Tài liệu Đề luyện tập giải tích (2) pdf

www.tanbachkhoa.edu.vn
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh
Thời gian làm bài: 90 phút.
Hình thức thi: Tự luận.
Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm.
Đề luyện tập số 11.
Câu 1. Vẽ khối
Ω
giới hạn bởi
2 2 2
2x y z y+ + ≤
,
2 2
y x z≥ +
.
Câu 2. Trên mặt phẳng
2 0x y z+ − =
tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng
3 6 0x z
+ − =
và
3 2 0y z+ − =
là nhỏ nhất.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3 3 3 2
1
(3 1)!
1 2 5n
n
n
∞

=
−
∑
× ××× ×
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
( 5) ( 2)
3 (2 1) 2
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
+ +
∑
Câu 5. Tính tích phân kép
2
D
I y x dxdy= −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
1 1,0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤
.
Câu 6. Tính tích phân bội ba
( )

V
I y z dxdydz= +
∫∫∫
, trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
2 2 2 2 2 2
, 4, 2z x y x y z x y= + + = = + +
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
(2 )
S
I x y dydz= +
∫∫
, với S là phần mặt
2 2
z x y= +
bị cắt bởi mặt
4z =
, phía trên theo hướng trục Oz.
Đề luyện tập số 12.
Câu 1. Tính
'
(1,1)
x
f
của hàm
2 2
( , ) 2 4f x y x y= + − −
và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này
như là hệ số góc của tiếp tuyến.
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của

3 3
( , ) 3f x y x y xy= + −
trên miền
0 2, 1 2x y≤ ≤ − ≤ ≤
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:
1
( 1)
1
n
n
n
n
∞
=
−
∑
+
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3 3
1
(2 1)( 3)
3 ln
n
n
n x
n n n
∞
=
+ −
∑

+ ×
Câu 5. Tính tích phân kép
{ }
max ,
D
I x y dxdy=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
0 4,0 4x y≤ ≤ ≤ ≤
.
Câu 6. Tính tích phân bội ba
V
I xdxdydz=
∫∫∫
, trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
2 2 2 2 2
0, 4x y z x y z+ + ≤ + + ≤
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
S
I x dydz y dxdz z dxdy= + +
∫∫
với S là mặt phía ngoài của vật thể
giới hạn bởi
2 2 2
,0 1x z y y+ ≤ ≤ ≤
.
Đề luyện tập số 13.

Câu 1. Tính
'
(0,1)
y
f
của hàm
2 2
( , ) 3 2f x y x y= − −
và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như
là hệ số góc của tiếp tuyến.
1
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
( )
xy
z x y e= +
trên miền
2 1x y− ≤ + ≤
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
( 1)
( 1)
n
n
n
n
∞
=
−
∑

+ −
Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của
2
2 3
( )
5 6
x
f x
x x
+
=
− +
, tại
0
1x =
và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân kép
D
I xy dxdy=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1 4.x y≤ + ≤
Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
( )
2
2 2
2 , , 0 ( 0) x y xy z x y z x+ = = + = >
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một

2
S
I xds=
∫∫
với S là phần mặt phẳng
2x y z+ + =
nằm trong hình
cầu
2 2 2
4x y z+ + =
.
Đề luyện tập số 14.
Câu 1. Vẽ khối
Ω
giới hạn bởi
2 2
4 , 1 , 0, 2y x y x z z x≤ − ≥ − ≥ ≤
.
Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ
2
12m
bìa carton. Tìm thể
tích lớn nhất của cái hộp này.
Câu 3. Tính tổng
1
1
( 1)( 2)
n
S
n n n

∞
=
=
∑
+ +
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của
4
0
( )
1
x
dt
f x
t
=
∫
−
và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân
D
y dxdy
∫∫
với D là miền
2 2
2 2
1, 1.
16 9
x y
x y+ ≤ + ≥
Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu

2 2 2
18x y z+ + =
nằm trong hình nón
2 2 2
x y z+ =
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
S
I yds=
∫∫
, với S là phần mặt trụ
2 2
4x y+ =
nằm giữa hai mặt
phẳng
0, 3z z= =
.
Đề luyện tập số 15.
Câu 1. Cho
2
(3 , )
xy
f f x y e= +
. Tính
2
,
f f
x x y
∂ ∂
∂ ∂ ∂

.
Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón
2 2 2
z x y= +
, sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0).
Câu 3. Tính tổng
1
2 3
5
n
n
n
∞
=
+
∑
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm
3
( ) arctan
3
x
f x
x
+
=
−
và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân
{ }
max sin ,sin

D
x y dxdy
∫∫
với D là miền
0 ,0 .x y
π π
≤ ≤ ≤ ≤
Câu 6. Tính tích phân đường
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
C
I y z dx z x dy x y dz= + + + + +
∫Ñ
, với C là giao của mặt
phẳng
1x y z+ + =
và mặt cầu
2 2
4
2
x y z+ + =
ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
S
I zdxdy=
∫∫
với S là nửa mặt cầu
2 2
9

2
x y z+ + =
, phần
0y ≥
, phía
ngoài (phía trên theo hướng trục Oy).
Đề luyện tập số 16.
2
Câu 1. Cho
3 2
( , ) arctan , ( , ) 2 , ( , ) 2
u
f f u v u u x y x y v v x y x y
v
= = = = + = = +
. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
.
Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3
mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng
2 3 6x y z+ + =
. Tìm thể tích lớn nhất.
Câu 3. Tính tổng
1
1
( 2)

( 2) 7
n
n
n n n
∞
+
=
−
∑
+ ×
Câu 4. Tìm chuỗi lũy thừa của hàm
(
)
2
( ) ln 1f x x x= + +
và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
16 9
D
x y
I dxdy
 
= +
 ÷
∫∫
 ÷
 
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
[ ]

0, 0, 4sin , 3cos , 0, / 2x y x t y t t
π
= = = = ∈
.
Câu 6. Tính tích phân đường
3 2
C
I zdx xdy ydz= + +
∫Ñ
, với C là giao của mặt phẳng
2x z
+ =
và mặt
cầu
2
4
2
x y+ =
theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3 3
S
I x dydz y dzdx= +
∫∫
, với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid
( )
2 2
2
1, 0
16 9

x z
y z+ + = ≥
.
Đề luyện tập số 17.
Câu 1. Cho
(
)
2
3
( , ) ln 3f x y y x y= + +
. Tìm
(0,0), (0,0)
f f
x y
∂ ∂
∂ ∂
.
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
3 3
( , ) ; 16
xy
f x y e x y= + =
.
Câu 3. Tính tổng
1
( 1)
2 4 6 (2 )
n
n

n
∞
=
−
∑
× × L
Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính
0
1
x
xdx
e
+∞
∫
+
Câu 5. Tính tích phân
( )
2 2
0
2sign x y dxdy− +
∫∫
với D
0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤
.
Câu 6. Tính tích phân đường
( ) ( ) ( )
2 2 2
C
I y z dx z x dy x y dz= + + + + +
∫Ñ

, với C là giao của mặt nón
22
y z x+ =
và mặt cầu
2 2
4
2
x y z+ + =
ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox.
.Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy= + +
∫∫
, với S là mặt trong của vật thể giới
hạn bởi
2 2 2 2 2
1 4,x y z y x z≤ + + ≤ ≥ +
.
Đề luyện tập số 18.
Câu 1. Cho
2 2
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
x y
xy x y
f x y
x y

x y

−
≠

=
+


=

. Tìm
2 2 2 2
2 2
(0,0), (0,0), (0,0), (0,0)
f f f f
y x x y
x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
( , ) 4 6f x y x y= +
với điều kiện
2 2
13x y+ =
.
Câu 3. Tính tổng
1

( 2)
3 1 3 5 (2 1)
n
n
n
S
n
∞
=
−
=
∑
× × × +L
3
Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính
1
0
1
ln
1
dx
x
∫
−
Câu 5. Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2 2
3 1, 0,x y y y x+ ≤ ≥ ≥
.
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )

3 2xy xy
C
I x ye dx y xe dy= + + +
∫
, trong đó C là phần elip
2 2
1
16 9
x y
+ =
từ
điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3
( 1) 3 5
S
I x dydz ydzdx zdxdy= − + +
∫∫
, với S là mặt ngoài của nửa
dưới mặt cầu
2 2
2 , 0
2
x y z x z+ + = ≤
.
Đề luyện tập số 19.
Câu 1. Vẽ khối
Ω
giới hạn bởi
2 2 2

4 , 2 , 2z x x y y x y z= + + = + + =
.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
( , , ) 2 6 10f x y z x y z= + +
với điều kiện
2 2 2
35x y z+ + =
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
( 1)
n
n
n n
∞
=
∑
+ −
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của
0
ln(1 3 )
( )
x
t
f x dt
t
+
=
∫

và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 , 3, 0x x y x y x y x≤ + ≤ ≤ + ≥
.
Câu 6. Tính tích phân đường
2
C
I y dl=
∫
, C là cung Cycloid
( sin ), (1 cos ),0 2x a t t y a t t
π
= − = − ≤ ≤
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
2
S
I z dxdy=
∫∫
, S là mặt trong của nửa mặt cầu
( ) ( )
2 2
2
1 2 4, 0x y z z− + − + = ≥
.
Đề luyện tập số 20.
Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm
( , )z z x y=
là hàm ẩn xác định từ phương trình

z
x y z e+ + =
.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
( , , ) 2 3f x y z x y z= + +
với hai điều kiện
1x y z− + =
và
2 2
1x y+ =
.
Câu 3. Tính tổng
( )
2
2
1
2 1
1
n
n
n n
∞
=
−
∑
+
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
( )
1
2

1
1 ( 2)
1
n
n
n
x
n n
−
∞
=
− +
∑
+ +
Câu 5. Tính tích phân kép
( )
D
I x y dxdy= −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi đường astroid
3 3
cos , sin ,0 / 2x a t y a t t
π
= = ≤ ≤
, và các trục tọa độ.
Câu 6. Tính tích phân đường loại một
( )
C
I x y dl= +

∫
, C là cung bên phải của đường Lemniscate có
phương trình trong tọa độ cực
2 2
cos2 , 0 r a a
ϕ
= >
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
S
I yzdydz zxdxdz xydxdy= + +
∫∫
, với S là biên của vật thể giới hạn
bởi
1, 0, 0, 0x y z x y z+ + ≤ ≥ ≥ ≥
, định hướng phía trong.
4