Bài giảng điều khiển tự động chương 3 đặc tính động học

Chương 3: Đặc tính động học
Mục đích:
 Phân tích đặc tính động học của các khâu cơ bản.
 Xây dựng đặc tính động học của toàn hệ thống.
Nội dung:
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
10/31/2014

Giới thiệu chung
Đặc tính thời gian
Đặc tính tần số
Đặc tính động học của đối tượng
Đặc tính động học của bộ điều chỉnh
Đặc tính động học của hệ thống
1


3.0 Giới thiệu chung


Khâu động học
Các phần tử điều khiển có dạng mô tả toán giống nhau
được chia thành từng nhóm gọi là khâu động học.
Ví dụ :
- Khâu tỉ lệ có hàm truyền tỉ lệ, như lò xo, cảm biến, điện trở.
- Khâu bậc nhất có PTVP hay hàm truyền bậc nhất, như

mạch điện RL, RC, lò nhiệt, hệ cơ khí mbk với m=0,…
- Khâu bậc hai có PTVP hay hàm truyền bậc hai, như hệ cơ
khí mbk, mạch điện RLC, động cơ DC,…
- Khâu tích phân có mô tả toán dạng tích phân, như bộ trục
vít-đai ốc bàn máy, hệ van nước-bể chứa,…
 Một đối tượng điều khiển, một bộ điều khiển, hay toàn bộ
hệ thống có thể mô tả bằng một khâu động học duy nhất
hoặc nhiều khâu động học cơ bản kết nối lại.


10/31/2014

2


3.0 Giới thiệu chung


Đặc tính động học









Đặc tính động học thể hiện sự thay đổi đáp ứng (tín hiệu ra)
của khâu hay hệ thống khi có tín hiệu tác động ở đầu vào.

ĐT động học bao gồm: đặc tính thời gian và đặc tính tần số.
ĐT thời gian: khảo sát sự thay đổi đáp ứng theo thời gian t.
ĐT tần số: khảo sát sự thay đổi đáp ứng theo tần số .

Hàm thử


Để khảo sát các đặc tính động học đặc trưng của khâu hay
hệ thống, người ta thường dùng một số tín hiệu vào chuẩn,
định trước, như hàm 1(t), (t), hàm dốc, hàm sin. Các tín
hiệu này gọi là tín hiệu thử hay hàm thử.

10/31/2014

3


3.1 Đặc tính thời gian (đặc tính quá độ)
- Khảo sát sự thay đổi của đáp ứng (tín hiệu ra) theo thời gian.
- Đặc trưng bằng hàm quá độ, hàm trọng lượng, đáp ứng dốc.
- Công cụ nghiên cứu: hàm truyền và phép biến đổi Laplace

Tín hiệu vào

Tín hiệu ra

1(t)

t.1(t)

Đáp ứng bậc thang, hay hàm
quá độ, ký hiệu h(t)
Đáp ứng xung, hay hàm trọng
lượng, ký hiệu g(t).
Đáp ứng dốc

Tín hiệu vào bất kỳ

Đáp ứng quá độ y(t)

(t)

10/31/2014

4


3.1 Đặc tính thời gian (đặc tính quá độ)
1) Hàm quá độ : Ký hiệu h(t), là đáp ứng của khâu hay hệ thống
khi tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị.

1

h(t)

1(t)

x(t) 1(t)

t

t
tín hiệu vào x=1(t)

h(t)  y(t)



tín hiệu ra y= h(t)

Nếu biết hàm truyền G(s), ta tìm h(t) qua 2 bước:
B1) Tìm ảnh Laplace H(s):

G(s)
H(s)  X(s).G(s)  L [1(t)].G(s)  H(s) 
s
B2) Lấy biến đổi Laplace ngược
10/31/2014

h(t)  L 1[H(s)]

(3-1)
(3-2)
5


3.1 Đặc tính thời gian (đặc tính quá độ)
2) Hàm trọng lượng : Ký hiệu g(t), là đáp ứng của khâu hay hệ
thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị.

(t)
0

g(t)
t

g(t)  y(t)

x(t)  (t)

t

0

tín hiệu vào x=(t)  tín hiệu ra y= g(t)


Nếu biết hàm truyền G(s), ta tìm g(t) như sau:

L [g(t)]
G(s) 
 L [g(t)]
L [(t)]




g(t)  L 1[G(s)]

(3-3)

Nếu biết hàm quá độ h(t), ta tìm g(t) như sau:

g(t)  L 1[G(s)]  L 1[s.H(s)] 
10/31/2014

dh
g(t) 
dt

(3-4)
6


3.1 Đặc tính thời gian (đặc tính quá độ)
3) Đáp ứng tín hiệu vào bất kỳ
Tín hiệu x(t) bất kỳ có thể biểu diễn thông qua 1(t), (t):


t

x(t)   x( )(t  )d   x(kT).(t  kT)
k 0

0
t

dx()
x(t)  
1(t  )d

d
0
x() là giá trị xác định của hàm x(t) tại thời điểm t=
(t-) là xung đơn vị được phát tại thời điểm t=
1(t-) là hàm bậc thang đơn vị được phát tại thời điểm t=
Dựa vào tính xếp chồng của hệ tuyến tính, ta có:
t

t

dx()
y(t)   x( )g(t  )d  
h(t  )d
d
0
0
10/31/2014

7


3.2 Đặc tính tần số
Mục đích: Nghiên cứu mối quan hệ giữa các tín hiệu vào, ra
ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu vào hình sin.

3.2.1 Hàm tần số
-Tín hiệu vào x=x0sint
thì tín hiệu ra ở xác lập:

y= y0sin(t+)

-Tổng quát:
Tín hiệu vào x=x0e jt thì tín hiệu ra ở xác lập: y = y0e j(t+ )
Cho  thay đổi thì biên độ y0 và góc pha  cũng thay đổi.

y( j) y 0 j
Hàm phức G( j) 
 e
x( j) x 0
10/31/2014

gọi là hàm truyền tần số,
gọi tắt là hàm tần số.
8


3.2.1 Hàm tần số
Nhận xét: - Hàm G(j) phụ thuộc tần số tín hiệu vào.
- Hàm G(j) có thể xác định bằng thực nghiệm.

Người ta chứng minh được (tr.75 sách ĐKTĐ) :

y0 j b m ( j) m  b m 1 ( j) m 1  ...  b 0
G( j)  e 
x0
a n ( j) n  a n 1 ( j) n 1  ...  a 0
So sánh với biểu thức tổng quát của hàm truyền :

Y(s) b ms m  b m 1s m 1  ...  b 0
G(s) 


X(s)
a n s n  a n 1s n 1  ...  a 0

Ta thấy :

10/31/2014



Có G(s) 

G( j)  G(s) s j



Có G(j) 

G(s)  G( j) js
9


3.2.2 Biểu đồ Nyquist
Do G(j) là hàm phức nên có thể biểu diễn:
-Dạng đại số: G( j)  Re G( j)  j.Im G( j)  Re()  j.Im()
j ( )
-Dạng cực (dạng môđun-pha): G( j)  A().e

Biên độ (Môđun): A()  G( j) 
Góc pha:

()  G( j)  arctg

y0
()  Re 2 ()  Im 2 ()
x0

Im()
Re()

Đường đồ thị biểu diễn hàm
G(j) trong mặt phẳng phức
khi  thay đổi từ 0 đến 
gọi là đường Nyquist
hay biểu đồ Nyquist
10/31/2014

10


3.2.3 Biểu đồ Bode
- Biểu đồ Bode biên độ: biểu diễn biên độ logarit L()=20lgA() [dB]
- Biểu đồ Bode pha: biểu diễn góc pha () [].

10/31/2014

11


3.2.3 Biểu đồ Bode
Các đơn vị:

 decibel, [dB] : Biên độ A() có giá trị dB là 20lgA().
 decade, [dec] : 1 dec là số đo khoảng cách giữa hai tần số
cách nhau 10 lần.


10
lg
 lg(10)  1[dec]


2
 Khoảng cách giữa hai tần số bất kỳ 1 và 2 là: lg
[dec]
1

dB/dec : biểu diễn độ dốc của đường cong L()
 Để đơn giản hoá khi vẽ biểu đồ Bode, người ta thường thay thế
đường cong L() bằng các đường tiệm cận nếu sai số L < 3dB.


L1
L2=0
10/31/2014

L()

L


1

2

(L 2  L1 ) L1
tg 

[dB/dec]
2
2
lg
lg

1
1
12


3.2.3 Biểu đồ Bode

Biểu diễn các tần số = 1,5,10, 20,100 rad/s
lg1 = 0 dec ; lg(5/1) = 0,7 dec ; lg(10/1) =1 dec
lg(20/1) =1,3 dec ; lg(100/1) =2 dec

 Ví dụ 1:

 Ví dụ 2:

Tần số cắt biên c = ?

10/31/2014

13


3.3 Đặc tính động học của đối tượng điều khiển
Nội dung:
- Khảo sát đặc tính động học của các đối tượng cơ bản,
bao gồm: khâu tỉ lệ, khâu quán tính bậc nhất, khâu bậc hai,
khâu tích phân, khâu vi phân, vi phân bậc nhất, khâu trễ,…
- Trên cơ sở đó xây dựng đặc tính động học của các đối tượng có
cấu trúc phức tạp.
y(t)
u(t)

Đối tượng

3.3.1 Khâu tỉ lệ (Proportional, khâu P)

y(t)  K.u(t)
Y(s) y(t )
G(s) 

K
U(s) u(t )
 Thông số đặc trưng: K _ gọi là hệ số khuếch đại hay độ lợi
 Ví dụ: lò xo, đòn bẩy, bánh răng, biến trở, van tuyến tính.
Phương trình:
 Hàm truyền :


10/31/2014

14


3.3.1 Khâu tỉ lệ (khâu P)




Đặc tính thời gian
- Hàm quá độ h(t) = K.1(t) = K
- Hàm trọng lượng g(t) = K.(t)

Đặc tính tần số
- Hàm tần số G(j) = K

K

g(t)

h(t)
t

K.(t)

t

- Biên độ A() = K
 L() = 20lgK

- Góc pha

()  arctg

Im()
0
Re()

- Biểu đồ Nyquist là một điểm trên trục hoành có toạ độ (K,j0).
- Biểu đồ Bode biên độ là đường thẳng song song với trục hoành.
- Biểu đồ Bode pha : trùng với trục hoành.
10/31/2014

15


3.3 Đặc tính động học của đối tượng điều khiển
3.3.2 Khâu quán tính bậc nhất (khâu PT1)
Hàm truyền

K
G(s) 
Ts  1

K _hệ số khuếch đại
T _hằng số thời gian
 Ví dụ: hệ lò xo-giảm chấn, mạch RL, RC, lò nhiệt, tuabin,…
 Đặc tính thời gian
- Ảnh Laplace của hàm quá độ:


H(s) 
- Hàm quá độ

G(s)
K

s
s(Ts  1)

h(t)  L 1[H(s)]  K(1  e  t/T )
Tại t=T h(T)  (1  e1 )K  0,63K = 63% giá trị xác lập.
Tại t=4T h(4T)  (1  e4 )K  0,98K = 98% giá trị xác lập.

Tiếp tuyến với h(t) tại t=0 có độ dốc: t g 
10/31/2014

dh
K

dt t 0 T
16


3.3.2 Khâu PT1
 Thời hằng T càng nhỏ, đáp ứng càng nhanh đạt xác lập.
- Hàm trọng lượng
Cách 1:

 K  K  t/T

g(t)  L [G(s)]  L 
 e

 Ts  1  T
K  t/T
dh
e

Cách 2: g(t) 
T
dt
1



1

Đặc tính tần số

K

- Hàm tần số: G( j)  G(s) s j 

Tj  1
- Biên độ:
- Góc pha:
10/31/2014

A()  Re 2 ()  Im 2 () 

K
KT
j 2 2
2 2
T  1 T  1
K

T 2 2  1
Im()
()  arctg
 arctg(T)
Re()
17


3.3.2 Khâu PT1
- Để vẽ biểu đồ Nyquist, ta
cho  biến thiên từ 0 đến ,
tính các giá trị Re() & Im()
(hoặc A() & ()) rồi thể
hiện trên đồ thị.
- Nhận xét:



0

…

1/T

…



Re

K

…

K/2

…

0

Im

0

…

-K/2

…

0

A

K

…

K/ 2 …

0



0

…

-45

…

-90

K
K   KT 

 K
K
2
   2 2
 Re()    Im ()   2 2
  ...   

2

 T  1 2   T  1 
2
2

2

2

2

Mặt khác, khi  = 0  
thì phần ảo Im()  0.
 biểu đồ Nyquist của khâu PT1
là nửa dưới của đường tròn
tâm (K/2, j0), bán kính K/2.

10/31/2014

18


3.3.2 Khâu PT1
- Biên độ logarit: L()  20lg A( )  20lgK  20lg T 22  1
- Để vẽ biểu đồ Bode, ta cho  biến thiên từ 0 đến +, xác định
các giá trị L() và () tương ứng rồi thể hiện trên đồ thị.
- Có thể vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng hai tiệm cận:
 Khi  << 1/T thì L() 20lgK

 tiệm cận ngang.
 Khi  >> 1/T

thì L() 20lgK–20lg(T)
 tiệm cận dốc -20dB/dec.
Điểm tần số  = 1/T tại giao
điểm của 2 tiệm cận gọi là
tần số gãy
10/31/2014

19


3.3 Đặc tính động học của đối tượng điều khiển
3.3.3 Khâu bậc hai (khâu PT2)


Hàm truyền:



Ví dụ: hệ cơ khí mbk, mạch RLC, động cơ điện DC,…



Đặc tính thời gian

K
G(s)  2 2
T s  2Ts  1

K _hệ số khuếch đại
T _hằng số thời gian
 _hệ số tắt dần (suy giảm)

2
2 2
Ph.trình đặc tính: Ts  2Ts  1  0 Có biệt số  '  T (  1)

 Khi  >1, PTĐT có 2 nghiệm đơn s1  (1/ T1 ) ; s 2  (1/ T2 )

G(s) 

K
K
K


T 2s 2  2Ts  1 T 2 (s  s1 )(s  s 2 ) (T1s  1)(T2s  1)

 Hai khâu quán tính bậc nhất ghép nối tiếp

K / T1T2
G(s)
K / T2
H(s) 


s
s(s  s1 )(s  s 2 ) s(s  1/ T1 )(s  1/ T2 )

10/31/2014

20


3.3.3 Khâu PT2

T1
T2
 t/T1
 t/T2 
 Hàm quá độ : h(t)  K 1 
.e

.e

T1  T2
 T1  T2

 Khi  =1, PTĐT có nghiệm kép s1  s 2  (1/ T)
t  t/T  t/T 

h(t)  K 1  .e
e

T



 Khi 0<  <1, PTĐT có 2 nghiệm phức  Khâu dao động bậc 2

n  1/ T ;   n 1   2 ;   arccos() ;
Kn2
K
G(s)  2 2
 2
T s  2Ts  1 s  2n s  n2



s






n


2
2
Kn
G(s)
1
1  

H(s) 
 2


K

2
s
s(s  2n s  n2 )
s
 s  n   2 




Đặt:

10/31/2014

21


3.3.3 Khâu PT2
 e n t




n t 
h(t)  K 1  e
sin t    K 1 
sin(t  ) 
 cos t 
2


2
1 



1 

 

1  h(t) không dao động
< 1  h(t) dao động
 giảm  dao động tăng
n=1/T: tần số dao động riêng
10/31/2014

K=1

22


3.3.3 Khâu PT2
- Hàm trọng lượng :
 Khi  >1:
 Khi  =1:
 Khi  <1:

10/31/2014

dh

K
 t/T1
 t/T2
g(t) 

e

e


dt T1  T2
dh K  t/T
g(t) 
 2 te
dt T
2

dh
g(t) 
 L1[G(s)]  n Ke n t sin t
dt


23


3.3.3 Khâu PT2


Đặc tính tần số

-Hàm tần số:

G( j)  G(s) s j



K
T 2 2  2Tj  1

K(1  T 2 2 )
2KT
G( j) 
j
2 2 2
2
(1  T  )  4(T)
(1  T 22 ) 2  4(T) 2
-Biên độ:

A()  Re ()  Im () 
2

K

2

(1  T 22 ) 2  4(T) 2

L()  20lg A()  20lg K  20lg (1  T 22 ) 2  4(T) 2
-Góc pha:

Im()
2T
()  arctg
 arctg
Re()
1  T 22
Khi =1 thì: ()  2arctg(T)

10/31/2014

24


3.3.3 Khâu PT2
-Biểu đồ Nyquist của khâu bậc hai:
-Tại tần số   n 1  22

Ta có đạo hàm A’()=0
Nên biên độ đạt cực đại
(cộng hưởng)

A max 

K
2 1  2 2

(Chỉ tồn tại khi 1-22>0 hay 0 << 0,707)
 0,707  Amax = K
0 << 0,707  Amax > K

 càng nhỏ  Amax càng lớn
10/31/2014

25