Bài giảng xác suất thống kê biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Chương 4

Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Khái niệm vectơ ngẫu nhiên
• Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ
tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn là các biến
ngẫu nhiên.
• Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều ký hiệu là (X,Y) với X
là biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y là biến ngẫu
nhiên thứ 2.
• Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc
nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là
liên tục hay rời rạc.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y)
• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu
nhiên.
• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.

• Trong phần này ta chỉ xét biến hai chiều rời rạc
(X,Y).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Hàm ppxs đồng thời
• Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)
• Hàm ppxs của biến hai chiều (X,Y): F(x,y)

F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y ) ,

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến

∀x, y ∈ R


Tính chất
i)

0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1

ii ) F ( x, y ) không giảm theo từng biến.
iii ) F ( −∞, y ) = F ( x, −∞ ) = 0
F ( +∞, +∞ ) = 1

iv) Với x1 < x2 ; y1 < y2 ta có:

P ( x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) =

F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 )

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Chú ý
F ( x; +∞ ) = P ( X < x, Y < +∞ ) = P ( X < x ) = FX ( x )
F ( +∞; y ) = P ( X < +∞; Y < y ) = P ( Y < y ) = FY ( y )

• Đây là các phân phối riêng của X và Y tương
ứng. Chúng được gọi là phân phối biên duyên
(phân phối lề) của biến hai chiều (X, Y).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Tính độc lập của các biến nn
• Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu
mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị
khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất
của biến ngẫu nhiên kia.
• Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biến
ngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi và

chỉ khi:
F x , y = F x .F y

(

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

)

X

( )

Nguyễn Văn Tiến

Y

( )


Bảng ppxs của (X,Y)
y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

p1m p1●

x2

p21

p22

…

p2j

…

p2m p2●

…

…

…

…

…

…

…

…

xi

pi1

pi2

…

pij

…

pim

pi●

…

…

…

…

…

…

…

…

xn

pn1

pn2

…

pnj

…

pnm pn●

∑

p●1

p●2

…

p●j

…

p●n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến

ym

∑

y1

1


Ppxs đồng thời của (X,Y)
• Trong đó:

i ) pij = P ( X = xi , Y = y j )

n

ii )

m

∑∑ p
i =1 j =1

ij

=1

m

n

j =1

i =1

iii ) pi• = ∑ pij ; p• j = ∑ pij

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Ppxs thành phần (phân phối lề)
• Bảng phân phối xác suất của X:

X
P

x1 x2 …
p1● p2● …

• Bảng phân phối xác suất của Y:
Y
P

y1 y2 …
p●1 p●2 …

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến

xn
pn●

ym
p●
m


Ví dụ 1
• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối
xác suất:

Y

X
1
2

1

2

3

0,10
0,15

0,25
0,05

0,10
0,35

• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.
• Tính F(2,3)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Hai bnn độc lập
• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc
lập nếu:

P ( X = xi , Y = y j ) = P ( X = xi ) P ( Y = y j )
hay

pij = pi• × p• j

• Dấu hiệu:
• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Ví dụ 2
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:

Y

X
6
7
8

1

2

3

0,10
0,05
0,10

0,05
0,15
0,20

0,15
0,10
0,10

• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Ppxs có điều kiện
• Từ công thức điều kiện ta có:

(

)

P X = xi Y = y j =

P ( Y = y j X = xi ) =

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

P ( X = xi , Y = y j
P( Y = yj

)

P ( X = xi , Y = y j
P ( X = xi

)

Nguyễn Văn Tiến

)=
)=

pij
p• j
pij
pi•

,

,

i = 1, n

j = 1, m

Bảng ppxs điều kiện 1
• PPXS của X với điều kiện Y=yj
X

(

P X = xi Y = y j

(

E X Y = yj

)

)

x1

x2

p1 j

p2 j

p• j

p• j

.....
.....

pnj
p• j

1
=
x1 p1 j + x2 p2 j + ... + xn pnj )
(
p• j

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

xn

Nguyễn Văn Tiến


Bảng ppxs điều kiện 2
• PPXS của Y với điều kiện X=xi
Y

y1

y2

P ( Y = y j X = xi

pi1
pi•

pi 2
pi•

)

.....

ym

.....

pim
pi•

1
E ( Y X = xi ) =
( y1 pi1 + y2 pi 2 + ... + ym pim )
pi•

• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Ví dụ 3
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên

(X,Y) cho bởi bảng sau:

Y

X
6
7
8

1

2

3

0,10
0,05
0,10

0,05
0,15
0,20

0,15
0,10
0,10

• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Ví dụ 4
• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:

Y
X

500
700
900
(400-600) (600-800) (800-1000)

30
50
80
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05
Nguyễn Văn Tiến

0
0,05
0,35


Ví dụ 4
• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì
chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?
A. 60,5

B. 48,3333

C. 51,6667

D. 76,25

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Các tham số đặc trưng của bnn
• Kỳ vọng
• Phương sai
• Hệ số tương quan
• Hiệp phương sai

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Kỳ vọng của X
• Bảng phân phối xác suất của X:
X
P

x1 x2 …
p1● p2● …

xn
pn●
n

E ( X ) = ∑ xi .P ( X = xi ) = ∑ xi p1• = µ X
i

E ( X ) = ∑∑ xi pij
i

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

i =1

j

Nguyễn Văn Tiến

Kỳ vọng của Y
• Bảng phân phối xác suất của Y:
Y
P

y1 y2 …
p●1 p●2 …

ym
p●
m
m

E ( Y ) = ∑ y j .P ( Y = y j ) = ∑ y j p• j = µY
j =1

j

E ( Y ) = ∑∑ y j pij
j

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

i

Nguyễn Văn Tiến


Kỳ vọng của hàm theo X,Y
• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=g(X,Y) là

biến mới.
• Ta có:

E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) P ( X = xi , Y = y j )
i

j

E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) pij
i

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

j

Nguyễn Văn Tiến


Ví dụ
• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
(X,Y)
pij

(0;0)
0,1

(0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
0,2
0,3 0,05 0,15 0,2

E ( Z ) = E ( X + Y ) = ( 0 + 0 ) .0,1 + ( 0 + 1) .0, 2

+ ( 0 + 2 ) .0,3 + ( 1 + 0 ) .0, 05 + ( 1 + 1) .0,15
+ ( 1 + 2 ) .0, 2 = 1, 75

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến


Phương sai của X, Y
• Được tính như đối với biến ngẫu nhiên một
chiều.
• Sử dụng bảng phân phối xác suất lề của X, Y.

V ( X ) = E( X −E( X )) = E( X
2

V ( X ) = E(Y − E(Y)) = E(Y
2

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến

2

2

) −( µ )

X

) −( µ )
Y

2

2