SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Phần I:

MỞ ĐẦU

I) LÝ DO CHON ĐỀ TÀI:
− Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học(PPDH) nhằm mục đích nâng cao chất
lượng dạy học và kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá trong học tập và
áp dụng vào trong thực tế cuộc sống, việc hướng dẫn học sinh trung học cơ
sở(THCS) nói riêng và học sinh nói chung sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính
toán là việc làm cần thiết trong dạy học. Do tính hữu dụng và thiết thực của máy
tính bỏ túi(MTBT) và điều kiện kinh tế xã hội cho phép, hoạt động ngoại khoá toán
học nói chung và ngoại khoá MTBT nói riêng trong các nhà trường nhằm mục đích
:
− Mở rộng và nâng cao phần tri thức về MTBT của học sinh đã được học ở tiểu học.
− Phát triển tư duy thuật toán ở HS, hợp lí hoá và tối ưu hoá các thao tác, hỗ trợ đoán
nhận kết quả bằng các phép thử, để kiểm tra nhanh kết quả tính toán theo hướng
hình thành các phẩm chất của người lao động có kĩ năng tính toán.
− Tạo ra môi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú ở bậc
học THCS và THPT.
− “…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp
hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài
toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết
đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà
trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng
máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc
độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi
toán kết hợp với máy tính điện tử”.
− Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng
rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và

những bài tập không thể giải bằng tay.
− Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để
giải là “các bài toán về số học vả đại số ” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên
-1–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

MTCT đều có cấu trúc chiếm tỉ lệ từ 70% trở lên trong đề . Đồng thời cũng là hai
môn học cơ bản của toán học.
− Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, sử dụng MTCT
để dạy về giải “Một số bài toán về số học và đại số” thì phần lớn các em nắm được
kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa
hợp

lý,

chính

xác.

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải
các bài toán nói chung và về số học và đại số nói riêng một cách thành thạo và
chính xác là hết sức cần thiết .
− Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan . Đặc biệt
là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong
cả

nước.

Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng
MTCT ”
II)NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Đề tài này nghiên cứu với một mục đích duy nhất là nhằm trang bị cho HS những kĩ
năng cơ bản cần thiết để các em có thể sử dụng thành thạo MTBT hỗ trợ cho việc học
toán và các môn học khác.
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán số học, đại
số và các bài toán liện quan khác.
Đối với giáo viên:
Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ
của

MTCT

và

đặc

biệt

cho

đội

tuyển

đạt

hiệu

quả

hơn.

Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa
thức bằng MTCT.
Đối với học sinh:
Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về số học và đại số.
Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.

-2–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

III)PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
− Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có
số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)
− Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Phước Hòa.
( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)
− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
− Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.
IV)CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:
− Năm học 2014-2015 lại một năm nữa tôi được nhà trường phân công bồi dưỡng
đội tuyển học sinh giải toán bằng . Bản thân cũng như các đồng nghiệp khác việc
bồi dưỡng học sinh giải toán bằng MTCT các cấp là một vấn đề có nhiều trăn trở
và khó khăn. Qua trao đổi và học hỏi một số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Như
Tiến, cô Nguyễn Thị Huyền… Đồng thời thông qua các buổi chuyên đề, bồi
dưỡng chuyên môn, thao giảng của ngành tổ chức bản thân đã đúc kết một số kinh

nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. Bản thân hình thành và thực
hiện áp dụng đề tài này từ các lớp học tại trường THCS số 1 Gia Phú
− Học sinh trường THCS số 1 Gia Phú.(học sinh ở các khối lớp)
− Học sinh trường THCS số 1 Gia Phú.(học sinh được lựa chọn ở các khối 8,9 từ
10/2014 đến 3/2015).
− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS số 1 Gia Phú( Từ
2/11/2014 đến 15/3/2015).
− Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS số 1 Gia Phú .
− Tổng hợp và viết đề tài từ năm tháng 09/2014 - 3/2015.

-3–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Phần II:

KẾT QUẢ.

A-MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI:
− Học sinh không biết giải các bài toán bằng MTCT như thế nào.
− Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng
giải chung cho dạng bài tập này.
− Trong thực tế khi giảng dạy cho HS một số các bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng
tính toán hoặc suy luận ở mức độ cao và yêu hoàn thành trong khuôn khổ thời gian
hạn hẹp thì phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng hoặc không có hứng thú học
tập, bởi lí do là các em ngại tính toán. Vì vậy để giúp HS tính toán nhanh và đơn
giản hơn và đỡ lãng phí tốn thời gian đồng thời kích thích sự tập trung cao độ của
HS vào việc giải toán ta nên hướng dẫn HS cách sử dụng MTBT hỗ trợ các hoạt
động tính toán trong khi học.

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS số 1 Gia Phú trong năm học 2014 –
2015 khi chưa thực hiện đề tài:
LỚP SL
8 80
9 180

BIẾT SỬ DỤNG MTCT
SL
TL
20
25%
46
25,6%

CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT
SL
TL
60
75%
134
74,4%

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS số 1 Gia Phú trong năm học 2014 –
2015 khi thực hiện đề tài qua 1 năm:
LỚP SL
8 80
9 180

BIẾT SỬ DỤNG MTCT
SL

TL
51
63,75%
112
62,22%

CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT
SL
TL
29
36,25%
68
37,78%

B - NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP:
-4–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

I/ MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP :
A/ GIỚI THIỆU:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx:
500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.
- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng
máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy
500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển
thị giống như phép toán ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông
dụng

- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT

B.HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH :
I/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC
Ở THCS:
DẠNG 1: TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ:
1-Tìm ước của một số a:
Phương pháp:
Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A=A+1: a ÷ A
Ấn nhiều lần phím = .
Gán:

0 Shift STO A

Nhập:

Alpha A Alpha = Alpha A + 1 Alpha : a ÷ Alpha A

ấn nhiều lần dấu =
VD : giả sử A = Ư(120) . Các khẳng định nào sau đây là đúng :
a,7 ∈ A;
b,15 ∈ A;
c,30 ∉ A
-5–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Giải:
ấn 120 ÷ 1 = Kết quả : 120 ( đúng )

Chỉnh lại thành 120 ÷2 = Kết quả : 60 ( đúng )
Chỉnh lại thành 120 ÷ 3 = Kết quả : 40 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 4 = Kết quả : 30 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 5 = Kết quả : 24 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 6 = Kết quả : 20 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 7 = Kết quả : 17,1429 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 8 = Kết quả :15 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 9 = Kết quả : 13,3333 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 10 = Kết quả : 12 ( đúng)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 11 = Kết quả : 10,909 ( sai)
Chỉnh lại thành 120 ÷ 12 = Kết quả : 10 ( đúng)
Ta thấy : 10,909 < 11 nên ngừng ấn
Vậy kết quả là Ư(120) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 }
Kết quả trả lời câu hỏi ở đầu bài : a, sai

b, đúng

c, sai

2- Tìm bội của b:
Phương pháp:
Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A=A+1: a X A
Ấn nhiều lần phím = .
Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100
Ta gán: A = -1
Ấn nhiều lần phím =
Ta có: B = { 0;7;14; 21; 28;35; 42; 49;56;63;70;77;84;91;98}
3-Kiểm tra số nguyên tố:
* Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ
Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố

Cách 1: (-1)  A
A + 2  A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là
số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố.
-6–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Cách 2: Gán số đó vào B; Tính B = ….. (điểm dừng)
B÷3=
B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng
Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không?
(-1)  A
A + 2  A:647 ÷ A bấm = ….. đến A = 25 thì thương là 23,9….. Vậy 647
không chia hết cho A => 647 là số nguyên tố
Ví dụ : Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số?
10007  B
B = 100, 034…

B÷3=
B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng
Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?
Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số
nguyên tố.
Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?
Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là
hợp số.
Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361)
DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B.
1-Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số:

A
= A − Bx
Số dư B
phần nguyên của (A chia cho B )

Cách ấn: A ÷ B = màn hình hiện kết quả số thập phân. Đưa con trỏ lên biểu thức
sửa lại A − B X phần nguyên của A chia cho B và ấn = .
VD : Tìm số dư của phép chia 9124565217 ÷ 123456
Ta có : 9124565217 ÷ 123456 = 73909,…………….
Tiếp theo ta ấn 9124565217 – 123456 × 73909 = 55713
Vậy R = 55713
-7–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

2- khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số :
Nếu số bị chia A là số bình thường lớn hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9
chữ số ( kể từ bân trái ). Ta tìm số dư như phần a). rồi viết tiếp sau số dư còn lại là
tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì liên tiếp như vậy.
VD: Tìm dư trong phép chia 2345678901234 ÷ 4567
+ 234567890 ÷ 4567

dư 2203

+ 22031234 ÷ 4567

dư 26

4

Ta có: 2345678901234 ÷ 4567 = ( 234567890 × 10 + 2201234) ÷ 4567

⇒ (2203 × 10 4 + 26) ÷ 4567 = 482,379……..
4
(2203 × 10 + 26) - 4567 × 482 = 1732

Vậy dư là 1732
3- Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn:
ta dùng phép đồng dư theo công thức sau :
 a ≡ m(mod p)  a.b ≡ m.n(mod p )
⇒ c

c
b ≡ n(mod p)
 a ≡ m (mod p )

Vd: Tìm dư của phép chia :
272002 : 13
Ta có :
27 ≡ 1 ( mod 13 )
⇒ 272002

≡
12002 (mod 13) ≡

1 ( mod 13 )

Vậy 272002 : 13 dư 1
* Khi sử dụng máy tính cần chú ý: khi thực hiện phép tính mà máy hiện kết quả là một số
đủ 10 chữ số ( số nguyên ) thì phải lưu ý đó có thể là 10 chữ số của phần nguyên còn

phần lẻ thập phân bị làm tròn số.
DẠNG 3: TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ:
A. Phương pháp giải toán
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).
-8–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Thuật toán: Xét thương
1. Thương

A
B

A
B

. Nếu:

cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới

dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản

a
b

(a. b là các số nguyên

dương) thì:

ƯCLN(A, B) = A:a = B:b;
2. Thương

BCNN(A, B) = A.b = B.a

A
cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối
B

giản thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia

A
. Giả sử số dư đó là R (R là số
B

nguyên dương nhỏ hơn A ) thì:
ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))
Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R .
Tiếp tục xét thương

R
và làm theo từng bước như đã nêu trên.
A

Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức:
ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) =

A.B
UCLN(A, B)

Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C.
Thuật toán:
1. Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] ... Điều
này suy ra từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] =
ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] =
= ƯCLN[ƯCLN(A, C), B]
2. Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự. Ta cũng có:
ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] =
ƯCLN[ƯCLN(A, C), B]
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 220887 và 1697507
Giải: Ta có:

220887
2187
=
Suy ra:
1697507 16807
-9–


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101;
BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395
Giải: Ta có:

3995649
= 0,2519424

15859395

Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải
dùng phương pháp 2.
Số dư của phép chia

15859395
là 3872428. Suy ra:
3995649

ƯCLN(15859395, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428)
Ta có:

3872428
= 0,9691612051
3995649

Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta tiếp tục
tìm số dư của phép chia:

3995649
. Số dư tìm được là 123221. Suy ra:
3872428

ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221)
Ta có:

123221
607
=

. Suy ra:
3872428 19076

ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203,
BCNN =

15859395.3995649
= 312160078125
203

Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431
Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101
=> ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101
C. Bài tập vận dụng
1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220
b. 1340022 và 622890625

c. 1527625 và 4860625 d. 1536885 và 24801105

2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360.
3. Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438.

ĐS : 678

DẠNG 4: TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n = an an −1....xa0 Mm VỚI m ∈ N
- 10 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Phương pháp: Ta thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho n Mm
Ví dụ: tìm chữ số x để 79506 x 47M23
Giải: Thay x = 0; 1; 2; ……..;9.
Ta được 79506147:23
Ví dụ: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x 2 y3z 4 chia
hết cho 7.
Giải: số lớn nhất dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 sẽ phải là 19293z 4
Lần lượt thử z = 9; 8; 7………;1;0
Vậy số lớn nhất có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là 1929354
Tương tự số nhỏ nhất có dạng 1x 2 y3z 4 chia hết cho 7 là 1020334
DẠNG 5: TÌM CẶP NGHIỆM (x;y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG
TRÌNH.
Ví dụ: tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 27 y2+1
2
Ta có x2= 27 y2+1 nên y < x suy ra x = 37 y + 1
2
Do đó gán: Y = 0, X= 0; nhập Y=Y+1:X = 37Y + 1

ấn phím = liên tục cho tới khi X nguyên
KQ: x =73; y= 12
Bài tập:
1. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 47y2+1

KQ: x= 48; y= 7

2. Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312
Giải : ta có 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312 ⇔ ....... ⇔ y = 2 x −
Do đó gán: Y = 0; X = 0; nhập X= X+1: Y = 2X -

161312 − 4 x 3

17

161312 − 4 X 3
17

ấn dấu = liên tục cho tới y nguyên
KQ: x = 30; y = 4
DẠNG 6: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẨN HOÀN
VD : phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau :
- 11 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

a, 0,123123123123............... = 0, (123)

đó là số

123
999

đó là 4 +

b, 4,353535353535............. = 4, (35)

35
99

c, 2,45736736736736........ = 2,45(736)
đó là : 2,45(736) = 2 + 0.45 + 0,00(736) = 2 +

VD : Tính chữ số thập phân thứ 105 của số thập phân

45
136
245491
+
=
100 99900
99900
17
13

Ta có : 17 ÷ 13 = 1,307692308
( thực ra kết quả của nó là 1,307962307962....................)
Ta thấy chu kì của kết quả là 1,(307692)
Mặt khác 105 ≡ 3 ( mod 6 )
⇒ chữ số thứ 105 trong phần thập phân của kết quả phép chia 17 ÷ 13 là số 7

VD : tìm n ∈ N nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số biết n121 có 5 chữ số đầu đều là chữ số 3
Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121
Nhưng ta có 123121 , 12 × 3121 , 1 × 23121 có các chữ số giống nhau ⇒ ta tính :
1 × 00121 =1
1 × 01121 = 3,333390164..................
⇒ n = 101

DẠNG 7: LÀM TRÒN SỐ
Máy có hai cách làm tròn số:
Làm tròn số để đọc ( máy vẫn lưu trong bộ nhớ đến 12 chữ số để tính toán cho các
bài toán sau ) ở NORM hay FIXn
Làm tròn và giữ luôn kết quả số đã làm tròn cho các bài toán tính sau ở FIX và RnD

VD : 17 ÷ 13 = 1,307692308 ( trên màn hình )
trong bộ nhớ máy vẫn lưu kết quả 1,30769230769
( máy vẫn giữ đủ 12 chữ số và chỉ 12 chữ số )
Nếu muốn làm tròn số thì bấm MODE MODE MODE MODE 1 và chọn làm tròn từ 0
đến 9
- 12 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Nếu chọn FIX 4 và ấn tiếp SHIFT RnD ⇒ máy sẽ hiện kết quả 1,3077 và giữ kết quả này
trong bộ nhớ ( chỉ có 4 chữ số ở phần lẻ đã làm tròn )
⇒ Ans × 13 = 17,0001

II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:
1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
VD : Tính :
1 1 1  
2 2 2 

 1+ + +
  2+ + +

3 9 27  : 
3 9 27  × 91919191

4 4
4  
1 1

1  80808080

−
−
4− +
 1 − +

7 49 343  
7 49 343 
a, A = 

Đối với bài tập dạng này thì trước khi tính chúng ta phải rút gọn biểu thức rồi mới tính
biểu thức như bình thường

   1 1 1 
1 1 1
1+ + +

÷  2 × 1 + 3 + 9 + 27 ÷÷ 91
 ÷×
3
9
27
÷:  
A=
1
1
1
1
1

1


 4× 1− +
÷
÷ 80
  7 49 − 343 ÷÷  1 − 7 + 49 − 343 ÷
 
 

1 
 1 1 1   1 1
−
 1 + + + ÷× 1 − +
÷
91
 3 9 27   7 49 343 
A=
×
  1 1
1     1 1 1   80
 4 ×  1 − 7 + 49 − 343 ÷ ×  2 × 1 + 3 + 9 + 27 ÷
  

 
1 91 91
A= × =
8 80 640

b,

B=

( 2,1 − 1,965) : (1,2 × 0,045)
3 : 0,4 − 0,9 : ( 0,15 : 2,5)
+
0,32 × 6 + 0,03 − ( 5,3 − 3,88) + 0,67
0,00325 : 0,013

Đối với những bài như thế này chúng ta cần phải ghi các phép tính trong biểu thức vào số
nhớ của máy tính :
3 : 0,4 - 0,9 : ( 0,15 : 2,5)

SHIFT STO A

0,32 × 6 + 0,03 − ( 5,3 − 3,88) + 0,67 SHIFT STO B

( 2,1 − 1,965) : (1,2 × 0,045) SHIFT STO C
0,00325 : 0,013 SHIFT STO D
- 13 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Sau khi đã ghi các phần trên vào máy như các phần hướng dẫn trước chúng ta bấm vào
máy tính như sau:
A ab/c B

C ab/c D =

+

( cách gọi số nhớ ra bằng cách ALPHA A )
1.2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN.
Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại
a) x = 1;

b) x = -2;

−1
;
2

c) x =

d) x =

0,12345
;
1,23456

Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X:
Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997)
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904)
Làm tương tự với các trường hợp khác

20Ans2 – 11Ans – 2006 =

Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 =

VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y a/ x = 2;

y = -3.

1
2

(ĐS c) −1995 ; d) -2006,899966).

b/ x =

2 3
y tại:
3

−3
3
; y = -2
4
7

c/ x =

Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y:

2+ 7
5

y=

2,35
2, 69

Nhập biểu thức đã cho

vào máy
(Ghi kết quả là - 4 )
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Dùng phím #

# để tìm lại biểu thức, ấn = để nhận kết quả.

(Ghi kết quả là

25,12975279)
Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521)
Bài tập: 1/ Tính
2/ Tính

A=

A=

3x5 − 2x4 + 3x2 − x
4x3 − x2 + 3x + 5

3x5 − 2x4 + 3x2 − x
4x3 − x2 + 3x + 5

khi x = 1,8165

(Kq: 1.498465582)

khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

- 14 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

3/ a. Tính
b. Tính
4/

x4 + 5x3 − 3x2 + x − 1

khi x = 1,35627

P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 + 13x2 − 11x − 357

æ x
æ
x + 9ö
3 x +1
÷
÷
ç
ç

T(x) = ç
+
:ç
÷
ç
ç
÷
ç3 + x
çx - 3 x
9 - xø è
è

Kq:

khi x = 2,18567

1 ö
÷
3
2007
÷
2008) .
÷
÷. Tính T( 231007) ; T(
xø

T( 3 231007) = −1,194910171 T(2007 2008) = - 0,50063173

1.3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ
Phương pháp: Tính từ dưới lên hoặc tính từ trên xuống.

a0 +

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số

1
a1 +

1

a

1 về dạng b . Dạng toán này
...an −1 +
an

được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một
cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn lần lượt an −1 + 1 ab/ c an = an −2 + 1 ab / c Ans = ...a0 + 1 ab / c Ans =
Ví dụ: Viết A ra phân số thường và số thập phân.
A = 3+

5
2+

4
2+

5
2+

4
2+

5
3

Giải:
Cách 1: tính từ dưới lên
−1
Ấn: 3 x X 5 + 2 =

x −1 X 4 + 2 =
x −1 X 5 + 2 =
x −1 X 4 + 2 =
x −1 X 5 + 3 =

- 15 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Ấn tiếp:

233 1761
=
KQ: A= 4,6099644= 382 382
4

= a b / c shift d / c

Cách 2: Tính từ trên xuống
Nhập: 3 + ( 5 ÷ (2 + (4 ÷ (2 + (5 ÷ (2 + (4 ÷ (2 + 5 ÷ 3)))))))) =
BIỂU DIỄN PHÂN SỐ RA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ.
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học
sử dụng để giải nhiều bài toán khó.
Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b,
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
a
b
b
phân số có thể viết dưới dạng: b
b
b0

Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b 0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số
b
b
1
= a1 + 1 = a1 +
b0
b0
b0
b1

Cứ

tiếp

tục

quá

b
a
= a0 + 0 = a0 +
b
b
a1 +

trình
1

1

...an −2 +

này

sẽ

kết

thúc

sau

n

bước

và

ta

được:

1 . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới
an

dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó
được viết gọn [ a0 ,a1 ,...,an ] . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng
cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập
phân hữu hạn này qua liên phân số.

A=

Ví dụ : Tính a)

329
=
1051 3 +

1
B=

1

5+

1
1
a+
b

- 16 –

b)

15
1
=
17 1 + 1
a+

1
b


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

329
1
1
1
1
1
=

=
=
=
=
1051
64
1
1
1
1051
3+
3+
3+
3+
9
1
1
329
329
5+
5+
5+
64
1
64
7+
9
9
Giải:

Vậy a= 7; b= 9
Cách ấn máy :
1051 và ấn =

Ghi vào màn hình: 329

−1
ấn tiếp x = (máy hiện 3

64

ấn tiếp − 3 = (máy hiện 64

329)

329)

−1
ấn tiếp x = (máy hiện 5 9 64)

ấn tiếp − 5 = (máy hiện 9

64)

−1
ấn tiếp x = (máy hiện 7

1

9)

KQ: a=7; b=9

b) KQ: a= 7; b=2
Bài tập:
B =7+

1/ Biểu diễn B ra phân số

1
3+

3+

2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương)
M=

3/ Biểu diễn M ra phân số:

−5 +

4/ Tính

C=

4+

1

3+

43 1037 

 B = 7 142 = 142 ÷



1
4

15
1
=
17 1 + 1
1
a+
b

1
5+

1

1

+
1

3+

1
2

(a = 7; b = 2)
1

2+

3+

1

1

4+

1
5

98 

 Kq : 157 ÷



1
1+

1
3+

Kq:

1
1+

1
4

- 17 –

−

101
≈ −4,208(3)
24


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

12246
=5+
2107

1
1+

5/ Tìm các số tự nhiên a, b sao cho

1

4+

1
3+

(a = 2 ; b =

1
8+

1
a+

1
b

7)
4+

6/Giải phương trình

7/ Tìm a, b,c,d biết :
Kq: a) a = 11

8/ Tìm x biết :

(x =

x
1+

=

1
2+

a) 9 +

;b = 12;

1
3+

x
4+

1
4
3

10 +

2

=

1
a+
b

b)

4






2 ÷
4
2 +
÷x −  1 +
4
1


1+ ÷
2+
÷

7
5


1+

8


1
3+

(x =

1
2+

1
2

12585
1354

b)

−12556
)
1459

20052006
= a+
2007

1
b+

1
c+

1
d

a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2

÷
÷
÷
÷
÷
÷


+

1
2+

= 4+

1
3+

1
4

2
1+

8

9

1389159
≈ 1,106910186 )
1254988

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng
chính tắc để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn.
Ví dụ

Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0
Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
a1x + b1y = c1
a2 x + b 2 y = c2

Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng: 

a1x + b1y + c1z = d1

Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 3 có dạng: a2 x + b2 y + c2z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

Dạng 3.1. Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
- 18 –

SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Ấn MODE MODE 1 > 2 nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím
= giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
-- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 1 > 2
1 . 85432 =

( − ) 3 . 321458

=

(−) 2

. 45971 = ( x1 = 2.308233881 ) = ( x2 = -0.574671173 )

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này

chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một nghiệm thực
thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình
đó là vô nghiệm.
3.1.2: Giải theo công thức nghiệm
Tính ∆ = b2 − 4ac
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1,2 =

−b ± ∆
2a

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1,2 =

−b
2a

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0
-- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) 1 . 542 x2 − 4 × 2 . 354 × ( ( −) 3 . 141 ) SHIFT STO A (27,197892)
( 1 . 542 +

ALPHA A ) ÷ 2 × 2 . 354 = (x1 = 1,528193632)

( 1 . 542 −

ALPHA A ) ÷ 2 × 2 . 354 = (x2 = - 0,873138407)

Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.
 Hạn chế không nên tính
đến sai số xuất hiện trong biến nhớ

∆ trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn
∆ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn

hơn.
- 19 –

SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

 Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ
yếu dưới dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa
thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, …. Cần nắm vững công thức nghiệm
và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này.
Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0)
3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn MODE MODE 1 > 3 nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn
phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân
của phương trình x3 – 5x + 1 = 0.
-- Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím MODE MODE 1 > 3
1 = 0 = (−) 5 = 1 = (x1 = 2, 128419064) = (x2 = -2, 33005874) = (x3 = 0, 201639675)

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R ⇔ I thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này

chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải.
3.2.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ
đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó
ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết.
Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.
Dạng 3.3. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Ấn MODE MODE 1 2 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần
nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998)

- 20 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

x
83249x + 16751y = 108249
thì y bằng (chọn một trong
16751x + 83249y = 41715

Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 
5 đáp số)
A.1

B.2

C.3

D.4

E.5

-- Giải –
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn

các

phím

MODE MODE 1 2

83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = (1, 25) = (0, 25)

Ấn tiếp: MODE 1 1 . 25 a b/ c 0 . 25 = (5)
Vậy đáp số E là đúng.
Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math
ERROR.
Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn
Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn MODE MODE 1 3 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi
lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
3x + y + 2z = 30

Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x + 3y + z = 30
 x + 2y + 3z = 30


Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
MODE MODE 1 3 3 = 1 = 2 = 30 = 2 = 3 = 1 = 30 = 1 = 2 = 3 = 30 = (x = 5) = (y = 5) = (z = 5)

Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5.
Nhận xét:

 Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính

và các chương trình cài sẵn trên máy tính. Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít
chúng thường xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết
kiệm, …) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ

số là những số lẻ.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải các phương trình:
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0
- 21 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

1.2. (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0
1.3. x3 + x2 – 2x – 1 =0
1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1,372x − 4,915y = 3,123
8,368x + 5,214y = 7,318

2.1. (Sở GD Đồng Nai, 1998) 

13,241x − 17, 436y = −25,168
23,897x + 19,372y = 103,618

2.2. (Sở GD Hà Nội, 1996) 

1,341x − 4,216y = −3,147
8,616x + 4,224y = 7,121

2.3. (Sở GD Cần Thơ, 2002) 
2x + 5y − 13z = 1000

2.4. 3x − 9y + 3z = 0

5x − 6y − 8z = 600


DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để
tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết P(x) = a0 x n + a1x n −1 + ... + an dưới dạng P(x) = (...(a0 x + a1 )x + a2 )x + ...)x + an
Vậy P(x 0 ) = (...(a0 x 0 + a1 )x 0 + a2 )x 0 + ...)x 0 + an . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …;
bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn.
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy:

- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak

Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A =

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165
4x 3 − x 2 + 3x + 5

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
An phím: 1 . 8165 =
( 3 Ans ^ 5 − 2 Ans ^ 4 + 3 Ans x 2 − Ans + 1 ) ÷ ( 4 Ans ^ 3 − Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) =

Kết quả: 1.498465582
- 22 –

SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
An phím: 1 . 8165 SHIFT STO X
( 3 ALPHA X ^ 5 − 2 ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X x 2 − ALPHA X + 1 ) ÷
( 4 ALPHA X ^ 3 − ALPHA X x 2 + 3 ALPHA X + 5 ) =

Kết quả: 1.498465582
Nhận xét:

 Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-

220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp
tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị
của biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến
x ấn phím là = xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x 0 vào
một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ: Tính A =

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
4x 3 − x2 + 3x + 5

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:

( −) . 235678

SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím = là xong.
 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi.
Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức
tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn
đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường
hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:
a. Tính x 4 + 5x3 − 3x 2 + x − 1 khi x = 1,35627
b. Tính P(x) = 17x 5 − 5x 4 + 8x 3 + 13x 2 − 11x − 357 khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó
b
a

b
a

r là một số (không chứa biến x). Thế x = − ta được P( − ) = r.
- 23 –


SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

b
a

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( − ), lúc
này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.

Ví

dụ:

(Sở

GD

TPHCM,

1998)

Tìm

số

dư

trong

phép

chia:P=

x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
x − 1,624

Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 . 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 − ALPHA X ^ 9 − ALPHA X ^ 5 + ALPHA X ^ 4 + ALPHA X ^ 2 + ALPHA X − 723 =

Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài

1:

(Sở

GD

Đồng

Nai,

1998)

Tìm

số

dư

trong

phép

chia

x 5 − 6, 723x 3 + 1,857x 2 − 6,458x + 4,319
x + 2,318
4
4
2
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho P( x ) = x + 5x − 4x + 3x − 50 . Tìm phần dư r1, r2 khi

chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r.
b
a

Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( − ). Như vậy bài toán trở
về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để x 4 + 7x3 + 2x 2 + 13x + a chia
hết cho x+6.
- Giải -

4
3
Số dư a = − (−6) + 7(−6) + 2 ( −6 ) + 13 ( −6 ) 
2

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: (−) 6 SHIFT STO X
- 24 –

SKKN-Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính điện tử

( −) ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x 3 + 2 ALPHA X x 2 + 13 ALPHA X ) =

Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x 3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a 2 chia hết
cho x + 3?
-- Giải –
3
Số dư a2 = - 3 ( −3 ) + 17 ( −3 ) − 625 => a = ± − 3 ( −3) + 17 ( −3) − 625
3

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) ( 3 ( (−) 3 ) x3 + 17 ( (−) 3 ) − 625 ) =

Kết quả: a = ± 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x 3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để
P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là
một đa thức bậc hai Q(x) = b 0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2
+ b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy
hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi
chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) 5 SHIFT STO M 1 × ALPHA M + 0 = (-5) × ALPHA M − 2 = (23)
× ALPHA M + (−) 3 = (-118) × ALPHA M + 0 = (590) × ALPHA M + 0 = (-2950)

× ALPHA M + 1 = (14751) × ALPHA M + (−) 1 = (-73756)

Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x 6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) –
73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức

- 25 –