SKKN lũy thừa và một số dạng toán thường gặp”

Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

Phần I: Đặt vấn đề
Trong chương trình toán ở bậc THCS có thể nói “Toán lũy thừa là một mảng
kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các
bài toán về lũy thừa không phài việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi,
nhất là đối với học sinh khối 6 và 7. Các em mới được làm quen với môn đại số và
mới được tiếp cận với toán lũy thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các
phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kỹ năng tính toán,…. Để nâng cao và mở
rộng kiến thức phần lũy thừa cho học sinh lớp 6, lớp 7, bằng kinh nghiệm giảng
dạy của mình kết hợp sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn
trình bày một số ý kiến về chuyên đề “Lũy thừa và một số dạng toán thường
gặp” nhằm cung cấp phần nào kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm
cụ thể về phương pháp giải toán lũy thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó
giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic, … tạo sự say
mê cho các bạn yêu thích môn toán.

Phần II: Giải quyết vấn đề
I. Cơ sở lý thuyết:
a.

Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên
a.a.........a
an =     (n ∈ N*)

n thừa số
b.

Một số tính chất :
Với a, b, m, n ∈ N
am. an = am+n
am : an = am-n

(a ≠ 0, m > n)

(a.b)m = am. bm

(m ≠ 0)

(am)n = am.n

(m,n ≠ 0)

Quy ước:
Trang 1


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

a1 = a
a0 = 1

(a ≠ 0)

Với: x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z



x.x.........x
xn =    

(n ∈ N*)

n thừa số
n

an
a
=
 
bn
b

xo = 1
xm
= x m−n
xn

(b ≠ 0)
xm . xn = xm+n

(x ≠ 0)

1
x = xn

-n

(x ≠ 0)

(xm)n = xm.n

(x.y)m = xm. ym

n

x
xn
  = n
y
 y

c.

(y ≠ 0)

Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z ∈ Q:
x2 ≥ 0
x < y <=> x + z < y + z
* Với x ∈ Q, n ∈ N:
(-x)2n = x2n

(-x)2n+1 = - x2n+1

* Với a, b ∈ Q;

a > b > 0 => an > bn
a>b

<=> a2n +1 > b2n + 1

a > 1 , m > n > 0 => am > an
0 < a < 1 , m > n > 0 => am < an
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1: Tìm số chưa biết
1.1.

(x ≠ 0)

Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa

- Phương pháp 1: Đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ
Trang 2


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

 Chú ý: Với x, y∈ Q, n ∈ N
x 2 n+1 = y 2 n +1 ⇒ x = y
x = y
x2n = y 2n ⇒ 
x = − y

Ví dụ: Tìm x biết:
a/ x3 = -27

b/ (2x - 3)2 = 9

Hướng dẫn :
a/ x3 = -27

b/ (2x - 3)2 = 9 => (2x - 3)2 = (-3)2 = 32

x3 = (-3)3

=> 2x -3 =3

⇒ x = -3

hay

2x -3 = -3

2x = 6

hay

2x = 0

x=3

hay

x=0

Vậy x = 3 hay x = 0 .
- Phương pháp 2:
+ Áp dụng a.b + a.c = a. (b + c)
a = 0
b = 0

+ Áp dụng a.b = 0 ⇒ 

Ví dụ 1:

Tìm số hữu tỉ x biết :

x2 = x 5

Hướng dẫn :
x 2 = 0
x = x => x - x = 0 => x .(x - 1) = 0 =>  3
 x − 1 = 0
2

5

5

2

2

3

ví dụ 2 : Tìm số hữu tỉ y biết :

x = 0

=> 

(3y - 1)10 = (3y - 1)20

Hướng dẫn: đặt 3y -1 = x . Khi đó (*) trở thành :
 x 10 = 0
Giải tương tự bài ở trên ta được :  10
 x − 1 = 0

+) Với x = 0 ta có: 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y =

Trang 3

x = 0

=> 
x = 1
x = 1
3

(*)

x10 = x20

x = 0
x = 0

=>  10
=>  x = −1
x = 1
 x = 1
1
3


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y =

2
3

+) Với x = -1 ta có : 3y -1 = -1 => 3y = 0 => y = 0
Vậy
-

y=

1 2
; ;0
3 3

Phương pháp 3: Với mọi x ∈ Q ta có x 2 ≥ 0
(3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ 0

Ví dụ 1 : Tìm x và y biết :

(*)

Hướng dẫn :
so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 .
Ta thấy :

∀ x∈

(3x - 5)100 ≥ 0
(2y +1)200 ≥ 0

Q

∀ x∈ Q

 biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể bé hơn 0
Vậy :
(3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0
khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0
3x - 5 = 2y + 1 =0
=> x =

5
3

và

(x + 2)2 ≥ 0
2(y - 3)2 ≥ 0

∀ x∈
∀ x∈

Z

−1
2

(x + 2)2 + 2(y - 3)2 < 4

Ví dụ 2 :Tìm các số nguyên x và y sao cho :
Hướng dẫn :

y=

(1)
(2)

Z

Từ (1) và (2) suy ra, để :(x + 2)2 + 2(y -3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra các trường hợp
sau:
(x + 2)2 = 0

+) Trường hợp 1 :

=> x = -2
(x + 2)2 = 0

+) Trường hợp 2 :
=>
+) Trường hợp 3 :

và

=> y = 3
và

x + 2 = 1

=> 
 x + 2 = −1

(y - 3)2 = 1
y = 4

x = -2
(x + 2)2 = 1

(y - 3)2 = 0

=> 
y = 2
và

(y - 3)2 = 0

=> y = 3

 x = −1

=> 
 x = −3

Trang 4


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

(x + 2)2 = 1

+) Trường hợp 4 :

 x = −1

=> 
 x = −3

và

(y – 3)2 = 1

y = 4

=> 
y = 2

Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đầ bài là :
x
y

-2
3

-2
4

-2
2

-1
3

-3
3

-1
4

-3
2

-3
4

-1
2

Các bài toán tương tự :
1 Tìm x biết :
a/ (2x - 1)4 = 81

b/ (x -2)2 = 1

c/ (2x - 1)3 = -8

d/ (x - 1)5 = - 32

e/ (4x - 3)3 = -125

f/ (x - 2)2 = 16

2 . Tìm y biết :
a/ y200 = y

b/ y2008 = y2010
y
3

c/ (2y - 1)50 = 2y - 1
3 . Tìm a, b, c biết :

a/ (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ 0
b/ (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ 0

c/ (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ 0
d/ (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 0
1.2

y
3

d/ ( -5 )2000 = ( -5 )2008

Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.
- Phương pháp 1 : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
 Chú ý: Víi x ≠ 0 ; x≠ ±1 ta có x n = x m ⇒ n = m
Ví dụ : Tìm n ∈ N biết :
a, 2008n = 1

c, 32-n. 16n = 1024

b, 5n + 5n+2 = 650

d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

Hướng dẫn :
a/ 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = 0
b/ 5n + 5n+2 = 650
5n + 5n.52 = 650
5n.(1 + 25) = 650
=> 5n = 650 : 26

Trang 5


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

5n = 25 = 52

=> n = 2
- Phương pháp 2 : Với x ∈ Q ; m, n ∈ N áp dụng tính chất 1 < x n < x m ⇒ n < m
Ví dụ 1 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a/ 3 < 3n ≤ 234
b/ 8.16 ≥ 2n ≥ 4
Hướng dẫn :
a/ 3 < 3n ≤ 234
31 < 3n ≤ 35
=> n ∈ { 2;3;4;5}
b/ 8.16 ≥ 2n ≥ 4
23.24 ≥ 2n ≥ 22
27 ≥ 2n ≥ 22
=> n ∈ { 2;3;4;5;6;7}
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
Hướng dẫn :

415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216

(4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16

3615 < 6n < 3616
630 < 6n < 632
=> n = 31
Các bài toán tương tự:
1. Tìm các số tự nhiên n sao cho
a. 9 . 27n = 35

b.

c. 3-2. 34. 3n = 37

d.

(23 : 4) . 2n = 4

2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25

2. Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a. 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25
c. 243 ≥ 3n ≥ 9.27

b.

(n54)2 = n

d.

2n+3 2n =144

3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng

a. 2x+1 . 3y = 12x

b. 10x : 5y = 20y

4. Tìm các số tự nhiên n biết rằng
a. 411 . 2511 ≤ 2n. 5n ≤ 2012.512
Trang 6


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
b. 4 +5 4 +5 4 +5 4 . 6 + 6 + 6 5 + 6 5 + 6 + 6 = 2 n

3 +3 +3

2 +2

1.3. Mét sè trêng hîp kh¸c
- Phương pháp: Kết hợp hai trường hợp trên
Ví dụ 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2 = (x-1)x+4
Đặt x-1 = y ta có:

(1)

x+2=y+3
x+4=y+5

Khi đó (1) trở thành :

yy+3 = yy+5
yy+5 - yy+3 = 0
yy+3(y2 - 1) = 0

=> yy+3 = 0 hoặc y2 - 1 = 0.
* Nếu : yy+3 = 0 => y = 0
Khi đó : x - 1 = 0 hay x = 1.
* NÕu : y2 - 1 = 0
=> y2 = 12 => y = 1 hoặc y = -1
Với y = 1 ta có : x - 1 = 1 hay x = 2
Với y = -1 ta có : x -1 = -1 hay x = 0
VËy x ∈ { 0;1;2}
Ví dụ 2 : T×m x biÕt :
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Hướng dẫn :
x. (6-x)2003 = (6-x)2003
x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0

(6-x)2003 (x-1) = 0
=> (6-x)2003 = 0 hoÆc (x-1) = 0
* NÕu (6-x)2003 = 0
* NÕu (x-1) = 0

=> (6-x) = 0
=> x = 1

VËy : x ∈ {1;6}
Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên a, b biết rằng :
a. 2a + 124 = 5b
Trang 7

=>x = 6


Trng THCS Tõn Bỡnh
thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

b. 10a + 168 = b2

Hớng dẫn :
a) 2a + 124 = 5b

(1)

* Xét a = 0, khi đó (1) trở thành
20 + 124 = 5b

Hay 5b = 125
5b = 53
Do đó a= 0 và b = 3
* Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số
lẻ với mọi
a 1 , a,b N, điều này vô lý.
Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 3.
b) 10a + 168 = b2

(2)

Tơng tự câu a
* Xét a = 0, khi đó (2) trở thành
100 + 168 = b2
169 = b2
132 = b2

=> b = 13 (vì b N)

Do đó a = 0 và b = 13.
* Xét a 1.
Chỳng ta u bit vi mi s t nhiờn a 1 thỡ 10a cú ch s tn cựng l 0
nờn suy ra 10a + 168 cú ch s tn cựng l 8, theo (2) thỡ b2 cú ch s tn cựng l
8. iu ny vụ lý.
Kt lun : Vy : a = 0 v b = 13.
Cỏc bi toỏn tng t:
Tỡm s t nhiờn a, b :
a. 3a + 9b = 183
b. 5a + 323 = b2
c. 2a + 342 = 7b

d. 2a + 80 = 3b
Dạng 2: Tỡm ch s tn cựng ca 1 giỏ tr ly tha

Trang 8


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

-

Lũy thừa và một số dạng toán

Phương pháp: Để tìm chữ số tận cùng của 1 giá trị lũy thừa ta thường đưa
về dạng các lũy thừa có chữ số tận cùng là một trong các chữ số sau: 0 ; 1 ;
4;5;6;9.
 Lưu ý :

• Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác
0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.
• Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số
tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4.
• Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số
tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.
• Những số có chữ số tận cùng là 2 ; 7 ; 3 ; 8 ta cần nhớ các kết quả sau :
24 = 16

74 = 2401

34 = 81

84 = 4096

Ví dụ 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975, 10231024.
9

67

Hướng dẫn : §a c¸c lòy thõa trªn vÒ d¹ng c¸c lòy thõa cña sè cã ch÷ sè tËn
cïng lµ : 0 ; 1 ; 5 ; 6 .
+) 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nªn 20072008 ch÷ sè tËn cïng lµ 1 .
+) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6 .
+) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 cã ch÷ sè
tËn cïng lµ 8
+) 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = ......1 =>10231024 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 .
+) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1 )501. 2003 = ......1 . 2003
cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3
+) Ta thÊy 5 6 lµ mét sè lÎ nªn 4 5 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4
67

7

+) 1358 2008 = (13584) 502 = ( ......6 )502 = ......6 => 1358 2008 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6.
+) 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 ......2 => 81975 cã ch÷ sè tËn cïng lµ
2.
+) 996 = ( 94)24 =( ......1 )24 = ......1 => 996 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 .
+) Ta thÊy 99 lµ mét sè lÎ nªn 9 9 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 9 .
9

Trang 9


Trng THCS Tõn Bỡnh
thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

Vớ d 2 : Cho A = 172008 - 112008 - 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A .
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phải tìm chữ số tận cùng
của tổng số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .
Hng dn :

Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có :

A = 172008 112008 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9
Vậy A có chữ số tận cùng là 9 .
Vớ d 3 : Cho M = 1725 + 244 - 1321 . Chứng tỏ rằng :

M 10

Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M
10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0 .
Giải : 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 = ......7
244 =(242)2 = 5762 = .....6
1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = ......1 . 13 = ......3
Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M 10
Vớ d 4 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a/

chia hết cho 5 (n N, n 2)

A = 22 1
n

b/

chia hết cho 10 (n N, n 1)

B = 24 + 4
n

Chú ý: 2 2 = 2 2 .2
2

n

n2

( )

= 24

2n2

= 16 2

n2

, 24 = ( 2 4 )

n

4 n 1

= 164 , 92 = ( 92 )
n 1

Hng dn :
a) Với n N, n 2, ta có :

( )

2 n2
n
2 2 = 2 2 .2 = 2 4

2n 2

= 16 2

n2

có chữ số tận cùng là 6

=> A = 2 2 1 có chữ số tận cùng là 5
n

Vậy A 5
b) Với n N, n 1, ta có :

( )

n 1
n
2 4 = 2 4 .4 = 2 4

4 n 1

= 16 4

n 1

có chữ số tận cùng là 6

=> B = 2 4 + 4 có chữ số tận cùng là 0
n

Vậy B 10
c) Với n N, n 1, ta có :
n
n 1
2
9 2 = 9 2 .2 = ( 9 2 )

n 1

= 812

n 1

có chữ số tận cùng là 1
Trang 10

n

2n 1

= 812

n 1


Trng THCS Tõn Bỡnh
thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

=> H = 9 2 + 3 có tận cùng là 4
n

Vậy H 2
Cỏc bi toỏn tng t:
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003;
77772005;

20082004;
1112006;

20052005;

20062006 ;
9992003; 20042004;
20002000;
20032005

2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a/ 34n + 1 + 2 chia hết cho 5
b/ 24n + 1 + 3 chia hết cho 5
c/ 92n + 1 + 1 chia hết cho 10
3) Chứng tỏ rằng các số có dạng:
a/ 2 2 +1

có chữ số tận cùng bằng 7

(n N, n 2)

b/ 2 4 + 1

có chữ số tận cùng bằng 7

(n N, n 1)

c/ 3 2 +4

chia hết cho 5

n

n

n

d/ 3 4 - 1
n

chia hết cho 10

(n N, n 2)
(n N, n 1)

4) Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a/ A = 66661111 + 11111111 - 665555
b/ B = 10n + 555n + 666n
c/ H = 99992n +9992n+1 +10n

( n N*)

d/ E = 20084n + 20094n + 20074n

( n N*)

5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ?
a/ 34n+1 + 1

(n N

b/ 24n+1 -2

(n N)

c/ 2 2 +4

(n N, n 2)

d/ 9 4 - 6

(n N, n 1)

n

n

6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để
7) Tìm số tự nhiên n để

a2 + 1 5

n10 + 1 10

8) Chứng tỏ rằng , với mọi số tự nhiên n thì :
a/ 3n+2 - 2n+2 + 3n -2n 10

(n > 1)

b/ 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 6
Dạng 3: Tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha .
Trang 11


Trng THCS Tõn Bỡnh

thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

* Phng phỏp: tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha, ta cn chỳ ý
nhng s c bit sau :
+) Cỏc s cú tn cựng l 01 , 25 , 76 nõng lờn ly tha no (khỏc 0) cng tn
cựng bng chớnh nú.
+) tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha ta thng a v dng cú hai
ch s tn cựng l: 01 ; 25 hoc 76 .
+) Cỏc s 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cú tn cựng bng 76.
+) Cỏc s 320; 910; 815; 74; 512; 992 cú tn cựng l 01 .
+) S 26n (n N, n >1) cú tn cựng l 76
Bi 1 : Tỡm hai ch s tn cựng ca: 2100 ; 3100
Da vo nhn xột trờn hc sinh cú th d dng lm c bi ny:
2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76
3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01
Bi 2:

Tỡm hai ch s tn cựng ca:

a, 5151

b, 9999

c, 6666

d, 14101.

16101

Hng dn: Đa về dạng các số có hai ch s tn cựng l : 01 ; 25 hoặc 76 .
a) 5151 = (512)25. 51 = ( ......01 )25. 51 = ......01 . 51 = ......51
=> 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51
b) 9999 =(992)49.99 = ( ......01 )49 . 99= ......01 . 99 = ......99
c) 6666 =(65)133.6 = ( ......76 )133 . 6= ......76 . 6 = ......56
d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( ......76 )50 . 224 = ......76 .
224 = ......24
Bi 3: Tỡm hai ch s tn cựng ca:
a) 512k;
b) 992n;
c) 65n;

512k+1
992n+1;

(k N*)
99
99 99 ;

65n+1;

(n N*)
66
6 66 ;

Gợi ý:
a) 512k = (512)k = ( ......01 )k
512k+1 = 51. (512)k = 51. ( ......01 )k

Trang 12

(n N*)


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

b) 992n = (992)n = ( ......01 )n
992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ......01 )n
99
99
99
2n+1
99 99 , ta cã 99 lµ mét sè lÎ => 99 99 cã d¹ng 99

(Víi n ∈ N, n > 1)

=> 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n

(Víi n ∈ N, n > 1)

99

c)

65n = ( 65)n = ( ......76 )n
65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n

66
66
66
5n+1 (n ∈ N, n > 1)
6 66 , ta cã 66 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, => 6 66 cã d¹ng 6

=> 6 66 = 6 . ( ......76 )n
66

Các bài toán tương tự :
1. Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 72003

b) 9 9

c) 742003

9

d) 182004

e) 682005

f) 742004

2. Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 492n ; 492n+1

(n∈ N)

b) 24n . 38n

(n∈ N)

c) 23n . 3n ; 23n+3 . 3n+1

(n∈ N)

d) 742n

(n∈ N)

; 742n+1

3. Chứng tỏ rằng :
a, A = 262n - 26  5 vµ  10

( n∈ N, n > 1)

b, B = 242n+1 + 76  100

(Víi n ∈ N)

c, M = 512000 . 742000 . 992000 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 76.
 D¹ng 4: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên .
*Phương pháp : Chú ý một số điểm sau.
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng
bằng chính số đó.
+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625.
Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000.

Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625, có bốn chữ số tận cùng là 0625.
Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của:
Trang 13


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

(n ∈ N*)

a, 23n . 47n

(n ∈ N)

b, 23n+3 . 47n+2

Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu
cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh
khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.
a, 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n
376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376.
b , 23n+3 . 47n+2.
Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số
mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn :
23n+3 . 47n+2

= 23(n+1) . 47n+1 . 47
= (23)(n+1) . 47n+1 . 47
= (8.47)n+1 . 47
= 47 . 376n+1

Ta có : 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a. 5 4 + 375  1000

( n∈ N, n ≥ 1)

b. 5 2 - 25  100

( n∈ N, n ≥ 2)

n

n

c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002
Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn,
tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi.
n

a. Ta có: 5 4 = 5 4.4

n −1

= 625 4

n −1

tận cùng là 625

( n ∈ N, n ≥ 1)

=> 5 4 + 375 có tận cùng 000.
n

n

Vậy: 5 4 + 375  1000
b. Ta có 5 2 = 5 2 .2 = ( 5 4 ) 2 = 625 2
n

2

n−2

n−2

n −2

( n ∈ N, n ≥ 2)

n

Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00.
Do đó : 5 2 - 25  100
n

c. 2001n + 23n . 47n + 252n
Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001
23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376
252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625
Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002.
Trang 14


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

 D¹ng 5 : So s¸nh hai lòy thõa
- Phương pháp 1: Biến đổi về hai lũy thừa có cùng số mũ, cùng cơ số
 Chú ý : với a, b, m ,n ∈N ta có:
• a > b ⇔ an > bn ∀ n∈N*
• m > n ⇔ am > an (a >1)
• m > n ⇔ am < an (0 < a <1)
Ví dụ: So s¸nh :
a/ 2300 vµ 3200
b/ 200710 vµ 200810
c/ (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999
Híng dÉn:
a/ ta có: 2300= (23)100=8100
3200=(32)100=9100
Vì 8100< 9100 ⇒ 2300< 3200
b/ V× 2007 < 2008 nªn 200710 < 200810
(2008-2007)2009 = 12009 = 1

c/ Ta cã :

(1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
Vậy

(2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999

- Phương pháp 2: Dùng tính chất đơn điệu của phép nhân (nếu a > b thì a.c >
b.c với c> 0)
Ví dụ: So s¸nh
a/ 85 và 3.47
b/ 202303 và 303202
c/ 992 và 999910
Hướng dẫn :
a/ Ta cã :

85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47

b/ Ta cã : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
V× 808.1012 > 9.1012 nªn

202303 > 303202

c/ Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
Trang 15


Trường THCS Tân Bình

thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

- Phương pháp 3: Dùng lũy thừa trung gian
 Chú ý:
• Ta thêm bớt ở cơ số để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số.
• Ta thêm bớt ở số mũ để tìm được UCLN rồi đưa về 2 lũy thừa cùng số
mũ.
Ví dụ: So s¸nh
a/ 3111 và 1714
b/ 10750 vµ 7375
c/

291 vµ 535

Hướng dẫn :
a/ Ta có 3111 < 3211

mà: 3211 = (25)11 = 255

1714 > 1614 mà: 1614 = (24)14 = 256

vậy 3111 < 255

vậy 1711 > 256

vì 256 > 255 nên 3111 < 1714
b/ Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150

(1)

7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150

(2)

Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375
10750 < 7375

Vậy

c/ 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 = 2518
=> 291 > 3218 > 2518 > 535
Vậy

291 > 535

Các bài toán tương tự:
Bài 1 : Chứng tỏ rằng 527 < 263 < 528
Bài 2: So s¸nh :
a/ (-32)9 vµ (-16)13
d/ (-32)9 vµ (-18)13
528 vµ 2614
1
2300

vµ

e/ (

h/ 521 vµ 12410

1
1
1
l/ 199 vµ 300
200
3
5
3

b/ (-5)30 vµ (-3)50
− 1 100
−1
) vµ ( )500
16
2

f/199010 + 19909 và 199110 g/

i/421 vµ 647
8

m/  − 1  vµ  1 
 4

8

c/ 1010 và 48.505

j/230 + 330 + 430 vµ 3. 2410 k/
5

15

n/  1  vµ  3 
 10 

20

 10 

 D¹ng 6 : So sánh liên quan đến biểu thức có chứa lũy thừa
Trang 16


Trng THCS Tõn Bỡnh
thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

Vớ d 1: Chứng tỏ rằng.
a/ H =
b/ K =

1
1
1
1

1
+ 2 + 2 + .. +
+
<1
2
2
2
3
4
2007
2008 2

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 <
2
2
2
4
6
8
10
12
14

Lu ý:
1
1
1
=
(n N*)
n.( n 1) n n + 1
a < b
a+c
c < d

Hng dn :
a/ Ta có:
=>
Mà

1
1
<
2
1.2
2

H=

1
1
<

2
2 .3
3

,

1
1
, ,
<
2
3.4
4

,

1
1
<
2
2007.2008
2008

1
1
1
1
1
1
1

1
+ 2 + 2 + .. +
+
<
+
+ .. +
2
2
2
1.2 2.3
2007.2008
2
3
4
2007
2008

(*)

1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
+
+ .. +
= 1 + + + ..... +

= 1
<1
1.2 2.3
2007.2008
2 2 3 3 4
2007 2008
2008

Nên , từ (*) => H < 1
b/ K =

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) < 2 (1+1) = 2 .2 =
2
2
2
2
3
4
5
6

7
2
2

(Vì theo câu a,
Vậy K <

1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < 1)
2
2
3
4
5
6
7

1
.
2

2008 2008 + 1
A=
2008 2009 + 1

Vớ d 2: So sánh A và B biết :

;

2008 2007 + 1
B=
2008 2008 + 1

Trớc khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất
sau :
* Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh đợc :
a
> 1 thì
b

+) Nếu
+) Nếu

a
< 1 thì
b

a a+c
>
b b+c
a a+c
<
b b+c

Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có :

2008
Vì A = 2008 2009 + 1 < 1 nên

2008

+1

Trang 17


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

2008
2008
2008
2008.(2008 2007 + 1) 2008 2007 + 1
A = 2008 2009 + 1 < 2008 2009 + 1 + 2007 = 20082009 + 2008 =
=
2009
2007

+1

2008

+ 1 + 2007

2008

+ 2008

2008

+ 1)

2008.(2008

2008

+1

=B
VËy A < B .
2008
+ 1).2008 2008 2009 + 1 + 2007
C¸ch 1: Ta cã : 2008.A = (2008 2009
=1+
=
2009

+1

2008

+1

2008

2007
+ 1).2008 2008 2008 + 1 + 2007
2008.B = 2008 2008
=1+
=
2008

+1

2008

2008

+1

2007
2008 2009 + 1

2007
2008 2008 + 1

2007
2007
<
2009
2008
+ 1 2008 2008 + 1

V× 20082009+1 >20082008+1 nªn

=> 2008.A < 2008. B
=> A < B
C¸ch 2:

2009
2009
2007
1
− 2007 2008.(2008 2008 + 1) − 2007
= 2008 2008 + 1 = 2008 + 2008
=
=
2008
−
A 2008
+1
2008 2008 + 1
2008 2008 + 1
20082008 + 1
2008
2008
2007
1
− 2007 2008.(2008 2007 + 1) − 2007
= 2008 2007 + 1 = 2008 + 2008
=
= 2008 −
2007
2007
B 2008

+1
2008
+1
2008
+1
20082007 + 1

V× 20082008+1> 20082007 +1 nªn
=> 2008 VËy

1
1
>
A B

2007
2007
<
2008
2008
+ 1 2008 2007 + 1

2007
2007
> 2008 2008
2008
+1
2008 2007 + 1

=> A < B

(v× A,B > 0)
100100 + 1
M=
100 99 + 1

Ví dụ 3: So s¸nh M vµ N biÕt:

;

100101 + 1
N=
100100 + 1

Hướng dẫn :
101
C¸ch 1 : N = 100100 + 1 > 1

100

+1

=> N = 100100 + 1 > 100100 + 1 + 99 = 100100 + 100 =
101

100

101

+ 1 100

101

+ 1 + 99

100

+ 100

(100100 + 1).100
100100 + 1
=
=M
(100 99 + 1).100
100 99 + 1

VËy M < N.
C¸ch 2 :

100
100
99
M = 100 99 + 1 = 100 +99100 − 99 = (100 + 199).100 − 99 = 100 -

100 + 1

100 + 1

100 + 1

101
101
100
1).100 − 99
N = 100100 + 1 = 100 +100100 − 99 = (100 + 100
= 100 -

100

+1

100

+1

100

Trang 18

+1

99
100 99 + 1

99
100100 + 1


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán
99
99
99
>
=> 100 < 100 99
100
100 + 1
100 + 1
100 99 + 1

V× 10099 + 1 < 100100 + 1 nªn
99
100100 + 1

VËy

M < N.

Các bài toán tương tự:
Bài 1: So s¸nh :
15
a/ A = 1316 + 1

13 + 1

1999
b/ A = 19991998 + 1

1999

16
B = 1317 + 1

vµ

13 + 1

2000
B = 1999 1999 + 1

vµ

+1

100
c/ A = 100 99 + 1

1999

69
B = 100 68 + 1

vµ

100 + 1

+1

100 + 1

Bài 2: Chøng tá :
a/ H =
b/

1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + .. +
+ ..... + 2 < 1
2
2
2
3
4
2003
n

(n∈ N * , n ≠ 1)

1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + .. +
<

2
2
2
2
4
6
100

c/

1 1
1
1
1
1
< 2 + 2 + 2 + .. +
<
2
6 5
4
6
7
100

 D¹ng 7: Chứng minh chia hết.
- Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để
tính cho hợp lý và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp khi biến
đổi.
 Chú ý: Nếu a  m, a  n, (m;n) = 1 thì a  m.n

(a, m, n ∈ N*)

Bµi 2: Chøng tá r»ng:
a/

A = 102008 + 125  45

b/

B = 52008 + 52007 + 52006  31

c/ M = 88 + 220  17
d H = 3135 . 299 – 3136 . 36  7
Hướng dẫn :
a/ Ta cã: 102008 + 125 =

100...0

2008 sè 0

+ 125 = 100...0125
2005 sè 0

Trang 19


Trng THCS Tõn Bỡnh
thng gp

Ly tha v mt s dng toỏn

A có tận cùng là 5 => A 5
Tổng các chữ số của A là : 1+1+2+5 = 9 => A 9.
Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45
b/

Ta cú:
B = 52008 + 52007 + 52006
B = 52006 .( 52 + 51 + 1)
B = 52006 . 31 31

Vớ d 2 . Cho A = 2+ 22 + 23 ++ 260
Chứng tỏ rằng :

A3 , A7 , A5

Hng dn :
A = 2+ 22 + 23 ++ 260
= (2+22)+(23+24)+(25+26)+...+(257+258)+(259+260)
= 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+...+257.(1+2)+259.(1+2)
= (1+2).(2+23+25+...+257+259)
= 3.( 2+23+25+...+257+259)
=> A3
Tng t, ta cú : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)++(258+259+ 260 )
= 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+...+258.(1+2+22)
= (1+2+22).(2+24+27+...+258)
= 7.(2+24+27+...+258)
=> A 7
A = (2+ 23)+(22+24)++(257+259)+(258+ 260 )
A = 2(1+22)+22(1+22)++257(1+22)+258(1+22)

= (1+22).(2+22+25+26+...+257+258)
= 5. (2+22+25+26+...+257+258
=> A5
Cỏc bi toỏn tng t:
1.

Chng t rng:
b/ 3+33+35+37++32n+1 30 (n N*)

a/ 3 + 32 + 33 + 34 +...+ 32007 13
c/ 13+33+53+73 23
e/ 1+5+ 52 + 53 ++ 5403+5404

d/ 71 + 72 + 73 + 74 +... + 74n-1 + 74n 400
31

f/ 87 218 14
Trang 20


Trường THCS Tân Bình
thường gặp
g/ 122n+1 + 11n+2 133

Lũy thừa và một số dạng toán

h/ 817 – 279 - 913 405

i/ 70+71+72+73+…+7101 8

j/ 106 – 57 59

k/ 4+ 42 + 43 +44 +…+ 416 5

l/ 439+440+441 28
n/ 2000+20002+20003 + …+20002008 2001

m/ 1099+23 9
o/ 1028 + 8 72

p/ 3+ 35 + 37 +…+ 31991 13 vµ 41

Phần III: Kết quả thực hiện
Trong quá trình hướng dẫn các em học sinh khối 6, 7 học chuyên đề này, kết quả
HK I năm học 2012 – 2013; năm học 2013 – 2014, 2014 – 2015 cho thấy các em
không những giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề
này, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán lũy thừa nói
riêng.
Năm học 2012 -2013:
Lớp
7/1
7/11

Giỏi- tỉ lệ
39 – 97,5%
14 – 32,6%

Khá - tỉ lệ
1 – 2,5%
18 – 41,9%

Tb - tỉ lệ
0
6 – 14%

Yếu - tỉ lệ
0
2 – 4,7%

Kém - tỉ lệ
0
3 – 7%

Khá - tỉ lệ
0

Tb - tỉ lệ
0

Yếu - tỉ lệ
0

Kém - tỉ lệ
0

Khá - tỉ lệ
1 – 2.3%
5 – 1.9%

Tb - tỉ lệ

1 – 2.3%
6 – 14.3%

Yếu - tỉ lệ
0
1 – 2.4%

Kém - tỉ lệ
0
0

Năm học 2013 -2014:
Lớp
7/1

Giỏi- tỉ lệ
44 – 100%

Năm học 2014 -2015
Lớp
6/2
6/9

Giỏi- tỉ lệ
41 – 95.3%
28 – 66.7%

Phần IV: Kết luận
“Toán lũy thừa trong Q” là một mảng kiến thức khá rộng mà trong đó mỗi dạng
toán có thể mở rộng thành một chuyên đề. Vì vậy, để giới thiệu tới học sinh một

cách đầy đủ các dạng bài tập là rất khó. Trong phạm vi của chuyên đề này với hệ
thống bài tập từ dễ đến khó trong từng dạng toán , chúng tôi hy vọng đem đến cho
các em học sinh một số phương pháp làm bài tập có liên quan đến lũy thừa, giúp
Trang 21


Trường THCS Tân Bình
thường gặp

Lũy thừa và một số dạng toán

các em yêu thích toán đào sâu kiến thức về mảng lũy thừa dưới dạng các bài tập.
Tuy đã rất cố gắng trong công việc sưu tầm và biên soạn, nhưng chắc chắn những
hạn chế trong chuyên đề này là không thể tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận
được sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn
chỉnh hơn.
Tân Bình, ngày 20 tháng 01 năm 2015
Người thực hiện

Vũ Quang Liêm

Trang 22