Bài giảng xác suất thống kê biến ngẫu nhiên

CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN

1


Khái niệm biến ngẫu nhiên

•

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép
thử ngẫu nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.

•

Kí hiệu: X, Y, Z…

2


Ví dụ 1

•
•
•
•

Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
Độ bền của một sản phẩm
Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về
Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này

3


Ví dụ 1

•

Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:

– Đồng xu ngửa : “N”
– Đồng xu sấp: “S”
Đặt

0
X =nhiên.
Khi đó X là một biến ngẫu

1 cố.
Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các
biến

neáu Saáp
neáu Ngöûa

4


Ví dụ 2

•

Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là
số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.

•
•

Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
Ta có:

Y ∈ { 0;1; 2}

•

“Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

5


Định nghĩa (tham khảo)
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số
thực

X :Ω → R
Chú ý:

-

X là bnn

ω a X ( ω)

{X=x} hoặc {X
6


Phân loại bnn
Bnn X

Rời rạc

Liên tục

Giá trị X liệt kê được thành

Giá trị X lấp đầy một khoảng hay một

một dãy số hữu hạn hoặc vô

số khoảng của trục số, hoặc cả trục

hạn

số

7

Luật phân phối xác suất

•
•

Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất
tương ứng.

– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì
– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một khoảng bất kì

Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs, hàm ppxs, hàm mật độ

8


Luật phân phối_Công thức
Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì
thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p.
Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng

9


Luật phân phối_Công thức
X: số viên đạn được sử dụng
X có tập giá trị là N* hay X= 1,2,3….
Ta có:

P ( X = 1) = p

P ( X = 2) = ( 1 − p ) p
P ( X = 3) = ( 1 − p ) p
2

....................................

10


Luật phân phối_Công thức

•

Qui luật ppxs của X là:

P ( X = n) = ( 1− p)

•

X gọi là có phân phối hình học

•

Tính xác suất sau:

n −1

p

n = 1, 2,3,...

+∞

∑ P ( X = n ) = P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + ...
n =1

11


Bảng ppxs

•

Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

12


Bảng ppxs
X là số sản phẩm loại A lấy ra. Ta có: X=0,1,2

C42
2
P ( X = 0) = 2 =
C10 15

P ( X = 1) =

C41C61
C102

C62

5
P ( X = 2) = 2 =
C10 15
Bảng ppxs:
X

0

1

2

P

2/15

8/15

5/15

13

8
=
15

Luật ppxs_Bảng

•

•
•
•

Bảng phân phối xác suất của X.
X

x1

….

x2

….

xn

P

p1

….

p2

….

pn

xi : giá trị có thể có của bnn X
pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).

n

Chú ý:

∑p
i =1

i

=1
14


Luật ppxs_Bảng
Ví dụ 2. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản
phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1
sản phẩm. Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
Giải:
Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
⇒ Y=0,1,2,3
Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1.
Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2.

15


Luật ppxs_Bảng

C32 4
2
P ( Y = 0 ) = P ( A0 B0 ) = P ( A0 ) P ( B0 ) = 2 . =
C7 10 35
P ( Y = 1) = P ( A1B0 + A0 B1 ) =

CC
1
4

C72

1
3

4 C 6 11
. +
. =
10 C 10 35
2
3
2
7

C42 4 C41C31 6 16
P ( Y = 2 ) = P ( A2 B0 + A1B1 ) = 2 . + 2 . =
C7 10 C7 10 35

C

2
4
2
7

6
6
2 11 16
P ( Y = 3) = P ( A2 B1 ) =
. =
= 1−
−
−
35 35 35
C 10 35
16


Luật ppxs_Bảng

•

Bảng phân phối xác suất:

Y

0

1

2

3

P

2/35

11/35

16/35

6/35

17


Luật ppxs_ Hàm phân phối

•

Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:

F ( x) = P ( X < x )

•

Hay

F (t ) = P ( X < t )
18


Luật ppxs_ Hàm phân phối

•

Cho bnn X có bảng pp

x

0

1

•
•

2/35
Tìm hàm ppxs f(x)
của bnn X và
vẽ đồ thị 11/35

•
•

F(x) có liên tục tại x với x∈{0,1,2,3}

2

3

16/35

6/35

Tính

Tính P(1
lim+ F ( x ) , lim− F ( x ) , lim F ( x ) , lim F ( x )

x→2

x→2

x →+∞

x →−∞

19


Luật ppxs_ Hàm phân phối

•

•

Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp

x1 < x2 < x3 < ....
Khi đó:

và

P ( X = xi ) = pi

, x ≤ x1
0
p
,
x
<
x
≤
x
1
1
2

F ( x ) =  p1 + p2
, x2 < x ≤ x3
...............................


 p1 + ... + pk −1 , xk −1 < x ≤ xk
20


Luật ppxs_ Hàm phân phối

•
•
•

Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.
Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x.
Xác suất X thuộc [a,b)

P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a )

21


Luật ppxs_ Hàm phân phối

22


Hàm mật độ xác suất

•
•

Cho X là bnn liên tục

Người ta chứng minh được rằng
P(X=a)=0 với mọi giá trị của a

Để mô tả bnn liên tục ta dùng hàm mật độ
Hàm f(x) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X nào đó nếu thỏa mãn 2 điều kiện
sau:

i)

f ( x) ≥ 0

, ∀x ∈ R

+∞

ii )

∫ f ( x ) dx = 1

−∞

23


Hàm mật độ xác suất

•

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là đạo hàm cấp 1 của hàm
phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó, ký hiệu f(x)

f ( x) = F ′( x)

24


Tính chất

i)

f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R
+∞

ii )

∫ f ( x ) dx = 1

−∞

b

•

iii ) P ( a < X < b ) = ∫ f ( x ) dx

Một hàm số bất kì thỏa mãn 2 tính chất đầu tiên i) ii) sẽ là hàm mật độ của một
biến ngẫu nhiên liên tục nào đấy.
a

25