Bài tập xác suất thống kê có đáp án

` TA
ˆ. P XAC
´ SUA
ˆ´T
BAI
Cˆ
au 1: C´
o 3 lˆo sa’n phˆa’m, mˆo˜i lˆo c´o 10 sa’n phˆa’m. Lˆo th´u. i c´o i sa’n phˆa’m

xˆa´u
(i = 1,2,3). Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo˜i lˆo ra mˆo.t sa’n phˆa’m. T´ınh c´ac x´ac xuˆa´t
sau:
a) Ca’ 3 sa’n phˆa’m d¯`ˆeu tˆo´t .
b) C´o d¯u´ng hai sa’n phˆa’m tˆo´t.
Gia’i:
a) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ca’ 3 sa’n phˆa’m l`a tˆo´t. Ai biˆe´n cˆo´ sa’n phˆa’m thuˆo.c lˆo
.
th´u i, (i = 1, 2, 3) l`a tˆo´t. Khi d¯´o ta c´o:
A = A1 A2 A3 , v`ı A1 , A2 , A3 d
¯ˆo.c lˆa.p do d¯o´:
P (A) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
Vˆa.y P (A) = 0, 9.0, 8.0, 7 = 0, 504.
b) Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u´ng 2 sa’n phˆa’m tˆo´t. Khi d¯o´ ta c´o:
B = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 .
P (B)
P (B)

´c
xung kh˘
a

=

P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 )

d
¯ˆ
o.c lˆ
a.p

= P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
P (B) = 0, 398.

Vˆa.y
`om 1000 linh kiˆe.n A, 800 linh kiˆe.n B, 2000 linh kiˆe.n C.
Cˆ
au 2: Mˆ
o.t m´ay t´ınh gˆ
´
`an lu.o..t l`a 0,001; 0,005 v`a 0,002. M´ay
’
’
X´ac suˆat hong cua 3 loa.i linh kiˆe.n d¯o´ lˆ
`eu ho.n 1. Gia’ su’. c´ac linh kiˆe.n
t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ. ng khi sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng nhiˆ
ho’ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau .
a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o ho.n 1 linh kiˆe.n loa.i A ho’ng.
b) T`ım x´ac xuˆa´t d¯ˆe’ m´ay t´ınh ngu.ng hoa.t d¯oˆ. ng.
Gia’i:
a) Go.i X1 , X2 , X3 l`a sˆo´ linh kiˆe.n ho’ng tu.o.ng u´.ng cu’a c´ac loa.i A, B, C.
P (X1 > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − [P (X1 = 0) + P (X1 = 1)].

Trong tru.`o.ng ho..p d˜ay ph´ep thu’. d¯ˆo.c lˆa.p c´o n l´o.n v`a p nho’ ta ´ap du.ng
k
d¯.inh l´y Poisson : Pn (k) ≈ e−λ λk! , trong d¯o´ λ = np.
0
1
Vˆa.y P (X1 > 1) = 1 − [e−1 10! + e−1 11! ] = 1 − 2e .
b) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ m´ay ngu.ng hoa.t d¯ˆo.ng. Khi d¯´o P (A) = 1 − P (A)
P (A) = P [(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) ∪ (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0)
∪ (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0) ∪ (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1)]
= P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 0) + P (X1 = 1)P (X2 = 0)P (X3 = 0)
+ P (X1 = 0)P (X2 = 1)P (X3 = 0) + P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 1)

Vˆa.y P (A) = 1 − P (A) = 1 − 10
e9 .
.
.
Cˆ
au 3: Mˆ
o.t ngu `o i nuˆoi 100 con g`a m´ai. X´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con bˆa´t k`y d¯e’ tr´u.ng
l`a 0,6 . T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o:
- u´ng 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
a) D
b) Khˆong ´ıt ho.n 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
Gia’i:


2

a)
1

k − np
ϕ( √
)
npq
npq
1
60 − 100 × 0, 6
√
ϕ( √
)
100 × 0, 6 × 0, 4
100 × 0, 6 × 0, 4
1
1
= √ ϕ(0) = √ 0.399 = 0, 816
2 6
2 6

P100 (60) ≈ √

b)
100 − 100 × 0, 6
60 − 100 × 0, 6
P100 (60; 100) ≈ Φ( √
) − Φ( √
) = Φ(8, 1) ≈ 0, 5
100 × 0, 6 × 0, 4
100 × 0, 6 × 0, 4

`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nh`a m´ay c´o chˆa´t

Cˆ
au 4: Qua thˆ
o´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘

lu.o..ng cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n ho´a qu´a tr`ınh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n
phˆa’m th`ı 2% sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao s˜e khˆong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜u.a v`a
5% sa’n phˆ
a’m khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng la.i d¯u.o..c cˆong nhˆa.n l`a c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
H˜ay t`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sau khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o..c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t
lu.o..ng cao d¯u´ng l`a sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
Gia’i:
A2 sa’n phˆ
a’m lˆa´y ra khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng cao, B sa’n phˆa’m lˆa´y ra d¯u.o..c
cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (B|A1 )P (A1 )
P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 )
0, 98 × 0, 96
=
= 0, 998
0, 98 × 0, 96 + 0, 05 × 0, 04

P (A1 |B) =

`om : 12 sa’n phˆa’m do nh`a m´ay
Cˆ
au 5: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u..ng 20 sa’n phˆa’m gˆ

.
.
th´u nhˆa´t sa’n xuˆa´t v´o i tı’ lˆe. phˆe´ phˆa’m 1% v`a 8 sa’n phˆa’m do nh`a m´ay th´u. hai
sa’n xuˆa´t v´o.i tı’ lˆe. phˆe´ phˆa’m 1, 5%. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 1 sa’n phˆa’m t´ınh x´ac suˆa´t
d¯ˆe’:

a) Sa’n phˆa’m d¯o´ l`a phˆe´ phˆa’m.
b) Sa’n phˆa’m d¯´o thuˆo.c nh`a m´ay th´u. nhˆa´t khi n´o l`a phˆe´ phˆa’m.
Gia’i:
a) Go.i B sa’n phˆa’m l`a phˆe´ phˆa’m. Ai sa’n phˆa’m thuˆo.c nh`a m´ay th´u.
i, (i = 1, 2).
´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ
`an ta d¯u.o..c:
Ap
P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) = 0, 012.

´ du.ng cˆong th´u.c Bays
b) Ap
P (A1 |B) =

P (B|A1 )P (A1 )
= 0, 5.
P (B)


3

Cˆ
au 6: Mˆ
o.t xa. thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7. Anh ta

c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i:
b) K`y vo.ng
4

E(X) =

xi pi = 1.0, 7 + 2.0, 21 + 3.0, 063 + 4.0, 027 = 1, 417.
i=1

Phu.o.ng sai
4

(xi − a)2 pi = 0, 5295.

D(X) =
i=1

Cˆ
au 7: Trong d
¯oˆ. i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u. 1; 6 sinh viˆen n˘am

th´u. 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u. 3. X´ac suˆa´t tham gia d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng
u´.ng l`a 0,75 ; 0,7 v`a 0,8. G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng . Ho’i
`eu nhˆa´t?
sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ

Gia’i:
Go.i H = { sinh viˆen thuˆo.c d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng }.
Ai = { sinh viˆ
en thuˆo.c n˘am th´u. i } i=1,2,3.
P (H) =
P (A1 ) =

5
6
4
.0, 75 + .0, 7 + .0, 8 = 0, 743.
15
15
15

0, 25
0, 28
0, 213
P (A2 ) =
P (A3 ) =
.
0, 743
0, 743
0, 743

`eu nhˆa´t.
Vˆa.y sinh viˆen c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am th´u. 2 nhiˆ
.
Cˆ
au 8: C´

o 5 sinh viˆen nhu ng chı’ c´o 2 v´e b´ong d¯´a. Ho. viˆe´t 5 c´ai phiˆe´u trˆen d¯o´
´
`an lu.o..t r´ut mˆo.t phiˆe´u
2 phiˆeu ghi “c´o” v`a 3 phiˆe´u ghi “khˆong”. Mˆo˜i ngu.`o.i lˆ
nˆe´u ai d¯u.o..c phiˆe´u “c´o” th`ı d¯u.o..c d¯i xem. Ho’i c´ach r´ut phiˆe´u nhu. vˆa.y c´o cˆong
`a ng hay khˆong?
b˘
Gia’i:
Go.i A = { r´ut d¯u.o..c phiˆe´u ghi ”c´o” } .
Sˆo´ kˆe´t qua’ thuˆa.n lo..i cho biˆe´n cˆo´ A l`a m = 2 × C53 ; sˆo´ kˆe´t qua’ d¯`ˆong kha’
n˘ang n = 5!.
Vˆa.y
P (A) = 25 .
`om 10 cˆau ho’i. Sˆo´ sinh viˆen trong l´o.p
Cˆ
au 9: Trong k`
y thi triˆe´t d¯`ˆe cu.o.ng gˆ
chuˆa’n bi. b`ai theo tı’ lˆe. sau : 50% ho.c ca’ 10 cˆau ; 30% ho.c 7 cˆau v`a sˆo´ c`on la.i
chı’ ho.c 5 cˆau. Trˆen mˆo˜i phiˆe´u ho’i thi c´o 2 cˆau ho’i. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ 1 sinh
viˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c ca’ 2 cˆau ho’i.
Gia’i:
Go.i Ak = { sv thuˆo.c nh´om th´u. k } k = 1, 2, 3.
v`a H = { sv tra’ l`o.i ca’ 2 cˆau ho’i } .
´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ
`an
Ap


4

P (H) = 1/2.1 + 3/10.7/15 + 1/5.2/9 = 0, 68.
Cˆ
au 10: Trong d
¯ˆo.i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u. 1; 6 sinh viˆen

n˘am th´u. 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u. 3. X´ac suˆa´t tham gia d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
tu.o.ng u´.ng l`a 0,7 ; 0,9 v`a 0,8. G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
`eu nhˆa´t?
. Ho’i sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ
Gia’i:
Go.i Ak = { sv thuˆo.c n˘am th´u. k } v`a H = { sv thuˆo.c d¯ˆo.i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng
}.
P (A1 |H) =

5.0, 7
= 0, 29
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

P (A2 |H) =

6.0, 9
= 0, 45
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

P (A3 |H) =

4.0, 8
= 0, 26.
5.0, 7 + 6.0, 9 + 4.0, 8

`eu kha’ n˘ang thuˆo.c v`ao n˘am 2.
So s´anh kˆe´t qua’ ta thˆa´y sv n`ay c´o nhiˆ
.
`au gˆ
`om : 7 cˆ
`au d¯o’, 5 cˆ
`au xanh , 18
Cˆ
au 11: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u. ng 30 qua’ cˆ
`au v`ang. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 3 qua’ cˆ
`au t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ :
cˆ
a) C´o 3 qua’ c`ung m`au.
b) C´o ´ıt nhˆa´t 2 qua’ kh´ac m`au.
Gia’i:
a) Go.i A = { biˆe´n cˆo´ 3 qu’a c`ung m`au }.
X´ac suˆa´t 3cu’a3 A 3l`a
P (A) =

C7 +C5 +C18
3
C30

= 0, 212

b) P (A) = 1 − P (A) = 0, 788.
Cˆ
au 12: Trong mˆ
o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi. C´o 5 sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t, 7

sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a, 2 sinh viˆen chuˆa’n bi. trung b`ınh v`a 1 sinh viˆen chuˆa’n
bi. k´em. Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i. Sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t c´o thˆe’ tra’
l`o.i d¯u.o..c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a tra’ l`o.i d¯u.o..c 15 cˆau, sinh viˆen
trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o..c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o..c 5
cˆau. Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o..c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c 3 cˆau ho’i tu`y
´y. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. k´em.
Gia’i:
Go.i Ak = { sinh viˆen chuˆa’n bi. loa.i k } k=1,2,3,4; k´ı hiˆe.u 1:tˆo´t; 2:kh´a;
3:trung b`ınh; 4:k´em.
B = { sinh viˆ
en tra’ l`o.i d¯u.o..c ca’ 3 cˆau ho’i }.
Ta c´o
P (A1 ) =

5
7
2
1
; P (A2 ) =
; P (A3 ) =
; P (A4 ) =
15
15
15
15

P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) =

25
2
1
; P (B|A3 ) =
; P (B|A4 ) =
.
57
19
114


5

´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (A1 |B) =

513
= 0, 585;
876

P (A4 |B) =

1
= 0, 0011.
876

Cˆ
au 13: Ba hˆ

o.p ke.o giˆo´ng nhau. Hˆo.p 1 c´o 25 viˆen ke.o cam; hˆo.p 2 c´o 15 viˆen

ke.o chanh v`a 10 viˆen ke.o cam; hˆo.p 3 c´o 20 viˆen ke.o chanh v`a 5 viˆen cam.
Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t hˆo.p v`a t`u. hˆo.p d¯o´ lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 1 viˆen ke.o .
T`ım x´ac d¯ˆe’ viˆen ke.o d¯´o l`a ke.o cam.
Gia’i:
Go.i Ak = { viˆen ke.o lˆa´y ra thuˆo.c hˆo.p th´u. k } k=1,2,3; k´ı hiˆe.u
B = {viˆ
en ke.o lˆa´y ra l`a ke.o cam }.
Ta c´o
P (A1 ) =

1
1
1
; P (A2 ) = ; P (A3 ) =
3
3
3

P (B|A1 ) = 1; P (B|A2 ) =

10
5
; P (B|A3 ) =
.
25
25

´ du.ng cˆong th´u.c xa

`an ta c´o:
Ap
´ c suˆa´t toa`n phˆ
P (B) =

1
[1 + 0, 4 + 0, 2] = 0, 533.
3

Cˆ
au 14: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ. c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t

`an lu.o..t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u. nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u. hai
b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ
0,75, ngu.`o.i th´u. ba 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu `o i b˘a´n tru

´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o A la` biˆe´n cˆo´
.
.
´
khˆong co
´ ngu `o i na`o b˘an tru
´ ng d¯´ch.
ı
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, 3 = 0, 015.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.

`au gˆ
`om : 7 cˆ
`au d¯o’, 11 cˆ
`au xanh, 12
Cˆ
au 15: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u..ng 30 qua’ cˆ

`au va`ng. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen lˆ

`an lu.o..t 3 qua’ cˆ
`au tı´nh xa
cˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe’ co
´ 3 qua’ cu`ng
.
.
.
ma`u trong hai tru `o ng ho. p sau:
a) Cho.n khˆong hoa`n la.i;
b) Cho.n hoa`n la.i.
Gia’i:


6

`an lu.o..t
a) Trong tru.`o.ng ho..p cho.n khˆong hoa`n la.i. Ta go.i A-D, AV , AX , A lˆ
la` ca
´ c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u
xanh, cu`ng ma`u. Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o..c
P (A) = P (A-D) + P (AV ) + P (AX )
3
3
C11
C12
C73
+
+
3

3
3
C30
C30
C30
= 0, 1034.

=

`an lu.o..t la` ca
´ c biˆe´n
b) Trong tru.`o.ng ho..p cho.n hoa`n la.i. Ta go.i B-D, BV , BX , B lˆ
cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u xanh, cu`ng
ma`u. Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o..c
P (B) = P (B-D) + P (BV ) + P (BX )
7
11
12
= ( )3 + ( )3 + ( )3
30
30
30
= 0, 126.
Cˆ
au 16: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ. c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t

`an lu.o..t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u. nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u. hai
b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ
0,75, ngu.`o.i th´u. ba 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:

- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu `o i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 75.0, 7.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.

`en c´u.ng ph˘a’ng.
Cˆ
au 17: Tung 2 con x´
uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ

a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Gia’i:
a) Go.i Ak = { biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m l`a k }.
P (A8 ) =

5
.
36

b) Go.i C = { biˆe´n cˆo´ to’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2 }.
P (C) =

18
= 0, 5.
36


7

Cˆ
au 18: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t b˘a´n

tr´ung d¯´ıch cu’a ngu.`o.i th´u. nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u. hai b˘`a ng 0,75; cu’a
ngu.`o.i th´u. ba b˘`a ng 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tru.o..t.
a) D

- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru.o..t i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t. Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, 3.
Vˆa.y P (A) = 0, 015.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A) = 1 − 0, 015 = 0, 985.
Cˆ
au 19: Trong viˆ
e.c chˆe´ ta.o mˆo.t sa’n phˆa’m, viˆe.c chuˆa’n bi. pha’i qua 4 thao t´ac.

`a ng su.. thiˆe´u s´ot trˆen c´ac khˆau riˆeng biˆe.t l`a c´ac biˆe´n cˆo´ d¯oˆ. c lˆa.p. T`ım
Gia’ su’. r˘
x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sa’n phˆa’m chˆe´ ta.o d¯u´ng qui c´ach nˆe´u x´ac suˆa´t pha.m thiˆe´u s´ot o’.
thao t´ac th´u. nhˆa´t l`a 0,02; o’. thao t´ac th´u. hai l`a 0,01; o’. thao t´ac th´u. ba l`a
0,02 v`a o’. thao t´ac th´u. tu. l`a 0,03.
Gia’i:
Go.i A ={ sa’n phˆa’m khˆong d¯u´ng qui c´ach}.
Khi d¯´o: A ={ sa’n phˆa’m d¯u´ng qui c´ach}.
P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 )
= P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ).

V´o.i P (A1 ) = 1 − P (A1 ) = 1 − 0, 02 = 0, 98.
P (A2 ) = 1 − P (A2 ) = 1 − 0, 01 = 0, 99.
P (A3 ) = 1 − P (A3 ) = 1 − 0, 02 = 0, 98.
P (A4 ) = 1 − P (A4 ) = 1 − 0, 03 = 0, 97.
Vˆa.y P (A) = 0, 92.
`en c´u.ng ph˘a’ng.
Cˆ
au 20: Tung 2 con x´
uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ

a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
Gia’i:
a) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m o’. m˘a.t ng˜u.a lˆen ph´ıa trˆen cu’a
2 con x´uc x˘a´c l`a 8.
b) T`ım x´ac suˆa´t cu’a biˆe´n cˆo´ tˆo’ng sˆo´ chˆa´m chia hˆe´t cho 2.
1
Cˆ
au 21: Trong mˆ
o.t l´o.p ho.c co
´ 6 bo
´ ng d¯`en, mˆo˜i bo
´ ng co
´ xa
´ c suˆa´t cha
´ y la` .
4
L´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa

´ ng nˆe´u co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng d¯`en sa
´ ng. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p
ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa
´ ng.
Gia’i:
Mˆo˜i bo
´ ng co
´ xa
´ c suˆa´t cha
´ y la` 14 . Suy ra xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 bo
´ ng sa
´ ng la` 43 .
´ ng.
Co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng sa
´ ng. Go.i P la` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa


8

3
1

3 1
3
P = C64 .( )4 .( )2 + C65 .( )5 . + C66 ( )6 = 0, 8303
4
4
4 4
4

Vˆa.y xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa
´ ng la`: 1 − P = 0, 1695.
´
`
Cˆ
au 22: Mˆ
o.t ba`i thi tr˘ac nghiˆe.m gˆom 12 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau ho’i cho 5 cˆau tra’
.
l`o i, trong d¯´o chı’ co
´ mˆo.t cˆau d¯´ung. Gia’ su’. mˆo.t cˆau tra’ l`o.i d¯´ung d¯u.o..c 4 d¯iˆe’m.
Mˆo.t ho.c sinh ke
´m la`m ba`i b˘`a ng ca
´ ch cho.n hu
´ hoa. mˆo.t cˆau tra’ l`o.i. Tı´nh xa
´c
’
´
suˆa t d¯ˆe :
a) Anh ta d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m.
b) Anh ta d¯u.o..c d¯iˆe’m ˆam.
Gia’i:

a)Anh ta d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m trong tru.`o.ng ho..p tra’ l`o.i d¯´ung 5 cˆau va` tra’ l`o.i sai
7 cˆau. Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung cˆau ho’i 15 .Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i sai cˆau ho’i 54 . Vˆa.y
1
4
xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m la`: C1 25 .( )5 .( )7 = 0, 053
5
5
.
’
’
b) Anh ta bi. d¯iˆe m ˆam khi tra l`o i d¯´ung ´t
ı ho.n 3 cˆau.Go.i x la` sˆo´ cˆau d¯´ung,
sˆo´ cˆau sai la` 12 − x. Bˆa´t phu.o.ng trı`nh 4x < 12 − x xa’y ra khi x = 0, 1, 2
Vˆa.y: P = C1 20 .( 54 )1 2 + C1 21 . 15 .( 45 )1 1 + C1 22 .( 15 )1 .( 45 )1 0
= 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 = 0, 5583
Cˆ
au 23: Gieo d
¯`oˆng th`o.i ba con xu
´ c s˘a´c. Anh la` ngu.`o.i th˘a´ng cuˆo.c nˆe´u co
´

xuˆa´t hiˆe.n ´t
ı nhˆa´t 2 ”lu.c”. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ trong 5 va
´ n cho.i anh th˘a´ng ´t
ı
´

nhˆa t la` 3 va
´ n.
Gia’i:
Xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 16
Xa
´ c xuˆa´t khˆong pha’i la` quˆan lu.c xuˆa´t hiˆe.n la`: 56
Xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng trong 1 va
´ n la`:
1 5
1
16
2
C32 .( )2 . + ( )3 =
=
6 6
6
216
27

Vˆa.y xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ th˘a´ng ´t
ı nhˆa´t 3 va
´ n la`:
C53 .(

2 3 25 2
2
25

2
) .( ) +C54 .( )4 . +( )5 = 0, 00348+0, 00014+0, 00000223 = 0, 0036
27
27
27 27
27

Cˆ
au 24: Mˆ
o.t ngu.`o.i b˘a´n 3 viˆen d¯a.n. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ 3 viˆen tru
´ ng vo`ng 10 la`
’
0, 0008, xa
´ c suˆa´t d¯ˆe 1 viˆen tru
´ ng vo`ng 8 la` 0, 15, va` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 viˆen tru
´ ng
.
.
’
’
vo`ng du ´o i 8 la` 0, 4. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe xa. thu’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28 d¯iˆe m.

Gia’i:
`eu kiˆe.n ba`i toa
T`u. d¯iˆ
´ n suy ra xa

´ c xuˆa´t b˘a´n tru
´ ng vo`ng 10 la` 0,2; tru
´ ng
.
.
.
vo`ng 9 la` 0,25. Xa. thu’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28 d¯iˆe’m trong ca
´ c tru `o ng ho. p sau:
a) 1 viˆen 10 va` 2 viˆen 9.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2).(0, 25)2 = 0, 0375
b) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 9.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 .(0, 25) = 0, 03
c) 2 viˆen 10 va` 1 viˆen 8.Xa
´ c xuˆa´t la`: 3.(0, 2)2 .(0, 15) = 0, 018
d) Ca’ 3 viˆen 10.Xa
´ c xuˆa´t la` 0,008. Vˆa.y P la` xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28
d¯iˆe’m: P = 0, 0375 + 0, 03 + 0, 018 + 0, 008 = 0, 0935
Cˆ
au 25: Mˆ
o.t ma
´ y bay co
´ 5 d¯oˆ. ng co., trong d¯´o co
´ 3 d¯oˆ. ng co. o’. ca
´ nh pha’i va`
.
.
.

.
2 d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh tra
´ i. Mˆo˜i d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh pha’i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 1,
.
.
co`n mˆo˜i d¯ˆo.ng co o’ ca
´ nh tra
´ i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 05. Ca
´ c d¯oˆ. ng co. hoa.t
d¯ˆo.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay thu..c hiˆe.n chuyˆe´n bay an toa`n trong
.
.
.
ca
´ c tru `o ng ho. p sau:


9

a) Ma
´ y bay chı’ bay d¯u.o..c nˆe´u co
´ ´t

ı nhˆa´t hai d¯oˆ. ng co. la`m viˆe.c.
b) Ma
´ y bay chı’ bay d¯u.o..c khi trˆen mˆo˜i ca
´ nh cu’a no
´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng
.
co la`m viˆe.c.
Gia’i:
˜ ro.i khi tˆa´t ca’ ca
´ c d¯ˆo.ng co. d¯`ˆeu ho’ng ho˘a.c chı’ co
´ 1 d¯oˆ. ng co.
a)Ma
´ y bay se
la`m viˆe.c.
Go.i P la` xa
´ c suˆa´t tˆa´t ca’ ca
´ c d¯ˆo.ng co. ho’ng :P = (0, 1)3 .(0, 05)2 Q la` xa
´c
.
´
’
suˆa t 4 d¯oˆ. ng co hong:
Q = 2.(0, 1)3 .(0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 .(0, 9).(0, 05)2

A la` xa
´ c suˆa´t ma
´ y bay ro.i:

A = (0, 1)3 .(0, 05)2 + 2.(0, 1)3 .(0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 .(0, 9).(0, 05)2 = 0, 00016
B la` xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n = 1 − 0, 00016 = 0, 99984
’
b) P- Ca
´ nh phai co
´ ´t
ı nhˆa´t 1 d¯oˆ. ng co. la`m viˆe.c = 1 − (0, 1)2 = 0, 99
Q-Ca
´ nh tra
´ i co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co. la`m viˆe.c = (1 − (), 05)2 = 0, 9975
Vˆa.y A-Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n la` = (0, 99).(0, 9975) = (0, 9875)
.
.
Cˆ
au 26: Mˆ
o.t ngu `o i say ru.o..u bu.´o.c 8 bu.´o.c. Mˆo˜i bu.´o.c anh ta tiˆe´n lˆen phı´a

´t ho˘a.c lu`i la.i phı´a sau mˆo.t me
´t v´o.i xa
´ c suˆa´t nhu. nhau. Tı´nh
tru.´o.c mˆo.t me
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ sau 8 bu.´o.c:
a) Anh ta tro’. la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha

´ t.
b) Anh ta ca
´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t ho.n 4m.
Gia’i:
a)Anh ta tro’. la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t khi tiˆe´n 4 bu.´o.c va` lu`i 4 bu.´o.c. Vˆa.y
1
1
70
P = C84 .( )4 .( )4 =
2
2
256

b)Anh ta ca
´ ch d¯iˆe’m xuˆa´t pha
´ t ho.n 4m nˆe´u sˆo´ bu.´o.c tiˆe´n la` 8,7,0,1.
1
1 1
1
1
18
Vˆa.y: P = C88 .( )8 + C87 .( )7 . + C80 .( )8 + C81 .( )8 =
2
2 2
2
2
256
Cˆ

au 27: Gieo 3 con xu
´ c s˘a´c cˆan x´u.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’:
`a ng ´t
a) Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n la` 8 nˆe´u biˆe´t r˘
ı nhˆa´t co
´ mˆo.t con ra nˆo´t
1.
`a ng sˆo´ nˆo´t trˆen 3 con la` kha
b) Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c nˆe´u biˆe´t r˘
´c
nhau.
Gia’i:
a)Go.i A la` biˆe´n cˆo´ :”Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t la` 8” va` B la` biˆe´n cˆo´:”Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t
con ra nˆo´t 1”.
`a ng 8 la`:(2,3,3);(2,2,4);(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4) va`
Ca
´ c tru.`o.ng hˆo. co
´ tˆo’ng b˘
ca
´ c hoa
´ n vi. cu’a chu
´ ng.
.
.
.

´
´ thˆe’ la` 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 = 21
T`u d¯´o sˆo tru `o ng ho..p co
21
Do d¯´o P (A) =
216

P (A/B) =

P (AB)
P (B)

- ˆe’ tı´nh P (AB), ta thˆa´y ca
`a ng 8 ma` trong d¯´o co
D
´ c tˆo’ ho..p co
´ tˆo’ng b˘
´ ”1”

la` (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4).
15
3+6+6
=
Vˆa.y P (AB) =
216
216
˜
´
Dˆe thˆa y

10

5
91
P (B) = 1 − ( )3 =
6
216
15
Vˆa.y P (A/B) = .
91
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c”
b)Go.i A: ”Co
B : ”Sˆ
o´ nˆo´t trˆen 3 con kha
´ c nhau”.
Ta co
´ P (A/B) = PP(AB)
;
(B)
3.5.4
60
P (AB) = 216 = 216 ;
P (B) = 6.5.4
216
Vˆa.y P (A/B) = 12
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ hai d¯u´.a d¯`ˆeu la`
Cˆ
au 28: Mˆ

o.t gia d¯`nh
ı co
´ hai d¯u´.a con. Tı`m xa

`a ng ´t
con trai nˆe´u biˆe´t r˘
ı nhˆa´t trong hai d¯u´.a co
´ mˆo.t d¯u´.a trai (gia’ thiˆe´t xa
´c
`
´
suˆa t sinh con trai va` con ga
´ i b˘a ng nhau).
Gia’i:
´ 1 d¯u´.a la` trai”
Go.i A: ”Ca’ 2 d¯u´.a la` con trai”. B : ”ı´t nhˆa´t co
Ta co
´ P (AB) = 41 , P (B) = 1 − 14 = 34
Vˆa.y P (A/B) = 13
Cˆ
au 29: Mˆ
o.t cuˆo.c thi co
´ 3 vo`ng. Vo`ng 1 lˆa´y 90% thı´ sinh. Vo`ng 2 lˆa´y 80%
’
thı´ sinh cua vo`ng 1 va` vo`ng 3 lˆa´y 90% thı´ sinh cu’a vo`ng 2.
a) Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng thi.
`a ng thı´ sinh
b) Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t thı´ sinh bi. loa.i o’. vo`ng 2 nˆe´u biˆe´t r˘

d¯´o bi. loa.i.
Gia’i:
a) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng la`:
p = (0, 9)(0, 8)(0, 9) = 0, 648

`a ng thı´ sinh d¯´o tru.o..t la`:
b) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh d¯´o tru.o..t o’. vo`ng 2 biˆe´t r˘
P ({tru.o..t vo
`ng 2})
0, 18
=
= 0, 511
.
.
P ({tru o. t})
0, 352
Cˆ
au 30: Mˆ
o.t c˘a.p tre’ sinh d¯oˆico
´ thˆe’ do cu`ng mˆo.t tr´u.ng (sinh d¯ˆoi thˆa.t), hay
do hai tr´u.ng kha
´ c nhau sinh ra 9sinh d¯oˆi gia’). Ca
´ c c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t luˆon co
´
.
.
.
.

- ˆo´i v´o i c˘a.p sinh d¯ˆoi gia’ thı` gi´o i tı´nh cu’a mˆo˜i d¯u´ a d¯oˆ. c lˆa.p v´o.i
cu`ng gi´o i tı´nh. D
nhau va` co
´ xa
´ c suˆa´t 0, 5 la` con trai. Thˆo´ng kˆe cho thˆa´y 34% c˘a.p sinh d¯oˆi d¯`ˆeu
la` trai, 30% c˘a.p d¯`ˆeu la` ga
´ i, va` 36% c˘a.p sinh d¯ˆoi co
´ gi´o.i tı´nh kha
´ c nhau.
a) Tı`m tı’ lˆe. c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t.
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t c˘a.p sinh d¯ˆoi thı` d¯u.o..c mˆo.t c˘a.p co
´ gi´o.i tı´nh. Tı´nh
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ d¯´o la` c˘a.p sinh d¯ˆoi thˆa.t.
Gia’i:
Go.i B1 : ”c˘a.p sinh d¯ˆoi la` thˆa.t”, B2 : ”c˘a.p sinh d¯oˆi la` gia’” A: ”C˘a.p sinh
d¯ˆoi cu`ng gi´o.i”
Theo gia’ thiˆe´t P (A) = 0, 34 + 0, 3 = 0, 64 va`
1
2
- ˘a.t P (B1 ) = x, P (B2 ) = 1 − x
D
P (A/B1 ) = 1, P (A/B2 ) =

Theo cˆong th´u.c xa
´ c xuˆa´t d¯`ˆay d¯u’.
P (A) = P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 )
1−x
=⇒ 0, 64 = x +
=⇒ x = 0, 28

2


11

b)P (B1 /A) =

P (B1 )P (A/B1 )
0, 28
=
= 0, 4375
P (A)
0, 64

`ong tho’. Chuˆ
`ong th´u. nhˆa´t co
Cˆ
au 31: Co
´ hai chuˆ
´ 5 con tho’ d¯en va` 10 con tho’

`ong th´u. hai co
`ong th´u.
tr˘a´ng. chuˆ
´ 3 con tho’ tr˘a´ng va` 7 con tho’ d¯en. T`u. chuˆ
`oi sau d¯´o la.i
`ong th´u. nhˆa´t, rˆ
hai ta b˘a´t ra ngˆa˜u nghiˆen 1 con tho’ cho va`o chuˆ
.
.

.
.
`ong th´u nhˆa´t ra, thı` d¯u o. c mˆo.t tho’ tr˘a´ng.
b˘a´t ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t con tho’ t`u chuˆ
`ay la` cu’a chuˆ
`ong th´u. nhˆa´t.
Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ tho’ tr˘a´ng nˆ
Gia’i:
`ong 2 b˘a´t d¯u.o..c tho’ tr˘a´ng”,
Go.i E1 : ”T`u. chuˆ
`ong 2 b˘a´t d¯u.o..c tho’ d¯en”
E2 : ”T`
u. chuˆ
`an b˘a´t sau”
A: ”B˘a´t d¯u.o..c tho’ tr˘a´ng o’. lˆ
.
.
`ong 1 o’. lˆ
`an b˘a´t sau”
B: ”B˘a´t d¯u o. c tho’ tr˘a´ng cu’a chuˆ
Ta co
´ P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) =
3 11
7 10
103
10 . 16 + 10 . 16 = 160 .
P (B) = P (E1 )P (B/E1 ) + P (E2 )P (B/E2 )
3 10
7 10

. 16 + 10
. 16 = 100
= 10
160
P (AB)
P (B)
100
Vˆa.y P (B/A) =
=
=
P (A)
P (A)
103
`ong ga` co
`ong kia co
Cˆ
au 32: Mˆ
o.t chuˆ
´ 9 con ma
´ i va` 1 con trˆo´ng. Chuˆ
´ 1 con

`ong ta b˘a´t ra ngˆa˜u nhiˆen 1 con la`m thi.t. Ca
ma
´ i va` 5 con trˆo´ng. T`u. mˆo˜i chuˆ
´c
.
.
.
.

`on va`o chuˆ
`ong th´u ba. T`u chuˆ
`ong nˆ
`ay ta la.i b˘a´t ngˆa˜u
con ga` co`n la.i d¯u o. c dˆ
.
.
nhiˆen 1 con. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ b˘a´t d¯u o. c ga` trˆo´ng.
Gia’i:
Go.iE1 : ”B˘a´t d¯u.o..c hai ga` trˆo´ng”
E2 : ”B˘
a´t d¯u.o..c hai ga` ma
´ i”
.
.
´
´ i”. E1 , E2 , E3 la` hˆe. d¯`ˆay d¯u’
E3 : ”B˘
at d¯u o. c mˆo.t ga` trˆo´ng va` mˆo.t ga` ma
.
v´o i
1 5
5
. =
10 6
60
9 1
9
P (E2 ) = 10

. 6 = 60
5
9
P (E3 ) = 1 − 60
− 60
=
P (E1 ) =

46
60

`ong th´u. ba”
Go.i A: ”B˘a´t d¯u.o..c ga` trˆo´ng t`u. chuˆ
Khi d¯´o: P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) + P (E3 )P (A/E3 ) =
5 4
60 . 14

+

9 6
60 . 14

+

46 5
60 . 14

=

304

840

= 0, 3619

2
Cˆ
au 33: Mˆ
o.t chiˆe´c ma
´ y bay co
´ thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n o’. vi. trı´ A v´o.i xa
´ c suˆa´t va` o’.
3
1
.
.
.
vi. trı´ B v´o i xa
´ c suˆa´t . Co
´ ba phu o ng ´an bˆo´ trı´ 4 khˆa’u pha
´ o b˘a´n ma
´ y bay
3
.

nhu sau:

a’u d¯˘a.t ta.i A, 1 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.
Phu.o.ng ´a n 1: 3 khˆ
Phu.o.ng ´a n 2: 2 khˆ
a’u d¯˘a.t ta.i A, 2 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.

Phu.o.ng ´a n 3: 1 khˆ
a’u d¯˘a.t ta.i A, 3 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.

`a ng xa
Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t b˘a´n tru
´ ng ma
´ y bay cu’a mˆo˜i khˆa’u pha
´ o la` 0, 7 va` ca
´c
.
.
.
’
˜
khˆa u pha
´ o hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p v´o i nhau, ha y cho.n phu o ng ´an tˆo´t nhˆa´t.
’
Giai:
´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’. A thı` xa
´ c xuˆa´t b˘a´n ha. la`
Xe
´t phu.o.ng ´an 1. Nˆe´u ma
3
1 − (0, 3) = 0, 973.


12

Nˆe´u ma

´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’. B thı` xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. la` 0, 7.
.
Vˆa.y theo cˆong th´u c xa
´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’, xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. ma
´ y bay theo
.
.
phu o ng ´an 1 la`:
2
0, 7
.(0, 973) +
= 0, 882
3
3

Tu.o.ng tu.. xa
´ c suˆa´t b˘a´n ha. ma
´ y bay nˆe´u theo phu.o.ng ´an 2 la`:
2
1
.[1 − (0, 3)2 ] + .[1 − (0, 3)2 ] = 0, 91
3
3

Xa
´ c suˆa´t ha. ma
´ y bay theo phu.o.ng ´an 3 la`:
1

2
(0, 7) + .(0, 973) = 0, 971
3
3

Vˆa.y theo phu.o.ng ´an 2 la` tˆo´t nhˆa´t
Cˆ
au 34: Mˆ
o.t nha` ma
´ y sa’n xuˆa´t bo
´ ng d¯`en co
´ tı’ lˆe. bo
´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n la`
.
.
.
.
.
.
80%. Tru ´
o c khi xuˆa´t xu o’ ng ra thi. tru `o ng mˆo˜i bo
´ ng d¯`en d¯`ˆeu d¯u.o..c qua kiˆe’m
tra chˆa´t lu.o..ng. Vı` su.. kiˆe’m tra khˆong thˆe’ tuyˆe.t d¯ˆo´i hoa`n ha’o, nˆen mˆo.t bo
´ ng
.
.
d¯`en tˆo´t co
´ xa
´ c suˆa´t 0, 9 d¯u o. c cˆong nhˆa.n la` tˆo´t, va` mˆo.t bo
´ ng d¯`en ho’ng co

´
˜ y tı´nh tı’ lˆe. bo
xa
´ c suˆa´t 0, 95 bi. loa.i bo’. Ha
´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n sau khi qua khˆau
.
.
kiˆe’m tra chˆa´t lu o. ng sa’n phˆa’m.
Gia’i:
Go.i E1 : ”Bo
´ ng d¯`en tˆo´t”; E2 : ”Bo
´ ng d¯`en ho’ng”; A: ”Bo
´ ng d¯`en d¯u.o..c
d¯´anh dˆa´u d¯˜a kiˆe’m tra”
Ta co
´ P (E1 ) = 0, 8 ,P (E2 ) = 0, 2; P (A/E1 ) = 0, 9
va` P (A/E2 ) = 0, 05. Suy ra:
P (E1 )P (A/E1 )
P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 )
(0,8).(0,9)
= (0,8).(0,9)+(0,2).(0,05) = 0, 986
P (E1 /A) =

Cˆ
au 35: Co
´ bˆo´n nho
´ m xa. thu’ tˆa.p b˘a´n. Nho
´ m th´u. nhˆa´t co
´ 5 ngu.`o.i, nho
´m

th´u. hai co
´ 7 ngu.`o.i, nho
´ m th´u. ba co
´ 4 ngu.`o.i va` nho
´ m th´u. tu. co
´ 2 ngu.`o.i. Xa
´c
.
.
.
.
´
˜
´
´
’
suˆa t b˘an tru
´ ng d¯´ch
ı cua mˆoi ngu `o i trong ca
´ c nho
´ m th´u nhˆa t, th´u hai, th´u.
ba, th´u. tu. theo th´u. tu.. la` 0, 8; 0, 7; 0, 6; 0, 5. Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1 xa. thu’ va` xa. thu’
˜ y xa
`ay b˘a´n tru.o..t. Ha
`ay co
nˆ
´ c d¯.inh xem xa. thu’ nˆ
´ kha’ n˘ang o’. trong nho
´ m na`o

nhˆa´t.
Gia’i:
Go.i E1 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 1”; go.i E2 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 2”; E3 : ”Xa.
thu’ thuˆo.c nho
´ m 3”; E4 : ”Xa. thu’ thuˆo.c nho
´ m 4”; A: ”Xa. thu’ b˘a´n tru.o..t”
Theo d¯`ˆau ba`i ta co
´:
5
7
4
; P (E2 ) =
; P (E3 ) =
; P (E4 )
18
18
18
2
= 18
; P (A/E1 ) = 0, 2; P (A/E2 ) = 0, 3; P (A/E3 ) = 0, 4; P (A/E4 ) = 0, 5
P (E1 ) =

´ap du.ng cˆong th´u.c Baye
´s, ta co
´:
5
P (E1 /A) =

5
18 .(0, 2)

+

18 .(0, 2)
7
4
18 .(0, 3) + 18 .(0, 4)

+

2
18 .(0, 5)

´ m hai nhˆa´t.
= 10
a.y xa. thu’ co
´ kha’ n˘ang o’. nho
57 . Vˆ
.
`eu tri. bˆe.nh A; 30% d¯iˆ
`eu
Cˆ
au 36: Trong sˆ
o´ bˆe.nh nhˆan o’ 1 bˆe.nh viˆe.n co
´ 50% d¯iˆ
.
`eu tri. bˆe.nh C. Xa
tri. bˆe.nh B; va` 20% d¯iˆ

´ c suˆa´t d¯ˆe’ ch˜u a kho’i ca
´ c bˆe.nh A, B, C
.
.
.
˜ y tı´nh tı’ lˆe. bˆe.nh nhˆan ch˜u.a
`ay tu o ng u´ ng la` 0, 7; 0, 8; 0, 9. Ha
trong bˆe.nh viˆe.n nˆ
kho’i bˆe.nh A trong tˆo’ng sˆo´ bˆe.nh nhˆan d¯˜a d¯u.o..c ch˜u.a kho’i bˆe.nh.


13

Gia’i:
`eu tri. bˆe.nh A”; B : ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ
`eu tri. bˆe.nh B”;
Go.i A: ”Bˆe.nh nhˆan d¯iˆ
.
.
.
`eu tri. bˆe.nh C”; H : ”Bˆe.nh nhˆan d¯u o. c ch˜u a kho’i bˆe.nh ”
C : ”Bˆ
e.nh nhˆan d¯iˆ
Theo ba`i ta co
´:
P (A) = 0, 5; P (B) = 0, 3; P (C) = 0, 2;
P (H/A) = 0, 7; P (H/B) = 0, 8; P (H/C) = 0, 9

Theo cˆong th´u.c Baye
´s:

(0, 5)(0, 7)
(), 5)(0, 7) + (0, 3)(0, 8) + (0.2)(0, 9)
≈ 0, 4545

P (A/H) =

5
= 11
Cˆ
au 37: Trong mˆ
o.t kho ru.o..u sˆo´ lu.o..ng ru.o..u loa.i A va` loa.i B la` b˘`a ng nhau.

Ngu.`o.i ta cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t chai ru.o..u trong kho va` d¯u.a cho 5 ngu.`o.i sa`nh
ru.o..u nˆe´m thu’. d¯ˆe’ xa
´ c d¯.inh xem d¯ˆay la` loa.i ru.o..u na`o. Gia’ su’. mˆo˜i ngu.`o.i co
´
.
.
.
.
.
xa
´ c suˆa´t d¯oa
´ n d¯´ung la` 75%. Co
´ 4 ngu `o i kˆe´t luˆa.n chai ru o. u loa.i A va` 1 ngu `o.i
kˆe´t luˆa.n chai ru.o..u loa.i B . Ho’i khi d¯´o xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ chai ru.o..u d¯u.o..c cho.n thuˆo.c
loa.i A la` bao nhiˆeu?
Gia’i:

Go.i A la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o..u thuˆo.c loa.i A”; B la` biˆe´n cˆo´: ”Chai ru.o..u
thuˆo.c loa.i B” va` H la` biˆe´n cˆo´: ”Co
´ 4 ngu.`o.i kˆe´t luˆa.n ru.o..u loa.i A,1 ngu.`o.i kˆe´t
luˆa.n ru.o..u loa.i B”.
`an tı´nh P (A/H). ´ap du.ng cˆong th´u.c Baye
Ta cˆ
´s
P (A)P (H/A)
,
P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B)
P (A) = P (B) = 12 ; P (H/A) = C54 ( 43 )4 14 ;
P (H/B) = C54 ( 14 )4 34
P (A/H) =

Thay va`o ta thu d¯u.o..c:
P (A/H) =

27
≈ 0, 9642.
28

`a ng mˆo.t ngu.`o.i co
Cˆ
au 38: Biˆ
e´t r˘
´ nho
´ m ma
´ u AB co
´ thˆe’ nhˆa.n ma
´ u cu’a bˆa´t ky`

.
.
´
nho
´ m ma
´ u na`o. Nˆe u ngu `o i d¯´o co
´ nho
´ m ma
´ u co`n la.i (A ho˘a.c B ho˘a.c C ) thı`

co
´ thˆe’ nhˆa.n ma
´ u cu’a ngu.`o.i cu`ng nho
´ m v´o.i mı`nh ho˘a.c ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´u
O.
Cho biˆe´t tı’ lˆe. ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´ u O, A, B va` AB tu.o.ng u´.ng la` 33, 7%; 37, 5%; 7, 9%.
`an tiˆe´p ma
a) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ
´ u va` mˆo.t ngu.`o.i cho ma
´ u. Tı´nh
.
.
.
.

`en ma
´ u d¯u o. c thu. c hiˆe.n.
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ su. truyˆ
`an tiˆe´p ma
b) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ
´ u va` hai ngu.`o.i hiˆe´n ma
´ u. Tı´nh
.
.
.
.
`en ma
´ u d¯u o. c thu. c hiˆe.n.
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ su. truyˆ
Gia’i:
`an tiˆe´p ma
a) Kı´ hiˆe.u O, A, B, AB tu.o.ng u´.ng la` ca
´ c biˆe´n cˆo´: ”Ngu.`o.i cˆ
´u
co
´ nho
´ m ma
´ u la` O,A,B,AB”.
`en ma
Go.i H la` biˆe´n cˆo´: ”Su.. truyˆ
´ u thu..c hiˆe.n d¯u.o..c”. Theo cˆong th´u.c xa
´c
suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta co

´:
P (H) = P (O) + P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) + P (AB)P (H/AB)

Theo gia’ thiˆe´t:

P (O) = 0, 337; P (A) = 0, 375; P (B) = 0, 209;
P (O) = 0, 337;

P (AB) = 0, 079; P (H/O) =


14

P (H/A) = P (O) + P (A) = 0, 712; P (H/B) = P (O) + P (B) = 0, 546; P (H/AB) =
1.

Thay va`o ta d¯u.o..c: P (H) = 0, 5737
`en ma
b) Go.i E la` biˆe´n cˆo´: ”Su.. truyˆ
´ u khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..c”
Ta co
´ : P (E/O) = [1 − P (O)]2 = 0, 6632 .

P (E/A) = [1 − P (O) − P (A)]2 = 0, 2882 P (E/B) = [1 − P (O) − P (B)]2 = 0, 4542
. ´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta d¯u.o.c P (E) = 0, 2223.
P (E/AB) = 0; ´a p du
. ng cˆong th´u c xa
.
.
.

’
´
`
Vˆa.y xa
´ c suˆa t d¯ˆe truyˆen ma
´ u d¯u o. c la`: 1 − P (E) = 0, 7777
Cˆ
au 39: Mˆ
o.t bˆe.nh nhˆan bi. nghi la` co
´ thˆe’ m˘a´c mˆo.t trong 3 bˆe.nh A, B, C v´o.i
ca
´ c xa
´ c suˆa´t tu.o.ng u´.ng la` 0, 3; 0, 4; 0, 3. Ngu.`o.i d¯´o d¯ˆe´n kha
´ m bˆe.nh o’. 4 ba
´ c sı˜
.
.
mˆo.t ca
´ ch d¯oˆ. c lˆa.p. Ba
´ c sı˜ th´u nhˆa´t chˆa’n d¯oa
´ n bˆe.nh A, Ba
´ c sı˜ th´u hai chˆa’n
.
d¯oa
´ n bˆe.nh B , Ba
´ c sı˜ th´u ba chˆa’n d¯oa
´ n bˆe.nh C , Ba
´ c sı˜ th´u. tu. chˆa’n d¯oa
´n
`an d¯´anh gia

bˆe.nh A. Ho’i sau khi kha
´ m bˆe.nh xong, ngu.`o.i bˆe.nh cˆ
´ la.i xa
´ c suˆa´t
`a ng xa
m˘a´c bˆe.nh A, B, C cu’a mı`nh la` bao nhiˆeu. Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t chˆa’n d¯oa
´ n d¯´ung
`am sang hai bˆe.nh co`n la.i la` 0, 2; 0, 2.
cu’a mˆo˜i ba
´ c sı˜ la` 0, 6; va` chˆa’n d¯oa
´ n nhˆ

Gia’i:
Kı´ hiˆe.u H la` biˆe´n cˆo´ d¯˜a xa’y ra.
Ta co
´:

P (H/A) = (0, 6)(0, 2)(0, 2)(0, 6) = 0, 0144;
0, 0048
P (H/C) = (0, 2)(0, 2)(0, 6)(0, 2) = 0, 0048.

P (H/B) = (0, 2)(0, 6)(0, 2)(0, 2) =

Vˆa.y Xa
´ c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A la`:
P (H/A) =

P (A)P (H/A)
P (H)

(0,3)(0,0144)
(0,3)(0,00144)+(0,4)(0,0048)+(0,3)(0,0048)

= 432
768 = 0, 5625
.
.
.
Tu o ng tu. : P (B/H) = 0, 25 P (C/H) = 0, 1875.
Cˆ
au 40: Mˆ
o.t ngu.`o.i s˘an tho’ trong r`u.ng. Kha’ n˘ang anh ta b˘a´n tru
´ ng tho’ trong
=

`an b˘a´n la` tı’ lˆe. nghi.ch v´o.i khoa’ng ca
`an d¯`au v´o.i
mˆo˜i lˆ
´ ch b˘a´n. Anh ta b˘a´n lˆ
khoa’ng ca
´ ch 20 me
´t v´o.i xa
´ c suˆa´t tru
´ ng tho’ la` 0, 5. Nˆe´u bi. tru.o..t anh ta b˘a´n
viˆen th´u. hai o’. khoa’ng ca
´ ch 30 me
´t. Nˆe´u tru.o..t n˜u.a, anh ta cˆo´ b˘a´n viˆen th´u.
ba o’. khoa’ng ca
´ ch 50 me

´t. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ngu.`o.i tho.. s˘an b˘a´n d¯u.o..c tho’
`ay.
trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Gia’i:
Ba`i toa
´ n d¯˜a cho 3 biˆe´n cˆo´:
`an b˘a´n th´u. i”, i = 1, 2, 3. Ba biˆe´n cˆo´ nˆ
`ay
Ti : ”tho.. s˘
an b˘a´n tru
´ ng tho’ o’. lˆ
k
`a ng sˆo´ tı’ lˆe.
= 0, 5. Suy ra h˘
khˆong d¯ˆo.c lˆa.p. Theo gia’ thiˆe´t ta co
´ : P (T1 ) =
20
10
k la
` 10. Do d¯´o: P (T2 /T1 ) = ; P (T3 /T2 ) = 0, 20; P (T3 /T1 T2 ) = P (T3 /T2 ) = 0, 2
30
`ay”
Go.i T : ”Tho.. s˘an b˘a´n tru
´ ng tho’ trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Ta co
´ : P (T ) = P (T1 ).P (T2 /T1 ).P (T3 /T1 T2 )
1
= (1 − 0, 5).(1 − ).(1 − 0, 2) = 0, 267
3

Vˆa.y P (T ) = 1 − P (T ) = 0, 733
Cˆ
au 41: Co
´ mˆo.t bˆe.nh nhˆan ma` ba
´ c sı˜ chˆa’n d¯oa
´ n m˘a´c bˆe.nh A v´o.i xa
´ c suˆa´t
.
´ c suˆa´t 0, 3. Dˆe’ co
´ thˆem thˆong tin chˆa’n d¯oa
´ n ba
´ c sı˜ d¯˜a
0, 7, m˘
a´c bˆe.nh B v´o i xa

`an thu’. thˆa´y co
`an du.o.ng tı´nh, biˆe´t r˘`a ng
cho xe
´t nghiˆe.m sinh hoa
´ . Sau 3 lˆ
´ 1 lˆ


15

`an xe
kha’ n˘ang du.o.ng tı´nh cu’a mˆo˜i lˆ
´t nghiˆe.m d¯ˆo´i v´o.i bˆe.nh A va` B tu.o.ng u´.ng
˜ y cho biˆe´t nˆen chˆa’n d¯oa
la` 10% va` 30%. Ha

´ n bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh na`o?
Gia’i:
Go.i B la` biˆe´n cˆo´ Bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh B, B la` biˆe´n cˆo´ bˆe.nh nhˆan m˘a´c
bˆe.nh A. Ta tı´nh hai xa
´ c suˆa´t: P (B/A); P (B/A).
Ta co
´ : P (B) = 0, 3; P (B) = 0, 7; P (A/B) = 3.0, 3.0, 7.0, 7 = 0, 441
P (A/B) = 3.0, 1.0, 9.0, 9 = 0, 243.
Vˆa.y: P (A) = 0, 3.0, 441 + 0, 7.0, 243 = 0, 3024
Do d¯´o: P (B/A) = 0, 3.0, 441/0, 3024 = 0, 4375; P (B/A) = 0, 7.0, 243/0, 3024 =
0, 5625

Nˆen chˆa’n d¯oa
´ n m˘a´c bˆe.nh A thı` kha’ n˘ang d¯´ung cao ho.n.
`om 90% chı´nh phˆa’m. Lˆo II co tı’ lˆe. phˆe´
Cˆ
au 42: Co
´ hai lˆo sa’n phˆa’m. Lˆo I gˆ
1
`oi t`u. d¯´o lˆa´y 1 sa’n phˆa’m
phˆa’m / chı´nh phˆa’m la` . lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t lˆo, rˆ
4
`ay ta la.i lˆa´y
´ . t`u. lˆo nˆ
ta d¯u.o..c chı´nh phˆa’m. Tra’ sa’n phˆa’m na`y tro’. la.i lˆo cu’a no
’
’
’
ra 1 sa’n phˆa m. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe lˆa´y pha’i phˆe´ phˆa m.

’
Giai:
Go.i B : ”lˆa´y ra lˆo 1”, P (B) = 0, 5.
A: ”lˆ
a´y d¯u.o..c chı´nh phˆa’m”. P (A/B) = 0, 9; P (A/B) = 0, 8 =⇒ P (A) =
0.5.0.9 + 0.5.0, 8 = 0, 85
P (B/A) = 0, 5.0, 9/0, 85 = 0, 5294; P (B/A) = 0, 5.0, 8/0, 85 = 0, 4706

`ay d¯u.o..c
`an lˆa´y th´u. nhˆa´t ta d¯u.o..c chı´nh phˆa’m thı` chı´nh phˆa’m nˆ
Vˆa.y sau lˆ
lˆa´y ra t`u. lˆo 1 v´o.i xa
´ c suˆa´t 0, 5294, co`n t`u. lˆo 2 v´o.i xa
´ c suˆa´t 0, 4706.
Ma` P (A/B) = 0, 1; P (A/B) = 0, 2 cho nˆen:
P (A) = 0, 5294.0, 1 + 0, 4706.0, 2 = 0, 1471
Cˆ
au 44: Tı’ lˆ
e. cha m˘a´t d¯en, con m˘a´t d¯en la` 0, 782; cha m˘a´t d¯en con m˘a´t xanh
la` 0, 079; cha m˘a´t xanh, con m˘a´t d¯en la` 0, 089; cha m˘a´t xanh, con m˘a´t xanh la`
0, 005.

`a ng cha m˘a´t d¯en.
a) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t d¯en biˆe´t r˘
`a ng cha m˘a´t xanh.
b) Tı`m kha’ n˘ang con m˘a´t xanh biˆe´t r˘
Gia’i:
`an tı`m d¯`ˆeu la` xa
`eu kiˆe.n.
a) Ca

´ c xa
´ c suˆa´t cˆ
´ c suˆa´t co
´ d¯iˆ
P (con m˘
a´t d¯en/ cha m˘a´t d¯en)= P (con m˘a´t d¯en va` cha m˘a´t d¯en)/P (cha
m˘a´t d¯en)= 0, 072/(0, 782 + 0, 079) = 0, 9082.
(vı` P (cha m˘a´t d¯en)= P (cha m˘a´t d¯en va` con m˘a´t d¯en)+P (cha m˘a´t d¯en va`
con m˘a´t xanh)= 0, 782 + 0, 079 = 0, 861).
Tu.o.ng tu.. P (con m˘a´t xanh/cha m˘a´t xanh)= P (con m˘a´t xanh va` cha m˘a´t
xanh)/P (cha m˘a´t xanh)= 0, 05/(1 − 0, 861) = 0, 3597
`an
Cˆ
au 45: Ta xe
´t ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con. kha’ n˘ang sinh con ga
´ i trong mˆo˜i lˆ
’
`an sinh la` d¯oˆ. c lˆa.p. Tı`m xa
sinh la` 0, 51; ca
´ c lˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe khi cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1
gia d¯`nh
ı trong sˆo´ ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con ta d¯u.o..c:
a) Gia d¯`nh

ı co
´ con ga
´ i d¯`ˆau, con trai th´u. hai.
`a ng d¯u´.a thu
b) Gia d¯`nh
ı co
´ con th´u. hai la` trai, biˆe´t r˘
´ nhˆa´t la` ga
´ i.
.
`
c) Gia d¯`nh
ı co
´ con th´u hai la` trai, biˆe´t r˘a ng ho. co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ga
´ i.
.
.
Gia’i: Go.i Ti : ”d¯u´ a con th´u i la` trai”, i = 1, 2
A: ”con ga
´ i d¯`ˆau con trai th´u. hai”; B : ”co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ga
´ i”


16

a) A = T 1 T2 =⇒ P (A) = 0, 51.0, 49 = 0, 2499

b) P (T2 /T 1 ) = P (T 1 T2 )/P (T 1 ) = P (A)/P (T 1 ) = 0, 2499/0, 51 = 0, 49
`an tı´nh P (T2 /B).
c) Ta cˆ
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (khˆ
ong co
´ con ga
´ i na`o) =
`
= 1 − P (ca’ hai con d
¯ˆeu trai) = 1 − 0, 49.0, 49 = 0, 7599.
P (T2 /B) = P (T2 B)/P (B) = P (T2 T 1 )/P (B) = P (A)/P (B)+
= 0, 2499/0, 7599 = 0, 3289.
Cˆ
au 46: Ba khˆ
a’u su
´ ng cu`ng b˘a´n va`o mˆo.t mu.c tiˆeu. Co
´ hai viˆen d¯a.n tru
´ ng

d¯´ch.
ı
Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ cho viˆen d¯a.n do ngu.`o.i th´u. nhˆa´t b˘a´n la` tru
´ ng d¯´ch,
ı
.
.
.
.
.

.
`a ng xa
biˆe´t r˘
´ c suˆa´t tru
´ ng d¯´ch
ı cu’a t`u ng ngu `o i tu o ng u´ ng la` 0, 6; 0, 8; 0, 9.
Gia’i:
Go.i Ti : ”ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch”,
ı
i = 1, 2, 3
.
.
´ ng d¯´ch”
ı
A: ”co
´ hai ngu `o i b˘a´n tru

A = T1 T2 T 3 ∪ T1 T 2 T3 ∪ T 1 T2 T3
P (A) = 0, 6.0, 8.0, 1 + 0, 6.0, 2.0, 9 + 0, 4.0, 8.0, 9 = 0, 444
o.i th´u. nhˆa´t b˘a´n tru
´ ng va` hai ngu.`o.i kia co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t”
AT1 : ”ngu.`
AT1 = T1 (T 2 T3 ∪ T2 T 3 ) =⇒ P (AT1 ) = 0, 6.0, 2.0, 9 + 0, 6.0, 8.0, 1 = 0, 156
P (T1 /A) = 0, 156/0, 444 = 0, 3513.
Cˆ
au 47: Trong mˆ
o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi. C´o 5 sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t, 7

sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a, 2 sinh viˆen chuˆa’n bi. trung b`ınh v`a 1 sinh viˆen chuˆa’n
bi. k´em. Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i. Sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t c´o thˆe’ tra’
l`o.i d¯u.o..c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a tra’ l`o.i d¯u.o..c 15 cˆau, sinh viˆen
trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o..c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o..c 5
cˆau. Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o..c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c 3 cˆau ho’i tu`y
´y. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. k´em.
Gia’i: Tru`ng v´o.i ba`i 12.
Cˆ
au 48: Mˆ
o.t xa. thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7. Anh ta
c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i: Tru`ng ba`i 6.
Cˆ
au 49: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t b˘a´n
.
.
tr´ung d¯´ıch cu’a ngu `o i th´u. nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u. hai b˘`a ng 0,75; cu’a
ngu.`o.i th´u. ba b˘`a ng 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tru.o..t.
a) D
- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i: Tru`ng ba`i 18.

Cˆ
au 50: Hai bı`nh d
¯u..ng bi giˆo´ng nhau, mˆo˜i bı`nh d¯u..ng 5 bi tr˘a´ng va` 7 bi d¯o’.
`oi t`u. hai bi nˆ
`ay cho.n mˆo.t bi. Tı´nh xa
Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo˜i bı`nh mˆo.t bi, rˆ
´ c suˆa´t
d¯ˆe’ bi cho.n ra sau cu`ng la` bi tr˘a´ng.
Gia’i: Go.i Ti : ”Bi lˆa´y ra t`u. bı`nh th´u. i la` tr˘a´ng”, i = 1, 2, 3
Ai : ” hai bi lˆ
a´y ra co
´ d¯´ung i bi tr˘a´ng”


17

F : ”bi lˆ
a´y ra sau cu`ng la` tr˘a´ng”
{Ti , T i }; {Ao , A1 , A2 } la
` nh˜u.ng hˆe. d¯`ˆay d¯u’, {T1 , T2 } d¯oˆ. c lˆa.p.
7 7
49
Ao = T 1 T 2 =⇒ P (Ao ) =
.
=
12 12
144
5 7 7 5
70
A1 = T1 T 2 + T 1 T2 =⇒ P (A1 ) =

=
12 12 12 12
144
.
.
.
.
´
´
o i th´u nhˆa t b˘an tru
´ ng va` hai ngu `o.i kia co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t”
AT1 : ”ngu `
5 5
25
A2 = T1 T2 =⇒ P (A2 ) =
=
12 12
144
5
Vˆa.y P (F ) = P (Ao )P (F/Ao ) + P (A1 )P (F/A1 ) + P (A2 )P (F/A2 ) =
12


. .
` TA
ˆ. P D
ˆ˜ U NHIEN
ˆ
-A

BAI
. I LU O
. NG NGA
Cˆ
au 1: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ba’ng phˆan phˆo´i xa
´ c suˆa´t sau:
X

-1

1

2

3

P

0,2

0,2

0,3

0,3

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ

au 2: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

0
a lnx
x2

nˆe´u x 1
nˆe´u x > 1

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 3: Cho d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t sau:
X

0

1

2

3

P

0,1

0,4

0,3

0,2

a) T`ım h`am phˆan phˆo´i cu’a X.
b) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X.
Cˆ
au 4: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

e−x
0

nˆe´u x 0
nˆe´u x < 0

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı`m ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
- u.`o.ng k´ınh cu’a mˆo.t loa.i tru.c m´ay do m´ay tiˆe.n ra l`a mˆo.t d¯a.i lu.o..ng ngˆa˜u nhiˆen
Cˆ
au 5: D
c´
o phˆan phˆo´i chuˆ
a’n v´o.i trung b`ınh l`a 25mm v`a phu.o.ng sai l`a 1, 44mm2 . Tru.c n`ay
d¯u.o..c go.i l`a d¯a.t tiˆeu chuˆ
a’n k˜
y thuˆ
a.t nˆe´u d¯u.`o.ng k´ınh n˘`a m trong khoa’ng t`

u. 23,44mm
d¯ˆe´n 26,56mm.
a) T´ınh sˆo´ tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆ
a’n khi sa’n xuˆa´t 200 tru.c.
´
´
’
’
b) Phai san xuˆa t ´ıt nhˆa t bao nhiˆeu tru.c d¯ˆe’ x´ac suˆa´t c´o ´ıt nhˆa´t 1 tru.c d¯a.t tiˆeu
chuˆ
a’n k˜
y thuˆ
a.t khˆong du.´
o.i 99, 73%.
`am l`a 99, 9% . Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 10000 ha.t d¯em
Cˆ
au 6: Mˆo.t kho ha.t giˆo´ng c´o tı’ lˆe. nˆa’y mˆ
`am.
gieo . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong d¯´
o c´o d¯u
´ng 100 ha.t khˆong nˆa’y mˆ
.
.
`an lu o. t b˘a´n v`ao 1 c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´
Cˆ
au 7: Hai xa. thu’ lˆ
ung d¯´ıch tu.o.ng u
´.ng l`a 0,6
.
.

.
o i d¯`ˆeu c´o 5 viˆen d¯a.n. Nˆe´u c`on d¯a.n v`a bia chu a bi. b˘a´n tr´
ung th`ı ho. c`
on
v`
a 0,4. Mˆo˜i ngu `
b˘
a´n.
a) T`ım luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n 2 ngu.`o.i d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`
y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
`an mˆo.t d¯`ˆ
`en. Sˆo´ lˆ
`an l´o.n nhˆa´t c´o thˆe’ xuˆa´t hiˆe.n m˘a.t ng˜
Cˆ
au 8: Gieo 200 lˆ
ong tiˆ
u.a l`a bao
`an d¯u
nhiˆeu? H˜ay t´ınh gˆ
´ng x´ac suˆa´t d¯´o .


2

Cˆ
au 9: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X c´o mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu. sau :
p(x) =

axe−kx

0

nˆe´u x 0 trong d¯´o k > 0
nˆe´u x < 0

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < k1 ).
c) T`ım k`
y vo.ng cu’a X.
`an mˆo.t d¯`ˆ
Cˆ
au 10: Gieo 400 lˆ
ong xu . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ m˘a.t sˆa´p xuˆa´t hiˆe.n :
`an.
a) 260 lˆ
`an v`a khˆong nhiˆ
`eu ho.n 204 lˆ
`an.
b) Khˆong ´ıt ho.n 196 lˆ
.
Cˆ
au 11: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

3e−3x
0

nˆe´u x ≥ 0
.
nˆe´u x < 0

a) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) T´ınh P (1 < X < 3).
`an mˆo.t con x´
Cˆ
au 12: Gieo 800 lˆ
uc x˘a´c. X´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o sˆo´ m˘a.t ng˜
u.a lˆen trˆen c´o sˆo´
`an v`a khˆong nhiˆ
`eu ho.n 294 lˆ
`an.
chˆ
a´m l`a bˆo.i cu’a 3 xuˆa´t hiˆe.n khˆong ´ıt ho.n 280 lˆ
.
.
Cˆ
au 13: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu sau:
p(x) =

ax2
0

nˆe´u 0 x 2
nˆe´u x ∈
/ [0; 2]

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a P (−2 X 1).

Cˆ
au 14: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t cho bo’.i:
p(x) =

1
3

0

nˆe´u −1 x 2
nˆe´u x < −1 ho˘a.c x > 2

a) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X.
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1).
´ y co
´ chˆa´t lu.o..ng
Cˆ
au 15: Qua thˆo´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nha` ma
cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n hoa
´ qua
´ trı`nh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n phˆa’m thı` 2% sa’n
.
.
˜ khˆ
phˆ
a’m co
´ chˆ
a´t lu o. ng cao se
ong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜

u.a va` 5% sa’n phˆa’m khˆong co
´ chˆ
a´t
.
.
.
.
.
.
’
’
˜
lu o. ng cao la.i d¯u o. c cˆong nhˆa.n sa’n phˆa m co
´ chˆa´t lu o. ng cao. Ha y tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe sau
khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o..c cˆong nhˆa.n co
´ chˆa´t lu.o..ng cao d¯´ung la` sa’n phˆa’m co
´
.
.
chˆ
a´t lu o. ng cao.
Cˆ
au 16: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ha`m mˆa.t d¯ˆo.
p(x) =

0
a lnx
x2

nˆe´u x ≤ 1 ho˘a.c x > e
nˆe´u 1 < x ≤ e.

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a d¯a.i lu.o..ng ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 17: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu. sau:
p(x) =

ax2
0

nˆe´u 0 x 2
nˆe´u x ∈
/ [0; 2]


3

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a P (−2 X 1).
Cˆ
au 18: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
3e−3x
0

p(x) =

nˆe´u x ≥ 0
.
nˆe´u x < 0

a) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) T´ınh P (1 < X < 3).
Cˆ
au 19: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t cho bo’.i:

 √ a
nˆe´u −1 < x < 1
1 − x2
p(x) =

0
nˆe´u x ≤ −1 ho˘a.c x ≥ 1
a) Xa
´ c d¯.inh h˘a` ng sˆo´ a. T`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1) va` ky` vo.ng E(X).
Cˆ
au 20: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X co
´ ba’ng phˆan phˆo´i xa
´ c suˆa´t sau:
X

-1

1

2

3

P

0,2

0,2

0,3

0,3

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
´ ba cˆo’ ma
´ y hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’
Cˆ
au 21: Trong mˆo.t phˆan xu.o’.ng co
.
.
.
ca
´ c ma
´ y bi. ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t tu o ng u
´ ng la` 0, 1; 0, 2; 0, 3. Xa
´ c d¯.inh qui luˆa.t

phˆ
an bˆo´ xa
´ c suˆa´t cu’a sˆo´ ma
´ y ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t. Ho’i trung bı`nh trong mˆo.t
ca co
´ bao nhiˆeu ma
´ y tˆo´t.
Cˆ
au 22: Trong mˆo.t cuˆo.c thi, co
´ hai hı`nh th´
u.c thi nhu. sau; hı`nh th´
u.c I: mˆo˜i ngu.`o.i
.
.
.
.
pha’i tra’ l`o i 2 cˆau ho’i, mˆo˜i cˆau tra’ l`o i d¯´ung thı` d¯u o. c 5 d¯iˆe’m. hı`nh th´
u.c II: tra’ l`
o.i
d¯´ung cˆau th´
u. nhˆ
a´t m´o.i d¯u.o..c tra’ l`
o.i cˆau th´
u. hai; cˆau th´
u. nhˆa´t d¯´ung 5 d¯iˆe’m; cˆau th´
u.
.
.
.
.

.
hai d¯´ung d¯u o. c 10 d¯iˆe’m. Trong ca’ hai hı`nh th´
u c, ca
´ c cˆau tra’ l`o i sai d¯`ˆeu khˆong d¯u o..c
d¯iˆe’m. Gia’ su’. xa
´ c suˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau d¯`ˆeu la` 0, 75 va` viˆe.c tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau la`
.
u.c na`o d¯ˆe’ sˆo´ d¯iˆe’m trung bı`nh d¯a.t d¯u.o..c
d¯ˆ
o.c lˆa.p v´o i nhau. Theo ba.n, nˆen cho.n hı`nh th´
`eu ho.n.
nhiˆ
Cˆ
au 23: Mˆo.t ˆo tˆo kha
´ ch kho’.i ha`nh t`
u. A d¯i d¯ˆe´n B va` khoa’ng ca
´ ch t`
u. A d¯ˆe´n B la` L.
.
.
.
˜ d`
`au.
Trˆen d¯u `
o ng ˆo tˆo se
u ng bˆa´t ky` chˆo˜ na`o khi kha
´ ch yˆeu cˆ
.
`
`

Gia’ thiˆe´t r˘a ng, vi. trı´ (d¯o b˘a ng km, tı´nh t`
u A) cu’a mˆo.t ngu.`o.i kha
´ ch lˆen xe, sau
.
.
˜ ng d¯u `
d¯´o xuˆo´ng xe trˆen qua
o ng trˆen la` 2 biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X va` Y . nˆe´u cho r˘`a ng ha`m
mˆ
a.t d¯ˆ
o. phˆan bˆo´ xa
´ c suˆa´t cu’a X ty’ lˆe. v´o.i gia
´ tri.: x.(L − x)2 , (0 ≤ x ≤ L) va` cu’a Y ty’
˜ y tı`m xa
lˆe. v´o.i gia
´ tri. (y − x)h , (h ≥ 0) thı` ha
´ c suˆa´t:
.
.
a) Co
´ mˆo.t kha
´ ch lˆen xe tru ´
o c d¯iˆe’m l(0 ≤ l ≤ L).
.
’
˜
b) Kha
´ ch lˆen xe o’ d¯iˆe m x se xuˆo´ng xe sau d¯iˆe’m l.
-D
- LNN liˆen tu.c X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:

Cˆ
au 24: Cho D
f (x) =
a) T`ım h˘`a ng sˆo´ c.

cx2 (1 − x)
0

v´o.i x ∈ [0, 1]
/ [0, 1]
v´o.i x ∈


4

b) T´ınh P (0, 4 < X < 0, 6)
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [1, 2]. T`ım P (2 < X 2 < 5).
Cˆ
au 25: Cho D
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [−1, 3]. T`ım P (X 2 < 2).
Cˆ
au 26: Cho D
-D
- LNN X c´
Cˆ
au 27: Cho D
o h`am mˆa.t d¯ˆo. f (x) =

kx2

;0 ≤ x ≤ 3

0

;x < 0 ∨ x > 3

a) T´ınh k.
b) T´ınh P (X > 2).
c) X´ac d¯.inh a d¯ˆe’ P (X < a) = 34.
-D
- LNN X c´o h`am mˆa.t d¯ˆo.:
Cˆ
au 28: Cho D
34x(2 − x) v´o.i 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0
v´o.i 0 < x ∨ x > 2
a) V˜e d¯`ˆ
o thi. f (x).
b) T´ınh P (X > 1, 5); P (0, 9 < X < 1, 1).
-D
- LNN X (t´ınh b˘
`a ng th´ang)
Cˆ
au 29: Tuˆ
o’i tho. cu’a mˆo.t loa.i cˆon tr`
ung n`ao d¯´o l`a mˆo.t D
.

v´
o i h`am mˆa.t d¯ˆ
o.:
kx2 (4 − x) v´o.i 0 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i
a) X´ac d¯.inh k, v˜e d¯`ˆ
o thi. cu’a f (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng, phu.o.ng sai cu’a X.
c) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ cˆ
on tr`
ung chˆe´t tru.´o.c khi n´o d¯u.o..c 1 th´ang tuˆo’i.
Cˆ
au 30: Hai xa. thu’ A v`a B tˆ
a.p b˘a´n, mˆo˜i ngu.`o.i b˘a´n 2 ph´at. X´ac suˆa´t b˘a´n tr´
ung d¯´ıch
cu’a A trong mˆo˜i ph´at l`a 0, 4 v`a cu’a B l`a 0, 5.
a) Go.i X l`a sˆo´ ph´
at tr´
ung cu’a A tr`
u. sˆo´ ph´at tr´
ung cu’a B. T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t
cu’a X.
b) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y = |X|
Cˆ
au 31: Ta.i mˆo.t tra.m kiˆe’m so´at giao thˆong, trung b`ınh mˆo.t ph´
ut c´o hai xe ˆotˆo d¯i qua.
’

a) T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe c´o d¯u
´ng 6 xe d¯i qua trong v`ong 3 ph´
ut.
b) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong khoa’ng th`o.i gian t ph´
ut c´o ´ıt nhˆa´t 1 xe ˆotˆo d¯i qua. X´ac
d¯.inh t d¯ˆe’ x´
ac suˆa´t n`ay b˘`a ng 0, 99.
Cˆ
au 32: Mˆo.t tra.m cho thuˆe xˆe taxi c´o 3 chiˆe´c xe. H`ang ng`ay tra.m pha’i nˆo.p thuˆe´ 8
USD cho 1 chiˆe´c xe (d`
u xe d¯´
o c´o d¯u.o..c thuˆe hay khˆong). Mˆo˜i chiˆe´c xe d¯u.o..c cho thuˆe
v´
o.i gi´a 20USD.
-D
- LNN X c´o phˆan phˆo´i Poisson v´o.i
`au cu’a tra.m trong 1 ng`ay l`a D
Gia’ su’. sˆo´ yˆeu cˆ
tham sˆo´ λ = 2, 8.
`en thu d¯u.o..c trong 1 ng`ay cu’a tra.m (nˆe´u khˆong c´o ai thuˆe th`ı sˆo´
a) Go.i Y l`a sˆo´ tiˆ
`en thu d¯u.o..c l`a −24USD).
tiˆ
`en trung b`ınh thu d¯u.o..c cu’a tra.m
T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y . T`
u. d¯´o t´ınh sˆo´ tiˆ
trong 1 ng`ay.
b) Gia’i b`ai to´an trˆen trong tru.`o.ng ho..p tra.m c´o 4 xe.
c) Tra.m nˆen c´o 3 hay 4 xe?
-D

- LNN X (kg) c´o h`am mˆa.t
Cˆ
au 33: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con g`a 6 th´ang tuˆo’i l`a mˆo.t D
d¯ˆ
o.:
k(x2 − 1) v´o.i 2 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i


5

T`ım tro.ng lu.o..ng trung b`ınh cu’a con g`a 6 th´ang tuˆo’i v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n.
Cˆ
au 34: Mˆo.t d¯oa.n thˆa’ng AB d`ai 10 cm bi. g˜ay ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo.t d¯iˆe’m P. Hai d¯oa.n
g˜
ay AP v`a BP d¯u.o..c su’. du.ng d¯ˆe’ l`am hai ca.nh cu’a mˆo.t h`ınh ch˜
u. nhˆa.t. T`ım k`
y vo.ng v`a
.
’
d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆ
a n cu’a diˆe.n t´ıch h`ınh ch˜
u nhˆa.t.
- LNN phˆan bˆo´ chuˆa’n v´o.i k`
Cˆ
au 35: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con b`o l`a mˆo.t D
y vo.ng l`a 250

’
kg v`a d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆ
a n 40 kg
T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con b`o c´o tro.ng lu.o..ng:
a) N˘a.ng ho.n 300 kg.
b) Nhe. ho.n 175 kg.
c) Trong khoa’ng 260 kg d¯ˆe´n 270 kg.
-D
- LNN X c´o phˆan
Cˆ
au 36: Th`o.i gian d¯i t`
u. nh`
a d¯ˆe´n tru.`o.ng cu’a sinh viˆen A l`a mˆo.t D
.
.
.
phˆo´i chuˆ
a’n. Biˆe´t r˘`a ng 65% sˆo´ ng`ay A d¯ˆe´n tru `o ng mˆa´t ho n 20 ph´
ut c`on 8% sˆo´ ng`
ay
.
´
mˆ
a t ho n 30 ph´
ut.
a) T`ım th`o.i gian trung b`ınh v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a th`o.i gian d¯ˆe´n tru.`o.ng.
b) Nˆe´u A xuˆa´t ph´at t`
u. nh`
a tru.´o.c gi`o. v`ao ho.c 25 ph´

ut th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe´ A muˆo.n ho.c
l`
a bao nhiˆeu ?
`an pha’i xuˆa´t ph´at tru.´o.c gi`o. v`ao ho.c bao nhiˆeu ph´
c) A cˆ
ut d¯ˆe’ kha’ n˘ang muˆo.n ho.c
.
l`
a b´e ho n 0, 02.
-D
- LNN c´o phˆan bˆo´ chuˆa’n. Trong mˆo.t
`eu d`ai cu’a mˆo.t loa.i cˆay l`a mˆo.t D
Cˆ
au 37: Chiˆ
.
˜
`
´
mˆ
a u gˆom 640 cˆay c´o 25 cˆay thˆa p ho n 18m v`a 110 cˆay cao ho.n 24m.
`eu cao cˆay.
a) T`ım k`
y vong v`a d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a chiˆ
.. .. . ´
ay c´o d¯ˆ
o. cao trong khoa’ng t`
u. 16m d¯ˆe´n 20m trong mˆa˜u trˆen.
b) U ´o c lu o. ng sˆo cˆ
-D

- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜
Cˆ
au 38: Cho X l`a D
u v´o.i λ = 2. T`ım k`
y vo.ng v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu
−X
’
chuˆ
a n cu’a e .
-D
- LNN c´o phˆan bˆo´ m˜
Cˆ
au 39: Cho X l`a D
u v´o.i λ = 1 v`a Y = 2X 2 .
T´ınh:
a) P (2 < Y < 18)
b) P (Y < 4)
-D
- LNN hai chiˆ
`eu (X, R) c´o ba’ng phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t:
Cˆ
au 40: Cho D
X \Y
0
1
2
3
−1 0, 01 0, 06 0, 05 0, 04
0
0, 04 0, 24 0, 15 0, 07

1
0, 05 0, 10 0, 10 0, 09
a) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X v`a Y.
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X v`a Y.
c) T´ınh hˆe. sˆ
o´ tu.o.ng quan cu’a X v`a Y.
-D
- LNN c´o phˆan phˆo´i d¯`ˆeu trˆen khoa’ng (−1, 1) v`a (0, 2)
Cˆ
au 41: Gia’ su’. X, Y l`a hai D
.
.
.
-D
- LNN
´ ng. T`ım h`am mˆa.t d¯oˆ. d¯`ˆ
ong th`o.i v`a h`am phˆan phˆo´i d¯`ˆong th`o.i cu’a hai D
tu o ng u
X, Y.