Bài giảng vật lý a1 chương 4

CHƯƠNG IV. CHUYỂN ĐỘNG CỦA
HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN
§1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM
1.Khối tâm của hệ chất điểm
Giả sử có hệ gồm 2 chất điểm có khối lượng m1, m2 đặt tại
các điểm tương ứng M1, M2 trong trọng trường. Trọng lực


tác dụng lên các chất điểm m1 và m2 là 2 véctơ: m1 g ; m2 g
song song cùng chiều với nhau. Tổng hợp 2 lực này có điểm
đặt tại G nằm trên phương M1M2 thoả mãn điều kiện:


M 1G
m2 g
m2


 m1M 1G   m2 M 2G
M 2G
m1 g
m1


 m1M 1G  m2 M 2G  0
(4  1)

Điểm G thoả mãn (4-1) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất

Xét một hệ n chất điểm như sau:
Khối tâm của một hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2
…mn là một điểm G được xác định bởi đẳng thức vectơ:



m1M 1G  m2 M 2G  ...  mn M nG  0


hay  mi M i G  0
n

i 1

(4  2)


Toạ độ của khối tâm G đối với một gốc toạ độ O nào đó.
Toạ độ này có thể xác định theo cách sau đây đối với chất
điểm thứ i (hình 4-2):



OG  OM i  M iG (4  3)
Nhân 2 vế của (4-3) với mi rồi
cộng các phương trình nhận được
theo vến với vế từ 1 đến
n, ta được:
n
(

m

i

)OG 

i 1

m

i

OM i

i 1

Chú ý đến (4-2), ta có:
n

(

m
i 1

n
i

)OG 

m
i 1

n
i

OM i 

m
i 1

i

MiG


n

 m .OM

Từ đó, ta suy ra:

i

i 1

OG 

n

m

OG  R

i

i

i 1


có 3 toạ độ X,Y,Z; OM i  r i có 3 toạ độ xi, yi, zi,
n

mi ri
 
 R  i n1
 mi
i 1

Chiếu lên 3 trục toạ độ, sẽ được:
n

n

m x

m y

i i

X

i 1
n
i

i 1

i

;Y 

m

n

i 1
n

i i

;Z

m

i

i 1

m z

i

i 1
n

m

i

i 1


2. Vận tốc của khối tâm
Khi hệ chất điểm chuyển
động,
khối
tâm
có
vận
tốc:

n
n
  mi dri  mi vi
 dR i 1
dt
V
 n

 i 1n
dt
 mi  mi
i 1

(4  4)

i 1

n



Trong đó  mi vi   pi  P là động lượng tổng hợp của hệ.
n

i 1

i 1

Nên vận tốc của khối tâm có biểu thức:

 P
V
m

 4  5


3. Phương trình chuyển động của khối tâm

Giả sử hệ có n chất điểm, các chất điểm lần lượt chịu tác
 

dụng của những lực F1 , F2 ,..., Fn
 

và chuyển động với gia tốc tương ứng: a1 , a2 ,..., an

 

sao cho m1a1  F1 ,..., mn an  Fn
ta tìm được gia tốc của khối tâm

 dV
a

dt


dvi
mi

dt
i 1
n

m

i

i 1


 Fi


 mi ai

n

n



i 1
n



m

i

i 1

n

i 1
n

 4  6

m

i

i 1

 
 Fi  F là tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên tất cả các chất
n

i 1

m

điểm của hệ,  mi  m là tổng khối lượng của cả hệ,
i 1


Do đó có thể viết lại biểu thức trên như sau:

 F
a
m

4  7

Phương trình (4-7) giống như phương trình chuyển động
của một chất điểm. Từ đó ta kết luận:

Chuyển động của khối tâm của một hệ chất điểm giống như
chuyển động của một chất điểm mang khối lượng bằng
tổng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực
bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ.


§2. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA
VẬT RẮN

1. Định nghĩa
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao
cho bất kỳ đoạn thẳng nào vẽ trong vật rắn cũng luôn
luôn song song với chính nó. Ví dụ: Chuyển động của
ngăn kéo của bàn giấy, chuyển động của bàn đạp xe
đạp….
2. Tính chất
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó
có quĩ đạo giống nhau. Do đó, chúng có cùng quãng
đường di chuyển s, cùng vận tốc và cùng gia tốc.


3. Phương trình động lực học của vật rắn tịnh tiến
Giả sử các chất điểm có khối lượng m1, m2, ..., mn chịu
 

tác dụng bởi các ngoại lực F1 , F2 ,..., Fn
 

Khi đó các chất điểm của vật rắn sẽ có gia tốc a1 , a2 ,..., an



 


tuân theo định luật Newton II: m1a1  F1 , m2 a2  F2 ,..., mn an  Fn
Trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm có cùng gia tốc
Cộng vế với vế các phương trình trên ta được:
 
 n
 n 
  mi  a   Fi  ma  F
i 1
 i 1 

 4  8

 
 Fi  F là tổng hợp tất cả các ngoại lực tác dụng lên vật
n

i 1

rắn.
n

m

i

i 1

 m là khối lượng của cả vật rắn.


§3. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN
QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

Khi một vật rắn quay xung quanh một trục  thì:
-Mọi điểm của vật rắn sẽ có qũy đạo tròn, các đường tròn
qũy đạo của chúng có cùng trục, trục này trùng với trục quay
 và có tâm nằm trên trục quay , có bán kính r khác nhau
-Trong cùng một khoảng thời gian t, bán kính của mọi điểm
của vật rắn đều quay được một góc  như nhau.
-Mọi điểm của vật rắn có cùng vận tốc góc và gia tốc góc
-Tại mỗi thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến
của một chất điểm bất kỳ của vật rắn cách trục quay một
đoạn r liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức
 
   
v    r ; at    r


1.Mômen lực tác dụng lên vật rắn quay
Giả sử có một vật rắn quay xung quanh một trục cố định 
dưới tác dụng của lực F.
Khi đó điểm đặt M của lực F
vạch một quỹ đạo tròn bán kính
r nằm trong mặt phẳng vuông
góc với trục , có tâm nằm trên
trục này, và có thể phân tích lực

  
thành 3 thành phần (hình 4-5) F1 , Fn , Ft
   
sao cho:F  F1  Fn  Ft
- Thành phần Ft tiếp tuyến vuông góc với bán kính
- Thành phần Fnxuyên trục cùng phương với bán kính
- Thành phần F1 song song với trục quay 


Như vậy: Tác dụng của lực làm cho vật rắn quay quanh
trục cố định  chỉ tương đương với tác dụng của thành
phần tiếp tuyến của lực này.
Vectơ mômen lực tiếp tuyến đối với trục quay được định
  
nghĩa: M  r  Ft
Mômen lực có:

 
-Trị số: M  r.Ft sin  r , Ft   r.Ft
 
- Phương vuông góc với mặt phẳng chứa r , Ft
  
- Chiều sao cho ba vectơ r , Ft , M theo thứ tự đó hợp thành
tam diện thuận.
Chú ý: M =0 khi F =0 hoặc khi F đồng phẳng với trục quay
, nghĩa là khi F song song với  , hoặc cắt trục  (r=0).


2. Phương trình cơ bản của động lực học vật rắn quay
quanh một trục cố định

Ta xét một vật rắn chịu tác
dụng của mômen lực M,
quay quanh trục cố định
 với gia tốc góc β
(Hình 4-6).
Ta tìm mối liên hệ giữa M và β
Ta tưởng tượng chia vật rắn
thành nhiều phần tử, mỗi phần
tử có khối lượng mi, cách trục
quay một khoảng ri, chịu
tác dụng của ngoại lực tiếp tuyến Fti .




Theo định luật Newton II, ta viết được: mi ati  Fti

Nhân hữu hướng bên trái của phương trình với ri

 

và thay ati    ri

   

mi .ri  (   ri )  ri  Fti

 

      2 

Chú ý: ri    ri   ri .ri    ri . ri  ri 
 
2
 mi ri   M i  4  8 





 

Cộng các phương trình (4-8) vế với vế theo i ta được:
 

 (mi ri )   M hay I   M
2



 4  9

 i
i
ngoại lực tác dụng lên vật
i M i  M là mômen tổng hợp các
rắn. Và đại lượng I   mi ri 2 mômen quán tính của
i .
vật rắn đối với trục quay

Phương trình (4-9) có dạng tương tự phương trình cơ bản
 
của động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến ma  F
trong đó:
- Mômen lực đặc trưng cho tác dụng của ngoại lực lên vật
rắn chuyển động quay, có vai trò giống như lực
-Gia tốc góc đặc trưng cho biến thiên trạng thái của vật rắn
chuyển động quay, có vai trò giống như gia tốc a
-Mômen quán tính I đặc trưng cho quán tính của vật rắn
chuyển động quay, đóng vai trò như khối lượng m. Thật
vậy, cùng mômen lực tác dụng, nếu mômen quán tính I
càng lớn thì gia tốc góc càng nhỏ, vận tốc góc càng ít
biến đổi, nghĩa là trạng thái chuyển động quay của vật rắn
càng ít thay đổi.


3. Tính mômen quán tính của vật rắn quay.
a.Trường hợp chung
Mômen quá tính I của vật rắn quay quanh trục cố định 
được tính theo công thức.
I   mi ri 2
Trong đó là mômen quán tính i của chất điểm thứ i đối với
trục , phép cộng lấy cho các chất điểm của vật rắn.
Nếu khối lượng của vật phân bố liên tục trong toàn thể tích
của nó, ta chia vật thành những phần tử có khối lượng vô
cùng nhỏ dm, khi đó phép cộng trong tổng trở thành phép
lấy tích phân cho toàn vật rắn
I



toanvat

2

r dm


b. Mômen quán tính của vật rắn đối với trục đối xứng
Ví dụ 1. Một thanh đồng chất dài l, khối lượng m, quay
quanh trục o qua trung điểm G của thanh và vuông góc
với nó (Hình 4-7).
Ta xét một phần tử của thanh khối
lượng dm, dài dx, cách G một đoạn
x. Khi đó mômen quán tính của dm
đối với trục o là dI = x2.dm
Vì thanh đồng chất nên khối lượng
của một đơn vị dài là m/ℓ. Khối lượng của dm̀: dm = ml dx
m 2
dI =
x dx
l

2
m 2
ml
 I 0   dI   x dx  I 
0

12

Ví dụ 2. Tính mômen quán tính của khối trụ đặc đồng chất
khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục đối xứng o của
khối trụ đó.
Ta chia khối trụ đặc thành nhiều phần tử có đáy dS là hình
vành khăn bán kính x rộng dx, cao h. Mỗi phần tử có thể tích
dV và có khối lượng dm (hình 4-8):
dm = dV = h2xdx.
R

4
π
R
I 0   ρh 2 πx 3 dx  ρh
2
0

mR 2
I0 
2
Trong đó, m = V = hR2


Bằng cách tương tự, ta tính được Io cho các trường hợp
khác.Cụ thể là:
- Vành tròn rỗng, trụ rỗng: Io = mR2
2
- Khối cầu I o = mR 2
5

- Tấm phẳng chữ nhật I o = 1 m .(a 2 + b 2 )
12

3. Định lý Steiner-Huyghens
Trong trường hợp trục quay  song song với trục đối xứng
ta có thể áp dụng định lý Steiner- Huyghens như sau:
Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục  song song
với trục đối xứng o bằng mômen quán tính của vật đối với
trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m của vật với bình
phương khoảng cách d giữa hai trục đó: I = Io + md2


§4.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.ĐỊNH
LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1.Các định lý về mômen
động lượng

 d


Nếu ta thay  =
vào phương trình I  = M và nếu
dt
I = const thì


Id d  I   dL 


 M  4  10 

dt
dt
dt


L  I  được gọi là mômen động lượng của vật rắn đối
với trục quay .
“Đạo hàm theo thời gian vectơ mômen động lượng của vật
rắn quay quanh một trục cố định bằng mômen tổng hợp
của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đó”.


 
Từ (4-10) ta suy ra: dL  Mdt  4  11

Trong đó dL là độ biến thiên mômen động lượng của vật
rắn trong khoảng thời gian dt

Mdt được gọi là xung lượng của mômen tổng hợp của
các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong khoảng thời gian
dt.Lấy tích phan
hai vế của (4-11)


ΔL 

L2




L1


dL 

t2




Mdt

t1

“Độ biến thiên mômen động lượng của vât rắn quay quanh
một trục cố định trong khoảng thời gian t=t2-t1 bằng
xung lượng của vectơ mômen động lượng tổng hợp của các
ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong cùng khoảng thời gian
đó”.


2. Định luật bảo toàn mômen động lượng
Giả sử có vật rắn cô lập (không chịu tác dụng của ngoại
lực), khi đó theo định lývề mômen động lượng
dL
=0
dt

L  const

“Mômen động lượng của vật rắn cô lập được bảo toàn”
Trong thực tế, vật rắn luôn chịu tác dụng của các ngoại lực
nhưng nếu mômen lực đối với trục quay bằng không


M  0 do F  0 hoặc do F đồng phẳng với trục quay , thì
khi đó mômen động lượng của vật rắn cũng được bảo toàn.
Trường hợp M 0 nhưng hình chiếu của nó lên phuơng nào
đó bằng không, thì mômen động lượng của vật rắn được
bảo toàn (theo một phương).


§5. CÔNG CỦA LỰC VÀ ĐỘNG NĂNG
CỦA VẬT RẮN QUAY
1. Công và công suất của lực trong chuyển động quay của
vật rắn
Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định , lực tiếp tuyến
nằm trong mặt phẳng quỹ đạo làm cho vật rắn quay (xem
hình 4-13) thì khi đó, công vi phân của lực tiếp tuyến Ft là:
dA = Ft.ds. Mặt khác ds = r.d
→ dA = r.Ft.d.
mà M = r.Ft là mômen của lực
Ft đối với trục quay
  ta có thể viết:
dA=M.d → A12   Md
2

1

Công suất của mômen lực là:

dA
d
P
M
 M
dt
dt

Vì hai vectơ cùng chiều nên có thể viết:
 
P  M
2. Động năng của vật rắn quay
Giả sử dưới tác dụng của lực tiếp tuyến điểm đặt lực lên vật
rắn quay được một cung ds. Công nguyên tố trên ds là:
dA=M.d.
Ta đã có phương trình động lực học của vật rắn quay và
định nghĩa vận tốc góc
và gia
tốc góc:





d
dA  Fds  M  ; M  I
dt


2
 
 
d 
 dA  I
  I  d  Id  
dt
2