Tập lồi, đa giác lồi và một số dạng toán phủ đa giác lồi

1

Lời mở đầu
Trong hình học nói chung và hình học tổ hợp nói riêng bao lồi, đa giác lồi
và bài toán phủ đa giác lồi là những khái niệm quan trọng và đà đợc trình bày
trong nhiều giáo trình của hình học tổ hợp.
Mc ích của khóa luận tốt nghiệp này là trình bày các vấn đề: Tập lồi, đa
giác lồi và một số bài toán phủ đa giác lồi; cụ thể l trình by mt cách h thng
các định nghĩa, các định lý c bn v chng minh chi tit mt s định lý và bổ đề
v tập lồi, bao lồi và một số dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp.
Đặc biệt khóa luận trình bày một số tính chất của bao lồi và các bài toán phủ đa
giác lồi, đa ra và chứng minh đợc một số ví dụ và bài toán.
Cấu trúc của khóa luận này gồm hai chơng.
Chơng1. Cơ sở lý thuyết. ở đây chúng tôi đà hệ thống lại và chøng minh chi
tiÕt mét sè tÝnh chÊt vÒ tËp låi, bao lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số, nhắc lại
định lý Helly và đà đa ra đợc mét sè vÝ dơ, øng dơng cđa c¸c tÝnh chÊt và định lý.
Chơng 2. Một số dng toán ph đa giác lồi. Trong chơng này chúng tôi
trình bày kiến thức về các dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp,
bao gồm các khái niệm về phủ đa giác lồi, các định lý và bổ đề về bài toán phủ
đa giác lồi, hơn nữa trong chơng này nghiên cứu đến bài toán phủ một đa giác lồi
bất kì bằng những đa giác lồi đồng dạng hoặc vị tự với nó. Chúng tôi đà đa ra
một số bài toán để nói rõ về các dạng bài toán phủ đa giác lồi, bao gồm một hình
tròn phủ hữu hạn điểm đà cho hoặc phủ một đa giác lồi.
Khóa luận này đà đạt đợc các kết quả sau
1) Trình bày có hệ thống khái niệm tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và
bao đóng đại số, phủ hình.
2) Chứng minh mét sè tÝnh chÊt cña tËp låi, bao låi, phần trong đại số và
bao đóng đại số, các định lý về các dạng bài toán phủ đa giác lồi. Những tính
chất này hầu hết đợc nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác dới dạng tóm tắt, chú ý
hoặc bài tập.
Vinh, tháng 5 nm 2009

Tác gi

Chơng I Cơ sở lý thuyết
Trong khóa luận này chúng tôi xét không gian vectơ Ơclít n - chiều E n ,
là tËp c¸c sè thùc.
Ta kÝ hiƯu:


2

*

.

là chuẩn trong E n .

* int A là phần trong cña A
* co  A  là bao lồi của A .
* B  x, r  : y  R n : x  y  r lµ hình cầu mở tâm x bán kính r 0 .
*



B  x, r  : y  R n : x  y r

* Giả sử

x, y  E n ,

là hình cầu đóng tâm x bán kính

r 0.

 .

 x; y   x  1    y : 0  1
 x; y   x  1    y : 0    1
 x; y   x  1    y : 0   1
 x; y   x  1    y : 0   1

`

1.1. TËp låi, bao låi
1.1.1. Tập lồi
1.1.1.1. Định nghĩa
- Gi s
x y ,

x, y E n .

Đoạn thẳng x, y là tập hỵp  x  1    y / 0  1 . NÕu

phÇn trong  x, y  của x, y là tập hợp x  1    y / 0   1 . Tơng tự ta có

thể định nghĩa x, y  vµ  x, y  .
- Giả s A E n . Tập A đợc gọi lµ låi nÕu  x, y   A víi mäi
1.1.1.2. VÝ dô

x, y  A .

a) H  a lµ mét tËp låi.
b) H  a, b  lµ mét tËp låi. ThËt vËy, gi¶ sư x, y   a, b  . Ta lÊy bÊt kú z   x, y  ta
cÇn chøng minh z   a, b  . Do z   x, y  nªn z  x   1    y , v× x, y   a, b 
 x x .a   1  x  .b vµ y  y .a   1   y  .b ( 0 x ,  y 1 )



 z   x .a   1  x  .b    1    .  y .a   1   y  .b



x .a    1  x  .b   1     y .a   1     1   y  .b.
x .a     x  .b    y   y  .a   1     y   y  .b.





 x   y   y  .a   1  x   y   y  .b  x   y   y  .a  1   x   y   y  .b


3

 .a   1    .b . Trong ®ã,  x   y   y .  z   a, b  ,

 0  1 .

VËy H  a, b  lµ mét tËp låi.
c) B  x, r  , c¸c nưa không gian là các tập lồi.
1.1.1.3. Định nghĩa (xem [4])

Tổ hợp lồi (hữu hạn) của các điểm

x1 , x 2 ,...., x n E n

là một điểm của E n

cã thĨ biĨu diƠn díi d¹ng :
n

x  i xi , trong ®ã i 0 i 1,2...., n  và
i 1

n



i

1 .

i 1

1.1.1.4. Mệnh đề (xem [4])
Giả sử A  E n . Khi đó, A là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các phÇn tư cđa nã.
Chøng minh
Ta chØ cÇn chøng minh r»ng, nếu A là tập lồi thì nó chứa mọi tổ hợp lồi
n

các phần tử của nó, nghĩa là x i xi  A víi mäi

xi  A, i 0 i 1,2,...., n 

và

i 1

n



i

1 . ThËt vËy, ta sÏ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n.

i 1

Với n 2 , ta cã x 1 x1  2 x2  A víi mäi x1 , x 2  A , 1 ,  2
1  2 1

0

và

(v× A là tập lồi). Vậy kết luận đúng với n 2 .
k

Giả sử kết luận đúng với n k 2 , nghÜa lµ x  i xi  A víi mäi
i 1

k

xi  A, i 0 i 1,2,...., n 

và



i

1 . Ta chỉ cần chứng tỏ kết luận đúng với

i 1

k 1

n k  1 .

Ta cã thĨ gi¶ thiÕt

0  k 1  1 ,

bëi v× nÕu

 k 1 1



th× tõ

i

1 và

i 1

i 0 (i 1,2,..., k  1)

ta cã

ta suy ra

1   k 1 1   2  ....   k  0

1 2 ......  k 0

i
v 1 0
k 1

và do đó

x x k 1  A .
k

(i 1,2,..., k ) .

V×

Khi ®ã,

i

1 
i 1

1
k 1


4
k

nên theo phơng pháp

quy nạp

ta có

i
xi A .
i 1 1   k 1

y 

Do ®ã,

x 1   k 1  y   k 1 x k 1  A .

1.1.1.5. MƯnh ®Ị
Giả sử A  E n . Khi đó A là tập lồi khi và chØ khi     A A  A víi mäi

 0,  0 ,  ,    .
Trong ®ã :     A     .a / a  A
 A   .a / a  A
 A   .b / b  A

Chøng minh
+) Khi   0  Mệnh đề luôn đúng.
+) Khi , không đồng thêi b»ng kh«ng
A



A
A A  1    A, 0  1 .
 
 

nÕu A lµ tËp låi th×

A A  1    A,

   0 .

Khi đó

Ta chỉ cần chứng minh rằng,

ta có:

A   1    A  .a   1    .b / a, b  A ,

A  A  1    A,

- Ta chøng minh:

thËt vËy, lÊy a  A suy ra

a a1  1    a 2  A  1    A  A  A  1    A,

- Ta chøng minh:

A  1    A  A ,

(1)

ta còng lÊy a bÊt kú thuéc vµo

A  1    A  a a1  1    a 2 , a1 , a 2  A . Do A låi a  A

 A  1    A  A

VËy, tõ (1) vµ (2) suy ra:

(2)

A A 1 A .

Ngợc lại, gi¶ sư A A  1    A ta chøng minh cho A lµ tËp låi .
LÊy x, y  A , víi 0  1 ta cÇn chøng minh x  1    y  A . Do
x  1    y  A  1    A  A .

Suy ra A là tập lồi. Vậy mệnh đề đợc chứng minh.

1.1.1.6. MƯnh ®Ị (xem [4])
i) Giao cđa mét hä t ý các tập lồi là tập lồi, (nghĩa là, giả sư
Ai  E n , i  I

là c¸c tËp låi, víi I lµ tËp chØ sè bÊt kú. Khi đó, tập

tập lồi.
ii) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là tập lồi.

A Ai
iI

cũng là


5

iii) ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi.
Chứng minh
A Ai

i) Gi s Ai iI là họ các tập lồi của E n . Đặt
x, y A

ta có

x, y  Ai ,

iI

. Khi ®ã, ta lÊy

víi mäi i  I . Do ®ã, víi 0  1 ta cã x  1    y  Ai với

mọi i I . (vì Ai là tập lồi). Tõ ®ã suy ra,

x  1    y  A .

VËy, A lµ tËp låi cđa E n
ii) Gi s
Đặt

Ai E n , i I

là tập låi vµ i   (i=1,2,…n).

A 1 A1   2 A2  ...   n An .

Khi ®ã, víi

x 1 x1   2 x 2  ...   n x n ; y 1 y1   2 y 2  ...  n y n ;

x, y A

và 0 1 (gi s

trongđó:

xi , y i  Ai  i 1,2,..., n  ).

Ta cã: x  1    y   1 x1  2 x2  ...  n x n   1    1 y1  2 y 2  ...  n y n 
1  x 1  1    y1   2  x 2  1    y 2   ...  n  x n  1    y n   A

(v×

A i là

các tập lồi nên xi 1  y i  Ai ,  i  1,2,..., n  ). Vậy, A là tập lồi của E n .

iii) Giả sử W là không gian véctơ trên và

f : En W

là ánh xạ tuyến tính

từ E n vµo W .
Giả sử A  E n là tập lồi. Khi đó, với
x f a , y  f  b  , trong ®ã a, b  A ), ta cã:

x, y  f Aá

và 0 1 (gi s

x 1   y f  a   1    f  b   f  a   f  1   b   f  a  1   b   f A (vì f là ánh xạ

tuyến tính nên f  a   1    f  b   f  a   f  1   b   f  a 1 b và vì A là tËp låi
nªn

a  1   b  A ).

VËy,

f  A

lµ tËp låi cđa W .

Giả sử B  W là tập lồi. Khi đó, với

x, y f

1

B  , ta cã

®ã, víi 0  1 ta cã f  x  1    y  f  x   1    f y B (vì
tính và B là tập lồi). Từ đó suy ra,
Vây, f 1 B  lµ tËp låi cđa E n .

x  1    y  f

1

f

f  x , f y B .

Do

là ánh xạ tuyến

B .

1.1.2. Bao lồi
1.1.2.1. Định nghĩa (xem [6]). Cho A E n
- Giao của tất cả các tập lồi chứa A đợc gọi là bao lồi của A . KÝ hiƯu lµ :
co(A) .


6

- Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A đợc gọi là bao lồi đóng của A .
Kí hiƯu lµ : co  A  .
1.1.2.2. NhËn xÐt (xem [6])
i) co(A) lµ tËp låi nhá nhÊt chøa A .
ii) A lµ tËp låi khi vµ chØ khi A co A .
iii) co  A  lµ tËp låi ®ãng nhá nhÊt chøa A .
1.1.2.3. MƯnh ®Ị (xem [4])
NÕu A là tập lồi thì bao đóng
Chứng minh

co(A)

của A cũng lµ tËp låi.

LÊy x1 , x 2  co A §Ỉt x x1  1    x 2 ),  0  1 . Giả sử U lµ một lân cận
lồi của điểm 0 . Do

x1 , x 2  co A nªn

x ' i   xi  U   A,  i 1,2 . Ta ®Ỉt

 xi  U   A ,  i 1,2 . Suy ra tån t¹i

x ' x '1  1    x ' 2 ),  0  1 dÔ thÊy

x'  A .

Do

'
'
x1 , x 2  A nªn ta cã:

x '    x1  U   1   . x 2  U   x  U

Do ®ã,  x  U   A  suy ra
VËy,

co(A)

x  co A .

cũng là tập lồi.

1.1.2.4. Mệnh đề (xem [4])
Bao lồi ®ãng cđa A trïng víi bao ®ãng cđa bao låi A : co A co A .
Chøng minh
Do co(A) lµ tập lồi nên co A cũng là tập lồi theo nhận xét 1.1.2.2 thì

co A

là

tập

lồi

đóng

chứa

A.

Suy

ra

co A co A .

(3)
Mặt khác, do
A

nên

co(A)

là giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa

co A co A

(4)
Từ (3) và (4) ta suy ra:

.

co A co A

1.1.2.5. MƯnh ®Ị (xem [6])

Do

®ã

co A  co A .


7

i) Nếu

A, B E n

là các tập lồi thì

co A  B  

 A  1    B .

0  1

x  co A

ii) Gi¶ sư A E n là tập lồi. Nếu
Chứng minh
i) Đặt

C 

th×

co A  x  co A .

 A  1    B . §Ĩ chøng minh

co A  B  C ,

0  1

vµ C  co A  B  .
Víi mäi a  A, b B và 0 1 thì
Vậy, C co A  B 

ta chøng minh

co A  B   C

a  1   b  co A B

(vì

a, b A B ).

(5)
Ngợc lại, ta chøng minh co A  B   C , nghĩa là ta lấy một phần tử bất kỳ
thuộc vµo
co A  B 

co A  B  ,

chøng minh cho nã thuéc C . ThËt vËy, lÊy x bất kỳ thuộc
n

m

i 1

j 1

nên x có dạng x i ai    j b j .
n

(trong ®ã

ai  A, b j  B; i 1,2,...., n; j 1,2,...., m )

víi

i ,  j

sao cho

m

 i    j 1
i 1

j 1

.
n

m

i 1

j 1

 Giả sử  i 0 , víi mäi i 0 th× x   j b j ; b j  B .
m
j
b j ,  s 1 nªn x   j b j là tổ hợp các phần tử
j 1
j 1 s

n

Đặt

m


j 1

j

s x s

thuộc B . Vì B là tập lồi nên x B .
Gi s

n

m

i 1

j 1

  i 0 , víi mäi  i 0 th× x  i ai ; ai  A .

n

Đặt

m

i p x p
i 1

j 1

j
p

m

ai ,  p 1

nªn suy ra x  i ai là tổ hợp các phần
i 1

tử thuộc A . Vì B là tập lồi nên x A .
m

n

Giả sử  i  ,  0 vµ  1 . Khi ®ã
i 1

Do ®ã.

j 1

 m j

 n  
x    i ai   1   . 
b j 

 i 1  
 j 1 1   
a  1   b  A  1    B

m

m

  j 1   ,   j 0,   j 1 .

víi 0  1 .

j 1

j 1


8

VËy x  C hay
Tõ (5) vµ (6) suy ra

x

 A  1    B . suy ra

0  1

co A  B  

 A  1    B .

0  1

ii) Gi¶ sư A E n , A là tổ hợp, theo giả thiÕt
x  A  co A  co A .

suy ra

(6)

co A  B   C

x  co A

vµ

A co A

nên

Do đó. co x A  co  co  A   co  A

Ngợc lại, A x A nên
Vậy, co x  A co A .

co A  co x A .

1.1.2.6. Bổ đề (xem [4])
Nếu A là tập lồi thì A , int A cũng là tập lồi.

Chứng minh
A là tập lồi.
Giả sử x, y A , ta chøng minh z x  1    y  A , víi 0  1 . Ta cã tån
t¹i hai d·y  x n  ;  y n   A sao cho

x n  x; y n  y

z n x n  1    y n  x  1    y  z .

VËy

khi n   , thì

Vì A là tập lồi nên

zn A .

Suy ra

z A.

là tập lồi.
int A là tập lồi.
Cách 1: Lấy x, y A . Khi đó tồn tại lân cËn U cña x sao cho U  A . Do
A là tập lồi nên x, y đợc biểu dới d¹ng z x  1    y víi 0  1 .
Ta cã U  1   y là một lân cận của z vào U  1    y  A . Suy ra x, y  int A .
Do ®ã int A là tập lồi.
Cách 2: Với mọi x, y int A , ta chøng minh z x  1    y  int A víi
(*)
0  1 . Giả sử tồn tại hình cầu mở B tâm O sao cho x  B  A, y  B  A .

Khi ®ã z  B x  1    y  B  1    B
A

  x  B   1    y  B   A

z  int A .

(vì A là tập lồi và theo (*)).

Suy ra

Vậy int A là tập lồi.

1.1.2.7. Mệnh đề (xem [6])
Cho A là tập mở, khi đó bao lồi của tập mở A là tập mở.
Chứng minh
Giả sử
int A int co A .

A

là một tập mở khi đó

Vì vËy A  int  co A  .

A int A

mà

A co A

nên


9

Tõ bỉ ®Ị 1.1.2.6 suy ra int  co A là tập lồi mà nó chứa A , vì thế
co A int co A

(7)

Mà ta luôn cã: int  co A   co A

(8)

Tõ (7) vµ ( 8) ta cã co A int  co A . Vậy

co A

là tập mở.

1.1.3. Phần trong đại số và bao đóng đại số
1.1.3.1. Định nghĩa
Giả sử A E n .
a) Phần trong đại số A i của A là tập tất cả các điểm x A sao cho mọi
đờng thẳng m đi qua x trong E n , giao cđa m vµ A chøa mét đờng thẳng mà
x thuộc phần trong của đoạn thẳng đó.
b) Bao đóng đại số A a của A là tập hợp của A và tập hợp tất cả các
điểm x  E n sao cho tån t¹i a  A sao cho  a, x   A .
c) TËp A đợc gọi là tập mở đại số nếu A i  A .

Chó ý. Víi mäi x  A , ta cã:
x  A i  y  E n  z   x, y   x, z   A



 y  E .   0  x, x  y   A .

 y  E n    0  x y, x y A
n

1.1.3.2. Định lý (xem [5])
Nếu C E n là tập lồi thì C i , C a cịng lµ tËp låi.
Chøng minh
a) Víi x, y  C i vµ 0  1 ta cÇn chøng tá z x  1    y  C i . ThËt vËy,
víi u  E n , v×

x, y  C i

 y, y 0 C . Giả sử
và

nên tồn tại

x 0   x, u 

vµ

y0   y, u 

x 0 x  1   u , y 0 y 1 u ,

đặt

max  ,  

®ã,

c a  1   b  C

a x  1   u, b  y  1   u

sao cho  x, x0 C và

trong đó

0 , 1 .

Khi ®ã,

th× ta cã a   x, x0  , b y, y 0 . Do

và hơn n÷a

c    .x   1    .u    1      . y   1    .u    .x   1    . y    1    .u

 .z   1    .u   z, u  .

Tõ ®ã suy ra,  z, c C

z Ci .

Vây, C i là tập lồi.


10

b) Víi

x, y  C a

vµ 0  1 ta cần chứng tỏ

a, x C và b, y C . Đặt

c a 1   b  C

z x  1    y  C a .

ThËt vËy,

th× ta cã  c, z   C th× ta cã

 c, z C (vì 0 1 nên ta có:
.c   1    z    a   1    b    1      x   1    y 
  a  1    x   1    b  1    y   C .

Suy ra z  C a .
VËy, C a là tập lồi.
1.1.3.3. Định lý (xem [5])
Giả sử C E n là tập lồi. Khi đó, ta có

i) int C  C i .
ii) C a  co C  .
iii) nÕu x  int C vµ
Chøng minh
i) int C  C i .
Víi

x 0  int C ta

cÇn chứng tỏ

tồn tại lân cận U của
x 0  y 0
 

y  co C 

x0

th×  x, y   int C

x0  C i .

ThËt vËy, víi

. Tõ ®ã suy ra,  x0 ; x0  y 0   C . VËy,
C a  co C  .

V×

C  co C 

C a \ C  co C  .

y0  C a \ C

x 0  y 0  U  C

C a  co C

ta suy ra tồn tại

Giả sử U là mét l©n cËn bÊt kú cđa
  x0  1    y 0

x 0  int C

nªn

víi mäi ,

x0 C i .

nên để chứng minh

Thật vậy, với

, vì

sao cho U C . Mặt khác, từ tính liên tục của ánh xạ

tại 0 , ta suy ra tån t¹i   0 sao cho

ii)

y0  E

y0 .

ta chØ cÇn chøng minh
x0  C

sao cho  x0 ; y 0   C .

Khi đó, từ tính liên tục của ánh xạ

tại 0 , ta suy ra tån t¹i   0 sao cho x0  1    y 0  U víi mäi

. Do ®ã, U  C  . Suy ra, y 0  co C  . VËy C a  co C  .
iii) Tríc hÕt ta chú ý, với mỗi a, b E , , 0 và mỗi lân cận U cña
a ta cã b   U  a  là một lân cận của b .

,



Với

x 0  int C , y 0  co C 

vµ 0   1 ta cÇn chøng tá

z 0 x0  1    y 0  int C

. ThËt vËy, ta cã thĨ gi¶ thiÕt 0    1 , bëi v× nÕu  1 th× ta có ngay
. Vì

x 0 int C

nên tồn tại lân cËn U cña

x0

z 0  x 0  int C

sao cho U  C . Khi ®ã, ta cã


11
1
V 
 z 0  U 
1 

y 0  co C ).

là một lân cận của

Giả sử

1
c
z 0 u ,
1

là một lân cận của

z0

(vì

y0 .

Từ đó suy ra tồn tại c V C (vì

trong đó u U . Khi đó, ta cã

z 0 1    c  u )

W 1 c U

và W C (vì C lµ tËp låi). VËy,

z 0  int C .

1.1.3.4. Định lý (xem [5])
Giả sử C E n là tËp låi. Khi ®ã, ta cã:
i)

int C int co C  C i .

ii) co C  co int C  C a .
Chøng minh
i) int C int co C C i .
C i int C
Theo định lý 1.1.3.3 (i) ta cã int C  C i .
(9)
Giả sử x C i . Khi đó, víi y  int C ta cã theo gi¶ thiÕt y  x , v× nÕu
y  x th× ta cã ngay

x  int C ),

v× x  C i nên tồn tại z E sao cho x  y, z  vµ
 x, z   C co C . Theo định lý 1.1.3.3 (iii) ta cã  y, z   int C vµ do ®ã x  int C .
Tõ ®ã suy ra, C i  int C
VËy, tõ (9) vµ (10) ta cã C i int C .
 int C int co C  .
 Ta cã int C  int co C . Hiển nhiên
Giả sử
1.1.3.3 (i) ta có
x   y, z 

x  int co C  .

Khi ®ã, víi

int co C    co C  

i

suy ra

(10)

(11)
y  int C

, v×

x   co C

i

x int co C

theo định lý

nên tồn tại z E sao cho

và x, z co C . Theo định lý 1.1.3.3(iii) th× ta cã  y, z   int C và do đó

x int C .

Từ đó suy ra

(12)

int co C   int C

VËy, tõ (11) vµ (12) ta cã

int C int co C  .

ii)

co C  co int C  C a .



C a co C .

Theo định lý 1.1.3.3(ii) ta có

C a co C 

(13)


12



Giả sử

x co C .

Khi đó, với

y int C  C ,

 y, x   int C C (theo định 1.1.3.3(iii)) do đó x C a . Từ đó suy ra
(14)
Vậy, từ (13) và (14) ta cã
co C  C a .



co C   C a

co C  co int C  .

 Ta cã

co int C   co C  .

 Giả sử

x co C

tục của ánh xạ
y 1 x U

đó

ta có

Hiển nhiên.

(15)

và U là một lân cận bất kỳ của x . Khi ®ã, tõ tÝnh liªn

  y  1    x

víi mäi    ,

t¹i  0 , ta suy ra tån t¹i   0 sao cho



và do đó U int C (vì y, x   int C ). Do

x  co int C  .

co C   co int C 
Tõ ®ã suy ra :
co C  co int C  .
VËy, tõ (15) vµ (16) ta cã

(16)

1.2. Mét sè tính chất của tập lồi
1.2.1. Định lý (xem [5])
Giả sử C  E n lµ tËp låi vµ x  C i , y  C a . Khi ®ã, ta cã  x, y   C i .
Chøng minh
Víi 0  1 ta cÇn chøng tá z x  1    y  C i . ThËt vËy, ta xÐt hai trêng
hỵp sau:
a) Trêng hỵp 1: NÕu y  C . Khi ®ã, víi u  E n , vì x C i nên tồn t¹i
a   x, u 

Ta cã:

sao cho  x, a   C . Gi¶ sư

a x  1   u

víi 0    1 . Khi ®ã, víi

c

 1  

z
u   z, u 
  1  
  1  

c


 x  1    y   1    u
  1   
  1   



 1   

y
x  1   u 

  1   
  1   


13



 1   

y
a   y, a  C  .
  1   
  1   

Trong ®ã, a x  1   u 
Tõ ®ã, suy ra:  x, c   C . VËy,  x, y   C i .
b) Trờng hợp 2:

y Ca \ C .

Ly

y' C

(vì

y '   y, z  .



z  x, y '

Theo trờng hợp 1 để chứng minh

). Tht vậy, vì

y Ca \ C

z Ci

ta chØ cÇn chøng tá

bC

sao cho  b, y   C . Ta cã thĨ gi¶ thiết (b) không thuộc đờng thẳng đi qua

nên tồn tại

x và y (vì nếu (b) thuộc đờng thẳng đi qua x và y thì ta có hoặc
y ' b, x

hoặc

từ đó suy ra

y' C .

a .b   1    x  C (v× x C i ). Giả sử

m

cắt

b, y

y ' 1    x  y .

Khi ®ã, với 0 đủ nhỏ ta có

m là đờng thẳng đi qua a và


1
1   
c  C ,  c 
b
 



tại

y ' a, c .

Do đó,

Vậy,

y '   b, y 


y  ,


trong ®ã

y'

. Khi ®ã,

0 1

và

y' C .

1.2.2. Mệnh đề
n

Giả sử C1 , C2 ,..., Cn là các tập lồi thì C  i .Ci cịng lµ tËp låi , víi  i   .
i 1

Trong ®ã:  .C   .c / c  C .
C1  C2  c1  c2 c / c1  C1 , c2  C2  .

Chøng minh
n

Gi¶ sư x, y  C   i .Ci ta cÇn chøng minh  x, y   C hay

i 1

z  .x   1    . y  C ; 0  1 . Do x, y C nên x và y sÏ cã d¹ng nh sau:
n

x   i .xi ;
i 1

n

y   i . yi ; víi xi , yi  Ci . Khi ®ã ta cã:
i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

z  .  i .xi   1    .  i . yi   i  .xi   1    . yi  ;

0  1

Do gi¶ thiÕt xi  Ci ; yi  Ci  .xi  Ci ;  1    . yi  Ci vµ các Ci là tập lồi nên

suy ra .xi  1    . yi  Ci låi.


14
n

VËy z    i .Ci C .
i 1

1.2.3. MƯnh ®Ị (xem [5])
Giả sử A  E n . Khi đó, bao lồi
điểm thuộc A .
Chứng minh

co(A)

là tập tất cả các tổ hợp lồi của các

Gi s B là tập tất cả các tổ hợp lồi của A . Vì co(A) là tập lồi, theo
nhận xét (1.1.1.3) thì A co A nên theo mệnh đề 1.1.1.4 suy ra B co A .
(1)
Để chứng minh điều ngợc lại co A  B tríc hÕt ta chøng minh B là tập
lồi. Thật vậy, lấy

x, y B

n

Trong đó,

n

n

i 1

j 1

khi đó x, y có dạng sau: x i ai vµ x   j b j .

a j , b j  A, i, j  I

vµ

n



1,   j 1,  j ,  j 0, i, j  I . Víi 0  1 ,

i

i 1

j 1

n

n

n

n

i 1

j 1

i 1

j 1

ta cã x  1    y    i ai  1      j b j   i ai   1     j b j
n

vµ

n

    1    
i

i 1

j 1

n

Do ®ã

j

n

n

i 1

j 1

   i  1      j   1    1 .

n

  a   1     b
i

i 1

i

j

j

 B hay x  1    y  B suy ra B là tập lồi.

j 1

Mặt khác, A B mà

co(A)

là tập låi nhá nhÊt chøa A nªn

co A  B .

(2)
B co A .
VËy, tõ (1) vµ (2) ta suy ra:
Tõ mệnh đề trên ta suy ra hệ quả sau:
1.2.4. Hệ quả (xem [6])
Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của nó.
1.2.5. Định lý (Carathéodory)
Cho tập C n . Khi đó mỗi x co C đều là tổ hợp lồi của không quá n 1
điểm thuộc C .
Chøng minh


15
k

Theo mƯnh ®Ị 1.2.3 x   i .xi , xi  C ,
i 1

k



i

1 ,  i 0 .

i 1

 Trêng hỵp 1: NÕu  x1 , x2 ,..., xr  ®éc lËp affine  dim  x1 , x2 ,..., xr r 1
Mặt khác, dim x1 , x2 ,..., xr  n . Suy ra r  1 n vËy r n  1 .
 Trêng hỵp 2: NÕu  x1 , x2 ,..., xr  phơ thc affine. Ta chøng minh cã thĨ
biĨu diƠn x dạng tổ hợp lồi của r 1 ®iÓm thuéc C .
+) NÕu  y1 , y2 ,..., yr 1 độc lập affine ta áp dụng trêng hỵp 1 ta cã:
dim  y1 , y2 ,..., yr  1 r  2 n  r  1 n  1 .

+) NÕu  y1 , y2 ,..., yr  1  phơ thc affine th× ta lại xét hệ điểm là y1 , y2 ,..., yr 2 .
p

Sau hữu hạn bớc thì dừng ®Õn  z1 , z2 ,..., z p  lµ hệ độc lập affine mà x j .x j ,
j 1

x j  C  p n  1 .

1.2.6. MƯnh ®Ị (xem [4])
Bao låi cđa mét tËp compact lµ mét tËp compact.
Chøng minh
Giả sử M lµ mét tËp compact vµ mét d·y
x k 0,k a 0,k  1,k a 1,k  ...   n ,k a n ,k ,

1.2.3) ta cã:
n



i ,k

 x   co(M )
k

(theo mƯnh ®Ị

víi a i ,k  M , i ,k 0, i 0,1,..., k ;

1

i 0

Do

M  0,1

lµ tËp compact nên tồn tại dÃy con

i , kt a i , kt  i a i ; a i  M , i 0, i 0,1,..., k và

n


i 0

Khi ®ã, x k  0 a 0  1a1  ....  n a n  co(M )
t

VËy,

co(M )

lµ tËp compact.

1.2.7. MƯnh ®Ị
Giả sử A  E n , b  E n , k   th× ta cã:

i

1

x 
kt

sao cho


16

i)

co kA  kco A .

ii) co A  b co A b .
Chứng minh
i) Theo định nghĩa 1.1.1.3 th×
n
 n


co kA   i xi ; xi  kA   i  kyi  , yi  A, k  R 

 i 1
  i 1

  n


k    i yi  , y i  A  kco A

  i 1


Suy ra: co kA kco A .
Hàm ngợc lại chứng minh t¬ng tù.

(3)

n

n


 

kco A k   i yi ; y i  A; k  R    i  kyi ; yi  A; i 1,2,..., n; k  R 
 i 1

  i 1



n

  i xi ; xi kyi ; y i  A; k  R   co kA .
 i 1


Suy ra:

kco A co kA .

Vây, Từ (3) và (4) suy ra

co kA  kco A .

ii) Theo mÖnh ®Ò 1.2.3 ta cã:
n
n

co A  b   i xi ; xi  y i  b; yi  A,  i 1; i 1,2,...., n
i 1
 i 1


n
n

 i  y i  b ; i 1; i   o,1 ; i 1,2,...., n

i 1
 i 1


n

 n  n
 i y i    i .b;  i 1; i   0,1 ; i 1,2,...., n
 i 1  i 1
 i 1

n
n

 i y i ;y i  A,  i 1; i   0,1 ; i 1,2,...., n  b  co A  b .
i 1
 i 1


(4)


17

VËy,

(5)

co A  b   co A  b
n

n

co A  b  i y i , y i  A, i   0,1;  i 1  b
i 1
i 1


Ngợc lại,

n
n

i y i b, y i  A, i   0,1;  i 1; i 1,2,..., n
i 1
 i 1


n

 n  n
 i yi    i .b;  i 1; y i  A; i   0,1 ; i 1,2,...., n
 i 1  i 1
 i 1

n
n

 i  y i  b ; i 1; i   o,1 ; i 1,2,...., n  co A  b  .
i 1
 i 1



VËy
Tõ (5) vµ (6) suy ra:

(6)

co A  b  co A  b 
co A b co A b .

1.2.8. Định lý
Cho hữu hạn điểm x1 , x2 ,..., xn trong mặt phẳng 2 . Khi đó co x1 , x2 ,..., xn
là một hình đa giác lồi mà đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm x1 , x2 ,..., xn  .
Chøng minh
Ta sÏ chøng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n.
Nếu các điểm x1 , x2 ,..., xn thẳng hàng. Giả sử x1 , x2 là hai điểm xa nhau
nhất trong hữu hạn điểm đà cho. Khi đó co x1 , x2 ,..., xn   x1 , x2  .
 XÐt  x1 , x2 ,..., xn  không nằm trên một đờng thẳng.
+) Với n 3 suy ra định lý luôn đúng. Vì khi đó co x1 , x2 , x3 là một hình tam giác
x1 x2 x3 .

+) Giả sử định lý đúng cho n k ta chứng minh cho định lý đúng với n k  1 .

d

Cho x1 , x2 ,..., xk , xk 1  2 . Theo gi¶ thiÕt quy nạp co x1 , x2 ,..., xk 1 phải là

y

một hình đa giác lồi mà đỉnh của nó thuộc tập hợp hữu hạn điểm

1 x1 , x2 ,...,xx2k . Giả

x

k đó:
1
sử D là miền chứa các điểm x1 , x2 ,..., xr ; r k . Khi

y'

*

y2

D1

yr

y3
H×nh 1

d2


18

Khả năng 1: xk 1 D co x1 , x2 ,..., xk D .
Khả năng 2: xk 1  D qua ®iĨm xk 1
sÏ cã một đờng thẳng không cắt
D , sau đó quay chạm đỉnh của D .

Khi đó sẽ tồn tại hai đờng thẳng qua xk 1
là d1 và d 2 sao cho D sÏ n»m trong miỊn
gäi lµ d1 xk 1d 2 (hình 1).
Trên đờng thẳng d1 có một điểm thuộc tập hợp điểm đà cho xa xk 1 nhất và
ta kí hiệu là y1 .
Cũng tơng tự nh vậy gọi y2 là điểm nằm trên đờng thẳng d 2 mà xa xk 1
nhất. Trên phần của D ta có y1 y2 xk 1 là một đa giác lồi, phần còn lại của D ta
đánh số thứ tự lại cho các đỉnh của nó là y1 y2 ... yr . Khi đó xk 1 y1 yr ... y2 chính là một
đa giác lồi mà đỉnh của nó nằm trong số x1 , x2 ,..., xk . Đó là bao låi cña

 x1 , x2 ,..., xk  .
Gäi G lồi chứa tập hợp điểm x1 , x2 ,..., xk   G  co  x1 , x2 ,..., xk 
+) NÕu x  D1  x  co  x1 , x2 ,..., xk   G .
+) NÕu x  xk 1 y1 y2 . Khi đó ta nối xk 1 với điểm x cắt đờng thẳng y1 y2 tại
một điểm là y ' nào ®ã mµ y '  y1 y2  D1  G  xk 1  G  x  G .
1.2.9. Định lý Helly và ứng dụng
1.2.9.1. Bổ đề
Cho các ®iĨm
¬ng.

x1 , x 2 ,.., x k  E n .

Khi đó các điều kiện sau đây là tơng đ-

i) HÖ  x1 , x 2 ,.., x k  độc lập affine.
ii) Với mỗi

j 1,2,...k

iii) Nếu i ,

thì hệ véctơ xi

i 1,2,...k

x j i j

sao cho:

 1 x1   2 x 2  ...   k x k 0

  1   2  ...   k 0

®éc lËp tuyÕn tÝnh.


19

Th×  1  2
Chøng minh
 i)  ii).

...  k .

j

i) ii) Với mỗi

cố định ta luôn có

L aff  xi  x j / i  j; i 1,2,.., k  . L

aff  x1 , x 2 ,..., x k   x j  L ,

trong đó

là tập affine chứa nên L là không gian

vÐct¬ con cđa E n . Do hƯ  x1 , x 2 ,.., x k  ®éc lËp affine nªn dim  x1 , x 2 ,..., x k  k  1 .
 dim L k  1 .
Mặt khác, cơ sở của không gian véctơ con L là  xi
. Do đó hệ véctơ  xi

 x j  i j

ii)  i) Với mỗi
dim  x1 

 x j  i j và

dim L k  1

độc lập tuyến tính.

j 1,2,...k

thì hệ véctơ  xi

x j , x 2  x j ,...,0,..., x k  x j  k  1

 x j  i j

độc lập tuyến tính thì

khi vµ chØ khi dim  x1 , x2 ,..., x k  k  1 khi

vµ chØ khi hƯ  x1 , x 2 ,.., x k  ®éc lËp affine.
 ii)  iii).
ii)  iii). Với mỗi

j 1,2,...k

1 x1 2 x 2  ...   k x k 0
  1   2  ...   k 0

tÝnh và

, giả sử hệ véctơ xi

x j  i j

®éc lËp tuyÕn

( trong ®ã  1 ,  2 ,...,  k E n ). Khi ®ã, ta cã

  1 x1   2 x 2  ...   j  1 x j  1     1  ...   j  1   j 1   k  x j   j 1 x j 1  ...   k x k
 1  x1  x j    2  x 2  x j   ...   j  1  x j  1  x j    j 1  x j 1  x j   ...   k  x k  x j  .

thiÕt hƯ vÐct¬  xi

 x j i j

Theo giả

độc lập tuyến nên

1 2 ...  j  1  j 1 ...  k 0 ,

từ đã suy ra

 1  2 ...  k .

iii)  ii). Giả sử 1 ,  2 ,...,  j  1 ,  j 1 ,...,  k   mµ
1  x1  x j    2  x 2  x j   ...   j  1  x j  1  x j    j 1  x j 1  x j   ...   k  x k  x j   

1 x1   2 x 2  ...   j  1 x j  1     1   2  ...   j  1   j 1  ...   k  x j   j 1 x j 1  ...   k x k 

V× hƯ sè
víi

1   2  ...   j  1   j   j 1  ...   k 0

 j   1   2  ...   j  1   j 1  ...   k

®ã suy ra

.

thâa m·n ®iỊu kiƯn cđa mƯnh ®Ị iii). Tõ

 1   2 ...   j  1   j 1 ...   k 0 .

VËy, hƯ vÐct¬  xi

 x j  i j

®éc lËp tuyÕn tÝnh.


20

1.2.9.2. Định lý (Định lý Helly xem [2])
Trong E n cho tập gồm hữu hạn các tập lồi

Ai ; i 1,2,..., m

sao cho

cứ mỗi n 1 tập hợp nằm trong giao khác rỗng. Khi đó các tập của có
giao khác rỗng.
Chứng minh
Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp đối với m .
Rõ ràng với m n 1 , theo giả thiết thì định lý đúng.
Giả sử định lý đúng với m k  k  n  1 ta chøng minh định lý đúng với
m k 1 .

Đặt { A1 , A 2 ,...., A k 1 / Ai là các tập lồi,

i 1,2,...., k 1 }.

Theo giả

thiết quy nạp thì i A1 , A 2 , A i-1 , A i 1 ,...., A k 1  gåm k tËp låi thâa m·n kÕt luận
của định lý, do đó tồn tại

xi

A
j

j

; i 1, 2,.., k  1 .

V× k  1  n  1  k  n nªn hƯ

 x1 , x2 ,.., xk 1   E n phô thuéc affine. Theo bổ đề 1.2.9.1 sẽ tồn tại các số

i 0 ,

 k 1
  i xi 
i 1,2,..., k  1 , sao cho  i k11
  i 0
i 1

Không mất tính tổng quát ta gi¶ sư
 r ! ,  r 2 ,..,  k 1

âm,

r k 1.

r

Đặt: p i
i 1

k 1



i

r

k 1

i 1

i 1

i r 1

 p

i r 1

k 1

r

x   i xi th×



j r 1

i 1

k 1

r

y

k 1

Từ 0   i   i 



  i xi
i 1

p



j

j r 1

 p

xj

j

x j  x



i

do ®ã

1 ,  2 ,..,  r

d¬ng,