Môn học phân tích và thiết kế giải thuật chương 5

Ch

ng 5

Các k thu t thi t k gi i thu t

1


N i dung
1. Qui ho ch

ng
2. Gi i thu t tham lam
3. Gi i thu t quay lui

2


1. Qui ho ch

ng

Quy ho ch ng (dynamic programming) gi i các bài toán
b ng cách k t h p các l i gi i c a các bài toán con c a bài
toán ang xét.
Ph ng pháp này kh d ng khi các bài toán con không c
l p i v i nhau, t c là khi các bài toán con có dùng chung
nh ng bài toán “cháu” (subsubproblem).
Qui ho ch ng gi i các bài toán “cháu” dùng chung này
m t l n và l u l i gi i c a chúng trong m t b ng và sau ó

kh i ph i tính l i khi g p l i bài toán cháu ó.
c áp d ng cho nh ng bài toán t i u
Qui ho ch ng
hóa (optimization problem).
3


B nb

c c a qui ho ch

ng

â d ng m t gi i thu t qui ho ch
làm b n b c:
1.
2.

ng có th

c chia

c tr ng hóa c u trúc c a l i gi i t i u.
nh ngh a giá tr c a l i gi i t i u m t cách

3. Tính tr c a l i gi i t i u theo ki u t d

quy.

i lên.

4. C u t o l i gi i t i u t nh ng thông tin ã
toán.

c tính

4


Thí d 1 Nhân xâu ma tr n
Cho m t chu i <A1, A2, …, An> g m n matr n, và ta mu n
tính tích các ma tr n.
A1 A2 … An
(5.1)
c g i là m - óng-ngo c- yTích c a xâu ma tr n này
(fully parenthesized ) n u nó là m t ma tr n n ho c là tích
c a hai xâu ma tr n m - óng-ngo c- y- .
c m - óng-ngo c- y- theo
Thí d : A1 A2 A3 A4 có th
5 cách:
(A1(A2(A3A4)))
(A1((A2A3)A4)
((A1A2)(A3A4))
(A1(A2A3))A4)
(((A1A2)A3)A4)
5


á
à a m óng ngo c m t xâu ma tr n có nh h

r t l n n chi phí tính tích xâu ma tr n.

ng

Thí d :

A1
10 100
A2
100 5
A3
5 50
(A1(A2A3)) th c hi n
10.000.5 + 10.5.50 = 5000 + 2500
= 7500 phép nhân vô h ng.
(A1(A2A3)) th c hi n
100.5.50 + 10.100.50 = 25000 + 50000 = 75000 phép nhân vô
h ng.
Hai chi phí trên r t khác bi t nhau.

6


Phát bi u bài toán nhân xâu ma tr n
à á í
í
â
'‘Cho m t chu i <A1, A2, …, An> g m n matr n, v i m i
i = 1, 2, …, n, ma tr n Ai có kích th c pi-1 pi, ta m - óngngo c tích này sao cho t i thi u hóa t ng s phép nhân vô
h ng”.

ây là m t bài toán t i u hóa thu c lo i khó.

7


C u tr c c a m t cách m

óng ngo c t i

u

c 1: c tr ng hóa c u trúc c a m t l i gi i t i u.
Dùng Ai..j ký hi u ma tr n k t qu c a vi c tính
Ai Ai+1…Aj.
M t s m óng ngo c t i u c a tích xâu ma tr n A1.A2… An
Tách xâu ngay t i v trí n m gi a Ak và Ak+1 v i m t tr
nguyên k, 1 k < n. Ngh a là, tr c tiên ta tính các chu i ma
tr n A1..k and Ak+1..n và r i nhân chúng v i nhau
cho ra A1.n.
Chi phí c a s m óng ngo c t i u này = chi phí tính Al..k +
chí phí tính Ak+1..n, + chi phí nhân chúng l i v i nhau.

8


Di n t l i gi i m t cách

quy

â , nh ng bài toán con c a ta là bài toán xác nh chi phí

t i u ng v i s m óng ngo c cho chu i Ai.Ai+1… Aj v i
1 i j n.
t m[i, j] là t ng s t i thi u các phép nhân vô h ng
c
òi h i tính ma tr n Ai..j. Chi phí c a cách r nh t tính
c ghi m[1, n].
A1..n s
Gi s r ng s m óng ngo c t i u t ch i tích chu i Ai
Ai+l… Aj t i gi a Ak and Ak+l, v i i k < j. Thì m[i, j] b ng
v i chí phí t i thi u tính Ai..k và Ak+1..j, c ng v i chi phí
nhân hai ma tr n này l i v i nhau.
m[i, j] = m[i, k] + m[k+1, j] + pi-1pkpj.
9


M t c ng th c

quy

v y, nh ngh a quy cho chi phí t i thi u c a m t
s m óng ngo c cho Ai Ai+l… Aj là nh sau:
m[i, j] = 0
n u i = j,
= min {m[i, k] + m[k + 1, j] + pi-1pkpj.}
n u i < j.
giúp theo dõi cách t o m t l i gi i t i u, hãy
ngh a:

(5.2)
nh

s[i, j]: tr c a k t i ó chúng ta tách tích xâu ma tr n
t n m t s m óng ngo c t i u.
AiAi+1…Aj

10


M t nh n xét quan tr ng
nh n xét quan tr ng là
m óng ngo c c a xâu con A1A2....Ak bên trong s m
óng ngo c t i u c a xâu A1A2…An c ng ph i là m t s m
óng ngo c t i u''.
Nh v y, m t l i gi i t i u cho bài tóan tích xâu ma tr n
ch a ng trong nó nh ng l i gi i t i u c a nh ng bài toán
con.
B c th hai c a ph ng pháp qui ho ch ng là nh ngh a
tr c a l i gi i t i u m t cách quy theo nh ng l i gi i t i
u c a nh ng bài toán con.

11


Tính nh ng chi phí t i u
vì tính l i gi i d a vào công th c cho (5.2) b ng m t
gi i thu t quy, chúng ta i th c hi n B c 3 c a qui ho ch
ng: tính chi phí t i u b ng cách ti p c n t d i lên.
Gi s ma tr n Ai có kích th c pi-1 pi v i
i = 1, 2 ,.., n.
u vào là chu i tr s .

Th t c dùng m t b ng m[1..n, 1..n] l u các chi phí m[i, j]
và b ng s[1..n, 1..n] l u giá tr nào c a v trí k mà th c
c chi phí t i u khi tính m[i, j].
hi n
Th t c MATRIX-CHAIN-ORDER tr v hai m ng m và s.

12


Th t c tính hai b ng m và s
procedure MATRIX-CHAIN-ORDER(p, m, s);
begin
n:= length[p] - 1;
for i: = 1 to n do m[i, i] := 0;
for l:= 2 to n do /* l: length of the chain */
for i:= 1 to n – l + 1 do
begin
j:= i + l – 1;
m[i, j]:= ∞;
/* initialization */
for k:= i to j-1 do
begin
q:= m[i, k] + m[k + 1, j] + pi-1pkpj;
if q < m[i, j] then
begin m[i, j]: = q; s[i, j]: = k end
end
end
end
13

M t thí d
ì
trên

ính tích xâu ma tr n

ch cho i < j, ch ph n c a b ng m
ng chéo chính m i
c dùng.

Cho các ma tr n v i kích th
A1
30 35
A2
35 15
A3
15 5
A4
5 10
A5
10 20
A6
20 25

c nh sau:

Hình 5.1 trình bày b ng m và s
c tính b i th t c
MATRIX-CHAIN-ORDER v i n = 6.

14


M t thí d v tính tích xâu ma trân
M ng m

6
5
j 4
3
2
1

i
1
2
3
4
151 5 10500 51
0
500 1000
11875 71
7
75
750
0
7875
0
15750
0

0

5
5000
0

M ng s

H nh 5.1
1

6
5
j 4
3
2

6
0

2

i
3

4
5
4

5

5

1
1
15


M t thí d v tính tích xâu ma trân
m[2,2] + m[3,5] + p.p2p5 = 0 + 2500 + 35.15.20 = 13000
2,5] = min m[2,3] + m[4,5] + p1p2p5 = 2625 +100 + 35.5.30 = 7125
m[2,4] + m[5m5] + p p p = 4375 + 0 + 35.10.20 = 11375
1 4 5


= 7125
k = 3 for A2..5
B c 4 c a ph ng pháp qui ho ch ng là t o m t l i gi i
t i u t nh ng thông tin ã tính toán.

16


B

c 4 T o m t l i gi i t i

u

a dùng m ng s[1..n, 1..n] xác nh cách t t nh t tính
tích xâu ma tr n. M i ph n t s[i, j] ghi tr of k sao cho t i

ó s m óng ngo c t i u tách ôi xâu AiAi+1… Aj thành
hai o n t i Ak và Ak+1.
Cho tr c chu i ma tr n A = <A1, A2…, An>, b ng s và các
ch s i và j, th t c quy MATRIX-CHAIN-MULTIPLY sau
ây tính tích xâu ma tr n Ai..j,. Th t c tr v k t qu qua
tham s AIJ.
V i l nh g i ban u là
MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A,s, 1, n, A1N)
Th t c s tr v k t qu ma tr n tích sau cùng v i m ng
A1N.
17


Tính l i gi i
procedure
( , , i, j, AIJ);
begin
if j > i then
begin
MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A, s, i, s[i, j], X);
MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A,s, s[i, j]+1, j, Y);
MATRIX-MULTIPLY(X, Y, AIJ);
end
else
assign Ai to AIJ;
end;

18

Các thành ph n c a quy ho ch
ó
có

ng

ành ph n then ch t mà m t bài toán t i u hóa ph i
có th áp d ng qui ho ch ng:
(1) ti u c u trúc t i u (optimal substructure) và
(2) các bài toán con trùng l p (overlapping subproblems).

Ti u c u trúc t i u
M t bài toán có tính ch t ti u c u trúc t i u n u l i gi i t i
u ch a trong nó nh ng l i gi i t i u c a nh ng bài toán
con.

19


Nh ng bài toán con trùng l p
m t gi i thu t quy g p l i cùng m t bài toán con
nhi u l n, ta b o r ng bài toán t i u hóa có nh ng bài toán
con trùng l p.
Gi i thu t quy ho ch ng l i d ng nh ng bài toán con
trùng l p b ng cách gi i m i bài toán con m t l n, c t l i
c tham kh o
gi i vào trong m t b ng mà b ng này s
n khi c n.
Các gi i thu t
quy l m vi c t trên xu ng trong khi các

gi i thu t quy ho ch ng làm vi c t d i lên, Cách sau
h u hi u h n .

20


Thí d

ài toán chu i con chung dài nh t

chu i con subsequence) a m t chu i (sequence) là
chu i y sau khi b i m t vài ph n t .
Thí d : Z = <B, C, D, B> là m t chu i con c a
X = <A, B, C, B, D, A, B> v i chu i ch s <2, 3, 5, 7>.
Cho hai chu i X và Y, ta b o Z là chu i con chung (common
subsequence) c a X và Y n u Z là m t chu i con c a c hai
chu i X và Y.
Trong bài toán chu i con chung dài nh t, ta
c cho hai
chu i X = <x1, x2, …, xm> và Y = <y1, y2,…, yn> và mu n tìm
chu i con chung dài nh t (LCS) c a X và Y.

21


Ti u c u trúc t i
chung dài nh t
í

u c a bài toán chu i con

: X = <A, B, C, B, D, A, B> và Y = <B, D, C, A, B, A>
<B, D, A, B> là LCS c a X and Y.

Cho chu i X = <x1, x2, …, xm>, ta nh ngh a ti n t th i c a
X, v i i = 0, 1, …, m, là Xi = <x1, x2, …, xi>.
nh lý 6.1
Cho X = <x1, x2, …, xm> và Y = <y1, y2, …, yn> là nh ng
chu i, và Z = <z1, z2, …, zk> là LCS c a X và Y.
1. N u xm = yn thì zk = xm = yn và Zk-1 là LCS c a Xm-1 và
Yn-1.
2. N u xm yn, thì zk xm hàm ý Z là LCS c a Xm-1 và Y.
3. N u xm yn, thì zk yn hàm ý Z là LCS c a X và Yn-1.
22


L i gi i

quy

ì m t LCS c a X và Y, ta có th c n tìm LCS c a X và
Yn-1 và LCS c a Xm-1 và Y. Nh ng m i trong hai bài toán
tìm Xm-1 và Yn-1.
con này có nh ng bài toán “cháu”
G i c[i, j] là chi u dài c a LCS c a hai chu i Xi và Yj. N u
i = 0 hay j = 0, thì LCS có chi u dài 0. Tính ch t ti u c u
trúc t i u c a bài toán LCS cho ra công th c quy sau:
0
c[i, j] = c[i-1, j-1]+1

n u i =0 hay j = 0
n u i, j > 0 và xi = yj

max(c[i, j-1],c[i-1,j]) n u i,j >0 và xi

yj

(5.3)

23


Tính chi u dài c a m t LCS
à
trình (5.3), ta có th vi t m t gi i thu t
quy
tìm chi u dài c a m t LCS c a hai chu i. Tuy
nhiên, chúng ta dùng qui ho ch ng
tính l i gi i
theo cách t d i lên.

Th t c LCS-LENGTH có hai chu i X = <x1,x2, …, xm>
và Y = <y1, y2, …, yn> là u vào.
Th t c l u các tr c[i, j] trong b ng c[0..m, 0..n]. Nó
c ng duy trì b ng b[1..m, 1..n]
n gi n hóa vi c t o
l i gi i t i u.

24

procedure
(X, Y)
begin
m: = length[X]; n: = length[Y];
for i: = 1 to m do c[i, 0]: = 0; for j: = 1 to n do c[0, j]: = 0;
for i: = 1 to m do
for j: = 1 to n do
if xi = yj then
begin c[i, j]: = c[i-1, j-1] + 1; b[i, j]: = “ ” end
else if c[i – 1, j] > = c[i, j-1] then
begin c[i, j]: = c[i – 1, j]; b[i, j]: = “↑” end
else
begin c[i, j]: = c[i, j-1]; b[i, j]: = “←” end
end;
Hình 5.2 sau ây trình bày ma tr n c c a thí d .
25