bài toán về hình học không giam luyện thi

www.truongthi.com.vn Môn Toán
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Trong phần này, đề nghị người đọc xem lại các định nghĩa và định lý
trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, hai chương, quan hệ song song và
quan hệ vuông góc. Trong chương này, chúng tôi nêu lên một số dạng
toán cơ bản thường gặp, giúp ích cho kỳ thi đại học của học sinh.

BÀI I
BÀI TOÁN THIẾT DIỆN
Thiết diện là giao của một mặt phẳng với một khối đa diện hoặc một khối
tròn. Bài toán thiết diện là bài toán tìm hoặc dựng giao đó. Để tìm thiết
diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, ta tìm giao tuyến của mặt
phẳng đó với các mặt của khối đa diện. Thiết diện thu được thường là
một đa giác.
I. Ví dụ luyện tập.
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi K là trung điểm
của cạnh BC, I là trung điểm của cạnh C’D.
a) Hãy dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AKI) với hình lập phương.
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
e) Tìm tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo thành do mặt phẳng (AKI)
cắt hình lập phương, biết tỷ số đó bé hơn một.
Lời giải

C’ D’
B’ A’ M


J D
B A
K

C
I
N
H
P
L


a) Nối AK kéo dài cắt DC kéo dài tại J. Nối IJ cắt CC’ tại L và cắt DD’ tại
M. Nối AM và KL. Tứ giác AKLM là tứ giác phải dựng. Dễ thấy AKLM là
hình thang (KL // AM).
b) Do K là trung điểm của BC, nên C là trung điểm của JD, Từ đó: KC =
1
2
AD =
1
2
a; LC =
1
2
MD.
2
1
www.truongthi.com.vn Môn Toán
Từ I hạ IH ⊥ CD, H là trung điểm của CD và IH =
1
2
CC’ =
1
2

a. Do IH là
đường trung bình trong hình thang CLMD, nên ta có:
2. IH = a = CL + DM = 3CL ⇒ CL =
a
3
, DM =
2
3
a.
Như vậy: KL =
22
22
aa 13
KC CL a
49 6
+=+=

AM = 2.KL =
213
a
6
.
Từ J hạ JN ⊥ AM trong mặt phẳng (AKI). Ta có DN ⊥ AM, do JD vuông
góc với mặt phẳng ADD’A’. JN cắt KL tại điểm P. PN chính là chiều cao
của hình thang thiết diện. Ta có PN =
1
2
JN.
Xét tam giác vuông ADM, ta có DN.AM = AD. DM.
Như vậy DN =

2
a. a
AD.DM 2a
3
AM
213 13
a
6
==
.
Xét tam giác vuông JDN, vuông tại D. Ta có
JN
2
= JD
2
+ DN
2
= 4a
2
+
22
4a 56a
13 13
=

Vậy JN =
214
a
13
và PN =

14
a
13
.
Do vậy, diện tích thiết diện là:
S =
1
2
(KL + AM). PN =
1 13 2 13 14
aa.
26 6
13

+



a

2
14
S
4
= a
(đơn vị diện tích).
c) Thiết diện chia hình lập phương thành hai phần, trong đó, phần nhỏ
hơn là chóp cụt tam giác ADM.KCL.
1chãp côt
1

VV h.(BB'BB')
3
==++
;
ở đây h = CD = a, B là diện tích
tam giác ADM.
B’ là diện tích tam giác KCL.
Ta có: B =
1
2
AD. DM =
1
2
. a.
2
3
a =
2
a
3

B’ =
1
2
KC. CL =
2
1aa a

223 12
=

4
2
www.truongthi.com.vn Môn Toán
V
1
=
222
1aaa 7a
a.
33126 3

++ =



3
6

Vì thể tích hình lập phương cạnh a bằng a
3
, nên thể tích phần còn lại
3
2
29
V
36
=
a
. Do đó
1

2
V7
V2
=
9
.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
đáy là tam giác đều cạnh a,
đường cao bằng h. M là điểm nằm trên đường chéo AB
1
của mặt ABB
1
A
1

sao cho AM: MB
1
= 5: 4. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai
đường thẳng A
1
C và BC
1
.
1) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình lăng trụ.
2) Giả sử mặt phẳng (α) cắt CC

1
tại điểm N. Hãy tính tỷ số
1
CN
CN
?
Lời giải
1) Kẻ CJ // BC
1
. Ta thấy mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (A
1
CJ).
Vì vậy các giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (A
1
CJ) với các mặt bên và
mặt đáy của lăng trụ là song song với nhau. Nối A, J cắt AB tại I; Ta có I
là trung điểm của AB. Như vậy cách dựng thiết diện cần tìm là:
A1 L C1
D
B1 N

M

A C

I G

• Qua M kẻ đường thẳng song song với A
1
I, cắt AB tại E và cắt A
1
B
1
tại
D. Từ E kẻ EG // IC (G ∈ BC); từ G kẻ GN // BC
1
(N ∈ CC
1
), từ N kẻ NL //
A
1
C, L ∈ A
1
C
1
. Nối DL, Thiết diện thu được là ngũ giác DEGNL.
B
E
2) Do cách dựng, ta có
1
CN CG IE
(1)
CN BG EB
==

Theo giả thiết, ta có
1

MA 5
MB 4
=

6
3
www.truongthi.com.vn Môn Toán
⇒
11 111
a
IE
5MA AE AIIE
2
4MB BDAB ADaIE
+
+
=== =
−−

Từ đó
5
4
(a - IE) =
a
2
+ IE
hay 5a - 5IE = 2a + 4IE ⇒ IE =
a
3
, do đó EB =

aa a
236
−=.
Như vậy
1
CN IE
2
CN EB
==
.
II. Bài tập tự giải
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 4a,
BD = 2a. Đường cao SO = h, O = AC × BD.
Từ A hạ mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’,
C’, D’.
a) Hãy dựng thiết diện của (P) với chóp.
b) Tìm quan hệ giữa h, a để tam giác B’C’D’ là tam giác đều.
Gợi ý: mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến B
1
C
1
qua A,
B
1
∈ (BC), C
1
∈ (AD). Ta có B
1
C
1

// B’C’. Do vậy tam giác B’C’D’ đều khi
và chỉ khi tam giác B
1
C
1
D’ đều. Đáp số h = 23a.
2. Đề thi Đại học Luật Hà nội (1999)
Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao h và đáy ABC là tam giác
đều cạnh a.
Qua cạnh đáy AB dựng mặt phẳng vuông góc với cạnh SC. Hãy tính diện
tích thiết diện tạo thành theo a và h.
Đáp số: S =
2
22
3a h
4a 3h+

3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
1) Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để
diện tích tam giác IAB nhỏ nhất.
2) Giả sử M là điểm thuộc cạnh AB. Qua M dựng mặt phẳng song song
với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P,
Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác
(MNPQ) lớn nhất.
Đáp số: 1) I là trung điểm CD.
2) MNPQ là hình bình hành; M là trung điểm của AB.
4. Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh (2000).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh
bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy của hình chóp một góc 60
o

. Mặt phẳng
8
4
www.truongthi.com.vn Môn Toán
(P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Cho biết góc tạo bởi
mặt phẳng (P) với mặt đáy hình chóp là 30
o
.
1) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a.
2) Tính thể tích hình chóp SABMN theo a.
Đáp số: 1) ABMN là hình thang cân,
đối tượng ABMN =
2
3a 3
8
(đơn vị diện tích).
2) VSMNAB =
3
3a
16
(đv thể tích).


10
5