www.tanbachkhoa.edu.vn
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh
Thời gian làm bài: 90phút
Đề luyện tập số 1.
Câu 1. Tìm khai triển Taylor của f ( x, y ) =
2x + y
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
x+ y
Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y + xy − 12 x − 3 y .
2
2
n
∞
u
1
2
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n với un= 2 + 2 và vn= 1 +
n
n
n =1 v n
n2
(−1)n −1 x 2 n
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n
n =1 4 (3n − 1)
1
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫
dxdy , trong đó D là miền phẳng giới
2
2
D x + y
∞
hạn bởi 2 x ≤ x + y ≤ 6 x, y ≥ x ,
2
2
(
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ e
C
x2
)
+ xy dx + ( y cos y + x 2 )dy với C là chu vi tam giác ABC,
A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính I = ∫ ydx + ( z + x)dy + xdz , với C là giao của x 2 + y 2 = 1 và z = y + 1 , chiều kim đồng
C
hồ theo hướng dương trục 0z.
(
Câu 8. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x + y
nằm giữa hai mặt phẳng z = 0, z = 1 .
S
2
2
) dS , trong đó S là phần mặt nón z
2
= x 2 + y2 ,
Đề luyện tập số 2.
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = xe
xy
2
2
. Tính d f (2,1) .
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )e1− x
2
+ y2
trên miền D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 4}
n −1
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑
n=2 n + 2
∞
n ( n+ 2)
1.3.5...(2n − 1) n +1
.3
n =1 2.4.6...( 2 n)
∞
b/
∑
(−1)n ( x − 3)n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
3
n =1 2n + ln n
∞
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ e
− x2 − y2
dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn
D
bởi 1 ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x 3 ,
2
2
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y )dy , với C là phần đường cong y = x + sin x , từ
A(0,0) đến B(π , π ) .
C
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z = R 2 − x 2 − y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = Rx .
1
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi
S
x + y + z ≤ 4, z ≥ x + y , phía trong.
2
2
2
2
2
Đề luyện tập số 3.
x
2
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln . Tính d f (1,1)
y
3 9
+ với x > 0, y > 0
x y
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
1 ⋅ 4 ⋅ 7⋯ (3n − 2)
(2n − 1)!!
n =1
∞
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
n!( x − 4) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
nn
n =1
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + 2) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn
∞
D
2
2
x
y
+
≤ 1, y ≥ 0
9
4
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( 2 x + y ) dx + ( 3 x + 2 y ) dy , trong đó C là biên của miền phẳng giới
bở i
C
hạn bởi y = 2 − x , y = − x , chiều kim đồng hồ.
2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z = x 2 + y 2 nằm trong hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z .
Câu 8. Tính I = ∫∫ 2 xdS , với S là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt phẳng z = 1, z = 4 .
S
Đề luyện tập số 4.
2
Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = 4 y + sin ( x − y ) . Tính d f (0,0)
2
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x y + 12 x − 8 y.
3
2
2 ⋅ 5 ⋅ 8⋯ (3n − 1)
n =1 1 ⋅ 5 ⋅ 9⋯ (4 n − 3)
∞
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
(−1)n ( x + 1) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3n
n =1 2 (n + 1)ln( n + 1)
∞
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
x 2 + y 2 . ln( x 2 + y 2) dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2 ≤ e2
D
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích
phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều
L
ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z + x 2 + y 2 = 2 nằm trong hình paraboloid z = x 2 + y 2 .
Câu 8. Tính I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , phía trên.
S
Đề luyện tập số 5.
2
f = f (u ) = u 3 + sin u;
∂2 f
, với
x
∂x∂y
u = 2 xy + e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 2 x 2 + 12 xy + y 2 ; x 2 + 4 y 2 = 25
Câu 1. Tính
∞
2n
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n + 2
n =1
n −1
Câu 5. Tính tích phân
∫∫ arctg (
∞
(−1) n+1 2 n +1 ( x − 5) n
n =1
(n + 1) ln(n + 1)
∑
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
3n
3
)
x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3
D
Câu 6. Chứng tỏ tích phân I = ∫ e
x− y
C
[(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] không phụ thuộc đường đi.
x2 y2
Tính tích phân I với C là phần ellipse
+
= 1 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
9
4
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y = 2 − x 2 , y = 1, z = 0, z = 3 x , lấy phần z ≥ 0.
Câu 8. Tính I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3 z ) dxdz + z 2 dxdy , với S là phần mặt phẳng x + y + z = 4 nằm trong
S
hình trụ x + y = 2 y , phía trên.
2
2
Đề luyện tập số 6.
∂2z
(1,1)
∂x∂y
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x
2 3
y
. Tính dz(1,1) và
1 ⋅ 4 ⋅ 9⋯ n 2
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
n =1 (4n − 3)!!
∞
∞
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
(−1) n .3 n +1
∑4
n =0
n+2 3
. n +1
( x − 1) n
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ 4 − x − y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2
2
D
x + y = 1, y ≤ x .
2
2
Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x y + x − y ) dx + ( y − x − xy ) dy , với C là nửa bên phải của đường
2
2
C
tròn x + y = 4 y , chiều kim đồng hồ.
2
2
Câu 7. Tính tích phân đường loại một I = ∫∫ x 2 + y 2 dl , với C là nửa trên đường tròn x 2 + y 2 = 2 y .
C
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I =
∫ ( x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao
của
C
x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
Đề luyện tập số 7.
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và
∂2z
( 2 ,1)
∂x 2
3
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 1 − 4 x − 8 y; x 2 − 8 y 2 = 8 .
∞
2n n!
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n
n =1 n
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
0
dxdy
3+ x + y
2
∞
(n + 2)(x + 1)n
n =0
5 n + 2. n 6 + 1
∑
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2=
2
1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 .
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny trong đó α là hằng số. Tìm α để
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân
đường ∫ [( x, y ) − y 3 ]dx + [Q( x, y ) + x 3 ]dy trong đó ( γ ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương
γ
(ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x 2 dS , với S là nửa trên mặt x 2 + y 2 + z 2 = 4
S
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I =
∫ (3x − y
2
)dx + (3 y − z 2 )dy + (3 z − x 2 )dz , với C là giao của
C
z = x + y và z = 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
2
2
Đề luyện tập số 8.
Câu 1.
Tìm
zx' , zy'
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x + y + yz = ln z
3
2
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 trên miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1}
∞
2n
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑
n = 2 2n + 1
∞
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
∑
n =1
Câu 5. Tính tích phân kép
∫∫
n ( n −1)
∞
b/
1.4.9...n 2
.5 n + 2
∑
n =1 1.3.5...( 2 n − 1) n!
(−1) n ( x − 2) n
3n +1
3
n4 + n2 + 1
9 − x 2 − y 2 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường
D
tròn x + y = 9, y ≥ 0 và các đường thẳng y = x, y = -x
2
2
−y
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e . Tìm hàm h(x) để biểu thức
h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích
phân ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục
L
tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
Câu 7. Tính I = ∫∫∫ 2 zdxdydz , với V giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z và z + x 2 + y 2 = 1 .
V
Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + 2 y )dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy , với S là phần mặt
S
paraboloid z = x + y , bị cắt bởi z = 2 − 2 x , phía dưới.
2
2
Đề luyện tập số 9.
4
2−1 2
x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0)
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của f ( x, y ) = e
−3,
if ( x, y ) = (0, 0)
2
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4
∞
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
∑ (u n + v n ) với u n
n =1
∞
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∑
n =0
4n − 1
=
4n + 1
( x + 3) n
n ( 4 n +1)
, vn =
2.4.6...(2n).n n
4.7.10...(3n + 1).n!
4 n + 2.4 n 3 + 1
∫∫ dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x +y
2
Câu 5. Tính J=
2
= 2x, x2+y2 = 6x và các
D
đường thẳng y = x, y = 0.
Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I= ∫ h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt đường x2 = y2.
[
]
AB
Câu 7. Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn bởi z = x 2 + y 2 và z + x 2 + y 2 = 2 .
V
Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy , với S là phần mặt
S
paraboloid x + y + z = 2 x , phần z ≤ 0 , phía dưới.
2
2
2
Đề luyện tập số 10.
xy
, if ( x, y ) ≠ (0, 0)
Câu 1. Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) = x 2 + y 2
0,
if ( x, y ) = (0, 0)
//
Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y − x − y − 2 xy , x ≠ 0.
4
4
2
2
2n
n +1
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
n =1 2n + 1
∞ ( x − 4) n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑
n =1 n n + 2
Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới
∞
D
hạn bởi x + y ≤ 4, x ≥ 0
2
2
x
y
y
1
−
dx
+
+
∫(1,1) x 2 + y 2 x 2 x 2 + y 2 x dy , theo đường cong C
(2,3)
Câu 6. Tính tích phân I =
không qua gốc O và không cắt trục tung.
1
Câu 7. I = ∫∫∫ 2
dxdydz , với V được giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ x 2 + y 2
2
2
x
+
y
+
z
V
Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S là phần mặt
S
paraboloid z = x + y nằm dưới mặt x + z = 2 , phía trên.
2
2
5