tọa độ phẳng ôn thi đại học cực hay và đầy đủ

PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. HỆ TOẠ ĐỘ
1. Hệ trục toạ độ - toạ độ vectơ – toạ độ điểm
 
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j . O
là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.




 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u  ( x; y )  u  x.i  y. j .



 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M ( x; y )  OM  x.i  y. j .





 Tính chất: Cho a  ( x; y ), b  ( x ; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) :

 x  x
 
 

+ a b 
+ a  b  ( x  x ; y  y )
+ ka  ( kx; ky )

 y  y

 
+ b cùng phương với a  0  k  R: x  kx vaø y  ky .



+ AB  ( xB  xA ; yB  y A ) .

x y

(nếu x  0, y  0).
x
y

x A  xB
y  yB
; yI  A
.
2
2
x x x
y  y B  yC
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG  A B C ; yG  A
.
3
3
x  kxB
y  kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM  A

.
; yM  A
1 k
1 k


( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB ).
2. Góc giữa hai vectơ
   


  
a
b
Cho a , b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a , OB  b .
 A
a
 
Khi đó  a , b   
AOB với 0 0  
AOB  1800.
O

Chú ý:
b B

 

+  a , b  = 900  a  b
 

 
+  a , b  = 00  a , b cùng hướng
 
 
+  a , b  = 180 0  a , b ngược hướng
 
 
+  a, b   b , a 
3. Tích vô hướng của hai vectơ
  
 
 Định nghĩa:
a.b  a . b .cos  a , b  .
 
2
Đặc biệt:
a .a  a 2  a .
  
 Tính chất:
Với a , b , c bất kì và kR, ta có:
 
    
+ a .b  b .a ;
a  b  c   a .b  a .c ;





 

 ka  .b  k  a .b   a .  kb  ;
a 2  0; a 2  0  a  0 .

 
  2 
 
 a  b 2  a 2  2a.b  b 2 ;
+  a  b   a 2  2a .b  b 2 ;


   
a 2  b 2   a  b  a  b  .
 
 


+ a .b > 0   a , b  nhọn
+ a .b < 0   a , b  tù
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI 

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

1



 
a .b = 0   a , b  vuoâng.
4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng




 Cho a = (a1, a2), b = (b 1, b2). Khi đó:
a.b  a1b1  a2b2 .

 
 
a1b1  a2b2
 a  a12  a22 ;
cos( a , b ) 
;
a  b  a1b1  a2b2  0
a12  a22 . b12  b22
 Cho A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) . Khi đó:

AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 .

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRÒN
A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 BC 2  AB 2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)
 AB 2  BC.BH ,
 AH 2  BH .CH ,

AC 2  BC.CH
1
1
1



2
2
AH
AB
AC 2

A

B

H

C

 AH .BC  AB.AC
 b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C

B. TRONG ĐƯỜNG TRÒN

T
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
B
 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
A
   
R
PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO 2  R 2
O
M
 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.

C
PM/(O) = MT 2  MO 2  R 2
D
C. TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ
Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A ;
b 2  c 2  a 2  2ca.cos B ;
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
2. Định lí sin
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến
2(b 2  c2 )  a 2
2(a 2  c 2 )  b 2
2(a 2  b 2 )  c 2
;
;
ma2 
mb2 

mc2 
4
4
4
4. Diện tích tam giác
1
1
1
1
1
1
S = aha  bhb  chc
= bc sin A  ca sin B  ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc
=
= pr = p( p  a)( p  b )( p  c ) (công thức Hê–rông)
4R
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

2

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
 
Vectơ u  0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với .


Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
 
Vectơ n  0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với .


Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn (k  0) cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.


 
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của  thì u  n .
3. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

 x  x0  tu1
(1)
 y  y  tu
0
2

 x  x0  tu1

Nhận xét: – M(x; y)     t  R: 
.
 y  y0  tu2
Phương trình tham số của :

( t là tham số).

– Gọi k là hệ số góc của  thì:
+ k = tan, với  = 
xAv ,   900 .
u
+k= 2 ,
với u1  0 .
u1

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .
x  x0 y  y0
Phương trình chính tắc của :
(2) (u1  0, u2  0).

u1
u2
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax  by  c  0 với a 2  b 2  0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có:




VTPT là n  (a; b) và VTCP u  (b; a) hoặc u  (b; a) .

– Nếu  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  ( a; b) thì phương trình của  là:
a ( x  x0 )  b( y  y0 )  0
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phương trình đường thẳng 
c=0
ax  by  0
a=0
by  c  0
b=0
ax  c  0

Tính chất đường thẳng 
 đi qua gốc toạ độ O
 // Ox hoặc   Ox
 // Oy hoặc   Oy

  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :

x y
  1.
a b

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

3


  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y  y0  k ( x  x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
a x  b1 y  c1  0
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:  1
(1)
a2 x  b2 y  c2  0
a
b
 1 cắt 2
 hệ (1) có một nghiệm
 1  1
(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2
a
b
c
 1 // 2
 hệ (1) vô nghiệm
 1  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2
a
b
c
 1  2
 hệ (1) có vô số nghiệm

 1  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2
7. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 (có VTPT n1  ( a1 ; b1 ) )

và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ).
 
(n , n )
khi ( n1 , n2 )  900
(
1, 2 )   1 0 2  
 
0
180  ( n1 , n2 ) khi ( n1 , n2 )  90
 
n .n
a1b1  a2b2
 
cos(
1 , 2 )  cos(
n1 , n2 )   1 2 
n1 . n2
a 2  b2 . a 2  b2
1

1

2

2

 1  2  a1a2  b1b2  0 .
 Cho 1: y  k1 x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
Chú ý:

d (M 0 , ) 

ax0  by0  c

a 2  b2
 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   ( axM  byM  c)(axN  byN  c )  0 .

– M, N nằm khác phía đối với   ( axM  byM  c)(ax N  by N  c )  0 .
 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1 x  b1 y  c1
a x  b2 y  c2
 2
a12  b12
a22  b22
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2 .
Nhận xét: Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , với a 2  b 2  c  0 , là phương trình đường

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

4


tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2  b 2  c .
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
 tiếp xúc với (C)  d ( I ,  )  R
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).
M  ( E )  MF1  MF2  2a (a > c)
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.
2. Phương trình chính tắc của elip
x2 y2
 2  1 ( a  b  0, b 2  a 2  c 2 )
2
a
b
 Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( c; 0), F2 (c;0) .
 Với M(x; y)  (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
c
c
MF1  a  x, MF2  a  x
a

a
3. Hình dạng của elip
 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 Toạ độ các đỉnh:
A1 (  a; 0), A2 ( a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b)
 Độ dài các trục:
trục lớn: A1 A2  2 a , trục nhỏ: B1B2  2b
c
 Tâm sai của (E):
(0 < e < 1)
e
a
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x  a, y  b (ngoại tiếp elip).
4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
a
 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0
e
MF1
MF2
 Với M  (E) ta có:

e
(e < 1)
d ( M , 1 ) d ( M , 2 )
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).

M  ( H )  MF1  MF2  2a

(a < c)

F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.
2. Phương trình chính tắc của hypebol
x2 y 2
 2  1 ( a, b  0, b 2  c 2  a 2 )
2
a
b
 Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( c; 0), F2 (c;0) .
 Với M(x; y)  (H), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.

MF1  a 

c
c
x , MF2  a  x
a
a

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

5


3. Hình dạng của hypebol
 (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 Toạ độ các đỉnh:
A1 (  a;0), A2 (a;0)
 Độ dài các trục:

trục thực: 2a, trục ảo: 2b
c
 Tâm sai của (H):
(e > 1)
e
a
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y  b .
b
 Phương trình các đường tiệm cận:
y   x.
a
4. Đường chuẩn của hypebol
a
 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0
e
MF1
MF2
 Với M  (H) ta có:

e
(e < 1)
d ( M , 1 ) d ( M , 2 )
VII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL
1. Định nghĩa
Cho điểm F và đường thẳng  không đi qua F.
M  ( P)  MF  d (M , )
F: tiêu điểm,
: đường chuẩn,
p  d ( F , ) : tham số tiêu.
y 2  2 px

2. Phương trình chính tắc của parabol
 Toạ độ tiêu điểm:

(p > 0)

p 
F  ;0.
2 

 Phương trình đường chuẩn:

: x 

p
 0.
2

 Với M(x; y)  (P), bán kính qua tiêu điểm của M là MF  x 

p
.
2

3. Hình dạng của parabol
 (P) nằm về phía bên phải của trục tung.
 (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
 Toạ độ đỉnh:
O(0;0)
 Tâm sai:

e = 1.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

6


PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
A. Một số bài toán mở đầu

Bài 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u :



a) M(–2; 3) , u  (5; 1)
b) M(–1; 2), u  ( 2;3)
c) M(3; –1), u  (2; 5)

Bài 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n :



a) M(–2; 3) , n  (5; 1)
b) M(–1; 2), n  (2;3)
c) M(3; –1), n  (2; 5)
Bài 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hsg k:
a) M(–3; 1), k = –2
b) M(–3; 4), k = 3
c) M(5; 2), k = 1
Bài 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:

a) A(–2; 4), B(1; 0)
b) A(5; 3), B(–2; –7)
c) A(3; 5), B(3; 8)
Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường
thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0
b) M(–1; 2), d  Ox
c) M(4; 3), d  Oy
x 1 y  4
x  1  2t
d) M(2; –3), d:
e) M(0; 3), d:

y  3  4t
3
2
Bài 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường
thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0
b) M(–1; 2), d  Ox
c) M(4; 3), d  Oy
x 1 y  4
x  1  2t
d) M(2; –3), d:
e) M(0; 3), d:

y  3  4t
3
2
Bài 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam

giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)
b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)
d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Bài 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao
của tam giác, với: AB : 2 x  3 y  1  0, BC : x  3 y  7  0, CA : 5 x  2 y  1  0
Bài 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
3 5
5 7
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1)
b) M  ;   , N  ;   , P(2; 4)
 2 2
 2 2
Bài 10. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d
với: a) M(2; 1), d : 2 x  y  3  0 b) M(3; – 1), d : 2 x  5 y  30  0
Bài 11. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với:
a) d : 2 x  y  1  0,  : 3 x  4 y  2  0
b) d : x  2 y  4  0,  : 2 x  y  2  0
Bài 12. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a) d : 2 x  y  1  0, I (2;1)
b) d : x  2 y  4  0, I (3; 0)
Bài 13. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
a) M (4; 5), d : 3 x  4 y  8  0
b) M (3;5), d : x  y  1  0
x  2 y 1
x  2t
c) M (4; 5), d :
d) M (3;5), d :


y  2  3t
2
3







Bài 14.

a) Cho đường thẳng : 2 x  y  3  0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với .
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2 x  3 y  5  0, 3x  2 y  7  0 và đỉnh
A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3 x  4 y  6  0 và
d 2 : 6 x  8 y  13  0 .
Bài 15. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

7


a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3)
b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
Bài 16. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng k, với:
x  3t
a)  : 2 x  y  3  0, k  5

b)  :
, k 3
y  2  4t
c)  : y  3  0, k  5
d)  : x  2  0, k  4
Bài 17. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng
bằng k, với:
a)  : 3 x  4 y  12  0, A(2;3), k  2
b)  : x  4 y  2  0, A(2;3), k  3
c)  : y  3  0, A(3; 5), k  5
d)  : x  2  0, A(3;1), k  4
Bài 18. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3
b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5
c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5
d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.
Bài 19. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) x  2 y  1  0, x  3 y  11  0
b) 2 x  y  5  0, 3x  y  6  0
c) 3x  7 y  26  0, 2 x  5 y  13  0
d) 3x  4 y  5  0, 4 x  3 y  11  0
Bài 20. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với:
a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)
b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3)
c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 2 x  3 y  9  0, CA : 3 x  2 y  6  0
d) AB : 4 x  3 y  12  0, BC : 3 x  4 y  24  0, CA : 3 x  4 y  6  0
Bài 21. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
a) d : 2mx  ( m  3) y  4m  1  0,  : ( m  1) x  ( m  2) y  m  2  0,   450 .



b) d : ( m  3) x  (m  1) y  m  3  0,  : (m  2) x  (m  1) y  m  1  0,   900 .
Bài 22. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với:
a) A(6; 2),  : 3 x  2 y  6  0,   450
b) A( 2;0),  : x  3 y  3  0,   450
c) A(2;5),  : x  3 y  6  0,   600
d) A(1;3),  : x  y  0,   300
Bài 23. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3x  y  5  0 .
a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông.
b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông.
Bài 24. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính
của đường tròn đó:
a) x 2  y 2  2 x  2 y  2  0
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
c) x 2  y 2  2 x  8 y  1  0

d) x 2  y 2  6 x  5  0

e) 16 x 2  16 y 2  16 x  8 y  11

f) 7 x 2  7 y 2  4 x  6 y  1  0

g) 2 x 2  2 y 2  4 x  12 y  11  0
h) 4 x 2  4 y 2  4 x  5 y  10  0
Bài 25. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn:
a) x 2  y 2  4mx  2my  2m  3  0
b) x 2  y 2  2(m  1) x  2my  3m 2  2  0
Bài 26. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)
a) I(2; 4), A(–1; 3)
b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)

Bài 27. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2)
a) I (3; 4),  : 4 x  3 y  15  0
b) I (2;3),  : 5 x  12 y  7  0
c) I (3; 2),   Ox
d) I (3; 5),   Oy
Bài 28. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3)
a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1)
c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Bài 29. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với:

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

8


(dạng 4)
a) A(2;3), B ( 1;1),  : x  3 y  11  0
b) A(0; 4), B (2;6),  : x  2 y  5  0
Bài 30. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 5)
a) A(1; 2), B(3; 4),  : 3x  y  3  0
b) A(6;3), B(3; 2),  : x  2 y  2  0
c) A( 1; 2), B (2;1),  : 2 x  y  2  0
d) A(2; 0), B (4; 2),   Oy
Bài 31. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với:
(dạng 6)
a) A(2;6),  : 3 x  4 y  15  0, B(1; 3)
b) A(2;1),  : 3 x  2 y  6  0, B(4;3)
c) A(6; 2),   Ox, B (6;0)
d) A(4; 3),  : x  2 y  3  0, B (3; 0)
Bài 32. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với:

(dạng 7)
a) A(2;3), 1 : 3 x  4 y  1  0, 2 : 4 x  3 y  7  0
b) A(1;3), 1 : x  2 y  2  0, 2 : 2 x  y  9  0
c) A  O(0;0), 1 : x  y  4  0, 2 : x  y  4  0
d) A(3; 6), 1  Ox, 2  Oy
Bài 33. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường
thẳng d, với: (dạng 8)
a) 1 : 3 x  2 y  3  0, 2 : 2 x  3 y  15  0, d : x  y  0
b) 1 : x  y  4  0, 2 : 7 x  y  4  0, d : 4 x  3 y  2  0
Bài 34. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9)
a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1)
c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1)
d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0)
Bài 35. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10)
a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0)
b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 3 x  2 y  6  0, CA : 2 x  3 y  9  0
Bài 36. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d.
i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
a) (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0, d : 2 x  y  3  0
b) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  0, d : 2 x  3 y  1  0
Bài 37. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.
i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.
iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
a) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, A( 7; 7), d : 3 x  4 y  6  0

b) (C ) : x 2  y 2  4 x  8 y  10  0, A(2; 2), d : x  2 y  6  0

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

9


B. 7 bài toán cơ bản
1. BÀI TOÁN 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:
a) x  y  4  0 và 2x  y  5  0

 x  1  2t
 x  2  3t
b) 
và 
 y  3t
 y  1  t

 x  1 t
x 5 y  4
c) x  y  3  0 và 
d) 2 x  3 y  7  0 và

3
5
 y  7  2t
2. BÀI TOÁN 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Ví dụ: Tìm điểm M ' đối xứng với điểm M 1; 2  qua đường thẳng  : x  3 y  5  0 .

3. BÀI TOÁN 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía của hai điểm với một đường thẳng.
Ví dụ: Cho đường thẳng AC . Xét vị trí cùng phía, khác phía của các cặp điểm sau với đường thẳng
 .a) A 1; 2  và B  1; 3 
b) C  2;3  và D  2; 1
4. BÀI TOÁN 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng 1 : 3 x  4 y  1  0 và C . Viết phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường 1 và 2 .
5. BÀI TOÁN 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam
giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A  3; 0  , B 1;1 , C  1;8  . Viết phương trình đường phân giác trong,
phân giác ngoài của góc A .
6. BÀI TOÁN 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A 1;5  , B  4;5  , C  4; 1 . Xác định tọa độ chân đường phân giác trong
và phân giác ngoài của góc A .

7. BÀI TOÁN 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp
tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A  2; 6  , B  3; 4  , C  5; 0  . Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

10


PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY
Bài toán 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng
cho trước (IM=R không đổi)
VÍ DỤ GỐC:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I  5; 2  và đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MI  5 .

 1 17 

Cách 1: M  d  M  t  ; IM  5  t  M . ĐS: M 1;5  hoặc M  ;  .
5 5 
Cách 2: MI  5 → M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5  M là giao điểm của đường
thẳng và đường tròn → M.
1. CÁCH RA ĐỀ 1: Cho biết M thuộc đường thẳng  và điểm I. Độ dài đoạn IM đề không
cho. Cần dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM.
Ví dụ 1 (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0
và đường thẳng d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M , có
bán kính gấp đôi bán kính đường tròn  C  , tiếp xúc ngoài với đường tròn  C  .
HD: Điểm M thuộc đường thẳng d  M  t  . Từ (C)  tâm I và bán
kính R. ta có IM=3R  M. ĐS: M 1; 4  hoặc M  2;1 .
Ví dụ 2 (A – 2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng
 : x  y  2  0 và đường tròn  C  : x2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của  C  , M là điểm thuộc
 . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M ,

biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Hướng dẫn: Từ (C)  tâm I và bán kính R. Từ tứ
giác MAIB có diện tích bằng 10  diện tích tam giác
MBI. Có BI  MB, mà M  t   M. ĐS: M  2; 4 
hoặc M  3;1 .
Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

11


1

2




Ví dụ 3 (B – 2002): Cho hình chữ nhật BC có tâm I  ; 0  , phương trình đường thẳng AB là
x  2 y  2  0 và AB  2 AD . Tìm tọa độ các điểm A, B, C , D biết rằng A có hoành độ âm.

Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB 
B  t  và I là trung điểm BD  D  t  .

Ta có AD=2d(I,AB)  t.
Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH. Tính được IA=IB, từ đó  A, B là giao điểm của đường thẳng AB
và đường tròn tâm I, bán kính R=IA. ĐS: A  2;0  , B  2; 2  , C 3;0  , D  1; 2  .
Ví dụ 4 (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A  1; 4  và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C ,

biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC  BC  AB  AC . Ta có B, C là giao điểm của
3

5

 11 3 

đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB. ĐS: B  ;   ,C  ;  hoặc
 2 2  2 2
 3 5   11 3 
C  ;  , B ;  .
 2 2  2 2

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng
có phương trình x  y  3  0 , điểm M  1; 2  thuộc đường thẳng AB , điểm N  2; 2  thuộc
đường thẳng AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương.
Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm
“có lợi” để khai thác nhất là B (BBD và x B >0) Nếu tìm
được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B  Ta đi tính
MH=d(M,BD) để tìm B (vì  MHB vuông cân tại H). Từ đó
A(2;2); B(1;2); C(1;1), D(2;1)
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , có
AB  AD  CD , điểm B 1; 2  , đường thẳng BD có phương trình y  2 . Biết đường thẳng

 : 7 x  y  25  0 cắt các đoạn thẳng AD , CD lần lượt tại hai điểm M , N sao cho BM vuông góc

với BC và tia BN là tia phân giác trong của 
MBC . Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ
dương.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

12


Phân Tích: Với dữ kiện bài toán, ta thấy DBD
nên nếu tính được DB thì ta sẽ tìm được B. Vì  đã
biết pt nên ta nghĩ đến tính d(B,) và tìm mối liên
kết giữa đại lượng này với BD.
Với giả thiết còn lại và bằng phương pháp hình học thuần túy ta có thể chứng minh
BH=d(B,CD)=d(B,). Từ đó ta tính được độ dài BD.
Ví dụ 7. (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M

 11 1 

là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử M  ;  và
 2 2
AN có phương trình 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A .

Phân Tích: A  AN. Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được AM thì
sẽ tìm được A.Ta gắn AM vào AMH vuông tại H

với

AH=d(M,AN). Ta chỉ cần tìm thêm một yếu tố về cạnh hoặc góc của

AMH là tính được AM. Vì các cạnh và góc A của AMH có liên
quan đến cạnh và góc hình vuông nên ta tính cot A  tan 
DAN 
BAM





hoặc cosA(bằng đlí

côsin)
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 3 x  y  5  0 , 2 : x  2 y  3  0
và đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  10 y  9  0 . Gọi M là một điểm thuộc đường tròn  C  và  N 
là điểm thuộc đường thẳng 1 sao cho M và N đối xứng với nhau qua 2 . Tìm tọa độ điểm
N.

Phân Tích: Điểm N1 đã biết pt, ta cần tìm thêm một yếu
tố liên quan đến N. Để ý đến các điểm đã biết trong giả
thiết, đường tròn (C) có tâm I(3;-5), nếu biết NI thì sẽ tìm
được N. Song ở đây tìm NI phức tạp, vì vậy ta sẽ tìm một
điểm khác mà việc tính khoảng cách từ đó đến N đơn giản
hơn. Trong bài toán có chứa yếu tố đối xứng (M,N đối xứng
qua 2 ), điều đó gợi cho ta nghĩ đến điểm I’ đối xứng với I qua 2. và điểm này hoàn toàn xác
định, từ đó ta có NI’=MI=R=5.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

13




Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A 1;  3



có góc


ABC  300 , đường thẳng  : x  y  2  0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC . Tìm tọa độ các điểm B và x  y  2  0 , biết B có
hoành độ là một số hữu tỉ.
Phân Tích: Ở đây, B thuộc  và A đã biết tọa độ. Do đó, nếu
tính được độ dài AB ta sẽ tìm được B. Khi đã tìm được B ta sẽ
viết được phương trình BC và AC  C

Ví dụ 10. Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  18  0 . Biết
AC  2 BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng  : 2 x  y  5  0 . Viết phương

trình cạnh A, B .
Phân Tích: Ở đây, B thuộc  và I là tâm đường tròn (C)đã biết
tọa độ,do đó nếu tính được độ dài BI ta sẽ tìm được B. Khi đã
tìm được B, ta chuyển về bài toán viết phương trình đường
thẳng AB đi qua điểm B và cách I một khoảng bằng R
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có E , F lần lượt thuộc các
đoạn AB , AD sao cho EB  2 EA, FA  3FD, F  2;1 và tam giác CEF vuông tại F . Biết rằng
đường thẳng x  3 y  9  0 đi qua hai điểm C , E . Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương.
Phân Tích: C  CE đã biết phương trình và F đã biết
tọa độ.điều đó gợi ý cho ta đi tính độ dài CF. Với dữ
kiện EB=2EA, FA=3FD và CEF vuông tại F ta sẽ tìm
được mối liên hệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật. Song
ta thiếu một dữ kiện về định lượng. Ta đi tính d(F,CE) là yếu tố ẩn của đề. Thông số này giúp ta
tính được độ dài CF.
Ví dụ 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn
CD và 
BCD  450 . Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3 x  y  0 và x  2 y  0 .

Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B có tung độ
dương.
Phân Tích:B  BD và yB>0 giúp ta nghĩ đến tìm B trước. D coi như đã biết, ta sẽ tính độ dài
BD. Ở đây cho SABCD=15(*), mà SABCD phụ thuộc và AB, AD và CD nên (*) chứa tới 3 ẩn. Ta
Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

14

cần giảm số ẩn trong (*), muốn thế phải tìm mối liên hệ giữa
AB, AD và CD. Vậy ta phải khai thác dữ kiện về số liệu cụ thể
của bài toán. Dữ kiện cho 
BCD  450 và AD, BD đã biết
phương trình nên ta nghĩ đến tính góc giữa AD và BD từ đó 
các tam giác ABD và BCD lần lượt vuông cân  biểu diễn AD,BD theo AB  BD. Khi tìm
được B  pt BC do BC  BD.
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông
góc với nhau và AD  3BC . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y  6  0 và tam giác ABD
có trực tâm là H  3; 2  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D .
Phân Tích: Với yêu cầu của bài toán, ban đầu ta sẽ tự hỏi “ C và D ta sẽ tìm điểm nào trước?.
DBD, CAC có thể viết được phương trình!. Khi đó
I=BD∩AC xác định. Ta cần tìm thêm dữ kiên “có lợi” cho C
và D”. Do ABCD là hình thang cân nên IB=IC 

BCI  450  BCH là tam giác cân tại B  I là trung điểm của HC. Nghĩa là ta sẽ tìm được C

trước. Lúc này các dữ kiện chưa được khai thác là BC//AD và AD=3BC, từ đây ta nghĩ đến
định lí talet và suy ra được DI=3BI=3IH. Khi đó ta sẽ tìm được D
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , điểm B 1;1 . Trên tia
BC lấy điểm M sao cho BM .BC  75 . Phương trình đường thẳng AC : 4 x  3 y  32  0 . Tìm tọa

độ điểm x  y  5  0 biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD bằng

5 5
.
2

Phân Tích:Ta có A là hình chiếu của B lên AC nên coi như
đã biết. Dữ kiện BM.BC=75gợi cho ta nghĩ đến tam giác

đồng dạng và tứ giác nội tiếp. Trong bài toán lại có yếu tố
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC, để khai thác
dữ kiện này ta dựng thêm điểm D sao cho ACMD nội tiếp,
việc này giúp ta khai thác được tất cả các thông số trên. Sau khi dựng D ta sẽ phân tích các số
liệu của bài toán để tính độ dài AC từ đó tìm được C.
2

2

Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T  :  x  1   y  2   5 và đường
thẳng  : x  y  2  0 . Từ điểm A thuộc  kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với T  tại B
và C . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 8.
Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

15


Phân Tích: Biết I(1;2) cố định và A ta sẽ đi tính độ
dài AI. Dữ kiện SABC=8 cho phép ta làm điều này. Vấn đề
là làm sao biểu diễn SABC qua IA

2. CÁCH RA ĐỀ 2: Cho biết M cách I một khoảng không đổi. Cần dựa vào dữ kiện bài
toán để viết phương trình đường chứa M.
Ví dụ 1 (B – 2005): Cho hai điểm A  2; 0  và B  6; 4  . Viết phương trình đường tròn  C  tiếp
xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến điểm B bằng 5.
Phân Tích: Muốn viết phương trình (C) cần tìm tọa độ
tâm I và bán kính R=IA. I cách B một khoảng không đổi
bằng 5. Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A  I thuộc
đường thẳng qua A và vuông góc với Ox.
2

Ví dụ 2 (B – 2009 – CB): Cho đường tròn  C  :  x  2   y 2 

4
và hai đường thẳng J  2;1 và
5

ABC . Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn  C1  ; biết đường tròn  C1  tiếp xúc

với các đường thẳng AC và tâm K thuộc đường tròn  C  .
Phân Tích: (C1) tiếp xúc với  1,  2  K thuộc đường phân
giác góc tạo bởi  1 và  2. K  C  KI=R
Ví

dụ

3

(B

–

2012

–

CB):

Cho

đường

tròn

C1  : x 2  y 2  4,  C2  : x 2  y 2  12 x  18  0 và đường thẳng
d : x  y  4  0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp xúc với ABC và cắt  C1 

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d .
Phân Tích: Ta cần:Xác định I và tính bán kính R
Xác định I:AB  d  II1//d  phương trình II1.
I  (C2)  II2=R2. R=d(I,d)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

16


cân tại A nội tiếp đường tròn T  có tâm I  0;5  . Đường thẳng AI cắt đường tròn T  tại điểm
 17 6 
M  5;0  với M khác A. Đường cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn T  tại N   ;   với N
 5 5

khác C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết B có hoành độ dương.
Phân Tích: Vẫn câu hỏi “Thứ tự tìm các điểm?”. Do I là trung điểm AM  tìm A đầu tiên.
Tiếp đến sẽ là B (vì xB>0). IB=IM nên ta cần thêm một dữ kiện cho B

 tạo mối liên hệ điểm B với các số liệu đã biết của bài toán.
M, N đã biết và việc vẽ hình chính xác cho ta dự đoán IB  MN .
Nếu có điều này ta sẽ viết được phương trình IB và tìm được B. Ta sẽ

chứng minh IB  MN. C đối xứng với B qua AM.
Ví dụ 5: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 . Viết phương trình chính tắc của elip  E  có độ dài
trục lớn bằng 8 và  E  cắt  C  tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của hình vuông.
Phân Tích: Cần tìm a, b. (E) có độ dài trục lớn bằng 8  a=4.
(E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của hình vuông  4
đỉnh nằm trên hai đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ
hai. Ta giả sử A nằm trên đường thẳng y=x. Ta sẽ tìm được A
vì AO=R (A (C)). Mà A(E) b  phương trình (E).
Ví dụ 6. (D – 2013 – NC): Cho đường tròn  C  :  x  12   y  12  4 và đường thẳng A, B, C .
Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của  C  , các đỉnh N và P thuộc  , đỉnh M và
trung điểm của cạnh MN thuộc  C  . Tìm tọa độ điểm P .
Phân Tích: M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với  và
MI=R=2  M. N(t)  K(t). KI=R=2  t  N. MP  NI
và đi qua M. P=MP ∩  .
Ví

dụ

7.

Cho

đường

tròn

C  :  x  4 2   y  52  8 . Cho

C  : x 2   y  12  2

và

AB là một đường kính thay đổi của đường tròn  C ' và M là

một điểm di động trên đường tròn  C  . Tìm tọa độ các điểm M , A, B sao cho diện tích của tam
giác MAB lớn nhất.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

17


Phân Tích: M  (C)  MI=R. nên ta cần chỉ ra được M
đang thuộc đường thẳng nào thì sẽ tìm được M. Với điều
kiện để SMAB lớn nhất ta sẽ tìm được điều này
3. CÁCH RA ĐỀ 3: Kết hợp cách 1 và cách 2.
Dựa vào dữ kiện bài toán cần: Tính được độ dài MI (với I đã biết) và viết phương trình
đường qua M
Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và điểm A  4; 2  . Gọi d là tiếp tuyến tại
A của  C  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua tâm I của  C  và  cắt d tại M sao cho

tam giác AIM có diện tích bằng 25 và M có hoành độ dương.
Phân Tích: Cần tìm tọa độ M.
d đi qua A và vuông góc với IA. M  d. SAIM=25 MA
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, đường thẳng đi qua
A và B có phương trình x  y  0 . Tìm tọa độ trung điểm M của

AC biết I  2;1 là trung điểm của BC .

Phân Tích: SABC = 2SABI =AB.d(I,AB)  AB

IM//AB và đi qua I  phương trình IM. AB=2IM từ đó  M
Ví dụ 3 (B-2003): Cho tam giác ABC có AB  AC ,
BAC  900 . Biết M 1; 1 là trung điểm cạnh
2 
BC và G  ; 0  là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C .
3 


Phân tích: Do G là trọng tâm nên AM  3GM  A. Khi đó B, C thuộc

đường thẳng qua M và vuông góc với AM và MB=MC=MA.
 9 3

Ví dụ 4 (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung
 2 2
điểm của cạnh AB , điểm H  2; 4  và điểm I  1;1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .
Phân tích: Nếu ta biết được tọa độ điểm A thì ta sẽ tìm được tọa
độ điểm C (CAH, CI=AI). Vậy ta phải tìm tọa độ A. A  AB và
AM=MH  A  C.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

18


Ví dụ 5: Cho các điểm A 10;5  , B 15; 5  và D  20; 0  là các
đỉnh của hình thang cân ABCD trong đó AB song song với
CD . Tìm tọa độ đỉnh C .

Phân tích: Ở ví dụ này ta có thể tìm C theo hai cách:
Cách 1: C thuộc đường thẳng qua D và song song với AM. ABCD là hình thang cân nên
CB=AB. Kiểm tra điều kiện BC khồn song song với AD và kết luận.

Cách 2: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD phương
trình IJ và tọa độ J. J là trung điểm CD  C
Ví dụ 6.: Cho hình thoi ABCD có tâm I  3;3 và AC  2 BD . Điểm
 4
 13 
M  2;  thuộc đường thẳng AB , điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình
 3
 3

đường chéo BD biết đỉnh B có tung độ nguyên.
Phân tích: Nếu tìm được B ta sẽ viết được phương trình BD.
Ta khai thác tính chất đối xứng của hình thoi để tìm điểm N’
thuộc AB đối xứng với N qua I. Khi đó AB qua M,N’ phương
trình AB. Ta khai thác dữ kiện AC=2BD để tính IB. Từ đóB
Ví dụ 7 (D-2010-CB): Cho tam giác ABC có đỉnh A  3; 7  , trực tâm là H  3; 1 , tâm đường
tròn ngoại tiếp là I  2;0  . Xác định tọa độ đỉnh C
biết C có hoành độ dương.
Phân tích: Ta cần tìm tọa độ C.
CI=IA

Nếu viết được phương trình BC ta sẽ tìm được C
Lúc này việc viết phương trình BC chỉ cần biết thêm một dữ kiện.
Ở đây ta có thể tìm được hình chiếu D của I trên CB hoặc chân đường
cao kẻ từ A lên BC

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

19


Ví dụ 8: Cho hai điểm A 1; 2  , B  4;3 . Tìm tọa độ điểm M sao
cho 
MAB  1350 và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB
bằng

10
.
2

Phân tích: Vì MA đi qua A và hợp với đường thẳng AB một góc bằng 450 nên ta sẽ viết được
phương trình MA. Do d(M,AB) đã biết nên ta tính được MA. Từ đó tìm được M
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB và AD tiếp
2

2

xúc với đường tròn T  có phương trình  x  2    y  3  4 . Đường chéo AC cắt đường tròn

T  tại hai điểm

 16 23 
M , N . Biết M   ;  , trục tung chứa điểm N và không song song với
 5 5 

AD ; diện tích tam giác ADI bằng 10 và điểm A có hoành độ âm và nhỏ hơn hoành độ của D .

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD .
Phân tích: Với dữ kiện A có hoành độ âm gợi ý cho ta tìm tọa độ
A trước. Nghĩa là ta sẽ tìm và khai thác các dữ kiện “có lợi” cho
A. Ta nhận thấy Oy ∩(T)=N.  phương trình AC. Vì AB,AD tiếp
xúc với (T)  AI Từ đó ta có A.
Dữ kiện SADI=10 và AD không vuông góc với trục tung gợi ý cho ta đi tìmđiểm tiếp theo là D.
AD qua A và cách I một khoảng bằng R  phương trình AD.
SADI=AD.d(I,AD)=10 Từ đó  D
Ví dụ 10 (Khối A, A1-2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M
là trung điểm AB và N là điểm thuộc AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng
CD , biết M(1;2) và N(2;-1).

Phân tích: Yêu cầu bài toán viết phương trình CD giúp ta hướng tới
việc gắn kết các dữ kiện các yếu tố liên quan tới đường thẳng CD. Việc
bài toán cho M, N và AN=3NC hướng ta nghĩ đến việc ta tìm điểm E
(E=MN ∩ CD) Lúc này nếu tìm được thêm một điểm trên CD thì bài
toán sẽ được giải quyết. Nhờ bài toán 1 ta nghĩ đến tìm điểm D bằng cách chứng minh tam giác
MND vuông cân tại N từ đó suy ra D

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

20


4. CÁCH RA ĐỀ 4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua một điểm khác thuộc bài toán 1
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và hai đường
thẳng d1 : 2 x  y  5  0, d 2 : 2 x  y  0 . Lập phương trình đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn

 C  tại

A cắt Oxy d1 , d 2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC .

Phân tích: Như cách tư duy thông thường đẻ viết phương trình đường thẳng , ta sẽ nghĩ đến
việc tìm một điểm mà  di qua cùng với vecto pháp tuyến hoặc chỉ phương của nó. Lúc này có
3 sự lựa chọn là điểm A, B hoặc C. Song cả 3 điểm trên đều chưa biêt tọa độ. Vậy câu hỏi là
“Tìm tọa độ điểm nào?”. Ta nhận thấy hai điểm B, C có lợi thế là đều thuộc đường thẳng đã
biết phương trình, nhưng lại không có thêm dữ kiện
nào liên quan nữa. Nghĩa là việc tìm B, C gặp “khó
khăn”. Chỉ còn một sự lựa chọn là điểm A. Có vẻ
hợp lí vì nếu tìm được A ta sẽ tìm được vector pháp

tuyến của  là IA và suy ra phương trình . Thế
tìm điểm A bằng cách nào? Với dữ kiện của bài toán ta chỉ có IA=R=5. Vậy việc tìm điểm A
trực tiếp gặp trở ngại. Khi đứng trước tình huống này, một kinh nghiệm là hãy chú ý tới các
thông số, dữ kiện của đề bài, rất có thể trong đó chứa ẩn những yếu tố đặc biệt sẽ giúp ta tháo
gỡ được “nút thắt”. Nhận thấy có hai yếu tố khá đặc biệt là tâm I thuộc d2 và d2//d1. Nghĩa là
JB là đường trung bình trong tam giác AIC với J=d1 ∩ IA  J là trung điểm của IA nên nếu tìm
được J thì sẽ có A.
Ta có J  d1 và IJ=R/2. Đến đây ta đã có lời giải.
Ví dụ 2 (A – 2010 – CB): Cho hai đường thẳng d1 : 3 x  y  0 và d 2 : 3 x  y  0 . Gọi T  là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC có diện tích
bằng

3
và điểm A có hoành độ dương.
2

Phân tích:Như ta đã biết, để viết phương trình đường tròn ta cần
biết tâm I và bán kính R. Với bài toán này nếu xác định được I thì
sẽ tính được R. Vậy tìm I bằng cách nào? I  AC nhưng chưa biết

phương trình. Như vậy việc tìm trực tiếp không khả thi. Lúc này

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

21


ta nghĩ đến tìm gián tiếp thông qua các điểm có mối liên hệ với nó. Với dữ kiện tam giác ABC
vuông tại B  I là trung điểm AC nên nếu tìm được A ta sẽ tìm được C (C=AC ∩d2) và từ đó
suy ra I
1 

Ví dụ 3 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1  . Đường tròn nội tiếp tam
2 
giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm D, E , F . Cho D  3;1 và
đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương.
Phân tích: Ta nhận thấy A nằm trên AB, AC, AD. Như vậy lúc này việc tìm điểm A có thể đi
theo 2 hướng: Hướng 1: Nếu viết được phương trình của 1 trong 3
đường trên và tính được độ dài AB hoặc AD. Hướng 2: Nếu biết
phương trình 2 trong 3 đường trên.
Để chọn hướng đi thích hợp ta cần phân tích các dữ kiện của bài toán.
Với các số liệu của bài toán ta thấy hướng 1 không mấy khả thi, vì
việc tính độ dài AB, AD gặp khó khăn. Lúc này ta nghĩ đến giải pháp thứ 2. Điểm B và D đều
đã biết tọa độ nên ta nghĩ đến việc viết phương trình AB và AD. Phân tích chi tiết số liệu bài
toán ta thấy BD//EF từ đó ta chứng minh ABC cân tại A  AD  AB nên viết được phương
trình AD. Để viết AB ta sẽ cần đến điểm F. Ta có F  EF và FB=BD. Đến đây ta đã có lời giải
Bình luận:
Qua bài toán 1 chúng ta phần nào tầm quan trọng và tính hiệu quả của nó trong việc giải
quyết các bài toán tìm điểm và các bài toán khác .. Nó giúp ta biết đặt câu hỏi vào các đối
tượng và các dữ kiện của đề bài mà ta cần định hướng để giải quyết bài toán. Nếu biết cách

khai thác, “làm chủ” bài toán này, là ta đã có trong tay một công cụ đơn giản nhưng khá
hiệu quả trong việc giải các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên chúng ta còn
nhiều công cụ khác nữa, Ta sẽ tiếp tục tìm hiểu thông qua 9 bài toán tiếp theo.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0 . Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường tròn  C ' có diện tích gấp bốn lần diện
tích đường tròn  C  và  C ' đồng tâm với  C  . Biết đường
thẳng d : 2 x  y  3  0 đi qua điểm M .

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

22


Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm C  2; 5  , đường thẳng  : 3x  4 y  4  0 . Tìm
trên đường thẳng  hai điểm A và B đối xứng với nhau


5

qua điểm I  2;  sao cho diện tích tam giác ABC bằng
 2
15.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh
 1 9
AB : 4 x  3 y  24  0 và I   ;  là giao điểm hai đường chéo. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
 2 2

vuông ABCD , biết đỉnh A có hoành độ dương.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo
là 3x  y  7  0 , điểm B  0;3  , diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình
thoi.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Viết phương trình đường tròn  C  đi qua hai điểm
A  0;5  , B  2;3 và có bán kính R  10 .

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn

C  : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 và

M  0;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung

điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương.





Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC đều, biết điểm 2  3; 2  3 và
đường thẳng BC : x  y  0 . Tìm tọa độ B và C .

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

23


Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  1; 2  và đường thẳng  : x  2 y  3  0 . Trên
đường thẳng  lấy hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC  3BC . TÌm tọa
độ đỉnh B .

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  3  0 và điểm A  2; 6  . Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc
đường thẳng d , tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng

35
.
2

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và A  1; 2  . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AD và DC , E là giao điểm của BN và CM . Viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm trên đt 2 x  y  8  0 .

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  1;3 và đường thẳng  có phương trình
x  2 y  2  0 . Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên  . Tìm tọa độ các đỉnh
B, C , D biết C có tung độ dương.

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm của
9 3



hình chữ nhật là điểm I  ;  thuộc đoạn BD sao cho IB  2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
2 2
chữ nhật, biết A có dung độ dương.

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

24

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD và điểm M  3;0  là trung điểm
của cạnh AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD có phương trình AD : 2 x  y  1  0 ,
điểm I  3; 2  thuộc đoạn BD sao cho IB  2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết D
có hoành độ dương và AD  2 AB .
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh A  0;5  và một đường
chéo nằm trên đường thẳng có phương trình 2 x  y  0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình
vuông, biết B có hoành độ lớn hơn 2.

Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn CD .
Biết BC  2 AB  2 AD , trung điểm của BC là điểm M 1;0  , đường thẳng AD cospt
x  3 y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A biết A có tung độ nguyên.

Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, biết 
BAC  1200 ; M 1; 2  là
trung điểm của cạnh AC . Đường thẳng BC có phương trình x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A
biết điểm C có hoành độ dương.

Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 x  6 y  21  0 và đường
thẳng d : 2 x  y  3  0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C 
biết A nằm trên d và có hoành độ nguyên.
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  2 y  5  0 và đường tròn

C  : x2  y 2  2 x  4 y  5  0 . Qua điểm

M thuộc  , kẻ hai tiếp

tuyến MA, MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm
M , biết độ dài đoạn AB  2 5 .

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn

Nếu cần file word đầy đủ và lời giải chi tiết xin liên hệ :

25