Bài giảng: Xác suất thống kê - Biến cố và Xác suất của biến cố pdf

Bài 1
Biến cố và Xác suất của biến cố

Phép thử và biến cố

Phép thử ngẫu nhiên
Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát
hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này
không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại
nhiều lần.


Phép thử và biến cố

Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp)
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là
không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu
Ω
.

Mỗi kết quả của phép thử,
ω
, gọi là biến cố sơ cấp.

Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố.

Phép thử và biến cố

Các ký hiệu

-
Ω
: không gian mẫu.
-
ω
: biến cố sơ cấp
- A, B, C, …: biến cố
- |A|: số phần tử của biến cố A

Phép thử và biến cố

Ví dụ
- Tung đồng xu
Ω
={S,N};
ω
1=“S”,
ω
2=“N”
- Tung con xúc sắc
Ω
={
ω
1,…,
ω
6}

ω
i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6
- Đo chiều cao (đv: cm)

( )
0, 250Ω = ⊂ ¡

Quan hệ giữa các biến cố

Tổng 2 biến cố
Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu
Ω
, thì biến cố tổng của A và
B, ký hiệu A+B (hay A
∪
B), là tập chứa những kết quả trong
Ω
thuộc về A
hoặc B.
A B
A + B
Ω

Quan hệ giữa các biến cố

Tích của hai biến cố
Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu
Ω
, thì biến cố tích của A và
B, ký hiệu AB (hay A
∩
B), là tập chứa những kết quả trong
Ω
thuộc về A và

B.
A BAB
Ω

Quan hệ giữa các biến cố

Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=
∅
.
A
B
Ω
AB= ∅

Quan hệ giữa các biến cố

Biến cố đối lập
Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố
A, ký hiệu .

Biến cố chắc chắn -
Ω
.

Biến cố không thể -
∅
.
A
A

Ω
A

Quan hệ giữa các biến cố

Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Không gian mẫu:
Ω
=[1,2,3,4,5,6]
Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”
B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4”
A = [2,4,6]; B=[4,5,6]

Quan hệ giữa các biến cố
Ω = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6]
5] 3, [1, A =
AB [4, 6]=
A B [2, 4, 5, 6]+ =
A A [1, 2, 3, 4, 5, 6] + = = Ω
Biến cố đối lập:
Biến cố tích:
Biến cố tổng:
AB [5]=
3] 2, [1, B =

Xác suất của biến cố

Xác suất
Khả năng một biến cố
sẽ xảy ra.

0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A
Không thể
xảy ra
Chắc
chắn
xảy ra
.5
1
0

Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu
Ω
. Giả sử tất cả các kết quả trong
Ω
đều đồng khả năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A
( )
A
P A = =
Ω Ω
Số các khả năng thỏa điều kiện của A
Tổng số khả năng trong không gian mẫu

Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

Ví dụ
1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, tính xác suất xuất hiện mặt lẻ.
2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80 sinh viên nữ. Chọn ngẫu

nhiên 1 sinh viên, tính xác suất chọn được sinh viên nữ.
2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu.
Tính xác suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu xanh.

Xác suất của biến cố - Định nghĩa theo
quan điểm cổ điển

Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm sau:
- Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy ra.
- Không gian mẫu
Ω
phải hữu hạn.

Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

Định nghĩa theo quan điểm thống kê
Xét phép thử ngẫu nhiên có khơng gian mẫu
Ω
và
A
⊂

Ω
. Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là
tần số suất hiện biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác suất xảy ra A là
Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.
( )
( ) lim
n
n A

P A
n
→∞
= =
Số cả khả năng trong tổng thể thỏa điều kiện của A
Tổng số khả năng trong tổng thể

Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

Ví dụ.
Tung đồng xu.
Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2
Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2
Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng.
Người thí nghiệm Số lần tung Số lần
sấp
Tần suất
Buffon 4040 2048 0.5080
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Định nghĩa theo quan điểm hình học
Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn
thành một miền hình học
Ω
có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Biến cố A
⊂

Ω

được biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó, xác suất xảy ra A
(
(
)
)
)
(
mes A
P A
mes
=
Ω
=
Ω
Ñoä ño mieàn A
Ñoä ño mieàn

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)
Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau trong một ngày đêm. Biết rằng
thời gian tàu thứ nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của tàu thứ hai là
6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.

Định nghĩa theo quan điểm Hình học

Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)
x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến.

y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến.
A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến”
Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ
y – x
≤
4
Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ
x – y
≤
6
Vậy A xảy ra khi -4
≤
x – y
≤
6, thể hiện ở miền gạch chéo
Vậy
( )
2 2 2
2
1
24 18 20
2
( ) 0.3715
24
A
S
P A
S
Ω
− +

= = =

Tính chất cơ bản của xác suất
1.
∀
A
⊂

Ω
:
2. Xét A
⊂

Ω
,
ω
i là các biến cố sơ cấp
3.
4.
P(A)1)AP( −=
( )
( )
i
A
P A P
ω
=
∑
0 ( ) 1P A≤ ≤
( ) 1, ( ) 0P PΩ = ∅ =

Công thức cộng xác suất

Ví dụ.
Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá
♥ ♣ ♦ ♠
Đặt:
A = “Rút được con át”
B = “Rút được lá đỏ”
+ = + −P(A B) P(A) P(B) P(AB)

Công thức cộng xác suất
P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”)
= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52
Phần dư
khi giao 2
biến cố
Đen
Màu
Loại
Đỏ
Tổng
Át
2 2 4
Khác
24 24 48
Tổng
26 26 52

Công thức xác suất điều kiện


Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một biến cố, cho trước một biến cố
khác đã xảy ra
=
P(AB)
P(A|B)
P(B)
=
P(AB)
P(B|A)
P(A)
Xác suất xảy ra A với
điều kiện B đã xảy ra
Xác suất xảy ra B với
điều kiện A đã xảy ra

Công thức xác suất điều kiện

Ví dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố,
thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và
40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều
hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe
ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa,
hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao
nhiêu?
Gọi:
AC = “Chọn được xe có điều hòa”
CD = “Chọn được xe có dàn CD”
Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?