Chuyên đề hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

Tr1
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN BÌNH
TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6

Hệ thống các bài tập nâng cao
toán 6–HKII

TOÁN 6

GVBM : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh

Năm Học : 2014 - 2015

GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Tr2
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

PHẦN THỨ NHẤT :
MỞ ĐẦU

Chuyên đề “ HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN6 - HỌC KỲ II”
. ĐẶT VẤN ĐỀ :

I. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học, nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng
tạo của học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặc chẽ logic.
Trong chương trình HKII môn Số học 6, học sinh được cung cấp đầy đủ những kiến thức về
phân số như “Rút gọn phân số - Qui đồng mẫu số - So sánh phân số - Các phép tính về phân
số” . Qua đó học sinh vận dụng các công thức, tính chất, qui tắc để giải các bài toán liên quan
đến tính dãy số là phân số, tìm x, y , những bài toán tìm giá trị phân số của một số cho trước…
Với những dạng toán khó, phức tạp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững chắc các kiến thức đã học
và đồng thời có kỹ năng tư duy, thông minh, tính toán một cách nhạy bén. Đây là những dạng
toán thường gặp nhiều trong các đợt thi học sinh giỏi, thi Violympic giải toán trên mạng .
Vì vậy nhóm Toán 6 Trường THCS Tân Bình chúng tôi mạnh dạn trình bày

đề tài “ HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 6 - HỌC KỲ II “
II. Mục đích và. phạm vi thời gian thực hiện
1. Mục đích: * Định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, đưa ra phương pháp phân
tích bài toán một cách nhanh chóng.
* Nội dung của chuyên đề góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích,
tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lý, phù hợp với
từng bài, đối tượng học sinh khá – giỏi của từng lớp.

2 . Phạm vi và thời gian thực hiện:
-

Chuyên đề này được thực hiện trong khoảng thời gian 20 tiết. Lồng ghép vào các tiết
luyện tập phù hợp theo nội dung tiết dạy, các tiết tự chọn, các tiết bồi dưỡng học sinh
giỏi.
Trong chuyên đề này, được chia thành các dạng bài, tiện cho việc tiếp thu và hệ thống

kiến thức của học sinh.
Đối tượng áp dụng cho các bài tập trong chuyên đề: “Học Sinh KHÁ – GIỎI ”.

III.Phương pháp nghiên cứu:
* Vận dụng các phương pháp dạy học nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
1. Các phương pháp truyền thống trong dạy học Toán ở trung học
2.. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
3 . PP dạy học theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo, lý thuyết tình huống
4 Phương pháp đọc tài liệu Dạy học hợp tác .

GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Tr3
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII
PHẦN THỨ HAI :
NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : PHÂN SỐ

A> Kiến thức I)
-Tính Chất Cơ Bản Của Phân Số
-Qui Đồng Mẫu Số - Rút Gọn Phân Số
I.1* Các kiến thức vận dụng:
a
- Số có dạng với a, b là những số nguyên, b ≠ 0 gọi là phân số.
b
a

c
- Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c.
b
d

- Tính chất:
•

a a.m
=
với m ∈ Z và m ≠ 0
b b.m

•

a a:n
=
với n ∈ ƯC(a,b)
b b:n

*Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho cùng một số ước chung khác
(1 và – 1) của chúng để được phân số đơn giản hơn.
• Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa (tử và mẫu chỉ có ƯC là 1 và –
1)
a
là phân số tối giản  ƯCLN( a ; b ) = 1.
b
I.2* Một số bài toán minh họa:
**Dạng 1:

1.1 Tìm số tự nhiên n để cả ba phân số sau đều là số nguyên.
15 12
6
;
;
n n + 2 2n − 5

1.2 Tìm số nguyên n sao cho:
n+3
là số nguyên âm
n−2
n+7
b)
là số nguyên
3n − 1
3n + 2
c)
là số tự nhiên
4n − 5
Phương pháp giải:

a)

• Nhắc lại kiến thức:
a⋮b => b là ước của a
• Cách tìm ước của 1 số nguyên a:
• Áp dụng qui tắc chuyển vế đổi dấu và công thức để thực hiện.

6
là số nguyên

2n − 5
* Phương pháp giảng bài
6
1.1 Để
là số nguyên thì 2n – 5 ⋮ 6.
2n − 5

Gỉai Tìm n ∈ N để

GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Tr4
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

2n – 5 là ước lẻ của 6.
Ư(6)={1;-1;2;-2;3;-3;6;-6}
Chọn các ước lẻ của 6
Ta lập bảng:
2n – 5
2n
n
1.1 - Để

-1
4

2

1
6
3

-3
2
1

3
8
4

12
là số nguyên thì
n+2

n = 1;2;4 loại n=3.
Để

15
là số nguyên thì n = 1; 3 loại n = 2; 4.
n

Vậy để cả 3 phân số trên là số nguyên thì n = 1
.Khi đó 3 phân số bằng 15 ; 4 ; -2.
1.2 c) * Phương pháp giảng bài
3n + 2
Để

là số tự nhiên
4n − 5

⇒ 3n + 2 ⋮ 4n – 5
⇒ 4(3n + 2) ⋮ (4n – 5)
⇒ 12n + 8 ⋮ 4n – 5
⇒ 3(4n – 5) +23 ⋮ 4n – 5
⇒ 23 ⋮ 4n – 5.
Ta tìm được n ∈ {1;7}

3n + 2
= -5 không là số tự nhiên.
4n − 5
3n + 2
Với n = 7 thì
= 1 là số tự nhiên.
4n − 5

Với n = 1 thì

Vậy n = 7.

*Bài tập tự luyện:

1.2) Cho phân số
nguyên dương.

n + 9 3n + 5 2n + 9
;
;

(n ∈ Z).Tìm các giá trị của n để các phân số trên có giá trị
1− 6 n + 7 n − 5

1.3)Tìm số nguyên n để

n 3 − 2n 2 + 3

HD: Biến đổi:
n3 – 2n2 +3=n.n2 – 2n2 + 3
=n2.(n-2) + 3.

n−2

nhận giá trị nguyên.

Dùng tính chất chia hết của 1 tổng.
*Dạng 2: Tổng Quát Chứng Minh Là Một Phân Số Tối Giản.
GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Tr5
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

* Các kiến thức vận dụng
n
Chứng minh phân số

là phân số tối giản (n ∈ Z; n ≠ 0).
n +1

Phương pháp giải: Gọi d là ƯC của n và n+1.
⇒ n + 1 d và n  d
⇒ (n + 1 – n) d
⇒ 1 d
⇒ d ∈ Ư(1)= 1
⇒ ƯCLN(n; n + 1)=1
Vậy phân số

n
tối giản.
n +1

.2* Bài tập vận dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số nguyên n:
n +1
2n + 3
n +1
HD:
Nếu tử và mẫu cùng chia hết cho d thì d = 1 hay d = - 1.
2n + 3
Vậy d ∈ ƯC(n+1; 2n+3)
Ta có: 2n + 3 – 2(n+1)  d
 1 d

a)

 d= 1 hay d = - 1.

n +1
tối giản.
2n + 3
3n + 2
b)
(Đề HSG cấp trường 2013-2014)
5n + 3
3n + 2
HD:
Nếu tử và mẫu cùng chia hết cho d thì d = 1 hay d = -1.
5n + 3
Vậy d ∈ ƯC(3n+2; 5n+3)
Ta có: 5(3n+2) – 3(5n+3) d
 1 d.

Vậy

Vậy d = 1 hay d = -1.
Bài 2: Tìm số nguyên a biết

a+3
2
=
.
7 − 2a − 5

Phương pháp giải: Dựa vào tính chất 2 phân số
Ta có:

a+3
2
=
.
7 − 2a − 5

a c
= thì a.d = b.c
b d

Dùng tính chất phân phối và qui tắc chuyển vế ta tìm được a.
 (a+3)(-5) = (7 – 2a).2
 -5a -15 = 14 – 4a
 -5a + 4a + 14 15
 -a = 19
Vậy a = -19.
GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Tr6
Trường THCS Tân Bình

- Chuyên đề :” Hệ thống các bài tập nâng cao toán 6–HKII

Bài 3: Tìm phân số bằng phân số

− 188887

, biết rằng tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6
211109

HD: Rút gọn phân số tối giản
− 188887 − 17
=
211109
19

Các phân số cần tìm phải có dạng:

− 17.k
(k ∈ Z; k ≠ 0)
19.k

Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên
-17k + 19k=6
=> k = 3.
Vậy phân số phải tìm là

− 17.3 − 51
=
19.3
57

.3 * Một số bài tập tự luyện:
Bài 1 :
1.1 Chứng tỏ

5n + 3

là phân số tối giản với mọi n ∈ Z
3n + 2

HD: Cần cm: 5n+3 và 3n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN của 5n+3 và 3n+2 là d (d ∈ Z; d ≠ 0)
 15n+10 – 15n – 9  d => d = 1
15n + 1
1.2) a)
30n + 1

b)

n 3 + 2n

n 4 + 3n 2 + 1

1.3)Tìm tất cả các số nguyên n để
Bài 2:Tìm phân số biết:

18n + 3
là phân số tối giản.
21n + 7

9
và BCNN của tử và mẫu là 360
20
4199
b) Phân số đó bằng phân số
và hiệu của mẫu và tử là 102
6137

40549
c) Phân số đó bằng phân số
có tổng của mẫu và tử là 1612
82087

a) Phân số đó bằng phân số

Bài 3: Rút gọn các phân số sau:

31995 − 81
42660 − 108
3.5.7.13.37 − 10101
b)
1212120 + 40404
27.18.49
c)
14.35.81
34.441 − 34.245
d)
28.119
47.348 + 47.519
e)
867.768 + 867.674
1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21
f)
1.3.6 + 2.6.12 + 4.12.24 + 7.21.42

a)

GVthực hiện : Công Huyền Tôn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh

NH :2014-2015


Bài 4:Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên 2003
a)
b)

10 2003 + 2
3
10

2003

+8

9

HD: a) Vì 102003 có tổng các chữ số = 1
Vậy 102003+2 có tổng các chữ số = 3
Nên 102003+2  3
Vậy phân số trên có giá trị là số tự nhiên
b)Tương tự như trên.
B> Kiến thứcII / 1: SO SÁNH .
B.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH
I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

−11 17
&
?

12
−18
−11 −33 17 −17 −34
=
&
=
=
Ta viết :
;
12
36 −18 18
36

Ví dụ : So sánh

II/CÁCH 2:

Vì

−33 −34
−11 17
>
⇒
>
36
36
12 −18

Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương .

Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“:
mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn .

2
2
3 3
>
vì − 5 < −4;
> vì7 > 5
−5 −4
7 5
2 5
Ví dụ 2: So sánh & ?
5 7
2 10 5 10
10 10
2 5
Ta có : = & = ; Vì < ⇒ <
5 25 7 24
25 24
5 7
−3 −6
& ?
Ví dụ 3: So sánh
4
7
−3 3
6
−6 6
6

6
−3 − 6
=
=
&
=
⇒
>
Ta có :
; Vì >
4 −4 −8 7 −7
−8 −7
4
7

Ví dụ 1 :

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương .
III/CÁCH 3:
(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )

+Nếu a.d>b.c thì

a c
>
b d

+ Nếu a.d
5 7

< vì5.8 < 7.6
6 8
−4 −4
Ví dụ 2: < vì − 4.8 < −4.5
5
8

Ví dụ 1:

a c
< ; + Nếu a.d=b.c thì
b d


Ví dụ3 :
So sánh

3
4
3 − 3 4 −4
3
4
& ? Ta viết
=
&
=
>
; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên
−4 −5
− 4 4 −5 5

−4 −5

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương
3 −4
<
do 3.5 < -4.(-4) là sai
−4 5

vì chẳng hạn
IV/CÁCH 4:

Dùng số hoặc phân số làm trung gian .

1) Dùng số 1 làm trung gian:
a) Nếu a > 1&1 > c ⇒ a > c

b
d
b d
a
c
b) Nếu − M = 1; − N = 1 mà M > N thì a > c
b
d
b d

• M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .
• Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
c) Nếu a + M = 1; c + N = 1 mà M > N thì a < c
b

d

b

d

• M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vò của 2 phân số đó.
• Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
 Bài tập áp dụng :
19 2005
&
?
18 2004
19 1
2005
1
1
1
19 2005
−
= 1 ; Vì >
⇒ >
Ta có : − = 1&
18 18
2004 2004
18 2004 18 2004
72 98
& ?
Bài tập 2: So sánh

73 99
72 1
98 1
1
1
72 98
+
= 1& +
=1;
Vì >
⇒
<
Ta có :
73 73
99 99
73 99
73 99
7 19
7
19
7 19
Bài tập 3 : So sánh & ? Ta có < 1 < ⇒ <
9 17
9
17
9 17

Bài tập 1: So sánh

2) Dùng 1 phân số làm trung gian:

(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)
18 15
18
& ta xét phân số trung gian
.
31 37
37
18 18 18 15 18 15
>
&
>
⇒ >
Vì
31 37 37 37
31 37

Ví dụ : Để so sánh

*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì
phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).
*Tính bắc cầu :

a c c m a m
> & > thì >
b d d n
b n

 Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh

72 58
& ?
73 99


72
72 72 72 58
72 58
>
&
>
⇒
>
, ta thấy
99
73 99 99 99
73 99
58
72 58 58 58
72 58
> & >
⇒
>
-Hoặc xét số trung gian là
, ta thấy
73
73 73 73 99
73 99
n
n +1

&
; (n ∈ N * )
Bài tập 2: So sánh
n+3 n+2
n
Dùng phân số trung gian là
n+2
n
n
n
n +1
n
n +1
<
&
<
⇒
<
;( n ∈ N * )
Ta có :
n+3 n+2 n+2 n+2
n+3 n+2

-Xét phân số trung gian là

Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
a) 12 & 13 ?
e) 456 & 123 ?
49 47
b) 64 & 73 ?

85 81
c) 19 & 17 ?
31 35
d) 67 & 73 ?
77 83

461 128
f) 2003.2004 − 1 & 2004.2005 − 1 ?
2003.2004
2004.2005
g) 149 & 449 ?
157 457
h) 1999.2000 & 2000.2001 ?
1999.2000 + 1 2000.2001 + 1

(Hướng dẫn : Từ câu a → c :Xét phân số trung gian.
Từ câu d → h :Xét phần bù đến đơn vò )
3)Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh

12 19
& ?
47 77
1
4

Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là .
Ta có :

12 12 1 19 19 1

12 19
>
= & <
= ⇒
>
47 48 4 77 76 4
47 77

 Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
11 16
58 36 12 19
18 26
& ; b) & ; c ) & ; d ) &
32 49
89 53 37 54
53 78
13
34
25
74
58 36
e) &
;f)
&
; h) & .
79 204
103 295
63 55
V/ CÁCH 5:

a)

Dùng tính chất sau với m ≠ 0 :
a
a a+m
* <1⇒ <
b
b b+m
a
a a+m
* >1⇒ >
b
b b+m

a
a a+m
* =1⇒ =
.
b
b b+m
a c a+c
* = =
.
b d b+d

1011 − 1
1010 + 1
Bài tập 1: So sánh A = 12 & B = 11 ?
10 − 1
10 + 1

11
1011 − 1 (1011 − 1) + 11 1011 + 10 1010 + 1
10 − 1
=
=
=B
Ta có : A = 12 < 1 (vì tử < mẫu) ⇒ A = 12 < 12
10 − 1 (10 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + 1
10 − 1


Vậy A < B .

2004 2005
2004 + 2005
+
&N =
?
2005 2006
2005 + 2006
2004
2004

>
2005 2005 + 2006 
 Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Ta có :
2005
2005


>
2006 2005 + 2006 
37 3737
&
Bài tập 3:So sánh
?
39 3939
37 3700 3700 + 37 3737
a c a+c
=
=
=
.)
Giải:
(áp dụng = =
39 3900 3900 + 39 3939
b d b+d

Bài tập 2: So sánh M =

VI/CÁCH 6:

Đổi phân số lớn hơn đơn vò ra hỗn số để so sánh :

+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.

+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo.
134 55 77 116
; ; ;
theo thứ tự tăng dần.

43 21 19 37
5 13 1
5
Giải: đổi ra hỗn số : 3 ; 2 ; 4 ;3
43 21 19 37
13
5
5
1
55 134 116 77
<
<
<
Ta thấy: 2 < 3 < 3 < 4 nên
.
21
43
37
19
21 43 37 19
108 + 2
108
Bài tập 2: So sánh A = 8 & B = 8 ?
10 − 1
10 − 3
3
3
3
3
⇒ A< B

Giải: A = 1 8 & B = 1 8
mà 8 < 8
10 − 1
10 − 3
10 − 1 10 − 3
47 17 27 37
; ;
;
Bài tập 3: Sắp xếp các phân số
theo thứ tự tăng dần.
223 98 148 183
223 98 148 183
35 13 13 35
; ;
;
Giải: Xét các phân số nghòch đảo:
, đổi ra hỗn số là : 4 ;5 ;5 ; 4
47 17 27 37
47 17 27 37
13
13
35
35
17 27 37
47
a c
b d
⇒
<
<

<
(vì < ⇒ > )
Ta thấy: 5 > 5 > 4 > 4
17
27
37
47
98 148 183 223 b d
a c
3535.232323
3535
2323
;B =
;C =
Bài tập 4: So sánh các phân số : A =
?
353535.2323
3534
2322
Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ A5 ( 11.13 − 22.26 )
1382 − 690
&N =
?
Bài tập 5: So sánh M =
22.26 − 44.54
137 2 − 548
5
1
138

1
= 1+
⇒ M > N.
Hướng dẫn giải:-Rút gọn M = = 1 + & N =
4
4
137
137

Bài tập 1:Sắp xếp các phân số

( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )
Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số
B.2 : CÁC BÀI TẬP TỔNG HP .

63 158 43 58
;
; ; theo thứ tự giảm dần.
31 51 21 41


Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
a) &
; b) & c ) &
d) &
e) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261
10 100 100
>

(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : =
41 410 413
53 530
=
d)Chú ý:
Xét phần bù đến đơn vò
57 570
1
1010
1010
>
e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: =
)
26 26260 26261

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh
các phân số sau:
a) A =

244.395 − 151
423134.846267 − 423133
&B =
244 + 395.243
423133.846267 + 423134

Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac
+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…
+Kết quả A=B=1
b) M =

53.71 − 18
54.107 − 53
135.269 − 133
;N =
;P =
?
71.52 + 53
53.107 + 54
134.269 + 135

(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)
33.103
3774
&B =
Bài tập 3: So sánh A = 3
3
2 .5.10 + 7000
5217
33
3774 :111 34
=
Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A = & B =
47
5217 :111 47
4
3 5 6
5
6 4 5
Bài tập 4: So sánh A = + 5 + 2 + 3 + 4 & B = 4 + 5 + 2 + + 3 ?

7
7 7 7
7
7 7 7
3 6
153 6 5
329
Gợi ý: Chỉ tính 2 + 4 = ... = 4 & 2 + 4 = ... = 4
7 7
7
7 7
7

Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
Bài tập 5:So sánh M =

1919.171717
18
&N = ?
191919.1717
19

Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ;
Kết quả M>N

⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…..
17 1717
&
?
Bài tập 6: So sánh

19 1919
a c a+c
17 1700
. ; chú ý :
=
Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng = =
b d b+d
19 1900

+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101….

Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* .Hãy so sánh : A =
 10

9 

1

 10

9 

10 10
11 9
+ n &B= m + n ?
m
a
a
a
a

1

Giải: A =  m + n ÷+ n & B =  m + n ÷+ m
a  a
a  a
a
a
Muốn so sánh A & B ,ta so sánh

1
1
bằng cách xét các trường hợp sau:
n &
a
am


a) Với a=1 thì am = an ⇒ A=B
b) Với a ≠ 0:
• Nếu m= n thì am = an ⇒ A=B

1
1
> n ⇒A < B
m
a
a
1
1

• Nếu m > n thì am > an ⇒ m < n ⇒ A >B
a
a
31 32 33 60
Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: P = . . .... & Q = 1.3.5.7....59 ?
2 2 2
2
31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2.3....30)
P = . . .... =
=
2 2 2
2
230
230.(1.2.3....30)
(1.3.5....59).(2.4.6....60)
=
= 1.3.5....59 = Q
2.4.6....60

• Nếu m< n thì am < an ⇒

Vậy P = Q

7.9 + 14.27 + 21.36
37
&N =
?
21.27 + 42.81 + 63.108
333
7.9 + 14.27 + 21.36

7.9.(1 + 2.3 + 3.4)
37 : 37 1
Giải: Rút gọn M = 21.27 + 42.81 + 63.108 = 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) & N = 333 : 37 = 9
Bài tập 9: So sánh M =

Vậy M = N
1
x y 1
< < < ?
18 12 9 4
2 3x 4 y 9
⇒ 2 < 3x < 4y < 9
<
<
<
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được
36 36 36 36

Bài tập 10: Tìm các số nguyên x,y biết:

Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
7

6

5

3

 1 

 1 
3
 5 
Bài tập 11: So sánh a ) A =  ÷ & B = 
÷ ; b)C =  ÷ & D = 
÷
 80 
 243 
8
 243 
n

n
x
xn
Giải: p dụng công thức:  ÷ = n & ( x m ) = x m.n
y
 y
7
7
7
6
6
1
1
1
1
 1  1 1
 1  1
a ) A =  ÷ >  ÷ =  4 ÷ = 28 & B = 

÷ =  5 ÷ = 30 ;Vì 28 > 30 ⇒ A > B
3
3
 80   81   3  3
 243   3  3
5

5

3

3

 3   3  243
 5   5  125
b)C =  ÷ =  3 ÷ = 15 & D = 
÷ =  5 ÷ = 15 .
2
3
8 2 
 243   3 
125
125 125
Chọn 15 làm phân số trung gian ,so sánh 15 > 15 ⇒ C > D.
2
2
3
*B.3 .Một số bài tốn tổng qt
n +1
n+2

Bài tập 1: So sánh 2 phân số
và
( n ∈ Z)
n+5
n+3
Phương pháp giải:

Vì n + 1 < n + 5 và n + 2 < n + 3
Nên ta dùng phân số trung gian là
Ta có:

n +1
n+3

n +1
n +1
<
( So sánh 2 phân số cùng tử số)
n+5
n+3


n +1
n+2
<
(So sánh 2 phân số cùng mẫu)
n+3
n+3
n +1
n+2

Vậy
<
n+5
n+3
a +1
a+2
Bài 2: So sánh
và
với a là số tự nhiên khác 0
a+2
a+3
Phương pháp giải:

Cách 1: Qui đồng đưa về có cùng mẫu số
Cách 2: Sử dụng phần bù hoặc phần thừa của 1
a +1 a + 2 − 1
1
=
=1 a+2
a+2
a+2
a + 2 a + 3 −1
1
=
=1a+3
a+3
a+3
1
1
Mà

>
a+2 a+3
1
1
Nên 1 >1a+2
a+3
a +1 a + 2
Vậy
<
a+2 a+3

Ta có:

B.4*.Bài tự luyện
Bài tập 1.1: So sánh phân số

10 9 + 1
108 + 1
A= 9
và B = 10
10 + 1
10 + 1

Cách 1: B là phân số nhỏ hơn 1
( vì tử < mẫu)
Nếu cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của B thì giá trị của B tăng thêm
B=

10 9 + 1
1010 + 1

<

10 9 + 1 + 9
1010 + 1

+9

=

109 + 10
1010 + 10

10.(108 + 1) 108 + 1
=
=
=A
10.(10 9 + 1) 10 9 + 1

Vậy B < A
Cách 2 :

( Sau khi học phép nhân phân số)

9
10.(108 + 1) 10 9 + 10
10.A=
=
=
1

+
9
9
10 + 1
10 + 1
10 9 + 1
9
10
9
10.(10 + 1) 10 + 10
10.B=
= 10
= 1 + 10
10
10 + 1
10 + 1
10 + 1
9
9
Mà 9 > 10 ( so sánh 2 phân số có cùng tử số)
10 + 1 10 + 1

Nên 10A > 10B
Vậy A > B

B 1.2 Không quy đồng mẫu số hãy so sánh :
2011 2012 2013
với 3
C=
+

+
2012 2013 2011


HD

2012 − 1 2013 − 1 2011 + 2
+
+
2012
2013
2011
1
1
2
C = 1−
+1−
+1+
2012
2013
2011
1
1
1
1 

 
C = 3+
−
−

÷+ 
÷
 2011 2012   2011 2013 
1
1
1
1
>
⇒
−
>0
Vì
2011 2012
2011 2012
1
1
1
1
>
⇒
−
>0
và
.
2011 2013
2011 2013
C=

Vậy C > 3
33.10 3

;B=
2 3.5.10 3 + 7000
33
HD: 7000 = 7.103, rút gọn A =
47
3774 : 11 33
Rút gọn B =
=
5217 : 11 47
4
3 5
6
Bài tập 1.4 So sánh A = +5+ 2 + 3 + 4 ;
7
7
7
7
3
6
153
6
5
HD: Chỉ tính 2 + 4 =…= 4 và 2 + 4
7
7
7
7
7
Bài tập 1.3: So sánh A =

3774
5217

5
6 4 5
+ ?
4 +5+ 2 +
7
7 73
7
329
=…= 4
7

B=

Từ đó kết luận dễ dàng A < B
C>KIẾN THỨC III)
CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN SỐ

( Phép cộng , trừ , nhân ,chia phân số )
C/1 ) CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số :
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số :
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu :
A B A+ B

+
=
M M
M

(M ≠ 0)

A B A− B
−
=
M M
M

(M ≠ 0, A ≥ B)

b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu :


-

Quy đồng mẫu các phân số.
Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.

c. Nhân các phân số :
A C A.C
. =
B D B.D

(B, D ≠ 0)

d. Chia 2 phân số :
A C A.D
: =
B D B.C

(B, C, D ≠ 0)

3)Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số :
a. Tính chất giao hoán :
-

a c c a
+ = +
b d d b
a c c a
Phép nhân : . = .
b d d b

Phép cộng :

(b, d ≠ 0)
(b, d ≠ 0)

b. Tính chất kết hợp :
a

c m

a c

m

-

Phép cộng :  + ÷+ = +  + ÷
b d  n b d n 

-

Phép nhân :  . ÷. = .  . ÷
b d  n b d n 

a c  m

a  c m

(b, d, n ≠ 0)
(b, d, n ≠ 0)

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (trừ) :
a c m a m c m
 + ÷. = . + .
b d  n b n d n

(b, d, n ≠ 0)

3. Bất đẳng thức : Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b.
Tính chất :
-

Tính chất bắc cầu :
Nếu a > b, b < c thì a > c.

-

Tính chất đơn điệu của phép cộng :
Nếu a > b thì a + c > b + c

-

Tính chất đơn điệu của phép nhân :


Nếu a > b thì a.c > b. c (c > 0)
-

Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều :
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d

C . 2 HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

-DẠNG 1 :* Phương pháp tính tổng ( Hiệu ) :
Loại toán tìm tổng của một dãy số , trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau
cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay
các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra
cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.

Nội dung của bài toán như sau:
1. Ví dụ 1 : Tính tổng sau

S=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
100.101

• Hướng dẫn cách tìm lời giải :
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; . . .
100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến
đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
Chẳng hạn :
1
1
1 1 1
1
1
1
= 1− ;
= − ;......;
=
−
1.2
2 2.3 2 3

100.101 100 101

Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau.
• Cách giải :
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
1.2 2.3 3.4
100.101
1  1 1 100
1 1   1 1   1 1 
 1
=  − ÷+  − ÷+  − ÷+ .... + 
−
=
÷= −
1 2   2 3   3 4 
 100 101  1 101 101

S=

+ Bài toán tổng quát :


Tính tổng : S =

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2 2.3 3.4
n( n + 1)

1  1
1
n
1 1   1 1   1 1 
1
=  − ÷+  − ÷+  − ÷+ .... +  −
=
÷= −
1 2   2 3   3 4 
 n n +1  1 n +1 n +1

1.

Ví dụ 2 : Tính tổng : P = 2 + 2 + 2 + ... +
1.3 3.5

5.7

2
99.101

* Phương pháp tìm lời giải :
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ
liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị
trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD :

2 1 1
2 1 1
2 1 1
2
1
1
= − ;
= − ;
= − ;....;
=
−
1.3 1 3 3.5 3 5 5.7 5 7
99.101 99 101

Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho.
* Cách giải :
2
2
2
2
+
+
+ ... +

1.3 3.5 5.7
99.101
1 1 1 1 1 1
1
1
= − + − + − + .... + −
1 3 3 5 5 7
99 101
1 100
= 1−
=
101 101

P=

+ Bài toán tổng quát :
Tính tổng : P =

2
2
2
2
2
+
+
+ .... +
+ .. +
(n lẻ)
1.3 3.5 5.7
99.101

n.( n + 2)

1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
= − + − + − + ... + −
= 1−
=
1 3 3 5 5 7
n n+2
n+2 n+2

2. Ví dụ 3 : Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau :
1 1
1
1
; ;
;
;....
6 66 176 336

* Phương pháp tìm lời giải :
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là :
6; 66; 176; 336; . . . Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi
tìm số hạng thứ 100 của dãy.


Ta nhận thấy :

6 = 1.6
66 = 11.6
176 = 11.16
336 = 16.21

Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là :

Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng : (5n – 4) (5n + 1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số : (5.100 – 4) (5.100 + 1) = 496.501
Ta cần tính tổng A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501

Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số,
1 1
1 6

ta nhận thấy : − =

Tương tự như vậy

5
1 1 1  1
⇒  − ÷=
1.6
5  1 6  1.6
1 1
5
11 1 
1
− =
⇒  − ÷=
6 11 6.11 5  6 11  6.11
1
1
5
1 1
1 
1
−
=
⇒ 
−
÷=
496 501 496.501 5  496 501  496.501

Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng.
* Cách giải :
1 1

1
1
1
+ +
+
+ ... +
6 66 176 336
248496
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501
1 1 1  1  1 1  1  1 1 
1 1
1 
=  − ÷+  − ÷+  − ÷+ ... + 
−
÷
5  1 6  5  6 11  5  11 16 
5  496 501 

A=

1 1 1 1 1 1

1
1 
= 1 − + − + + + ... +
−
5  6 6 11 11 16
496 501 
1
1  1 500 100
= 1 −
=
÷= .
5  501  5 501 501

*) Bài toán tổng quát :
A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1)


1 1 1  1  1 1 
1 1
1 

=  − ÷+  − ÷+ .... + 
−
÷
5  1 6  5  6 11 
5  (5n − 4) (5n + 1) 
1
1  1 5n
n
= 1 −
=
÷= .
5  5n + 1  5 5n + 1 5n + 1

Ví dụ 4

a)Cho hai phân số và (n ∈ Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của
chúng.
b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A=. +. +. +. +. +. +.
B= + + + + + +
* Tìm hiểu bài toán:
a. Bài toán yêu cầu chứng minh tích của hai phân số đã cho bằng hiệu của chúng, tức là ta
cần chứng minh đẳng thức:
. = - (1)
b. Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số tự nhiên liên tiếp
có dạng: n và n+1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng : .
Trong tổng B: Mỗi phân số cũng có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của các phân số khác nhau,
mỗi mẫu có thể viết được dưới dạng n.(n+1).
Như vậy mỗi phân số cũng có dạng: .
Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau ⇒ cách tính là như nhau.

* Cách giải:
a. Quy đồng mẫu, ta được: - = =
Vậy:

. = -

(1)

b. Áp dụng công thức (1), ta có:
A= - + - + - + - + - + - + = - =
B= + + ++++


= - + - + - + - + - + - + = - =
(Cần lưu ý rằng: Nếu quy đồng mẫu các phân số trên chắc chắn sẽ gặp khó khăn. Mặt khác (1)
sẽ là một công thức mà các em còn gặp nhiều ở lớp 7,8,9…)
* Khai thác bài tập:
Bài toán có 2 câu, ở câu a ta đã chứng minh được

= - (1), nhờ có (1) mà việc tính 2

tổng A và B một cách nhanh chóng bằng cách biến đổi phân số trong dãy thành hiệu của 2
phân số, ta đã biến dãy cộng thành dãy trừ và cộng để ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng
hạn - và + ; - và + ; …
Như vậy, có thể nói: Đẳng thức (1) là chìa khóa để giải câu b của bài toán.
Nếu kết hợp 2 tổng A và B ta sẽ có được một dãy cộng tổng quát hơn.
Trở lại bài tập1: Bây giờ ta lại xét bài toán theo nội dung khác, chẳng hạn:
Ví dụ 4 : Tính nhanh tổng sau:

P= + + + +… +

* Tìm hiểu bài toán:
Khác với các bài toán ở trên, bài toán 7 là tính nhanh tổng các phân số có tử bằng 1, còn
mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số mũ khác nhau (Từ 1 đến n). Vậy làm thế
nào để tính nhanh được và có thể áp dụng được (1) không?
* Tìm lời giải:
Để ý, ta có: = 1 –

= 1–

= = - = =

= -

= = -

=
=

- ; …; =

-

* Cách giải:
P =

+ + + +…+

= (1- ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - )
= 1 - + - + - + - + …+ Vậy P = 1 -

Như vậy, để giải bài toán trên ta cũng đã tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số và thu
được một dãy cộng, trừ các phân số đối nhau giống như quy luật của các bài toán ở trên và
nhanh chóng tính được giá trị của P.
Nếu để ý thì ta lại có cách giải khác như sau:
Ta có: + = +
+ + = +

=

+ + + =

+

= 1- = 1-

=

= 1- = 1=

= 1-

+ + + +…+ +

= 1 -

= 1- …

Hãy thử áp dụng cách này với P.
Ta có: 2P = +

+ + + …+ +

= 1 + + + + +…+

+

+ - ( + + + + … + + ) Vậy P = 1 -

=> 2P - P = 1 + + + + … +

Nhận xét: Cách giải trên cũng giúp ta tính được tổng P không mấy khó khăn, vì 2P – P =
P. Với cách giải này ta lại có vô số bài tập tương tự, chẳng hạn:
Áp dụng : Tính tổng Q = + + +

+ …+

R = + + +

+ …+

Áp dụng cách làm trên ta có:
3Q = + + + + … +
=1+ + + + + …+
3Q - Q = 1+ + + + + … +

- ( + + + +… + )

2Q = 1 Q = (1 - ): 2 (Caùch tính R töông töï )
Dạng 2 / - Phương pháp tính tích

1. Ví dụ 1 : Tính tích sau :
3 8 15
9999
A = . . .....
4 9 16 10000

*) Hướng dẫn cách tìm lời giải :


Các phân số đã cho trong tích để có tử nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là bình phương
của một số tự nhiên n (n ≥ 2). Nếu để cho học sinh vận dụng quy tắc nhân các phân số thì sẽ rất
phức tạp trong tính toán. Với đặc điểm trên A được viết như sau:
A=

3 8 15
9999
. 2 . 2 .....
2
2 3 4
100 2

Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích các phân số trên thành một tích như thế nào đó để có
thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích của hai thừa số hơn kém nhau 2
đơn vị.

VD :

3 1.3
=
22 22

8 2.4
=
32 32
15 3.5
=
...
4 2 42
9999 99.101
=
100 2
1002

Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được. Hướng dẫn cho học
sinh rằng các thừa số thứ nhất của tử thuộc dãy các thừa số thứ nhất, còn các thừa số thứ 2
thuộc dãy các số thứ 2. Từ đó ta có kết quả bài toán.
*) Cách giải :
3 8 15 9999
. . ....
22 32 42 1002
1.3 2.4 3.5 99.101
= 2 . 2 . 2 ....
2 3 4
1002
1.2.3...99 3.4.5...101
=
.
2.3.4...100 2.3.4...100
1 101 101
=
.

=
100 2
200

A=

*) Bài toán tổng quát :
A=

1.3 2.4 3.5 ( n − 1).( n + 1) 1 n + 1 n + 1
.
. ...
= .
=
22 32 42
n2
n 2
2n

2) Ví dụ 2 :
Tính tích




B = 1 −

1 
1 
1  

1 
÷. 1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷
21   28  36   1326 

*) Hướng dẫn cách tìm lời giải :

(n ≥ 2)


Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau :
20 27 35 1325
. . ....
21 28 36 1326

Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa được viết theo một quy
luật nào cả. Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là : 3.7; 4.7; 4.9. Các thừa số có lặp
lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả. Nhận thấy thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở
mỗi tích không có mối liên hệ với nhau. Vậy nếu có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3
mẫu của 3 phân số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy hai thừa số là 2
số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6. Để có được như vậy ta phải nhân từ và mẫu của 3 phân số
với 2 ta được :
40 54 70
5.8 6.9 7.10
. .
.
.
hay ta có thể viết là :
42 56 72
6.7 7.8 8.9

Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị. Nhân tử và mẫu của
phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và mẫu của 3 phân số đầu, ta có :
2650 50.53
=
2652 51.52

Như vậy tích đã cho được viết thành :

5.8 6.9 7.10 50.53
.
.
....
.Đến đây các thừa số viết
6.7 7.8 8.9
51.52

trước ở tử và mẫu là dãy tích ở tử và mẫu của phân số thứ nhất, các thừa số viết sau ở tử và
mẫu là dãy các tích ở tử và mẫu của phân số thứ 2 . Từ đó ta có kết quả của bài toán.
*) Cách giải :
1 
1 
1  
1 

B =  1 − ÷.  1 − ÷ 1 − ÷...  1 −
÷
 21   28  36   1326 
5.6.7...50 8.9.10...53
.

6.7.8...51 7.8.9....52
5 53 265
= . =
51 7 357
=

Dạng 3 - ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN : TÌM X , SO SÁNH , CHỨNG MINH ……
*Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên x biết rằng :
a) + + + +… + = (*)

* Tìm lời giải:


Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;…như vậy mẫu của mỗi
phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính
là tổng C ở bài toán 1. Từ đó suy ra cách giải.
* Cách giải:
Ta có:

+ + + +…+
= + + + …+
=1- + - + - +…+ - =1-

Vậy (*) <=>1 - =

<=> = 1 -

<=> =

=> x +1= 2005 hay x = 2004

* Khai thác bài tập:
1 1 1
2
1998
+ ... +
=
3 6 10
x( x + 1) 2000

b) + +

Hướng dẫn cách tìm lời giải :
2

b ) Trước hết ta xét phân số x( x + 1) ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu là tích
của 2 số liên tiếp, nên có thể viết :

2
1 
1
= 2.  −
÷
x( x + 1)
 x x +1 

Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đôit các phân số :

1 1 1
; ; ;... về dạng phân số có tử là 2 và
3 6 10

mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không?
Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số, cụ thể
là :
1 1.2
2
1 1.2
2
1 1.2
2
=
=
;
=
=
;
=
=
3 2.3 2.3 6 6.2 3.4 10 10.2 4.5

Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số
tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài toán về dạng tìm x đơn
giản mà ta đã biết.
*) Cách giải : Tìm x,
1

1

1

2

1998

Biết : 3 + 6 + 10 + ... + x( x + 1) = 2000
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau :


2
2
2
2
1998
+
+
+ ... +
=
2.3 3.4 4.5
x( x + 1) 2000
 1
1
1
1  1998
2. 
+
+
+ ... +
=
x( x + 1)  2000
 2.3 3.4 4.5

1
1  1998
1 1 1 1 1
2.  − − + − + ... + −
=
x x + 1  2000
2 3 4 4 5
1  1998
1
2.  −
÷=
 2 x + 1  2000
1
1
1998
−
=
:2
2 x + 1 2000
1
1
999
−
=
2 x + 1 2000
1
1 999
= −
x + 1 2 2000
1

1000 − 999
1
=
=
x +1
2000
2000

Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau,
tức là : x+1 = 2000 => x = 1999.
1

1

1

1

101

*Bài tập tương tự : Bài 1 : Tìm x biết rằng : 5.8 + 8.11 + 11.14 + ... + x( x + 3) = 1540
*) Hướng dẫn tìm lời giải :
Ta thấy về bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số là tích
của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị.
Ta xét :
1 1 3
11 1 1
− =
⇒  − ÷=
5 8 5.8

3  5 8  5.8
1 1
3
11 1 
1
− =
⇒  − ÷=
8 11 8.11 3  8 11  8.11
1 1
3
1 1 1 
1
− =
⇒  − ÷=
11 14 11.14
3  11 14  11.14
1
1
3
11
1 
1
−
=
⇒  −
÷=
x x + 1 x( x + 3)
3  x x + 3  x.( x + 3)

Từ đó ta có cách giải bài toán :

Bài 2 Tìm số tự nhiên x, biết: