
tích bộ sách này, chúng tôi có đối chiếu so sánh với sách cải cách giáo dục năm 1990 của
nhóm tác giả Trần Văn Hạo (gọi tắt là sách năm 1990). Thông qua việc phân tích chƣơng
trình và sách giáo khoa, chúng tôi sẽ xác định vai trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến
thức thuộc phần lý thuyết và trong việc giải các dạng toán thuộc phần bài tập.

I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989
I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ

hiệu quả để nghiên cứu hình học
Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông, bắt đầu thực hiện từ 1990,
việc đƣa vectơ vào giảng dạy đƣợc xem là "một thay đổi cơ bản của chƣơng trình hình học
lớp 10. Một công cụ mới- công cụ vectơ- đƣợc đề cập đến ở đây.

6


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

Đó là công cụ để xây dựng một phƣơng pháp toán học mới, phƣơng pháp vectơ, một trong
những phƣơng pháp cơ bản của toán học" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.4)
Tầm quan trọng của việc đƣa vectơ vào giảng dạy ở lớp 10 đƣợc giải thích bằng cách
nhấn mạnh vai trò của vectơ trong toán học cũng nhƣ trong vật lý, kỹ thuật. Các tác giả
chƣơng trình và sách giáo khoa đặc biệt lƣu ý đến lợi ích của việc sử dụng vectơ trong hình
học : "Phƣơng pháp vectơ cho phép tiếp cận các kiến thức hình học sơ cấp theo một cách
thức đơn giản và rõ ràng (chẳng hạn, chứng minh định lý Thalès, định lý Pythagore, định lý
hàm số cosin, các hệ thức lƣợng trong tam giác và đƣờng tròn, ...). Nó còn là một phƣơng
pháp rất hiệu quả để giải nhanh chóng các bài toán hình học, đôi khi không cần phải sử dụng
hình vẽ{...}. Từ phƣơng pháp vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa
độ theo tinh thần của toán học hiện đại. Với phƣơng pháp này ta có thể xây dựng lại các lý
thuyết hình học cũng nhƣ những công cụ giải toán, đƣa ra một cách đại số hóa hình học và
hình học hóa đại số" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8).
Từ việc phân tích lợi ích của vectơ, các tác giả chƣơng trình 1989 khẳng định rằng
một trong những nhiệm vụ chủ yếu của dạy học hình học lớp 10 là "đƣa vào một phƣơng
pháp mới {...}. Phƣơng pháp này là mới vì ở trung học cơ sở, học sinh chỉ có phƣơng pháp
tổng hợp để nghiên cứu các hình hình học" (Nguyễn Gia Cốc, 1990, tr. 1)
I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 :

Chúng ta hãy xem mục đích trên đƣợc thể hiện nhƣ thế nào trong chƣơng trình hình
học bậc trung học phổ thông.
Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông bắt đầu thực hiện từ 1990,
trong phần đầu tiên của chƣơng trình, các tác giả chƣơng trình đƣa vào vectơ một số phép
toán của vectơ (nhƣ phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số và

7


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

phép nhân vô hƣớng). Nhƣ thế, xuất hiện ở đây một đối tƣợng hình học mới, trên đó ngƣời ta
có thể định nghĩa các phép toán đại số. Những đối tƣợng này cung cấp một công cụ mới cho
phép đại số hóa hình học .
"Mặc dù từ "không gian vectơ" không xuất hiện, nhƣng trong thực tế thì một không
gian vectơ trên trƣờng số thực đã đƣợc xây dựng. Đó là không gian các vectơ của mặt phẳng,
đƣợc đƣa vào với các tính chất của phép cộng, phép nhân với một số thực. Hai tiên đề cho
phép định nghĩa mặt phảng aphin từ không gian vectơ (hệ thức Chasles và đặc trƣng song ánh
của ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi vectơ u với một điểm M sao cho u = OM , o là điểm cố định
chọn trƣớc) đã đƣợc trình bày. Những kiến thức vectơ đƣa vào đủ để nghiên cứu các tính chất
aphin và métric của hình học phang" (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.123)
Phần tiếp theo của chƣơng trình hình học lớp 10 dành cho việc nghiên cứu các hệ thức
lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn. Trong phần này, vectơ đƣợc sử dụng để chứng minh
nhiều định lý và công thức. Chẳng hạn, tích vô hƣớng đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm
số cosin, các công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến...Nó cũng còn đƣợc dùng để xây dựng
khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn. Phần cuối cùng của chƣơng
trình hình học lớp 10 là "Các phép biến hình". Ở đây vectơ đƣợc dùng để định nghĩa phép
tịnh tiến, phép vị tự. Hơn thế nữa, các định lý về sự bảo toàn khoảng cách của những phép

dời hình đƣợc nghiên cứu trong chƣơng trình (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay),
sự bảo toàn tỷ số khoảng cách cũng nhƣ tính thẳng hàng của phép vị tự cũng đƣợc chứng
minh nhờ vectơ.
Phƣơng pháp này còn giữ vai trò quan trọng trong việc trình các kiến thức của hình
học giải tích ở lớp 12. Từ sự phân tích chƣơng trình hình học dạy ở bậc trung

8


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

học, Lê Thị Hoài Châu đã chỉ rõ thứ tự trình bày các phƣơng pháp tiếp cận hình học đƣợc lựa
chọn ở Việt Nam là:
Phƣơng pháp tổng hợp —► phƣơng pháp vectơ —► phƣơng pháp tọa độ
phƣơng pháp vectơ - tọa độ
"Trong lịch sử phát triển của toán học, phƣơng pháp giải tích ra đời trƣớc khi xuất
hiện ý tƣởng xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học, ý tƣởng đã dẫn đến lý
thuyết vectơ, {...}. Thế nhƣng, theo một quan điểm chặt chẽ toán học, bƣớc chuyển từ hình
học tổng hợp vào hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích. Nói cách khác, xuất phát
từ hình học tổng hợp (hình học Euclide), ta có thể xây dựng phƣơng pháp giải tích hay
phƣơng pháp vectơ theo những cách thức độc lập với nhau.
Nhƣ vậy, {... }phƣơng pháp giải tích không phải là một cái cầu bắt buộc phải qua để
chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp sang phƣơng pháp vectơ" (1997,tr.l15).
Lƣu ý rằng "Vì các vectơ có thể đƣợc biểu diễn qua tọa độ của nó, vì thế tồn tại một
phƣơng pháp thứ tƣ, lƣỡng tính, phƣơng pháp sử dụng vectơ trong phạm vi tọa độ" (Lê Thị
Hoài Châu, 1997, tr.l14). Tác giả gọi đó là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Nhƣ tác giả đã nói,
phƣơng này tạo nên sự liên thông giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp giải tích. Các nhà
xây dựng chƣơng trình đã tận dụng điều đó. Theo sơ đồ đã nêu ở trên, phƣơng pháp vectơtọa độ là trung gian để chuyển từ phƣơng pháp vectơ sang phƣơng pháp giải tích. Điều này

thể hiện rất rõ trong chƣơng trình hình học 12 : ngƣời ta nghiên cứu các đƣờng thẳng, mặt
phẳng qua vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến, dựa vào đó để lập phƣơng trình, để xét điều
kiện song song, vuông góc giữa các đƣờng thẳng và mặt phẳng. Nói cách khác, các công thức
của hình học giải tích đƣợc đƣa vào nhờ các tính chất vectơ. Chính vì thế mà các nhà lập

9


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

chƣơng trình đã nói 'Từ vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa độ"
(Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8).
Kết luận : Những phân tích trên chứng tỏ phƣơng diện công cụ vectơ thực sự có một vị trí
quan trọng trong chƣơng trình hình học ở trƣờng trung học phổ thông : Nó không chỉ mang
lại một công cụ giải toán có hiệu quả, nó còn cho phép trình bày kiến thức của hình học một
cách ngắn gọn, rõ ràng, và còn là cái cầu để chuyển qua phƣơng pháp giải tích trong nghiên
cứu hình học.

II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999
II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình :
Trong chƣơng trình mới ngƣời ta "giảm nhẹ mức độ yêu cầu đồng thời giản lƣợc
những nội dung quá phức tạp [...] bỏ bớt một số nội dung lý thuyết không cần thiết và giảm
mức độ khó của bài tập" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10, 2000, tr.5). Cụ thể là : ý
nghĩa vật lý của vectơ, khái niệm vectơ buộc và điều kiện bằng nhau của các vectơ xét theo
tọa độ

(1)

đƣợc loại bỏ ra khỏi chƣơng trình. Tuy nhiên vai trò của vectơ không thay đổi.

Chẳng hạn để khai thác công cụ vectơ, ngƣời ta đƣa thêm vào tính chất vectơ của trọng tâm
tam giác (2).
Nhƣ vậy so với chƣơng trình cũ thì mục đích của dạy học vectơ không thay đổi: việc
đƣa tri thức này vào nhằm cung cấp một công cụ có hiệu quả để nghiên

(1)

: Nếu vectơ ⃗ = (a1,a2) và ⃗⃗ = (b1,b2) thì ⃗ = ⃗⃗ ⟺ {

(2)

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chi khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

10


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

cứu hình học. "Ngay từ chƣơng đầu tiên, chúng ta đã trình bày cho học sinh các khái niệm
hoàn toàn mới : đó là vectơ và các phép toán trên vectơ. Các khái niệm này đƣợc sử dụng
trong toàn bộ nội dung của lớp 10, và chúng còn đƣợc tiếp tục lặp lại và mở rộng thêm ở lớp
12". (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10, 2000, tr.58).
II.2. Không thay đổi cấutrúc của chƣơng trình :
Cấu trúc của chƣơng trình 1999 không khác cấu trúc của chƣơng trình cũ. Chƣơng
đầu tiên của Hình học 10 đƣợc dành cho việc nghiên cứu khái niệm vectơ và một số phép
toán vectơ, vectơ đƣợc sử dụng để đƣa vào khái niệm trục, tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ.
Tích vô hƣớng của hai vectơ đƣợc giới thiệu trong chƣơng 2. Công cụ vectơ đƣợc
khai thác để chứng minh các định lý liên quan đến độ dài của đoạn thẳng.
Nhƣ vậy "Phƣơng pháp vectơ đƣợc dùng để định nghĩa toa độ của vectơ và của điểm
đối với trục tọa độ cũng nhƣ hệ tọa độ trên mặt phẳng và để chứng minh các hệ thức lƣợng
cũng nhƣ các tính chất của các phép dời hình và đồng dạng. Có thể nói rằng công cụ vectơ
đƣợc áp dụng khá triệt để trong chƣơng trình lớp 10" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10,
2000, tr. 12-13).
Khi xem xét chƣơng trình của lớp 12 chúng tôi thấy rằng việc dạy học Hình học cũng
đi theo trình tự đã đƣợc lựa chọn trong chƣơng trình 1989. Điều đó có nghĩa là một phần
quan trọng của Hình học giải tích đƣợc trình bày nhờ vectơ đặt trong một hệ tọa độ.
• Để kết luận, chúng tôi có thể nói rằng cấu trúc của chƣơng trình 1999 không thay
đổi so với chƣơng trình cũ. Hơn thế nữa vai trò của vectơ cũng không thay đổi : Mục đích của
việc dạy học vectơ là cung cấp một công cụ có hiệu quả

11


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

cho việc nghiên cứu Hình học, đặc biệt là để trình bày một cách ngắn gọn phép chứng minh
các hệ thức lƣợng và tính chất của các phép biến hình.

III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000
Bây giờ chúng tôi sẽ xem xét sách giáo khoa năm 2000 - đƣợc sử dụng từ năm 2000 2001 trong tất cả các trƣờng THPT - triển khai tiến trình đã đƣợc các tác giả chƣơng trình lựa
chọn nhƣ thế nào. Cụ thể là, dựa vào vectơ để đƣa vào các khái niệm mới và sau đó để rèn
luyện cho học sinh giải các bài tập Hình học bằng công cụ vectơ, nhƣ là đoạn trích dẫn sau
đây của Sách giáo viên : "Chƣơng trình Hình học lớp 10 đã thay đổi, sự thay đổi này không
phải là cộng thêm vào hay bớt đi một số kiến thức Toán học, mà là thay đổi cấu trúc của hệ
thống kiến thức và ở việc đƣa vào một công cụ mới để giải toán Hình học" (Văn Nhƣ Cƣơng,
1990, tr.106).
Từ quan điểm này việc xem xét vai trò của công cụ vectơ trong dạy học Hình học lớp
10 sẽ phải đƣợc tiến hành trên hai mặt: một mặt trên cấu trúc của việc trình bày các kiến thức
cần phải dạy và mặt khác là trên sự lựa chọn các bài tập đƣa ra cho học sinh.

III.1. Cách trình bày các tri thức cần phải dạy :
Sách giáo khoa bao gồm ba chƣơng. Chƣơng đầu tiên dành cho việc đƣa vào khái
niệm vectơ, phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một vectơ với một số, trục, hệ trục.
Chƣơng 2 các tác giả đƣa vào một số hệ thức lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn. Các
phép biến hình trong mặt phẳng là đối tƣợng nghiên cứu của chƣơng 3. Chúng ta hãy xét xem
công cụ vectơ đƣợc sử dụng nhƣ thế nào để trình bày nội dung của hai chƣơng sau.

12


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

Trƣớc khi phân tích chi tiết các chƣơng này, chúng tôi cần phải nói rằng bằng cách

đƣa vào khái niệm tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong một hệ trục, ngƣời ta đã xây dựng
những cơ sở đầu tiên của phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi nhắc lại rằng phƣơng pháp này sẽ
đƣợc sử dụng ở lớp 12 để thiết lập nhiều công thức của Hình học giải tích. Những khái niệm
này đƣợc định nghĩa nhƣ sau :
+ Nếu ⃗⃗

⃗

⃗ thì cặp số x và y đƣợc gọi là tọa độ của vectơ ⃗⃗ đối với hệ tọa độ

Oxy và viết ⃗⃗ = (x,y). Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ của vectơ ⃗⃗
+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một điểm M nào đó. Khi đó tọa độ của
vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cũng đƣợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ ấy.

III.1.1. Vectơ và các hệ thức lƣợng:
Trong chƣơng 2, để đƣa vào các hệ thức lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn, các
tác giả trƣớc hết giới thiệu tích vô hƣớng của hai vectơ. Nhờ khái niệm này, tác giả đã chứng
minh một vài định lý, chẳng hạn định lý hàm số cosin

(3)

, công thức tính độ dài đƣờng trung

tuyến trong một tam giác ...
Nhƣ vậy trong chƣơng này công cụ vectơ đƣợc dùng để chứng minh một số định lý
phát biểu không phải bằng ngôn ngữ vectơ.
Ở cuối chƣơng, chúng tôi tìm thây một ứng dụng khác tính toán bằng vectơ : nhờ hệ
thức Charles các tác giả chứng minh định lý sau đây : "Cho đƣờng tròn (0,R) và một điểm M
cố định. Một đƣờng thẳng thay đổi đi qua M và cắt đƣờng tròn tại 2 điểm A và B thì tích vô
hƣớng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một số không đổi". Định lý này đƣợc sử dụng sau đó để định nghĩa phƣơng

tích của một điểm đối với một đƣờng tròn (4).

(3)
(4)

Với mọi tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 - 2bccosA
Giá trị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đổi nói trong định lý trên đƣợc gọi là phƣơng tích của điểm M đối với đƣờng tròn O.

13


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

Nhƣ thế một khái niệm mới đã đƣợc đƣa vào dƣới một hình thức có sử dụng tƣờng minh các
vectơ.

III.1.2. Vectơ và phép biến hình :
Khái niệm vectơ có mối liên hệ rất chặt chẽ với phép tịnh tiến. Trong dạy học ngƣời
ta có thể :
- Định nghĩa phép tịnh tiến rồi sau đó định nghĩa vectơ là cặp điểm mà phần tử thứ hai
là ảnh của phần tử thứ nhất qua phép tịnh tiến.
- Định nghĩa vectơ trƣớc sau đó định nghĩa phép tịnh tiến nhờ vào vectơ.
Ở Việt Nam ngƣời ta lựa chọn cách thứ hai.
Trong sách giáo khoa các tác giả trình bày khái niệm phép tịnh tiến nhƣ sau:
Phép đặt tƣơng ứng với mỗi điểm M một điểm M' sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ (⃗⃗ là vectơ cố

định) gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗⃗.
Sau đó vectơ còn đƣợc sử dụng để đƣa vào phép vị tự.
Hơn thế việc chứng minh định lý bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm qua phép đối
xứng trục, đối xứng tâm cũng nhƣ các tính chất của phép vị tự chẳng hạn tính chất bảo toàn tỉ
số khoảng cách, bảo toàn sự thẳng hàng đƣợc thực hiện nhờ việc sử dụng vectơ.
Định lý về tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của phép đối xứng
trục:
Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M' và N' thì
MN = M'N'. Nói một cách khác: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ.

14


Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa

Hoàng Hữu Vinh

Chứng minh : Giả sử d là trục đối xứng. Ta gọi I và J là trung điểm các đoạn thẳng MM' và
NN'. Khi đó I và J đều nằm trên d. Ta có :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

M’N’2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -⃗⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ (vì MI ⊥ IJ và JN ⊥ IJ)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ (vì M'I ⊥ IJ và JN' ⊥ IJ)
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó suy ra MN2 = M'N'2 hay MN = M'N'.
- Định lý về tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của phép đối xứng tâm:
Nếu phép đối xứng tâm biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M' và N' thì
MN = M'N'. Nói một cách khác: Phép đối xứng tâm không làm thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ.
Chứng minh : Ta chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó suy ra: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

Nhƣ thế các tác giả sách giáo khoa đã triển khai đúng ý đồ dùng vectơ để nghiên cứu
những nội dung đƣợc giảng dạy ở Hình học lớp 10.

III.2. Công cụ vectơ trong bài tập :
Bây giờ chúng ta hãy xét xem việc khai thác công cụ vectơ trong các bài tập nêu ra
cho học sinh đƣợc làm nhƣ thế nào.
Chúng tôi sẽ xét 23 bài tập chƣơng 1 và 16 bài tập chƣơng 2 thuộc sách giáo khoa.
Những bài tập này đƣợc gọi là các "bài tập chính". Hơn thế nữa chúng tôi sẽ

15