ĐỀ tài PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN và các ỨNG DỤNG

Trường Đại học Thương mại
Nhóm 11

ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ
CÁC ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn :
Sinh viên thực hiện

:


Trường Đại học Thương mại
Nhóm 11

BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11
Môn Toán cao cấp
Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC
ỨNG DỤNG
Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính
như sau:
A/ Sai phân và PT sai phân
1. Lưới thời gian và sai phân
2. Phương trình sai phân
B/ Ứng dụng của PTSP
1. Ứng dụng trong tìm công thức tổng quát
của dãy số
2. Ứng dụng của PTSP trong tính tổng của
một dãy số

3.Ứng dụng của PTSP trong kinh tế
4. Một số ứng dụng khác của sai phân


Trường Đại học Thương mại
Nhóm 11

Nội dung chi tiết:

A/ Sai phân và phương trình sai phân
11.1.1. Lưới thời gian và sai phân
a) Lưới và bước lưới
Cho điểm t0 trên trục thực và khoảng cách h>0. Tập các điểm trên trục thực:
I := {t0 = nh : n ∈ Z }
là một tập rời rạc, gồm các điểm cách điều nhau một khoảng cách là h, bắt đầu từ
h0.
Ta gọi I là một lưới thời gian với bước lưới là h.
b) Sai phân
GIả sử y(t) là một hàm trên lưới I; t ∈ I. Khi đó :
∆ Y(t) := y(t+h) – y(t)
gọi là sai phân cấp một của hàm y(.) tại điểm t.
∆ 2 y(t) := ∆ ( ∆ y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)]
:= y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t).
gọi là sai phân cấp hai. Tương tự ta có
∆k y(t) := ∆ ( ∆k +1 y(t)) :=

i =k

∑ (−1) C
i =o

i

i
k

y(t+ih)

gọi là sai phân cấp k.
Ý nghĩa:
-Giả sử y(t) là một hàm khả vi trên R. Khi h>0 là một khoảng thời gian
đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ:
Y(t+h) – y(t) ≅ y’(t)h
Như vậy với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì sai phân có thể coi là xấp
xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới.
-Giả sử y(n) là một hàm trên lưới Z. ta cũng dùng ký hiệu
y(.) : Z → R : n  y(n) hoặc
y(.) : Z → R : n  y n
giá trị của hàm y(.) tại bước n ∈ Z được ký hiệu là y(n) hoặc y n .
như vậy, trên lưới Z theo các định nghĩa ở trên, ta có :
∆ y(n) =y(n+1) – y(n)


Trường Đại học Thương mại
Nhóm 11
Ví dụ 4:
Tìm tất cả các hàm số f(x) sao cho:
a)

f ( x ) = 2 f '( x ) ∀ x ∈ R

b)

f ( x ) = 2 f '( x ) + x (∀x ∈ R )

c) f ( x) = 2 f '( x) + e x (∀ x ∈ R)
d)

f ( x ) = 2 f '( x ) + cosx (∀x ∈ R )

e) f ( x ) = 2 f '( x ) + x 2 + 3x (∀ x ∈ R )
Giải:
a) Ta đã biết nếu hàm số g(x) có g '( x ) = 0∀x ∈ ( a; b) thì g ( x) = C∀x ∈ ( a; b) - C là
hằng số. Giả thiết ⇔ f ( x ) − 2 f '( x ) = 0∀x ∈ R . Ta lại có
( e ax f ( x ))' = ae ax f ( x ) + e ax f '( x ) = ae ax ( f ( x ) +

Chọn a =
(e

1
− x
2

−

1
2

1
f '( x )) .

a

suy ra giả thiết trở thành

f ( x ))' = 0∀ x ∈ R ⇒ e

1
− x
2

1
x
2

f ( x) = C ⇒ f ( x ) = Ce (C là hằng số bất kỳ ).

b)Ta áp dụng sai phân:
Tìm một hàm g(x) = ax+b sao cho g(x) - 2 g'(x) = x( ∀ x ∈ R ). Dễ dàng tìm
được g(x) = x+2 . Khi đó theo giả thiết ta có
f ( x ) − g ( x ) = 2 ( f '( x ) − g '( x ) ) ∀ x ∈ R . Theo câu a) ta có
1
x
2

1
x
2

f ( x ) − g ( x ) = Ce ⇒ f ( x ) = Ce + x + 2(∀ x ∈ R ) . Thử lại thoả mãn.

c) Tương tự câu b) ta cũng tìm một hàm số

g ( x ) = ae x sao cho

g ( x ) − 2 g '( x) = e x∀ x ∈ R
1

Dễ thấy g ( x) = − e x cũng như câu b) ta có f ( x ) = Ce 2 x − e x . Thử lại thoả mãn
d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx sao cho
Giải ra ta có

g ( x ) − 2 g '( x ) = cosx(∀x ) .

1
2
g ( x ) = cosx − sinx .
5
5

Khi đó giả thiết trở thành
1
x
2

f ( x ) − g ( x ) = 2( f '( x ) − g '( x ))∀x ∈ R .
1
x
2

1

5

2
5

Theo kết quả câu

a) ta có f ( x ) − g ( x) = Ce ⇒ f ( x ) = Ce + cosx − sinx(∀ x ∈ R ) .


Trường Đại học Thương mại
Nhóm 11
Thử lại thoả mãn.
e) Ta phải tìm hai hàm số:
g(x) =

ax 2 + bx + c

h(x) =

d .3x

sao cho g(x) - 2g'(x) = x 2 (∀ x ∈ R )

sao cho h( x ) − 2h '( x ) = 3x (∀ x ∈ R )

3x
Giải ra ta được g ( x ) = x + 4 x + 8 ; h( x ) =
. Khi đó giả thiết trở thành:
1 − 2ln 3

2

f ( x ) − g ( x ) − h( x ) = 2 ( f '( x ) − g '( x) − h '( x) ) ∀ x ∈ R . Theo câu a) ta có:
1
x
2

1

x

3x

2
2
f ( x ) − g ( x ) − h( x ) = Ce ∀ x ∈ R hay f ( x ) = Ce + x + 4 x + 8 + 1 − 2ln 3 ∀ x ∈ R .

Thử lại thoả mãn.

Trên đây là bài thảo luận môn toán cao cấp của nhóm 11, mặc dù các thành
viên trong nhóm đã hết sức cố gắng trong nghiên cứu thu thập tài liệu nhưng
trong quá trình làm bài thảo luận không thể tránh khỏi những sai sót, vậy
mong cô nhận xét có ý kiến để bài thảo luận của nhóm hoàn thiện hơn. Chúng
em xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo:
[1] Giáo trình Toán Cao Cấp – Trường ĐH Thương Mại.
[2] Toán cao cấp cho các nhà kinh tế -NXB ĐH Kinh tế Quốc dân.
[3] Bài tập Toán cao cấp – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
[4] Ngân hàng câu hỏi toán cao cấp – ĐHCN TP. Hồ Chí Minh.
Cùng một số website tham khảo.