Bài giảng điều khiển tự động chương 2 mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Mô tả toán học
Phần tử và hệ thống liên tục

Chương 2:

2.1 Phương trình vi phân
2.2 Phép biến đổi Laplace
2.3 Hàm truyền
2.4 Sơ đồ khối
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
2.6 Graph tín hiệu
2.7 Phương trình trạng thái
9/4/2014

1


2.1 Phương trình vi phân
Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một
hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng
phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

dn y
dn1y
dmr
dm1r
an n  an1 n1  ...  a0 y(t)  bm m  bm1 m1  ...  b0r(t)
dt
dt
dt
dt

ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)
r(t) : tín hiệu vào
y(t) : tín hiệu ra
n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân
Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả)

9/4/2014

2


Ví dụ 2.1: Hệ khối lượng – lò xo – giảm chấn
m : khối lượng, [kg]
b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
 Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]
 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]
Lực lò xo :

Flx  ky(t)

Lực giảm chấn :

F(t)

(+)

Áp dụng Định luật II Newton :

d2 y

m 2   Fi  F(t)  Fms  Flx
dt

m

Flx
9/4/2014

Fms

dy
b
dt

Fms



d2 y
dy
m 2 b
 ky(t)  F(t)
dt
dt
3


Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp
Theo định luật Kirchhoff :
uR  uL  uC  u

Trong đó:
1
uC   idt
C

duC
iC
dt
duC
uR  Ri  RC
dt
di
d2uC
uL  L
 LC 2
dt
dt

Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: điện áp uc


9/4/2014

d2uC
du
LC 2  RC C  uC  u
dt
dt

4


Ví dụ 2.2b: Mạch điện RLC nối tiếp
Theo định luật Kirchhoff :
uR  uL  uC  u

Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: dòng điện i



di 1
Ri  L   idt  u
dt C



di
RCi  LC   idt  Cu
dt

Lấy đạo hàm hai vế:



9/4/2014

d2i
di

du
LC 2  RC  i  C
dt
dt
dt

5


Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô
v(t)

b

f(t)

m

dv
 bv(t)  f(t)
dt

m : khối lượng xe
b : hệ số cản (ma sát nhớt)
 Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)
 Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)
9/4/2014

6

Ví dụ 2.4: Bộ giảm chấn trong xe ôtô/ máy móc
m : khối lượng, [kg]
b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
 Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]
 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

d2 y
dy
dr
m 2 b
 ky(t)  b  kr(t)
dt
dt
dt

9/4/2014

7


Bài tập: Viết ptvp mô tả mạch RLC
Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: điện áp uc

i

i
9/4/2014

d2uC
duC
RLC 2  L
 RuC  Ru
dt
dt

d2uC
du
du
RLC 2  L C  RuC  L
dt
dt
dt

8


2.2 Phép biến đổi Laplace

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

9/4/2014

9

2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.1 Định nghĩa
 Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi
Laplace của f(t) là:


F(s)  L [f (t)]   f (t)e st dt
0

s : biến Laplace (biến số phức)
L : toán tử biến đổi Laplace
F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức
định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

9/4/2014

10


2.2 Phép biến đổi Laplace


Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là
một hàm thời gian f(t) xác định bởi:

1
ts
f (t)  L [F(s)] 
F(s)e

ds

2j
1

t0

c

Trong đó :
 C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s
 j là số ảo đơn vị (j2 =-1)

L
L -1
f(t)  F(s)  f(t)

9/4/2014

11


2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.2 Tính chất
1) Tuyến tính

L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s)
L [kf(t)] = kF(s)

2) Ảnh của đạo hàm

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:
300y(t)  5y(t)  20y(t)  100

2 điều kiện đầu:

y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)
y( 0) là vận tốc ban đầu (tại t=0).

Tổng quát: Giải PTVP bậc n cần n điều kiện đầu:
f (0), f (0), f (0), ..., f (n 1) (0)
9/4/2014

12


2.2 Phép biến đổi Laplace
2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0
n

L [f ( n) (t )]  snF(s)   sni f ( i 1) (0)
i 1

L [f (t)]  s 2 F(s)  sf (0)  f (0)

L [f (3) (t)]  s3F(s)  s 2f (0)  sf (0)  f (0)

2b) Nếu các điều kiện đầu = 0
Ví dụ, xét ptvp:

L [f ( n) (t )]  snF(s)

300 y(t)  5y(t)  20 y(t)  100r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

300s2 Y(s)  5sY(s)  20Y(s)  100R(s)
(300s2  5s  20)Y(s)  100R(s)
9/4/2014

13


2.2 Phép biến đổi Laplace
3) Ảnh của tích phân

t
 F(s)
L   f (t )dt  
s
0


4) Ảnh của hàm trễ
f(t-T) = f(t) khi t T

= 0

khi t
L [f (t  T)]  e  Ts F(s)

5) Ảnh của tích chập
ÑN

f1 (t)*f 2 (t) 

t

t

0 f1 (). f 2 (t  )d  0 f1(t  ). f 2 ()d

L [f1 (t)*f 2 (t)]  F1 (s).F2 (s)
9/4/2014

14


2.2 Phép biến đổi Laplace
6) Nhân hàm f(t) với e-t


L [et f (t )]   et f (t )est dt  L [f (t  )]  F(s  )
0

Nhân f(t) với e-t  thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace.
7) Định lý giá trị cuối

f ()  lim f (t)  lim [s.F(s)]
t 

s0

8) Định lý giá trị đầu

f (0)  limf (t)  lim [s.F(s)]
t 0

9/4/2014

s

15


2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị





1 st
L [1(t)]   1(t).e dt  e dt   .e

s
0
0
 st

 st


0

1
1
  (0  1) 
s
s

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

L [K.1(t)]  K.L [1(t)] 

9/4/2014

K
s
16


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản


2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)
h

a0

1

(t)
t

t

0 a


L [(t)]   (t)e dt 
 st

0

0

0

0

0

(t)e
dt 


0

3) Hàm mũ e -t ( >0)




 (t)dt  1

 (s  )t
e
t  st
L [e t ]   e e dt   e  (s )t dt  
s
0
0

9/4/2014

0


0

1

s

17


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

4) Hàm dốc đơn vị

 t khi t  0
r(t)  t.1(t)  
0 khi t < 0

t.1(t)

0

t

Lấy tích phân từng phần

e st
ut ; v
 udv  uv   vdu
s

 st    st
te
e
1
1
L [t.1(t)]   te st dt 

dt  0  2  2
s 0 0 s
s
s

0

Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn …
Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:
t
 L [1(t)] 1
L [t.1(t)]  L  1(t)dt  
 2
s
s
0

9/4/2014

18


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
5) Hàm lượng giác sint, cost, …
cos t  jsin t  e jt

 j t
cos

t

jsin

t


e

1
1 jt  jt
 cos t  e jt  e jt ; sin t 
e e
2
2j

Công thức Euler:





















1 jt
1
e  e  jt e st dt   e  s  j t  e  s  jt dt
2
20
0

L [cos t]  

1 1
1 
s
 

 2

2  s  j s  j 
s  2


1 1
1 
 2
L [sin t ]  ...  


2 j  s  j s  j  s  2
9/4/2014

19


Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)
TT

f(t)

F(s)

1

1(t)

1/ s

2

(t)

1

3

t

1
s

e

8

te
t

t

17

e

18

e t sin t

9/4/2014

cos t

1
(s  )2
s
(s   )2  2

(s   )2  2
20


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?
Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức:

P(s) b ms m  b m 1s m 1  ...  b 0
Y(s) 

Q(s)
a n s n  a n 1s n 1  ...  a 0


(m
PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức
đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.
n

n

i 1

i 1

y(t)  L 1[Y(s)]   L 1[Yi (s)]   yi (t)


Cách phân tích Y(s) phụ thuộc vào loại nghiệm của
mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức).

9/4/2014

21


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn
Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn
Khi đó có thể phân tích :
Q(s)  a n (s  s1 )(s  s 2 )...(s  s n )
A1
A2
Ai
An
P(s)
Y(s) 


 ... 
 ... 
Q(s) s  s1 s  s 2
s  si
s  sn
Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi:

Ai  lim [(s  si ).Y(s)]  [(s  si ).Y(s)]
ssi

Tra bảng ta có:

s s i

 Res [Y(s)]

 Ai 
si t
L 

A
e
i

s

s
i


s s i

1

n

 y(t)   A i esi t  A1es1t  A 2es2 t  ...  A n esn t
i 1

9/4/2014

22

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
5s  3
Y(s) 
s(2s 2  14s  20)
Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5
và hệ số an=a3=2. Do đó có thể phân tích :
A3
A1 A 2
5s  3
Y(s) 



2s(s  2)(s  5) s s  2 s  5
5s  3
3

A1  lim [s.Y(s)]  lim
s0 2(s  2)(s  5)
s0
20

Ví dụ : Tìm y(t) biết

5s  3
7

A 2  lim [(s  2)Y(s)]  lim
s2 2s(s  5)
s2

12
5s  3
22
11
 
A3  lim [(s  5)Y(s)]  lim
s5 2s(s  2)
s5
30
15
9/4/2014

23


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
3
7
11
Y(s) 


20s 12(s  2) 15(s  5)



3
7 2t 11 5t 3 7 2t 11 5t
y(t)  L [Y(s)]  .1(t)  e  e 
 e  e

20
12
15
20 12
15
1

Nhận xét: Tìm giá trị xác lập y() ?
Cách 1:

y()  lim[y(t)]  3 / 20
t 

Cách 2: Dùng định lý giá trị cuối
y()  lim [s.Y(s)]
s 0

5s  3

3
 lim 2

s0 2s  14s  20
20
9/4/2014

24


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội
Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-r
và một nghiệm bội sk lặp r lần
Khi đó có thể phân tích :

Q(s)  a n (s  s1 )...(s  s n r )(s  s k ) r
A1
A n r
Br
B2
B1
Y(s) 
 ... 

 ... 

r
2
s  s1
s  s n r  s  s k 
s  sk  s  sk

Ai  lim [(s  si ).Y(s)]
ssi

1
Bi 
(r  i)!
9/4/2014

( i=1,2,…,n-r)

 d r i

r
lim  r i (s  s k ) .Y(s)   ( i=r,r-1,…,1)
ss k ds


25