Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương chương 5

Chương 5. Động lực học chất lỏng

5.1. Mở đầu
Để mô tả những chuyển động chất lỏng trong một miền nhất định, cần có sẵn một
tập hợp các phương trình vi phân có thể giải bằng giải tích hoặc bằng số nhờ áp dụng
những điều kiện ban đầu và những điều kiện biên.
Những phương trình cơ bản cần thiết là phương trình liên tục (bảo toàn khối lượng)
và phương trình chuyển động (bảo toàn năng lượng) theo Định luật thứ hai của
Newton (1642 -1727).
Những phương trình chuyển động đối với một chất lỏng không nhớt được biết là
phương trình EULER. Việc tích phân phương trình Euler đối với dòng chảy không quay
không nén dẫn đến phương trình BERNOULLI mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp
suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt và cũng thích hợp khi những hiệu ứng
của nhớt không đáng kể.
Những phương trình chuyển động đối với một dòng chảy nhớt được biết là
phương trình NAVIER-STOKES. Những phương trình đối với một dòng chảy rối được
gọi là những phương trình REYNOLDS.

5.2. Phương trình liên tục (cân bằng khối lượng)

5.2.1 Thể tích điều khiển
Trong hình 5.1, khối lượng đi vào trong khu vực một khối chữ nhật với những mặt
song song có các cạnh x, y và z theo hướng +x là U y z, và đi ra khỏi nó theo
hướng +x là khối lượng trong đó cộng với suất biến thiên của khối lượng theo hướng +x
nhân với x. Đây là những số hạng bậc nhất:

Uyz


( Uyz ) x .
x

Khối lượng ròng đến theo hướng +x trên thời gian đơn vị là sự khác nhau giữa
chúng:

39





( Uyz )x .
x

Tương tự, khối lượng ròng đi vào trong khu vực theo hướng +y và +z là:





( Vzx)y và ( Wyx)z .
y
z

Mức tăng của khối lượng trong khu vực (nếu khác không) là:


( yzx)
t
và như vậy:

( Uyz ) x ( Vzx)y ( Wyx) z = ( yzx) .
x
z
t
y

Hình 5.1. Khối lượng vào và ra một thể tích phần tử

Vì y và z không đổi theo x; z và x không đổi theo y; x và y không đổi theo z
và x, y và z không đổi theo t, chúng ta có thể chia cho đại lượng x y z là thể tích
của khu vực được xét. Sau đó ta nhận được:

( U ) ( V ) ( W )

.



x
y
z
t

(5.2.1)

Đối với chất lỏng có mật độ không đổi, là hằng số nên /t = 0, và phương trình
(5.2.1) trở thành:

U V W


0
x y
z

(5.2.2)

đối với cả dòng chảy ổn định lẫn không ổn định (vận tốc có thể thay đổi theo thời gian
cũng như vị trí trong chất lỏng). Điều này cũng có thể biểu thị như sau (xem Phụ lục
B):

divV .V 0 .

40


5.2.1 Dòng nguyên tố
Bởi vì không có dòng chảy nào xuyên qua các biên (theo định nghĩa), dòng khối
lượng qua mỗi mặt cắt ngang là không đổi. Giả thiết Vi pháp tuyến với mặt phẳng Ai
thì:
dòng khối lượng =

V dA
i

i

const

(5.2.3)

Ai

dòng thể tích =

V dA
i

i

const .

(5.2.4)

Ai

Dòng thể tích được gọi là lưu lượng Q (= Vi Ai ).
5.2.3 Dòng chảy không ổn định một chiều trong lòng dẫn hở
Hình 5.2 cho thấy một tình huống dòng không ổn định một chiều. Độ sâu nước h và
vận tốc trung bình độ sâu U là những hàm của vị trí x và thời gian t. Bề rộng b của
dòng chảy là một hàm của x.
Lưu lượng là: Q Udz bhU .

A

Thay đổi khối lượng chất lỏng sau thời gian t do sự thay đổi cao độ bề mặt chất
lỏng là:

b (h

h
h
t ) x bhx b tx .
t
t

(5.2.5)

Hình 5.2. Dòng không ổn định một chiều

Thay đổi khối lượng chất lỏng sau thời gian t do giá trị ròng của dòng chảy đến và
đi là:

Qt (Q

Q
Q
x)t
xt .
x
x

(5.2.6)

Cân bằng những biểu thức (5.2.5) và (5.2.6) dẫn đến:

41


b

b

hoặc

h Q

0
t x

h (bhU )
0

x
t

(5.2.7)
(5.2.8)

Nếu b không đổi theo hướng x (db/dx = 0), thì:

h (hU )
0

t
x

(5.2.9)

đối với dòng ổn định (h/t = 0) cho thấy:

(hU )
0 hoặc hU q const
x

(5.2.10)

q Udz là lưu lượng đặc trưng trên bề rộng đơn vị.
h

Đối với dòng chảy không ổn định hai chiều ngang trong lòng dẫn hở có thể dẫn ra
phương trình sau:

h (hU ) (hV )


0
t
x
y

(5.2.11)

trong đó: U = vận tốc dòng chảy trung bình độ sâu theo hướng x, V = vận tốc dòng
chảy trung bình độ sâu theo hướng y.
Phương trình (5.2.11) cũng có thể dẫn ra từ phương trình (5.2.2) bằng cách tích
phân theo độ sâu. Giả thiết vận tốc theo hướng ngang là V = 0 và do đó là V / y = 0,
cho thấy:
zs

U

( x

zb



W
)dz 0
z

(5.2.12)

trong đó: zs = cao độ bề mặt chất lỏng ở trên mặt phẳng tham chiếu, zb = cao độ đáy ở
trên mặt phẳng tham chiếu, h = zs - zb = độ sâu.
Vì zs và zb là những hàm số của x, phải ứng dụng quy tắc Leibnitz như sau:
a( x)

b


f

db
da
f ( x, y )dz dz f ( x, b) f ( x, a)
.

x b ( x )
x
dx
dx
a
áp dụng quy tắc Leibnitz với phương trình (5.2.12) dẫn đến:
z

dz
dz
s
Udz U ( x, z s ) s U ( x, z b ) b W ( x, z s ) W ( x, z b ) 0 .

x zb
dx
dx

(5.2.13)

zs

Coi q U h Udz , Ub = U(x,zb) và Us = U (x,zs), W s = W(x,zs) và Ws = W(x,zs ) dẫn

zb

đến:

42


dz
dz
q
U ú s U b b Ws Wb 0 .
x
dx
dx

(5.2.14)

Phương trình (5.2.12) có thể được chi tiết hơn nữa bằng việc áp dụng điều kiện biên
động học, chỉ rõ rằng vận tốc kết quả ở biên luôn luôn song song với biên, dẫn đến:

z s z s

x
t
z
z
Wb U b b b .
x
t

Ws U ú

(5.2.15)
(5.2.16)

Thay phương trình (5.2.15) và (5.2.16) vào phương trình (5.2.14) dẫn đến:

q z s z b


0
x t
t
hoặc

h (hU )
0.

x
t

(5.2.17)
(5.2.18)

5.3. Cân bằng động lượng

5.3.1. Định luật thứ hai của Newton
Định luật thứ hai của Newton phát biểu rằng lực tổng hợp tác động lên một khối
lượng đã cho tỷ lệ với độ biến thiên động lượng tuyến tính của khối lượng đó theo thời
gian. Trong cách viết vectơ:

hoặc

F dt d ( mV )

(5.3.1)

d
(mV ) .
dt

(5.3.2)

F

Phương trình (5.3.2) cũng được gọi là cân bằng động lượng. Đối với một khối lượng
không đổi nó cho thấy:

F ma .

(5.3.3)

Trong cách viết vô hướng:

dU
ma x
dt
dV
Fy m
ma y

dt
dW
Fz m
ma z .
dt
Fx m

(5.3.4)

5.3.2. Động lượng và năng lượng đi qua một mặt cắt

43


Động lượng trên đơn vị thời gian và trên đơn vị bề rộng đi qua một mặt cắt nhỏ có
chiều cao dz là:
U2dz.

(5.3.5)

Lấy tích phân theo độ sâu, động lượng tổng cộng trên đơn vị bề rộng và thời gian đi
qua một mặt cắt có chiều cao h của một lòng dẫn hình chữ nhật rộng là:
h

U

2

2

dz hU qU

(5.3.6)

0



với

h

1
hU

2

U

2

dz

(5.3.7)

0

U = vận tốc trung bình độ sâu
U = vận tốc phân bố theo hướng thẳng đứng
= hệ số hiệu chỉnh

q = lưu lượng đặc trưng.
Động lượng trên đơn vị thời gian đi qua một mặt cắt có diện tích A tuỳ ý:

QU


(5.3.8)
A

1
2

AU

U

2

dA .

(5.3.9)

0

Hệ số nằm trong phạm vi từ 1 đến 1,5, phụ thuộc vào phân bố vận tốc thực tế.
Trong trường hợp phân bố vận tốc lôgarit, hệ số là = 1,03.
Tương tự, động năng trên đơn vị thời gian đi qua một mặt cắt là:
2

QU / 2

với

A

1
3

AU

(5.3.10)

U

3

dA .

(5.3.11)

0

Hệ số cũng được áp dụng trong phương trình Bernoulli (xem mục 6.1), mà về cơ
bản là phương trình năng lượng. Hệ số = 1,08 đối với phân bố vận tốc lôgarit.
5.3.3. ứng dụng
Có thể ứng dụng phương trình cân bằng động lượng để xác định các lực tại công
trình, như sẽ thấy trong ví dụ sau. Hình 5.3 cho thấy dòng chảy dưới một cửa cống. Lực
F3 trên đơn vị bề rộng tại cửa cống có thể xác định bằng việc áp dụng phương trình

(5.3.1) trên miền ABCD.
Những vận tốc chảy vào và chảy ra trung bình độ sâu là U 1 và U 2 .
Động lượng trên đơn vị bề rộng đi vào mặt cắt 1 trong thời gian t là:
1q U 1 t.

44


Động lượng trên đơn vị bề rộng ra khỏi mặt cắt 2 trong thời gian t là:
2q U 2 t.

Hình 5.3. Lực tại cửa cống

Bỏ qua lực ma sát đáy (FW = 0), cân bằng động lượng là:
( (1/2)gh12 - (1/2)gh22 - F3 )t = ( 2q U 2 - 1q U 1 )t
F3= (1/2) (gh12 - gh22 ) - ( 2q U 2 - 1q U 1 ).

(5.3.12)

Có thể tính toán F3 khi biết lưu lượng đặc trưng q, hệ số và độ sâu h1 và h2.

5.4. Phương trình chuyển động

5.4.1. Các lực tác động lên những phần tử chất lỏng
Những lực tác động lên một phần tử chất lỏng nói chung có hai loại: 1. những lực
khối và 2. những lực mặt.
Những lực khối là những lực tác động lên thể tích hoặc khối lượng của một phần tử
chất lỏng (ví dụ trọng lực).
Những lực mặt là những lực tác động lên bề mặt của một phần tử chất lỏng. Những
lực mặt gồm có những lực thẳng góc với bề mặt (áp suất) và những lực tiếp tuyến với bề

mặt (lực trượt).
Hình 5.4 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng đối với một
chất lỏng không nhớt. Trong trường hợp này không có những ứng suất nhớt. Những ứng
suất bề mặt chỉ là những ứng suất pháp tuyến do áp suất . Trong mục 3.2 đã chỉ ra
rằng áp suất là đẳng hướng (đại lượng vô hướng bằng nhau trong tất cả các hướng).
Như vậy,
x = y = z = - p.

(5.4.1)

45


Hình 5. 4. ứng suất pháp tuyến của chất lỏng trong một chất lỏng không nhớt

Hình 5.5 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng nhớt đang
chuyển động. Có những ứng suất pháp tuyến () và những ứng suất tiếp tuyến ().
Những ứng suất tiếp tuyến là những ứng suất trượt. Chỉ số đầu tiên của ứng suất chỉ
ra hướng của ứng suất; chỉ số thứ hai chỉ ra mặt phẳng vuông góc với hướng trong đó
ứng suất tác động. Như vậy yx tác động theo hướng y và trong mặt phẳng vuông góc với
trục x. Định luật Pascal không hợp lệ: x y z.

Hình 5.5. Những ứng suất tiếp tuyến (trượt) và pháp tuyến trong một chất lỏng nhớt

Đối với chất lỏng Newton những ứng suất trượt là:

46


xy (

U V

)
y x

yz (

V W

)
y
z

zx (

W U

).
x
z

(5.4.2)

Những ứng suất pháp tuyến đối với chất lỏng Newton được xác định bởi Stokes
(1845), như sau:

x p 2

U 2 U V W

(


)
x 3 x y
z

y p 2

V 2 U V W
(


)
z
x 3 x y

z p 2

W 2 U V W
(


).
z
x 3 x y

(5.4.3)

Đối với chất lỏng không nhớt, = 0 và như vậy hiển nhiên là x = y = z = - p. Đối

với chất lỏng nhớt đang chuyển động, trung bình cộng của ba ứng suất pháp tuyến gọi
là áp suất:
-p = 1/3 (x + y +z ).

(5.4.4)

áp suất p là đẳng hướng, bởi vì có thể thấy rằng phương trình (5.4.4) hợp lệ đối với
bất kỳ định hướng nào của hệ tọa độ.
5.4.2. Phương trình Euler
Đối với một dòng chảy chất lỏng không nhớt không nén được ( = 0), Euler (17071783) áp dụng phương trình cân bằng động lượng cho một phần tử chất lỏng. Đối với
một phần tử chất lỏng trong một trọng trường (xem hình 5.4) điều này dẫn đến:

p
xyz
x
p
Fy xyz
y

Fx

Fz

(5.4.5)

p
xyz gxyz .
z

Khối lượng của phần tử chất lỏng là:

xyz .

(5.4.6)

Những gia tốc ax, ay, az cho trong phương trình 4.4.7.
áp dụng phương trình cân bằng động lượng dẫn đến:

U
U
U
U
1 P
U
V
W

t
x
y
z
x

47


V
V
V
V

1 P
U
V
W

t
x
y
z
y

(5.4.7)

W
W
W
W
1 P
U
V
W

g.
z
t
x
y
z
Trong cách viết vectơ:

1
dV
P g .

dt

(5.4.8)

Có vẻ lạ lùng khi xét chuyển động của những chất lỏng không nhớt, một khi tất cả
các chất lỏng thực đều nhớt. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp những số hạng nhớt
không đáng kể so với những số hạng áp suất và số hạng gia tốc. Một ví dụ quan trọng
của dòng chảy (lý tưởng) không quay không nhớt là dòng thế, sẽ được mô tả trong Chương 7.
5.4.3. Phương trình Bernoulli
Tích phân những phương trình Euler đối với dòng chảy ổn định không quay không
nén dẫn đến phương trình Bernoulli mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực
nước trong chất lỏng không nhớt.
Phương trình Euler đối với dòng ổn định theo hướng x:

U

U
U
U
1 P
.
V
W

x
x

y
z

Bằng việc cho

(5.4.9)

1 V U
1 U W

) phương trình (5.4.9) có

) và zx (
2 z
x
2 x y

xy (

thể biểu thị như sau:

U

U
V
W
1 P
.
V
W

2V xy 2W zx
x
x
x
x

(5.4.10)

Coi thế trọng lực là gz (độc lập với x), dẫn đến:

1 2 1 2 1 2
P
( U V W ) 2V xy 2W zx ( gz ) .
x 2
2
2
x

(5.4.11)

Đối với dòng chảy không quay: xy = yz = 0, dẫn đến:
2

P
(V gz ) 0 .
x


(5.4.12)

Những biểu thức tương tự có thể dẫn xuất theo những hướng y và z.
2

Như vậy, những gradient của số hạng (V

P



gz ) bằng không. Điều này có

nghĩa là số hạng vô hướng:
2

(V

48

P



gz ) const

(5.4.13)


trong mỗi điểm của trường dòng chảy đối với dòng chảy ổn định không quay không
nhớt, được biết là định luật Bernoulli (1700- 1782). Phương trình (5.4.13) cũng có thể
biểu thị như sau:

2

(V

P



gz ) H e const

(5.4.14)

trong đó He là cột nước tổng cộng so với một mặt phẳng tham chiếu nằm ngang.

Hình 5.6. Phương trình Bernoulli đối với dòng chảy không quay trong lòng dẫn hở

Hình 5.6 cho thấy một ứng dụng của phương trình (5.4.14) đối với dòng chảy lòng
dẫn hở. He không đổi tại mỗi điểm.
Như vậy:

V12
V2
P
z1 2 z 2 2 .
2g
2g
g
Phương trình Bernoulli đối với một đường dòng
Những phương trình Euler có thể đơn giản bằng việc đưa ra một hệ tọa độ tự
nhiên, như trong hình 5.7. Trục s trùng với vectơ vận tốc. Trục n trùng với bán kính

cong. Trục b hướng thẳng góc với mặt phẳng s - n. Điều này dẫn đến những thành phần
vận tốc Vs = Vn = Vb = 0 theo những hướng s, n và b. Thành phần trọng lực theo hướng s
là: gz/s.
Tương tự, những thành phần trọng lực theo hướng n và b là: gz/n và gz/b
(xem hình 5.8).
Những phương trình Euler có thể biểu thị như sau:

49


Vs
V
1 P
z
Vs s
g
t
s
s
s

(5.4.15)

Vn
V
1 P
z
Vs n
g
t

s
n
n

(5.4.16)

Vb
V
z
1 P
Vs b
g .
t
b
b
b

(5.4.17)

Hình 5.7. Hệ tọa độ tự nhiên (đường dòng trong mặt phẳng s - n)

Hình 5.8. Thành phần trọng lực theo hướng s

Hướng s (dọc theo đường dòng)
Phương trình (5.4.15) là phương trình Euler dọc theo một đường dòng trong chất

50


lỏng không nhớt. Đối với dòng ổn định (Vs / t = 0) nó cho thấy:

hoặc

Vs2 P
(
gz ) 0
s 2

(5.4.18)

Vs2 P
gz const
2

(5.4.19)

dọc theo một đường dòng, mà phát biểu rằng năng lượng trên đơn vị khối lượng trong
một dòng chảy không quay không nhớt sẽ không đổi dọc theo một đường dòng.
Phương trình (5.4.19) cũng có thể biểu thị như sau:

Vs2
P

z H e const
2 g g

(5.4.20)

dọc theo một đường dòng
trong đó:

He = cột nước tổng cộng (m)
Vs2 / 2g = cột nước lưu tốc (m)
P / g = cột nước áp suất
z = vị trí hoặc cột nước vị thế
pn = P / g + z = cột nước đo áp.
Những phương trình (5.4.19) và (5.4.20) phát biểu rằng áp suất nhỏ khi vận tốc lớn
và ngược lại, như trong hình 5.9. Một građien áp suất tồn tại để tăng tốc chất lỏng từ
điểm 1 đến điểm 2.
Một máy bay có thể bay vì hình dạng của cánh làm cho vận tốc không khí ở trên
cánh cao hơn (áp suất thấp hơn) so với dưới nó, dẫn đến một áp lực thực tế hướng lên
trên.

Hình 5.9. Đường dòng trong dòng chảy lòng dẫn hở

Trong mục 5.4.3 thấy rằng phương trình (5.4.11) và (5.4.12) hợp lệ đối với toàn bộ

51


trường dòng chảy trong trường hợp dòng không nhớt không quay. Trong trường hợp
dòng nhớt (những ứng suất trượt nội 0) năng lượng trên đơn vị khối lượng giảm dọc
theo một đường dòng. Thông thường, những hiệu ứng nhớt có thể bỏ qua khi xét một
khoảng cách nhỏ dọc một đường dòng và phương trình (5.4.19) và (5.4.20) có thể ứng
dụng như một sự gần đúng.
Hướng n (thẳng góc với đường dòng)
Phương trình (5.4.16) là phương trình Euler theo phương pháp tuyến. Hướng n dương theo hướng cong. Đối với dòng ổn định:

Vs

Vn

1 P
z

g
.
s
n
n

(5.4.21)

Số hạng VsVn / s thể hiện gia tốc hướng tâm.
Từ hình 5.10 cho thấy VsVn / s = Vs / r, dẫn đến:

Vs2 1 P
z

g
0
n
r
n

(5.4.22)

hoặc

Vs2 P
(
z) 0

r
n g

(5.4.23)

hoặc

Vs2
( pn) 0 .
n
r

(5.4.24)

Hình 5.10. Thành phần dòng chảy thẳng góc với đường dòng

Những phương trình (5. 4. 23) và (5. 4. 24) phát biểu rằng tồn tại một građien áp
suất thẳng góc với đường dòng cong. áp suất giảm theo hướng n dương (về phía tâm
của đường cong) vì cần có một áp lực thực tế theo hướng đó để phát sinh đường đi cong
của một hạt chất lỏng (xem hình 5.11). Như vậy, áp suất tương đối lớn ở mặt phía ngoài
và tương đối thấp ở mặt bên trong của đường cong.
Građien áp suất p/n là số âm, vì áp suất giảm theo hướng n dương.

52


Hình 5.11. Građien áp suất thẳng góc với đường dòng

Tích phân riêng phương trình (5.4.24) theo hướng n dẫn đến (xem thêm hình 5.12):
2

Vs2
dn .
gr
1

pn2 pn1

(5.4.25)

Tích phân từ điểm 1 đến điểm 2 theo hướng n dương dẫn đến pn2 pn1 < 0, hoặc
pn2 < pn1. Như vậy, cột nước đo áp nhỏ nhất về phía tâm của đường cong như đã phát
biểu trước đây. Kết quả này không phụ thuộc vào hướng tích phân, vì:
1

Vs2
dn .
gr
2

pn2 pn1

Hình 5.12. Cột nước đo áp thẳng góc với đường dòng

Phân bố áp suất theo hướng n cũng có thể giải thích như sau: trong dòng chảy lõm
(hình 5.13) những lực ly tâm hướng xuống và gia tăng trọng lực, phát sinh một áp suất
lớn hơn áp suất thủy tĩnh; trong dòng chảy lồi những lực ly tâm hướng lên và tác động
chống lại trọng lực dẫn đến một áp suất nhỏ hơn áp suất thuỷ tĩnh (hình 5.13).
Khi bán kính cong lớn vô tận (r = ), gradient áp suất thẳng góc với đường dòng
bằng không và không có gia tốc thẳng đứng, có nghĩa là phân bố áp suất thủy tĩnh

trong trường hợp dòng chảy song song.

53


Hướng b (thẳng góc với mặt phẳng s - n)
Phương trình (5.4.17) là phương trình Euler theo hướng b, đơn giản dòng ổn định
(không có gia tốc theo hướng b) thành:

0

1 P
z
g
b
b

(5.4.26)

P
(
z) 0
b g

hoặc

(5.4.27)

phát biểu rằng cột nước đo áp (pn = P / g + z) là không đổi.

Dòng lồi

Dòng lõm

Hình 5.13. Phân bố áp suất trong dòng chảy lồi và lõm (Chow, 1959)

Những ứng dụng
1. Dòng chảy song song trên đáy dốc
Hình 5.14 cho thấy một dòng đều song song (U / s = 0) trên một đáy dốc.

Hình 5.14. Dòng chảy song song trên đáy dốc

54


Từ phương trình Bernoulli (5.4.24) dẫn đến (r = ):


( pn) 0 hoặc pn = const theo hướng n.
n
Như vậy,
pn1 = pn2 hoặc

P1
P
z1 2 z 2 .
g
g

Vì P1 = 0,

P2
z 2 z1 h cos .
g
Cột nước áp suất tại điểm 2 bằng hcos, có nghĩa là cột nước trong một ống hở đặt
tại điểm 2 sẽ có chiều cao là hcos (xem hình 5.14).
2. ống đo áp suất chất lỏng Pito
Nếu một cái ống hở được đặt trong một dòng chảy trong lòng dẫn hở, như trong
hình 5.15, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống đến một chiều cao H.

Hình 5.15. ống Pito

Phương trình Bernoulli đối với đường dòng 1-2 là:

U 12 P1 U 22 P2
.



2 g g 2 g g
Vì P1 = gh, P2 = g (h + h) và U2 = 0, cho thấy:
U12 = 2 g (h + H - h) = 2 gH.
Bằng việc đo chiều cao H, có thể biết được vận tốc U1 thượng lưu cái ống. Một ống
như vậy được gọi là ống Pito. Đối với những phép đo chính xác U1 > 0,2 m/s. Ví dụ, U1 =
0,2 m/s thì H = 2 x 10-3 m.
Thông thường, sử dụng ống đo áp suất chất lỏng kết hợp, mà trên thực tế gồm hai
ống. Một ống hở về phía dòng chảy, cái ống kia hở ở cả 2 phía của phần nằm ngang và
đo cột nước đo áp h (xem hình 5.16).

55

Hình 5.16. ống Pito kết hợp

3. Định luật Torricelli (1608 1647)
Hình 5.17 cho thấy một thí nghiệm của Torricelli. Bề mặt chất lỏng giữ ở một mức
không đổi.
Phương trình Bernoulli đối với đường dòng 1-2 dẫn đến:

V12 P1
V2 P

H1 2 2 .
2 g g
2 g g
Vì V1 << V2, P1 = P2 = 0, cho thấy:
V22 = 2gH1.

Hình 5.17. Định luật Torricelli

4. Dòng chảy trên đập tràn
Hình 5.17 cho thấy dòng chảy qua một đập tràn nhỏ. Phân bố áp suất ở trên đập
tràn được chỉ ra. Độ cong của đập tràn lấy sao cho (trong trường hợp này) áp suất ở đáy
(điểm 3) thậm chí thấp hơn áp suất không khí. áp suất tại điểm 1 có thể xác định bằng
việc áp dụng phương trình Bernoulli thẳng góc với những đường dòng ở trên đập tràn,
dẫn đến:
1

1

Vs2
2 ( pn) 2 gr dn

56


1

V s2
dn
gr
2

pn1 pn2

1

Vs2
P1 g ( z 2 z1 )
dn
gr
2
1

Vs2
dn 0 .
gr
2

P1 g ( z 2 z1 ) J với J

Hình 5.18. Dòng chảy trên một đập tràn đỉnh hẹp (De Vries, 1985)

5. Quay ổn định quanh một trục thẳng đứng
Xoáy cưỡng bức

Hình 5.19 cho thấy một xoáy cưỡng bức quanh một trục thẳng đứng. Chuyển động
là ổn định. Một hạt chất lỏng tại điểm 2 ở khoảng cách r cách điểm 1 của trục thẳng
đứng mô tả một đường đi hình tròn trong mặt phẳng ngang với vận tốc V = r ( =
vận tốc góc = const).
Theo phương trình (5.4.24), có một građien áp suất theo hướng n (mặt phẳng
ngang).

( pn)
V2

n
gr
( pn)

V2
n .
gr

57


Hình 5.19. Xoáy cưỡng bức

Lấy gốc trong trục thẳng đứng, cho thấy n = -r.

( pn)

2
V2
r
rr
gr
g
r

2

( pn)
1

2
g

0

pn2 pn1

rr

2r 2
2g

P2
P

2r 2
z 2 1 z1
.
g
g
2g
Vì z1 = z2 = 0, thấy rằng Pr = P2.

Pr P1

2 r 2
2

.

Theo phương trình (5.4. 27), thấy rằng:
P/g + z = const theo hướng thẳng đứng (áp suất thủy tĩnh).
Như vậy:

P0
P
z 0 1 z1 .
g
g
Vì P0 = 0 và z1 = 0.
P1 = gz0.
Nên:

Pr gz

2 r 2
2

.

Cao độ bề mặt chất lỏng có thể mô tả bằng Pr = gzs,r

z r,s z 0

58

2r 2
2g


trong đó: z0 = khoảng cách giữa bề mặt chất lỏng và z = 0 (trong trục).
Xoáy tự do

Hình 5.20 cho thấy một xoáy tự do ổn định quanh một trục thẳng đứng. Một hạt
chất lỏng ở khoảng cách r kể từ trục thẳng đứng mô tả một đường đi hình tròn trong
mặt phẳng ngang với vận tốc V = c /r (c = const).
r

2

Điều đó cho thấy

( pn)
1

c2
3 r hoặc
r1 gr

pn2 pn1

c2
c2

.
2 gr 2 2 gr12

Vì z2 = z1 = 0 và P1 = 0, điều đó cho thấy (p r = P2).

Pr
c2
c2
.


g
2 gr 2 2 gr12
Phân bố áp suất thủy tĩnh theo hướng thẳng đứng (pr = gzs,r) nên cao độ bề mặt
chất lỏng được mô tả bằng:

z s ,r

c2
c2
.

2 gr 2 2 gr12

Hình 5.20. Xoáy tự do

5.4.4. Phương trình Navier-Stokes
Những phương trình chuyển động đầy đủ nhất đối với một phần tử chất lỏng nhớt
trong một trọng trường gọi là những phương trình Navier - Stokes, được viết như sau:

a x

a y

x xy xz


y
z
x

yx
x



y
y

yz
z

(5.4.28)

(5.4.29)

59


a z g

zx zy z


.
x
y
z

(5.4.30)

trong đó = ứng suất pháp tuyến và = ứng suất tiếp tuyến (trượt).
áp dụng phương trình (2.3.2), (4.4.7), (5.4.2) và (5.4.3) vào phương trình (5.4.28),
(5.4.29) và (5.4.30), dẫn đến:

U
U
U
U

2U 2U 2U
1 P
U
V
W

( 2 2 2 )
t
x
y
z
x
x
y
z

(5.4.31)

V
V
V
V
2V 2V 2V
1 P
U
V
W

( 2 2 2 )
t

x
y
z
y
x
y
z

(5.4.32)

W
W
W
W
1 P
2W 2W 2W
U
V
W

( 2
2 ) g.
t
x
y
z
z
x
y 2
z

(5.4.33)

Trong cách viết vectơ (xem Phụ lục B):

dV
1
P 2 V g .
dt


(5.4.34)

So sánh với những phương trình Euler thấy rằng có những số hạng bổ sung thể
hiện hiệu ứng nhớt.
Những phương trình (5.4.31), (5.4.32) và (5.4.33) cũng có thể biểu thị như sau:

U UU UV UW
2U 2U 2U
1 P




( 2 2 2 )
t
x
y
z
x

x
y
z

(5.4.35)

V VU VV VW
2V 2V 2V
1 P




( 2 2 2 )
t
x
y
z
y
x
y
z

(5.4.36)

W WU WV WW
1 P
2W 2W 2W

( 2
) g.
z
t
x
y
z
y 2
z 2
x

(5.4.37)

Ví dụ:

U UU UV UW U
U
V
U
W
U





2U

U
V
U
W
z
t
x
y
z
t
x
y
y
z
U
U
U
U
U V W

U
V
W
U(


)
t
x
y

z
x y
z
U
U
U
U

U
V
W
Ux0.
t
x
y
z
Số hạng (

U V W


) 0 thể hiện phương trình liên tục (xem hình 5.2.2).
x y
z

5.4.5. Phương trình Reynolds

60

5.4.5.1. Dòng chảy phân tầng và dòng chảy rối
Những phương trình Navier-Stokes hợp lệ đối với dòng chảy rối và dòng chảy phân
tầng tức thời. Dòng chảy phân tầng có thể chỉ tồn tại dưới những điều kiện thủy lực đặc
biệt, như đã được quan sát bởi Reynolds (1842-1912). Hình 5.21 cho thấy một thí
nghiệm của Reynolds. Nước đi vào một ống thuỷ tinh nằm ngang thông qua một đầu loe
miệng từ một cái thùng, tại đó cao độ mặt nước tự do được giữ không đổi. Dòng chảy
trong ống được nhìn rõ bằng việc sử dụng một bơm phun màu vào miệng ống. Reynolds
thấy rằng, khi vận tốc dòng chảy trung bình nhỏ hơn một giá trị phân giới nhất định,
màu trải dài trong ống theo một đường thẳng (dòng chảy phân tầng). Tuy nhiên, khi
vận tốc vượt giá trị phân giới, màu trở nên không ổn định, gợn sóng và không đều (dòng
chảy rối) và hoàn toàn lấp đầy cái ống khi những xoáy phát sinh. Hình 5.22 cho thấy
vận tốc theo thời gian tại một điểm cố định trong dòng chảy rối. Reynolds ứng dụng
phân tích thứ nguyên cho kết quả thí nghiệm của ông và kết luận rằng sự thay đổi từ
dòng chảy phân tầng đến dòng chảy rối phải xuất hiện tại một giá trị định lượng cố
định, mà giờ đây được gọi là số Reynolds (Re). Số này biểu thị tỷ lệ của lực quán tính và
lực nhớt, Re = UL/ (U = quy mô vận tốc, L = quy mô chiều dài, = hệ số nhớt động
học). Quy mô chiều dài trong thí nghiệm của Reynolds là đường kính ống D. Dựa vào
những kết quả thí nghiệm, dòng chảy phân tầng sẽ tồn tại đối với Re = UD / < 2400.
Những nhiễu loạn ban đầu trong dòng chảy sẽ mất đi khi Re < 2400, nhưng chúng sẽ
lớn lên khi Re > 2400.

U
x .
Re
2U
2
x
U

(5.4.38)

Hình 5. 21. Thí nghiệm Reynolds

Độ lớn của giá trị phân giới này không thật chính xác lắm, bởi vì nó phụ thuộc vào

61


những điều kiện dòng chảy ban đầu ở thượng lưu cái ống, mà có thể bị ảnh
hưởng
bởi những nhiễu động cơ học trong môi trường xung quanh hoặc bởi những nhiễu động
khác. Trong trường hợp một trạng thái rất ổn định, dòng chảy phân tầng có thể duy trì
khi Re = 100000.
Khi lấy bán kính thủy lực làm quy mô chiều dài đặc trưng, số Reynolds tới hạn đối
với những lòng dẫn hở là khoảng 600 vì đường kính ống bằng 4 lần bán kính thủy lực
(D = 4 R).
Cuối cùng, số Reynolds sẽ được giải thích chi tiết hơn. Về cơ bản, số Reynolds là tỷ
lệ của các lực gia tốc và lực ứng suất trượt do nhớt tác động lên một phần tử chất lỏng
(xem phương trình 5.4.31).
Vận tốc có thể đặc trưng bởi quy mô U. Những tọa độ x và z thể hiện bởi quy mô L.
Điều này dẫn đến:

Re

U 2 / L UL

.
U / L2

(5.4.39)

Trong trường hợp thí nghiệm của Reynolds, đường kính ống D là quy mô chiều dài
thích hợp nhất.

Hình 5.22. Vận tốc trong dòng chảy rối

5.4.5.2. Thủ tục lấy trung bình thời gian của Reynolds
Reynolds áp dụng những phương trình Navier-Stokes đối với dòng chảy rối bằng
việc trình bày một thủ tục lấy trung bình thời gian. Mỗi biến tức thời được thể hiện
bằng giá trị trung bình thời gian và một giá trị nhiễu động (xem hình 5.22). Như vậy:
U = u +u, V = v + v, W = w + w, P = p + p.

(5.4.40)

Những giá trị trung bình xác định như sau:
T

f

1
F (t ) dt
T 0

(5.4.41)

trong đó T là chu kỳ thời gian lấy trung bình. Chu kỳ T này cần phải lớn hơn quy mô
rối ưu thế, nhưng nhỏ hơn những hiệu ứng tuần hoàn dài như quy mô thủy triều (T =

62

1000 giây).
Thay thế phương trình (5.4.40) vào phương trình (5.4.35) dẫn tới:

u u ' 2



(u 2uu 'u ' u ' ) (uv uv'vu 'v' u ' ) (uw uw' wu 'u ' w' )
z
t t x
y
1
2
2
2
( p p ' ) ( 2 2 2 )(u u ' ) 0.
x
x
y
z
(5.4.42)
Mỗi số hạng bây giờ được lấy trung bình trong thời gian (T,) được chỉ ra bởi một
dấu ngang.
Nhận thức rằng theo định nghĩa

u' 0

uv' 0

vu ' 0

uw' 0

wu ' 0

p' 0

điều đó cho thấy ( không đổi):

u 2


(u u ' u ') (uv u ' v') (uw u ' w')
z
t x
y

(5.4.43)

1 p
2u 2u 2u
( 2 2 2 ) 0.
x
x
y
z
Những phương trình tương tự có thể nhận được đối với các hướng y và z.
Từ phương trình (5.4.43) rõ ràng là những nhiễu động vận tốc sản sinh những số
hạng bổ sung, có thể giải thích là những ứng suất trượt do rối và ứng suất pháp tuyến

(ứng suất Reynolds).
Cuối cùng, những phương trình Reynolds đối với một phần tử chất lỏng trong dòng
chảy rối có thể biểu thị như sau:

u uu uv uw 1 p 1 xx xy xz




(


)0
t
x
y
z
x x
y
z

(5.4.44)

yz
v vu vv vw 1 p 1 yx yy




(

)0
t x
y
z
y x
y
z

(5.4.45)

w wu wv ww 1 p 1 zx zy zz




(


) g 0
t
x
y
z
z x
y
z

(5.4.46)

trong đó:

u
u'u'
x
u
2
u'u'
x
v
2
v' v'
y

u v
) u ' v'
y x
u v
( ) u ' v'
y x
u w
( ) u ' w'
z x

xx 2

xy (

xx

xy

yy

xz

(5.4.47)

63